t g t dv a dt Aplicação: Lançamento Oblíquo: t 2 v v sen v v g t Vetor Posição: Vetor velocidade média Vetor Velocidade instantânea:

(1)

1

EMENTA

Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos.

OBJETIVOS GERAIS

 Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.

 Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que são comuns no exercício da profissão de engenheiro.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro.

 Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e outras.

 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Cinemática da Partícula;

(a) Vetor Posição; (b) Vetor Velocidade; (c) Vetor Aceleração;

i. aceleração tangencial; ii. aceleração normal; 2. Cinemática do Sólido;

(a) Classificação dos Movimentos; (b) Movimento de Translação;

i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;

(c) Movimento Plano; (d) Rotação com Eixo Fixo;

(e) Movimento Plano em geral;

(f) Centro Instantâneo de Rotação; (g) Movimento Geral;

 BIBLIOGRAFIA Básica

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.

FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005.

GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003

KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000.

SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008.

Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.

 Vetor Posição:

r

     

x i

ˆ

y j z k

ˆ

 Vetor velocidade média

v

_m :

m

r

v

t







 Vetor Velocidade instantânea:

v

dr

dt



 Vetor aceleração média:

a

_m

v

t







 Vetor Aceleração instantânea:

a

dv

dt



 Aplicação: Lançamento Oblíquo:

 Eixo x: MU: ₀ ₀ x

x

 

x

v



t

 Eixo y: MUV: 2 0 0

2

y

t

y



y



v

  

t

g

0y y

v



v

 

g t

 Decomposição da velocidade inicial

v

₀:

0x 0

cos

0y 0

v

 

v





v

 

v sen



 Tempo de subida: 0y s

v

t

g



 Alcance:

 

2 0

₂

m

v

x

sen

g





 Altura máxima: 0 2

2

y

v

h

g



(2)

2

 Movimentos curvilíneos MCU e MCUV

MCU

a

_R



a

_N MCUV

a

_R



a

_N



a

_T

e

_N

v

a

perpendiculares

Função angular horária



 

t

 

t

0

t





 

 

_{ }

2 0 0

1

2 t

t



 

 

 





Velocidade angular



 

t

 

t

cte







 

t



 

0

 

t

2 2 0

2 





  

 

Velocidade linear

v t

 

v

 



r

Aceleração angular



 

t

 

t

0 





 

t



cte

Aceleração resultante R cp

a



a

2 2 R cp T

a



a



a

Aceleração tangencial

0

T

a 

T T dv a a r dt



   

Aceleração centrípeta e Força centrípeta 2 2 cp cp cp

v

a

R

F

m a

R





 

 

 

Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:

 Translação.

 Rotação sobre um eixo fixo.  Movimento Geral sobre um plano  Movimento sobre um ponto fixo  Movimento Geral qualquer.

 Translação B A BA

r

 

r

B A

v



v

B A

a



a

(3)

3

1 rev



2 

rad



360

0

v

dr

dt



ds

v

s

BP

r sen

dt







  

 

 

d

v

r

sen

dt



_

 



   

v

r



sen



Velocidade angular:

 

 

ˆk

Como o ângulo entre

r

e



é , lembrando da propriedade do módulo do produto vetorial:

r

sen

r

sen

v



   





  







v

 



r





dv

d

dr

a

r

dt





 

 

  

d

a

r

v

dt



_



  

Aceleração angular:

d

dt







ˆ

k

 

       

 

 





a

   



r

 



r

 Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo:

Sendo

 

 

ˆk

      

v



r

v



k r

ˆ

Como

ˆk r

   

v

r







a

   



r

 



r





ˆ

a

     



k r



k



 

k r

 

2

ˆ

a

   



k r



  

k

k r

 

ˆ

k

 

k

r



  

u



v w

 



u w v



 

 

u v w



     

ˆ

ˆ ˆ

k

k r

k r k

k k r

  









 

ˆ

k

 

k r

 

r

2

ˆ

a

   



k r





r

 Aceleração tangencial:

ˆ

T T

a

   



k r

a

 



r

 Aceleração normal 2 2 N N

a

   



r

a







r

Resumo: Rotação com eixo fixo:

1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares. 2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ d ˆ

e e

dt



 

   





A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do eixo de rotação do sólido.

