PP_Menin_Dimensionamento de pilares em concreto armado medianamente esbeltos com seções arbitrárias

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO – UNEMAT

DIEGO PUTON MENIN

DIMENSIONAMENTO DE PILARES EM CONCRETO ARMADO

MEDIANAMENTE ESBELTOS COM SEÇÕES ARBITRÁRIAS

SINOP

2016/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO – UNEMAT

DIEGO PUTON MENIN

DIMENSIONAMENTO DE PILARES EM CONCRETO ARMADO

MEDIANAMENTE ESBELTOS COM SEÇÕES ARBITRÁRIAS

Projeto de Pesquisa apresentado à Banca Examinadora do Curso de Engenharia Civil – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop-MT, como pré-requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Prof. Orientador: Me. Maicon José Hillesheim

SINOP

2016/1

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Paramêtros de deformação ... 13 Tabela 2 - Valores do coeficiente adicionaln ... 22

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama tensão-deformação do concreto ... 12

Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do aço ... 13

Figura 3 - Domínios de estado-limite último ... 14

Figura 4 - Carregamento do pilar ... 15

Figura 5 - Forças em um elemento infinitesimal ... 16

Figura 6 - Flambagem ... 16

Figura 7 - Pilar Intermediário ... 18

Figura 8 – Pilar de extremidade ... 18

Figura 9 - Pilar de canto ... 18

Figura 10 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento ... 19

Figura 11 - Imperfeições geométricas globais ... 20

Figura 12 – Imperfeições geométricas locais ... 20

Figura 13 – Casos possíveis de excentricidade de 1ª ordem ... 21

Figura 14 - Seção transversal sob flexo-compressão oblíqua ... 23

Figura 15 – Caracterização da seção tranversal ... 24

Figura 16 - Área de concreto comprimida ... 24

Figura 17 - Parte comprimida da seção ... 26

Figura 18 - Seção transversal em forma L ... 27

LISTA DE ABREVIATURAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas Acc – Área de concreto comprimida

CG Centro de gravidade di – Altura útil da seção ex – Excentricidade em x ey – Excentricidade em y

fck – Resistência característica do concreto à compressão fcd – Resistência de cálculo do concreto

h – Maior distância entre os vértices do polígono perpendicular à linha neutra

e

l

– Comprimento de flambagem LN – Linha neutra

MPa – Mega Pascal

Nd – Esforço normal de compressão de projeto NBR – Norma Brasileira

nvc – Número de vértices do polígono em compressão

Sxc – Momento de primeira ordem da área comprimida em torno do eixo x Syc – Momento de primeira ordem da área comprimida em torno do eixo y X0 – Altura da linha neutra

λ

– Índice de esbeltez

n

y

– Coeficiente adicional

cd

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1. Título: Dimensionamento de pilares em concreto armado medianamente

esbeltos com seções arbitrárias.

2. Tema: Engenharia Civil (30102014) 3. Delimitação do Tema: Análise Estrutural 4. Proponente(s): Diego Puton Menin

5. Orientador(a): Msc. Maicon José Hillesheim

6. Estabelecimento de Ensino: Universidade do Estado de Mato Grosso 7. Público Alvo: Professores, alunos de graduação e profissionais da área. 8. Localização: Av. Dos Ingás nº 3001, CEP 78550-000, Jardim Imperial. 9. Duração: 1 ano.

SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS ... 3 LISTA DE FIGURAS ... 4 LISTA DE ABREVIATURAS ... 5 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ... 6 1 INTRODUÇÃO ... 8 2 PROBLEMATIZAÇÃO ... 9 3 JUSTIFICATIVA... 10 4 OBJETIVOS ... 11 4.1 OBJETIVO GERAL ... 11 4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 11 5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 12

