Elson Toledo Flávia Bastos Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadas simultamente pela ação de momentos fletores e esforços normais
A esse tipo de solicitação denominamos flexão composta Ocorrências usuais:
Pilares de canto Ganchos
Sapatas com cargas excêntricas Vigas protendidas
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson,
Projeto de componentes mecânicos1
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
α y z P α y z zc yc Mz= P yc My= P zc
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
P y z C(zc, yc) zc yc y z zc yc α ES s s M Mz My M
Considere y e z eixos principais de inércia
Redução da força P em C(zc, yc) ao centroide
da seção resulta em uma força e um momento
N = P
My = −Nzc
Mz = Nyc
Pé aplicada na direção do eixo da peça
Pé positivo se provoca tração na seção
As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos σx= σNx + σ My x + σ Mz x y z zc yc α s s Mz My M
As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos σx= σNx + σ My x + σ Mz x onde σN x = NA σMy x = − My Iyz σMz x = Mz Izy o que resulta em σx= N A − My Iy z+Mz Iz y y z zc yc α s s Mz My M
Considerando que N = P My = −Nzc Mz = Nyc e substituindo em σx= N A − My Iy z+Mz Iz y temos que σx= N A + Nzc Iy z+Nyc Iz y y z zc yc α s s Mz My M
Com os eixos principais de inércia σx = NA + Mz Iz y − M y Iy z = N A + Nyc Iz y+ −Nzc Iy z
Definindo o raio de giração tal que Ii= ρ2iA, podemos reescrever
σx= N A 1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z
z y C x yc zc My= P zc Mz= P yc P σx= N A 1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z
Com o eixo na linha neutra, onde LNCé a posição da LN na flexão composta σx= N A + Mn In ! u s s M ES LNO f f P LNC σN x=NA σ Mn x = Mn In u σ x=NA+ Mn In u
E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia, σx= N A + MzIy+ MyIyz IzIy+ I2yz y − MyIz− MzIyz IzIy− Iyz2 z ou σx= N A + (MzIy+ MyIyz)y − (MyIz+ MzIyz)z IzIy− Iyz2
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Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
Por definição, a linha neutra (LN) é o
lugar geométrico onde σx= 0
Usando os eixos principais de inércia, e fazendo σx= N A 1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z =0 temos 1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z= 0
Esta é uma equação de uma reta que não passa pela origem
z y C x yc zc My= P zc Mz= P yc P
Para determinar as ordenadas y0e z0,
podemos usar a equação
1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z= 0
e escrever a forma segmentária y
y0
+ z
z0
= 1 Após algum algebrismo,
z= 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0= − ρ2 z yc y= 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0= − ρ2 y zc y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0
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Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
Podemos determinar o paralelismo da LN na flexão composta com a LN da flexão oblíqua
Seja β1a inclinação com relação ao
eixo z da LN na flexão pura Seja β a inclinação da LN na flexão composta
Vamos mostrar que β= β1
Na flexão oblíqua temos que
tan α tan β1= − Iz Iy y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc
Na flexão composta observamos que tan α=yc zc e que a equação da LN é 1+zcz ρ2 y +ycy ρ2 z = 0 o que permite escever
y=−ρ 2 z yc 1+ zcz ρ2 y =a+ bz
onde b é a inclinação da LN com relação ao eixo z y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc
O valor de b pode ser calculado como b= tan β = dy dx = −ρ2 zzc ρ2 yyc Substituindo ρ2 zA = Iz, ρ2yA = Iye tan α=yc zc tan β= −Iz Iy yc zc = −Iz Iy 1 tan α Resultando em tan α tan β= −Iz Iy y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc
Comparando os dois resultados tan α tan β1= − Iz Iy , tan α tan β= −Iz Iy
Tem-se imediatamente que
tan β1= tan β ⇒ β = β1
Conclusão:
Estando a secão sujeita aos mes-mos momentos fletores, as LN’s na flexão oblíqua e composta têm a mesma inclinação y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc
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Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos
Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra varia O diagrama de tensões pode ser:
Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seção
Trapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção); Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto
2
2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin
Definição: O núcleo central de inércia é o lu-gar geométrico da seção transver-sal, tal que, se nele for aplicada uma carga de compressão P, toda a seção está comprimida. Alternativa-mente,
região da seção transversal onde aplicada uma força nor-mal, sua linha neutra não corta a seção LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3
Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou tra-ção) de acordo com o sinal da força
Importância: materiais com baixa resistência a
tração. Exemplos: murros de ar-rimo, chaminés e pilares
LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3
Processo espontâneo de determinação do N.C.a partir de um número finito de tangentes à seção da peça: Considerando-as cada uma como uma linha neutra, podemos determinar os centros de solicitação das cargas correspondentes, que seria o contorno deste núcleo.
LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3
Vamos considerar a seção ao lado, submetida a flexão composta dada or uma carga de compressão aplicada em C, que provoca um momento M
eé a excentricidade da carga
n0n0é e LN na flexão pura
nné e LN na flexão pura
θ é o ângulo entre a LN na flexão pura e o momento M y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ θ yc zc e s0
A tensão normal se escreve σx= N A + Mn In u com Mn= M sin θ, M= Ne de onde vem M= Ne sin θ A equação da LN (σx= 0) fica σx= N A + Nesin θ In u= 0 y z n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ θ yc zc e s0
Considerando que u= s0sin θ vem N A + Nesin2θs0 ρ2 nA = 0 o que resulta em 1+esin 2θs 0 ρ2 n = 0 Chegamos finalmente em es0= −ρ2 n sin2θ ⇒ es0 = −r 2 n y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ θ yc zc e s0
A equação
es0 = −rn2
relaciona a distância (ao centroide) do ponto de aplicação da carga com a distância (ao centroide) do ponto onde a LN corta o ES A constante rn = q −ρ2 n sin2θ depende
a inércia da seção e da posição do centro de solicitação y z n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ θ yc zc e s0
Ao lado vemos a variação da LN com a posição do centro de solicitação
O sinal negativo em es0 = −r2ndeve
ser interpretado entendo-se que o centro de solicitação e o ponto de passagem da LN estão sempre em lados opostos do ES dividido pelo baricentro (antipolaridade) Temos que e1s1 = −rn2 e2s2 = −rn2 .. . eksk = −rn2 y z n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3
Para obterms o NCI de uma seção qualquer, considere 1+ yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z= 0
Dado C(yc, zc)m podemos obter a LN
a partir dos pontos onde esta corta os eixos coordenados z= 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0= − ρ2 z yc y= 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0= − ρ2 y zc z n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3
O processo pode ser realizado de forma “inversa”:
1 Arbitra-se uma LN tangente à seção
2 Determina-se y0e z0 3 Obtêm-se as coordenada de yce zc yc= − ρ2 z y0 zc= − ρ2 y z0
4 Repetem-se as operações anteriores
até que se obtenha um conjunto satisfatórios de pontos para o NCI
y z n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3
Análise de uma seção retangular (flexão reta) Vamos determinar a posição do centro de
soli-citação (zc, yc) ao longo do eixo y ⇒ zc= 0
O centro de solicitação tem coordenadas (0, yc)
Para satisfazer a cndição do NCI, a LN deve
passar por uma das arestas do retângulo (d=
±h2)
σx(d) ≤ 0 ⇒ σx(±
h
2) ≤ 0
Dai temos (para o caso ao lado)
σx= N A 1+ yc ρ2 z h 2 ! ≤ 0 ⇒ 1+yc ρ2 z h 2 ≤ 0 y z (0, yc< 0) LN h b d
Da condição do NCI, σx= N A 1+ yc ρ2 z h 2 ! ≤ 0 ⇒ 1+yc ρ2 z h 2 ≤ 0 o que resulta em yc≤ − 2ρ2 z h = 2Iz Ah = 2 bh3 12 1 bh 1 h E então temos yc≥ −h 6 ⇒ yc≤ h 6
De modo análogo, temos zc≤ b6
y z (0, yc< 0) LN h b d
Outros exemplos de NCI
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Heidel-1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de um
carregamento e
nna LN originada pela aplicação de uma
carga em C
Sejam também C0(y0
c, z0c) um ponto qualquer
de nn e
n0n0uma reta passante por C
Temos então a LN associada a C
nn ⇒1+yc ρ2 z y+ zc ρ2 y z= 0 y z n n LN yc zc C0(y0 c, z0c) n0 n0 LN’ C(yc, zc)
Podemos mostrar que se
C0∈ nn ⇒ C ∈ n0n0
onde n0n0é a LN associada a uma carga cm
centro de solicitação C0 Temos então C0∈ nn ⇒ 1+ycy 0 c ρ2 z +zcz0c ρ2 y = 0
Por outro lado, a equação de n0n0é
1+y 0 cyc ρ2 z +z0czc ρ2 y = 0 y z n n LN yc zc C0(y0 c, z0c) n0 n0 LN’ C(yc, zc)
Então, a partir de 1+y 0 cyc ρ2 z +z0czc ρ2 y = 0 concluímos que Se C ∈ n0n0então z= zc, y= yc
o que prova a propriedade
y z n n LN yc zc C0(y0 c, z0c) n0 n0 LN’ C(yc, zc)
A partir de 1+y 0 cyc ρ2 z +z0czc ρ2 y = 0 podemos constatar que
quando o C0 → C00as LN associadas a estes
centros de solicitação giram em torno de C
y z n n LN yc zc C0(y0 c, z0c) n0 n0 LN’ C(yc, zc) C00(y00 c, zc00) n00 n00 LN”
Essa propriedade pode ser usada de forma inversa:
Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a uma seção, que passam por um mesmo ponto, podemos determinar todos os centros de soli-citação que passam por uma reta que contem
os centros de solicitação associados (C1, C2)
y z n n LN yc zc C0(y0 c, z0c) n0 n0 LN’ C(yc, zc) C00(y00 c, zc00) n00 n00 LN”
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Determinar o maior valor que a força de tração T , aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir. Determine também o diagrama de tensões final para a carga calculada. Dados: | ¯σc|= | ¯σt|= 150 N/cm2. zc= 0.8 cm; yc= 2.0 cm; C 20 60 y z
