texto11 2019 FisExp

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Instituto de Física & Química – IFQ

Universidade Aberta do Brasil – UAB

Curso de Licenciatura em Física – EaD

Textos Auxiliares para as disciplinas:

Física Experimental

Metodologia Científica

Prof. Gabriel Rodrigues Hickel

Baseado em material didático criado por

Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi

Ano 2019

Conteúdo deste texto:

XXXIX – Linearização de Funções

Referências Bibliográficas utilizadas neste texto

Livros & Apostilas:

1 – Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA,

2a Edição, São Paulo, SP, 2000.

2 – Corradi, W.; Vieira, S.L.A.; Társia, R.D.; Balzuweit, K.; Fonseca, L.; Oliveira, W.S., Física Experimental. Editora da UFMG, Belo Horizonte, MG, 2008.

3 – Piacentini, J.J., Grandi, B.C.S., Hofmann, M.P., Lima, F.R.R. e Zimmermann, E., Introdução ao Laboratório de Física. Editora da UFSC, Florianópolis, 2a

edição, SC, 2005.

4 – Sommer, R.L., Análise gráfica de resultados experimentais e linearização de funções. Departamento de Física - CCNE – UFSM.

Endereços Eletrônicos:

1 – Faculdade de Saúde Pública da Universidade de São Paulo; Guia de apresentação de Teses (cap. 4 – Tabelas, Quadros e Figuras).

http://www.biblioteca.fsp.usp.br/~biblioteca/guia/i_cap_04.htm (acesso em 01/Maio/2018)

XXXIX – Linearização de Funções

No módulo anterior tratamos com gráficos cujas variáveis de trabalho apresentavam relação linear entre si. Situações deste tipo são de análise facilitada acerca das relações naturais envolvidas nas observações e experiências. Entretanto, existe um grande número de relações naturais que envolvem grandezas diversas, em relações não lineares, como nos exemplos abaixo:

      ⋅⋅⋅⋅ − −− − = == =       ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ = == = 0 0 2 log 5 , 2 ; exp ; 2 F F m C R t V V t a x ;

que indicam, respectivamente, a posição em um movimento uniformemente acelerado, a descarga em um circuito RC e a magnitude aparente de um determinado astro. Nestas situações, sempre podemos efetuar o ajuste de função específica, mas apenas se conhecemos a relação. E se estamos diante de um gráfico inédito, para um fenômeno nunca estudado antes? Isto significa que não conhecemos a relação natural, a priori e não teremos como ajustá-la.

Para algumas relações não lineares é possível efetuar a chamada “linearização de função”. Este processo será abordado em detalhes na disciplina de Cálculo Numérico. Por hora, o que precisamos entender é que a representação gráfica de uma “linearização de função” é justamente um alinhamento aparente dos pontos experimentais, sendo possível uma interpretação simplificada da variação do fenômeno natural, com um ajuste linear.

Vejamos dois exemplos simples de relações não lineares, bem conhecidos:

Exemplo 1) Pêndulo simples: Na Tabela 11.1 (página seguinte), “L” é o comprimento do fio de um pêndulo simples e “T” é o valor médio do período de oscilação desse pêndulo.

O gráfico de pontos correspondente aos dados da Tabela 11.1 pode ser visto na Figura K-1 (página seguinte).

Pelo gráfico da Figura K-1, é notório que “T” e “L” apresentam algum tipo de inter-relação, mas também é evidente que não é uma relação linear (reta). De fato, sabemos que o período depende da raiz quadrada do comprimento do pêndulo. Então, será que é possível linearizar esta relação, ou seja, fazer algum tipo de gráfico em que os pontos fiquem alinhados, formando uma reta?

Tabela 11.1 – Ensaios com o pêndulo simples Ensaio L (± 0,02) (m) T (± 0,02) (s) I 1,44 2,40 II 1,32 2,31 III 1,22 2,22 IV 1,10 2,12 V 0,94 1,94 VI 0,71 1,70 VII 0,53 1,53 VIII 0,41 1,30 IX 0,29 1,16 X 0,16 0,79

Figura K-1 – Gráfico da variação do período “T” de um pêndulo, conforme o seu comprimento “L”. Existe uma relação entre as duas grandezas, que não é linear.

Exemplo 2) Velocidade do som no ar: para determinar a velocidade do som no ar, mediu-se os comprimentos de ondas sonoras “λ”, em função das respectivas frequências “f”. Os dados são mostrados na Tabela 11.2 (página seguinte).

