UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT

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UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL

DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CI ˆ

ENCIAS TECNOL ´

OGICAS - CCT

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA - DMAT

APOSTILA DE EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS

JONES CORSO

(2)

(3)

Sum´

ario

1 INTRODUC¸ ˜AO 1

1.1 No¸c˜oes elementares . . . 1

1.2 Nota¸c˜ao . . . 4

1.3 Nomenclatura usual para classiﬁcar ED . . . 4

1.4 Equa¸c˜oes diferenciais lineares . . . 6

1.5 Solu¸c˜oes . . . 6

1.5.1 Solu¸c˜ao particular e solu¸c˜ao geral . . . 7

1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno . . . 7

2 EQUAÇ OES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 11 2.1 Equa¸cões com variáveis separáveis . . . 11

2.2 Equa¸c˜oes Homogˆeneas . . . 13

2.3 Equa¸c˜oes Exatas . . . 14

2.4 Fator integrante . . . 16

2.5 Equa¸c˜ao de Bernoulli . . . 18

2.6 Equa¸c˜ao de Ricatti . . . 18

2.7 Aplica¸c˜oes das ED de Primeira Ordem . . . 19

2.7.1 Problemas de varia¸c˜ao de temperatura . . . 19

2.7.2 Equa¸c˜ao do movimento de um corpo . . . 20

2.7.3 Circuitos em s´erie . . . 21

3 EQUAÇ ÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 23 3.1 EDL: Teoria das solu¸cões . . . 23

3.1.1 Dependˆencia linear . . . 23

3.1.2 Independˆencia linear . . . 23

3.1.3 Solu¸c˜oes linearmente independentes. O Wronskiano . . . 24 iii

(4)

3.2 A equa¸c˜ao caracter´ıstica . . . 25

3.3 Solu¸c˜ao geral - sistema fundamental . . . 26

3.3.1 Solu¸c˜ao em termos das ra´ızes . . . 27

3.4 Equa¸cões lineares não homogêneas . . . 29

3.4.1 Resolu¸cão de equa¸cões lineares não homogêneas . . . 30

3.4.2 M´etodo Geral . . . 32

3.5 Aplica¸c˜ao f´ısica . . . 34

4 EQUAÇ ÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n 37 4.1 Equa¸cões de ordem superior . . . 37

4.2 Equa¸c˜oes de ordem superior usando coeﬁcientes a determinar . . . 39

4.3 Equa¸c˜ao de Cauchy-Euler . . . 40

5 S ÉRIES NUM ÉRICAS 43 5.1 Método de Séries . . . 43

5.1.1 O método da Série de Potências . . . 43

5.1.2 Solu¸cão em Série de Potências . . . 45

5.2 M´etodo de Fr¨obenius . . . 47

5.3 Equa¸c˜ao de Bessel . . . 49

5.3.1 Fun¸c˜oes de Bessel de segunda esp´ecie . . . 50

6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 51 6.1 Deﬁni¸c˜ao da transformada de Laplace . . . 51

6.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . 52

6.3 Transformadas inversas de Laplace . . . 53

6.3.1 M´etodo do complemento do quadrado . . . 54

6.3.2 M´etodo das fra¸c˜oes parciais (FP) . . . 54

6.3.3 Fun¸c˜ao Degrau Unit´ario . . . 56

6.3.4 Fun¸cão impulso unitário ou fun¸cão delta de Dirac . . . 58

6.3.5 Convolu¸c˜oes . . . 58

6.4 Resolu¸c˜ao, pela TL, de EDL com coeﬁcientes constantes . . . 60

6.4.1 Transformadas de Laplace de derivadas . . . 60

6.4.2 Solu¸c˜ao do problema de valor inicial . . . 60 iv

(5)

7 SISTEMA DE EQUAC¸ ˜OES LINEARES 63

7.1 Redu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem 63 7.2 C´alculo de eAt . . . 67 7.2.1 Uso da Transformada de Laplace para o C´alculo de eAt _{. . . .} ₆₈

