Publicações do PESC Contribuição às Aplicações dos Modelos de Recobrimento e Particionamento em Programação Inteira

CONTRIBUIÇÃO

A S A P L I C A Ç Õ E S DOS M O D E L O S D E R E C O B R I M E N T O

E

PARTICIONAMENTO

E M P R O G R A M A C Ã O

INTEIRA

G e r a l d o G a l d i n o

d e P a u l a J u n i o r

T E S E

SUBMETIDA

A O C O R P O D O C E N T E D A C O O R D E N A Ç Ã O

D O S P R O G R A M A S

D E

P Ó S - G R A D U A Ç Ã O D E E N G E N H A R I A D A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DO R I O

D E

JANEIRO

C O M O

P A R T E

D O S

REQUISITOS

NECESSARIOS

P A R A A

O B T E N Ç Ã O

DO G R A U D E M E S T R E EM C I E N C I A S ( M . S c . ) .

A p r o v a d a

p o r :

P r o f . N e l s o n M a c u l a n

$i

1 h o

( P r e s i d e n t e )

g y / 4 ' 6 .

-

-

/4

c . 4 1

G o f . & o

L i z a r d o R . H . d e A r a ú j o

- 0

/c4

&C-,

-P r o f . D e r n ê t r i o A 1 o n s o R i b e i r o

R I O D E J A N E I R O , R J

-

B R A S I L

MARÇO D E 1 9 7 8

PATJLA JUNIOR, GERALDO GALDINO DE

Contribuição

às

~ ~ l i c a ç õ e s dos Modelos de Recobrimento e Particionamento

&

~rograrnação I n t e i r a

[

Rio de Janeiro]

1978.

IX, 160p. 29,7cm (COPPE-UFRJ

,

M. Sc. Engenharia de Sistemas e ~omputação,

1978)

A Maria do C a r m o

A o D u d u

iii

Agradecimentos

v á r i a s pessoas e i n s t i t u i ç õ e s colaboraram para a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o . A e l a s agradecemos e em e s p e c i a l

ao Professor Nelson Maculan, p e l o seu incentivo constante e p e l a orientação e f i c i e n t e , colocando a nossa disposição seu amplo cabe- da1 de experiência e conhecimentos técnicos;

ao Professor Michel Minoux, da Ecole Nationale s u p é r i e u r de Techniques ~ v a n c é e , de P a r i s , com quem tivemos a oportunidade de discu- t i r importantes aspectos d e s t e trabalho, quando de sua passagem p e l a COPPE;

à

Universidade Federal de Viçosa, que proporcionou suporte f i n a n c e i r o p a r a a r e a l i z a ç ã o d e s t a pesquisa;

aos Professores ~ o ã o Lizardo R . H. de ~ r a Ú j o e ~ e m é t r i o Alonso Ribeiro, p e l a p a r t i c i p a ç ã o da banca de Tese;

e

à

coordenação dos Programas de ~ & - ~ r a d u a ç ã o de Engenha- r i a da Universidade Federal do Rio de Janeiro, p e l a oportunidade do Mestra

-

do em Engenharia de Sistemas e ~ o m ~ u t a ç ã o .

E s t e t r a b a l h o u m código p a r a a solução automática de problemas combinat6rios em ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a bivalente. O algoritmo de E-

22

numeração ~ m p l i c i t a

é

u t i l i z a d o na forma proposta por GEOFFRION

,

como s i m

-

L 2.,

p l i f i c a ç ã o do algoritmo de BALAS

.

~ e s t r i ç õ e s s u b s t i t u t a s ou F i l t r o s , sao implementados para a c e l e r a r o processo de enumeração de pseudo-soluçÕes p a r

-

c i a i s . O s problemas de determinação dos conjuntos Recobrimento e P a r t i c i o n a

-

mento d n i m o s e suas formas p a r t i c u l a r e s dentro da t e o r i a dos g r a f o s não o- rientados são t r a t a d o s aqui, e como aplicação,

é

proposta uma metodologia para a solução do problema de alocação Ótima ou p e l o menos v i á v e l , de tri-

Summar y

This work proposes a code f o r automatic s o l u t i o n of combinatorial problems i n b i v a l e n t I n t e g e r Programming. The I m p l i c i t

22

Enumeration algorithm i s u t i l i z e d i n t h e form proposed by GEOFFRION

,

a s

2

a s i m p l i f i c a t i o n of t h e BALAS algorithm. F i l t e r s o r s u r r o g a t e c o n s t r a i n t s a r e implemented t o a c c e l e r a t e t h e p a r t i a 1 pseudo-solutions enumeration process. The set-covering and s e t - p a r t i t i o n i n g problems and i t s p a r t i c u l a r v e r s i o n s w i t h i n non-oriented graph theory, a r e t r e a t e d here. A s an a p p l i c a t i o n , a methodology i s proposed f o r t h e s o l u t i o n of a i r l i n e crew scheduling problem.

I N D I C E

- - -

c a p i t u l o I

-

Modelos ~ o m b i n a t ó r i o s : Suas k e a s de ~ p l i c a ç ã o , H i s - t ó r i c o , Dificuldade Computacional e Plano de Traba- l h o . . .

-

1.1

-

Introduçao

...

1 . 2

-

~ i s t ó r i c o

...

1.3

-

Dificuldades da Área e P o l i t i c a para vencê-las.

.

1 . 4

-

Plano de T r a b a l h o . . .

c a p i t u l o I1 - O Processo de ~ n u m e r a ~ ã o das seud do-~oluçÕes.

. . .

. . s 2 . 1

-

Introduçao

...

-

2.2

-

Definiçao do P r o b l e m a . . .

2.3

-

Procedimento para Enumerar a s ~ o l u ç Õ e s de (P)

.

.

.

2.4

-

c r i t é r i o p a r a construção do Melhor Complemento

de uma Pseudo-~olução P a r c i a l . .

. . .

. . .

. . .

.

. .

2.5

-

0 Algoritmo

...

2.6

-

~ c e l e r a ç ã o do Algoritmo, F i l t r o s ou R e s t r i ç õ e s

S u b s t i t u t a s . . .

2.7

-

Algumas 0bservaçÕes Adicionais..

. . . .

. . .

.

.

. .

. . . .

.

c a p i t u l o 111

-

O s Modelos de Recobrimento e Particionamento..

. .

.

.

.

. . .

N

3.1

-

Introduçao

...

3.2

-

Conjunto Recobrimento e Conjunto Particionamento

-

3.3

-

Definiçao dos M o d e l o s . . .

3.4

-

conversão de um (PCP) em um (PCR

)

. .

. .

. . .

. . .

. . .

3.5

-

Reduções ( ~ l i m i n a ç ã o de Linhas e Colunas da Ma- t r i z dos Modelos de Recobrimento e Particioname; t o ) .

.

.

. . .

.

. . . .

.

. . . .

.

. .

.

. . .

v i i

3.6

-

O s Modelos de Recobrimento e Particionamento e

suas Formas continuas

...

44

3.7

-

Algoritmo p a r a a solução dos Problemas de Reco- brimento e Particionamento...

45

c a p i t u l o I V

-

O Emparelhamento ~ á x i m o e Recobrimento Minimo em Gra- ,.! f o s Nao O r i e n t a d o s . . .

47

-

4.1

-

Introduçao

...

47

4.2

-

Conceitos ~ á s i c o s

...

47

4.3

-

Emparelhamento em Grafos Bipartidos

...

51

4.4

-

O Problema do Recobrimento em um Grafo...

53

4.5

-

~ e l a ~ õ e s e n t r e Emparelhamentos e Recobrimentos ,.! em um Grafo Nao O r i e n t a d o . . .

₅₄

,.! 4.6

-

Observaçoes A d i c i o n a i s . . .

56

c a p i t u l o V

-

c8digo para a ~ o l u ç ã o dos Problemas de ~ r o ~ r a m a ç ã o In- t e i r a Bivalente, de ~ e t e r m i n a ç ã o dos Conjuntos RecobrL mento e Particionamento Minimos, Empar&lhamento ~ á x i m o e Recobrimento Mhimo em um Grafo N ~ O Orientado.

...

57

N

5.1

-

Introduçao

...

57

5.2

-

A Linguagem U t i l i z a d a . . .

57

5.3

-

Aspectos E3ásicos do Programa

...

