Difeomorfismos que preservam volumee problemas elípticos

Texto

(1)Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Rio São Francisco. Difeomorfismos que Preservam Volume e Problemas Elípticos. MATEMÁTICA. A ciência do infinito. Julio Cesar de Souza Almeida. Maceió, 15 de fevereiro de 2007.

(2) Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Disserta¸cão de Mestrado. Difeomorfismos que Preservam Volume e Problemas El´ıpticos. Julio Cesar de Souza Almeida Orientador: Prof. Dr. Adán José Corcho Fernández. Maceió, Brasil Fevereiro 2007 1.

(3)

(4) Agradecimentos Primeiramente a Deus, por tudo. Ao professor Adán pela orienta¸cão. Aos meus colegas de turma Clarissa Codá, Maria Andrade, Thales Vieira e Thiago Fontes, pela conversas matemáticas e amizade. Aos meus colegas de sala de estudo André Pizzaia, Daniel Nicolau e Marcius Petrúcio. A todos os professores do Programa de Pós Gradua¸cão em Matemática da UFAL, que contribu´ıram de forma significativa na minha forma¸cão acadêmica, com conversas matemáticas e não matemáticas. Aos professores Krerley Oliveira, Fernando Codá e Eduardo Texeira pelas sugestões na elabora¸cão deste trabalho. Aos professores da UFES Jamil Ferreira e José Antônio da Rocha Pinto, pelo apoio e forma¸cão acadêmica. Agrade¸co à Maria Marta Farias de Sousa, pelas Corre¸cões ortográficas, e ao professor Hilário Alencar, pelo grande apoio. Agrade¸co em especial ao meus pais Alci Felicio de Almeida e Edimar Maria de Souza Almeida , as minhas irmãs Priscilla de Souza Almeida e Doriana Martins da Silva e a minha namorada Maria Marta Farias de Sousa, que contribu´ıram de forma valios´ıssima para o meu crescimento. Agrade¸co à FAPEAL, pelo apoio financeiro no per´ıodo de 04/2005 a 02/2007. 2.

(5) 3.

(6) Resumo O fato de que o problema de Neumann possui solu¸cão uńica quando estudo em adequados espa¸cos de Hölder, nos permite resolver problemas el´ıpticos até agora tratados com dados iniciais infinitamente diferenciáveis. De posse da existência e da unicidade da solu¸cão do problema de Neumann, encontra-se uma fun¸cão que se anula na fronteira do conjunto onde esta fun¸cão está definida e cujo divergente é igual a uma fun¸cão dada. Esta u´ltima afirma¸cão nos permite determinar um difeomorfismo que preserva a fronteira e tal que o determinante da diferencial é igual a uma fun¸cão inicial. A partir da´ı, dados um dom´ınio limitado do espa¸co euclidiano de dimensão n e duas n-formas tais que suas fun¸cões coeficientes são positivas, então, sob algumas hipóteses de regularidade, existe um difeomorfismo definido nesse dom´ınio tal que o pull-back de uma das formas por esse difeomorfismo é proporcional à segunda forma. A constante de proporcionalidade vem dada pelo quociente das integrais das formas, calculadas em todo o dom´ınio. O resultado acima pode ser escrito em uma forma mais anal´ıtica. Após essa reformula¸cão, verifica-se que o mesmo é uma conseqüência do resultdo descrito a seguir. Dados um dom´ınio limitado e uma fun¸cão positiva definida no fecho deste de forma tal que a integral da mesma neste dom´ınio seja igual ao volume do mesmo, então, adicionando algumas hipóteses de regularidade,. 4.

(7) existe um difeomorfismo tal que, para todo ponto do interior do conjunto, o determinante da derivada desse difeomorfismo é igual a fun¸cão dada. Além disso, esse difeomorfismo preserva pontualmente a fronteira do conjunto. Como conseqüência podemos construir difeomorfismos que preservam volume com valor de fronteira dado.. Palavras-chave: Análise Funcional e Equa¸cões El´ıpticas.. 5.

(8) Introdu¸c˜ ao Sejam Ω um dom´ınio (aberto e conexo) limitado de Rn e γ e β duas n-formas,. γ = f (x)dx1 · · · dxn. e β = g(x)dx1 · · · dxn ,. com f, g > 0 em Ω. Neste trabalho provaremos que, com certas hipóteses de regularidade sob Ω, f e g, existe um difeomorfismo ϕ : Ω → Ω, deixando invariante pontualmente a fronteira ∂Ω do conjunto Ω e tal que. ϕ∗ β = λγ, R R onde λ = ( β) ( γ) e ϕ∗ β denota o pull-back da forma β pelo difeomorfismo ϕ. De forma mais precisa, provaremos o seguinte resultado: Teorema 0.1. Sejam k ≥ 0 um inteiro, 0 < α < 1 e Ω tal que sua fronteira ∂Ω possui regularidade C k+3,α . Se f, g ∈ C k,α (Ω) s˜ ao estritamente positivas em Ω, então existe um difeomorfismo ϕ ∈ Dif k+1,α (Ω) satisfazendo o seguinte problema de fronteira   g(ϕ(x)) det ∇ϕ(x) = λf (x),. se x ∈ Ω,.  ϕ(x) = x,. se x ∈ ∂Ω. 6. (1).

(9) Acima, C k,α (Ω) denota o clássico espa¸co de H¨ older e Dif k,α (Ω) denota o conjunto dos difeomorfismos (homeomorfismos, se k = 0) ϕ : Ω → Ω tais que ϕ, ϕ−1 ∈ C k,α (Ω, Rn ). O Teorema 0.1 foi estabelecido por Dacorogna e Moser (ver [4]) e é uma versão mais forte de resultados conhecidos. Por exemplo, resultados similares foram demonstrados por Moser (ver [10]) para formas de volume em uma variedade suave, compacta e sem bordo e por Banyaga (ver [3]) para variedades com bordo, no caso C ∞ . Uma aplica¸cão do Teorema 0.1 é a possibilidade de construir difeomorfismos que preservam volume com valor de fronteira dado, em outras palavras, se Ω é como nas hipóteses do Teorema 0.1 e ψ0 ∈ Dif k+1,α (Ω), então existe ψ ∈ Dif k+1,α (Ω) tal que   det ∇ψ(x) = 1, se x ∈ Ω,  ψ(x) = ψ0 (x),. (2). se x ∈ ∂Ω.. Para ver isso basta usar o Teorema 0.1 com g = 1 e f = det ∇ψ0−1 ; da´ı λ = 1 e podemos achar ϕ satisfazendo (1). Encontramos uma solu¸cão para a equa¸cão (2) definindo ψ = ϕ ◦ ψ0 . Este tipo de problema tem um papel importante na constru¸cão de transforma¸cões que preservam volume com órbitas periódicas e transforma¸cões ergódicas pré-escritas, como se pode ver nos trabalhos de Alpern [1] e AnosovKatok [2]. A monografia aqui presente está estruturada do seguinte modo.. No. Cap´ıtulo 1 definimos concretamente os Espa¸cos de Hölder, os quais serão nosso ambiente de trabalho, e provaremos algumas de suas propriedades fundamentais. O Cap´ıtulo 2 será dedicado ao estudo do problema de Dirichlet nos espa¸cos de Hölder. 7.

(10) Os resultados obtidos neste cap´ıtulo combinados com os de Análise Funcional, apresentados no Cap´ıtulo 3, serão fundamentais no Cap´ıtulo 4, onde se generalizam algumas das propriedades estabelecidas para o problema de Dirichlet e, além disso, se garante a existência de solu¸cões para o problema de Neumann, fazendo-se uso do “Método Cont´ınuo”para operadores lineares e de um clássico teorema conhecido como “Alternativa de Fredholm”. Z Por u ´ltimo, no Cap´ıtulo 5, mostraremos que se f (x)dx = Vol, onde Ω Ω. e f são como no Teorema 0.1, então existe u ∈ Dif k+1,α (Ω) tal que   det ∇u(x) = f (x), se x ∈ Ω, se x ∈ ∂Ω..  u(x) = x,. Este trabalho foi baseado no artigo On a partial differential equation involving the Jacobian determinant, Ann. Inst. Henri Poincaré. Vol7, n0 1, 1990, p. 1-26.. 8.

(11) Sum´ ario. 1 Espa¸cos de H¨ older. 10. 2 O Problema de Dirichlet nos Espa¸cos de H¨ older. 16. 3 T´ opicos de An´ alise Funcional. 28. 3.1. O Método Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 3.2. A Alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3.3. Operadores El´ıpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 4 O Problema da Derivada Obl´ıqua. 41. 4.1. Estimativas de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 4.2. O Problema de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 5 Uma EDP Envolvendo o Determinate Jacobiano. 9. 55.

(12) Cap´ıtulo 1 Espa¸cos de H¨ older Neste cap´ıtulo definimos com precisão os espa¸cos de Hölder, os quais são subespa¸cos do espa¸co vetorial. ¯ = f :Ω ¯ ⊆ Rn → Rm ; Dβ f é cont´ınua em Ω, ¯ para |β| ≤ k , C k (Ω) com as seguintes nota¸cões: • β = (β1 , β2 , · · · , βn ), • |β| = β1 + β2 + · · · + βn , • Dβ = D1β1 ◦ D2β2 ◦ · · · ◦ Dnβn = ∂xβ11 ◦ ∂xβ22 ◦ · · · ◦ ∂xβnn . Apresentamos algumas das propriedades fundamentais destes espa¸cos, dando especial aten¸cão a sua completude com rela¸cão à norma |·|k,α , definida mais abaixo. Defini¸c˜ ao 1.1. Sejam Ω ⊂ Rn , f : Ω → Rm , x0 ∈ Ω e 0 < α ≤ 1. Dizemos que f é Hölder cont´ınua com expoente α em x0 se [f ]α,x0 = sup x∈Ω x6=x0. |f (x) − f (x0 )| <∞ |x − x0 |α 10.

