Galileu Galilei foi um físico, matemático, astrônomo

AULA 3: Func¸ ˜ao quadr ´atica e func¸ ˜ao modular

G

1

Func¸ ˜ao

Quadr ´atica

e

Equac¸ ˜

oes/Inequac¸ ˜

oes

do

2º

Grau

Uma função é quadrática ou do 2º grau quando for uma função f : R → R, tal que f (x) = ax2+ bx + c; b e c são reais e a 6= 0.

A parábola é o gráfico referente a uma função do 2º grau. O coeficiente a determina a orientação da concavidade da parábola.

• 1º caso: a > 0

A convavidade é voltada para cima (Figura 1) e a função admite valor mínimo.

Figura 1: Parábola com concavidade voltada para cima (a >

0). Fonte: Souza, 2020.

• 2º caso: a < 0

A convavidade é voltada para baixo (Figura 2) e a função admite valor máximo.

Figura 2: Parábola com concavidade voltada para baixo (a <

0). Fonte: Souza, 2020.

1.1

Ra´ızes da Func¸ ˜ao do 2º Grau (Zeros

da Func¸ ˜ao)

Dada uma função f (x) qualquer, denominam-se raízes dessa função todos os valores de x, tal que f (x) = 0.

Para a função de 2º grau, pode-se utilizar a fórmula de Bhaskara para o cálculo das raízes. Para isso, o valor do ∆ deve ser obtido pela fómula:

∆ = b2− 4ac. ₍₁₎

• ∆ > 0, teremos duas raízes reais e distintas dadas por:

x1,2 =

−b ±√∆

2a (2)

• ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais dadas por:

x1= x2= −

b

• ∆ < 0, teremos duas raízes não reais (imaginá-rias).

1.2

Relac¸ ˜ao entre Coeficientes e Ra´ızes

Em uma equação do 2º grau é possível obter a soma e o produto das raízes sem resolver a equação. Observe:

• Soma das raízes (s): x1+ x2= −b +√∆ 2a + −b −√∆ 2a = = −b + √ ∆ − b −√∆ 2a x1+ x2= −2b 2a = − b a • Produto das raízes (p):

x1· x2= −b +√∆ 2a ! −b −√∆ 2a ! = (b)2−√∆ 2 4a2 = b2_{− (∆)} 4a2 = b2_{− b}2_{− 4ac}
4a2 x1· x2= 4ac 4a2 = c a

No Exercício 1 você poderá verficar um exemplo desse método.

Exercício 1

Resolva a equação x2− 15x + 44 = 0 por soma e produto.

RESOLUÇÃO:

Como os coeficientes são a = 1, b = −15 e c = 44, temos que s = −b a = − (−15) 1 = 15, p = c a = 44 1 = 44.

As raízes da equação são dois números tais que a soma é 15 e o produto é 44. Portanto, as raízes são 4 e 11.

1.3

Gr ´afico da Func¸ ˜ao do 2º Grau

Vimos o comportamento das raízes de uma função do 2º grau, dependendo do valor de ∆, e a relação entre a orientação da sua concavidade com o coeficiente a. Então, vamos analisar como fica o gráfico da parábola para diferentes valores de ∆ e a.

Percebemos na Figura 3 que para valores positivos de ∆ a função passa duas vezes no eixo x, ou seja,

Figura 3: Gráfico da função do 2º grau. Figura elaborada a

partir de E. Jaconiano, 2020

podemos verificar que realmente possui duas raízes. Para ∆ = 0 a função “encosta” em um ponto no eixo x. Para ∆ negativo a curva da função não “encosta” em nenhuma parte do eixo x, ou seja, não tem raíz real.

FIQUE LIGADO

As coordenadas do vértice (ponto máximo ou mínimo) de uma função f (x) = ax2+ bx + c, para b e c reais e a 6= 0 são V = −2ab ; −

∆ 4a

.

Exercício 2

Um sitiante dispõe de 400 m de cerca de arame e gostaria de montar o maior galinheiro possível, de forma retangular. Como ele deve proceder?

RESOLUÇÃO: O perímetro do galinheiro

retan-gular é 400 m. Chamando de x a largura, o comprimento deve ser de 200 − x. Observe:

Figura elaborada pela autora (2020). Vamos analisar a função da área do galinheiro A(x).