58

-

5.4

-

Descriçao Sucinta das P r i n c i p a i s Rotinas do P p grama e suas P r i n c i p a i s v a r i á v e i s ~ o c a i s ou Pas- A sadas como Parametros...

58

-

5.5

-

C o n c i u s o e s . . .

67

5.6

-

Como U t i l i z a r o Programa

...

67 c a p i t u l o V I

-

Aplicação: Catalogação e ~ l o c a ~ ã o de ~ r i ~ u l a ç õ e s em Linhas ( ~ o t a s ) Aéreas..

...

70

..,

6 . 1

-

Introduçao

...

70

v i i i

6.2

-

Aspectos G e r a i s e ~ o r m u l a ç ã o do Problema..

...

₇₀

6.3

-

O Gerador da Matriz d a s ~ e s t r i ~ õ e s

atriz

Catá-

logo)

...

72

N

6.4

-

A Questao dos c u s t o s . . . , . . .

₇₃

N

6.5

-

A s Reduçoes

...

₇₄

6.6

-

~ t r i b u i ç ã o ( ~ l o c a ç ã o ) I n d i v i d u a l de T r i p u l a n t e s w

...

à s

Tripulaçoes

74

6.7

-

Um Tratamento A l t e r n a t i v o da Modelagem

...

₇₅

N

6.8

-

Uma I l u s t r a ç a o Numérica

...

76

A Apendice

...

81

...

B i b l i o g r a f i a

154

MODELOS COMBINAT~RIOS : SUAS ÁREAS DE APLICAÇÃO, HIST~RICO

,

DIFICULDADE COMPUTACIONAL E PLANO DE TRABALHO.

Na l i t e r a t u r a c o r r e n t e sobre ~ r o ~ r a m a ç ã o ~ a t e m á t i c a e em p a r

-

titular sobre ~rogramação I n t e i r a , encontramos f a r t a s r e f e r ê n c i a s ao f a t o de que o p o t e n c i a l de aplicação d e s t a á r e a tem c r e s c i d o enormemente e nas duas Últimas décadas numerosos avanços t e ó r i c o s foram r e g i s t r a d o s . Como re- sultado d e s t e s avanços temos hoje uma v a s t a coleção de métodos e algoritmos que a l i a d o s ao desenvolvimento da exatidão, velocidade e s o f i s t i c a ç ã o dos sistemas de computadores d i g i t a i s , prometem s e r de grande v a l i a na solução de importantes problemas p r á t i c o s que e s t ã o surgindo.

Neste t r a b a l h o tentaremos f a z e r l i g e i r a s contribuiçÕes

as

a- plicações de r e s u l t a d o s de natureza cornbinatória, colocando

i

disposição um código p a r a solução dos problemas de ~ r o ~ r a r n a ç ã o I n t e i r a bivalente, de de- terminação dos conjuntos recobrimento e particionamento d n i m o s , emparelha- mento máximo e recobrimento d n i m o em g r a f o s não orientados.

Desde que a s c i r c u n s t & c i a s forçaram uma opção p e l a s o f i s t i - cação tecnolÓgica, v á r i o s problemas de natureza combinatória surgiram e c02

I r

tinuam aparecendo e os identificamos frequentemente na construção de gran- des redes de transmissão de informações ou de dados p a r a processamento auto

, . ,

mático, no s e t o r de t r a n s p o r t e urbano, na alocação de t r i p u l a ç õ e s e avioes das companhias aéreas, na administração do espaço f i s i c o em e s c o l a s e uni- versidades, no s e t o r p o l i t i c o , na construção de c i r c u i t o s e l e t r ô n i c o s i m -

pressos, na recuperação de informações de grandes arquivos em c e n t r o s de processamento de dados, na seleção de p r o j e t o s s u j e i t o s a uma r e s t r i ç ã o or-

çament&ia, e t c . Com a necessidade das soluçÕes desses problemas, e s t á sur- gindo uma área de estudos que poderiamos denominar de "otimização combinató

-

r i a " e

é

nesse campo que pretendemos desenvolver algumas experiências. .

Naturalmente foram muitos os pesquisadores que trabalharam com processos enumerativos de busca de soluçÕes de problemas de ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a , que promoveram progressos no estudo de s i t u a ç õ e s especialmente es- t r u t u r a d a s , como os problemas dos conjuntos recobrimento e particionamento, suas r e l a ç õ e s e seu enfoque p a r t i c u l a r dentro da t e o r i a dos grafos. Mas pa- r a f i n s do nosso t r a b a l h o e seguindo a ordem em que abordaremos os f a t o s , faremos um breve h i s t ó r i c o , relacionando somente os nomes dos p r i n c i p a i s c o n t r i b u i n t e s .

Praticamente, o primeiro t r a b a l h o a e s t a b e l e c e r v a l i o s o s crL t é r i o s no sentido de otimizar processos de enumeração e a receber ampla d i - vulgação nos s e t o r e s especializados, f o i o de LAND e DOIG em 1960, resumida mente referenciado p e l o nome de "Branch and Bound". Posteriormente, em

1953,

BALAS introduziu a s bases da enumeração i m p l i c i t a bivalente, aperfeiçoada por e l e mesmo em

1965,

quando o processo chamou a atenção dos e s p e c i a l i s t a s de Pesquisa Operacional. Seguindo a e s t a f a s e , GLOVER, a p a r t i r de

1965,

introduziu s e n s i v e i s progressos, mostrando a p o s s i b i l i d a d e de serem usadas r e s t r i ç õ e s e s p e c i a i s que funcionariam como f i l t r o s , promovendo a aceleração do processo. GEOFFRION,

1967

e

1969,

mostrou um i n t e r e s s a n t e processo de ge r a r e s s e s f i l t r o s a p a r t i r de soluções produzidas por v a r i á v e i s d u a i s r e l a - t i v a s

às

r e s t r i ç õ e s do problema proposto, juntamente com uma l i g e i r a modifi cação do conceito de "poder" desses f i l t r o s no s e n t i d o de a c e l e r a r a conver

-

gência, inicialmente proposto por GLOVER.

ai

em d i a n t e e por algum tempo, BALAS, GLOVER e GEOFFRION s e alternaram e outros pesquisadores como SPIELBERG, LEMKE e SALKIN, introduziram refinamentos v a l i o s o s na f m a dos

t e s t e s e x i s t e n t e s . GARFINKEL e NEMHAUSER, promoveram estudos e algoritmos e s p e c i a i s p a r a a solução dos problemas de determinação dos conjuntos reco- brimento e particionamento minimos. Nesse sentido podemos c i t a r mais uma vez a de BALAS que proporcionou, juntamente com PADBERG, r e s u l

_-

tados i n t e r e s s a n t e s nesse campo. A equivalência e n t r e o emparelhamento máxi

-

..2

mo e o recobrimento minimo em um g r a f o nao orientado, f o i construida por NORMAN e RABIN em 1959. Um r e c e n t e t r a b a l h o de BALAS e SAMUELSSON,

19-/7,

apresentou um novo algoritmo para os problemas de emparelhamento e reco- brimento em graf os não orientados. Outros pesquisadores, como GREENBERG, BELLMORE

,

SPITZER

,

BALINSKI e QUANDT

,

s e ocuparam de aplicaçÕes, resolvendo importantes problemas p r á t i c o s , u t i l i z a n d o os recursos c o m b i n a t ~ r i o i mencio

-

nados.

..2

Diferentemente ao caso dos programas

continuas

( ~ r o ~ r a m a ç a o ~ i n e a r ) , não há esperanças de, no f u t u r o podermos r e s o l v e r todos

os problemas de Programação I n t e i r a por um Único algoritmo. Por outro lado, a dificuldade computacional observada n a s t é c n i c a s de ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a de c a r á t e r g e r a l , conduziu

à

formulação e desenvolvimento de métodos especi

-

a i s para solução de problemas i n t e i r o s que possuam e s t r u t u r a s p a r t i c u l a r e s . I s t o

é,

algoritmos e s p e c i a i s são continuamente produzidos u t i l i z a n d o a es- t r u t u r a p a r t i c u l a r de uma f a d l i a de problemas. Uma outra p o s s i b i l i d a d e ,

é

p r o j e t a r algoritmos complexos, capazes de a n a l i s a r , a v a l i a r e d e c i d i r que t i p o de procedimento poderia s e r aplicado na solução do problema p a r t i c u - l a r que s e apresentasse. Por exemplo, existem algoritmos para solução do p r o

-

blema de determinação do conjunto recobrimento minimo, que trabalham melhor com matrizes de a l t a densidade e outros, ao c o n t r á r i o , são mais e f i c a z e s no t r a t o com matrizes de baixa densidade. Aceitamos a i d é i a de que qualquer e? tudo experimental dentro d e s t e campo, deva s e r levado a e f e i t o com uma

_-

t i c a (que pode s e r uma dessas), bem d e f i n i d a em mente, o que t e n d e r i a mini- mizar d i f i c u l d a d e s de ordem global.