7.3 Resolu¸c˜ao de sist. lineares com coeﬁcientes constantes . . . 69

8 F ´ORMULAS 71

Referˆencias Bibliogr´aficas 74

(6)

(7)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO

1.1 No¸

c˜

oes elementares

Uma equa¸c˜ao da forma F (x, y, y′, y”, ..., y(n)) _{= 0, onde a inc´}_{ognita x ´}_{e uma fun¸c˜}_{ao de} uma variável, chama-se equa¸cão diferencial ordinária. Muitas leis gerais da F´ısica, Biologia e Economia encontram sua espressão natural nestas equa¸cões. Por outro lado, inúmeras questões na própria matemática (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no Cálculo de Varia¸cões) são formuladas por equa¸cões diferenciais ordinárias ou se reduzem a elas.

O estudo das equa¸cões diferenciais come¸cou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considera¸cões f´ısicas e geométricas. Esses métodos, na sua evolu¸cão, conduziram gradualmente à consolida¸cão das Equa¸cões diferenciais como um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina independente.

Neste estágio, a procura e análise de solu¸cões tornou-se uma finalidade própria. Também nesta época ficaram conhecidos os métodos elementares de resolu¸cão (integra¸cão) de vários tipos especiais de equa¸cões diferenciais, tais como as de variáveis separáveis (x′ = f (x) g (t)), as lineares (x′ = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x′ = p (t) x + q (t) xn), as de Clairaut (f (x′) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a0(t) + a1(t) x + a2(t) x2).

A natureza daquilo que era considerado solu¸cão foi mudando gradualmente, num pro-cesso que acompanhou e, às vezes, propiciou o desenvolvimento do próprio conceito de fun¸cão. Inicialmente buscavam-se solu¸cões expressas em termos de fun¸cões elementares, isto é, polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais. Posteriormente passou-se

(8)

2 1.1. No¸cões elementares a considerar satisfatório expressar a solu¸cão na forma de uma integral (quadratura) con-tendo opera¸cões elementares envolvendo estas fun¸cões, ainda que a mesma não admitisse uma expressão em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os problemas focalizados, surgiram as solu¸cões expressas por meio de séries infinitas (ainda sem a preocupa¸cão com a análise da convergência das mesmas).

Em fins do século XVIII a Teoria das Equa¸cões Diferenciais se transformou numa das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para a pesquisa cient´ıfica. As contribui¸cões de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente o conhecimento dentro do Cálculo das Varia¸cões, Mecânica Celeste, Teoria das Oscila¸cões, Elasticidade, Dinâmica de Fluidos, etc. Nesta época iniciou-se também a descoberta das rela¸cões das equa¸cões diferenciais com as fun¸cões de variável complexa, séries de potências e trigonométricas e fun¸cões especiais (conhecidas posteriormente como de Bessel, etc.). O grau que o conhecimento matemático atingiu nesta primeira fase ficou registrado na obra de Euler ”Institutiones Calculi Integralis”em quatro volumes, o último deles publicado em 1794.

No século XIX os fundamentos da Análise Matemática experimentaram uma revisão e reformula¸cão gerais visando maior rigor e exatidão. Assim, os conceitos de limite, de-rivada, convergência de séries numéricas e séries de fun¸cões e outros processos infinitos foram definidos em termos aritméticos. A integral, que no século anterior era concebida como primitiva, foi definida como limite de uma sequência de somas. Este movimento de fundamenta¸cão não deixou de atingir as equa¸cões diferenciais. Enquanto no século anterior procurava-se uma solu¸cão geral para uma dada equa¸cão diferencial, passou-se a considerar como questão prévia em cada problema a existência e unicidade de solu¸cões satisfazendo dados iniciais (este é o problema de Cauchy). Tomava-se então uma classe ampla de equa¸cões diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existência e unicidade das solu¸cões estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas solu¸cões a partir de caracter´ısticas das fun¸cões que definiam a equa¸cão diferencial. Por outro lado, o método de separa¸cão de variáveis aplicado a certas equa¸cões diferenciais parciais conduziu a equa¸cões ordinárias que não admitem solu¸cões em termos de fun¸cões elementares conhe-cidadas, como é o caso das equa¸cões de Sturm-Liouville e das equa¸cões de Fuchs (lineares com coeficientes anal´ıticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primei-ras fornecem um exemplo caracter´ıstico de um problema linear de contorno, enquanto que as equa¸cões Fuchsianas sistematizam vários tipos de equa¸cões especiais surgidas

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original-1.1. No¸cões elementares 3 mente no século XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas também por Gauss e Riemann. Incluem equa¸cões de relevância da F´ısica-Matemática, como as de Bessel, de Legendre e de Gauss (ou hipergeométrica).