Área = A(x) = (base).(altura),

Figura elaborada pela autora(2020). Logo, a função que descreve a área do gali-nheiro é uma função do segundo grau. O grá-fico da função A(x) é mostrado acima. A fun-ção tem ponto máximo, que corresponde exata-mente ao vértice da função. Obtendo o valor de x para o vértice, obtemos o lado do galinheiro:

V = (xV,yV) =  − b 2a; − ∆ 4a  , xV = − b 2a. (5) Pela equação 4, a = −1, b = 200 e c = 0. Portanto, utilizando a equação 5, temos:

xV = −

200

2.(−1) = 100 m.

Assim, o retângulo se transformará em um qua-drado de área (100 m)2= 10.000 m2.

Problema 1

(FGV) A função f , de R em R, dada por f (x) = ax2− 4x + a, tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f (−2) é igual a: (a) 4 (b) 2 (c) 0 (d) -1/2 (e) -2

RESOLUÇÃO: Pelo enunciado, temos a

informa-ção de que f (x) possui valor máximo, ou seja, a < 0; e a informação de que possui duas raízes reais iguais, logo, ∆ = 0. Utilizando primeiro a informação ∆ = 0, temos: ∆ = b2− 4ac = (−4)2− 4.a.a = 0, 4 − a2= 0, a2= 4 ⇔ a = ±2. Como a < 0, a = −2. Então, f (x) = (−2)x2− 4x + (−2) = −2x2_{− 4x − 2.} Portanto, f (−2) = −2(−2)2− 4(−2) − 2 = = −2.4 + 8 − 2 = −8 + 8 − 2 = −2. Resposta: alternatica (e).

1.4

Inequac¸ ˜

oes do 2º Grau

As inequações de segundo grau são expressões ma-temáticas com desigualdades do tipo:

ax2+ bx + c > 0, ax2+ bx + c < 0, ax2+ bx + c ≥ 0, ax2+ bx + c ≤ 0. Novamente, b e c são reais a a 6= 0.

A análise do sinal é muito importante para resolver inequações em geral. Ao analisarmos o sinal de uma função devemos saber os valores de x para os quais y > 0, y = 0 e y < 0. Você pode ver um exemplo de como fazer essa análise do sinal no Exercício 3.

Exercício 3

Faça a análise do sinal para a função y = x2_{− 6x + 5}

RESOLUÇÃO: É conveniente fazer um esboço

do gráfico. Para isso, vamos encontrar as raízes e verificar a concavidade.

Calculando o ∆:

∆ = b2− 4ac = (−6)2− 4.1.5 = 16. Portanto, há duas raízes reais.

Aplicando Bhaskara, x1,2 = −b ±√∆ 2a , x1= (−(−6) +√16) 2.1 = 5, x2= (−(−6) −√16) 2.1 = 1. Assim, raízes: x1= 5 e x2= 1.

Concavidade: a = 1 > 0, para cima. Fazendo o esboço do gráfico:

x > 5 ou x < 1 → y > 0, x = 5 ou x = 1 → y = 0,

1 < x < 5 → y < 0. Exercício 4

Resolva a inequação x2− 5x + 6 ≥ 0

RESOLUÇÃO: Trata-se de um problema de

aná-lise de sinal.

Raízes: x1= 2 e x2= 3; concavidade: a = 1 >

0, para cima; então:

Figura elaborada pela autora (2020). x > 3 ou x < 2 → y > 0, x = 3 ou x = 2 → y = 0,

2 < x < 3 → y < 0.

Como a inequação é ≥ 0, a solução engloba as duas primeiras linhas: a primeira, x > 3 ou x < 2 e a segunda, x = 3 ou x = 2. Ou seja, a solução é x ≥ 3 ou x ≤ 2. Escrevendo de outra forma, S =] − ∞,2] ∪ [3, + ∞[.

Problema 2

(UFSC) Assinale a(s) preposição(ões) COR-RETA(S)a.

Os valores reais de x que satisfazem a inequação x

2_−3x+5

9−x2 ≥ 0 constituem um

inter-valo aberto e limitado.

RESOLUÇÃO:

Esse problema trata de um problema de análise de sinal de uma função cujas funções separadas são conhecidas.

Para a sua solução, analise as funções separada-mente e depois coloque-os no quadro de sinais (“varal”). Vamos dividir a função em uma parte A, referente ao numerador, e uma parte B, re-ferente ao denominador. Assim,

• A = (x2− 3x + 5):

Calculando o Bhaskara para essa função, vemos que essa função não possui raízes:

∆ = b2− 4ac = (−3)2_{− 4.1.5 = −11}

Com a concavidade, a = 1 > 0, para cima.