Iniciaremos com um

capitulo

sobre enumeração p a r c i a l que de- verá s e c o n s t i t u i r no miolo de todo o processo que produzirá na sua Última forma, a ferramenta com que poderemos r e s o l v e r o problema (aplicação) pro- posto no cAF'ÍTULO V I . Em seguida cuidaremos de uma p a r t e dedicada

;

questão da determinação dos conjuntos recobrimento e particionamento d n i m o s (na sua forma p r á t i c a , o modelo de particionamento s e assemelha ao de recobri- mento com r e s t r i ç õ e s de igualdade).

&,

no CAP~TULO 111, e s t a r á o esqueleto da aplicação que pretendemos recomendar. Segue o CAP~TULO I V , onde r e l a c i o - namos a s i d é i a s p a r t i c u l a r e s , daquelas do CAF'ÍTULO 111, dentro da Teoria dos Grafos, i. e . , trataremos com o emparelhamento máximo e recobrimento

&

nimo em g r a f o s não orientados. No CAF'ÍTULO V, descrevemos a construção do código, objeto c e n t r a l de nossas experiências e finalmente, no cAF'ÍTULO V I , ilustramos a a p l i c a b i l i d a d e do programa, recomendando uma aplicação r e f e r e s t e

;

alocação de t r i p u l a ç õ e s em r o t a s a é r e a s p a r a uma companhia de aviação.

Vamos colecionar e ordenar os r e s u l t a d o s necessários p a r a a solução de um problema de ~ r o g r a m a ~ ã o I n t e i r a bivalente, p e l o método de enu

-

meração p a r c i a l ou enumeração i m p l i c i t a , como

é

conhecido na l i t e r a t u r a cor r e n t e .

S e j a z uma função

Sobre

z

queremos r e s o l v e r o seguinte problema:

minimizar z =

1

s u j e i t o a b.4- ₁

)

_{a . x . > 0 , i~ J} i < M = ( ' ,

...,

.)

Algumas vezes preferiremos uma forma mais compacta:

minimizar z = cx (11.6)

s u j e i t o a b -i- Ax

>

2,

(11.7) onde c o v e t o r de n dimensõès ( c

. .

. , c

),

b e 0, respectivamente os veto

l'

9

-

t

t

r e s de m dimensões (b

.

.

.

,

b

)

e (0,

. . .

, O ) .

x= (x

,

. . .

,x

)

é

um ve'cor biná-

1' m 1 n

r i o de n dimensões e A= ( a .

.),

6

unia matriz mxn. Qualquer v e t o r b i n á r i o x de

1 J

n dimensões, s e r á chamado uma l~pseudo-soluç~o" de

(P)

.

Qualquer pseudo-solu

-

&o que s a t i s f i z e r

(11.4)~

s e r á chamada de solução v i á v e l de (P) e a solu- ção v i á v e l de (P) que minimizar, z e n t r e todas a s soluçÕes v i á v e i s , implici- t a ou explicitamente enumeradas, s e r á chamada de solução Ótima de ( P ) .

Suporemos sempre que c > 0, sem que i s t o c o n s t i t u a uma res- t r i ç ã o generalidade, uma vez que, ocorrendo c

.<

O, transformaremos x em

J j

1

-

x g . NO decorrer da apresentação das i d é i a s , f i c a r á c l a r a a necessidade j

de mantermos sempre e s t a situação.

~ambém aproveitamos a p o s s i b i l i d a d e de podermos desenvolver u m número na sua correspondente forma (expressão) de base 2, para estender- mos nosso algoritmo na t a r e f a de solucionar qualquer problema de Programa- ção I n t e i r a limitado, i . e . , qualquer problema de Programação I n t e i r a onde cada v a r i á v e l

x

>

0, possui uma c o t a superior u De f a t o , s e x

é

uma v2

k

k'

k

r i á v e l i n t e i r a qualquer, possuindo uma cota superior u _{i . e . , x k < uk, pc} k'

K+1

onde K

é

o menor nÚmero determinado de t a l forma a s a t i s f a z e r 2

-

1> uk. O inconveniente d e s t a representação,

é

a grande quantidade de v a r i á v e i s que surgem p a r a grandes v a l o r e s de u tornando a solução do problema impraticá

k 7

-

v e l dentro de um tempo computacionalmente v i á v e l .

2.3

-

PROCEDIMENTO PARA ENUMERAR PARCIALMENTE A S SOLUÇÕES DE (P)

.

Para formalizar melhor a s i d é i a s envolvidas n e s t e procedimen

-

t o , precisamos de alguns termos (ou expressÕes), c u j a s d e f i n i ç õ e s daremos

-

a gora. Comecemos por "pseudo-soluç~o p a r c i a l " .

Uma pseudo-soluç~o p a r c i a l ,

é

uma a t r i b u i ç ã o de v a l o r e s biná

-

r i o s a um subconjunto das n v a r i á v e i s .

Uma v a r i á v e l

à

qual não s e a t r i b u i u v a l o r , s e r á chamada de " v a r i á v e l l i v r e " ( t r a t a - s e de uma v a r i á v e l l i v r e p a r a receber uma a t r i b u i - ção b i n á r i a no momento em que os t e s t e s do algoritmo determinarem).

Representaremos uma pseudo-soluç~o p a r c i a l por W, conjunto dos í n d i c e s das v a r i á v e i s que compõem a pseudo-soluç~o p a r c i a l , de t a l f o r - ma que s e j W, x . = l e s e - j Para i l u s t r a r , s e E J teremos x =1, x =1,

4

x

6

=o

e a s v a r i á v e i s l i v r e s re- 2 m,

lativamente a e s t a pseudo-soluç~o p a r c i a l , serao x X3 e X5-

Dada uma pseudo-soluç~o p a r c i a l W, t a l que c a r d ( ~ ) = k , exis- tem n-k v a r i á v e i s l i v r e s . Atribuindo v a l o r e s 0-1 a e s s a s n-k v a r i á v e i s li-

n-k

v r e s , podemos formar 2 v e t o r e s de n-k dimensões, que chamaremos de "veto

-

r e s l i v r e s " . Tomando o pequeno exemplo dado, temos o s s e g u i n t e s v e t o r e s li-

v r e s r e f e r e n t e s a W:

Com i s s o podemos d e f i n i r o complemento de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l .

Um "complemento" ou "remate" de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l W,

é

uma pseudo-soluç~o d e f i n i d a p e l o s v a l o r e s das v a r i á v e i s cujos h d i c e s es- t ã o em W, juntamente com os valores das v a r i á v e i s especificados num dos ve- t o r e s l i v r e s . Mais uma vez, s e n=6 e W=

,

o remate da pseudo-soluç~o p a r c i a l (?, 1, ?, 1, ? , O ) ,

é

a pseudo-solução (1,1,0,1, 1, O ) , formada com o ve- t o r l i v r e

(*)

dado acima.

O complemento nulo de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l ,

é

uma pseu

-

do-solução formada com o v e t o r l i v r e que tem todos os elementos i g u a i s a ze r0

.

O número de complementos de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l

é

na- turalmente o mesmo de v e t o r e s l i v r e s . Portanto, uma pseudo-soluç~o p a r c i a l

n-k

W, t a l que card(#)=k, tem 2 complementos ou remates. W

é

o complemento de si mesma quando não existem v a r i á v e i s l i v r e s . Neste caso, c a r d ( ~ ) = n .

