8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

(1)

8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA

Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

OBTENÇÃO DE MONTAGENS COM PADRÃO SEIS SIGMA SEM ELEVADOS

CUSTOS DE MANUFATURA

Dr. Bulba, E. A.

Fundação Educacional Inaciana (FEI) Av. Humberto de Alencar Castelo Branco, 3972, São Bernardo do Campo, SP CEP 09850-901

bulba@fei.edu.br

RESUMO

A obtenção de características críticas de qualidade com padrão seis sigma tem se tornado uma tendencia dado o atual estágio de qualidade e competitividade imposto pelo mercado globalizado. Este trabalho vai expor que no caso de montagens de conjuntos, onde a cota resultante depende de uma cadeia de dimensões, este padrão pode ser obtido a um custo relativamente baixo, graças a aplicação do princípio estatístico de que o desvio padrão de uma variável de resposta é o resultado da raiz quadrada da soma das variâncias das variáveis independentes. tal princípio tem influência no sentido de elevar o valor do índice de capacidade da variável de resposta enquanto característica crítica de qualidade, garantindo em muitos casos um padrão seis sigma ou até mais elevado.

(2)

INTRODUÇÃO

Na montagem de um conjunto mecânico temos como resultado uma cadeia de dimensões que provoca um acúmulo de tolerâncias na cota resultante. Há portanto a necessidade de uma análise deste acúmulo de tolerâncias a fim de que o mesmo não comprometa a intercambialidade. Neste trabalho consideraremos que as cotas da cadeia são variáveis independentes e quando sujeitas à análise estatística suas tolerâncias naturais se distribuem segundo uma normal e estão centralizadas com as suas respectivas tolerâncias do projeto. Existem basicamente dois métodos de intercambialidade: o Método da Intercambialidade Total, também conhecido como Método do Pior Caso e o Método da Intercambialidade Parcial também conhecido como Método da Intercambialidade Limitada [1]. O Método da Intercambialidade Total é desprovido de uma análise estatística sendo isto compensado pelo emprego de tolerâncias das variáveis de entrada (cotas independentes) relativamente apertadas. Num sistema linear, a cota resultante é obtida pela somatória das tolerâncias das cotas da cadeia:

∑

=

K i i Y

Tx

T

1

(1)

Em sistemas não-lineares a cota resultante é obtida pela somatória dos produtos das tolerâncias das cotas da cadeia com suas respectivas derivadas parciais:

=

∂

=

∂

∑

1 k Y Xi i i

f

T

X

(2)

Onde Xi

f

∂

_{representa a derivada parcial de cada variável de entrada, também conhecida como coeficiente de}

sensibilidade e é resultado da aplicação do método de linearização através da primeira ordem da série de Taylor [3]. O Método da Intercambialidade Total tem por objetivo a plena intercambialidade na montagem de novos conjuntos ou na substituição de algum componente avariado ao longo da vida útil do conjunto. Neste método é considerado em conformidade qualquer valor dentro do campo de tolerância (inclusive os limites máximo e mínimo de cada tolerância). Para garantirmos intercambialidade dentro desta condição, precisamos definir tolerâncias relativamente estreitas, o que encarece a fabricação. Portanto tal método justifica-se apenas na manufatura de peças em larga escala pois esta produção seriada contribui para diluir o custo de produção. Por outro lado o Método da Intercambialidade Parcial é normalmente empregado em produções de menor escala, onde o custo de produção tem uma parcela significativa na composição do custo final do produto. Neste caso, no que tange às tolerâncias das variáveis de entrada, podemos usar processos de fabricação menos precisos e portanto menos onerosos que aqueles que normalmente seriam empregados no caso de se aplicar o método da intercambialidade total, reduzindo com isto os custos de fabricação. Isto é possível através da aplicação de uma lei básica da estatística: o valor do desvio-padrão da variável de resposta

σ

_Y é obtido a partir da raiz quadrada da soma das variâncias (desvios padrão ao quadrado) das variáveis de entrada e é menor que a simples soma dos desvios-padrão:

2 1 xi K i Y

σ

=

∑

=

(3)

Analogamente,

6 σ

_Y, que é denominado tolerância natural da variável de resposta e corresponde a 99,73% de toda a variabilidade de processo é dada por:

(

)

∑

=

K i Xi Y 1 2

6

6 σ

σ

(4)

estes seis desvios-padrão são distribuídos simetricamente em torno da média da distribuição normal, ou seja, três de cada lado [3]. Para relações funcionais não lineares, a expressão corresponde a:

(3)

( )

∑

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

=

K i xi i Y

x

f

1 2 2

6

6 σ

σ

(5)

No Método da Intercambialidade Parcial para sistemas lineares ou não lineares, uma pequena fração dos conjuntos deverá ser submetida à um retrabalho, haja vista, ao aplicarmos esta lei estatística o objetivo é reduzimos o custo por escolher processos menos precisos, ou seja, selecionamos processos que oferecem uma tolerância natural maior em algumas tolerâncias de cotas da cadeia de dimensões. Para tornar mais claro o Método da Intercambialidade Parcial este trabalho apresentará um exemplo de sua aplicação.