(13) e que f é uniformemente Hölder cont´ınua com expoente α em Ω se [f ]α,Ω = sup. x,y∈Ω x6=y. |f (x) − f (y)| < ∞. |x − y|α. Além disso, f é dita localmente H¨ older cont´ınua com expoente α em Ω se for uniformemente cont´ınua Hölder com expoente α em subconjuntos compactos de Ω. Observa¸c˜ ao 1.1. Notemos que para α = 1 a no¸c˜ ao de uniformemente H¨ older cont´ınua coincide com a defini¸c˜ ao de fun¸c˜ ao Lipschitziana. Defini¸c˜ ao 1.2 (Espa¸cos de H¨ older). Sejam Ω ⊂ Rn um aberto e k um in ¯ C k,α (Ω) , é teiro não negativo. O espa¸co de H¨ older, denotado por C k,α (Ω) ¯ C k (Ω) consistindo das fun¸c˜ definido como o subespa¸co de C k (Ω) oes que possuem derivadas parciais de ordem k uniformemente H¨ older cont´ınuas (local¯ (em subconjuntos compactos de Ω). mente Hölder continua) com expoente α em Ω Por simplicidade, quando 0 < α < 1, escrevemos ¯ = C α (Ω) ¯ C 0,α (Ω). e. C 0,α (Ω) = C α (Ω).. Além disso, faremos uso das seguintes nota¸c˜ oes ¯ = C k (Ω) ¯ C k,0 (Ω). e. C k,0 (Ω) = C k (Ω).. ¯ ent˜ ¯ Exemplo 1.1. Seja B ⊂ Rn uma bola. Se u ∈ C ∞ (B), ao u ∈ C k,α (B) para todo inteiro k ≥ 0 e 0 < α ≤ 1 Demonstra¸cão. Com efeito, se |β| = k e x 6= y, pela Desigualdade do Valor Médio, temos que

(14) β

(15)

(16)

(17)

(18) D u(x) − Dβ u(y)

(19)

(20) Di Dβ u(ξ)

(21) |x − y| ≤ sup ≤ C; |x − y|α |x − y|α 1≤i≤n ξ∈[x,y]. portanto [Dβ u]α,Ω < ∞. 11.

(22) ¯ definimos as seguintes seminormas: No espa¸co C k,α (Ω) [u]k,0,Ω = |Dk u|0,Ω := sup sup |Dβ u|, |β|=k Ω k. (1.1) β. [u]k,α,Ω = [D u]α,Ω := sup [D u]α,Ω , |β|=k. e a partir dessas seminormas, definimos as normas. |u|C k (Ω) ¯ = |u|k,Ω :=. k X. k X. [u]j,0,Ω =. j=0. |Dj u|0,Ω , (1.2). j=0. k |u|C k,α (Ω) ¯ = |u|k,α,Ω := |u|k,Ω + [u]k,α,Ω = |u|k,Ω + [D u]α,Ω .. Se Ω é limitado e denotamos por d = diam(Ω) o diâmetro do conjunto Ω, é conveniente definir as normas a seguir: , |u|,C k (Ω) ¯ = |u|k,Ω :=. k X j=0. dj [u]j,0,Ω =. k X. dj |Dj u|0,Ω (1.3). j=0. , , k+α |u|,C k,α (Ω) [u]k,α,Ω = |u|,k,Ω + dk+α [Dk u]α,Ω ¯ = |u|k,α,Ω := |u|k,Ω + d. ¯ | · |k,α . Provaremos agora a completude do espa¸co C k,α (Ω), ¯ | · |k,α é um espa¸co de Banach. Teorema 1.1. O espa¸co C k,α (Ω), k,α ¯ Demonstra¸cão. Seja {un }∞ (Ω) tal que lim |un − um |k,α = 0. Com n=1 ⊂ C m,n→∞. isso, |un − um |k + sup sup |β|=k x6=y.

(23) β

(24)

(25) D (un − um )(x) − Dβ (un − um )(y)

(26) |x − y|α. −→ 0.. (1.4). Como o espa¸co C k (Ω) é completo, existe u ∈ C k (Ω) tal que |un − u|k → 0. Da´ı, para mostrar que |un − u|k,α → 0, basta mostrar que sup sup |β|=k x6=y.

(27) β

(28)

(29) D (un − u)(x) − Dβ (un − u)(y)

(30) |x − y|α 12. −→ 0..

(31) Primeiro observe que, dado > 0, existe n0 () ∈ N tal que n ≥ n0 implica

(32)

(33)

(34)

(35) sup sup

(36) Dβ un (x) − Dβ u(x)

(37) = sup sup

(38) Dβ (un − u)(x)

(39) < , |β|≤k Ω. |β|≤k Ω. pois |un − u|k → 0. Assim, para cada ´ındice β tal que |β| ≤ k e para todo x ∈ Ω, temos

(40) β

(41)

(42) D un (x) − Dβ u(x)

(43) < . Portanto, para cada ´ındice β, lim Dβ un (x) = Dβ u(x), onde o limite é unin→∞. forme. Finalmente, de (1.4) temos que existe n1 () ∈ N tal que para todos m, n ≥ n1 vale que. sup sup.

(44) β

(45)

(46) D (un − um )(x) − Dβ (un − um )(y)

(47) |x − y|α. |β|=k x6=y. logo lim sup sup. < ,.

(48) β

(49)

(50) D (un − um )(x) − Dβ (un − um )(y)

(51) |x − y|α. m→∞ |β|=k x6=y. ≤ .. De onde se segue que

(52)

(53)

(54)

(55)

(56) lim Dβ (un − um )(x) − lim Dβ (un − um )(y)

(57) m→∞ sup sup m→∞ α |x − y| |β|=k x6=y. = sup sup.

(58) β

(59)

(60) D (un − u)(x) − Dβ (un − u)(y)

(61). |β|=k x6=y. |x − y|α. ≤ .. Com isso, temos lim sup sup. m→∞ |β|=k x6=y.

(62) β

(63)

(64) D (un − u)(x) − Dβ (un − u)(y)

(65) |x − y|α 13. = 0..

(66) Portanto, dado > 0 existe n2 () ∈ N tal que, para todo n > n2 , temos |un − u|k,α < . Usando a desigualdade triangular, obtemos |u|k,α < + |un |k,α , ∀n ≥ n2 . Logo ¯ lim |un − u|k,α = 0 e u ∈ C k,α (Ω).. n→∞. Observa¸c˜ ao 1.2. Neste trabalho estaremos interessados somente em dom´ınios 0 0 ¯ ⊆ C k,α (Ω) ¯ sempre que Ω onde é válida a rela¸cão de inclus˜ ao C k ,α (Ω). k + α ≤ k 0 + α0 . Por exemplo, em conjuntos convexos, pela Desigualdade do Valor Médio, esta propriedade é sempre satisfeita. Defini¸c˜ ao 1.3. Um dom´ınio limitado Ω ⊂ Rn é dito de classe C k,α (ou com fronteira C k,α ), 0 ≤ α ≤ 1, se para cada ponto x0 ∈ ∂Ω existem uma bola B = B(x0 , r) e uma aplica¸cão bijetiva ψ : B → D ⊂ Rn tal que: (i) ψ(B ∩ Ω) ⊂ Rn+ ; (ii) ψ(B ∩ ∂Ω) ⊂ ∂Rn+ ; (iii) ψ ∈ C k,α (B) e ψ −1 ∈ C k,α (D). Dizemos que Ω tem uma parti¸c˜ ao de fronteira T ⊂ ∂Ω de classe C k,α se em cada ponto x0 ∈ T , existe uma bola B = B(x0 , r) em que as condi¸c˜ oes acima s˜ ao satisfeitas e tal que B ∩ ∂Ω ⊂ T . Além disso, uma fun¸c˜ ao ϕ definida em T é dita de classe C k,α (T ) se, para cada ponto de T , tem-se ϕ ◦ ψ −1 ∈ C k,α (D ∩ ∂Rn+ ). 14.

(67) A seguir enunciamos uma desigualdade de interpola¸cão e um resultado de extensão para fun¸cões ϕ ∈ C k,α (∂Ω). Tais resultados serão fundamentais a partir do Cap´ıtulo 4. Proposi¸c˜ ao 1.1. Suponha j + β < k + α, com α, β ∈ [0, 1] e j, k inteiros ¯ n˜ ao negativos. Seja Ω ∈ C k,α um dom´ınio em Rn e assuma que u ∈ C k,α (Ω). Ent˜ ao, para > 0 e alguma constante C = C(, k, j), temos |u|j,β,Ω ≤ C |u|0,Ω + |u|k,α,Ω .. (1.5). Proposi¸c˜ ao 1.2. Sejam Ω um dom´ınio de classe C k,α em Rn , k ≥ 1, e Ω0 um ¯ Se ϕ ∈ C k,α (∂Ω), ent˜ aberto contendo Ω. ao existe uma fun¸c˜ ao Φ ∈ C0k,α (Ω0 ) tal que Φ|∂Ω = ϕ. Para ver os detalhes das demonstra¸cões das proposi¸cões 1.1 e 1.2 referimos ao leitor o Cap´ıtulo 6 de [6].. 15.

(68) Cap´ıtulo 2 O Problema de Dirichlet nos Espa¸cos de H¨ older Neste cap´ıtulo estudaremos o problema clássico de Dirichlet em um dom´ınio Ω considerando o potencial Newtoniano nos espa¸cos de Hölder. De maneira mais precisa, faremos estimativas para o potencial Newtoniano w de uma fun¸caõ f , isto é, Z Γ(x − y)f (y)dy,. w(x) = Ω. onde Γ denota a fun¸cão de Green para a equa¸cão de Laplace (∆u = 0), ou seja,    . 1 |x|2−n , n ≥ 3, n(2 − n)ω n Γ(x) =  1   log |x|, n = 2, 2π n−1 ´ com ωn = Area(S ). Os resultados que apresentaremos serão fundamentais no Cap´ıtulo 4, onde abordaremos o problema de Newmann. Come¸camos demonstrando os seguintes resultados clássicos de regularidade. 16.