Na descrição do procedimento para enumerar a s pseudo-solu- çÕes p a r c i a i s de (P), a s variações dos verbos "podar" e "sondar", t e r ã o si- gnificados tecnicamente precisos:

O a t o de "podar" uma pseudo-soluç~o p a r c i a l ( P ) , executado p e l o algoritmo, corresponde

2

ação de:

i ) enumerar a pseudo-soluç~o p a r c i a l e enumerar implicitame; t e todos os seus complementos, s e a pseudo-soluç~o p a r c i a l não tem comple- mento v i á v e l .

ii) caso c o n t r á r i o , enumerar o melhor complemento v i á v e l da pseudo-soluç~o p a r c i a l e enumerar implicitamente todos os seus outros com- plementos.

O algoritmo 'lsonda" uma pseudo-soluç~o p a r c i a l quando e l a

é

v i á v e l (ou tem complemento v i á v e l ) , verificando s e seu melhor complemento v i á v e l produz uma c o t a s u p e r i o r sobre a solução ;tima melhor (menor) do que

aquela conhecida a t é aqui. Em seguida poda a r e f e r i d a pseudo-soluç~o parci- a l .

Faremos r e f e r ê n c i a ao "um" como complemento lógico do "zero" e vice-versa, o que certamente não s e r á confundido com complemento de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l .

O número de todos os v e t o r e s binários-que definimos como n

pseudo-soluçÕes de

(P),

é

2

,

e portanto, por u m processo exaustivo de enu- meração, poderiamos encontrar a solução Ótima de (P), quando e l a e x i s t i s s e . Entretanto, qualquer busca exaustiva da solução de (P), s e r i a por demais dispendiosa, principalmente em termos de tempo, para o s v a l o r e s de n que surgem nas aplicações p r á t i c a s . A i d é i a da enumeração p a r c i a l ou i m p l i c i t a ,

2

proposta por BALAS, s u r g i u no sentido de e s t a b e l e c e r um algoritmo munido de c r i t é r i o s que permitissem podar t o d a s . a s pseudo-soluçÕes p a r c i a i s sem per-

I 1

c o r r e r exaustivamente a árvore gerada por e l a s . Esses c r i t é r i o s dão seq&- c i a a um mecanismo dinâmico de avanço e r e t o r n o sobre os ramos da árvore em cu jos nós e s t ã o a s pseudo-soluçÕes.

O algoritmo estabelece uma poda passando ao complemento &i

-

co do Último elemento ainda não complementado na pseudo-soluç~o p a r c i a l po- dada e liberando a s v a r i á v e i s cujos i n d i c e s figuram na pseudo-soluç~o

parti

a 1 podada, imediatamente

à

d i r e i t a dele.

Em resumo, enumeração i m p l i c i t a

é

um processo de solução ba-

.

2.-.

seado na geração de um g r a f o t i p o árvore, c u j o nos sao d e p o s i t á r i o s das pseudo-soluçÕes p a r c i a i s e baseado em c r i t é r i o s que permitem enumerar i m p l i

c i t a ou explicitamente todas a s pseudo-soluçÕes p o s s i v e i s .

W

é

um conjunto ordenado, no s e n t i d o de que a ordem dos seus

11

elementos, r e f l e t e a ordem em que foram gerados, i. e . , r e f l e t e a sequência n a t u r a l definida p e l o s mecanismos de avanço e r e t o r n o do processo enumera- vo. Quando um i n d i c e de W

&

logicamente complementado, e l e

é

também subli- nhado para i n d i c a r que o outro valor de sua v a r i á v e l já f o i considerado. A l -

gumas vezes abreviaremos por "complemento 16gico1r, aquilo que na verdade

é

o complemento lógico sublinhado.

v e r i f i c a s e e l a

é

v i á v e l . Se f o r , v e r i f i c a ainda (sonda) s e seu melhor com- plemento v i á v e l fornece uma c o t a s u p e r i o r sobre a s6iução Ótima, melhor do que aquela conhecida a t é aqui. Se i s t o acontece, a pseudo-soluç~o p a r c i a l

é

considerada sondada, seus complementos são excluidos de f u t u r a s considera- ções, excessão f e i t a de seu melhor complemento v i á v e l que

é

armazenado, j- tamente com a cota, para f u t u r a s averiguações ( f u t u r a s comparações). Se a c o t a produzida não

é

melhor do que a e x i s t e n t e , o algoritmo simplesmente pc

*i ,

da a pseudo-soluç~o p a r c i a l em questão. Se a pseudo-solug~o p a r c i a l nao e v i á v e l , o algoritmo t e n t a vencer a i n v i a b i l i d a d e , buscando uma pseudo-solu- ção p a r c i a l descendente d e s t a , da seguinte forma: coleciona a s v a r i á v e i s li

-

v r e s que f i x a d a s ajudariam na obtenção de uma c o t a superior melhor do que a e x i s t e n t e e cooperariam p a r a vencer a i n v i a b i l i d a d e . Se não existem variá- v e i s l i v r e s com e s s a s caracter:sticas, o algoritmo poda a pseudo-soluç~o paz c i a l . Caso c o n t r á r i o , e l e elege dentre a s v a r i á v e i s com a s c a r a c t e r i s t i c a s acima, aquela que minimiza a quantidade t o t a l de i n v i a b i l i d a d e e x i s t e n t e . O i n d i c e d e s t a v a r i á v e l

é

acrescentado àqueles da pseudo-soluç~o p a r c i a l con- siderada, formando com e l e s uma nova pseudo-soluç~o p a r c i a l descendente da- quela.

k I 1

Representamos por

(W

)

a sequência das pseudo-soluçÕes par- o

c i a i s . O algoritmo i n i c i a o processo de enumeração com W =

4.

O processo

O O

terminaria nesse ponto s e o algoritmo podasse W

,

p o i s c a r d ( ~ )=O e os com-

o n

plementos de W

,

em número de 2

,

seriam implicitamente enumerados. Caso

1 O

c o n t r á r i o , o algoritmo obtém W

,

como descendente de W

,

p e l o aumento d e s t a com a e l e i ç ã o de uma v a r i á v e l l i v r e , a cada passo tentando podar (ainda que depois de sondar), a p r e s e n t e pseudo-soluç~o p a r c i a l . Prosseguindo assim,

P

a t é que na p-ésima pseudo-soluç~o p a r c i a l , W

é

sondada. O melhor complemen

-

P

t o de W

,

s e e s t e produzir uma c o t a s u p e r i o r sobre a solução Ótima melhor do que a cota conhecida a t é então,

é

guardado como uma solução candidata.

P

k

a

Dois membros sucessivos, W e WpC1, da s e q k n c i a

(W

)

sao P d i s t i n t o s ou porque

wP

C

wp+l,,

que acontece quando

wp+lé

descendente de W ou porque possuem elementos logicamente c6mplementares. E s t e f a t o f a z da s e

-

11

_k

"

..

ca nenhuma pseudo-soluç~o p a r c i a l previamente podada.

A fim de v i s u a l i z a r melhor o que f o i d i t o acima, a f i g u r a 11.1, mostra p a r t e de uma árvore gerada p e l a s pseudo-soluçÕes p a r c i a i s de um problema de ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a bivalente. L; e s t ã o representados doze elementos da que rege a de u m membro I r , .

k

sequencia

(W

).

través

d e s t e s elementos podemos observar a l e i .-

11

f ormação da sequência de pseudo-soluçÕes p a r c i a i s . Passamos

,.

para outro da s e q u e n c i a , s e j a p e l a complementação l ó g i c a do

ÚL

timo elemento ainda não complementado, s e j a p e l o acréscimo de mais um ele- mento. No primeiro caso, abandonamos todos os elementos imediatamente

;

di- r e i t a do Último elemento complementado. E s t e f a t o corresponde a um r e t o r n o

11

nos ramos da árvore. ~ u a n d o a passagem p a r a o membro da sequência, s e f a z a t r a v é s do acréscimo de mais u m elemento, o algoritmo e s t á provocan- do um avanço nos ramos da &ore (criando um descendente). Observamos que a

1 2 2 2,

diferença e n t r e W e W, e s t á no elemento a mais que

W

possui

(W

e descenden

-

1

t e de W

)

e a diferença e n t r e

w2

e I?, e s t á no elemento logicamente comple-

3

mentado que W possui.

2.4

-

CRITÉRIO PARA CONSTRUÇÃO DO MELHOR COIVIPLEMENTO DE UMA PSEUDO-SOLUÇÃO

PARCIAL.

Se para uma pseudo-soluç~o p a r c i a l W, f o r construido um com-. plemento, atribuindo a cada v a r i á v e l l i v r e x o v a l o r O ou 1, conforme

j

c

.