O esboço do gráfico fica:

Figura elaborada pela autora (2020). • B = (9 − x2):

Raízes: −3 e 3; concavidade: a = −1 < 0, para baixo; então:

Figura elaborada pela autora (2020). No “varal”, temos:

Na última linha, pela regra de sinais da divi-são, temos a ánalise de sinal completa da fun-ção A/B. Observe que as raízes −3 e 3 foram desenhadas por “bolas abertas”, ou seja, não incluem esses números na solução. Isso ocorre pela impossibilidade da divisão por zero. Queremos os valores de x que tornam A/B ≥ 0. Portanto a solução é: −3 < x < 3 ou S =]−3,3[. Assim, os valores reais de x que satisfazem a inequação

x2_{− 3x + 5}

9 − x2 ≥ 0

constituiem um intervalo aberto e limitado (pro-posição correta).

a_{Para fins didáticos, essa questão foi reduzida a apenas}

uma preposição

2

Func¸ ˜ao Modular

2.1

Definic¸ ˜ao de M ´

odulo

O módulo ou valor absoluto de um número real x é escrito por |x| e possui os seguintes valores:

(

|x| = x, se x ≥ 0,

|x| = −x, se x < 0. (6) Isso significa:

• o módulo de um número real positivo é o próprio número;

• o módulo de um número real negativo é o oposto do número.

Observe: |−2| = 2; |0| = 0; |3| = 3 e 1 − √

2= −1 +√2.

2.2

Conceito Geom ´etrico

Além da definição formal do módulo de um número real, o módulo de um número real representa a distân-cia do ponto até a origem da reta real. Por exemplo:

Figura 4: Conceito geométrico de módulo. Figura elaborada

pela autora(2020).

2.3

Aplicac¸ ˜ao da Definic¸ ˜ao de M ´

odulo

A definição de módulo de um número real refere-se a |x|. Vamos ver os exemplos a seguir.

Exercício 5 Calcule |x|

RESOLUÇÃO: Faça a análise de sinal da função

dentro do módulo.

f (x) = x

Figura elaborada pela autora (2020). Observe que: f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e f (x) < 0 para x < 0. Então,

|x| = x, para x ≥ 0 e |x| = −(x) = −x, para x < 0.

Exercício 6 Calcule |x − 1|

RESOLUÇÃO: Faça a análise de sinal da função

dentro do módulo.

f (x) = x − 1

Figura elaborada pela autora (2020). Observe que: f (x) ≥ 0 para x ≥ 1 e f (x) < 0 para x < 1. Assim: |x − 1| = x − 1, para x ≥ 1 e |x − 1| = −(x − 1) = −x + 1, para x < 1.

2.4

Propriedades do M ´

odulo

• (iv): |x.y| = |x|.|y|; • (iii):    x y   = |x| |y|; • (v): |x| + |y| ≥ |x + y|.

2.5

Construc¸ ˜ao de Gr ´aficos

A construção de gráficos pode ser feita pela definição de módulo, dividindo o gráfico em vários intervalos ou por meio de transformações geométricas, como pode ser observado nos exercícios.

Exercício 7

Calcule f (x) = |x|

RESOLUÇÃO: Construa a função que está

den-tro do módulo. Trata-se da função do 1º grau x.

Figura elaborada pela autora (2020). Pela propriedade (i), não podemos ter valores negativos para |x|, então todo o gráfico com base em x < 0 tem que ser multiplicado por −1. Isso equivale a rebater essa parte do gráfico simetricamente em relação ao eixo x.

Figura elaborada pela autora (2020). A função |x| é a parte azul do gráfico acima. A parte cinza foi deixada para ilustração da função f (x) = x.

Exercício 8

Calcule f (x) = |x − 1|

RESOLUÇÃO: Construa a função que está

den-tro do módulo. Trata-se da função do 1º grau x − 1.

Figura elaborada pela autora (2020). Novamente, pela propriedade (i), não podemos ter valores negativos para |x − 1|, então todo o gráfico com base em x < 1 tem que ser mul-tiplicado por −1. Isso equivale a rebater essa parte do gráfico simetricamente em relação ao eixo x.

Figura elaborada pela autora (2020).

Exercício 9

Calcule f (x) =x2− x

RESOLUÇÃO: Utilizando o mesmo raciocínio

dos exercícios anteriores, temos:

Fonte: Malanga, 2013 Rebatendo a parte negativa:

Fonte: Malanga, 2013

A função f (x) = x2− xé a parte vermelha do gráfico.