5.1 DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO ... 12

5.1.1 Hipóteses básicas ... 12

5.1.2 Diagramas tensão-deformação de cálculo do concreto ... 12

5.1.3 Diagramas tensão-deformação de cálculo do aço ... 13

5.1.4 Domínios do estado limite último ... 14

5.2 PILARES ... 15

5.2.1 Equação diferencial de equilíbrio dos pilares ... 15

5.2.2 Índice de esbeltez ... 16

5.2.3 Classificação dos pilares ... 17

5.2.4 Contraventamento ... 18

5.2.5 Estruturas de nós fixos e móveis ... 19

5.2.6 Imperfeições geométricas ... 19

5.2.7 Imperfeições globais ... 19

5.2.8 Imperfeições locais ... 20

5.2.9 Excentricidades ... 21

5.2.9.1 Excentricidade de primeira ordem ... 21

5.2.9.2 Excentricidade de segunda ordem ... 21

5.2.10 Considerações para o dimensionamento do pilar ... 21

6 METODOLOGIA ... 23

6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ... 24

6.2 DETERMINAÇÃO DA PARTE DA SEÇÃO COMPRIMIDA ... 26

CRONOGRAMA ... 29

1 INTRODUÇÃO

O concreto é um material de construção popular, sendo possível encontrá-lo em casas de pequeno porte até em usinas hidrelétricas, por exemplo. Estima-se que são consumidos por ano aproximadamente 11 bilhões de toneladas de concreto, apresentando um consumo médio de 1,9 tonelada de concreto por habitante por ano, perdendo apenas para o consumo de água. (IBRACON, 2009).

As construções do Brasil são concebidas em sua grande maioria em concreto armado. Para o elaboração estrutural de um edifício utilizando-se deste material, geralmente emprega-se de o uso de elementos estruturais como as lajes, as vigas, os pilares e de uma fundação.

Segundo Santos (2013) um levantamento feito recentemente indica que 12% do concreto produzido no Brasil é destinado para construções urbanas, sejam do segmento residencial ou de infraestrutura.

Nos cursos de engenharia são apresentadas formulações de dimensionamento em estruturas de concreto armado, em que no caso de pilares, este aprendizado na maioria das vezes abrangem apenas seções retangulares. Desta maneira limita-se o uso de outras seções (arbitrárias) que poderiam ser convenientes e econômicas de acordo com a necessidade de cada projeto de estrutura, sendo possível facilitar a harmonia com demais projetos como, por exemplo, o arquitetônico.

Nesse contexto, através do presente projeto de pesquisa, pretende-se desenvolver uma rotina automatizada para facilitar o dimensionamento de pilares com seções arbitrárias empregando a formulação proposta por Araújo (2014).

2 PROBLEMATIZAÇÃO

Assim como existe o avanço nas tecnologias, as metodologias de dimensionamento estrutural também apresentam novas técnicas ao passar do tempo no setor da engenharia. Nó século XX, o uso de métodos “semi-probabilísticos” passou a ser usado para o dimensionamento de elementos estruturais, proporcionando mais economia e segurança. Em contrapartida necessitou-se de cálculos mais trabalhosos e extensos para o dimensionamento.

As técnicas utilizadas para cálculo de pilares retangulares apresentam geralmente pequenos esforços se calculados manualmente, mas se empregado uma seção irregular o volume de cálculo e iterações que precisam ser feitas, inviabilizam a seção pela grande demanda de tempo necessário.

A estratégia utilizada por Araújo (2014) no dimensionamento de pilares com seções arbitrárias necessita de um algoritmo para tornar o procedimento de cálculo algo prático para quem estiver utilizando.

3 JUSTIFICATIVA

A liberdade na escolha de uma seção transversal de um pilar pode trazer benefícios estruturais, financeiros e estéticos para o projetista. Com o desenvolvimento de uma rotina de cálculo ou o uso de algum software, os processos de cálculos cansativos que poderiam ser gerados pela escolha de um formato não retangular, poderão ser empregados de maneira mais prática para o engenheiro calculista.

Apesar de já existir softwares comerciais para cálculo proposto, a maioria é de elevado custo para obtenção de uma licença de uso, assim sendo, o desenvolvimento de um livre poderá trazer grandes benefícios a comunidade acadêmica e engenheiros.

4 OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GERAL

Analisar e estudar o dimensionamento de pilares de concreto armado não esbeltos de seções arbitrárias, conforme orientações da ABNT (2014).

4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Desenvolver e implementar uma sub-rotina de cálculo para os processos iterativos com a utilização de um algoritmo em linguagem fortran90;

 Avaliar as estratégias das formulações fornecidas por Araújo (2014) para o dimensionamento de pilares sujeitos a flexo-compressão oblíqua;

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

5.1 DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

Seguindo as considerações da ABNT NBR 6118:2014, para o dimensionamento de estruturas em concreto armado são admitidas algumas simplificações, em que não representam exatamente o que acontece com os elementos, mas que para efeito de cálculo podem ser utilizadas.