>

O ou c

.

<

0, respectivamente e lembrando que nosso problema

é

de mini-

J J

mização, estaremos d i a n t e de um complemento da pseudo-soluç~o p a r c i a l , que s e f o r v i á v e l , s e r á o melhor complemento v i á v e l em cpestão. Como o s custos de (P) são todos p o s i t i v o s ou temos a p o s s i b i l i d a d e de obtê-los assim, p e l a transfomnação de v a r i á v e i s

já

explicada no i n i c i o , observamos que o comple- mento nulo de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l , quando f o r v i á v e l , s e r á o melhor complemento v i á v e l nessas condições. A s s i m , s e o complemento nulo v i á v e l de uma pseudo-soluç~o p a r c i a l não produzir uma c o t a superior sobre a solução

Figura

11.1

P a r t e d e uma árvore d e pseudo-soluç~es p a r c i a i s de

um

problema de ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a b i v a l e n t e

Ótima melhor do que a a t u a l , o algoritmo não tem necessidade de t e s t a r os ou

-

t r o s complementos e o que e l e tem a f a z e r ,

é

podar a pseudo-solução p a r c i a l

-

em questao.

Com r e l a ç ã o ao complemento nulo de cada pseudo-soluç~o parci- a l , o algoritmo tem duas c o i s a s a f a z e r :

i. Testar sua viabilidade.

ii. Se f o r v i á v e l , v e r i f i c a r (sondar) s e a c o t a s u p e r i o r sobre a solução Ótima, gerada por e s t e complemento,

é

melhor do que a Última c o t a armazenada como candidata ao Ótimo de

0

'

)

Obviamente, a segunda condição s e r á t e s t a d a s e a primeira s e cumprir e do cumprimento da segunda condição, r e s u l t a r á o armazenamento do r e f e r i d o com- plemento nulo como solução candidata ao Ótimo. Do cumprimento ou não da con- '

dição ( i i ) , o passo que o algoritmo executa,

é

a poda da a t u a l pseu- do-solução p a r c i a l e o não cumprimento da condição ( i ) , f a z com que o a l g o r c mo t e n t e e s t a b e l e c e r uma pseudo-soluç~o p a r c i a l descendente da a t u a l .

2.5

-

O ALGORITMO.

A s r e s t r i ç õ e s do nosso problema,

t ê m

a forma

Chamando de y

,

i M a v a r i á v e l de f o l g a , a s r e s t r i ç õ e s assumem o aspec

de onde tiramos naturalmente que

Uma pseudo-soluç~o p a r c i a l W s e r á v i á v e l , quando

e e s t a v i a b i l i d a d e s e t r a n s f e r e automaticamente p a r a o complemento nulo de W. Quando W não

é

v i á v e l , o algoritmo

W

j l i v r e s

I

z

+

c

.<

z J min' C - l

W *

onde z e o v a l o r de c r i a o conjunto: a

>

O p a r a algum y

.<

O i j 1

vazio, W

é

podada. Certamente um j

não melhorará a c o t a s u p e r i o r z sobre a solução Ótima ou não cooperará pa

min

-

r a diminuir a i n v i a b i l i d a d e . I s t o quer d i z e r que, s e p a r a algum y.< O, ti-

1

vermos

(11

014)

não temos como eliminar a i n v i a b i l i d a d e da a t u a l pseudo-soluç~o p a r c i a l , o algoritmo não t e r á como c r i a r uma descendente p a r a e l a . V não sendo vazio ou não acontecendo

(11.14)~

o algoritmo e l e g e um i n d i c e j

E

V, que reduz ao

&-

nimo a i n v i a b i l i d a d e da a t u a l pseudo-soluç~o p a r c i a l . Em o u t r a s p a l a v r a s , es

-

F e i t o i s t o , e l e acaba de c r i a r uma nova p s e u d o - s o l u ~ ~ o p a r c i a l , descendente da a n t e r i o r . O s t e s t e s são novamente acionados e o processo enumerativo con- t i n u a d e n t r o d e s t a l i n h a . Um exemplo i l u s t r a r á bem o que dissemos.

2 Exemplo: BALAS

.

S e j a o problema de ~ r o ~ r a r n a ç ã o I n t e i r a minimizar z=5x +7x +lOx +3x

+

x 1 2

3

4

5

s u j e i t o a Iniciamos com Z - + m min O v e t o r das f o l g a s f i c a

Como existem elementos negativos ( b a s t a que e x i s t a um), passamos a

V={.

1,374

I

Como V

#

4 ,

verificamos s e

6

p o s s i v e l eliminar a i n v i a b i l i d a d e : i= 1 -2+1+0+5+1+0 =

5

>

O

i=3

-1+0+0+2+0+0 = 1

>/

O. o

y=

(3,-3,l)

Como y ( 2 ) < 0, temos

V={ 2 , s

I

Como V # $

,

tentamos vencer a i n v i a b i l i d a d e :

1 Descendente de W :

~ = ( 0 , 3 , 0 ) -

2 .

Como y ( i ) 2 O, v i E M, a pseudo-soluç~o p a r c i a l W e v i á v e l e s e u melhor complemento v i á v e l ,

é

o complemento nulo.

e como

17

< z

,

temos que min

z t 1 7 e

min

x

"candidata" + (O, 1, 1, O, O ) .

L

O algoritmo acaba de sondar a pseudo-soluç~o p a r c i a l

W

,

no passo e- l a s e r á podada, i . e . , seu melhor complemento v i á v e l s e r á enumerado e os ou- t r o s complementos, implicitamente enumerados e teremos:

Como y ( 2 ) < 0, temos

V={

5

1

e como V

#

4

,

passamos a

i= 2 -3+2 =-1

<

O.

Com o i n d i c e em V não s e consegue vencer a i n v i a b i l i d a d e da r e s t r i ç ã o 2. As-

s i m , o algoritmo poda

w3.

C omo a i n v i a b i l i d a d e da t e r c e i r a r e s t r i ç ã o nao pode s e r superada,

-

a1

_-

4

goritmo poda W e encerra o processo enumerativo. O algoritmo termina o pro- cesso enumerativo, quando e l e poda uma pseudo-soluç~o p a r c i a l em que todos os elementos já foram logicamente complementados. Esta

é

sua r e g r a de para- da. A solução Ótima

é

a Última solução que f o i guardada como solução candida

-

t a e

é

portanto:

A árvore gerada p e l a s pseudo-soluçÕes p a r c i a i s enumeradas e s t á n a figu-

,.,

r a 11.2. Ela tem

5

nós e os o u t r o s implicitamente enumerados, sao em número de

Figura 11.2

Árvore das pseudo-soluçÕes p a r c i a i s do exemplo apresentado.

Colecionamos agora os passos do algoritmo.

P Passo 1: Faça p=O e W = $

.

P

Passo 2: Se W não pode s e r sondada, vá para o passo

3,

senão vá p a r a o pas- s o

4.

Passo

3:

Se e x i s t e um i n d i c e j, de v a r i á v e l l i v r e , que produz uma c o t a supe- r i o r melhor (menor) sobre a solução Ótima e diminui a quantidade t o

-

t a l de i n v i a b i l i d a d e , aumente

wP

acrescentando j

à

sua d i r e i t a , fa- ça p + p + l e v o l t e ao passo 2. Caso c o n t r á r i o , vá para o passo

5.

Passo

4:

Se o melhor complemento v i á v e l de

wP

f o i encontrado e s e e l e produz

uma cota superior melhor do que a c o t a produzida p e l a Última solu- ção candidata, armazene e s t e complemento v i á v e l como a a t u a l solu- ção candidata

.

P

Passo

5:

Encontre o elemento de W

,

mais

à

sua d i r e i t a ainda não logicamente complementado. Se não e x i s t e nenhum, termine. Caso c o n t r á r i o , tro-

que-o p e l o seu complemento lógico sublinhado e abandone todos os e- lementos imediatamente

;

sua d i r e i t a . Faga p-+p+l e v o l t e ao passo

22

Teorema: G L O V E R ~ ~ e GEOFFRION

.

A sequênoia de pseudo-soluçÕes p a r c i a i s ge- rada p e l o algoritmo acima,

é

não redundante e termika' somente quan-

n

do todas a s 2 pseudo-soluções p a r c i a i s forem e x p l i c i t a e/ou impli- citamente enumeradas.