O gráfico de pontos correspondente aos dados da Tabela 11.2 pode ser visto na Figura K-2 (página seguinte).

Tabela 11.2 – Ensaios para Determinar a Velocidade do Som no Ar Ensaio λλλ (± 0,0005) (m) λ _{f (± 2) (Hz)} A 0,3405 1000 B 0,4340 800 C 0,5800 600 D 0,8655 400 E 1,7155 200 F 3,4556 100

Figura K-2 – Gráfico da variação do comprimento de onda “λ” de uma onda sonora, conforme a frequência “ f ”. Como no gráfico anterior, existe uma aparente relação entre as grandezas, que não é linear.

Observe que, como no exemplo anterior, a relação entre λ e f no exemplo 2 não é uma função linear. Neste caso vem a seguinte pergunta: O que fazer se as grandezas explicitadas no gráfico aparentam ter uma relação que não é linear, que não conhecemos? Como podemos linearizar estas relações e expressá-las?

Para tanto, devemos “linearizar” o gráfico. Isto pode ser feito de dois modos:

a) Fazendo uma mudança adequada de variável;

a) Mudança de variável

A mudança de variável é muito útil quando já conhecemos ou temos uma noção da relação funcional matemática que existe entre as grandezas que estão sendo estudadas.

Exemplo 1) No caso do pêndulo simples sabemos que, sendo T o período, L o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local, é possível estabelecer a relação aproximada entre eles, para pequenas amplitudes angulares do movimento:

g L T ====2ππππ ⇒ L g T ==== ×××× 2 2 4ππππ _(11.1)

A Equação 11.1 mostra que a função matemática entre T 2 e L é linear, sendo 4ππππ 2 g o coeficiente angular da reta. Em outras palavras se

escrevermos que

(((( ))))

2

T x

y ==== e x ====L, teremos y

(((( ))))

x ====a++++bx, com a = 0 e

g

b====4ππππ 2 . Então, ao invés de considerarmos a variável dependente como o período T, podemos trabalhar com o seu quadrado, T 2. Para tanto, uma nova tabela precisa ser feita, calculando T 2 e seu erro. A Tabela 11.3 foi construída para esta linearização. Note que os erros tiveram que ser calculados e cada valor de T 2 tem o seu erro próprio:

Tabela 11.3 – Ensaios com o pêndulo simples e a nova variável T 2 Ensaio L (± 0,02) (m) T (± 0,02) (s) T2 (s2) I 1,44 2,40 5,8 ± 0,1 II 1,32 2,31 5,34 ± 0,09 III 1,22 2,22 4,93 ± 0,09 IV 1,10 2,12 4,49 ± 0,08 V 0,94 1,94 3,76 ± 0,08 VI 0,71 1,70 2,89 ± 0,07 VII 0,53 1,53 2,34 ± 0,06 VIII 0,41 1,30 1,69 ± 0,05 IX 0,29 1,16 1,35 ± 0,05 X 0,16 0,79 0,62 ± 0,03

Vamos construir o gráfico de T 2 x L (Figura K-3) e verificar a disposição dos pontos, que devem expressar uma relação linear entre estas duas grandezas (variáveis).

Figura K-3 – Gráfico da variação do período quadrático “T2_{”, de um pêndulo,}

conforme o seu comprimento “L”. Fica explícito a existência de uma relação linear. O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre T 2 e L: a====

((((

0,04±±±±0,05

))))

s2 e b====

((((

4,03±±±±0,07

))))

s2/m. Note que por se tratar de um ajuste a pontos experimentais (sujeitos a erros), o valor do coeficiente linear da reta (a) não é nulo, mas seu erro denuncia esta possibilidade, pois é maior que o próprio valor. Assim, podemos concluir que o coeficiente linear é compatível com zero. Já o coeficiente angular (b) é conhecido que guarda relação com a aceleração da gravidade local: b====4ππππ 2 g. Portanto, temos uma técnica para determinar a aceleração da gravidade experimentalmente, isto é:

80 , 9 03 , 4 4 4 2 2 = = = = = = = = = == = ππππ ππππ b g m/s2

(((( ))))

(((( ))))

0,07 0,2 03 , 4 4 4 2 2 2 2 = == = ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ = = = = ππππ erro b ππππ b g erro m/s2