ÍNDICES DE CAPACIDADE

Basicamente os processos de fabricação podem ser resumidos em quatro situações de precisão e exatidão, que estão ilustrados na Figura 1, onde LSE é o limite superior da especificação (por exemplo dimensão máxima) e LIE é o limite inferior da especificação (por exemplo dimensão mínima) :

Fig. 1: Características dos processos quanto a sua precisão e exatidão.

No caso 1 temos um processo exato (centralizado), porém impreciso (muita variabilidade), em 2 o processo é preciso porém inexato, em 3 é inexato e impreciso e em 4 é exato e preciso.

Os índices de capacidade servem para expressar os estados de precisão e exatidão. Um indicador de precisão é o índice de capacidade Cp:

6 T

tolerancia do projeto

Cp

tolerancia natural

σ

=

(6)

Na relação expressa em (6) o numerador é o valor determinístico da tolerância especificada no projeto que é aquilo que o cliente necessita e consta no desenho, enquanto que no denominador temos a tolerância natural que é aquilo que o fornecedor oferece: a variabilidade resultante de todas as peças manufaturadas. Fica evidente que Cp deve ser superior a 1.

Por outro lado, para podermos avaliar a exatidão de um processo de fabricação devemos obter o valor de

k

:

µ

−

µ

−

=

−

(

) 2

2 m

m

k

LSE

LIE

T

(7)

(4)

Onde

m

é o valor central de projeto (por exemplo

(

dmáx

+

dmín

) / 2

). Observe que se a média do processo

µ

for igual a

m

o valor de

k

é nulo e consequentemente o processo é exato. Mas na medida que

k

aumenta, cresce também a inexatidão do processo. O índice

Cpk

mescla informações de precisão e exatidão e é dado por:

=

(1

−

)

Cpk

Cp

k

(8) Via de regra a inexatidão é apenas uma questão de realizar um bom setup, centralizando a ferramenta adequadamente, não sendo portanto um procedimento oneroso. Conforme expresso no início deste trabalho consideraremos os processos como exatos, ou seja consideraremos Cp = Cpk uma vez que se eles não estiverem dentro desta condição de centralização estaremos compromentendo significativamente a intercambialidade [4]. Verificaremos que no Método de Intercambialidade Parcial o valor de alguns

Cp

_Xi pode ser menor que 1, uma vez que pela aplicação da lei estatística apresentada nas equações (4) e (5) podemos ter um ganho no valor de

Cp

_Y. Vejamos isto através de um exemplo.

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTERCAMBIALIDADE PARCIAL

Analizemos um sistema linear com duas variáveis de entrada, o ajuste do sistema ISO 35H5/h4 [5], neste temos a tolerância do furo com o valor de

T

_X₁

=

4 µ

m

e do eixo

T

_X₂

=

3 µ

m

, o que totaliza uma tolerância de ajuste

m

T

_Y

=

_X₁

+

_X₂

=

4 +

3 =

7 µ

, que corresponde à diferença entre a folga máxima e a folga mínima obtida na montagem do par furo/eixo:

m

F

T

Y

=

máx

−

mín

=

7 −

0 =

7 µ

Se os valores das tolerâncias naturais

6 σ

_X₁ e

6 σ

_X₂ fossem 40% maiores que as tolerâncias determinísticas, teríamos baixos e aparentemente comprometedores valores de Cp para o furo e o eixo:

71 ,

0

4 ,

1 .

4

6

1 1 1

=

X X X

T

Cp

σ

e

3 .

1 ,

4

0 ,

71

3

6

2 2 2

=

X X X

T

Cp

σ

a tolerância natural do ajuste

6 σ

_Yresultaria em:

(

) (

)

m

X X Y

σ

µ

σ

(

6 )

(

6 )

4 .

1 ,

4

3 .