O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti-horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita; com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando para o ponto A.

3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ d ˆ

e e

dt

      

4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por: P P P

dr

v

r

P

A

dt





     

5. O vetor aceleração do ponto P é dado por:

dv a v a dt    

a

   



r

P

 





r

P











a

 



P



A

 

 



P



A

 Exemplos Resolvidos

1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s.

(a) α = 2 rad/s2_{; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B.}

(b) α = 2 rad/s2_{; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.}  Ponto B:

ˆ

0.2 cos 30

0.2

30

B

r





 

i



sen



j

ˆ

0.173

0.1

B

r



 

i



j

30° B C D 45° 60° B

(4)

4

2 ˆ 2 k rad s



_{  } _   0

0 2 3

6 rad

t

s

  



       



ˆ 6 k rad s _{  } _  





ˆ

6

0.173

0.1

B B B

v

  



r

v

  

k

 

i



j









ˆ _ˆ

ˆ

6 0.173

6 0.1

B j _i

v

k i

k

j



 

   

 

ˆ ˆ 0.6 1.038 B m v i j s       _{  }   T N B B B

a



a



a



a

B

   



r

B



v

B T B B

a

 



r





ˆ

2

0.173

0.1

T B

a

  

k

 

i



j









ˆ _ˆ

ˆ

2 0.173

2 0.1

T B j _i

a

k i

k

j







   

 

2

ˆ

0.2

0.346

T B

m

a

i

j

s

 

 

 

_{  }

 

N B B

a

 



v





ˆ

6

0.6

1.038

N B

a

   

k

 

i



j













ˆ _ˆ

ˆ

6

0.6 6 1.038

T B j _i

a

k i

k

j



  

   

 

2

ˆ

0.828

3.6

N B

m

a

i

j

s

 

 

 

_{  }

 

ˆ

0.2

0.346

0.828

3.6

BT BN B a a

a

 

 

i

  

j

 

i



j

2

ˆ

1.028

3.254

B

m

a

i

j

s

 

 

 

_{  }

 

1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular



= 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2_{. No instante ilustrado, o} ponto E está descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velocidade angular. (b) o vetor aceleração angular. (c) a velocidade do ponto D. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.203 0 (0,0.203,0) B 0 0 0.152 (0,0,0.152) D 0.178 0 0 (0.178,0,0)



0, 0.203, 0

 

0, 0, 0.152



BA

  

A B

BA







0, 0.203, 0.152



BA 



ˆ

0

0.203

0.152 BA

  

i

 

j



k





2 2 2

0

0.203

0.152

0.254 BA





 



BA



0 _ˆ

0.203 _ˆ

_{0.152 ˆ}

ˆ

0.254

0.254 BA

e

i

j

k

BA



 





ˆ

ˆ 0

0.8

0.599 e

  

i

 

j



k



ˆ



ˆ

5 0

0.8

0.599 e

i

j

k

 

      



 







ˆ

0 i

4 j

2.977 k rad s



    





ˆ



ˆ

4 0

0.8

0.599 e

i

j

k

 

      



 



2

ˆ

0 i

3.202 j

2.397 k rad s



  

 

_{ }





_





ˆ

0 i

4 j

2.977 k rad s



    





0.178, 0, 0

 

0, 0.203, 0



AD

  

D

A

AD







0.178, 0.203, 0



AD 



ˆ

0.178

0.203

0 AD



 

i

  

j

k

v

 



AD



₀

ˆ

₄

ˆ

_2.977

ˆ

 

_0.178

ˆ

_0.203

ˆ

₀

ˆ



v



   

i

j

 

k

 

i

  

j

k

ˆ

0

4

2.977

0

4

0.178

0.203

0

0.178

0.203 i

j

k

i

j

v 



ˆ

0.608

0.533

0.712 m

v

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 





D

a

 



D



A

 



v





ˆ

0

3.202

2.397

0

3.202

0.178

0.203

0

0.178

0.203 i

j

k

i

j

D

A













_D

_A



_0.487

_i

ˆ

_0.427

ˆ

_j

_{0 570}

_k

ˆ







 

 

  







D DA v D r

D

A

v

 















 











z

x

y

B

A

C

0.203 m 0.152 m 0.178 m

D

E

(5)

5 ˆ

ˆ

0

4.002

2.997

0

4.002

0.608

0.533 0.712 0.608

0.533 i

j

k

i

j

v



 



ˆ

4.447

1.822

2.433 v

i

j

k



  

 







D

a

 



D



A

 



v

ˆ

0.487

0.427 0 570

ˆ

4.447

1.822

2.433 a

i

j

k

i

j

k

 

 

  

 



 



2

ˆ

4.934

1.395

3.003 m

a

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 

2. No problema anterior, determine a velocidade e a aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é  = 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s2_.