Exercício 10

Calcule f (x) = |x − 1| + 1

RESOLUÇÃO: Observe que este exercício está

relacionado com o Exercício 2. Apenas foi adici-onado uma constante no gráfico de |x − 1|, ou seja, todos os valores de y sofreram o acréscimo de 1. Observe a translação do gráfico:

Fonte: Malanga, 2013 Exercício 11

Calcule f (x) = |x − 1| + x

RESOLUÇÃO: A parte do gráfico |x − 1| pode

ser feita geometricamente, mas agora a trans-lação no eixo y não é possível, pois estamos adicionando uma variável x. Assim, o gráfico deve ser feito pela definição de módulo.

Figura elaborada pela autora (2020). Analise o sinal da função x − 1: y ≥ 0 para

x ≥ 1 e y < 0 para x < 1.

Dessa forma, a análise total de f (x):  x − 1 + x; x ≥ 1 −(x − 1) + x; x < 1 Portanto, 2x − 1; x ≥ 1 1; x < 1 Fonte: Malanga, 2013

A linha em vermelho representa o gráfico de f (x) = |x − 1| + x.

2.6

Equac¸ ˜

oes Modulares

Após compreender e treinar a construção de gráficos, geometricamente e pela definição, resolver equações será um processo natural.

Exercício 12

Calcule |2x − 1| = 4.

RESOLUÇÃO: Temos duas opções para uma

equação do tipo |x| = k: ou x = k ou x = −k, pois |k| = | − k| = k. Assim, temos

2x−1 = 4 ou 2x−1 = −4 ⇔ x = 5₂ ou x = − 3 2 Portanto, S = 5 2; − 3 2  Exercício 13 Calcule |x|2− |x| − 6 = 0. RESOLUÇÃO:

A equação modular apresentada é redutível ao 2º grau. Observe: com |x| = t, temos: t2− t − 6 = 0. As raízes dessa equação são 3 e −2: t = 3 ou t = −2. Voltando para a equação original, temos :

mas |x| = −2 é uma solução impossível para funções modulares. Portanto,

S = {±3} Exercício 14

Calcule |x| + |x − 1| = 2.

RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão vamos

construir um quadro de sinais. Primeiro, vamos analisar as equações interiores ao módulo |x| e |x − 1| separadas. A primeira figura abaixo refere-se à equação x, e a segunda refere-se à equação x − 1.

Figura elaborada pela autora (2020).

Figura elaborada pela autora (2020). Na tabela abaixo temos a análise das equações |x|, |x − 1| e |x| + |x − 1| para valores maiores e menores do que as raízes das equações x e x − 1: 0 e 1.

|x| −x x x

|x − 1| −x + 1 −x + 1 x − 1 |x| + |x − 1| −2x + 1 1 2x − 1

0 1

Dessa forma, temos os valores possíveis de |x| + |x − 1| = 2:

para x ≥ 1 2x − 1 = 2 x = 3/2 para 0 ≤ x < 1 1 = 2 absurdo para x < 0 −2x + 1 = 2 x = −1/2 Analisando as respostas, vemos que a 1ª e a 3ª satisfazem as suas respectivas condições de contorno e a 2ª é um absurdo. S =  −1 2; 3 2  Problema 3

(UFSC) Assinale a(s) preposição(ões) COR-RETA(S)a.

O conjunto solução da equação modular |3 − 2x| = |x − 2| é S = {1}.

RESOLUÇÃO:

Da mesma forma que no Exercício 12, obser-vando a equação agora do tipo |x| = |k| tería-mos quatro opções para resolver essa equação: ±x = ±k, mas isso é o mesmo que resolver x = ±k. Portanto, temos que resolver a equa-ção para 3 − 2x = x − 2 e 3 − 2x = −(x − 2). • 3 − 2x = x − 2: 3 − 2x = x − 2, −2x − x = −2 + 3, −3x = +1, x = −1 3. • 3 − 2x = −(x − 2): 3 − 2x = −(x − 2), 3 − 2x = −x + 2, −2x + x = 2 − 3, −x = −1, x = 1. Logo, S =  −1 3; 1 

A preposição está incorreta.

a_{Para fins didáticos, essa questão foi reduzida a apenas}

uma preposição.

2.7

Inequac¸ ˜

oes Modulares

O procedimento para resolver as inequações modu-lares é o mesmo das equações modumodu-lares e gráficos, mas o conceito geométrico é muito útil. Observe os exemplos a seguir.

