151 POSIÇÃO E TRAJETÓRIA
Se o planeta Júpiter, mostrado na figura, fosse uma esfera oca, caberiam dentro dele cerca de 1 000 planetas Terra, aproximadamente. Apesar disso, quando visto da Terra, a olho nu, Júpiter não passa de uma bela "estrela" brilhante. Quando a dimensão dos corpos envolvidos na descrição de um movimento (os móveis) não for importante para a análise da situação, esses corpos serão chamados de pontos materiais, em oposição ao termo corpos extensos. Desse modo, Júpiter é considerado um ponto material, quando desejamos prever e observar o instante de seu nascimento no horizonte, em um determinado dia. Mas, para entender por que o cometa Shoemaker-Levy 9, em 1994, se desintegrou em vários pedaços antes de colidir com Júpiter (pontos escuros da figura a seguir), temos de considerá-lo como um corpo extenso.
Apresentamos a seguir dois conceitos que estão intimamente associados: posição e trajetória. Ao pensarmos em um dos conceitos, o conectamos imediatamente ao outro. Veja a figura abaixo, que mostra o rastro de aviões de exibição. A fumaça
liberada pelos aviões de exibição pode nos indicar a trajetória deles no ar.
Denominamos de trajetória o conjunto de posições sucessivas ocupadas por um móvel.
Para que possamos localizar a posição de um móvel no espaço, podemos utilizar vários métodos. Por exemplo, para localizar a posição de um avião no espaço, podemos utilizar, na torre de comando do aeroporto, um sistema de coordenadas cartesianas, com eixos x, y e z perpendiculares entre si, que nos auxiliarão a localizar as posições ocupadas pelo avião em momentos diferentes de seu movimento. Iremos considerar um ponto da base da torre de comando como a origem de nosso sistema de coordenadas, usualmente representada pela letra O, e iremos escolher uma unidade de comprimento para a escala dos eixos x, y, z. Utilizando tais convenções, podemos localizar a posição do avião no espaço, em qualquer posição que ele esteja. Observe que, no exemplo apresentado, os valores das posições do avião em relação aos eixos x, y e z podem ser positivos ou negativos.
Um operador de radar que estivesse na base da torre de comando, se preparando para ir trabalhar, ocuparia a posição representada pela letra s, cujas coordenadas seriam x = 0, y = O e z = 0, isto é, s= (0, 0, 0). Já um colega de trabalho que está prestes a ser substituído ocuparia a posição s' = (0, 0, 60 m), considerando que a sala de comando esteja a 60 m de altura em relação à base da torre (origem do sistema de coordenadas).
REFERENCIAL E A FORMA DA TRAJETÓRIA Responda rápido: você está em repouso ou em movimento no momento em que está lendo este trecho do texto?
Caso você tenha pensado bem, provavelmente respondeu "depende". A noção de movimento ou de repouso é sempre relativa a outro objeto. Estamos em repouso em relação à cadeira em que estamos sentados, mas estamos em movimento em relação a alguém que se encontra na Lua, em uma estação orbital ou em um carro que passa na rua. O corpo em relação ao qual identificamos se um objeto se encontra ou não em movimento é denominado referencial ou sistema de referência. Assim como o movimento e o repouso são conceitos relativos, a trajetória observada de um objeto em movimento também o é. O movimento de um corpo, visto por um determinado observador, depende do referencial em que se encontra esse observador. Por exemplo, considere um trem que está passando em uma estação, conforme representado na figura a seguir. Para Alberto, um passageiro do trem, a lâmpada L, fixa no teto do vagão, está parada. Entretanto, essa mesma lâmpada está em movimento para Leopoldo,
O mesmo raciocínio pode ser usado para o estudo da trajetória de um corpo. Por exemplo, na situação anterior, imagine que a lâmpada se desprenda do teto e caia em direção ao piso do trem. Em relação ao referencial da estação, a lâmpada continuará se movendo para a direita, com a mesma velocidade do trem. Na direção vertical, a velocidade da lâmpada aumentará durante a queda.
O resultado dessa composição de movimentos é que Leopoldo enxerga a lâmpada caindo e se deslocando para a direita, segundo uma trajetória curvilínea.
Como Alberto, dentro do trem, se movimenta para a direita com a mesma velocidade horizontal da lâmpada e do trem, ele vê a lâmpada caindo verticalmente. Exploraremos situações como essa, de forma mais detalhada, quando abordarmos o estudo da composição de movimentos.
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DESLOCAMENTO ESCALAR
Medida da variação de espaço de um móvel
4. SENTIDOS DE TRAGETÓRIOS
Nos nosso exemplos adotaremos as seguintes notações:
MÓDULO 3. VELOCIDADE ESCALAR
1. Velocidade escalar média
Velocidade escalar suposta constante num trajeto considerando a razão entre a variação da posição e a variação do tempo.
153 2. Velocidade escalar instantânea
É considerada um limite da velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo tende a zero.
MOVIMENTO UNIFORME
Em certas, e raras, situações, a posição de um móvel pode variar sempre no mesmo ritmo, isto é, a taxa de variação da posição, em relação ao tempo, é sempre a mesma. Nesse caso, denominamos o movimento do móvel de movimento uniforme (MU). No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e não nula. Obviamente, nesse caso, a velocidade escalar instantânea iguala-se à velocidade escalar média, isto é:
No movimento uniforme, o móvel percorrerá distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. O desenvolvimento da equação v = Δs/Δt resulta em:
Imagine que um carro tenha saído de um posto de gasolina na beira de uma estrada, no qual estava indicada sua posição na estrada, km 781. Considere que essa seja sua posição inicial (so). Se a velocidade do carro é constante e igual a 80 km/h, qual será a sua posição após 4 horas de viagem, sabendo que ele se move no sentido crescente da trajetória?
Podemos raciocinar do seguinte modo:
1. Um carro viajando a 80 km/h, durante 4 h, percorrerá 320 km;
2. Se ele sai do km 781 e percorre mais 320 km no sentido crescente das posições, então ele estará no km 1 101 após 4 h.
Podemos resolver esse problema utilizando a função horária da posição para o MU, s = s0 + vt, que é a expressão matemática do raciocínio usado na resolução anterior.
s = 781 km + 80
h
km
. 4h = 781 km + 320 km s = 1 101 km
2. Velocidade escalar constante
A velocidade nomovimento uniforme é constante e podemos ter as seguintes situações.
3. Função horária do espaço 𝑺 = 𝑺𝒐+ 𝒗𝒕
S = posição final do móvel So = posição inicial do móvel
v = velocidade média constante t = tempo
GRÁFICO VELOCIDADE VERSUS TEMPO NO MU
Quando o movimento ocorre no sentido crescente das posições (por exemplo, do km 30 para o km 90), ele é denominado progressivo, sendo, nesse caso, o valor da velocidade positivo (v = ∆s/∆t e ∆s é positivo). Caso o movimento ocorra no sentido decrescente das posições (do km 90 para o km 30),
é denominado retrógrado, e o valor da velocidade apresenta sinal negativo, pois As é negativo. Desse modo, se alguém lhe disser que a velocidade de um carro é de —70 km/h, isso significa que o carro move-se a 70 km/h, no sentido decrescente das posições.
O gráfico da função horária da velocidade, no movimento uniforme, é uma reta horizontal, uma vez que o valor da velocidade é constante, podendo estar acima ou abaixo do eixo do tempo. A figura a seguir mostra o gráfico da velocidade em função do tempo para dois movimentos. No primeiro caso, o movimento é progressivo, v é positivo; no segundo, o movimento é retrógrado, pois o valor da velocidade é negativo.
Veja, na figura seguinte, o diagrama que relaciona a velocidade v com o tempo t, para um automóvel que se move com velocidade constante de +60 km/h e que viaja durante 2 horas.
Observe que a área marcada de amarelo é numericamente igual à variação da posição (distância percorrida) do automóvel no intervalo de tempo de 2 h, ou seja, 120 km.