ˆ

0 i

4 j

2.977 k rad s



    





ˆ



ˆ

20 0

0.8

0.599 e

i

j

k

 

   



  

 



2

ˆ

0 i

16 j

11.98 k rad s



    

_{ }





_



₀

ˆ

₄

ˆ

_2.977

ˆ

 

_0.178

ˆ

_0.203

ˆ

₀

ˆ



v



   

i

j

 

k

 

i

  

j

k

ˆ

0

4

2.977

0

4

0.178

0.203

0

0.178

0.203 i

j

k

i

j

v 



ˆ

0.608

0.533

0.712 m

v

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 

ˆ

0.178

0.203

0 AD



 

i

  

j

k

v

 



AD



₀

ˆ

₄

ˆ

_2.977

ˆ

 

_0.178

ˆ

_0.203

ˆ

₀

ˆ



v



   

i

j

 

k

 

i

  

j

k

ˆ

0

4

2.977

0

4

0.178

0.203

0

0.178

0.203 i

j

k

i

j

v 



ˆ

0.608

0.533 0 712

m

v

i

j

k

s

 

 

 

  

_{  }

 





D D

a

 



D



A

 



v





ˆ

0

16

11.98

0

16

0.178

0.203

0

0.178

0.203 i

j

k

i

j

D

A













_D

_A



_2.4319

_i

ˆ

_2.13244

ˆ

_j

_2.848

_k

ˆ







 

 









D

A



v

D

 





 



ˆ

0

4.002

2.997

0

4.002

0.608

0.533 0.712 0.608

0.533 i

j

k

i

j

v



 



ˆ

4.447

1.822

2.433 v

i

j

k

  

 







D

a

 



D



A

 



v

ˆ

2.4319

2.13244

2.848 ˆ

ˆ

4.447

1.822

2.433 a

i

j

k

i

j

k

 

 

 



 



2

ˆ

6.8789

0.31044

0.415 m

a

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 

3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de

C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do

vértice F. Pontos P x y z P(x,y,z) A 0 0.1 0 (0,0.1,0) B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1) C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2) D 0.35 0 0 (0.35,0,0) F 0 0 0.2 (0,0,0.2)



0.35, 0.1, 0.2

 

0, 0.1, 0



AC

  

C

A

AC







0.35, 0.2, 0.2



AC 



ˆ

0.35

0.2

0.2 AC



 

i

 

j



k





2 2 2

0.35

0.2

0.45 AC



 





AC



0.35_ˆ 0.2 _ˆ _{0.2 ˆ} ˆ ˆ 0.45 0.45 0.45 AC e e i j k AC     

ˆ

ˆ 0.778

0.444

0.444 e



 

i

 

j



k



ˆ



ˆ

9 0.778

0.444

0.444 e

i

j

k

 

    



 

 







ˆ

7.002 i

3.996 j

3.996 k rad s





 

 





0, 0, 0.2

 

0, 0.1, 0



AF

  

F

A

AF





(6)

6 

0, 0.1, 0.2



AF   

AF

  

0 i

ˆ

0.1  

ˆ

j

0.2 

k

ˆ

F

v

 



AF



_7.002 ˆ _3.996 ˆ _3.996 ˆ

 

₀ ˆ _0.1 ˆ _0.2 ˆ



v  i  j    k i  j k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0 0.1 0.2 0 0.1 i j k i j v     

ˆ

0.3996

1.4 0 7

F

m

v

i

j

k

s

 

 

 

_{     }

 





F

a

 



F



A

 



v

0 



 





F



A





0 





F

A



v

F

 





 



ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4 F i j k i j v



        

ˆ

8.39

3.304

11.399

F

v

i

j

k







 

 







0 F F

a

 



F



A

 



v

2

ˆ

8.39

3.304

11.399 m

a

i

j

k

s

 



 

 

_{  }

 

4. No problema anterior, use  = 9 rad/s e decresce à razão de 13.5 rad/s2_{, encontre a velocidade e aceleração do} vértice H.

