Capítulo 2 -MatLAB_28_10_2017

(1)

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL E SISTEMAS ELECTRICOS

#2

Professor: João Lourenço Cussondama 1

Capítulo II - MatLAB

(2)

Bibliografia

2

https://sites.google.com/site/bweutil/home/engenhariangola/electronica-de-potencia Pesquisar por: bweutil google sites

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3

Matlab = MATrix LABoratory

o Software de alta performance utilizado para cálculos científicos e de engenharia

o Aplicado a várias áreas do conhecimento

oDesenvolvido pela MathWorks

o Linguagem muito rica (+de 1000 funções)

o Toolbox para várias áreas do conhecimento

O Matlab

o

sistema gráfico

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4

(5)

5

Operadores matemáticos

Funções trigonométricas

acos(x) Arco co-seno

acosh(x) Arco co-seno hiperbólico acot(x) Arco cotangente

acoth(x) Arco cotangente hiperbólico acsc(x) Arco cossecante

acsch(x) Arco cossecante hiperbólico asec(x) Arco secante

asech(x) Arco secante hiperbólico asin(x) Arco seno

asinh(x) Arco seno hiperbólico atan(x) Arco tangente

atan2(x,y) Arco tangente do quarto quadrante atanh(x) Arco tangente hiperbólico

cos(x) Co-seno

cosh(x) Co-seno hiperbólico cot(x) Cotangente

coth(x) Cotangente hiperbólica csc(x) Cossecante

csch(x) Cossecante hiperbólico sec(x) Secante

sech(x) Secante hiperbólico sin(x) Seno

sinh(x) Seno hiperbólico tan(x) Tangente

(6)

6

Operadores matemáticos

Exemplo

(7)

7

Operadores matemáticos

Funções Exponenciais

^ Potência

exp(x) Exponencial

log(x) Logaritmo natural log10(x) Logaritmo na base 10 log2(x) Logaritmo na base 2 sqrt(x) Raiz quadrada

Números Complexos

abs(x) Valor absoluto ou módulo de um

número complexo

angle(x) Ângulo de um número complexo

conj(x) Conjugado complexo

imag(x) Parte imaginária de um número complexo

(8)

8

Operadores matemáticos

Exemplo >> a=log(100) a = 4.6052 >> b=log10(100) b = 2 >> c=exp(3) c = 20.0855 >> d=abs(2+2i) d = 2.8284 >> e=angle(2+3i) e = 0.9828

(9)

9

(10)

10

M-file

Como podemos perceber, se trabalharmos no comand window não

conseguiremos apagar ou salvar algo.

A solução para isso é abrir um M-file

No M-file podemos manipular valores com extrema facilidade e salvar o que

estamos fazendo.

◦ criar arquivo .m usando um editor de texto ou:

◦ edit nome do arquivo ou File  New  M-File

◦ digitar código do script.

◦ File  Save As - escolher diretório corrente ou que esteja presente no search path do MATLAB. ◦ chamar o arquivo m da linha de comando, ou de outro arquivo m.

◦ nome do arquivo

Como fazer?

(11)

11

M-file

Laço for

>> for i=1:5 x(i)=i^2; end

x =

1

4

9

16

25

(12)

12 Matrizes

•Definindo matrizes

•Operações com matrizes

•Matriz transposta

•Determinantes

•Matriz Inversa

(13)

13 como apresentar a seguinte matriz no Matlab:

>> A=[1 2 3;4 5 6] A =

1 2 3 4 5 6

(14)

14 Outro exemplo:

(15)

15 Operações com matrizes

Adição Dada as matrizes: A = 2 3 6 0 -3 1 3 -3 7 e B = -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3

Achar a matriz A+B

>> C=A+B C =

0 6 2 4 -2 2 3 -5 10

(16)

16 Operações com matrizes

Exercício: Fazer a soma das seguintes matrizes:

Y=

1 2 3 4 5 6 -1 3 0

(17)

17 Operações com matrizes

Multiplicação

(18)

18 Operações com matrizes

Achar a transposta da seguinte matriz:

Queremos achar o determinante da seguinte matriz:

Z = 1 4 6 0 3 2 9 0 0 -3 -2 12 12 15 4 -12 1 1 0 0 -2 2 -5 10 11 -3 -4 -2 0 -1 3 3 -3 9 10 7

(19)

19 Operações com matrizes

Matriz inversa

encontrar a inversa da seguinte matriz:

Y= 1 2 3 4 5 6 -1 3 0 A = 2 3 6 0 -3 1 3 -3 7 B = -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3

(20)

20 Polinômios

•Declaração de polinômios

•Raízes de polinômios

(21)

21 Polinômios

Seja um polinômio p(x) de grau n definido por:

P(x)=

No Matlab, este polinômio é definido da seguinte forma:

>>p=[A B C...E D F];

(22)

22 Polinômios

Exemplo

>>P=[1 3 1]

>>p=[1 -5 2 -1]

P=[1 4 0 -1 0]

Queremos achar as raízes do polinômio

Para isso, utilizaremos o comando “roots”

>> p=[1 3 2]; >> x=roots(p) x =

-2 -1

(23)

23 Polinômios

Outro exemplo

>> p=[4 2 0 5]; >> roots(q) ans = -1.2723 0.3861 + 0.9129i 0.3861 - 0.9129i

(24)

24 Polinômios

(25)

25 Polinômios

Multiplicação

Suponhamos que queremos fazer a multiplicação dos polinômios:

Q(x)=x-1

Para isso, utilizamos o comando “conv”

➢

Solução

>> p=[1 3 2]; >> q=[1 -1]; >> r=conv(p,q) r = 1 2 -1 -2

(26)

26 Polinômios

Exercício

(27)