5.1.1 Hipóteses básicas

A formulação do dimensionamento de estruturas de concreto armado sujeita a flexão simples ou flexo-compressão, considera algumas hipóteses simplificadoras admitida pela NBR 6118. Tais hipóteses conforme Araújo (2014) são:

 Hipótese das seções planas: a seção transversal plana e normal ao eixo de um elemento estrutural permanece na mesma condição após este elemento sofrer deformações.

 Aderência perfeita: admite-se que exista uma aderência perfeita entre o concreto e o aço, sem que ocorra o escorregamento das armaduras no interior do concreto.

 Concreto em tração: considera-se que apenas as armaduras resistam à tração sendo desprezada a resistência do concreto na região tracionada.

5.1.2 Diagramas tensão-deformação de cálculo do concreto

Para o diagrama tensão-deformação do concreto sujeito a compressão necessário para estabelecer o estado-limite último, conforme a NBR:6118, define-se o diagrama para dimensionamento conforme a Figura 1:

Figura 1 - Diagrama tensão-deformação do concreto Fonte: NBR:6118 (ABNT 2014).

2 0,85 1 1 n c c cd c f     _{ }      _{ }       Equação 1 Sendo: ck

f = Resistência característica do concreto à compressão;

cd

f = Resistência de cálculo do concreto; Em que:

Ainda a norma preconiza os parâmetros _c2(deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e cu(deformação específica

de encurtamento do concreto na ruptura) como os da tabela (ARAÚJO, 2014):

Tabela 1 - Parâmetros de deformação

ƒck (MPa) ≤ 50 55 60 70 80 90 εc2 (‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 εcu (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 n 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 Fonte: (ARAÚJO, 2014)

5.1.3 Diagramas tensão-deformação de cálculo do aço

Para o estado limite último do aço a ABNT NBR 6118:2014 apresenta o diagrama simplificado, tanto para aço com patamar de escoamento ou sem, conforme mostrado na Figura 2:

Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do aço Fonte: NBR:6118 (ABNT 2014) 4 50 : 2 50 : 1, 4 23, 4[(90 ) /100] ck ck ck f MPa n f MPa n f      

O diagrama é válido para tração e compressão, mas somente para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC.

5.1.4 Domínios do estado limite último

O estado limite último conforme a ABNT NBR 6118:2014 estipula o estado de ruptura ou ruína de uma seção transversal, podendo ocorrer pela deformação excessiva das armaduras (aço) ou da ruptura do concreto. A Figura 3 fornece os limites de deformações para a caracterização da ruína da seção transversal.

Figura 3 - Domínios de estado-limite último Fonte: NBR:6118 (ABNT 2014)

Caracterização dos domínio conforme a deformação:

 Deformação excessiva da armadura: quando a armadura mais solicitada à tração atingir uma deformação de 10‰, estabelecidos pelos domínios 1 e 2;  Esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas: quando a

fibra mais solicitada apresentar um valor de deformação _cu, estabelecidos pelos domínios 3, 4 e 4a;

 Esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas: quando a deformação da fibra situada na posição ( cu c2)

cu

h

   

da borda mais comprimida

obter o valor de c2, com h sendo a altura da seção. Estabelecido pelo domínio

5.2 PILARES

Os pilares são elementos retos e geralmente verticais sujeitos predominantemente a esforços de compressão, sua função é receber as cargas das vigas dos diferentes níveis e transmiti-las a fundação (PINHEIRO, 2007). Importante ressaltar que esses elementos compõe o pórtico juntamente com as vigas e lajes, razão pela qual podem estar sujeitos a esforços de momentos e cortantes, e até mesmo esforços de tração.