Um marco de referência fundamental na evolu¸cão das equa¸cões diferenciais é o trabalho de Poincaré ”Mémoire sur les courbes définies par une équation differentielle”(1881) no qual são lan¸cadas as bases da Teoria Qualitativa das Equa¸cões Diferenciais. Esta teoria visa a descri¸cão da configura¸cão global das solu¸cões e o efeito de pequenas perturba¸cões das condi¸cões iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande importância na tecnologia contemporânea, teve sua origem em questões de Mecânica Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma pequena perturba¸cão na posi¸cão e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma órbita que se afasta ou converge para a órbita original. O problema geral da estabilidade foi simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincaré, é considerado fundador da Teoria Qualitativa das Equa¸cões Diferenciais.

Outro aspecto da Teoria Qualitativa, também estudado por Poincaré, visa descrever o comportamento assintótico das solu¸cões e a estrutura de seus conjuntos limites. O comportamento assintótico de uma solu¸cão se obtem quando se faz a variável independente (tempo) tender para infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equil´ıbrio, uma solu¸cão periódica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincaré-Bendixson, responde a este tipo de questões no plano e em superf´ıcies bidimensionais, respectivamente. O estudo de oscila¸cões não lineares de fenômenos elétricos realizado no primeiro quarto do século passado conduziu a equa¸cões especiais de segunda ordem tais como as de Van der Pol e Lienard.

A introdu¸cão do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937) e os trabalhos de Peixoto (1958-62) relativos à caracteriza¸cão, abertura e densidade das equa¸cões diferenciais estruturalmente estáveis em superf´ıcies constituem um marco fun-damental para o desenvolvimento contemporâneo das equa¸cões diferenciais. Trata-se de determinar as condi¸cões necessárias e suficientes para que o retrato de fase de uma equa¸cão diferencial não experimente mudan¸cas qualitativas bruscas por pequenas perturba¸cões das fun¸cões que as definem.

Ao estudar um fenômeno variável, expresso por uma fun¸c˜ao y = f (x), ´e comum acharmos uma lei que o governe dada por uma rela¸cão entre a variável independente, a fun¸cão e suas derivadas ou diferenciais.

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4 1.3. Nomenclatura usual para classificar ED

Defini¸c˜ao 1.1 Chama-se equa¸c˜ao diferencial a uma equa¸c˜ao F(x, y, y′, y”, ..., y(n)) _{= 0}

que estabelece uma rela¸cão entre a variável independente x, a fun¸cão incógnita y e suas derivadas y′, y”, . . . , y(n)_{, se y = f (x) ´}_{e a fun¸}_c˜_{ao de uma s´}_{o vari´}_{avel independente x a}

equa¸c˜ao diferencial diz-se ordin´aria.

Um exemplo simples é dado por uma rela¸cão do tipo dy_dx − 1 = 0. Procura-se então uma fun¸c˜ao y = f (x) que satisfa¸ca a equa¸c˜ao, e que no caso é fácil ver que se trata de

f (x) = x, ou também f (x) = x + c, onde c ´e uma constante qualquer. Vê-se então que a equa¸cão dada define uma fam´ılia de curvas no plano, que são retas todas paralelas, de declividade 1.