Em qualquer gráfico velocidade versus tempo, a área sob a curva do gráfico, para um determinado intervalo de tempo, é numericamente igual à distância percorrida pelo móvel, nesse intervalo de tempo.
Lembre-se de que, como a área calculada está na região do gráfico cartesiano em que as ordenadas são positivas, temos que o carro percorreu 120 km no sentido crescente das posições.
Assim como o valor da inclinação a na equação y = ax + b é constante, o valor da velocidade v no movimento uniforme também o é, e pode ser determinado pela inclinação da reta no gráfico de posição versus tempo v = ∆s/∆t.
4. Diagrama horário do espaço
OBSERVAÇÕES
1. No movimento retilíneo uniforme, como o movimento ocorre somente em um sentido, o valor da variação das posições será a distância percorrida (∆s = d).
2. Enquanto ∆x e ∆y podem assumir tanto valores positivos quanto valores negativos no gráfico de y em função de x, no gráfico posição versus tempo, somente os valores de As podem ser negativos, pois não há sentido físico para os valores de ∆t negativos (o tempo sempre flui para o futuro). ]
Módulo 5. Velocidade relativa 1. Definição
É a velocidade, em módulo, que um móvel possui em relação a um outro móvel tomado como referencial.
2. Condições importantes 2.1. Móveis em sentidos opostos
2.2. Móveis no mesmo sentido
155 CINEMÁTICA ESCALAR
Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical
No módulo anterior, discutimos o conceito de velocidade escalar, isto é, discutimos o ritmo no qual a posição de um móvel varia (taxa de variação da posição em relação ao tempo). Esse conceito nos permitiu descrever as características do movimento uniforme. Contudo, raros são os movimentos nos quais o módulo da velocidade permanece constante. Ao andar de carro, bicicleta ou ônibus, percebemos isso claramente. O módulo da velocidade varia muito, ora aumentando de valor, ora diminuindo. O gráfico de velocidade versus tempo a seguir registra essas variações de velocidade em um ônibus de viagem. Esse registro é feito por um aparelho denominado tacógrafo, de uso obrigatório em ônibus e em caminhões. Observe que o valor da velocidade fica constante por curtíssimos intervalos de tempo.
No presente módulo, estudaremos a grandeza que mede a variação da velocidade em relação ao tempo, a aceleração. Inicialmente, estudaremos seu conceito, sua definição matemática e suas unidades; depois, passaremos aos movimentos que apresentam variação uniforme de velocidade (MUV) e finalizaremos o módulo com os movimentos de queda livre vertical. O CONCEITO DE ACELERAÇÃO
Um avião a jato movendo-se retilineamente, com uma velocidade constante de 700 km/h em relação ao solo, não possui nenhuma aceleração. Um corpo possui aceleração apenas quando o seu vetor velocidade varia no tempo.
Dessa forma, apesar da enorme rapidez com a qual o avião se desloca, este não está acelerado, ou seja, não possui aceleração, pois sua velocidade não varia em relação ao tempo, nem numericamente nem em direção (a trajetória é retilínea). Ao contrário, quando uma composição do metrô inicia um movimento retilíneo, partindo do repouso e atingindo uma velocidade padrão, como 60 km/h, o veículo experimenta uma
aceleração de arrancada. Depois que a composição passa a se mover com velocidade constante, a sua aceleração torna-se nula. Naturalmente, uma aceleração voltará a existir quando a composição iniciar o procedimento de parada na próxima estação. Nesse caso, a aceleração é denominada de desaceleração, uma vez que ela é decorrente de uma redução do módulo da velocidade ao longo do tempo.
Os exemplos de acelerações citados anteriormente são relativos a variações no valor numérico (módulo) da velocidade. Nesse caso, a aceleração é denominada de aceleração tangencial. Módulo 7. Aceleração escalar
1. Conceito
Indica o ritmo com que a velocidade escalar varia.
a > 0 → v aumentando a < 0 → v diminuindo 2. Aceleração escalar média
Aceleração escalar suposta constante num trajeto.
3. Aceleração escalar instantânea
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)
Os movimentos uniformemente variados têm uma enorme importância histórica, uma vez que Galileu "inaugura" a Ciência Moderna com o estudo de questões relativas ao movimento, entre elas o estudo do movimento dos corpos sob a ação da gravidade. O tipo de movimento que ele encontra para o deslocamento dos corpos sob ação da gravidade é o MUV.
Como em MUV o valor da aceleração é constante, podemos escrever que: V2- V1 = a(t2 – t1) e assumindo que t1 =0, temos que V2 = V1 + at2 ou simplesmente:
Observe que a função horária da velocidade é uma função do 10 grau. Podemos facilmente estabelecer uma analogia entre a função horária da velocidade e a equação geral da reta, como mostrado a seguir:
OBSERVAÇÕES:
1. O valor da inclinação da reta do gráfico v x t nos mostra o ritmo de mudança no valor da velocidade, isto é, a inclinação da reta no gráfico v x t nos fornece o valor da aceleração. Desse modo, a inclinação é numericamente igual ao valor da aceleração apresentada pelo móvel.
2. No módulo anterior, vimos que a área sob a reta do gráfico v x t representa a variação da posição (distância percorrida) do móvel em um determinado intervalo de tempo. O mesmo ocorre para o MUV.
Podemos determinar a área sob a reta do gráfico calculando a área do trapézio, cujos vértices apresentam valores numéricos iguais a vo, v1, to e t1.
Ao calcular essa área, substituindo v1 por vo + aΔt, encontramos a função:
2. Velocidade escalar média
3. Um aluno de Galileu, Evangelista Torricelli, desenvolveu uma equação para o MUV que independe do tempo. Essa relação, denominada equação de Torricelli, foi desenvolvida tendo como base as duas equações anteriormente apresentadas.
4. Imagine um carro que se move com velocidade constante. Em um determinado momento, o motorista pisa no freio, reduzindo a velocidade sempre no mesmo ritmo e, assim que o carro para, engata rapidamente a ré e passa a mover-se para trás, aumentando o módulo da velocidade sempre no mesmo ritmo. Podemos sintetizar essas informações por meio de um gráfico, em que as mesmas informações estarão presentes. Veja a imagem a seguir:
157 GRÁFICO POSIÇÃO VERSUS TEMPO
Módulo 12· Diagramas horários (II) Gráfico velocidade x tempo
MOVIMENTOS VERTICAIS NA SUPERFÍCIE DA TERRA
Os movimentos na superfície da Terra foram estudados por muitos motivos, porém, um se destacou: o objetivo militar. Com o desenvolvimento dos canhões, passou a ser uma necessidade conhecer o movimento dos projéteis lançados sobre a superfície da Terra, para, com isso, conseguir-se uma vantagem sobre o adversário, em caso de conflitos. A partir do estudo do movimento dos corpos sobre a superfície da Terra, pudemos compreender melhor a força gravitacional, que é uma força fundamental da natureza.
A força gravitacional é uma força de atração mútua que se manifesta entre corpos que possuem massa. Sendo a Terra um corpo massivo, ela exerce uma força de atração sobre os objetos que estão sobre sua superfície. Preocupar-nos-emos agora apenas com os movimentos verticais na superfície da Terra, e mesmo assim com uma classe muito especial: aquela na qual os efeitos da resistência do ar podem ser negligenciados, ou seja, estudaremos o movimento dos corpos que estão em queda livre. A imagem seguinte mostra uma pena e uma maçã liberadas em uma região com pouquíssima quantidade de ar (vácuo parcial).
Quando os efeitos da resistência do ar são muito pequenos, objetos abandonados no mesmo instante, e de uma mesma altura, caem simultaneamente. Isso ocorre quando soltamos esferas de metal de diâmetros diferentes de pequenas alturas (por exemplo, 2 m). Apesar de haver resistência do ar, seus efeitos são muito pequenos para curtas distâncias. O mesmo não ocorre, por exemplo, para um paraquedista, para o qual os efeitos da resistência do ar são, no mínimo, vitais.