((((

9,8±±±±0,2

))))

= = = = g m/s2

Exemplo 2) A velocidade do som v, a frequência f e o comprimento de onda λλλλ estão relacionadas pela equação 11.2.

v====λλλλ f ⇒ f v = = = = λ λ λ λ ⇒ 1 v −−−− = = = = f λ λ λ λ (11.2)

A Equação 11.2 mostra que a função matemática entre λλλλ e 1/f é linear, sendo v o coeficiente angular da reta ( y

(((( ))))

x ====λλλλ e −−−−1

= = = = f

tanto, uma nova tabela precisa ser feita, calculando 1/f e seu erro. A Tabela 11.4 foi especialmente montada para esta linearização:

Tabela 11.4 – Ensaios para Determinar a Velocidade do Som no Ar e a nova variável 1/f Ensaio λλλλ (± 0,0005) (m) _{f (± 2) (Hz) f} -1 ××××10-3 (s) A 0,3405 1000 (1,000 ± 0,001) B 0,4340 800 (1,25 ± 0,01) C 0,5800 600 (1,67 ± 0,01) D 0,8655 400 (2,50 ± 0,01) E 1,7155 200 (5,00 ± 0,05) F 3,4556 100 (10,0 ± 0,2)

Vamos construir o gráfico de λλλλ x f -1 (Figura K-4) e verificar a disposição dos pontos, que devem expressar uma relação linear entre estas duas grandezas (variáveis).

Figura K-4 – Gráfico da variação do comprimento de onda “λ” de uma onda sonora, conforme o inverso da frequência “ f ”.

O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre entre λλλλ e 1/f :

((((

))))

4

10 1 , 4 5 , 0 −−−− × ×× × ± ±± ± = == = a m e

((((

345,2±±±±0,9

))))

= == =

experimentais (sujeitos a erros), o valor do coeficiente linear da reta (a) não é nulo, mas seu erro denuncia esta possibilidade, pois é maior que o próprio valor. Assim, podemos concluir que o coeficiente linear é compatível com zero. Já o coeficiente angular (b) é conhecido que guarda relação com a velocidade do som no ar: b==== v. Portanto, temos uma técnica para determinar a velocidade do som no ar, isto é:

((((

345,2 0,9

))))

v==== ±±±± m/s

b) Mudando o tipo de escala do(s) eixo(s)

Nesta opção de linearização é feita uma mudança no tipo de escala de um ou dos dois eixos que estão sendo empregados na construção do gráfico. Um tipo muito útil de escala é a logarítmica. Nesta escala, a distância D entre duas marcas sucessivas (traços sucessivos) não é constante, ela varia com o logaritmo (Figura K-5):

) ( log ) ( log g g0 D==== −−−− ,

isto é, ela é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log(2) – log(1)); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log(3) – log(2)), por isso as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes. Numa escala logarítmica, então, a escala é linear com o logaritmo da grandeza!

Figura K-5 – Escala logarítmica. A distância entre os valores da grandeza varia com o logaritmo. A cada mudança de década, os valores vão sendo multiplicados por potências de 10: a primeira década varia de 1 a 9, a segunda década varia de 10 a 90, a terceira década varia de 100 a 900 e assim por diante. A desvantagem desta escala é que não podemos representar o valor nulo (0).

Note que existem trechos que se repetem, que são chamadas de décadas. Cada década corresponde a uma potência de 10 da grandeza a ser representada no eixo. A escala da Figura K-5 apresenta 3 décadas. Portanto, quando for necessário o uso de escalas logarítmicas, o primeiro cuidado é reescrever todos os valores a serem representados na escala em notação científica, para definir quantas décadas serão

Notar também que em um gráfico logarítmico, o valor “0” não significa que a grandeza é nula, mas sim seu logaritmo, pois log(1) = 0, ao passo que log(0) não existe. Assim, não podemos representar o valor nulo (0). Veja os exemplos abaixo, onde reescrevemos algumas medidas de massa na forma de potências de 10 (notação científica):

A = 0,2 kg = 2.10-1 kg B = 5,0 kg = 5,0.100 kg C = 30 kg = 3,0.101 kg D = 85 kg = 8,5.101 kg

Vê-se então que seriam necessárias 3 décadas para representar estes valores. Colocando na origem do eixo a graduação g0 = 1.10-1, podemos

representar os valores a serem marcados, como mostrados na Figura K-6:

Figura K-6 – Exemplo de escala logarítmica aplica a quatro medidas de massa. Existem duas possibilidades de gráficos com escalas logarítmicas:

• Mono-log: um dos eixos é uma escala linear e o outro é uma escala logarítmica;

• Di-log: neste, os dois eixos são escalas logarítmicas.