O s p r i n c i p a i s passos de uma demonstração p o r indução, 22

GEOFFRION

,

baseada na forma de podagem das pseudo-soluçÕes p a r c i a i s p e l o

-

algoritmo, sao:

O

Se o algoritmo pode podar W

,

a s condições do teorema ficam

1 P

s a t i s f e i t a s . Caso c o n t r á r i o , tomando por hipótese (de indução) que W

,

. . .

, W

,

p

>

1 são não redundantes, a prova de que W P ' ~

é

não redundante, g a r a n t i r á a não redundância de toda a s e q k n c i a . W P ' ~

é

não redundante ou porque

é

uma

P

descendente de W e nesse caso

wPC

Wp'l ou porque WP'' contém p e l o menos um elemento logicamente complementar de algum elemento em cada pseudo-solu- &o p a r c i a l previamente podada. E s t e s f a t o s são v i s t o s melhor s e desmembrar-

P

mos os passos do algoritmo, responsáveis p e l a passagem de

W

para WP'~. As-

s i m , WP"

é

obtida de

wP:

i. p e l o aumento

à

d i r e i t a de

wP

com um i n d i c e de v a r i á v e l l i v r e . _(Aqui P

Wp'l

é

uma descendente de W

)

.

P

ii. p e l a t r o c a do Último elemento de W p e l o seu complemento l ó g i c o subli- nhado.

P

iii. p e l a t r o c a do Último elemento de W

,

ainda não logicamente complementa- do, p e l o seu complemento lógico sublinhado e abandono de todos o s ele- mentos

5

d i r e i t a d e s t e Último logicamente complementado.

n

A s 2 pseudo-soluçÕes p a r c i a i s são implicitamente enumeradas, somente depois que a pseudo-solução p a r c i a l onde todos os elementos foram

12

gicamente complementados, f o r i m p l i c i t a ou explicitamente enumerada. A sua enumeração

é

garantida p e l a s r e g r a s de f i x a r e l i b e r a r a s v a r i á v e i s .

%&e o elemen- t o p e l o seu c o w plemento lógico sublinhado e a- bandone . todoe os elementos lc- gicamente CO(P plernentados . e sublinhados á d i r e i t a dele.

Fluxograma p a r a o algoritmo de enumeração i m p l i c i t a das p s e u d ~ s o l u ç Õ e s p a r

_-

c i a i s de um problema de ~ r o ~ r a m a ~ ã o I n t e i r a b i v a l e n t e .

21

2.6

-

ACELERAÇÃO DO ALGORITMO, FILTROS OU RESTRIÇÕES SUBSTITUTAS.

2

v á r i o s p r o j e t o s de aceleração do algoritmo de BALAS

,

foram levados a e f e i t o e alguns com muito sucesso. O s p r i n c i p a i s e melhores avan-

46

23

ços, na nossa opnião, foram produzidos por GLOVER2f PETERSEN e GEOFFRION

.

O segundo, dentre o u t r a s c o i s a s , estabeleceu como g e r a r uma pseudo-soluç~o ,

p a r c i a l v i á v e l i n i c i a l , i. e . , uma origem para i n i c i a r o processo de enumera-

-

çao. Trata-se de começar com uma pseudo-soluç~o p a r c i a l v i á v e l , onde os h d i

-

ces das v a r i á v e i s são obtidos da ordenação crescente dos valores de

De f a t o , os v a l o r e s d n i m o s da razão são produzidos p e l o s menores c u s t o s c j' j N e p e l a s maiores somas

e portanto, p e l o s i n d i c e s que

têm

grande p o s s i b i l i d a d e de p a r t i c i p a r da sol! Ótima (menores custos porque estamos minimizando e maiores somas (11.17), porque estamos tentando vencer i n v i a b i l i d a d e s ) .

GLOVER 25,26 mostrou que melhores i n f ormações sobre v i a b i l i d a d e e otimalidade r e l a t i v a s

às

v a r i á v e i s l i v r e s em problemas de ~ r o ~ r a r n a ç ã o In- t e i r a bivalente, podem s e r obkidas p e l a combinação c r i t e r i o s a das r e s t r i ç õ e s o r i g i n a i s do problema, numa Única r e s t r i ç ã o , chamada de " F i l t r o " ou " r e s t r i - ção s u b s t i t u t a " . Usaremos a abreviação "s-restrição" p a r a e s s e s f i l t r o s . G E O F F R I O N ~ ~ , mostrou como g e r a r e s s a s s - r e s t r i ç õ e s a t r a v é s de soluçÕes prodg z i d a s por v a r i á v e i s duais r e l a t i v a s

g s

r e s t r i ç õ e s de subproblemas do proble- ma proposto. E s t e s subproblemas, como veremos, são construidos a p a r t i r das

v a r i á v e i s l i v r e s r e l a t i v a s a uma pseudo-soluç~o p a r c i a l . A d e f i n i ç ã o que se- gue formaliza melhor a i d é i a de s - r e s t r i ç ã o .

Uma s - r e s t r i ç ã o

é

uma combinação l i n e a r não negativa das res- t r i ç õ e s do problema o r i g i n a l .

Se b-i-Ax

>

0, descreve o conjunto das r e s t r i ç õ e s de um proble

-

ma de ~ r o ~ r a m a ç ã o I n t e i r a bivalente, uma s - r e s t r i ç ã o , d e f i n i d a a p a r t i r de- l a s , tem a forma

r

onde u=(u

. .

. , u

)

é

t a l q u e u .

>

O, v i

M.

1'

m 3. /

Para i l u s t r a r a e f i c á c i a das s - r e s t r i ç õ e s , tomemos um simples problema de programação I n t e i r a b i v a l e n t e em que a s duas Únicas r e s t r i ç õ e s

e . s

sao :

Uma solução v i á v e l para a primeira,

é

(1,0) e uma v i á v e l p a r a a segunda

é

( 0 , l ) . Agora, s e construirmos uma s - r e s t r i ç ã o com u= (1,l)

,

teremos

que mostra a i n v i a b i l i d a d e b i n á r i a do problema.

Sobre a s s - r e s t r i ç õ e s , temos d o i s f a t o s importantes :

O O

a . Se x

é

uma solu&o v i á v e l do problema o r i g i n a l (b-i-AX > O ) ,

O

x

é

também v i á v e l para qualquer s - r e s t r i ç ã o d e s t e proble- ma (u(b+AX)

>

O ) .

b. Se uma s - r e s t r i ç ã o não tem solução v i á v e l , o problema o r i - g i n a l , também não tem.

no s e n t i d o usual. O f a t o (b), sugere que a criação de t e s t e s que o conside- rem, pode a p r e s s a r o processo enumerativo.

23

GEOFFRION propos uma s - r e s t r i ç ã o compondo aquela de GLOVER

26

com a r e s t r i ç ã o z

-

cx

>,

0, querendo com i s s o que uma solução f o s s e v i á v e l

min

para a s - r e s t r i ç ã o r e s u l t a n t e quando também produzisse um v a l o r para a fun- ção o b j e t i v o melhor do que a a t u a l c o t a s u p e r i o r guardada em z

.

Ou s e j a ,

min a s - r e s t r i ç ã o proposta, tem a forma

u(b-~-A~)+(z

-

cx)

>

0.

min (11

19)

Consideremos agora uma r e s t r i ç ã o da forma

Dizemos que e l a

é

b i n á r i o i n v i á v e l , s e e l a não tem solução b i n á r i a , i . e . , s e não e x i s t e um v e t o r b i n á r i o que a s a t i s f a ç a e

é

b i n á r i o i n v i á v e l condicionai mente, s e sua v i a b i l i d a d e b i n á r i a

é

r e s t r i t a a determinados v a l o r e s das v a r i

-

& e i s x

.

Uma o u t r a forma de expressarmos i s t o ,

6

j 1 ) b

+E

a x . 2 0

(>

0 )

6

bin&o i n v i á v e l s e , e somen- k k j J j t e se, então

x

.,,= O ou x .,= 1, conforme a

<

O ou a

>

O, em qualquer solução biná-

J " J ^ k j% kjs

Um conceito de "poder" introduzido p a r a a s s - r e s t r i ç õ e s , no s e n t i d o de sua e f i c i ê n c i a quando submetidas a t e s t e s de v i a b i l i d a d e b i n á r i a ,

23

f o i também proposto p o r GEOFFRION

.