As sucessivas imagens da maçã e da pena, na figura anterior, representam os corpos em intervalos de tempo iguais.Ao analisar a imagem (realizando medidas, o que não faremos), é possível inferir que: 1. o movimento de queda é uniformemente acelerado, e a aceleração, devido à gravidade (g), na
superfície da Terra, é aproximadamente 9,8 m/s2, muitas vezes arredondada para 10 m/s2.
2. se, ao cair, o movimento é uniformemente acelerado, ao subir (sem resistência do ar), o movimento é uniformemente retardado, sendo o módulo da aceleração também igual a 9,8 m/s2. 3. é muito comum adotarmos um eixo, com o sentido positivo voltado para cima, para definirmos as grandezas cinemáticas de um corpo, a fim de estudarmos os movimentos verticais.
Isso implica que a velocidade de um corpo que cai apresenta sinal negativo (-v), bem como o valor da aceleração devido à gravidade (g = -9,8 m/s2), conforme ilustra a figura seguinte. Mas isso é uma convenção, e você pode alterá-la no momento que desejar.
1. Experiência de Galileu
Todos os corpos soltos num mesmo local, livres da resistência do ar, caem com uma mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é a gravidade (g).
FUNÇÕES DO MOVIMENTO O VERTICAL O movimento vertical livre é um movimento uniformemente variado (acelerado ou retardado) e, portanto, as funções que o representam são as funções estudadas para o MUV. Alguns textos de Física fazem uma pequena adaptação, substituindo a por g e Δs por h:
159 . Fórmulas usuais
Módulo 14· Lançamento vertical para cima 1. Aceleração escalar de voo
2. Funções horárias
❖ GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS
Existem grandezas na Ciência que ficam bem determinadas apenas com o fornecimento de seu valor numérico e sua respectiva unidade, como o volume, a massa, a temperatura e os intervalos de tempo. Essas grandezas são denominadas grandezas escalares.
Outra classe de grandezas, as grandezas vetoriais, exige que informemos algo a mais além de seu módulo: sua direção e seu sentido. Quando se pede a uma pessoa para se deslocar 5 passos da posição onde se encontra, faz todo o sentido perguntar: "Para onde?" A pessoa pode dar 5 passos para frente, para trás, para a direita, para a esquerda, etc. A fotografia a seguir mostra uma bala movendo-se na direção horizontal, cujo sentido é da direita para a esquerda, com velocidade instantânea de 100 m/s. Como já dito, as grandezas vetoriais só ficam completamente definidas quando informamos seu módulo, sua direção e seu sentido. Logo, a velocidade da bala está completamente definida.
Vetor
Para representarmos graficamente as grandezas vetoriais, utilizamos os vetores, que são segmentos de reta orientados. Na fotografia da bala furando uma maçã, a velocidade da bala seria representada pelo vetor a seguir:
O vetor carrega consigo todas as informações necessárias para definir as grandezas vetoriais: o módulo está associado ao comprimento do segmento de reta (na figura anterior, cada 1 cm representa 50 m/s), a direção do vetor é a direção do segmento de reta (direção horizontal), e o sentido é fornecido pela seta (sentido da direita para a esquerda). Veja a seguir algumas convenções estabelecidas para representar um vetor qualquer.
Decomposição de um vetor
Considere o vetor 𝑠⃗ representado a seguir e os eixos x e y, que se cruzam no ponto O, origem do vetor 𝑠⃗.
Tendo em vista o método do paralelogramo, podemos supor que o vetor 𝑠⃗ é o resultado da soma vetorial de dois vetores 𝑠⃗x e 𝑠⃗y, contidos nos eixos x e y, respectivamente.
Os vetores 𝑠⃗x e 𝑠⃗y são denominados componentes do vetor 𝑠⃗ na direção dos eixos x e y, respectivamente. Muitas vezes é útil decompor um vetor em seus vetores componentes.
Existem vários tipos de decomposição de vetores e, neste módulo, descreveremos a decomposição ortogonal, na qual um vetor é decomposto em suas partes constituintes, segundo eixos perpendiculares entre si.
Os vetores 𝑣⃗x e 𝑣⃗y, resultantes da decomposição do vetor v, são denominados componentes ortogonais do vetor 𝑣⃗ ou projeções do vetor 𝑣⃗ nos eixos x e y, respectivamente. É importante ressaltar que, ao decompor o vetor 𝑣⃗, este deixa de existir. Ou seja, ou temos o vetor 𝑣⃗, ou temos seus componentes 𝑣⃗x e 𝑣⃗y. Os módulos dos componentes do vetor 𝑣⃗ podem ser encontrados utilizando-se as relações trigonométricas nos triângulos retângulos:
DESLOCAMENTO VETORIAL
Os conceitos de distância percorrida e de deslocamento são diferentes. Por exemplo, ao realizarmos uma volta completa ao mundo, tendo como ponto de partida e de chegada a mesma posição, nosso deslocamento será nulo, em contrapartida à distância percorrida, que não será nula.
Denominamos de deslocamento vetorial 𝑠⃗ o vetor cuja origem coincide com o ponto de partida do movimento de um corpo, e cuja extremidade coincide com o ponto de chegada do movimento desse. Considere um carro viajando de uma cidade A para outra cidade B, como representado na figura a seguir, em que 𝑠⃗ representa o deslocamento vetorial e d representa a distância percorrida.
Observe que, nessa situação, o módulo do vetor deslocamento 𝑠⃗ é menor que a distância percorrida. Isso evidencia um fato importante: o módulo do deslocamento vetorial nem sempre coincide com o valor da distância percorrida d. Esses só serão coincidentes quando a trajetória for retilínea. VELOCIDADE VETORIAL
A imagem seguinte mostra um esmeril lançando fagulhas metálicas que se encontram a altas temperaturas. Essas fagulhas são pedacinhos incandescentes que se desprendem tanto do metal lixado quanto do esmeril.
Observe que o esmeril está girando, e a trajetória das fagulhas é tangente à trajetória dos pontos do esmeril, que estão em contato com o metal. Uma fagulha que se solta do esmeril no ponto P
161 apresenta um vetor velocidade com as seguintes
características:
Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea do ponto P.
Direção: tangente à trajetória do ponto P.
Sentido: o mesmo sentido do movimento do ponto P.
Tendo em vista as características anteriores, conclui-se um importante fato: o vetor velocidade de um corpo em movimento é sempre tangente à trajetória do corpo.
Módulo 15· Velocidade vetorial 1. Vetor velocidade
2. Composição de velocidades
LANÇAMENTO HORIZONTAL E
LANÇAMENTO OBLÍQUO
Desde o momento no qual nossos ancestrais primitivos lançaram a primeira pedra contra algum animal que os ameaçava, o ser humano se preocupou em compreender o movimento dos objetos por ele lançados: pedras, flechas, lanças; posteriormente, balas de canhão e mísseis. Filósofos debateram sobre o assunto, e várias explicações surgiram para responder às perguntas: por que os objetos caem? Como caem? O que determina o tempo de queda de um objeto? Como devo lançar um objeto para que ele possa ir o mais longe possível? Neste módulo, no entanto, uma discussão histórica sobre o lançamento de projéteis não será feita. Estudaremos o lançamento de projéteis do ponto de vista físico e matemático, o que será útil para a resolução de vários problemas.
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA
Iniciaremos o módulo com uma atividade simples de ser realizada em casa ou na sala de aula. Nessa atividade, utilizaremos duas moedas, uma apoiada sobre uma mesa horizontal e outra apoiada sobre uma régua, estando as duas moedas, inicialmente, à mesma altura em relação ao solo. A partir da configuração inicial, mostrada na figura a seguir, as moedas são colocadas em movimento em um mesmo instante. Uma delas (moeda A) é simplesmente abandonada, caindo verticalmente para baixo, em direção ao solo, e a outra (moeda B) é lançada horizontalmente, caindo a certa distância do pé da mesa. A figura mostra como a situação deve ser conduzida para que as duas moedas iniciem o movimento no mesmo instante. Bata na régua, na direção indicada pela seta, próximo ao ponto onde se encontra a moeda A. A régua tende a girar, fazendo com que a moeda A caia, a partir do repouso, em movimento vertical, e que a moeda B seja lançada horizontalmente, descrevendo uma trajetória parabólica.