(69) Lema 2.1. Sejam f uma fun¸cão limitada e integr´ avel em Ω e w seu potencial Newtoniano. Então w ∈ C 1 (Ω) e, além disso, Z Di Γ(x − y)f (y)dy, Di w(x) =. i = 1, · · · , n,. (2.1). Ω. para todo x ∈ Ω. Z Di Γ(x − y)f (y)dy. Vamos provar que v ≡. Demonstra¸cão. Defina v(x) := Ω. Di w. Para verificar isto, definimos a fun¸cão auxiliar η ∈ C 1 (R) de forma tal que 0 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ η 0 ≤ 2 e η(t) =.   0, para t ≤ 1,  1, para t ≥ 2.. Além disso, usaremos a seguinte nota¸cão: η (t) = η( t ). Z Γ(x − y)η (|x − y|)f (y)dy e observamos Para > 0, definimos w (x) := Ω. que w ∈ C 1 (Ω) e Z v(x) − Di w (x) =. Di {(1 − η (|x − y|)) Γ(x − y)} f (y)dy. |x−y|≤2. Dessa forma, temos que. 2 |v(x) − Di w (x)| ≤ sup |f | |Di Γ| + |Γ| dy |x−y|≤2  2n  , se n > 2 n−2 ≤ sup |f |  4(1 + |log 2|), se n = 2. Z. . Conseq¨ uentemente, em subconjuntos compactos de Rn , temos que lim w = w e lim Di w = v, →0. →0. onde os limites são uniformes. Portanto w ∈ C 1 (Rn ) e Di w = v.. 17.

(70) Lema 2.2. Sejam f limitada e localmente H¨ older cont´ınua (com expoente α ≤ 1) em Ω e w o potencial Newtoniano de f . Ent˜ ao w ∈ C 2 (Ω), ∆w = f e, para todo x ∈ Ω, temos Z Dij w(x) = Dij Γ(x − y)(f (y) − f (x))dy Ω0 Z − f (x) Di Γ(x − y)νj (y)dsy , i,j=1,· · · ,n.. (2.2). ∂Ω0. Acima Ω0 é um dom´ınio que contém Ω no qual vale o Teorema da divergência e f é extendida a Ω0 , sendo nula no exterior de Ω. Demonstra¸cão. Defina Z Z Dij Γ(x − y)(f (y) − f (x))dy − f (x) u(x) =. Di Γ(x − y)νj (y)dsy .. ∂Ω0. Ω0. Z Se v = Di w e v (x) =. Di Γη f (y)dy, então, para suficientemente Ω. pequeno, temos Z Dj (Di Γη )f (y)dy. Dj v (x) = ZΩ. Dj (Di Γη )(f (y) − f (x))dy Z + f (x) Dj (Di Γη )dy Ω0 Z = Dj (Di Γη )(f (y) − f (x))dy Ω0 Z Di Γνj (y)dsy . − f (x) =. Ω0. ∂Ω0. Com isso, segue-se que

(71) Z

(72) |u(x) − Dj v (x)| =

(73)

(74).

(75)

(76) Dj {(1 − η )Di Γ}(f (y) − f (x))dy

(77)

(78) |x−y|≤2 Z 2 ≤ [f ]α,x |Dij Γ| + |Di Γ| |x − y|α dy |x−y|≤2 n ≤ + 4 [f ]α,x (2)α . α 18.

(79) Conseq¨ uentemente, quando → 0, temos que Dj v (x) converge uniformemente a u em subconjuntos compactos de Ω. E, como em Ω v converge uniformemente a v = Di w, conclu´ımos que w ∈ C 2 (Ω) e u = Dij w. Finalmente, tomando Ω0 = BR (x) em (2.2), conclu´ımos que Z 1 ∆w(x) = f (x) νi (y)νi (y)dsy = f (x). nωn Rn−1 |x−y|=R Isso completa a prova do Lema 2.2. Lema 2.3. Sejam B1 = BR (x0 ), B2 = B2R (x0 ) bolas concêntricas de Rn . Suponha que f ∈ C α (B 2 ), 0 < α < 1, e seja w o potencial Newtoniano de f em B2 . Então w ∈ C 2,α (B 1 ) e

(80) 2

(81) ,

(82) D w

(83). 0,α,B1. ≤ C |f |,0,α,B2 ,. (2.3). onde C = C(n, α). Demonstra¸cão. Pela fórmula (2.2), para todo x ∈ B1 , temos que Z Z Dij w(x) = Dij Γ(x − y)(f (y) − f (x))dy − f (x) Di Γ(x − y)νj (y)dsy . B2. ∂B2. Com isso, [f ]α,x dsy + ωn ∂B2 n ≤ 2n−1 |f (x)| + (3R)α [f ]α,x α ≤ C1 (|f (x)| + Rα [f ]α,x ),. |f (x)| 1−n |Dij w(x)| ≤ R nωn. Z. Z. |x − y|α−n dy. (2.4). B2. onde C1 = C1 (n, α). Seja x um outro ponto de B1 . Escrevendo δ = |x − x| e ξ =. 1 (x − x), 2. temos a seguinte rela¸cão: Dij w(x) − Dij w(x) = f (x)I1 + (f (x) − f (x))I2 + I3 + I4 + (f (x) − f (x))I5 + I6 , (2.5) 19.

(84) onde as integrais Ij , com j ∈ {1, · · · , 6}, são dadas por: Z I1 = (Di Γ(x − y) − Di Γ(x − y))νj (y)dsy , ∂B2 Z I2 = Di Γ(x − y))νj (y)dsy , ∂B2 Z I3 = Dij Γ(x − y)(f (x) − f (y))dy, Bδ(ξ). Z Dij Γ(x − y)(f (y) − f (x))dy,. I4 = Bδ(ξ). Z Dij Γ(x − y)dy,. I5 = B2 −Bδ(ξ). Z (Dij Γ(x − y) − Dij Γ(x − y))(f (x) − f (y))dy.. I6 = B2 −Bδ(ξ). Tais integrais podem ser estimadas da seguinte forma: Z |I1 | ≤ |x − x¯| |DDi Γ(x0 − y)| dsy (para algum ponto x0 entre x e x¯) ∂B2. n2 2n−1 |x − x¯| ≤ ρ α δ 2 n−α ≤ n2 ρ 1 1−n |I2 | ≤ ρ nωn. Z. (pois |x0 − y| ≥ ρ para y ∈ ∂B2 ) (pois δ = |x − x¯| < 2ρ).. dsy = 2n−1 ,. ∂Ω2. Z |I3 | ≤. |Dij Γ(x − y)| |f (x) − f (y)| dy Bδ(ξ). Z 1 [f ] |x − y|α−n dy ≤ ωn α,x B3δ/2 (x) α n 3δ [f ]α,x , = α 2. 20.

(85) n |I4 | ≤ α. . 3δ 2. α [f ]α,x.

(86)

(87) Z

(88)

(89)

(90)

(91) Di Γ(x − y)νj (y)dsy

(92) |I5 | =

(93)

(94)

(95) ∂(B2 −Bδ(ξ) )

(96)

(97) Z

(98) Z

(99)

(100)


(102)

(103) +

(104)

(105) ≤

(106)

(107) ∂B2. ∂Bδ (ξ).

(108)


(110)

(111). 1−n Z 1 δ n−1 ≤ 2 + dsy = 2n nωn 2 ∂Bδ (ξ) Z |I6 | ≤ |x − x¯|. |DDi Γ(x0 − y)| |f (¯ x) − f (y)| dy. ( x0 entre x e x¯). B2 −Bδ(ξ). |f (¯ x) − f (y)| (c = n(n + 5)/ωn ) n+1 dy, , |y−ξ|≥δ |x − y| Z |¯ x − y|α ≤ cδ [f ]α,¯x n+1 dy, , |y−ξ|≥δ |x − y| α Z 3 n+1 ≤ c 2 δ [f ]α,¯x |ξ − y|α−n−1 dy 2 |y−ξ|≥δ α 0 c 3 δ α [f ]α,¯x ≤ 2n+1 c0 = n2 (n + 5) . 1−α 2 Z. ≤ cδ. Usando as estimativas realizadas acima para Ij , j ∈ {1, 2, · · · , 6}, de (2.5) podemos concluir que |Dij w(x) − Dij w(x)| ≤ C2 (ρ−α |f (x)| + [f ]α,x + [f ]α,¯x ) |x − x¯|α ,. (2.6). onde C2 é uma constante dependendo somente de n e de α. A estimativa (2.3) segue diretamente combinando (2.4) e (2.6). Observa¸c˜ ao 2.1. Sejam Ω1 e Ω2 dom´ınios tais que Ω1 ⊂ B1 , Ω2 ⊃ B2 e f ∈ C α (Ω2 ). Se w é o potencial Newtoniano de f em Ω2 , ent˜ ao o Lema 2.3 vale para Ω1 e Ω2 no lugar de B1 e B2 , respectivamente. Teorema 2.1. Sejam Ω um dom´ınio de Rn , u ∈ C 2 (Ω) e f ∈ C α (Ω) tais que ∆u = f em Ω. Então u ∈ C 2,α (Ω) e, para quaisquer bolas concêntricas 21.