5.2.1 Equação diferencial de equilíbrio dos pilares

Considerando um pilar submetido uma força normal P e uma carga transversal Q. Admitindo-se que a força normal seja de compressão e constante e que a flexão ocorre no plano cartesiano x-z. Tem-se o esquema mostrado na Figura 4Figura 1: (ARAÚJO, 2014)

Figura 4 - Carregamento do pilar Fonte: Araújo (2014)

Após a aplicação do carregamento em uma seção genérica, forma-se uma flecha W W x( ). Para esta situação, atuam de maneira simultânea uma força de compressão P, o momento fletor M e a força transversal q. Sendo selecionada uma seção próxima, de distância infinitesimal dx, tanto o momento fletor, a força transversal e a flecha da barra sofrerão uma variação infinitesimal, mas o valor da força P permanece constante. (ARAÚJO, 2014)

Figura 5 - Forças em um elemento infinitesimal Fonte: Araújo (2014)

Após algumas operações matemáticas Araújo (2014) chega na equação

diferencial de equilíbrio do pilar (

2 2 2 2

d M

d W

p

q

dx

dx







Equação 2): 2 2 2 2

d M

d W

p

q

dx

dx







Equação 2

Em que essa equação é válida para qualquer material, sendo ele elástico ou não.

5.2.2 Índice de esbeltez

Quando um elemento estrutural está sujeito a esforços de compressão, existe a possibilidade deste flambar. Como convenção para conhecer a “chance” de ocorrer a flambagem, foi adotado o índice de esbeltez , em que pode-se dizer que, quanto maior for a esbeltez, maiores são as chances do elemento comprimido flambar. (MELGES, 2007)

Fonte: Melges (2007)

O índice de esbeltez de um pilar pode ser definido pela expressão:

e

l

i





Equação 3 Em que: e

l = Comprimento de flambagem do pilar; c

c I i

A

 , raio de giração da seção geométrica do elemento sem considerar as armaduras (Ic e Acconstituem o momento de inércia e a área da seção

respectivamente). (BASTOS, 2005)

Devido os efeitos de segunda ordem, Araújo (2014) classifica os pilares quanto ao seu índice de esbeltez da seguinte forma:

 Pilares curtos (  ₁):Nesses pilares o efeito de segunda ordem podem ser desprezados. Sendo ₁ índice de esbeltez limite;

 Pilares moderadamente esbeltos (25  90): Os efeitos de segunda ordem devem ser considerados, mas pode-se empregar de um processo simplificado de cálculo;

 Pilares esbeltos (90): Os efeitos de segunda ordem devem ser considerados por meio de algum processo mais sofisticado que leva em conta as não linearidades físicas e geométrica.

Vale salientar que a ABNT NBR 6118:2014 não permite pilares com índice de esbeltez maiores que 200, exceto se os elementos forem pouco comprimidos com força normal for menor que 0,10fcdAc. Para este projeto serão analisados apenas com pilares moderadamente esbeltos, com



90.

5.2.3 Classificação dos pilares

Os pilares podem ser classificados conforme a posição e a forma em que as estruturas se apoiam sobre os mesmos, podendo ser classificados em: pilares intermediários, pilares de extremidade ou pilares de canto. Em cada classificação existe uma consideração empregada para efeito de projeto, dependendo das solicitações presentes. (FUSCO, 1981)

Pilares intermediários: Para os pilares intermediários considera-se basicamente que estão submetidos à compressão axial. Devido as vigas e lajes que se apoiam nesses pilares são contínuas, despreza-se os momentos fletores transmitidos para os pilares. (FUSCO, 1981)

Figura 7 - Pilar Intermediário Fonte: Adaptado de Padilha (2011)

Pilares de extremidade: Para consideração de projeto, os pilares de extremidade estão sujeitos a flexão normal composta. A flexão acontece geralmente pela interrupção da viga perpendicular à borda estudada, em que deve-se considerar os momentos transmitidos pelas vigas. (FUSCO, 1981)

Figura 8 – Pilar de extremidade Fonte: Adaptado de Padilha (2011)

Pilares de canto: A situação de projeto para os pilares de canto é a existência de flexão oblíqua composta, decorrente da descontinuidade das vigas na borda da edificação. (FUSCO, 1981)

Figura 9 - Pilar de canto Fonte: Adaptado de Padilha (2011)

5.2.4 Contraventamento

Os elementos que estão presentes na dentro da estrutura podem ser classificados conforme sua rigidez às ações horizontais:

Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não

participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis. (FILHO, 2010)

5.2.5 Estruturas de nós fixos e móveis

De acordo com a NBR 6118:2014, são denominados estruturas de nós fixos aquelas que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, em que basta ser considerado os efeitos locais e localizados de 2ª ordem, devido os efeitos globais de 2ª ordem apresentarem valores abaixo de 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem. São chamadas de estruturas de nós móveis, aquelas que os deslocamentos horizontais apresentarem valores consideráveis, em que deve-se considerar os efeitos globais de 2ª ordem, por conter valores superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem. Em que nesta situação estrutural, os esforços de 2ª ordem globais, locais e localizados devem ser todos considerados.