Relativamente a uma pseudo-soluç~o p a r c i a l W, a s - r e s t r i ç ã o

u (b+Ax)

+

(z

_-

_cx)

>I

_0,

1 min

é

mais f o r t e do que a s - r e s t r i ç ã o

u (b*)

+

( z

-

cx) O,

2 min

u (b+Ax)

+

(z

-

cx))

<

max {u2(b+Ax)

+

( z

-

cx)

)

,

min x min

onde os máximos s ã o tomados sobre a s v a r i á v e i s l i v r e s , i . e . , sobre as variá- v e i s x . , t a i s que j

J

26

GLOVER usou uma d e f i n i ç ã o de "poder" semelhante a e s t a :

Relativamente a uma pseudo-soluq~o p a r c i a l W, a s - r e s t r i ç ã o

é

mais f o r t e do que

s e o máximo de z

-

cx, s u j e i t o a u ( b + ~ x )

>

O,

é

menor do que o máximo de

min 1

z

-

cx, s u j e i t o a u (b-t-Ax)

>

O, o s máximos sendo tomados sobre a s variá-

min 2

v e i s l i v r e s .

O problema de determinar s - r e s t r i ç õ e s poderosas no s e n t i d o

-

d a s d e f i n i ç õ e s acima,

é

o de minimizar sobre todos o s u

>

O, a s expressoes max(u(b+Ax) x

+

(z min

-

c ~ ) ) ,

ou s e j a

min

{

m;tx

{

u(b+hx)

+

( z

-

cx), x l i v r e

,

u

>

O ) .

u min

Nosso passo,

é

mostrar como os u

>

O podem s e r o b t i - dos como v a r i á v e i s duais r e l a t i v a s

g s

r e s t r i ç õ e s do problema o r i g i n a l . E s t e sendo transformado num subproblema p e l a s u b s t i t u i ç ã o dos v a l o r e s das variá- v e i s f i x a d a s p e l a pseudo-soluç~o p a r c i a l , o que não a l t e r a o número das res- t r i ç õ e s o r i g i n a i s .

Tomemos então o problema

min max { u ( b + ~ )

+

( z

-

cx), x l i v r e min

u > o x

Desenvolvendo sua p a r t e de maximização, obtemos

x i J J

-

c j x - c . x .

1

ui

>

07 max

{C

( b i + x a i

Ia

.X

.I

+ (zmin J J

L

Fazendo e substituindo em (11.21)~ vem

Trocando a s r e s t r i ç õ e s x j i ; r

{

0, 1) p o r O

<

x

.

<

1, não afetamos as solu- J

v

çÕes do problema, dado que no caso continuo o máximo

é

assumido nos mos. A s s i m , teremos para o lugar de (11.22) o seguinte

O dual da p a r t e

Finalmente temos a forma do problema de programação l i n e a r que produzirá os c o e f i c i e n t e s u

>

0, para a geração dos f i l t r o s ou r e s t r i ç õ e s s u b s t i t u t a s ,

i dada por

s u j e i t o a a u.-

v

<

c j i j i j

soluçÕes de (PPL

).

Chamando de t a solução d n i m a (ótima) de (PPL

),

t e -

W min W .

mos o seguinte:

i. P e l a p a r t e (1) dos t e s t e s de v i a b i l i d a d e b i n á r i a , a a t u a l p s e u d i r s o l u ç ~ o p a r c i a l W, não tem remate v i á v e l s e t

<

0. O c á l c u l o de

min

t

pode s e r interrompido no momento em que e s t e v a l o r s e t o r n a r negativo. min

Neste caso, o algoritmo poda a pseudo-soluç~o p a r c i a l W.

ii. Por outro lado, s e

t

0, o algoritmo não poda a a t u a l min

pseudo-soluç~o p a r c i a l W e os v a l o r e s dos uo s são u t i l i z a d o s para g e r a r a

m 2

1

l h o r r e s t r i ç ã o s u b s t i t u t a r e l a t i v a pseudo-soluç~o p a r c i a l _{W e a p a r t e (2)} dos t e s t e s de v i a b i l i d a d e b i n á r i a , f i x a convenientemente v a r i á v e i s l i v r e s nos n i v e i s zero ou um, criando a pseudo-soluç~o p a r c i a l descendente de W, agora possivelmente, p e l o acréscimo de v á r i o s i n d i c e s de v a r i á v e i s l i v r e s na a t u a l pseudo-soluç~o p a r c i a l W.

A s - r e s t r i ç ã o introduzida por GEOFFRION~? pode s e r f o r t a l e c i -

da s e obrigarmos a uma pseudo-soluç~o p a r c i a l , s a t i s f a z e r

I c x , z - 1 ,

L

min no lugar de cx

<

z min

como mais uma condição para que e l a s e j a v i á v e l . Neste caso, a s - r e s t r i ç ã o f i c a r i a :

u(b+AX)

+

( Z

-

1

-

CX)

>

O.

min

(11.31)

Vejamos agora um exemplo para f o r t a l e c e r a compreensão dos f? t o s abordados.

Exemplo: minimizar z = 3x

+

2x

+

5x

+

2x

+

3x 1 2 3 4 5 s u j e i t o a 1 + x + 1 x - 2 :

x3-ZXq+

x g > "

-2

+

7x 1 - 3 x + l p + 3 x

₃

₄

_5./"

>

o

-1

-

I l x

+

6x 1 2

+

3x

₄

+

3x

_{5 > O}

Aplicando primeiro os t e s t e s do algoritmo de enumeração impll

-

c i t a para o c á l c u l o de uma pseudo-solução p a r c i a l v i á v e l i n i c i a l , obtemos

z =

3.

min

1

O algoritmo poda a pseudo-soluç~o p a r c i a l W e o resultado,

é

Agora, o PPL que determinará os c o e f i c i e n t e s uos com os q u a i s a s - r e s t r i ç ã o

W

1 s e r á construida,

6

w2

w2

m i n i m i z a r t = u - 2 u - u + v + v + v + v + ( z - 1 - z

)

1 2 3 1 2 3 4 min s u j e i t o a

-

3

+

u

+

7u

-

l l u

-

v 1 2

3

1 - 2 + u

+

6u

-

V

á o

1

3

2

á "

AS soiuções são: u = O, u =

O , 4 8

e u = 0,03. 1 2

3

w2

w2

t = - 0 , g g - k (z - 1 - z

) =

min min

w2

2

Como

t

>

O,

W

não

é

podada e a s - r e s t r i ç ã o

6

construida: min

Depois de serem f e i t a s a s contas, vem

Aplicando n e s t a s - r e s t r i ç ã o os t e s t e s de v i a b i l i d a d e b i n á r i a (mais e s p e c i f i - camente, a p a r t e ( 2 ) dos r e f e r i d o s t e s t e s ) , obtemos que a s v a r i á v e i s l i v r e s

x e x3, devem s e r f i x a d a s no nzvel zero na p s e u d ~ s o l u ç ~ o p a r c i a l , 2

para que e s t a tenha p e l o menos um remate v i á v e l para a s - r e s t r i ç ã o . Informa- ções a d i c i o n a i s como e s t a s , não são providas p e l a s r e s t r i ç õ e s o r i g i n a i s do problema. Lembrando que uma pseudo-soluç~o p a r c i a l v i á v e l p a r a o conjunto o- r i g i n a l de r e s t r i ç õ e s

é

também v i á v e l para a s - r e s t r i ç ã o , mas que, entretan- t o , a afirmação c o n t r á r i a não

é

necessariamente verdadeira, c r i a d a uma pseu- do-solução p a r c i a l v i á v e l para a s - r e s t r i ç ã o , temos necessidade de t e s t a r sua v i a b i l i d a d e relativamente ao conjunto o r i g i n a l de r e s t r i ç õ e s . Caso exis- t a i n v i a b i l i d a d e , os t e s t e s do algoritmo de enumeração i m p l i c i t a s e encarre- gam de c r i a r uma pseudo-soluç~o p a r c i a l descendente d e s t a , quando i s t o

é

pos

-

s z v e l e quando não, o algoritmo poda, como de costume, a p r e s e n t e pseudo-sz

2 e

Como e l a não o s t e s t e s do

3 0

tem complemento v i á v e l p a r a o conjunto o r i g i n a l de r e s t r i ç õ e s , algoritmo elegem e n t r e a s v a r i z v e i s l i v r e s , x e x4, a Gltima

4

3

v a r i á v e l , formando assim, a pseudo-soluç~o p a r c i a l W

,

descendente de W

,

ou

O próximo PPL tem uma Única r e s t r i ç ã o relativamente

W

x No novo PPL

t

torna-se negativo, o que mostra

1 ' W'

à

Única v a r i á v e l l i v r e a impossibilidade de s e r construida uma pseudo-soluç~o p a r c i a l com complemento v i á v e l p a r a a s - r e s t r i ç ã o que s e r i a construida e p o r t a n t o para o conjunto o r i g i n a l de res- tric$es. O algoritmo poda a a t u a l pseudo-soluç~o p a r c i a l e prossegue assim, a t é a obtenção de informações f i n a i s . Neste exemplo, e l e não consegue e x i b i r uma pseudo-solug~o p a r c i a l que forneça uma cota superior melhor do que

z =

3

e e s t a f i c a sendo portanto, o v a l o r da função o b j e t i v o r e l a t i v o a u- min

ma solução Ótima encontrada, que

é

( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) .