(112) B1 = BR (x0 ), B2 = B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω, temos que |u|,2,α,B1 ≤ C(|u|0,B2 + R2 |f |,0,α,B2 ),. (2.7). onde C = C(n, α). Demonstra¸cão. Consideremos primeiro o caso em que a dimensão é maior que 2 (n > 2). Pelo Lema 2.2, para x ∈ B2 , podemos escrever u(x) = v(x)+w(x), onde v é harmônica em B2 e w é o potencial Newtoniano de f em B2 . Por outro lado, pelos Lemas 2.1 e 2.3 temos que R|Dw|0,B1 + R2 |D2 w|,0,α,B1 ≤ R2 |f |,0,α,B2 e R|Dv|0,B1 + R2 |D2 v|,0,α,B1 ≤ C(|u|0,B2 + R2 |f |0,B2 ), onde a u ´ltima desigualdade segue-se de v = u − w. A estimativa (2.7) segue diretamente combinando as estimativas obtidas acima para v e w. Para n = 2, escrevemos u(x1 , x2 , x3 ) = u(x1 , x2 ) e consideramos u como solu¸cão da equa¸cão de Poisson na bola de R3 (Método da Descida de Hadamard). Defini¸c˜ ao 2.1. Seja Ω um subconjunto pr´ oprio de Rn . Se x, y ∈ Ω, sejam dx = dist(x, ∂Ω) e dx,y = min(dx , dy ). Para u ∈ C k,α (Ω), definimos as. 22.

(113) seguintes quantidades:

(114)

(115) [u]∗k,0,Ω = [u]∗k,Ω = sup dkx

(116) Dβ u(x)

(117) ,. k = 0, 1 · · · ;. x∈Ω |β|=k. |u|∗k,Ω = |u|k,0,Ω =. k X. [u]∗j,Ω ;. j=0. [u]∗k,α,Ω =. k+α sup dx,y. x,y∈Ω |β|=k.

(118) β

(119)

(120) D u(x) − Dβ u(y)

(121) |x − y|α. 0 < α ≤ 1;. |u|∗k,α,Ω = |u|∗k,Ω + [u]∗k,α,Ω ; (k). |f |0,α,Ω = sup dkx |f (x)| + sup dk+α x,y x∈Ω. x,y∈Ω. |f (x) − f (y)| . |x − y|α. Nesta nota¸cão temos que [u]∗0,Ω = |u|∗0,Ω = |u|0,Ω . Note que |u|∗k,Ω e |u|∗k,α,Ω são normas dos espa¸cos C k (Ω) e C k,α (Ω), respectivamente. Da defini¸cão acima decorre a propriedade seguinte, a qual será utilizada no Cap´ıtulo 4. Proposi¸c˜ ao 2.1. Suponha j + β < k + α, onde j, k = 0, 1, 2, · · · e 0 ≤ α, β ≤ 1. Seja Ω um aberto de Rn e assuma que u ∈ C k,α (Ω). Ent˜ ao, para > 0 e alguma constante C = C(, k, j), temos [u]∗j,β,Ω ≤ C |u|0,Ω + [u]∗k,α,Ω , |u|∗j,β,Ω ≤ C |u|0,Ω + [u]∗k,α,Ω .. (2.8). Demonstra¸cão. Veja o cap´ıtulo 6 de [6]. Teorema 2.2. Sejam Ω ⊂ Rn um aberto, u ∈ C 2 (Ω) e f ∈ C α (Ω) tais que ∆u = f em Ω. Então |u|∗2,α,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), (2). onde C = C(n, α). 23. (2.9).

(122) (2). Demonstra¸cão. Se |u|0,Ω = ∞ ou |f |0,α,Ω = ∞, então a desigualdade (2.9) é 1 trivial. Caso contrário, para x ∈ Ω, R = dx , B1 = BR (x) e B2 = B2R (x), 3 temos que

(123)

(124)

(125)

(126) dx |Du(x)| + d2x

(127) D2 u(x)

(128) ≤ (3R) |Du|0,B1 + (3R)2

(129) D2 u

(130) 0,B1 ≤ (|u|0,B2 + R2 |f |,0,α,B2 ),. por (2.7). (2). ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ). Com isso, obtemos |u|∗2,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ). (2). (2.10). Para estimar [u]∗2,α,Ω , sejam x, y ∈ Ω tais que dx ≤ dy . Então d2+α x,y. |D2 u(x) − D2 u(y)| ≤ (3R)2+α D2 u α,B1 α |x − y|

(131)

(132)

(133)

(134) + 3α (3R)2 (

(135) D2 u(x)

(136) +

(137) D2 u(y)

(138) ) ≤ C(|u|0,B2 + R2 |f |,0,α,B2 ) + 6 |u|∗2,Ω , (2). ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ),. por (2.7). por (2.10).. No seguinte teorema, Rn+ denotará o conjunto xn > 0, T o hiperplano xn = 0, B1 = BR (x0 ) e B2 = B2R (x0 ) bolas concêntricas de Rn , com x0 ∈ Rn+ , B1+ = B1 ∩ Rn+ e B2+ = B2 ∩ Rn+ . +. Teorema 2.3. Sejam f ∈ C α (B 2 ) e w o potencial Newtoniano de f em B2+ . +. Ent˜ ao w ∈ C k,α (B 1 ) e |D2 w|,0,α,B + ≤ C|f |,0,α,B + , 1. 2. com C = C(n, α).. 24.

(139) Demonstra¸cão. Suponha que B2 intercepta T , pois caso contrário o resultado segue como no Lema 2.3. Observe que a representa¸cão (2.2) vale para Dij w com Ω0 = B2+ . Se i 6= n ou j 6= n, então Z Z Di Γ(x − y)νj (y)dsy = ∂B2+. ∂B2+. Dj Γ(x − y)νi (y)dsy = 0,. pois νi = 0 ou νj = 0. Estimamos Dij w (i ou i 6= 0) exatamente como no Lema 2.3, colocando B2+ no lugar de B2 , Bδ (ξ) ∩ B2+ no lugar de Bδ (ξ) e ∂B2+ − T no lugar de ∂B2 . Para estimar Dnn usamos a equa¸cão ∆w = f e as estimativas feitas para Dkk w, para k = 1, · · · , n − 1. +. +. Teorema 2.4. Sejam u ∈ C 2 (B2+ ) ∩ C 0 (B 2 ) e f ∈ C α (B 2 ) tais que   ∆u(x) = f (x), x ∈ Ω  u(x) = 0, x ∈ T. +. Ent˜ ao u ∈ C 2,α (B 1 ) e |u|,2,α,B + ≤ C(|u|0,B + + |f |,0,α,B + ), 2. 1. (2.11). 2. onde C = C(n, α). Demonstra¸cão. Sejam x, = (x1 , · · · , xn−1 ), x∗ = (x, , −xn ) e defina   f ∗ (x, , x ), se xn ≥ 0 n f ∗ (x) = f ∗ (x, , xn ) =  f ∗ (x, , −x ), se x ≤ 0. n. n. Pelo Teorema 2.1, podemos assumir que B2 intercepta T. Sejam B2− = {x ∈ R; x∗ ∈ B2+ } e D = B2+ ∪ B2− ∪ (B2 ∩ T ). Então f ∗ ∈ C α (D) e |f ∗ |,0,α,D ≤ 2|f |,0,α,B + . 2. 25.

(140) Defina agora Z w(x) =. [Γ(x − y) − Γ(x∗ − y)]f (y)dy. B2+. Z =. [Γ(x − y) − Γ(x − y ∗ )]f (y)dy.. B2+. Com isso, temos que w(x, , 0) = 0 e ∆w = f em B2+ . Note que Z Z ∗ [Γ(x − y )f (y)dy = [Γ(x − y)f ∗ (y)dy, B2−. B2+. donde obtemos que Z. Z Γ(x − y)f (y)dy −. w(x) = 2 B2+ ∗. Z. Definindo w (x) =. Γ(x − y)f ∗ (y)dy.. D. Γ(x − y)f ∗ (y)dy, segue-se que. D. |D2 w|,0,α,B + ≤ C|f ∗ |,0,α,D ≤ 2C ≤ |f |,0,α,B + . 1. 2. Combinando esta u ´ltima desigualdade com o Lema 2.3, temos que |D2 w|,0,α,B + ≤ |f |,0,α,B + . 1. (2.12). 2. Por fim, seja v = u − w. Então ∆v = 0 em B2+ e v = 0 em T . Por reflexão, v pode ser extendida a uma fun¸cão harmônica em B2 e, portanto, a estimativa (2.11) segue da estimativa interior para fun¸cões harmônicas. Defini¸c˜ ao 2.2. Seja Ω um subconjunto pr´ oprio de Rn+ com uma parti¸c˜ ao de fronteira aberta T em xn = 0. Se x, y ∈ Ω, sejam dx = dist(x, ∂Ω − T ) e. 26.

(141) dx,y = min(dx , dy ). Para u ∈ C k,α (Ω), definimos as seguintes quantidades:

(142) k

(143) [u]∗k,0,Ω∪T = [u]∗k,Ω∪T = sup dx

(144) Dβ u(x)

(145) ,. k = 0, 1 · · · ;. x∈Ω |β|=k. |u|∗k,Ω∪T. = |u|k,0,Ω∪T =. k X. [u]∗j,Ω∪T ;. j=0. [u]∗k,α,Ω∪T =.

(146) β

(147) β

(148)

(149) k + α D u(x) − D u(y). sup dx,y. x,y∈Ω |β|=k. |x − y|α. 0 < α ≤ 1;. |u|∗k,α,Ω∪T = |u|∗k,Ω∪T + [u]∗k,α,Ω∪T ; k + α |f (x). k. (k). − f (y)| . |x − y|α. |f |0,α,Ω∪T = sup dx |u(x)| + sup dx,y x∈Ω. x,y∈Ω. Teorema 2.5. Seja Ω um subconjunto pr´ oprio de Rn+ com uma parti¸c˜ ao de fronteira aberta T em xn = 0. Sejam u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω∪T ) e f ∈ C α (Ω∪T ) tais que   ∆u(x) = f (x),  u(x) = 0,. x∈Ω x ∈ T.. Ent˜ ao |u|∗2,α,Ω∪T ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω∪T ), (2). (2.13). onde C = C(n, α). Demonstra¸cão. Segue do Teorema 2.4 da mesma forma que o Teorema 2.2 segue do Teorema 2.1.. 27.