Figura 10 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento Fonte: Bastos (2005)

5.2.6 Imperfeições geométricas

Conforme o item 11.3.3.4 da NBR 6118:2014, para a verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, deve-se considerar as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. As imperfeições podem ainda ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e locais.

5.2.7 Imperfeições globais

Para a análise global dessas estruturas, sendo elas contraventadas ou não, considera-se um desaprumo dos elementos verticais conforme a Figura 11: (FILHO, 2010)

Figura 11 - Imperfeições geométricas globais Fonte: Filho (2010) Sendo: 1min θ =1/400 em estruturas de nós fixos; 1min

θ =1/300 em estruturas de nós móveis e imperfeições locais;

1máx

θ =1/200 para quaisquer estruturas.

Nem sempre o desaprumo mínimo (θ1min) deve necessariamente ser superposto ao carregamento do vento. Para efeito de cálculo deve-se considerar o mais desfavorável entre dois, o vento e o desaprumo, em que pode ser determinado através do qual provoca o maior momento total na base da construção. (FILHO, 2010)

5.2.8 Imperfeições locais

No item 11.3.3.4.2 a NBR6118:2014 orienta para o caso em que o elemento que une pilares contraventados a pilares de contraventamento, geralmente vigas e lajes, deve-se considerar a tração pelo desaprumo do pilar contraventado, conforme a Figura 12:

Figura 12 – Imperfeições geométricas locais Fonte: Filho (2010)

5.2.9 Excentricidades

Para o dimensionamento de elementos de concreto armado, a orientação da ABNT NBR 6118:2014 é que considere-se todas as excentricidades. Sendo as excentricidades dividas como de primeira ordem e de segunda ordem.

5.2.9.1 Excentricidade de primeira ordem

As excentricidades de primeira ordem abrangem a excentricidade inicial e a acidental. No caso da inicial, ocorre quando a aplicação da força for fora do centro geométrico da seção transversal, e a acidental é uma consideração pelo não conhecimento preciso e exato da aplicação da força, além de abranger imperfeições na execução. (SIAS, 2014)

Figura 13 – Casos possíveis de excentricidade de 1ª ordem Fonte: Adaptado de Bastos (2005)

5.2.9.2 Excentricidade de segunda ordem

As excentricidades de segunda ordem abrangem as excentricidades de efeito de segunda ordem e em virtude da fluência do concreto. O efeito de segunda ordem refere-se a deformação da estrutura. Já a fluência trata-se da deformação do concreto por uma carga ao longo do tempo. Conforme a ABNT NBR 6118:2014 orienta, deve-se considerar os efeitos de deve-segunda ordem para pilares com índice de esbeltez maiores que 90, e a fluência para maiores que 50.

5.2.10 Considerações para o dimensionamento do pilar

Conforme a Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT a seção transversal de pilares ou pilares parede maciços não deve possuir uma dimensão menor que 19 cm.

Em situações específicas é permitido considerar dimensões de 14 cm à 19 cm se for usado um coeficiente adicional n multiplicando as ações do dimensionamento,

majorando os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares. Mas de qualquer maneira, não permite-se pilar com área inferior a 360 cm² de seção transversal.

Tabela 2 - Valores do coeficiente adicional_n

Fonte: NBR:6118 (ABNT 2014)

Sendo:

n

 = 1,95 – 0,05 b;

6 METODOLOGIA

Para o dimensionamento de um pilar de seção genérica poligonal, serão admitidas as exigências impostas pela ABNT NBR 6118:2014, além de recomendações de autores conceituados em estruturas de concreto armado, em especial a metodologia elaborada por Araújo (2014).

Devido à orientação da norma, em que deve-se ser feito uma análise aprofundada, de forma que as não linearidades física e geométrica sejam levadas em conta de maneira rigorosa, demandando um outro estudo paralelo e mais específico para o caso, o presente projeto será concebido para o dimensionamento de pilares com índice de esbeltez menor que 90.