5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando sua aceleração alcançar 3 m/s2_{. Se a placa parte do repouso em}

t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s2_{, determine} o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco começar a escorregar; r = 200 mm. 2 2 2

3

R N T R

m

a

s









2

4 0.2

0.8

T T T

m

a

r

a

s



  

 





2 2 2 2 2

3

N T N

9 0.8

N

2.891 m

a

s















2 2.891 3.801 0.2 N N a rad a r r s             0

t

  



 

3.801 3.801 0 4

0.95

4 t

t

s

t

s

    

 

6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s2_{. Sabendo-se que r =} 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s. 2 2 R N T

a



a



a

2

0.5 0.2

0.1

T T T

m

a

r

a

s



  









0

0rad s





2 0

0

_N _N

0 t

 

a





 

r

a



2

0.1

R T R

m

a

s







1 t 

0

0 0.5 1

0.5 rad

t

s

  



    



  



2 2 2

1

_N _N

0.5 0.2

_N

0.05 rad

t

a

r

a

s



 



 









2

0.1

T T

m

a

r

a

s



  



2 2 2 2 2

0.05

0.1

0.118

R R N T R R

m

a

s













0

0.1

2

63.43

0.05

T N

a

tg

arctg

a











 



 



2 t  

a

_T

r

a

_T

0.1 m

₂

s



  



0

0 0.5 2

1 rad

t

s

  



    



  



2 2 2

2

_N _N

1 0.2

_N

0.2 rad

t

a

r

a

s



 



 

 





2 2 2 2 2

0.2

0.1 0.2236

R R N T R R

m

a

s













0 0.1 1 26.56 0.2 2 T N a tg tg arctg a       _{ }    B A  α N

a

R

a

T

a



N

a

R

a

T

a



(7)

7

7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um

eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice E. Pontos P x y z P(x,y,z) A 0 0.225 0 (0,0.225,0) B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3) C 0 0 0.3 (0,0,0.3) D 0 0 0 (0,0,0) E 0.5 0 0 (0.5,0,0)



0.5, 0, 0.3

 

0, 0.225, 0



AB

  

B

A

AB







0.5, 0.225, 0.3



AB 



ˆ

0.5

0.225

0.3 AB



 

i

 

j



k





2 2 2

0.5

0.225

0.3

0.625 AB



 





AB



m

0.5 _ˆ

0.225 _ˆ

_{0.3 ˆ}

ˆ

0.625

0.625 AB

e

i

j

k

AB



 





ˆ

ˆ 0.8

0.36

0.48 e



 

i

 

j



k



ˆ



ˆ

10 0.8

0.36

0.48 e

i

j

k

 

   





 

 







ˆ

8 i

3.6 j

4.8 k rad s



  

 





0.5, 0, 0

 

0.5, 0, 0.3



BE

  

E

B

BE







0, 0, 0.3



BE 



ˆ

0

0.3 BE

    

i

j



k

E

v

 



BE



₈

ˆ

_3.6

ˆ

_4.8

ˆ

 

₀

ˆ

₀

ˆ

_0.3

ˆ



v

  

i

 

j

     

k

i

j



k

ˆ

8

3.6 4.8 8

3.6

0

0 0.3 0

0 i

j

k

i

j

v 



ˆ

1.08

2.4

0

E

m

v

i

j

k

s

 



 

_{    }

 









a

 



E



B

 

 



E



B

0 



 





F



A





0 





E

B



v

E

 





 



ˆ

8

3.6 4.8 8

3.6

1.08

2.4 0 1.08

2.4

E

i

j

k

i

j

v









ˆ

11.52

5.184

23.088

E

v

i

j

k







 











0 E E v

a

 



E



B

 

 



E



B

2

ˆ

11.52

5.184

23.088

E

m

a

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 

8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e decresce a taxa de 20 rad/s2_.