27 Polinômios

Divisão

Queremos fazer a divisão entre os seguintes polinômios

Para isso, utilizaremos o comando “deconv”

Q(x)=x-1

Solução

>> p=[1 3 2]; >> q=[1 -1]; >> s=deconv(p,q) s = 1 4

(28)

28 Polinômios

Exercício

(29)

29 Cálculo Diferencial e Integral

•Limites

•Derivada

•Integrais indefinidas

•Integrais definidas

(30)

30 Limites

No Matlab, calculamos limites da seguinte forma:

(31)

31 Limites

Exemplo: Calcular o seguinte limite:

>> syms x

>> limit(sin(x)/x,x,0)

ans =

(32)

32 Limites

(33)

33 Derivadas

Para se calcular derivadas no Matlab, utilizamos o comando “diff”

Exemplo

>> syms x

>> diff((x^2)-(3*x),x)

ans =

(34)

34 Exercício

Achar as derivadas das seguintes funções

(35)

35 Integrais indefinidas

(36)

36 Integrais indefinidas

Para calcularmos integrais indefinidas, utilizamos o comando “int” da

seguinte forma:

>>int (f, x)

função

(37)

37 Integrais indefinidas

Exemplo: Calcular a integral da função

>> syms x

>> int((x^3)-x,x)

ans =

(x^2*(x^2 - 2))/4

(38)

38 Integrais indefinidas

(39)

39 Integrais definidas

(40)

40 Para calcularmos integrais definidas, utilizamos o comando “int” da

seguinte forma:

(41)

41 Calcular a integral da função f(x)= no intervalo [0,1]

>>syms x

>> int(x^2,x,0,1)

ans =

(42)

42

(43)

43

Gráficos

(44)

44 Gráficos

Passos para se fazer um gráfico no Matlab:

1) Declarar a variação de x

>>x=-5:0.5:5

2) Declarar a função em si

Ex:

>>y=-x+1

3) Usar o comando “plot’’

Ex:

(45)

45 Gráficos

Exemplo: Gráfico da função f(x)=sin(x)

x=-4pi:0.1:4pi;

y=sin(x)

plot(x,y)

-15 -10 -5 0 5 10 15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(46)

46 Gráficos

Exemplo: Gráfico da função f(x)=cos(x)

x=-4pi:0.1:4pi;

y=cos(x)

plot(x,y)

-15 -10 -5 0 5 10 15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(47)

47 Gráficos

Agora, digitando os dois códigos acima e utilizando o comando “hold

on”, veja o que acontece. Depois, troque o comando “hold on” pelo

comando figure.

x=-4pi:0.1:4pi;

y=cos(x)

plot(x,y)

hold on

f=sin(x)

plot(x,f)

-15 -10 -5 0 5 10 15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(48)

>> t=0:0.01:10; >> y=sin(t); >> z=cos(t); >> plot(t,y,'g-',t,z,'r-') >> legend('seno','cosseno') Ou... >> t=0:0.01:10; >> y=sin(t); >> z=cos(t); >> plot(t,y,'g-‘) >> hold on >> plot(t,z,'r-') >> legend('seno','cosseno')

Gráficos

(49)

49 Gráficos

Exercício: Fazer o gráfico das seguintes funções:

A)

B)

C)

(50)

50 LAPLACE

(51)

Usando o MATLAB para calcular a Transformada de Laplace

Utiliza-se o comando

laplace , para achar a

Transformada de Laplace

de uma funcao no

domínio do tempo.

Transformada de Laplace - Matlab

(52)

52 Exemplo

Exercícios Transformada de Laplace com MATLAB

(53)

Exercício 3:

Dada a função F(s). Determine f(t):

2

3

2 ( )

3

2 s

F s

s







Exercícios Transformada de inversa de Laplace com MATLAB

(54)

Dada a função F(s). Determine f(t):

2

1 ( )

3

2 s

F s

s





 

Transformada de inversa de Laplace com MATLAB

(55)

Dada a função F(s). Determine f(t):

2 3 2

2

3 ( )

3

1 s

s

F s

s







 

Transformada de inversa de Laplace com MATLAB

(56)

Dada a função F(s). Determine f(t):

5

3 ( )

(

1)(

2)(

3)

s

F s

s







Transformada de inversa de Laplace com MATLAB

(57)

57 Função de Transferência

(58)

58

(59)

59

(60)

60

(61)

61

(62)

62

(63)

63

(64)

64

(65)

65

(66)

66

(67)

Sistemas Elétricos

MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e

indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.

(68)

Sistemas Elétricos

As

leis

fundamentais

que

governam

os

sistemas

elétricos

são:

- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que

entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das

quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero.

- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.

L

_R

C

(69)

Componentes:

Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica

por seus terminais.

Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.

Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em

forma de campo eletromagnético.

)

(

.

)

(

)

(

.

)

(

s

I

R

S

V

t

i

R

t

v

R R



s C s I s V dt t i C t v C C . ) ( ) ( ). ( . 1 ) (  



v

_C

(t)

i(t)

) ( . ) ( ) ( . ) ( s I s s V dt t di L t v L L  

i(t)

v

_L

(t)

i(t)

v

_R

(t)

Sistemas Elétricos

(70)

Sistemas Elétricos

Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura 1.

(71)

Devemos colocar os valores em termos da corrente i:









idt

C

e

idt

C

i

R

dt

di

L

e

_i

1

1 .

.

0

Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.

Sistemas Elétricos - Resolução

L

_R

C

e

_i

e

o

i

v

_L

v

_R

v

_C

e

_i

= v

_L

+ v

_R

+ v

_C

e

_o

= v

_C

(72)

Sistemas Elétricos - Resolução

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação

A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1:

(73)

Sistemas Elétricos

Aplicando Laplace:

Calculando a função de transferência,

http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea612/node84.html

(74)

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