A escala logarítmica é muito útil quando estamos tratando com funções do tipo potência (y = a⋅⋅⋅⋅xn) e do tipo exponencial (y = a⋅⋅⋅⋅en⋅⋅⋅⋅x), onde a e n são constantes. Estas funções sempre podem ser linearizadas com o uso de escalas logarítmicas.

* Função tipo potência

Quando se suspeita que a relação entre duas grandezas, x e y, é uma lei de potência na forma y = a⋅⋅⋅⋅xn, procede-se do seguinte modo:

• Aplica-se o logaritmo a ambos os lados da relação (igualdade) e utiliza-se as propriedades do logaritmo:

(((( ))))

y log

((((

a x

))))

log

(((( ))))

y log

(((( ))))

a n log

(((( ))))

x

log ==== ⋅⋅⋅⋅ n ⇒⇒⇒⇒ ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅

• Faz-se uma mudança de variáveis Y ====log

(((( ))))

y , A====log

(((( ))))

a e

(((( ))))

x

X ====log , para obter-se:

X A Y ==== ++++n⋅⋅⋅⋅

que é a equação de uma reta (relação linear), sendo n o coeficiente angular da reta (que é também a potência da função que relaciona x e

y). O coeficiente linear A é o logaritmo da constante de proporcionalidade entre x e y, explicitamente log(a).

A linearização com o uso do logaritmo de ambas as variáveis pode ser feita explicitamente, calculando-se o logaritmo de ambas as variáveis e propagando-se o erro; ou, de forma mais facilitada, mudando-se a escala dos eixos, de linear, para logarítmica. A segunda opção é particularmente fácil com os programas de computador que fazem gráficos (incluindo o SciDAVis).

Para gráficos manuais, existe o papel di-log, que já vimos no módulo anterior. O papel di-log tem os dois eixos (X e Y) em escala logarítmica, de modo que não precisamos calcular os logaritmos das variáveis medidas. Tudo que precisamos fazer é plotar os pontos nos locais corretos, conforme seus valores.

Vamos aprender este tipo de linearização, com os dois exemplos anteriores, da análise da relação entre T e L para um pêndulo e da análise da relação entre λλλλ e f para a velocidade do som no ar.

Exemplo 1) No caso do pêndulo simples vimos que T ====2ππππ

((((

L g

))))

1/2, de modo que se aplicarmos o logaritmo de ambos os lados da igualdade, teremos:

(((( ))))

[[[[

((((

))))

]]]]

(((( ))))

(((( ))))

L g T g L T log 2 1 2 log log / 2 log log 1/2 _++++ ⋅⋅⋅⋅       = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = ππππ ππππ (11.3)

ou seja, se Y ====log

(((( ))))

T , A====log

((((

2ππππ ⋅⋅⋅⋅g−−−−1/2

))))

e X ====log

(((( ))))

L , obtém-se

2

X A

Y ==== ++++ .

Uma forma de aplicar esta linearização é plotar os pontos da Tabela 11.1 em um gráfico cujos eixos são logarítmicos, conforme mostra a Figura K-7 (página seguinte).

O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre log(T) e log(L): A====

((((

0,305±±±±0,002

))))

log(s/m1/2) e

((((

0,48±±±±0,01

))))

= == =

B . Note que por se tratar de um ajuste a pontos experimentais (sujeitos a erros), o valor do coeficiente angular da reta (B) não é exatamente 1/2, como previsto na equação 11.3; embora seja

Figura K-7 – Gráfico da variação do período “T” de um pêndulo, conforme o seu comprimento “L”, com ambos os eixos do gráfico em escala logarítmica.

Já o coeficiente linear (A) guarda relação com a aceleração da gravidade local: _log

((((

₂ −−−−1/2

))))

⋅⋅⋅⋅ =

==

= g

A ππππ . Portanto, pode-se determinar a aceleração da gravidade experimentalmente, isto é:

691 , 9 10 2 10 2 2 305 , 0 2 = = = =       = = = =       = = = = ππππ ππππ A g m/s2

(((( ))))

(((( ))))

2 0,002 0,04 10 2 2 10 2 2 305 , 0 2 = = = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅       = = = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅       = = = = ππππ erro A ππππ g erro _A m/s2

((((

9,69±±±±0,04

))))

= = = = g m/s2

Exemplo 2) Para o caso da velocidade do som, vimos que 1

v −−−− = == = f λ λ λ λ .