(150) Cap´ıtulo 3 T´ opicos de An´ alise Funcional Desenvolvemos aqui alguns resultados de Análise Funcional, os quais serão fundamentais para garantir a existência de solu¸cões de equa¸cões el´ıpticas presentes no Cap´ıtulo 4.. 3.1. O M´ etodo Cont´ınuo. Nesta se¸cão explicamos em que consiste o “Método Cont´ınuo”para operadores lineares. Teorema 3.1 (M´ etodo Cont´ınuo). Sejam B um espa¸co de Banach, V um espa¸co vetorial normado e L0 , L1 : B 7→ V operadores limitados. Para cada t ∈ [0, 1] seja Lt = (1 − t)L0 + tL1 e suponha que existe uma constante C tal que, para todo t ∈ [0, 1], tem-se kxkB ≤ C kLt xkV . Ent˜ ao L1 aplica B sobre V se, e somente se, L0 aplica B sobre V . 28. (3.1).

(151) Demonstra¸cão. Suponha que para algum s ∈ [0, 1] o operador Ls seja sobrejetor. Por (3.1), temos que Ls é invers´ıvel. Observe que, para t ∈ [0, 1] e y ∈ V , a equa¸cão Lt x = y é equivalente a equa¸cão Ls x = y + (Ls − Lt )x = y + (t − s)L0 x − (t − s)L1 x. Esta u ´ltima equa¸cão é equivalente a −1 x = L−1 s y + (t − s)Ls (L0 − L1 )x.. Seja δ = [2C(kL0 k + kL1 k)]−1 . Com isso, se |s − t| < δ, então a aplica¸cão T : B 7→ B, definida por T x = −1 e uma contra¸cão. Portanto o operador Lt é L−1 s y + (t − s)Ls (L0 − L1 )x, ´. sobrejetor para todo t ∈ [0, 1] tal que |s − t| < δ. Da´ı, dividindo o intervalo [0, 1] em subintervalos de comprimento menor do que δ, vemos que o operador Lt é sobrejetor para todo t ∈ [0, 1], desde de que Ls seja sobrejetor para algum s ∈ [0, 1]. Em particular para s = 0 ou s = 1.. 3.2. A Alternativa de Fredholm. Aqui apresentamos a prova de uma das ferramentas fundamentais deste trabalho, o clássico teorema da “Alternativa de Fredholm”. Teorema 3.2 (Alternativa de Fredholm). Seja V um espa¸co vetorial normado. Se T : V 7−→ V é uma aplica¸c˜ ao linear compacta, ent˜ ao apenas uma das alternativas se verifica: 29.

(152) (i) A equa¸cão homogênea x − Tx = 0 tem uma solu¸cão x ∈ V n˜ ao-trivial. ou. (ii) para cada y ∈ V , a equa¸c˜ ao x − Tx = y tem uma u ńica solu¸cão x ∈ V . Lema 3.1. Sejam V um espa¸co vetorial normado e M um subespa¸co pr´ oprio e fechado de V . Então dado θ < 1, existe um elemento xθ ∈ V tal que kxθ k = 1 e dist(xθ , M ) ≥ θ. Demonstra¸cão. Seja x ∈ V − M . Como M é fechado, temos que dist(x, M ) = inf kx − yk = d > 0. y∈M. Conseq¨ uentemente existe um elemento yθ ∈ M tal que d kx − yθ k ≤ . θ Dessa forma, definido xθ =. x − yθ , kx − yθ k. temos que kxθ k = 1. Além disso, para todo y ∈ M , segue-se que kx − yθ − kyθ − xk yk kyθ − xk d ≥ ≥ θ. kyθ − xk. kxθ − yk =. 30.

(153) Demonstra¸cão do Teorema 3.2. Dividiremos nossa demonstra¸cão em quatro etapas: (1) Sejam S = I − T e N = S −1 (0) = {x ∈ V ; Sx = 0}. Então existe uma constante c tal que dist(x, N ) ≤ c|Sx|,. para todo x ∈ V.. Demonstra¸cão. Suponha que a afirma¸cão seja falsa. Então dado cn > 0 x∗n existe x∗n ∈ V − N tal que dist(x∗n , N ) > cn |Sx∗n |. Seja xn = . |Sx∗n | Então 1 1 dist(x∗n , N ) = inf kx∗n − yk ∗ |Sxn | |Sx∗n | N = inf kxn − yk = dist(xn , N ).. cn = cn |Sxn | <. N. Com isso, existe uma seq¨ uência {xn } ⊂ V tal que kSxn k = 1 e dn = dist(xn , N ) → ∞. Escolha {yn } ⊂ N de forma que dn ≤ kxn − yn k ≤ xn − yn 2dn . Então se zn = temos que kzn k = 1 e kxn − yn k kSzn k =. 1 ≤ d−1 n → 0. kxn − yn k. Portanto Szn → 0. Como T é compacto, passando a uma subseq¨ uência, se necessário, podemos assumir que {T zn } converge a um elemento y0 ∈ V . Como zn = (S + T )zn , temos que zn → y0 . Portanto 0 = lim Szn = S(lim zn ) = Sy0 . Isso nos leva a uma contradi¸cão, pois dist(zn , N ) = inf kzn − yk = |xn − yn |−1 inf kxn − yn − kxn − yn k yk y∈N. y∈N. 1 = |xn − yn |−1 dist(xn , N ) ≥ . 2 31.

(154) (2) Seja R = S(V ). Então R é um subespa¸co fechado de V . Demonstra¸cão. Seja {xn } uma seq¨ uência em V cujas imagens {Sxn } converge a um elemento y ∈ V . Para verificar que R é fechado mostraremos que y = Sx para algum elemento x ∈ V . Pelo resultado anterior, a seq¨ uência {dn }, com dn = dist(xn , N ), é limitada, pois Sxn é convergente. Escolhendo yn ∈ N como na demonstra¸cão do ´ıtem (1) e wn = xn − yn , temos que {wn } é limitada e que {Swn } converge a y. Como T é compacto, passando a uma subseq¨ uência, se necessário, podemos assumir que a seq¨ uência T xn converge a um elemento w0 ∈ V . Com isso, lim wn = lim (S + T )wn = y + w0 .. n→∞. n→∞. E como S é cont´ınuo, segue que S(y + w0 ) = lim S(wn ) = y. n→∞. Portanto R é fechado. (3) Se N = {0}, então R = V . Ou seja, se o caso (i) do Teorema 3.2 não vale, então o caso (ii) é verdadeiro. Demonstra¸cão. Pelos resultados anteriores, os conjuntos Rj , definidos por Rj = S j (V ), j = 1, 2, · · · , formam uma seq¨ uência não crescente de subespa¸cos fechados de V . Suponha que Rn − Rn+1 6= ∅ para todo n. Então, para todo j, tem-se que Rj é subespa¸co próprio de Rj+1 . Pelo Lema 3.1, existe uma seq¨ uencia {yn } ⊂ V tal que yn ∈ Rn , kyn k = 1 e. 32.

(155) 1 dist(yn , Rn+1 ) ≥ . Assim, se n > m, temos que 2 T ym − T yn = ym + (−yn − Sym + Syn ) = yn − y,. para algum y ∈ Rm+1 .. 1 , o que contraria a compacidade de T . 2 Conseq¨ uentemente existe um inteiro k tal que Rj = Rk , para todo. Portanto kT ym − T yn k ≥. j ≥ k. Agora seja y um ponto arbitrário de V . Então S k y ∈ Rk = Rk+1 . Portanto S k y = S k+1 x, para algum x ∈ V . Segue-se da´ı que S k (y−Sx) = 0 e, portanto, y = Sx, pois S −k (0) = S −1 (0) = 0. Conseq¨ uentemente R =V. (4) Se R = V , então N = {0}. Conseq¨ uentemente, no Teorema 3.2, ou apenas o caso (i) é verdadeiro ou apenas o caso (ii) é verdadeiro. Demonstra¸cão. Seja {Nj } uma seq¨ uência não decrescente de subespa¸cos fechados definida por Nj = S −j (0). Observe que tais espa¸cos são realmente fechados devido a continuidade de S. Suponha que Nj 6= Nj+1 para todo j. Pelo Lema 3.1, existe uma seq¨ uência {yn } ⊂ V tal que 1 kyn k = 1 e dist(yn+1 , Nn ) ≥ . 2 Observe que, se n ≥ 2, então yn+1 ∈ Nn+1 , yn , Syn+1 ∈ Nn e Syn ∈ Nn−1 ⊂ Nn . Com isso, T yn+1 − T yn = yn+1 + (−yn − Syn+1 + Syn ) = yn+1 + y, onde y ∈ Nn . 33.

(156) Da mesma forma, conclu´ımos que se 2 ≤ m < n, então T yn − T ym = yn − y, 1 onde y ∈ Nn . Da´ı kT yn − T ym k ≥ , o que é uma contradi¸cão. 2 Portanto Nj = Nl para todo j ≥ algum inteiro l. Como R = V , então se y ∈ Nl , segue que y = S l x, para algum x ∈ V . Conseq¨ uentemente S 2l x = 0 e, portanto, x ∈ N2l = Nl . Com isso, temos que y = S l x = 0. Portanto Nl = {0}, donde se segue que N = {0}.. 3.3. Operadores El´ıpticos. Definiremos agora operadores el´ıpticos e discutiremos algumas consequências do “Princ´ıpio do Máximo”para tais operadores. Seja Ω um dom´ınio limitado de Rn e considere o seguinte operador L definido em Ω: Lu = aij (x)Dij u + bi (x)Di u + c(x)u = f (x),. aij = aji .. Aqui assumimos que u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), aij ,bi e c são cont´ınuos em Ω e que L é uniformente el´ıptico em Ω, ou seja, existe λ > 0 tal que aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 ,. ∀x ∈ Ω,. ξ ∈ Rn .. (3.2). Lema 3.2. Suponha u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) e Lu > 0 em Ω, onde c(x) ≤ 0 em Ω. Se u tem máximo não negativo em Ω, ent˜ ao esse m´ aximo ocorre na fronteira de Ω. 34.

