As notações utilizadas em geometria, sobretudo depois da Matemática Moderna, não contribuem para tornar agradável o estudo da geometria. Muito pelo contrário, como são em geral acompanhadas de uma certa tendência para o formalismo, o qual parece ser o pecado original do ensino da geometria, têm sido um obstáculo – embora não o principal, certamente – para a sua revitalização que, embora promovida pelos actuais programas, está ainda longe de concretização.
Assim começava o artigo As notações em geometria, escrito por Eduardo Veloso e publicado no número 42 da Educação & Matemática de Março/Abril de 1997. Com poucas (ou nenhumas) alterações se poderia caracterizar a actual situação, doze anos depois, com um novo programa de matemática para o ensino básico homologado e prestes a entrar em vigor.
O Grupo de Trabalho de Geometria da APM (GTG), numa nova tentativa de promover uma discussão mais alargada e consequente, volta a estas páginas, com o objectivo de contribuir para a discussão e apresentação de uma proposta de notações em geometria escolar que seja simples, clara e sugestiva e que, simultaneamente, evite um formalismo excessivo e os erros abundantes na sala de aula, pelo uso inadequado ou troca dos símbolos envolvidos. Simultaneamente, por entrar brevemente em vigor o novo programa para o ensino básico e, nesse âmbito, estarem a preparar-se quer manuais escolares por parte das editoras, quer documentação de apoio ao professor por parte do Ministério da Educação, este momento pode ser crucial para tomar decisões e fazer recomendações, sob pena de deixar escapar uma oportunidade e um contexto que, tão depressa, não se repetirão.
Assim, defendemos que deve proporcionar-se que os alunos encontrem, nos manuais e no modo como os professores escrevem os seus textos e no quadro, uma razoável uniformidade nas notações, para assim se irem habitualmente a criar hábitos de escrita em textos de matemática. Essas notações devem servir de apoio e não de obstáculo, pelo seu carácter rebuscado e formal, como é agora a situação, à sua aprendizagem da geometria. Além disso, as notações nunca podem ser entendidas como um
objectivo da aprendizagem da geometria, devem facilitar as verdadeiras actividades em geometria mas não substituí-las (por exemplo, se um aluno não seguir fielmente essas notações, pode ser objecto de alguma observação do professor, mas nunca considerar-se que cometeu um erro sujeito a penalização).
O programa
No programa de Matemática que entra em vigor no ano lectivo de 2010/2011, no que respeita às notações, pode ler-se que:
– Os alunos devem ser capazes de ter presente e usar adequadamente as convenções matemáticas, incluindo a terminologia e as notações (pg. 4)
– Na História da Matemática devem salientar-se o contributo de diversos povos e civilizações para o desenvolvimento desta ciência, a sua relação com os grandes problemas científicos e técnicos de cada época, o seu contributo para o progresso da sociedade, e a sua própria evolução em termos de notações, representações e conceitos, proporcionando uma perspectiva dinâmica sobre a Matemática e o seu papel na sociedade (pg. 10);
– [se deve] Solicitar o uso de notações, vocabulário e simbologia de forma consistente (pg. 47).
O número de ocorrências, mas sobretudo não haver sugestões sobre que notação usar ou que domínio da mesma exigir aos alunos, torna este documento insuficiente para esclarecer os professores neste aspecto, pelo que se afigura necessário e urgente a produção de um texto com uma proposta uniformizadora e, na medida do possível, consensual.
Em documentação de apoio ao professor, produzida no âmbito da implementação deste novo programa, afirma-se que:
Os alunos podem usar uma notação simplificada para representar segmentos de recta e seus comprimentos, assim como amplitudes de ângulos e suas medidas. Afirmar que os segmentos de recta AB e CD são congruentes (i.e., AB ≡ CD) é equivalente a afirmar que os comprimentos destes segmentos são iguais (ou seja, AB = CD). Por isso, pode usar-se a mesma simbologia
(simplesmente AB) para representar segmentos de recta e seus comprimentos. Analogamente, afirmar que os ângulos ∠ABC e ∠A’B’C’ são congruentes (i.e., ∠ABC ≡ ∠A’B’C’) é equivalente a afirmar que as medidas das amplitudes destes ângulos são iguais (ou seja, m(∠ABC) = m(∠A’B’C’)). Por isso, pode usar-se a mesma simbologia (simplesmente ∠ABC) para amplitudes de ângulos e suas medidas (ver Coxeter, 1989, p. 264).
Ainda que, neste parágrafo, se explicite um pouco a ideia de que não se deve exigir um formalismo exagerado e que devem ser aceites certos “abusos”, são dados apenas exemplos e focam-se aspectos pontuais, pelo que ainda se está longe de um documento sobre as notações em geometria. Por outro lado, se pode ser verdade que, num certo contexto, são dispensáveis certas distinções, defendemos que deve haver sempre e desde o primeiro instante uma clara distinção entre um objecto e o que nele se pode medir e se certas simplificações poderão conduzir a dificuldades futuras, então são de evitar. Isto é, num determinado texto pode ser indiferente considerar ângulos ou as suas amplitudes mas, matematicamente, trata-se de coisas distintas e, embora defendamos uma simplificação da notação, ela não é defensável se contribuir para confundir ângulo com amplitude do ângulo. Esta confusão poderia instalar-se facilmente porque os hábitos levam, por exemplo, a associar imediatamente a um segmento o seu comprimento, e a um polígono a sua área ou o seu perímetro.