Aplicando-se o logaritmo em ambos os lados da igualdade, teremos:

log

(((( ))))

λλλλ ====log

((((

v f −−−−1

))))

⇒⇒⇒⇒ log

(((( ))))

λλλλ ====log

(((( ))))

v −−−−log

(((( ))))

f (11.4) ou seja, se Y ====log

(((( ))))

λλλλ , A====log

(((( ))))

v e X ====log

(((( ))))

f , obtém-se Y ==== A−−−−X.

Uma forma de aplicar esta linearização é plotar os pontos da Tabela 11.2 em um gráfico cujos eixos são logarítmicos, conforme mostra a Figura K-8.

Figura K-8 – Gráfico da variação do comprimento de onda “λ” de uma onda sonora, conforme a frequência “ f ”, com ambos os eixos do gráfico em escala logarítmica.

O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre log(λλλλ) e log(f): A====

((((

2,541±±±±0,007

))))

log(m/s) e

((((

1,001±±±±0,003

))))

− − − − = == =

B . Note que por se tratar de um ajuste a pontos experimentais (sujeitos a erros), o valor do coeficiente angular da reta (B) não é exatamente -1, como previsto na equação 11.4; embora seja muito próximo e compatível com este valor, considerando-se o erro.

Já o coeficiente linear (A) guarda relação com a velocidade do som no ar: A====log

(((( ))))

v . Portanto, pode-se determinar a velocidade do som experimentalmente, isto é: 5 , 347 10 10 v==== A ==== 2,541 ==== m/s erro

(((( ))))

v ====10A⋅⋅⋅⋅erro

(((( ))))

A ====102,541⋅⋅⋅⋅0,007====2m/s

((((

348 2

))))

v==== ±±±± m/s

* Função exponencial

Normalmente, os alunos dos cursos de Exatas aprendem a função exponencial, x

e ou exp

(((( ))))

x , somente na disciplina de Cálculo I. Ela tem uma série de propriedades especiais, mas o importante para nós, neste momento, é que ela aparece em uma série de fenômenos naturais, quando a taxa de crescimento ou decréscimo de uma variável é proporcional ao valor da própria variável. Este é o caso da descarga de um capacitor, do decaimento radioativo, de alguns crescimentos populacionais, do funcionamento de diodos e transistores, entre outros. A base da exponencial tem o valor de e = 2,718281828459045..., mas obviamente você não precisa se preocupar em decorar isto, pois a função exponencial pode ser acessada e calculada com qualquer calculadora científica ou programa (procure por “ex” nas teclas e consulte o manual para aprender a usá-la).

Quando se suspeita que a relação entre duas grandezas, x e y, envolve uma função exponencial, na forma y = a⋅⋅⋅⋅en⋅⋅⋅⋅x, procede-se do seguinte modo:

• Aplica-se o logaritmo em ambos os lados da equação e trabalha-se com as propriedades do logaritmo:

(((( ))))

y ====

((((

a⋅⋅⋅⋅e ⋅⋅⋅⋅x

))))

⇒⇒⇒⇒

(((( ))))

y ====

(((( ))))

a ++++ ⋅⋅⋅⋅

(((( ))))

e ⋅⋅⋅⋅x log n log log log log n

• Fazendo Y ====log

(((( ))))

y , A====log

(((( ))))

a , B====a⋅⋅⋅⋅log

(((( ))))

e e X ==== x, obtém-se:

X B A Y ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅

que é a equação de uma reta (relação linear), sendo a log⋅⋅⋅⋅

(((( ))))

e o coeficiente angular da reta. O termo log

(((( ))))

e é uma constante e vale explicitamente log

(((( ))))

e ====0,434294481. O coeficiente linear A é o logaritmo da constante de proporcionalidade entre a função exponencial envolvendo x e y, explicitamente log(a).

Note que nesta linearização, apenas a variável dependente (y) tem dependência logarítmica. A variável independente (x), pode ser representada com seu valor normal. A linearização pode ser feita, calculando-se o logaritmo da variável dependente e propagando-se o erro; ou, de forma mais facilitada, mudando-se a escala do eixo Y, de linear, para logarítmica. A segunda opção é particularmente fácil com os programas de computador que fazem gráficos (incluindo o SciDAVis).