(157) Demonstra¸cão. Seja m o máximo de u em Ω. Suponha que exista x0 ∈ Ω tal que u(x0 ) = m. Então Di u(x0 ) = 0 e a matriz B = (Dij u(x0 )) é semi-negativa definida. Pela condi¸cão de elipcidade, a matriz A = (aij (x0 )) é positiva definida. Portanto a matriz AB é semi-negativa definida com aij (x0 )Dij u(x0 ) ≤ 0. Isso implica que Lu(x0 ) ≤ 0, o que é uma contradi¸cão.. Teorema 3.3. Suponha u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) e Lu ≥ 0 em Ω, onde c(x) ≤ 0 em Ω. Se u tem máximo não negativo em Ω, ent˜ ao esse m´ aximo ocorre na fronteira de Ω. Demonstra¸cão. Seja > 0 e considere a fun¸cão w(x) = u(x) + eax1 , a > 0. Temos que Lw = Lu + eax1 (a11 a2 + b1 a + c). Como b1 e c são limitados e a11 (x) ≥ λ > 0, para todo x ∈ Ω, escolhendo a suficientemente grande, temos que a11 (x)a2 + b1 (x)a + c(x) > 0,. para todo x ∈ Ω.. Isso implica que Lw > 0 em Ω. Pelo Lema 3.2, w atinge máximo não negativo somente em ∂Ω, isto é sup w ≤ sup w+ . Ω. ∂Ω. Portanto sup u ≤ sup w ≤ sup w+ ≤ sup u+ + sup eax1 . Ω. Ω. ∂Ω. ∂Ω. ∂Ω. Concluimos a demonstra¸cão fazendo → 0. Teorema 3.4 (Lema de Hopf ). Sejam B uma bola aberta de Rn e x0 ∈ ∂B. Suponha que u ∈ C 2 (B) ∩ C(B ∪ {x0 }) e Lu ≥ 0 em B, onde c(x) ≤ 0 em. 35.

(158) B. Além disso, assuma que u(x) < u(x0 ), para todo x ∈ B, e que u(x0 ) ≥ 0. Ent˜ ao, para cada dire¸cão exterior n em x0 , com n · ν > 0, temos 1 lim+ inf [u(x0 ) − u(x0 − tn)] > 0. t→0 t Observa¸c˜ ao 3.1. Se supomos que u ∈ C 1 (B ∪ {x0 }), ent˜ ao ∂u (x0 ) > 0. ∂n Demonstra¸cão. Podemos assumir que B tem centro na origem e raio r. Além disso, podemos supor que u ∈ C(B) e que u(x) < u(x0 ), para todo x ∈ B (basta considerar uma bola B1 tangente a B em x0 e tal que B1 ⊂ B). Considere v(x) = u(x) + h(x), onde h é uma fun¸cão não negativa. De2. 2. note S = B ∩ Br/2 (x0 ) e defina h(x) = e−a|x| − e−ar , onde a ∈ Rn será determinado. Observe que ( −a|x|2. Lh = e. 4a2. X. aij (x)xi xj − 2a. i,j. i=1. X. n X. ( −a|x|2. ≥ e. 4a2. n X. aij (x)xi xj − 2a. i,j. aii (x) − 2a. n X. ) bi (x)xi + c. − ce−ar. i=1. ) [aii (x) + bi (x)xi ] + c .. i=1. Pela hipótese de elipcidade, t que n X. aij (x)xi xj ≥ λ|x|2 ≥ λ. i,j=1. r 2 2. > 0 em S.. Assim, para a suficientemente grande, conclu´ımos que Lh > 0 em S. Da´ı, Lv = Lu + Lh > 0 em S, para todo > 0. Portanto, pelo Lema 3.2, v não atinge máximo não negativo no interior de S. Como u(x) < u(x0 ) para todo x ∈ ∂S ∩ B, segue que existe δ > 0 tal que u(x) < u(x0 ) − δ. Tome tal que h < δ em ∂S ∩ B. Com isso, temos que v(x) < u(x0 ), para todo x ∈ ∂S ∩ B. 36. 2.

(159) Por outro lado, em S ∩ ∂B, temos que h(x) = 0 e u(x) < u(x0 ) para todo x 6= x0 . Portanto v(x) < u(x0 ) em S ∩ ∂B e v(x0 ) = u(x0 ). Com isso, concluimos que v(x0 ) − v(x0 − tn) ≥ 0, t donde se segue que 1 ∂h lim+ inf [u(x0 ) − u(x0 − tn)] ≥ − (x0 ). t→0 t ∂n Pela defini¸cão de h, ∂h (x0 ) < 0. ∂n E isso completa a demostra¸cão.. Teorema 3.5. Suponha u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) e Lu ≥ 0 em Ω, onde c(x) ≤ 0 em Ω. Então o máximo não negativo de u em Ω pode ocorrer somente em ∂Ω, a menos que u seja constante. Demonstra¸cão. Sejam M o máximo não negativo de u em Ω e S = {x ∈ Ω; u(x) = M }. Observe que S é fechado. Suponha que S seja um subconjunto próprio de Ω. Então existem uma bola aberta B ⊂ Ω − S e um ponto x0 tal que x0 ∈ ∂B ∩ S. Com isso, u(x) < u(x0 ) para todo x ∈ B. Da´ı, pelo ∂u Teorema 3.1, segue que > 0. ∂ν Por outro lado, como u(x) ≤ u(x0 ) para todo x ∈ Ω, temos que Du(x0 ) = 0, o que é uma contradi¸cão. Defini¸c˜ ao 3.1. Dizemos que um dom´ınio Ω possui a propriedade interior esférica se, para todo x0 ∈ ∂Ω, existe uma bola B ⊂ Ω tal que x0 ∈ ∂B.. 37.

(160) Corol´ ario 3.1. Suponha que Ω possui a propriedade interior esférica. Sejam u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) tal que Lu ≥ 0 e c(x) ≤ 0 em Ω. Assuma que u atinge m´ aximo não negativo em x0 ∈ Ω. Ent˜ ao x0 ∈ ∂Ω e para todo vetor n, exterior a ∂Ω em x0 , temos ∂u (x0 ) > 0, ∂ν a menos que u seja constante em Ω. Proposi¸c˜ ao 3.1. Seja Ω um aberto limitado que satisfaz a propriedade interior esférica. Considere o seguinte problema:   Lu = f, em Ω ∂u  + α(x)u = ϕ, em ∂Ω, ∂ν. (3.3). para algum f ∈ C(Ω) e ϕ ∈ C(∂Ω). Assuma que c(x) ≤ 0 em Ω e que α(x) ≥ 0 em ∂Ω. Então se c 6= 0 ou α 6= 0, o problema (3.3) tem u ńica solu¸cão u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Demonstra¸cão. Considere o problema homogêneo   Lu = 0, em Ω  ∂u + α(x)u = 0, em ∂Ω. ∂ν Suponha que u tem máximo positivo em x0 ∈ Ω. Se u ≡ const > 0, isto contradiz a condi¸cão c 6= 0 em Ω ou α 6= 0 em ∂Ω. Caso contrário, temos ∂u que x0 ∈ ∂Ω e, pelo Corolário 3.1, segue que (x0 ) > 0, o que também é ∂ν uma contradi¸cão. Portanto u ≡ 0. Isso prova a Proposi¸cão. Proposi¸c˜ ao 3.2. Suponha que sup |aij | + sup |bi | ≤ Λ. Seja u ∈ C 2 (Ω) ∩ Ω. Ω. C 1 (Ω) satisfazendo  . Lu = f,. em Ω.  ∂u + α(x)u = ϕ, em ∂Ω ∂ν 38.

(161) para algum f ∈ C(Ω) e ϕ ∈ C(∂Ω). Se c(x) ≤ 0 em Ω e α(x) ≥ α0 > 0 em ∂Ω, então |u(x)| ≤ C{sup |ϕ| + sup |f |}, para todo x ∈ Ω, Ω. ∂Ω. onde C é uma constante positiva dependendo somente de λ, Λ, α0 e dim(Ω). (i) Caso c(x) ≤ −c0 < 0.. Demonstra¸cão.. Seja F := sup |f (x)| e Φ := sup |ϕ|. Vamos mostrar que Ω. ∂Ω. 1 1 F + Φ, para todo x ∈ Ω. c0 α. |u(x)| ≤. 1 1 F + Φ ± u(x). Então temos c0 α 1 1 Lv = c(x) F + Φ ± f ≤ −F ± f ≤ 0 em Ω c0 α. Defina v :=. e ∂v + α(x)v = α ∂ν. . 1 1 F + Φ ± ϕ ≥ Φ ± ϕ ≥ 0, em ∂Ω. c0 α. Se v tem um m´ınimo negativo em Ω, então, pelo Teorema 3.4, temos que esse m´ınimo é atingido na fronteira. Se x0 ∈ ∂Ω é tal que v(x0 ) = ∂v min |v(x)|, então (x0 ) ≤ 0. Com isso, temos que Ω ∂ν ∂v + αv (x0 ) ≤ αv(x0 ) < 0, ∂ν o que é uma contradi¸cão. Portanto, v ≥ 0 em Ω. Em particular, |u(x)| ≤. 1 1 F + Φ, para todo x ∈ Ω. c0 α. (ii) Caso Geral: c(x) ≤ 0. 39.