Exercício 15 Calcule |x| ≥ 2.

RESOLUÇÃO: Como foi apresentado na Seção

2.2, o módulo de um número real representa a distância do número na reta real até a origem. Ou seja, |x| representa a disntância do número x até a origem. Para a inequação |x| ≥ 2,

que-remos os valores de x cujas distâncias até a origem são maiores ou iguais a 2. Os valores mais intuitivos são representados a seguir.

Figura elaborada pela autora (2020). Mas os números maiores ou iguais a 2 podem estar no lado negativo (lado esquerdo).

Figura elaborada pela autora (2020). Assim, a solução final:

S = {x ∈ R/x ≥ 2 ou x ≤ −2} ou

S =] − ∞; 2] ∪ [2; +∞[

Dessa forma, temos duas novas propriedades: • (vi): |x| ≤ a e a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a; • (vii): |x| ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a. As desigualdades ≤ e ≥ podem ser substituídas por < e >, respectivamente.

Problema 4

(UDESC) Considere as funções f (x) = |x2− 4x| e g(x) = 3x − 6. Os valores de x que satisfazem a inequação f (x) > g(x) são: (a) {x → R/ − 2 < x < 3} (b) {x → R/ 3 < x < 6} (c) {x → R/ − 2 < x < 1} (d) {x → R/ x < 1 ou x > 6} (e) {x → R/ x < 3 ou x > 6} RESOLUÇÃO:

Para f (x) > g(x), temos |x2−4x| > 3x−6. Isso significa que há duas opções: x2− 4x > 3x − 6 ou x2− 4x < −(3x − 6):

• x2− 4x > 3x − 6:

x2− 4x > 3x − 6, x2− 4x − 3x + 6 > 0.

Fazendo a análise de sinal como visto nas Seções 1.3 e 1.4, temos raízes: 1 e 6; con-cavidade: a = 1 > 0, para cima. O esboço do gráfico fica:

Figura elaborada pela autora (2020). Para essa função ser maior do que zero, a solução para essa parte da resolução é x > 6 ou x < 1.

• x2− 4x < −(3x − 6):

x2− 4x < −(3x − 6), x2− 4x < −3x + 6, x2− 4x + 3x − 6 < 0.

Fazendo a análise de sinal, temos raízes: −2 e 3; concavidade: a = 1 > 0, para cima. O esboço do gráfico fica:

Figura elaborada pela autora (2020). Para essa função ser menor do que zero, a solução para essa parte da resolução é −2 < x < 3.

A solução da inequação |x2− 4x| > 3x − 6 será a união dos resultados anteriores, ou seja, irá conter as soluções x > 6, x < 1 e −2 < x < 3. Isso resulta em x < 3 ou x > 6 (alternativa E).

COLABORADORES DESTA AULA

• Texto:

Lillian Rodrigues • Diagramação:

Lillian Rodrigues • Revisão:

João Carlos Xavier

Refer ˆencias Bibliogr ´aficas

E. Jaconiano, D. Cordeiro e (2020). Função do 2º Grau. url: http://educacao.globo.com/matematica/ assunto / funcoes / funcao - de - 2 - grau . html (acesso em 08/06/2020).

Iezzi, Gelson et al. (1977). Fundamentos de Matemática

Elementar: conjuntos e funções-Volume 1.

Malanga, U. C. C. (2013). Matemática (Livro 1). Vol. 1. São José dos Campos - SP: Sistema de Ensino Polie-dro.

Souza, A. de (2020). Parábola com Concavidade

Vol-tada para cima e para baixo. url: https : / /

slideplayer . com . br / slide / 13230455/ (acesso em 08/06/2020).

3

Lista de Problemas

Alguns dos exercícios apresentados na lista abaixo, bem como alguns resolvidos nesta aula, foram reti-rados de Malanga, 2013 e Iezzi et al., 1977. Outros problemas foram retirados diretamente dos cadernos de prova dos referidos vestibulares.

1. (UFSC) Os praguicidas, também denominados pesticidas, defensivos agrícolas ou agrotóxicos, são substâncias que, aplicadas à lavoura, permi-tem matar seres que podem prejudicá-la. No entanto, esses produtos apresentam desvantagens pois, devido a sua grande estabilidade no meio ambiente, sua velocidade de decomposição natural é muito lenta. Muitos insetos se tornaram resistentes a esses produtos e grandes quantida-des foram utilizadas para combater um número cada vez maior de espécies.

Suponha que em um laboratório foi pesquisada a eficiência do DDT (discloro-difeniltricloetano) no combate a uma determinada população de insetos.