O GTG defende uma simplificação total quando as referências aos objectos geométricos estão incluídas num texto. Assim, recta AB, segmento AB, segmento orientado AB, semi-recta AB, arco AB, arco orientado AB, ângulo ABC, ângulo orientado ABC, ou amplitude do ângulo ABC, seriam totalmente aceitáveis, por serem de interpretação imediata. Contudo, defendemos a necessidade de uma notação paralela mais específica quando os objectos geométricos (ou as medidas, ou outros) são referidos em fórmulas. Por exemplo, ampl(∠ABC) + ampl(∠EFG) = 90°, e não ∠ABC + ∠EFG = 90°.
Também recomendamos que, até ao fim do ensino básico, os textos de geometria sejam o menos formalizados possível, de modo a poder sempre ser adoptada a versão “texto” das notações e não a versão “fórmulas”: o texto, sempre que possível, deve conduzir à compreensão dos objectos designados pelas notações e, portanto, as notações formais a utilizar em fórmulas devem ser pouco utilizadas.
Uma das sugestões feitas nos materiais de apoio ao professor diz respeito a símbolos a usar em figuras, para dar informações de forma abreviada:
Para representar a congruência de segmentos de recta e de ângulos usa-se a simbologia de traços ilustrada na figura. Assim, a congruência dos segmentos AB e BC representa-se por um traço que corta cada um destes segmentos. De modo semelhante, a congruência dos ângulos BAC e ACB é aqui representada por dois traços. O paralelismo das rectas r e BC é representado pelo símbolo >.
Neste aspecto, consideramos que ao professor e aos alunos, em conjunto, deve ser permitido encontrar formas de rápida e claramente assinalar numa figura os dados importantes para resolver uma situação ou problema. Contudo, neste caso particular, não nos parece sugestivo o uso do símbolo “>” para indicar paralelismo e pode até tornar-se confuso – parece o símbolo usado para maior e, sobre um segmento, semi-recta ou recta parece indicar uma direcção, por ficar desenhada uma seta – e moroso – por exemplo se houver, numa mesma figura, que assinalar ou contar vários pares de segmentos (ou semi-rectas ou rectas) paralelos. Comentário análogo para o uso de traços para indicar a congruência.
Que notações?
Embora possam, nalguns casos, ajudar à simples distinção entre objectos, as notações têm uma importância maior quando se pensa na versão “fórmulas” de um texto matemático.
Continuo a não saber propor nada decente para indicar/diferenciar segmento de recta, semi-recta e recta, mas abandonei entretanto a ideia de que isso não seria necessário para os alunos. Pelo contrário, estou cada vez mais convencida que isso pode ser dispensável para os mais velhos mas que, aos mais novos, ajuda a distinguir os objectos o ter-se designações diferentes para eles.
Os polígonos seriam designados pela lista (ordenada, num sentido?) dos seus vértices simplesmente.
Ao contrário do que é a tradição (que conheço) em Portugal, em que um arquinho em cima de AB designa a amplitude do arco AB, propõe-se que se use essa designação para arco e que, consoante o caso, se indique “comp (AB)C)” ou “ampl (AB)C)” nas fórmulas.
O Eduardo perguntava e eu relembro: é de acrescentar o segmento e o sector circular?
Segmentos orientados e vectores indicam-se sobrepondo uma seta à sua designação (uma letra minúscula ou duas letras maiúsculas), como é hábito. Ou seja, pode escrever-se ar ouAB.
Para indicar a medida de uma amplitude sugere-se o uso da expressão “ampl (objecto)”. Assim, no caso de um ângulo ABC sem sentido, a sua amplitude seria indicada como ampl (∠ABC) = 40º. Se quisermos referir a amplitude do ângulo orientado ABC então teremos que indicar ampl (∠ABC) = – 40º ou ampl (∠ABC) = + 40°. Da mesma forma, a escrita ampl (∠ABC) = + 40° implica que o ângulo ABC é orientado, de BA para BC, e que este ângulo tem sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. De forma similar proceder-se-ia com os arcos e os arcos orientados.
De modo análogo, a expressão “comp (objecto)” indicaria o comprimento (de arcos, segmentos, segmentos orientados, …). Exceptua-se nesta regra, pelo uso consagrado e unânime da notação actualmente em vigor, a indicação do
comprimento ou norma de um segmento orientado ou de um vector, que se manteria AB .
Propõe-se que se escreva A (ABC) e P (ABC) para indicar a área e o perímetro, respectivamente, do triângulo ABC e se proceda de modo análogo para outros polígonos: A (quadrado ABCD) ou P (pentágono PQRST), ainda que isso obrigue a identificar o polígono em causa, quer em texto quer em fórmulas.