A situação de cálculo será de pilares sujeitos a flexo-compressão oblíqua, sendo que para estes casos, tanto a linha neutra quanto sua orientação são desconhecidas. Em geral a linha neutra não é perpendicular ao plano de ação do momento fletor. Desta forma existe o surgimento de mais uma incógnita no problema, tornando a solução mais complexa. (ARAÚJO, 2014)

A Figura 14 ilustra uma seção retangular de concreto sujeita à flexo-compressão oblíqua, acontecimento típico em pilares:

Figura 14 - Seção transversal sob flexo-compressão oblíqua Fonte: adaptado Araújo (2014)

Em que:

 N = Esforço normal de compressão; _d

 LN = Linha neutra;

  = Ângulo de inclinação da linha neutra em relação ao eixo x do plano cartesiano proposto;



A

cc= Área de concreto comprimida;

6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Será admitida uma seção poligonal arbitrária Figura 15, sujeita à um esforço

normal de compressão N e sendo _d

e

_x e

e

y as excentricidades da aplicação desta

solicitação orientados, obtém-se a solicitação composta por

(

N M

d

,

xd

,

M

yd

)

, em

que

M

_xd



N e

_{d x} e

M

yd



N e

d y são os momentos solicitantes de cálculo.

(ARAÚJO, 2014)

Figura 15 – Caracterização da seção tranversal Fonte: Araújo (2014)

Para esta configuração de solicitação temos a região comprimida do concreto como mostra a Figura 16:

Figura 16 - Área de concreto comprimida Fonte: Araújo (2014)

Em que é possível obter as equações de equilíbrio para o sistema de coordenadas arbitrário xy:

1 n s d cc cd sdi i

A

N

A

n













Equação 4 1 n s xd xc cd sdi si i

A

M

S

x

n













Equação 5 1 n s yd yc cd sdi si i

A

M

S

y

n













Equação 6

Visto que a distribuição de tensão de compressão é constante, tem-se as respectivas grandezas, Área comprimida Acc, momento de primeira ordem da área comprimida em torno do eixo x (Sxc) e momento de primeira ordem da área comprimida

em torno do eixo y (Syc) dado pela

cc cc cc xc A A

A =



dA, S =



xdA

_e cc yc A

S =



ydA

Equação 7 : cc cc cc xc A A

A =



dA, S =



xdA

_e cc yc A

S =



ydA

_{Equação 7}

Para a determinação da capacidade resistente do pilar, deve-se fixar o valor α e resolver iterativamente a Equação 8 para encontrar X0. Conhecendo esses dados,

usando as Equações 5 e 6 calcula-se os momentos fletores

M

xdr e

M

ydr

respectivamente. Variando-se o ângulo α e mantendo-se o mesmo esforço Nd, obtém-se os pares de momentos que levam a peça ao estado limite último.

Para determinar as tensões nas armaduras calculam-se as deformações das barras e então a partir do diagrama tensão deformação do aço obtêm as respectivas tensões σsi de cada barra, em que o valor de X0 determina o domínio de dimensionamento que a peça se encontra. Assim sendo tem-se as seguintes situações:

 Para o domínio 2 limita-se a linha neutra em 0 ₀ 3,5 13,5

x d

  , a deformação em

0 0 00 10 i si o x d d x  _{ }  _    Equação 8

 Para os domínio 3, 4 e 4a limita-se a linha neutra em 3,5 ₀

13,5d x h, e calcula-se a deformação por: 0 0 00 3,5 i si o x d x   _  _   Equação 9

 Para o domínio 5 a linha neutra é limitada em hx₀  , e obtém-se a deformação através da expressão:

0 ₀ 00 14 7 3 i si o x d x h  _{ }  _    Equação 10

Para as expressões 7, 8 e 9 , o parâmetro di disigna a altura útil da seção e h a maior maior distancia entre os vértices do polígono na direção perpendicular a linha neutra.

6.2 DETERMINAÇÃO DA PARTE DA SEÇÃO COMPRIMIDA

Fazendo a rotação de eixos para um sistema em que a origem situa-se no centro de gravidade da seção e com o eixo x’ paralelo a linha neutra como mostra a Figura 17 é possível por meio da aplicação do teorema de Greem obter as expressões genérica para as grandezas definidas na Equação 7. Ressalta-se que para isso deve-se mapear o perímetro da deve-seção através de uma matriz de coordenadas referenciada em x’y’ para cada vértice e enumerar cada lado do polígono que compõe a seção.