O gráfico abaixo representa a população de insetos em função do tempo t, em dias, durante o período da experiência.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico,

assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A função que descreve a relação en-tre a população de insetos e o tempo é f (t) = −t2

+ 30t + 1000.

02. O número inicial da população de insetos é

de 1200 insetos.

04. A população de insetos cresce somente até o

décimo dia.

08. No viségimo dia de experiência a população

de insetos é igual à população inicial.

16. A população de insetos foi exterminada em

50 dias.

2. (FGV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2+ 30x − 5, em que x é a quantidade mensal vendida.

(a) Qual o lucro mesal máximo possível? (b) Entre que valores deve variar x para que o

lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 3. (UFPE) Qual o maior valor assumido pelo função

f : [−7; 10] → R definida por f (x) = x2− 5x + 9. 4. (Cesgranrio) Determine o parâmetro m na equação x2+ mx + m2− m − 12 = 0, de modo que ela tenha uma raíz nula e outra positiva. 5. (UDESC) Sabendo que o discrimante da função

quadrática f (x) = x2 − mx + 25 é dado por ∆ = b2_{− 4ac e as coordenadas do vértice V =}

xv= −_2ab; yv−_4a∆
,

(a) para que valor de m a função f : R → R tangencia o eixo das abcissas?

(b) quais as coordenadas (x,y) no ponto de tan-gência dessa função?

6. (UFSC) Na figura a seguir, estão representadas as retas r e s e a parábola p, tais que s coincide com a bissetriz dos quadrantes ímpares e o eixo de simetria de p é paralelo ao eixo das ordenadas. Considere que as funções de domínio real indicadas por f (x), g(x) e h(x) são representadas, respectivamente, por r, s e p. Assinale a(s) preposição(ões) CORRETA(S)1.

01. A parábola indicada por p pode ser

represen-tada pela equação y = ax2+ bx + c, tal que a > 0, b > 0, c > 0 e , ∆ > 0.

7. (Unirio) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm. Se a sua área é menor ou igual a 24 cm2, então o valor de x, em cm, será: (a) 0 < x < 6 (b) 0 < x ≤ 4 (c) 2 < x ≤ 6 (d) 2 < x < 6 (e) 2 < x ≤ 4 8. (Cesgranrio) As soluções de x 2_−2x x2₊₁ < 0 são os

valores de x que satisfazem: (a) x < 0 ou x > 2

(b) x < 2 (c) x < 0 (d) 0 < x < 2 (e) x > 2

9. (UFSC) Assinale a(s) preposição(ões) COR-RETA(S)1.

04. Não existe número inteiro que satisfaça a

inequação x

2₊₁

(3x−2)(5x−3) ≤ 0.

08. O conjunto solução da equação |2x − 3| = −1

é vazio.

16. Considere a função f : R → R definida

por f (x) = − |x| + 3. A área da região plana (fechada) delimitada pelo gráfico da função f e pelo eixo x é de 9 unidades de área.

10. (UDESC) A soma das raízes distintas da equação x2 − 5x + 6 = |x − 3| é: (a) 10 (b) 7 (c) 0 (d) 3 (e) 4

1_{Para fins didáticos, não foram colocadas todas as preposições}

11. (UDESC) A alternativa que representa o gráfico da função f (x) = |x + 1| + 2 é:

12. (UDESC) Considere os gráficos ilustrados na Fi-gura 2:

Classifique as sentenças como verdadeira (V) ou falsa (F).

( ) _{O valor de g(f (−1)) − f (g(−2) + 2) é igual} a 2.

( ) O valor de f (g(−4) + 1) + 3 é igual a 1. ( ) A lei de formação de y = f (x) é y = |x−1|−2.

sequên-cia correta, de cima para baixo. (a) V - F - V (b) V - V - V (c) F - V - F (d) F - V - V (e) V - V - F

4

Gabarito

1. Soma dos itens corretos: 17. Item 01: Correta. Item 02: Incorreta. Item 04: Incorreta. Item 08: Incorreta. Item 16: Correta.

2. (a) 220. (b) 10 ≤ x ≤ 20 3. 93

4. m = −3

5. (a) m = ±10. (b) Para m = 10, (5,0). Para m = −10, (−5,0).

6. Item 01: Incorreta. 7. C

8. D

9. Soma dos itens corretos: 28. Item 04: Correta. Item 08: Correta. Item 16: Correta.

10. E 11. A 12. B