(162) Considere a fun¸cão auxiliar u(x) = z(x)w(x), onde z é uma fun¸cão positiva em Ω que será determinada. Da´ı, aij Dij z + bi Di z f aij Dij w + Bi Di w + c + w = em Ω z z e ∂u 1 ∂z ϕ + α+ w = em ∂Ω, ∂ν z ∂ν z 1 com Bi = (aij + aji )Dj z + bi . Precisamos encontrar uma fun¸cão z > 0 z em Ω tal que c+. aij Dij z + bi Di z ≤ −c0 (λ, Λ, d, α0 ) < 0 em Ω z. e α+. 1 ∂z 1 ≥ α0 em ∂Ω, z ∂ν 2. ou ainda, aij Dij z + bi Di z ≤ −c0 < 0 em Ω z e

(163)

(164)

(165) 1 ∂z

(166) 1

(167)

(168)

(169) z ∂ν

(170) ≤ 2 α0 em ∂Ω. Suponha que se (x1 , · · · , xn ) ∈ Ω, então 0 < x1 < d. Seja z(x) = A + eβd − eβx1 , onde A e β serão determinadas. Temos que 1 (β 2 a11 + βb1 )eβx1 1 β 2 a11 + βb1 − (aij Dij z+bi Di z) = ≥ ≥ > 0, βd βx βd 1 z A+e −e A+e A + eβd se β for escolhido de forma que β 2 a11 + βb1 ≥ 1. Além disso, para A suficientemente grande, segue que

(171)

(172)

(173) 1 ∂z

(174) β βd 1

(175)

(176)

(177) z ∂ν

(178) ≤ A e ≤ 2 α0 . Da´ı, basta aplicar o caso anterior para concluir a demonstra¸cão.. 40.

(179) Cap´ıtulo 4 O Problema da Derivada Obl´ıqua Neste cap´ıtulo mostraremos a existência e a unicidade da solu¸cão do problema de Neumann. Esse resultado será crucial para encontrarmos uma solu¸cão para o problema contido no Teorema 5.1.. 4.1. Estimativas de Schauder. Come¸caremos com uma extensão das idéias estabelecidas no Cap´ıtulo 2. Nosso primeiro resultado é uma generaliza¸cão dos Teoremas 2.2 e 2.5. Lema 4.1. Na equa¸cão L0 u = Aij Dij u = f (x),. Aij = Aji ,. seja [Aij ] uma matriz constante tal que λ |ξ|2 ≤ Aij ξi ξj ≤ Λ |ξ|2 , onde λ e Λ são constantes positivas. 41. ∀ξ ∈ Rn ,. (4.1).

(180) (a) Sejam Ω um aberto de Rn , u ∈ C 2 (Ω) e f ∈ C α (Ω) tais que L0 u = f . Então |u|∗2,α,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), (2). onde C = C(n, α, λ, Λ). ao de fronteira T em xn = 0, (b) Sejam Ω um aberto de Rn+ com uma parti¸c˜ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω ∪ T ) e f ∈ C α (Ω ∪ T ) tais que   L u = f, em Ω 0.  u = 0,. em T .. Então |u|∗2,α,Ω∪T ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω∪T ), (2). (4.2). onde C = C(n, α, λ, Λ). Demonstra¸cão. Seja P uma matriz constante que define uma transforma¸cão linear não singular y = P x de Rn em Rn . Sob essa transforma¸cão, associe u(x) a u˜(y), onde u˜ = u ◦ P −1 . Observe que Aij Dij u(x) = A˜ij Dij u˜(y), onde A˜ = P AP t . Sejam λ1 , · · · , λn os autovalores de A. Podemos escolher P ortogonal de forma que A˜ é a matriz [λi δij ]. Se Q = DP , onde D é a −1/2. matriz diagonal [λi. δij ], então a transforma¸cão y = Qx associa a equa¸cão. L0 u = f a equa¸cão ∆˜ u(y) = f˜(y). Além disso, podemos assumir que o conjunto xn > 0 é associado ao conjunto yn > 0. Se, sob a transforma¸cão ˜ e v(x) → v˜(x), então y = Qx, tivermos Ω → Ω C −1 |v|∗k,α,Ω ≤ |˜ v |∗k,α,Ω ≤ C|v|∗k,α,Ω , (k). (k). C −1 |v|0,α,Ω ≤ |˜ v |0,α,Ω. 42. (k). ≤ C|v|0,α,Ω ,. (4.3).

(181) onde C = C(k, n, λ, Λ). Por outro lado, se Ω é um aberto de R+ com uma parti¸cão de fronteira T em xn = 0, então sob a transforma¸cão y = Qx, temos ˜ é um aberto de R+ com parti¸cão de fronteira T˜ em yn = 0. Da´ı, as que Ω normas da Defini¸cão 2.2 satisfazem as seguintes igualdades: ∗ v |∗k,α,Ω∪ C −1 |v|∗k,α,Ω∪T ≤ |˜ ˜ T˜ ≤ C|v|k,α,Ω∪T , (k). (k). C −1 |v|0,α,Ω∪T. ≤ |˜ v |0,α,Ω∪ ˜ T˜. (4.4). (k). ≤ C|v|0,α,Ω∪T ,. onde C é como em (4.3). Aplicando as desigualdades (4.3) e o Teorema 2.2 ˜ , obtemos em Ω (2) (2) |u|∗2,α,Ω ≤ C|˜ u|∗2,α,Ω ≤ C(|˜ u|0,Ω˜ + |f˜|0,α,Ω˜ ) ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ).. Isso prova a parte (a) do Lema. Para a parte (b) agimos do mesmo modo usando o Teorema 2.5 e as desigualdades (4.4). Defini¸c˜ ao 4.1. Sejam σ ∈ Rn e k um inteiro n˜ ao negativo. Se f ∈ C k,α (Ω), definimos

(182) β

(183) (σ) (σ)

(184) D f (x)

(185) , [f ]k,0,Ω = [f ]k,Ω = sup dk+σ x. k = 0, 1 · · · ;. x∈Ω |β|=k. (σ) [f ]k,α,Ω. =. k+α+σ sup dx,y.

(186)

(187) β

(188) D f (x) − Dβ f (y)

(189). x,y∈Ω |β|=k. (σ) |f |k,Ω. =. k X. |x − y|α. 0 < α ≤ 1;. (σ). [f ]j,Ω ;. j=0 (σ) |f |k,α,Ω. (σ). (σ). = |f |k,Ω + [f ]k,α,Ω .. Observe que (σ+τ ). (σ). (τ ). |f g|0,α,Ω ≤ |f |0,α,Ω |g|0,α,Ω ,. 43. para σ + τ ≥ 0.. (4.5).

(190) Teorema 4.1. Sejam Ω um aberto de Rn e u ∈ C 2,α (Ω) uma solu¸c˜ ao limitada de Lu = aij Dij u + bi Di u + cu = f. Na equa¸cão acima assuma que f ∈ C α (Ω) e que existam constantes positivas λ e Λ tais que aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 ,. ∀x ∈ Ω,. ξ ∈ Rn. e

(191) ij

(192) (0)

(193) a

(194). 0,α,Ω.

(195)

(196) (1) (2) ,

(197) bi

(198) 0,α,Ω , |c|0,α,Ω ≤ Λ.. (4.6). Ent˜ ao |u|∗2,α,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), (2). (4.7). onde C = C(n, α, λ, Λ). Demonstra¸cão. Pela Desigualdade de Interpola¸cão (ver Proposi¸cão 2.1) é suficiente provar a desigualdade (4.7) para [u]∗2,α,Ω . Inicialmente suponha que já tenhamos verificado o resultado para subconjuntos compactos de Ω. Agora seja {Ωi } uma seq¨ uência de subconjuntos abertos de Ω tal que Ωi ⊂ Ωi+1 ⊂⊂ Ω e ∪Ωi = Ω. Portanto, temos que [u]∗2,α,Ωi é finito para cada i. Dessa forma, para i suficientemente grande, temos 2+α |D (d(i) x,y ). 2. u(x) − D2 u(y)| (2) ≤ [u]∗2,α,Ωi ≤ C(|u|0,Ωi + |f |0,α,Ωi ) α |x − y| (2). ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), (i). onde dx,y = min{dist(x, ∂Ωi ), dist(y, ∂Ωi )}. Quando i → ∞, obtemos d2+α x,y. |D2 u(x) − D2 u(y)| (2) ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), ∀x, y ∈ Ω. |x − y|α. Portanto podemos assumir que [u]∗2,α,Ω é finito.. 44.

(199) Sejam x0 , y0 dois pontos distintos em Ω e suponha que dx0 = dx0 ,y0 = 1 min(dx0 , dy0 ). Sejam µ ≤ uma constante positiva, d = µdx0 e B = Bd (x0 ). 2 Escreva Lu = f na forma aij (x0 )Dij u = (aij (x0 ) − aij (x))Dij u − bi Di u − cu + f ≡ F (x) e considere esta equa¸cão em B com coeficientes constantes aij (x0 ). Se y0 ∈ Bd/2 (x0 ), então, pelo Lema 4.1(a), segue que 2+α 2 d |D u(x0 ) − D2 u(y0 )| (2) ≤ C(|u|0,B + |F |0,α,B ); α 2 |x0 − y0 | portanto d2+α x0. C |D2 u(x0 ) − D2 u(y0 )| (2) ≤ 2+α (|u|0,B + |F |0,α,B ). α |x0 − y0 | µ. d Por outro lado, se |x0 − y0 | ≥ , segue que 2 α 2 2 2 2+α |D u(x0 ) − D u(y0 )| ≤ dx0 [d2x0 |D2 u(x0 )| + d2y0 |D2 u(y0 )|] α |x0 − y0 | µ 4 ∗ [u] , ≤ µα 2,Ω de modo que, combinando estas duas desigualdades, obtemos d2+α x0. |D2 u(x0 ) − D2 u(y0 )| C 4 (2) ≤ 2+α (|u|0,B + |F |0,α,B ) + α [u]∗2,Ω . α |x0 − y0 | µ µ. (4.8). Observe que (2). |F |0,α,B ≤. X. (2). |(aij (x0 )−aij (x))Dij u|0,α,B +. X. (2). (2). (2). |bi Di u|0,α,B +|cu|0,α,B +|f |0,α,B .. i,j. 1 Seja agora g ∈ C α (Ω). Se x ∈ B, então dx > (1 − µ)dx0 ≥ dx0 e, portanto, 2 (2). µ2 µ2+α (2) (2) + [g] [g] (1 − µ)2 0,Ω (1 − µ)2+α 0,α,Ω (4.9) (2) (2) (2) ≤ 4µ2 [g]0,Ω + 8µ2+α [g]0,α,Ω ≤ 8µ2 |g|0,α,Ω .. |g|0,α,B ≤ d2 |g|0,B + d2+α [g]α,B ≤. 45.