Fonte: Araújo (2014)

De posse dessas informações e admitindo que

nvc

é o número de vértices do polígono em compressão, determina-se os parâmetros da Equação 7 utilizando as Equações 11, 12 e 13: 1

1

(2

)

2

nvc k k k k

Acc

y

x

x









 

Equação 11 2 1 1

1

(3

)

6

nvc xc k k k k k

S

y

x x

_

x









 

Equação 12 2 1 1

1

(3

)

6

nvc yc k k k k k

S

y

y y

_

y



 





 

Equação 13

Com essas grandezas utiliza-se as Equações 5 e 6 para encontrar os pares de momentos resistentes. Além disso variando o ângulo α, é possível construir o ábaco como exemplificado na Figura 19. Tal ábaco é construído a partir do seguinte problema: Um pilar em formato L, com 7 barras de 16 mm de diâmetro como mostra a Figura 18, sujeita a um esforço normal N = 1500kN, com aço CA-50 e resistência _d

característica à compressão do concreto f = 20 MPa. ck

Figura 18 - Seção transversal em forma L Fonte: Araújo (2014)

Após os processos de cálculo, iterativamente (variando o ângulo α) obtém-se o diagrama.

Figura 19 - Diagrama de interação na flexo-compressão oblíqua Fonte: Araújo (2014)

De posse de um diagrama de interação para uma determinada seção transversal e para um dado valor do esforço normal de cálculo, a verificação da segurança é imediata. Se o ponto, representando o par de momentos fletores solicitantes de cálculo, cair dentro da envoltória indicada na figura, a segurança é garantida, pois os esforços solicitantes são inferiores ao esforços resistentes. Nesse caso, a seção possui uma armadura superior à necessária. (ARAÚJO, 2014)

Em suma o dimensionamento será feito na seguinte ordem:

1) Escolhe-se um valor inicial de área de aço. Com isso é possível determinar  e

0 X .

2) Escolhe-se um valor para o ângulo  e calcula-se iterativamente a equação de equilíbrio de forças, para determinar a altura da linha neutra X . 0

3) Com posse de  e X , determina-se os momentos resistentes, em que o valor ₀

de  será atendido se o vetor momento resistente tiver a mesma direção do vetor do momento solicitante.

4) Após atendida a condição anterior, verifica se os momentos resistentes aproximam-se dos solicitantes. Senão, é necessário repetir o processo desde o início com uma área de aço diferente.

O critério avaliativo para os resultados obtidos com o algoritmo será de forma comparativa com softwares pagos já fazem estes procedimentos e estiverem acessíveis ao autor.

CRONOGRAMA

ATIVIDADES

2016 2017

JUL A_GO SET OUT NOV DEZ JA

N FEV M A R ABR _M A I JUN Pesquisa bibliográfica

Encontros com o orientador Elaboração da rotina de cálculo

Programação do algoritmo

Análise e organização dos

resultados

Elaboração do artigo científico

7 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO

ARAÚJO, J. M. D. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Rio Grande: Dunas, v. 1-4, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR6118: Projeto de estruturas de concreto — Procedimento. Rio de Janeiro, Maio 2014.

BASTOS, P. S. D. S. Pilares de Concreto Armado. Jun. de 2005, UNESP. Notas de Aula.

FILHO, A. C. Projeto de pilares de concreto armado. 2014. 35 f. Dissertação - Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2014.

FUSCO, P. B. Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1981.

IBRACON. Concreto & Construções. Concreto: material construtivo mais

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MELGES, J. L. P. Dimensionamento de pilares segundo a NBR6118: 2003. Março de 2007,UNESP. 41 f. Notas de Aula.

PADILHA, T. M. Desenvolvimento de um programa em java para

dimensionamento de pilares de concreto armado de seção constante e retangular. Sinop/MT: Universidade do estado de Mato Grosso, 2011.

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SIAS, F. M. Dimensionamento Ótimo de Pilares de Concreto Armado. 2014. 153 f.. Dissertação (Pós-graduação em Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, Universidade Fedeal do Espírito Santo,Vitória, 2014.