1 ,

4

7

6

2 2 2 2 2 1

+

=

+

=

Portanto o valor de

Cp

_Y:

1

7

6 =

=

Y Y Y

T

Cp

σ

Este valor de

Cp

_Yem torno de 1 é o objetivo do método de intercambialidade parcial que é aplicado em produções de pequena escala, uma vez que 99,73% de todos os ajustes estariam em conformidade e apenas 0,27% ou 2700 ajustes por milhão estariam fora da tolerância. Em outras palavras a quantidade de conjuntos fora do especificado e que precisaria de remanufatura seria pequena e de custo muito inferior caso fossem empregados processos mais precisos para manufaturar poucas peças. Daí a conclusão que a economia resultante de se empregar porcessos de fabricação com baixos valores de índices de capacidade no eixo e furo pode ser uma vantajem.

OBTENÇÃO DE MONTAGENS COM ELEVADA QUALIDADE

Para o mesmo exemplo do ajuste do sistema ISO 35H5/h4 vejamos o que ocorreria se empregássemos índices de capacidade unitários:

1

4

6

₁ 1 1

=

X X X

T

Cp

σ

e

3

1

3

6

₂ 2 2

=

X X X

T

Cp

σ

(5)

O valor da tolerância natural do ajuste pode ser ilustrado com um triângulo pitagórico de catetos valendo 4 e 3 e portanto com hipotenusa valendo 5:

m

X X Y

σ

µ

σ

(

6 )

(

6 )

4

3

5

6

2 2 2 2 2 1

+

=

+

=

Note que apenas pela atuação desta lei estatítica básica da raiz quadrada de soma de quadrados a tolerância natural sofreu uma significativa redução se comparada com a tolerância determinística de 7µm.

Daí, a elevação no valor de

Cp

_Y:

(

) (

)

1 2 2 2 2 2 1 2

4

3

7 1, 4

6 ₆

₆

₄

₃

5

Y X X Y Y X X

T

Cp

σ

_σ

+

=

+

Vejamos a esquematização deste exemplo:

Fig. 2: Repressentação esquemática do ajuste 35H5/h4

Da mesma forma, se refizéssemos os cálculos com

Cp

_X₁

=

Cp

_X₂

=

1 ,

4

teríamos o valor de

Cp

_Y

=

2

, que é o padrão seis sigma.

Y

T

sempre será maior que

6 σ

Y, resultado da raiz quadrada da soma dos quadrados das tolerâncias naturais [6],

proprocionando ganhos em

Cp

_Y.

Este ganho em

Cp

_Y será mais acentuado à medida que aumentam: a quantidade das variáveis de entrada, o valor de suas respectivas tolerâncias, e os valores dos coeficientes de sensibilidade. Para ilustrar este fato, considere um caso simplificado em que todas tolerâncias determinísticas sejam iguais entre si

(

T

x

=

T

X₁

=

T

X₂

=

T

X₃

=

...

T

Xk

)

e

iguais às tolerâncias naturais,

(

T

Xi

=

6 σ

Xi

)

e que todos os coeficientes de sensibilidade Xi

f

∂

_{sejam iguais.}

(6)

(

σ

)

= =

∂

≅

⎛

∂

⎞

⎛

∂

⎞

⎛

∂

⎞

_⎜

_⎟

⎜

_∂

⎟

⎜

_∂

⎟

_⎝

∂

_⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

∑

1 2 2 2 ₂ 1

6

K Xi X X i i i i Y K X Xi X i i i i

f

T

k

T

k

T

X

k

Cp

k

f

k

f

_T

_k

k

T

_X

X

(9)

onde

k

é o número das variáveis de entrada. Numa situação prática de acúmulo de tolerâncias é difícil ter coeficientes de sensibilidade e tolerâncias iguais, não obstante esta simplificação ilustra como a relação dada por

Y

Cp

pode facilmente assumir valores elevados e muitas vezes até superiores ao padrão seis sigma, mesmo que os índices de capacidade das variáveis de entrada

Cp

_Xi não sejam muito elevados.

Para ilustrar isto, calculemos

Cp

_Y para o exemplo abaixo:

Fig. 3: Exemplo de cadeia de dimensões com várias cotas.