(200) Para cada par de ´ındices i, j, escreva (a(x0 )−a(x))D2 u = (aij (x0 )−aij (x))Dij u. Com isso, de (4.5) e (4.9), obtemos (2). (0). (2). |(a(x0 ) − a(x))Du|0,α,B ≤ |a(x0 ) − a(x)|0,α,B |D2 u|0,α,B (0). ≤ |a(x0 ) − a(x)|0,α,B (4µ2 [u]∗2,Ω + 8µ2+α [u]∗2,α,Ω ). Como (0). |a(x0 ) − a(x)|0,α,B ≤ sup |a(x0 ) − a(x)| + dα [a]α,B ≤ 2dα [a]α,B x∈Ω 1+α α. µ [a]∗0,α,Ω ≤ 4Λµα ,. ≤ 2. então, pela Proposi¸cão 2.1, segue que X. (2). |(aij (x0 ) − aij (x))Dij u|0,α,B ≤ 32n2 Λµ2+α ([u]∗2,Ω + µα [u]∗2,α,Ω ) (4.10). i,j. ≤ 32n2 Λµ2+α (C(µ)|u|0,Ω + 2µα [u]∗2,α,Ω ). Para cada ´ındice i, seja bDu = bi Di u. Novamente, pela Proposi¸cão 2.1, (4.6) e (4.9) nos dá (2). (2). (1). (1). |bDu|0,α,B ≤ 8µ2 |bDu|0,α,Ω ≤ 8µ2 |b|0,α,Ω |Du|0,α,Ω ≤ 8µ2 Λ|u|∗1,α,Ω ≤ 8µ2 Λ(C(µ)|u|0,Ω + µ2α [u]∗2,α,Ω ). Assim, temos que (2). |bi Di u|0,α,B ≤ 8nµ2 Λ(C(µ)|u|0,Ω + µ2α [u]∗2,α,Ω ).. (4.11). Da mesma forma, usando (4.5) e (4.9), obtemos (2). (2). (0). |cu|0,α,B ≤ 8µ2 |c|0,α,Ω |u|0,α,Ω ≤ 8µ2 Λ(C(µ)|u|0,Ω + µ2α [u]∗2,α,Ω ).. (4.12). Além disso, temos (2). (2). |f |0,α,B ≤ 8µ2 |f |0,α,Ω . 46. (4.13).

(201) Combinando (4.10) e (4.13) obtemos (2). (2). |F |0,α,B ≤ C 2+2α [u]∗2,α,Ω + C(µ)(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ). Da´ı e de (4.8), segue que d2+α x0 ,y0. |D2 u(x0 ) − D2 u(y0 )| (2) ≤ Cµα [u]∗2,α,Ω + C(µ)(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ), α |x0 − y0 |. donde obtemos (2). [u]∗2,α,Ω ≤ Cµα [u]∗2,α,Ω + C(µ)(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ). 1 Escolha agora µ = µ0 de forma que Cµα0 ≤ . Isso nos dá 2 (2). [u]∗2,α,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |f |0,α,Ω ).. 4.2. O Problema de Neumann. Como conseq¨ uência da teoria desenvolvida no Cap´ıtulo 2, do Lema 4.1 e do Teorema 4.1, temos o seguinte resultado: Teorema 4.2. Sejam Ω um dom´ınio C 2,α e β(x) = (β1 (x), · · · , βn (x)) tal que a componente normal βν de β satisfa¸ca |βν | ≥ κ > 0 em ∂Ω(κ = const). Suponha que u ∈ C 2,α (Ω) seja uma solu¸c˜ ao do problema   Lu = f, x∈Ω  N (x, )u ≡ γ(x, )u + β(x, ) · Du = ϕ(x, ), x, ∈ ∂Ω. Se f, aij , bij , c ∈ C α (Ω),. ϕ, γ, βi ∈ C 1,α (Ω). e

(202) ij ij

(203)

(204) f, a , b , c

(205). α,Ω. , |ϕ, γ, βi |1,α,Ω ≤ Λ, 47. i, j = 1, · · · n,. (4.14).

(206) ent˜ ao |u|2,α,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |ϕ|1,α,Ω + |f |α,Ω ),. (4.15). onde C = C(n, α, λ, Λ, κ, Ω). Demonstra¸cão. Ver Cap´ıtulo 6 de [6] O Teorema acima é uma ferramenta fundamental para o seguinte resultado de existência e unicidade: Teorema 4.3. Sejam Ω um dom´ınio C 2,α , L um operador el´ıptico, com c ≤ 0 e coeficientes pertencendo a C α (Ω), e N u ≡ γu+β ·Du um operador definido na fronteira ∂Ω tal que γ(β · ν) > 0 em ∂Ω. Assuma que γ, β ∈ C 1,α (∂Ω). Ent˜ ao, para todos f ∈ C α (Ω) e ϕ ∈ C 1,α (∂Ω), o problema   Lu = f, em Ω  N u = ϕ, em ∂Ω. (4.16). tem u ńica solu¸cão em C 2,α (Ω). Demonstra¸cão. Pela Proposi¸cão 1.2, podemos assumir que ϕ e β são definidas em Ω. Além disso, sem perda de generalidade, podemos considerar γ > 0 e βν > 0 em ∂Ω. Considere a fam´ılia de problemas    Lt u ≡ tLu + (1 − t)∆u = f, se x ∈ Ω ∂u  + u = ϕ, se x ∈ ∂Ω  Nt u ≡ tN u + (1 − t) ∂ν. (4.17). onde 0 ≤ t ≤ 1. Seja ut ∈ C 2,α (Ω) uma solu¸cão do problema (4.17) (para algum t). Observe que |ut |2,α satisfaz a estimativa (4.15) com C independente de t. Portanto, pela Proposi¸cão 3.2, temos que |ut |2,α ≤ C(|ϕ|1,α + |f |0,α ). 48. (4.18).

(207) Além disso, pela Proposi¸cão 3.1, segue que ut é u ńica. Sejam B1 = C 2,α (Ω) e B2 = C α (Ω) × C 1,α (∂Ω), com k(f, ϕ)kB2 = |f |0,α,Ω + |ϕ|1,α,∂Ω , e considere o operador Lt = (Lt , Nt ) : B1 → B2 . Observe que (4.18) é equivalente a kukB1 ≤ CkLt ukB2 .. (4.19). Afirmamos que o problema   ∆u = f, se x ∈ Ω  u + ∂u = ϕ, se x ∈ ∂Ω ∂ν tem solu¸cão em C 2,α (Ω) (Ver [8]). Por fim, o Teorema segue de (4.19) e do Teorema 3.1. Lema 4.2. Sejam Ω um dom´ınio C 2,α , L = ∆ e N u = ν · Du um operador definido na fronteira ∂Ω. Então o problema   Lu = f, em Ω  N u = ϕ, em ∂Ω tem u ńica solu¸cão u ∈ C. 2,α. (4.20). Z (Ω) ∩ v; v(x) = 0 para todo f ∈ C α (Ω) e Ω. ϕ ∈ C 1,α (∂Ω). Além disso, existe C > 0 tal que |u|2,α,Ω ≤ C(|f |α,Ω + |ϕ|1,α,∂Ω ). Demonstra¸cão. Considere o espa¸co vetorial Z 2,α A := (−u, u); u ∈ C (Ω), u(x)dx = 0 , Ω. 49.

(208) onde definimos a norma |(−u, u)|A = |u|α,Ω + |u|1,α,∂Ω e o espa¸co . B := (f, ϕ) ∈ C α (Ω) × C 1,α (∂Ω) , onde definimos a norma |(f, ϕ)|B = |f |α,Ω + |ϕ|1,α,∂Ω . Considere o operador Mλ : A 7−→ B definido Mλ (−u, u) = M (−u, u) + λ(−u, u), ∂u ), λ > 0 e os valores da fun¸cão segunda coordenada ∂ν são tomados em ∂Ω. Observe que, pelo Teorema 4.3, Mλ−1 existe. onde M (−u, u) = (∆u,. Além disso, se Mλ (−u, u) = M (−u, u) + λ(−u, u) = (f, ϕ), então 1 (|u|α,Ω + |u|1,α,∂Ω ) ≤ |u|2,α,Ω ≤ C(|f |α,Ω + |ϕ|1,α,∂Ω ). C1. (4.21). Com isso, Mλ−1 : B 7→ A ⊂ B é compacto. Considere o problema (−u, u) − λMλ−1 (−u, u) = Mλ−1 (f, ϕ). Observe que v = 0 é a u ńica solu¸cão do problema   ∆u = 0, em Ω  ∂u = 0, em ∂Ω. ∂ν Equivalentemente, (−v, v) = 0 é a u ńica solu¸cão do problema (−u, u) − λMλ−1 (−u, u) = 0. Portanto, pelo Teorema 3.2, temos que (4.22) tem u ńica solu¸cão. Da´ı, (f, ϕ) = Mλ (−u, u) − λMλ−1 (−u, u) = M (−u, u).. 50. (4.22).

(209) Por (4.21), temos que

(210)

(211)

(212)

(213) |u|2,α,Ω −

(214) λMλ−1 (−u, u)

(215) 2,α,Ω ≤

(216) (−u, u) − λMλ−1 (−u, u)