A altura inicial das moedas é a mesma, e o momento em que elas iniciam o movimento também é o mesmo, mas qual moeda chegará primeiro ao solo? Pense um pouco antes de realizar a atividade. O som emitido pelas moedas ao tocarem o chão poderá lhe fornecer uma pista para o que acontece: se o barulho for único, as duas moedas chegaram ao solo no mesmo instante, caso contrário, elas chegaram ao solo em momentos distintos. Essa experiência, apesar de simples, fornece indícios para um importante enunciado feito por Galileu Galilei, denominado princípio da independência dos movimentos, que afirma que dois movimentos perpendiculares entre si ocorrem de forma independente um do outro. Uma aplicação desse princípio já foi verificada quando observamos que o intervalo de tempo gasto para um barco atravessar um rio não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da componente da velocidade do barco perpendicular à margem do rio. Esse fato pode ser explicado pelo princípio da independência dos movimentos, tendo em vista que a componente da velocidade do barco perpendicular às margens é também perpendicular à velocidade da correnteza. Logo, o movimento do barco rio abaixo é independente do movimento na direção perpendicular à margem, que é o
movimento que determinará o tempo de travessia do barco.
O mesmo princípio pode ser aplicado a uma situação análoga: a queda de duas esferas, uma solta na direção vertical e outra lançada horizontalmente, semelhantemente às moedas da atividade proposta no início deste módulo. A figura seguinte ilustra essa situação. Ela mostra a trajetória descrita pelas duas esferas, uma solta em queda livre e a outra lançada horizontalmente.
Módulo 16· Lançamento horizontal 1. Movimentos componentes
A imagem anterior nos permite concluir que 1. o intervalo de tempo de queda é o mesmo para as duas esferas;
2. ambos os movimentos são acelerados, possuindo o mesmo vetor aceleração (mesmo módulo, direção e sentido);
3. uma trajetória é retilínea, enquanto a outra é parabólica.
Diante das observações anteriores, surgem os seguintes questionamentos:
• Por que o intervalo de tempo de queda é o mesmo? Como Galileu argumentou, o tempo de queda depende somente do movimento das esferas na direção vertical. As duas esferas apresentavam a mesma velocidade inicial na direção vertical, quando o movimento iniciou, v0y = 0. Portanto, como as esferas iniciam o movimento à mesma altura, no mesmo instante, no mesmo local (ou seja, submetidas ao mesmo vetor aceleração) e com a mesma velocidade inicial na direção vertical, elas devem cair ao mesmo tempo.
• Por que ambos os movimentos são acelerados? Ambas as esferas estão sujeitas à gravidade e, ao desprezarmos a influência da resistência do ar, observamos que o valor da
velocidade vertical das esferas aumenta continuamente, já que a distância vertical percorrida em um mesmo intervalo de tempo é crescente. Além disso, o espaço vertical percorrido por ambas as esferas é sempre o mesmo em qualquer intervalo de tempo. Consequentemente, os valores das suas velocidades são sempre iguais e, portanto, pode-se concluir que a aceleração é a mesma para as duas esferas.
• Por que uma trajetória é retilínea, e a outra, parabólica? Para responder a essa questão, temos de decompor o movimento da esfera que foi lançada horizontalmente.
Decomposição do movimento
Sabemos que, para alterar a velocidade de um objeto, é necessária a ação de uma aceleração. Esse é um dos fundamentos das Leis de Newton que estudaremos posteriormente. Portanto, somente a ação de uma força pode alterar o módulo ou a direção da velocidade de um objeto. Se não houvesse gravidade ou resistência do ar, uma esfera que rolasse sobre uma mesa e a abandonasse continuaria a se mover com velocidade constante, percorrendo distâncias iguais em intervalos de tempos iguais, apresentando um movimento retilíneo uniforme.
Se uma esfera é simplesmente solta, a partir de uma certa altura, seu movimento é um movimento de queda livre, como mostrado na figura a seguir. Esse movimento é um movimento acelerado, o que indica que a distância percorrida, em intervalos de tempo iguais, aumenta cada vez mais.
A trajetória parabólica descrita pela esfera, quando esta é lançada horizontalmente, é resultado da combinação do movimento horizontal (uniforme) com o movimento vertical (acelerado).
163 Cada um dos movimentos é independente do
outro, e seus efeitos, combinados, produzem a trajetória parabólica da esfera.
As equações e as características vetoriais para os movimentos mencionados já foram estudadas em módulos anteriores, devendo ser, agora, aplicadas conjuntamente. Na direção horizontal, como o movimento é uniforme, o vetor velocidade permanece constante em módulo, direção e sentido. Na direção vertical, como o movimento é uniformemente acelerado, o vetor velocidade possui direção vertical, sentido para baixo e módulo crescente, de acordo com as equações já estudadas.
O quadro a seguir apresenta o vetor velocidade para cada um dos movimentos componentes do movimento da esfera e as características associadas a eles.
É importante observar que o vetor velocidade v de um corpo é sempre tangente à trajetória deste, em qualquer posição.
2. Cálculos usuais
LANÇAMENTO OBLIQUO
Em toda prova de arremesso, seja ela de dardo, de disco, de martelo ou de peso, os competidores sempre procuram arremessar os objetos quando estes formam um ângulo de 45° com a horizontal. É para esse valor de ângulo que um corpo arremessado percorre a maior distância horizontal, comparativamente a corpos arremessados com velocidades de mesmo módulo. O lançamento oblíquo nada mais é do que uma extensão do lançamento horizontal estudado no tópico anterior. Nessa nova situação, o lançamento é feito com velocidade vertical inicial diferente de zero. Dessa forma, devemos analisar o movimento vertical na subida e na descida, mas isso não representará grande dificuldade, já que a descrição física e matemática dos movimentos verticais de subida e descida são análogas.
Imagine uma bala de canhão lançada obliquamente com uma velocidade inicial 𝑣⃗o, inclinada de um ângulo 𝜃 em relação à horizontal.
O vetor velocidade de um corpo em trajetória curvilínea é tangente à trajetória deste em qualquer instante, tendo o mesmo sentido do movimento. Observe que a velocidade no ponto mais alto atingido pelo projétil é horizontal e não nula. Enquanto o projétil sobe, seu movimento é desacelerado e, ao descer, acelerado. Neste módulo, iremos considerar que os efeitos da resistência do ar
sobre o movimento do projétil sejam desprezíveis. A figura a seguir mostra as características do vetor velocidade nas direções vertical e horizontal durante todo o movimento. É importante notar que o movimento segundo o eixo Oy equivale a um lançamento vertical para cima, com velocidade inicial voy, e aceleração de valor -10 m/s2. Como já dito, enquanto o projétil sobe, seu movimento é desacelerado e, ao descer, acelerado.
Vamos apresentar separadamente as características de cada parte do movimento e suas respectivas equações, considerando como positivos os sentidos coincidentes com os sentidos dos eixos coordenados:
Durante a subida:
• a componente vertical da velocidade é positiva;
• módulo da componente vertical da velocidade diminui (movimento uniformemente desacelerado);
• módulo da velocidade horizontal não se altera; • o valor da aceleração devido à gravidade é de - 9,8 m/s2;
• v = vo + gt // h = vot + 1/2(gt2) // v2 = 𝑣
02 +
2gd;
• analisando-se o movimento total de subida, o valor da velocidade vertical inicial, vo, é o valor da componente vertical da velocidade de lançamento (voy = vo.sen 𝜃), e a velocidade final é zero.