9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas. Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se:

(a) a aceleração angular do rotor. (b) o tempo total do movimento.

1800

30

60 f



rpm

 

f

Hz

 

f

Hz

0 0 0 188.5

2 f

2

30

60 rad

s







 

















3926.99

2 n

2

625 1250

rad













 

   



  

2 2 2 0 0 0

2

2 



 







     



(8)

8 



2 ₂ 2 4.524

60 3600

1.44 2 1250

2500

rad

s











 

  



0 188.5 0 188.5 4.524 41.67 4.524 t t t t s

  

          

10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a aceleração do movimento é uniforme, determine o número de voltas dado pelo rotor:

(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm. (b) estando em 2400 rpm, até parar.

11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmente no sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco

A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se:

(a) as acelerações angulares de cada disco. (b) a velocidade final do ponto de contato.

Determinando a freqüência angular inicial e final do disco A: 0 0 0 0 450 2 2 47.12 60 A A A A rad f s







 







 





140

2

14.66

60

f f f f A A A A

rad

f

s

























Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm. Depois fica com MCU a 140 rpm:

 MCUVR: 2 14.66 47.12 14.66 47.12 6 5.41 6 A A A rad s              MCU:

14.66 0.08

1.17

A f A A P A A P P

m

v

r

v

s





 









Disco B possui os movimentos:

1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s. MCUVA.

2. Mantem movimento uniforme. MCU.

 MCU: Neste segundo movimento, as velocidades tangenciais de B e A serão iguais:

1.17

A B B P P P

m

v

s







 MCUVA:

1.17

0.12

B f f f P B B B B

v





 

r













9.75 f B rad s  

Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade angular f B



em 6 s: 0 0 f f B B B B B t B t











 



  2

9.75 0

1.63

6

B B

rad

s













12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração constante aA = 300 mm/s2 e velocidade inicial vA = 240 mm/s, ambas de baixo para cima. Determine:

(a) o número de revoluções executadas pela polia em t = 3 s.

(b) a velocidade e a posição de B em 3 s. (c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.

 Polia menor:

0.3

0.12

A A T T A A A A A

a

r





 







2

2.5

A

rad

s





0 0 0 0 0

0.24

0.12

A A A A A A A

v

r





 







0A

2.0 rad

s





2 0 0

1

2

A

t

A

t

  

 

 





2 0 0

1

2

A

t

A

t

 

   

 

 





2 0 0

1

2

A

t

A

t

 

   

 

 





2

1 2 3

2.5 3

2 

   



A 120 mm B 80 mm

(9)

9

2.75

17.25

2 rad

rev





 

  

 Polia maior: 0_A

2.0

0_B

rad

s







2

2.5

A B

rad

s







0_B

2 2.5 3

B B

t

B











 



 



9.5

B

rad

s





9.5 0.18

1.71

B B B B B

m

v

r

v

s





 











2 0 0

1

2

B

t

B

t

 

   

 

 





2

1 2 3

2.5 3

17.25

2 rad



   

   

17.25 0.18

3.10571

B B B B

s



r

s

m

     



 



 Aceleração em D: 2 2.5 D T D B D A rad a r s



    

2.5 0.18

D D T D B T

a





 

r

a







0.45

₂ D T

m

a

s



2 0

2

D A N D B D

rad

a

r

s





 



2 2

2 0.18

0.72

D D N N

m

a

s

 





2 2 D D D R T N

a



a



a

2 2 2

0.45

0.72

0.849

D D R R

m

a

s









0.45 0.72 D D T N a tg tg a



 





0.625

32 arctg





  



13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular



= 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2_{. No instante ilustrado, o} ponto C está subindo. Pedem-se:

(a) a velocidade no ponto C. (c) a aceleração do ponto C.

Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.56 0 (0,0.56,0) B 0 0 0.8 (0,0,0.8) C 0.56 0 0 (0.56,0,0)



0, 0.56, 0

 

0, 0, 0.8



BA

  

A B

BA







0, 0.56, 0.8



BA 



ˆ

0

0.56

0.8 BA

  

i

 

j



k





2 2 2

0

0.56

0.8

0.976 BA





 



BA



0 _ˆ

0.56 _ˆ

_{0.8 ˆ}

ˆ

0.976

0.976 BA

e

i

j

k

BA



 





ˆ

ˆ 0

0.573

0.819 e

  

i

 

j



k

Como o ponto C está subindo (horário):



ˆ



ˆ

5 0

0.573

0.819 e

i

j

k



        



 







ˆ

0 i

2.865 j

4.095 k rad s



  

 





ˆ



ˆ

4 0

0.573

0.819 e

i

j

k

 

       



 



2

ˆ

0 i

2.292 j

3.276 k rad s



  

 

_{ }





_



0.56, 0, 0

 

0, 0.56, 0



AC

  

C

A

AC







0.56, 0.56, 0



AC 



ˆ

0.56

0 AC



 

i

  

j

k

C

v

 



AC



₀

ˆ

_2.865

ˆ

_4.095

ˆ

 

_0.56

ˆ

_0.56

ˆ

₀

ˆ



C

v

  

i

 

j

 

k

 

i

  

j

k

ˆ

0

2.865 4.095 0

2.865

0.56

0

0.56

C

i

j

k

i

j

v 



ˆ

2.293 2.2932

1.599

C

m

v

i

j

k

s

 



 

_{  }

 

C C

a

 



AC

 



v

D T

a

D N

a

D D R

a



z

x

y

B

A

C

0.56 m 0.80 m 0.56 m

D

E

(10)

10 ˆ

ˆ

0 2.292 3.276 0

2.292

0.56

0

0.56

0.56 i

j

k

i

j

AC









ˆ

1.8346

1.2835

AC

i

j

k







 



ˆ

0

2.865

4.095

0

2.865

2.293

2.293 1.599 2.293

2.293

C

i

j

k

i

j

v









ˆ

13.97

9.389

6.569

C

v

i

j

k





 

 



C C

a

 



AC

 



v

ˆ

1.8346

1.2835

ˆ

13.97

9.389

6.569

C

a

i

j

k

i

j

k



 



 



2

ˆ

12.1354

11.2236

7.8525

C

m

a

i

j

k

s

 

 

 

_{  }

 

14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1 rad/s2_{. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não} escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6.5 m/s2_{. Pedem-se:}

(a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco. (b) o instante que o bloco deslizará.

ˆ

₁

ˆ

j

 

    



0 1 0

ˆ

_j

_t

ˆ

_j

₁

_{t j}

ˆ

 

   







_

 

      





_







ˆ

0.35 r





i

v

 



r



 







ˆ

ˆ ˆ

1

0.35

1

0.35

k

v

t j

i

v

t

j i



   

    



ˆ

0.35 v

 

 

t k

T N a a

a

   



r



v

  

₁

ˆ

_0.35

ˆ

 

₁

ˆ





_0.35

ˆ



a

  

j

     

i

t j

 

t k









ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

1 0.35

0.35

i k

a

j i

t t j k



 

  

 



2 2

ˆ

0.35

0.35 a

 

 

k

    

t

i

a

  

t

i



k





2

ˆ

1 0.35 1

0.35 a t

  

  

i



k



1 

0.35 ˆ

2

m

a t

i

k

s

 

  

 

_{  }

 

2 2 2

ˆ

0.35

_T _N

a

 

 

k

   

t i

a



a





2





2 2 2 2 2 2

0.35

T N

a



a



a



a

 

 



t

2 4

6.5 

0.1225 0.1225 t





4

42.25 0.1225





0.1225 t



4 ₄

42.1275

0.1225

42.1275

0.1225

t

 

 

4

343.897

4.31 t



 

t

s

15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e

B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e

por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no sentido anti-horário. Pedem-se:

(a) a velocidade do anel C;

(b) a velocidade angular da roda inferior B.

(c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel. 6.667 400 400 2 41.887 60 A A A A A rad f rpm f Hz f s            ext ext ext A A C A A C C C A C r v v r r r



       30 41.887 16.534 76 C C rad s



  



  int int int C B C B B C C B C B

r

v

r







 







72

16.534

39.682

30

B B

rad

s













2 ˆ _41.8872 _0.03 ˆ A A N A A N a    r j a    j

y

z

B

0.35 m

A

x

ˆj

ˆk

ˆi

B

A

C

x

y

z