2.7

-

ALGUMAS OBSERVAÇÕES ' ADICIONAIS.

Finalizando e s t e c a p ~ t u l o , faremos algumas observaçÕes

.

No algoritmo o r i g i n a l de enumeração irnplicita a passagem de

P

uma pseudo-soluç~o p a r c i a l

W

p a r a a sua descendente e r a f e i t a p e l o a-

P

créscimo de um Único i n d i c e de v a r i á v e l l i v r e em W

.

I s t o pode, evidentemen- t e , s e r f e i t o p e l o acréscimo de v á r i o s i n d i c e s simultaneamente.

A s soluções Ótimas a l t e r n a t i v a s podem s e r o b t i d a s construindo

O

W com uma permutação de uma solução Ótima, fazendo z i g u a l ao v a l o r Ó t i - min

mo da função objetivo e trocando a r e s t r i ç ã o c x i - c

<

z

j min da construção do conjunto V p e l a r e s t r i ç ã o

c x + c . < z

.

J min

gum j

,

tivermos c .= O, ao fim da enumeração das pseudo-soluçÕes p a r c i a i s ,

O

J o

não teremos encontrado todas a s so1uçÕes Ótimas necessariamente, p o i s s e x j o na solução Ótima f i c o u no n l v e l zero,

x

= 1, s e não a l t e r a r a v i a b i l i d a d e , e s t a r á numa solução Ótima também. j o

O algoritmo acrescenta ou l i b e r a l n d i c e s de v a r i á v e i s nos su- cessivos

W'

s, obedecendo a d i s c i p l i n a : ";ltimo a chegar, primeiro a s a i r " . Esta não

&

a Única nem necessariamente a melhor regra.

OS MODELOS DE RECOBRIMENTO E PARTICIONAMENTO.

Trataremos aqui com uma c l a s s e de problemas dentro da otimiza

_-

&o combinatória, também do t i p o 0-1, cuja modelagem para estudo de muitas s i t u a ç õ e s r e a i s ,

é

f e i t a com a i d é i a do que chamamos de "conjunto recobrimen

-

t o " e "conjunto particionamento"

.

3 . 2

-

CONJUNTO RECOBRINIENTO E CONJUNTO PARTICIONfU'ENTO.

s e j a m ~ = { l ,

...,

m ) , N = { l ,

...,

n) e K = { K n

t r ê s

conjuntos t a i s que p a r a cada j

c"7

IX

.C

e.

J

Definição 1:

Chamamos de "conjunto recobrimento" de M a um sub

-

conjunto

N*C

N, t a l que

UR

= M.

j

E

N+ Definição 2:

Chamamos de "conjunto particionamento" de M a um subconjunto N-3

C

N, t a l que

ii.

KSn

Kt =

,

para d o i s h d i c e s

2

e

4

quais- quer, t a i s que

sc

N*,

tc

N* e s

#

t.

Se p a r a cada j N, chamarmos de c ( c .

>

O) o custo associa

j~

-

do a e s t e indice, teremos que o custo t o t a l do conjunto recobrimento

N"

C

N, s e r á dado por

Propomos o problema de encontrar o conjunto recobrimento de custo dnimo. Pz r a c r i a r o modelo de recobrimento, definimos uma v a r i á v e l x p 7 1 ) p a r a ca-

j

da j

é

N, t a l que, na solução do problema,

x

.= 1 s e j pertence ao conjunto

J

recobrimento de custo d n i m o e x .= 0, caso c o n t r á r i o . A matriz A= ( a .

.)

do mo

J i J

-

delo,

é

t a l que a . = 1 quando o elemento j

r

N recobre o elemento i < M, (i.

i i

-

L

e . , i K

C

M ) e a = 0, aaso c o n t r á r i o . Chamaremos e s t e , problema do con-

J i j

junto recobrimento ( P C R ) e a forma de seu modelo s e r á a de u m problema de ~ r o ~ r a r n a ç ã o I n t e i r a bivalente:

minimizar z =

7

cjxj7

s u j e i t o a

~arnbém podemos procurar a solução do problema do conjunto particionamento de custo d n i m o (PCP), bastando para t a n t o t r o c a r

(111.3)

no modelo do

a x = L ,

i j j i €

M=P,

...,

m).

No (XR) procuramos a união mais b a r a t a dos conjuntos K q s , t a i s que cada

J

i M, pertence a "pelo menos um" K

.

(i. e . , cada i M

é

recoberto por "pelo

J

menos umr1 K

.).

No (PCP) também procuramos a união de menor c u s t o dos conjun

_-

J

t o s KU.s, mas agora com a condição de que cada i M, pertença a "um &icorl J

K

.

(cada i M

é

recoberto por "um Único" K

.).

Para t a n t o , os K ' s devem s e r

J J J

d i s j u n t o s . s ã o muitas a s s i t u a ç õ e s r e a i s , basicamente modeláveis dessa for-

11

ma, dado que

é

muito frequente a u t i l i z a ç ã o de uma matriz ~ = ( a .

.)

mxn, c u j a s i J

entradas são i n t e i r o s 0-1, para r e p r e s e n t a r a d i s t r i b u i ç ã o de n elementos pa

-

r a m con$untos: 1's na l i n h a i < M, designam os elementos que ocorrem no i- ésimo conjunto e 1's na coluna j

c

N, designam os conjuntos que contém o j- ésimo elemento. Tais matrizes são consideradas fundamentais em investigações

Para i l u s t r a r , vejamos o seguinte: imaginemos a d i s p o n i b i l i d a

-

de de n recursos para a execução de m t a r e f a s . Cada recurso j N= 1,

. .

.

, n

E

{

pode s e r alocado p a r a a execução de algumas t a r e f a s (ou todas). Com i s s o , pc demos c o n s t r u i r uma matriz (catálogo) de todas a s formas p o s s i v e i s de a s s o c i a r um ou mais recursos a uma dada t a r e f a , s u j e i t o a uma s é r i e de r e s t r i ç õ e s como l o c a l i z a ç ~ o , demanda, espaço, tempo, condições geográficas, c l i m á t i c a s , e t c . A s s i m , na matriz catálogo, a s l i n h a s correspondem as t a r e f a s e a s colu- nas,

às

p o s s i v e i s combinações das t a r e f a s para o s recursos ( i . e . , a s formas p o s s i v e i s de cada recurso j s e r u t i l i z a d o ) . A s s i m , uma entrada a

-

i j ( k ) da ma t r i z

é

1 ( 0 ) , s e a k-ésima combinação o recurso j

é

(não

é)

u t i l i z a d a p e l a

tz

r e f a i. Atribuindo um c u s t o c

à

u t i l i z a ç ã o da k-ésima combinaSão do re-

j (k)

curso j (i. e . , k-ésima combinação que u t i l i z a o recurso j

),

podemos e s t a b e l e

-

ter um modelo para o problema, definindo uma v a r i á v e l x

j ( k )

< { o J } ,

que s e r á i g u a l a 1 na solução, s e a k-ésima combinação do recurso j

é

u t i l i z a d a e O ( z e r o ) , caso c o n t r á r i o . A g a r a n t i a do cumprimento de cada t a r e f a , "pelo menos uma vez", ou u t i l i z a n d o "pelo menos um recurso",

6

dada por