No ponto mais alto da trajetória:
o valor da componente vertical da velocidade é nulo;
• o intervalo de tempo gasto no movimento de subida será igual ao intervalo de tempo gasto no movimento de descida;
• o valor da altura máxima atingida pelo projétil pode ser determinado a partir da análise do movimento uniformemente desacelerado, na direção vertical;
• o valor da distância horizontal percorrida pode ser determinado a partir da análise do movimento uniforme, na
direção horizontal, utilizando-se a velocidade horizontal inicial e o intervalo de tempo gasto na subida.
Durante a descida:
• a componente vertical da velocidade é negativa;
• o módulo da velocidade vertical aumenta (movimento uniformemente acelerado);
• o valor da componente horizontal da velocidade permanece constante e igual ao valor da componente horizontal da velocidade no momento do lançamento;
• o valor da aceleração devido à gravidade é de -9,8 m/s2;
• v = vo + gt // d = vot + 1/2(gt2) // v2 = vo2 + 2gd;
• analisando-se é movimento de descida, o valor da velocidade vertical inicial vo é zero, e o valor da velocidade final possui o mesmo módulo da componente vertical da velocidade de lançamento (vo = vo.sen 𝜃), porém, com sinal negativo.
Tempo total de movimento
Podemos determinar o tempo total de permanência do projétil no ar, realizando os cálculos do tempo de subida e de descida separadamente, ou então, efetuar os cálculos considerando a velocidade inicial de subida e a velocidade final de descida. O tempo de subida pode ser determinado, utilizando-se a equação vy = vo + gt. No instante em que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória, vY = 0. Logo:
Como o intervalo de tempo de subida é igual ao de descida, considerando que o ponto de lançamento esteja nivelado com o solo, temos:
tdescida =
g
sen
v
0.
−
Desse modo, o intervalo de tempo total de permanência do projétil no ar será dado por: Ttotal =
g
sen
v
0.
−
OBSERVAÇÃO: Apesar do sinal negativo antes da expressão que determina tempo total do movimento, este, obviamente, não é negativo, já que, por causa do eixo de referência usado, o valor de g também é negativo. Essa observação vale para as equações posteriores que apresentarem o mesmo fenômeno.
165 Altura máxima (hMÁX.)
O valor da altura máxima (hMÁX) atingida pelo projétil, em relação ao solo, pode ser determinado, lembrando que hMÁX é o valor da altura vertical quando 𝑣⃗y se anula. Na direção vertical, durante a subida, o movimento é uniformemente desacelerado. Utilizando a equação de Torricelli:
Alcance horizontal
O alcance horizontal (A) é a distância percorrida pelo projétil, na horizontal, desde o instante do lançamento até o momento em que o projétil toca o solo. Seu valor é igual ao deslocamento horizontal do projétil durante o intervalo de tempo total do movimento.
Como o movimento é uniforme, podemos escrever que:
Observe que a equação anterior nos permite determinar qual deve ser o ângulo de lançamento para que o alcance horizontal seja máximo. Devemos procurar um ângulo no qual o valor de sen (2𝜃) seja o maior possível.
A imagem da função seno varia de -1 a +1, sendo que entre 0 e 𝜋, apenas sen 90° = +1. Desse modo, podemos concluir que o valor de 𝜃 para que o alcance do projétil seja máximo deve ser igual a 45°. Por esse motivo, no início do módulo, dissemos que os atletas de arremesso de dardo (ou outro objeto qualquer) procuram lançar os dardos com um ângulo igual a 45° em relação à direção horizontal. RESUMOS DO Lançamento oblíquo
2. Cálculos básicos
MOVIMENTO CIRCULAR
Nos módulos anteriores, estudamos as propriedades fundamentais dos movimentos retilíneos, utilizando grandezas como distância percorrida, deslocamento, velocidade e aceleração para caracterizá-los. Neste módulo, discutiremos algumas grandezas que nos auxiliam na descrição e na caracterização dos movimentos curvilíneos. Esses movimentos estão presentes em várias situações de nosso dia a dia e em muitos dispositivos: uma bola lançada obliquamente, os carros realizando uma curva em uma estrada e as engrenagens das máquinas são alguns exemplos de corpos que descrevem movimentos curvilíneos. VELOCIDADE ANGULAR
’
Um objeto pode girar mais depressa que outro. O ponteiro de segundos de um relógio gira
mais rápido que o de minutos, e este, mais rápido que o de horas. Para estudarmos o movimento circular, é necessário definir uma grandeza que meça essa "rapidez" de giro, que é a velocidade angular. Antes de defini-la, devemos relembrar o conceito de medidas de ângulo, tanto em graus quanto em radianos.
Um grau (°) é definido como 1/360 do ângulo total de uma circunferência. Um radiano (rad) é a medida do ângulo central de uma circunferência que determina um arco de comprimento
, igual ao raio R da mesma circunferência. A figura a seguir mostra, na primeira imagem, um ângulo de 1 radiano. Na segunda imagem, temos um ângulo genérico 𝜃. A relação entre esse ângulo, o comprimento do arco e o raio da circunferência também é apresentada.Se você amarrar um barbante a uma pedra e marcar dois pontos nesse barbante (o ponto A, mais externo, e o ponto B, mais interno), ao colocara pedra para girar, notará algo imediatamente: o ponto mais externo percorrerá uma trajetória de comprimento maior que o comprimento da trajetória do outro ponto, apesar de ambos descreverem o mesmo ângulo central no mesmo intervalo de tempo. Isso nos mostra que necessitamos de uma grandeza para descrever a velocidade de giro (velocidade angular) e de outra para descrever a velocidade com a qual a trajetória (circular) é percorrida (velocidade linear).
A figura anterior mostra uma partícula, em movimento circular, passando por uma posição P1, em um instante t1, e por uma posição P2, em um instante t2. Nesse intervalo de tempo, Δt, o ângulo central variou de Δ𝜃. Definimos a velocidade angular (
) como a razão entre Δ𝜃 e Δt:t
=
A razão entre o comprimento da trajetória percorrida pela partícula, para mover-se da posição P, até a posição P2, e o intervalo de tempo At determinam o valor da velocidade linear v (v = Δs/Δt), também denominada velocidade escalar ou
tangencial. Intuitivamente, sabemos que há uma relação entre as velocidades angular e linear de um corpo, pois, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior será o ângulo percorrido por ele em certo tempo e maior será, também, o comprimento da trajetória percorrida por ele durante esse tempo.
Na verdade, como esse comprimento é proporcional ao ângulo, temos que a velocidade linear de um corpo é diretamente proporcional à velocidade angular deste. A relação entre as velocidades angular e linear de um corpo, em movimento circular, pode ser expressa por:
v = 𝜔R
Módulo 19· Aceleração vetorial 1. Variação do vetor velocidade
167 • A intensidade de 𝑣⃗ varia quando o movimento
for acelerado ou retardado.
• A direção de 𝑣⃗ varia quando o movimento tiver trajetória curvilínea.
• Vetor indicativo da variação de velocidade:
2. Aceleração vetorial média
Módulo 20· Aceleração vetorial
1. Aceleração tangencial
Varia a intensidade da velocidade 𝑣⃗. Só existe em movimentos acelerados ou retardados.
2. Aceleração centrípeta
Varia apenas a direção da velocidade 𝑣⃗, ou seja, só existe em movimento com trajetórias curvilíneas.
Movimento de um corpo rígido
Em muitas situações, temos de analisar o movimento circular de um corpo rígido girando, como uma roda gigante, ou um carrossel de um parque de diversões. Nesses casos, todos os pontos do corpo, apesar de estarem a diferentes distâncias do centro, giram solidariamente, efetuando um giro completo no mesmo intervalo de tempo, ou seja, todos os pontos do corpo possuem a mesma velocidade angular. Um bom exemplo dessa situação é a Terra. Considere a figura a seguir, que
mostra duas pessoas, A e B, sobre a superfície da Terra, uma sobre a Linha do Equador e outra sobre a Linha do Trópico de Capricórnio.