Para gráficos manuais, existe o papel mono-log, que já vimos no módulo anterior. O papel mono-log tem apenas o eixo Y em escala logarítmica, de modo que não precisamos calcular o logaritmo da variável dependente. Tudo que precisamos fazer é plotar os pontos nos locais corretos, conforme seus valores.

Para aprender este tipo de linearização, não podemos utilizar os dois exemplos anteriores (relação entre T e L para um pêndulo e relação entre λλλλ e f para a velocidade do som no ar), pois eles não envolvem a função exponencial. Vamos utilizar outros dois exemplos naturais bem conhecidos.

Exemplo 3) Vamos considerar a descarga de um capacitor. A Tabela 11.5 mostra medidas da voltagem entre os terminais de um capacitor, ao longo do tempo, durante uma decarga em um circuito em série com um resistor (circuito RC).

Tabela 11.5 – Descarga de um Capacitor-RC Medida t (± 0,5) (s) Vc (± 0,03) (V) 1 1,0 4,98 2 10,0 4,76 3 20,0 4,57 4 40,0 4,14 5 80,0 3,48 6 160,0 2,43 7 320,0 1,15 8 640,0 0,27

Se fizermos simplesmente um gráfico da voltagem Vc (variável dependente) contra o tempo t (variável independente), teremos o aspecto mostrado na Figura K-9 (página seguinte).

A voltagem de um capacitor de capacitância C, carregado com a carga inicial Q 0, colocado em um circuito em série com uma resistência R, é dada por:

(((( ))))

      ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ = == = C R t C Q t Vc 0 exp _(11.5)

Podemos chamar Vc₀ ====Q₀ C====V

((((

t====0

))))

de voltagem inicial no capacitor e de ττττ ====R ⋅⋅⋅⋅C a escala de tempo característica de descarga do capacitor.

Figura K-9 – Gráfico da variação da voltagem em um capacitor “Vc”, conforme o tempo de funcionamento do circuito “t”, durante a descarga de um capacitor.

log

(((( ))))

Vc ====log

[[[[

Vc0 ⋅⋅⋅⋅exp

((((

−−−−t

))))

]]]]

⇒⇒⇒⇒ log

(((( ))))

Vc ====log

((((

Vc0

))))

−−−− t ⋅⋅⋅⋅log

(((( ))))

e ττττ

ττττ (11.6)

ou seja, se Y ====log

(((( ))))

Vc , A ====log Vc

((((

0

))))

,

(((( ))))

ττττ e B====−−−− log e X ====t, obtém-se X B A Y ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ .

Uma forma de aplicar esta linearização é plotar os pontos da Tabela 11.5 em um gráfico cujo eixo Y é logarítmico, conforme mostra a Figura K-10 (página seguinte).

O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre log(Vc) e t : A====

((((

0,6984±±±±0,0008

))))

log(V) e

((((

))))

3 10 01 , 0 97 , 1 ±±±± ×××× −−−− − − − − = == =

B s-1. O valor do coeficiente linear da reta (A) fornece o valor da voltagem inicial do capacitor, como previsto na equação 11.6: 993 , 4 10 10 0,6984 0 ==== ==== ==== A Vc V erro

((((

Vc₀

))))

====10A⋅⋅⋅⋅erro

(((( ))))

A ====100,6984⋅⋅⋅⋅0,0008====0,004 _V

((((

4,993 0,004

))))

0 ==== ±±±± Vc V

Figura K-10 – Gráfico da variação do período “T” de um pêndulo, conforme o seu comprimento “L”, com o eixo Y do gráfico em escala logarítmica.

Já o coeficiente linear (B) guarda relação com o produto entre a capacitância do capacitor C e a resistência do circuito R; nominalmente

(((( ))))

e B C

R⋅⋅⋅⋅ ====log . Assim, sabendo-se o valor da resistência, encontra-se o valor da capacitância e vice-versa, dependendo do que o problema requerer.

Exemplo 4) Vamos considerar a variação de pressão atmosférica com a altura. A Tabela 11.6 mostra medidas da pressão atmosférica (Pa) feitas por um balão meteorológico em diversas alturas (h).