2 3 4 5 6 7

0,02 0,03

0,08

0,03 0,08

0,04

0,28

Y X X X X X X Y Y

T

=

+

=

+

=

Considerando

T

_Xi

=

6 σ

_Xi, o que resulta em todos

Cp

Xi

=

1

, temos:

(

) (

2

) (

2

) (

2

) (

2

) (

2

)

2 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2

6

6 0,02

0,03

0,08

0,03

0,08

0,04

6 0,129

Y X X X X X X Y Y

σ

=

+

=

+

=

0,28 / 0,129

2,17

Y

Cp

=

Para sistemas não lineares também constatamos este ganho em

Cp

_Y. Vejamos isto através do cálculo de

Cp

_Y

referente ao ângulo reto de uma treliça:

0,04 0,02 1 0,03 2 0,04 0,04 0,05 3 0,01 4 0,03 0,00 0,03 5 0,03 6 0,05 0,04 7 0,00

45

20

55

15

10

5 x

x

+ − − − + + + − + + − − + −

=

(7)

1 2 3

30 0,1

40 0,1

50 0,1

x

mm

x

mm

x

mm

=

±

=

±

=

±

Fig. 4: Representação de uma treliça simples.

2 2 2 1 1 2 3 1 2

cos

2 .

X

Y

X X

−

⎛

+

−

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

1

f

x

∂

=

2

f

x

∂

=

3

f

x

∂

=

∂

₌

∂

₌

∂

₌

∂

₁

0,025

∂

₂

0,033

∂

₃

0,042

f

x

∂

=

+

∂

= −

×

+ −

×

+

×

=

1 2 3 1 2 3

0,025

0,2

0,033

0,2

0,042

0,2

0,02

Y Y

f

T

Tx

x

T

rad

Na sequencia, os cálculos estatísticos: 2 − 1 x2 1 2 x12+x22−x32

(

)

x12⋅x2

(

)

⋅ −

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

4 x1 2 x22−x32 +

(

)

2 x12⋅x22

(

)

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

1 2 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎠ ⋅ −2 1 x1 1 2 x12+x22−x32

(

)

x1 x2⋅ 2

(

)

⋅ −

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

4 x1 2 x22−x32 +

(

)

2 x12⋅x22

(

)

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

1 2 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎠ ⋅ 2 x3 x1 x2 4 x1 2 x22−x32 +

(

)

2 x12⋅x22

(

)

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

1 2 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎠ ⋅ ⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

(8)

Para o cálculo da tolerância natural, consideremos que cada variável de entrada tenha

Cp

_Xi

=

Cpk

_Xi

=

1 ,

33 .

então, como

T

_X₁

=

T

_X₂

=

T

_X₃

=

0,2

,

6 0,2

0,15

1,33

Xi Xi Xi

T

Cpk

σ

=

(

) (

)

2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2

6

6 0,025.0,15

0,033.0,15

0,042.0,15

6 0,0000141 0,0000245 0,0000397

6 0,00885

Y X X X Y Y Y

f

X

rad

σ

⎛

∂

⎞

⎛

∂

⎞

⎛

∂

⎞

=

_⎜

_⎟

+

_⎜

_⎟

+

_⎜

_⎟

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

=

+

=

+

=

0,02

2,35

6 0,00885

Y Y Y

T

Cp

σ

=

CONCLUSÕES

O aspecto principal que queremos enfatizar neste trabalho é que muitos conjuntos mecânicos já têm como resultado uma qualidade seis sigma mesmo que o cliente e fornecedor não o saibam. A natureza se encarrega de aprimorar o resultado final da montagem. Assim desde que haja um controle estatístico nas tolerâncias naturais das cotas que compõe a cadeia de dimensões e o respectivo estudo de índices dos capacidade, isto muitas vezes será facilmente obtido. Fica o incentivo que os cálculos apresentados aqui sejam realizados ainda na fase de projetos a fim de se conhecer o ganho proporcionado pela lei estatítica da raiz quadrada das tolerâncias naturais elevadas ao quadrado que é aplicada a tempos no Método da Intercambialidade Parcial e que também pode contribuir para a obtenção de montagens com padrão seis sigma sem elevados custos de manufatura. Índices de capacidade de uma relação funcional linear ou não linear

Cp

Y

=

Cpk

Y

≥

2

que representa o padrão seis sigma proporciona não apenas uma

excelente intercambiabilidade mas também podem melhorar várias dimensões da qualidade tais como desempenho, durabilidade e a confiabilidade do produto.

REFERENCIAS

1. Agostinho, O. L., Lirani, J., Rodrigues, A. C. Tolerâncias, Ajustes, Desvios e Análise de Dimensões, Ed. Edgard Blucher, São Paulo, 1990.

2. Banks, J., Principles of Quality Control, John Wiley & Sons, First Edition, Georgia Institute of Technology, New York, 1989.

3. SHEWHART, W. Economic control of quality of manufacturing product, New York, Van Nostand, 1931.Y 4. JURAN, J. M. Quality control handbook, New York, Mc Graw-Hill, 1988.

5. ABNT NBR-6158 “Sistemas de Tolerâncias e Ajustes” 1994