Vejamos como se relacionam o período (T), a velocidade angular (𝜔), a velocidade linear (v), a aceleração centrípeta (ac) e a aceleração tangencial (at) que atuam sobre as pessoas A e B no movimento de rotação da Terra.
• período T: as duas pessoas encontram-se sobre a superfície da Terra e esta completa uma volta em torno de seu próprio eixo a cada 24 h. Consequentemente, todas as pessoas que se encontram sobre a Terra completarão uma volta em torno do eixo desta nesse mesmo intervalo de tempo. Logo, as pessoas A e B possuem o mesmo período de movimento.
• velocidade angular (𝜔): a velocidade angular é uma grandeza que mede a rapidez de giro de um objeto, definida matematicamente como o ritmo no qual o ângulo central da posição do objeto varia. Como as duas pessoas descrevem o mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo, suas velocidades angulares serão iguais.
• velocidade linear (v): a velocidade linear depende da distância percorrida e do intervalo de tempo gasto para percorrê-la. Como o raio da circunferência descrita pela pessoa A é maior que o raio da circunferência descrita pela pessoa B, e como as duas pessoas descrevem as respectivas circunferências no mesmo intervalo de tempo, a velocidade linear de A será maior que a de B. • aceleração centrípeta (ac): o módulo da aceleração centrípeta de um corpo em movimento circular é dado por ac = v2/R = 𝜔2R. Como as duas pessoas estão sujeitas à mesma velocidade angular, o módulo da aceleração centrípeta que atua sobre as pessoas será diretamente proporcional ao raio de suas respectivas trajetórias. Logo, a aceleração centrípeta que atua sobre a pessoa A é maior do que a que atua sobre a pessoa B.
• aceleração tangencial (at): o módulo da aceleração tangencial que atua sobre um corpo está associado à mudança no módulo do vetor velocidade desse mesmo corpo. Como as duas pessoas estão descrevendo um MCU, o módulo da velocidade linear delas permanece constante. Consequentemente, a aceleração tangencial que atua sobre as duas pessoas é nula.
TRANSMISSÃO DE VELOCIDADES NO MOVIMENTO CIRCULAR
É muito comum a transmissão do movimento circular de um disco (ou de uma roldana, ou de uma polia) a outro objeto, por meio do contato direto entre eles ou por meio do uso de correias ou de eixos. A seguir, discutiremos cada um desses casos.
Transmissão por contato
Quando há transmissão de movimento circular de um disco a outro por meio do contato direto entre eles, os dois discos apresentam a mesma velocidade linear, desde que não haja deslizamento entre eles.
Considerando a ao lado, temos que RA > RB. Logo, 𝜔A < 𝜔B, ou seja, o disco B gira mais rápido que o disco A. Consequentemente, a frequência do disco A é menor que a frequência do disco B. Em outras palavras, como v/R = 𝜔 = 2𝜋f, e lembrando que v é constante, concluímos que a velocidade angular 𝜔 e a frequência f são inversamente proporcionais ao raio. Assim, por exemplo, se na figura anterior RA for igual a 2RB, então, fA será igual a fB/2.
No caso de engrenagens, em que o acoplamento se dá por encaixe entre os dentes, o raciocínio é o mesmo. Como última nota sobre esse tipo de transmissões de movimentos, é importante perceber que os dois discos (ou engrenagens) giram em sentidos opostos, como pode ser observado na figura anterior.
Transmissão por correia
Quando a transmissão de movimento circular de um disco a outro se dá por meio do uso de correias, os dois discos, assim como no caso de transmissão por contato, apresentam a mesma velocidade linear. A condição para isso ocorrer é a de que não haja deslizamento entre os discos e a correia.
169 Naturalmente, como a velocidade escalar v é
constante, a mesma proporção inversa entre f (ou 𝜔) e R, que deduzimos na transmissão por contato, também é verificada na transmissão por correia. Por isso, quando pedalamos uma bicicleta, impondo uma frequência fA na coroa (disco A), aparece uma frequência fB maior para a catraca (disco B). Por exemplo, para RA = 2RB, temos fB = 2fA.
Velocidade linear transmitida
Transmissão por eixo
Nesse tipo de acoplamento, todas as engrenagens encontram-se presas a um único eixo que, ao girar, faz com que essas engrenagens girem com a mesma velocidade angular. Consequentemente, as engrenagens apresentarão, também, a mesma frequência de rotação que o eixo.
Essa equação mostra que a velocidade escalar v e o raio R do disco são grandezas diretamente proporcionais. Por exemplo, na figura anterior, veja
que A é um ponto na periferia de uma roda dentada maior e que B é um ponto na periferia de uma roda dentada menor. Então, RA > RB. Consequentemente, vA > vB. Podemos estender esse raciocínio para um ponto na periferia do pneu. Quanto maior for o raio do pneu em relação ao raio das rodas dentadas centrais (catracas), maior será o aumento da velocidade. Na verdade, a velocidade escalar na periferia do pneu representa a própria velocidade de translação da bicicleta. Por isso, para proporcionar maiores velocidades, os diâmetros dos pneus de bicicletas são, em geral, muito grandes.
MECÂNICA
1.a e 2.a Leis de Newton OBJETO DA DINÂMICA
Dinâmica é a parte da Mecânica que procura estabelecer as leis que explicam os movimentos, possibilitando determinar o tipo de movi- mento de um corpo a partir de uma certa situação inicial. As leis da dinâmica foram formuladas por Galileu e Newton.
GRANDEZAS FUNDAMENTAIS
Na cinemática, as grandezas fundamentais para a descrição dos movimentos eram apenas o comprimento (L) e o tempo (T), e as grandezas derivadas, utilizadas em seu estudo, foram a velocidade e a aceleração.
Na dinâmica, as grandezas fundamentais para a explicação dos movimentos são o comprimento (L), a massa (M) e o tempo (T).
As grandezas derivadas principais utilizadas, além da velocidade e da aceleração, são força, trabalho, potência, energia, impulso e quanti- dade de movimento.
CONCEITO DINÂMICO DE FORÇA
Força é o agente físico responsável pela aceleração dos corpos. Isso significa que força é algo que produz variação de velocidade de um corpo.
Qualquer alteração na velocidade de um corpo, seja em intensidade, seja em orientação (direção e sentido), implica uma aceleração e, portanto, a presença de uma força que vai produzir esta aceleração.
Força e aceleração constituem um dos mais importantes pares causa efeito da Física.
Se for suprimida a força que atua em um corpo, instantaneamente cessa sua aceleração, isto é, não existe “inércia” de aceleração.
Módulo 22· Primeira lei de Newton 1. Inércia
É a tendência natural que os corpos possuem em manter velocidade constante.
• Corpo em repouso ⇒ tende a ficar em repouso. • Corpo em movimento ⇒ tende a ficar em MRU. 2. Primeira lei de Newton ou princípio da inércia
Se a resultante das forças atuantes num corpo é nula, então o corpo se encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
Esquematicamente, o princípio da inércia pode ser exposto assim:
3. Referencial inercial
Referencial que comprova a lei da inércia: sistema de referência que não possui aceleração em relação às estrelas “fixas” (sistema inercial primário). Dentro de limites, a Terra pode ser considerada um referencial inercial.
171 Módulo 24· Componentes da força resultante
Módulo 25· Força peso e resistência do ar 1. Força peso
• Massa: grandeza escalar que representa a medida dac inércia do corpo.
• Peso: grandeza vetorial que representa a força gravitacional com que a Terra atrai o corpo. 2. Força de resistência do ar
k: constante que depende do formato do corpo, da área de sua maior seção transversal ao movimento e da densidade do ar.
Módulo 26· Terceira lei de Newton 1.Princípio da ação e reação
Se um corpo A aplicar uma força sobre um corpo B, receberá dele uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto à força que aplicou em B.
RECONHECIMENTO DAS INTERAÇÕES FUNDAMEN- TAIS DA NATUREZA, ÂMBITOS DE ATRAÇÃO E INTENSIDADES RELATIVAS As diferentes forças que aparecem na Natureza podem ser explicadas em termos de quatro interações fundamentais que apresentamos a seguir, em ordem decres- cente de suas intensidades.