Tabela 11.6 – Medidas de Pressão Atmosférica em Diferentes Altitudes Medida h (± 0,05) (km) Pa (± 0,4) (mb) I 0,63 955,0 II 1,58 846,1 III 2,05 795,2 IV 4,17 611,8 V 6,42 455,4 VI 8,21 361,8 VII 10,02 287,2 VIII 15,26 146,8 IX 20,09 81,6

Se fizermos simplesmente um gráfico da pressão atmosférica Pa (variável dependente) contra a altura h (variável independente), teremos o aspecto mostrado na Figura K-11.

Figura K-11 – Gráfico da variação da pressão atmosférica “Pa”, conforme a altura “h”, medidos por um balão meteorológico.

A variação da pressão atmosférica Pa conforme a altura h, é dada por:

(((( ))))

      − − − − ⋅⋅⋅⋅ = == = H h P h Pa ₀ exp (11.7)

onde P₀ ====Pa

((((

h====0

))))

é a pressão no nível do mar (h = 0 km) e H é a chamada escala de altura característica de variação da pressão. Aplicando o logaritmo de ambos os lados da equação 11.7, teremos:

(((( ))))

[[[[

((((

))))

]]]]

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

e H h P Pa H h P

Pa log exp log log log

log ==== ₀ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== ₀ −−−− ⋅⋅⋅⋅ (11.8)

ou seja, se Y ====log

(((( ))))

Pa , A ====log P

(((( ))))

₀ ,

(((( ))))

H e B====−−−− log e X ====h, obtém-se X B A Y ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ .

Uma forma de aplicar esta linearização é plotar os pontos da Tabela 11.6 em um gráfico cujo eixo Y é logarítmico, conforme mostra a Figura K-12.

Figura K-12 – Gráfico da variação da pressão atmosférica “Pa”, conforme a altura “h”, medidos por um balão meteorológico, com o eixo Y do gráfico em escala logarítmica.

O ajuste linear (em vermelho) fornece os coeficientes linear e angular da relação entre log(Pa) e h : A====

((((

3,0150±±±±0,0006

))))

log(mb) e

((((

))))

2 10 02 , 0 54 , 5 −−−− × × × × ± ± ± ± − − − − = == =

B km-1. O valor do coeficiente linear da reta (A) fornece o valor da pressão ao nível do mar, como previsto na equação 11.8: 1 , 1035 10 10 3,0150 0 ==== ==== ==== A P mb erro

(((( ))))

P0 ====10 ⋅⋅⋅⋅erro

(((( ))))

A ====103,0150⋅⋅⋅⋅0,0006====0,6 A _mb

((((

1035,1 0,6

))))

0 ==== ±±±± P mb

Já o coeficiente linear (B) guarda relação com escala de altura característica de variação da pressão H; nominalmente:

(((( ))))

(((( ))))

7,84 10 54 , 5 log log ₂ ==== × × × × = = = = = = = = e B e ₋₋₋₋ H km

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

((((

5,54 10

))))

2 10 0,03 log log 4 2 2 2 ⋅⋅⋅⋅ ×××× ==== × × × × = = = = ⋅⋅⋅⋅ = == = −−−− − −− − e B erro B e H erro km

((((

7,84±±±±0,03

))))

= = = = H km

É importante perceber que a linearização de função não é complicada de se fazer, mas nem sempre sua interpretação é facilitada. Apenas olhar para um gráfico e “adivinhar” qual é a linearização a ser efetuada, requer experiência com o conjunto de medidas que se está tratando. Por isto, muitas vezes é melhor aproveitar as facilidades dos programas de construção de gráficos e efetuar diversas opções de linearização, verificando se existe alguma apropriada para o conjunto de medidas analisado.

Nem todas as funções são passíveis de linearização. Por exemplo quando relacionamos a posição s e o tempo t em um movimento uniformemente variado, com posição e velocidade iniciais não nulas, temos:

(((( ))))

((((

))))

2 0 0 v t a/2 t s t s ==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅

para a qual não existe linearização possível. Nestas situações, o ajuste de curvas tem que ser efetuado por um método que permita o ajuste de uma curva não linear (neste caso, o ajuste de um polinômio de segundo grau). Embora existam diversos métodos matemáticos para efetuar o melhor ajuste a um conjunto de pontos, nesta disciplina veremos este processo apenas de forma prática, com programas geradores de gráficos. Isto será estudado melhor na disciplina de Cálculo Numérico.