Força nuclear forte (também chamada de força hadrônica): somente ocorre entre as partículas elementares chamadas hádrons, que incluem, entre outras, os prótons e nêutrons, constituintes do núcleo atômico.
A força nuclear forte atua em escala nuclear, tendo, portanto, um alcance extremamente curto, da ordem de 10-15m. Ela é responsável pela manutenção ou coesão do núcleo atômico, mantendo os quarks unidos para formarem os
prótons e nêutrons e mantendo estes últimos unidos no núcleo do átomo, apesar da força de repulsão eletrostática entre os prótons. As forças nucleares fortes diminuem rapidamente com a separação das partículas e são desprezíveis à distância de alguns diâmetros nucleares. Estas forças são atrativas para distâncias maiores do que 0,4 . 10-15 m e repulsivas para distâncias menores do que este valor.
Força eletromagnética: inclui as forças elétricas e as forças magnéticas. Esta força existe entre partículas eletrizadas e pode ser atrativa ou repulsiva. Ela explica a ligação entre os elétrons e os núcleos atômicos e também a união entre os átomos para formarem as moléculas. Além disso, é responsável pela emissão de radiação eletromagnética, quando os átomos passam de um estado excita- do para o seu estado fundamental.
Força nuclear fraca: ocorre entre elétrons e prótons e entre elétrons e nêutrons; atua em escala nuclear, com alcance ainda menor que o da força nuclear forte; é responsável pelo processo de emissão de elétrons pelos núcleos de certas substâncias radioativas, denominado desintegração beta.
A intensidade da força nuclear fraca é muito menor que a da força eletromagnética, situando-se num patamar intermediário entre as forças eletromagnéticas e gravitacionais.
Hoje em dia, a teoria que pretende unificar as interações funda- mentais já admite que a força nuclear fraca e a força eletro- magnética representam aspectos diferentes de uma mesma interação fundamental (força eletrofraca).
Força gravitacional: é a força atrativa que existe entre partículas dotadas de massa. É a mais fraca de todas as interações funda- mentais. Por exemplo, a força de repulsão eletrostática entre dois prótons é cerca de 1036 vezes maior do que a respectiva força gravitacional entre eles.
A força gravitacional entre a Terra e um corpo em suas proximidades é o peso do corpo. A força gravitacional que o Sol aplica sobre um planeta é responsável pelo seu movimento orbital. A força gravitacional que a Terra exerce na Lua ou em qualquer outro satélite artificial é responsável pela manutenção de sua órbita. As forças gravitacionais que o Sol e a Lua exercem sobre os oceanos são responsáveis pelas marés.
A força gravitacional, embora seja a mais fraca das interações fundamentais, é a mais importante na Astronomia, para explicar a formação de estrelas, galáxias e planetas, pelas seguintes razões:
• continua atuando em corpos eletricamente neutros;
• é sempre atrativa e torna-se muito intensa porque, em escala astronômica, as massas dos corpos tornam-se extremamente grandes.
Todas as demais forças que aparecem na Física podem ser reduzidas a essas quatro interações fundamentais.
As interações nuclear forte e nuclear fraca, devido a seu alcance extremamente curto, da ordem das dimensões do núcleo dos átomos, só têm relevância para explicar fenômenos em escala nuclear.
Do ponto de vista macroscópico, só têm importância as interações eletromagnética e gravitacional.
CONCEITO DE ATRITO
Atrito é um estado de aspereza ou rugosidade entre dois sólidos em contato, que permite a troca de forças em uma direção tangencial à região de contato entre os sólidos.
• O fato de existir atrito entre dois sólidos não implica, necessariamente, a existência de uma força de atrito entre eles.
• A força de atrito só se manifesta quando há desliza mento entre os só lidos (atrito dinâmico) ou quando houver tendência de desliza mento entre os sólidos (atrito está tico).
• O sentido da força de atrito é sempre contrário ao deslizamento ou à tendência de deslizamento entre sólidos em contato.
• De acordo com a 3.a Lei de Newton (ação e reação), os sólidos A e B trocam entre si forças de atrito, isto é, existe uma força de atrito que A aplica em B e outra força de atrito que B aplica em A. É evidente que tais forças de atrito são opostas, isto é, têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos.
As forças de atrito trocadas entre A e B (𝐹⃗𝑎𝑡𝐵𝐴 e
𝐹⃗𝑎𝑡𝐵𝐴) nunca se equilibram, porque estão aplicadas
173 2. ATRITO ESTÁTICO
Quando entre dois sólidos, A e B, existe atrito e, embora não haja movimento relativo entre eles, há uma tendência de deslizamento, isto é, há uma solicitação ao movimento, surge uma força de atrito no sentido de evitar o deslizamento relativo, denominada força de atrito estática.
• Não havendo deslizamento, a força de atrito estática tem intensidade igual à da força que solicitou o sistema a se mover, chamada força motriz.
• À medida que a força motriz vai aumentando (maior solicitação ao movimento), a força de atrito estática também vai aumentando, de modo a continuar evitando o movimento relativo entre os sólidos. Contudo, existe uma limitação para o valor da força de atrito estática, isto é, existe uma força de atrito máxima que é denominada força de atrito de destaque.
• Dependendo da intensidade da força motriz (𝐹⃗ ), a força de atrito estática (𝐹⃗𝑎𝑡𝐸) tem
intensidade que pode variar de zero (não há solicitação ao movimento) até um valor máximo chamado força de atrito de destaque (o deslizamento entre os sólidos em contato é iminente).
• A força de atrito de destaque (FatD) tem intensidade proporcional à intensidade da força normal de contato entre os sólidos (FN), isto é, a força que tende a apertar um sólido contra o outro.
• A constante de proporcionalidade entre a força de atrito de destaque (FatD) e a força normal (FN) só depende dos sólidos em contato (material dos
corpos, polimento, lubrificação) e é denominada coeficiente de atrito estático (𝜋𝑒).
•
3. ATRITO DINÂMICO
• Quando a intensidade da força motriz (F) supera a intensidade da força de atrito de destaque (FatD), tem início o deslizamento entre os só li dos em contato e o atrito é chamado di nâmico ou cinético. • É de verificação experimental que o coeficiente de atrito dinâmico (𝜇𝑑) é menor do que o coeficiente de
atrito estático (𝜇𝐸), o que significa que, ao iniciar o
movimento, a força de atrito diminui sua intensidade.Durante o deslizamento entre os sólidos, supondo- se que as suas superfícies de contato sejam homogêneas (𝜇𝑑 constante) e que a
intensidade da força normal seja constante (FN constante), a força de atrito terá intensidade constante, não importando a velocidade relativa entre os sólidos, nem a intensidade da força motriz. Durante o movimento:
5. GRÁFICO DA FORÇA DE ATRITO Para uma força motriz de intensidade F crescente, representamos a intensidade da força de atrito trocada entre dois sólidos.
6. FORÇA NORMAL
A força normal corresponde à força de compressão entre os corpos e deve ser identificada em cada exercício, conforme exemplos a seguir:
Exemplo (1)
PLANO INCLINADO
1. COMPONENTES DA FORÇA PESO
Da figura:
Pt = P sen 𝜽: componente tangencial do peso; é a componente
que solicita o bloco para baixo; na ausência de atrito faz o papel de resultante que acelera o bloco. Pn = P cos 𝜽: componente normal do peso; é a componente de
compressão que aperta o bloco contra o plano inclinado; é equilibrada pela reação normal de apoio e só tem interesse em problemas com atrito. ACELERAÇÃO NO PLANO INCLINADO SEM ATRITO
Quando um corpo se move livremente em um plano inclinado, sem atrito, a força resultante responsável por sua aceleração é a componente tangencial de seu peso:
2a. Lei de Newton (PFD): Pt = m a m g sen θ = m a → a = g sen θ
Observe que a intensidade da aceleração (g sen θ) é independente da massa do corpo.
3. ACELERAÇÃO NO PLANO INCLINADO COM ATRITO
175 Quando um corpo se move livre- mente em
um plano inclinado, com atrito, a força resultante, responsável pela sua aceleração, é a soma ve- torial da componente tangencial de seu peso
(Pt = m g sen θ) com a força de atrito dinâmico (Fat = μd m g cos θ).
• Se o corpo for lançado para cima, teremos:
• Se o corpo for abandonado dorepouso ou lançado para baixo, teremos:
2a. Lei de Newton (PFD): Pt + Fat = m a
m g sen θ + μd m g cos θ = m a
• Se o corpo for abandonado do repouso ou lançado para baixo, teremos:
ÂNGULO DE ATRITO
Estático :Se o corpo permanecer em repouso no plano inclinado, porém na iminência de deslizar, isto é, a força de atrito solicitada ao máximo, teremos:
O ângulo θE, tal que μE = tg θE, é chamado “ângulo de atrito está- tico”.
Dinâmico: Se o corpo for lançado para baixo no plano inclinado e descer em movimento retilíneo e uniforme (aceleração nula), teremos:
O ângulo θd, tal que μd = tg θd, é chamado “ângulo de atrito dinâmico”.
Componentes da Resultante 1. FORÇA RESULTANTE
Admitamos que sobre um corpo atuem as forcas → 𝐹⃗1, → 𝐹⃗2, ..., → 𝐹⃗n em relação a um sistema de referencia inercial (para nossos estudos, ligado a superfície terrestre). A forca resultante sobre o corpo e a soma vetorial das forcas atuantes.
Portanto, a forca resultante e uma força imaginária (hipotetica) que poderia substituir as forcas reais e produzir no corpo a mesma aceleração vetorial.
Para facilitar seu estudo, a força 𝐹⃗𝑅 costuma ser
separada em duas componentes.
Cumpre ressaltar que 𝐹⃗𝑡 e 𝐹⃗𝑐𝑝 não são forcas
que realmente atuam no corpo, mas apenas componentes da forca resultante (que e uma forca imaginaria).
A forca resultante e a soma vetorial de suas componentes tangencial e centrípeta.
A intensidade da forca resultante e obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras.
. FORÇA CENTRÍFUGA
177 TRABALHO
CONCEITO
Uma força 𝐹⃗ realiza trabalho quando
(I) transfere energia mecânica de um corpo
para outro;
(II) transforma energia cinética em potencial ou
vice-versa;
(III) transforma energia mecânica em outra
forma de energia (por exemplo, em térmica). Portanto, na conceituação de trabalho, deve estar sempre presente um agente físico força e uma transferência ou transformação de energia mecânica.
DEFINIÇÃO
Quando a força (𝐹⃗ ) é constante e o seu ponto de aplicação sofre um deslocamento (𝑑⃗), tal que o ângulo entre 𝑑⃗ e 𝐹⃗ vale θ, o trabalho é dado por:
Quando a força é variável, a definição de trabalho é feita com o uso da função matemática integral e do produto escalar entre dois vetores e, portanto, foge ao nível do Ensino Médio.
• No caso de forças variáveis, o cálculo do trabalho pode ser feito com o auxílio do teorema da energia cinética ou do método gráfico.
• O trabalho de uma força constante não depende da tra- jetória do móvel entre os pontos A e B.
3.
4. CÁLCULO DO TRABALHO DO PESO
.
Módulo 37· Teorema da energia cinética 1. Energia cinética
É a energia que um corpo possui por ter velocidade.
2. Teorema da energia cinética
O trabalho da resultante das forças atuantes em um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo.
Módulo 38· Trabalho da força peso
Módulo 39· Energia potencial gravitacional 1. Trabalho para levantar um corpo
2. Energia potencial gravitacional
É a energia que um corpo possui em razão de sua posição (altura) no campo gravitacional.
Módulo 40· Energia potencial elástica
1. Trabalho da força elástica
2. Energia potencial elástica
É a energia que uma mola armazena quando se encontra deformada.
Módulo 41· Sistemas conservativos 1. Energia mecânica
179 2. Conservação da energia mecânica
A energia mecânica de um sistema se mantém constante quando nele só operam forças do tipo conservativas: força peso, força elástica e forças cujo trabalho total é nulo.
Módulo 42· Sistemas não-conservativos 1. Teorema da energia mecânica
2. Sistemas dissipativos
O trabalho das forças dissipativas (atrito dinâmico e resistência de fluidos) transforma a energia mecânica dissipada em energia térmica (calor).
Módulo 43· Potência mecânica 1. Conceito
A potência mecânica mede a rapidez com que um dispositivo transfere ou transforma energia mecânica, através do trabalho de sua força.
Unidade (SI): watt (W) → W = J/s 2. Potência média
3. Potência instantânea de uma força
4. Diagrama horário da potência
Módulo 44· Impulso e quantidade de movimento 1. Impulso de uma força constante
2. Impulso de uma força variável
Se uma força tiver direção constante e intensidade variando no decorrer do tempo, seu impulso será calculado por meio da área sob o gráfico força x tempo.
3. Quantidade de movimento
Unidade no SI: kg · m/s Observações:
• u(I) = u(Q) = kg · m/s • 𝑄⃗⃗⃗ = cte ⇒ Repouso ou MRU
4. Teorema do impulso
“O impulso da resultante das forças atuantes sobre uma partícula, num certo intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento da partícula nesse mesmo intervalo de tempo.”
Módulo 45· Sistemas isolados
1. Quantidade de movimento de um sistema
Quando as velocidades tiverem mesma direção:
2. Sistema mecanicamente isolado
3. Conservação da quantidade de movimento
Módulo 46· Colisões frontais
1. Conservação da quantidade de movimento
2. Coeficiente de restituição
Módulo 47· Força e campo gravitacional 1. Lei da gravitação universal
Matéria atrai matéria na razão direta do produto de suas massas e na razão inversa do quadrado da distância entre seus centros de massa.
181 Módulo 48· Satélite em órbita circular
Módulo 49· Leis de Kepler 1. Lei das órbitas
2. Lei das áreas
3. Lei dos períodos
Módulo 50· Equilíbrio de corpo extenso
Módulo 52· Teorema de Stevin
Para líquidos em equilíbrio
Pontos dentro de um mesmo líquido e na mesma linha horizontal suportam a mesma pressão.
Módulo 53· Teorema de Pascal 1. Teorema de Pascal
Os líquidos trasmitem integralmente as variações de pressão
2. Prensa hidráulica
Módulo 54· Força de empuxo
Teorema de Arquimedes
Todo corpo submerso total ou parcialmente num fluído em equilíbrio recebe deste uma força vertical para cima, denominada empuxo, cujo módulo é igual ao do peso do volume de fl uido deslocado.
Centro de Massa
1. CONCEITO DE CENTRO DE MASSA Quando um corpo é tomado como ponto material, considera- mos toda sua massa concentrada em um ponto geométrico, onde estaria aplicada a resultante das forças externas que atuam no corpo. Este ponto geométrico recebe o nome de CENTRO DE MASSA do corpo.
Nota: Se o corpo for homogêneo e apresentar uma forma geométrica regular e simétrica, então o centro de massa coincidirá com o centro geo- métrico do corpo.
Exemplo 1: O centro de massa de uma esfera homogênea é o seu centro geométrico.
Exemplo 2: O centro de massa de um anel homogêneo é o seu centro geométrico (onde, no caso, não existe massa).
Exemplo 3: O centro de massa de um corpo homogêneo, com forma- to triangular, é o baricentro do triân- gulo.
CENTRO DE GRAVIDADE
O centro de gravidade de um corpo é o ponto de aplicação da força de gravidade.
O centro de massa coincidirá com o centro de gravidade se o vetor aceleração da gravidade (g ) for o mesmo em todos os pontos do corpo.