1.2 Nota¸

c˜

ao

Usam-se freq¨uentemente os s´ımbolos y′, y′′, y′′′, y(4)_{, ..., y}(n) _{para representar as derivadas} de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., en´esima de y em rela¸c˜ao `

a vari´avel independente x. Assim, y” representa d_dx2y2 se a variável independente ´e x, mas representa d_dp2y2 se a variável independente ´e p. Se a vari´avel independente é o tempo, usualmente denotada por t, ´e comum substitu´ırem-se as linhas por pontos. Assim, ˙y, y e··

···

y representam dy_dt, d_dt22y e

d3_y

dt3, respectivamente.

Observe-se o uso dos parˆenteses em y(n) _{para distinguir da potˆ}_{encia y}n_.

1.3 Nomenclatura usual para classificar ED

Uma equa¸cão diferencial ordin´aria de ordem n ´e uma igualdade que relaciona a variável independente `a n-´esima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior) da variável dependente. Assim como há equa¸cões algébricas de vários graus, também há equa¸c˜oes diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de derivada que comparece na equa¸cão. Por exemplo, a equa¸cão dada acima é de 1a ordem, enquanto a equa¸c˜ao y” + y = 0 ´e de 2a _{ordem. Neste exemplo, vˆ}_{e-se que y = sin x ´}_{e uma}

solu¸c˜ao, pois y′ = cos x e y′′ = − sin x, e portanto y′′+ y = 0. Aqui outras solu¸c˜oes s˜ao

y = c sin x, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x + c n˜ao é solu¸cão. Chama-se grau da equa¸c˜ao diferencial o expoente mais elevado com que comparece a derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas são de 1o _{grau, enquanto a equa¸c˜}_{ao yy}′′2− y′3₌ yy′

1+x ´e de 2

(11)

1.3. Nomenclatura usual para classificar ED 5 Uma equa¸c˜ao diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como por exemplo ∂z_∂x+∂z_∂y = 0.

Como outro exemplo consideremos a equa¸c˜ao ∂z_∂x = 2x.

Analisemos as seguintes equa¸c˜oes diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada uma: Exemplo 1 _dxdy = 5x + 3 Exemplo 2 ey d_dx2y2 + 2 (_dy dx )2 = 1 Exemplo 3 4d_dx3y3 + (sin x) d2_y dx2 + 5xy = 0 Exemplo 4 ( d4_y dx4 )3 + 3y ( d2_y dx2 )7 + y3(dy dx )2 = 5x Exemplo 5 ∂_∂t2y2 − 4 ∂2_y ∂x2 = 0

Observa¸c˜ao 1 Uma equa¸cão diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a fun¸cão incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a fun¸cão incógnita depende de mais de uma variável independente, temos uma equa¸cão diferencial parcial (E.D.P.), ou equa¸cão de derivadas parciais.

Determine, para cada uma das seguintes equa¸cões diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se poss´ıvel), (c) fun¸cão incógnita (FI), (d) variável independente(VI).

Exerc´ıcio 1.1 y′′′− 5xy′ = ex+ 1

Exerc´ıcio 1.2 ty′′+ t2_y′− (sin t)√y = t2− t + 1

Exerc´ıcio 1.3 s2 d2t ds2 + st dt ds = s Exerc´ıcio 1.4 5 ( d4_b dp4 )5 + 7 ( db dp )10 + b3_{− b}5 _{= p} Exerc´ıcio 1.5 (y′′)2_{− 3yy}′_{+ xy = 0} Exerc´ıcio 1.6 d_dynnx = y2+ 1

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6 1.5. Solu¸c˜oes

1.4 Equa¸

c˜

oes diferenciais lineares

Uma E.D.O. de ordem n na fun¸c˜ao inc´ognita y e na vari´avel independente x ´e linear se tem a forma bn(x) dn_y dxn + bn−1(x) dn−1_y dxn−1 +· · · + b1(x) dy dx + b0(x)y = g(x) (1.1)

As fun¸c˜oes bj(x)(j = 0, 1, 2, ..., n)e g(x) sup˜oem-se conhecidas e dependem apenas da

vari´avel independente x. As combina¸c˜oes atitivas podem ter multiplicadores (coeficientes) que dependem de x; nenhuma restri¸c˜ao é feita sobre a natureza dessa dependˆencia em x. As equa¸cões diferenciais que não podem ser postas sob a forma da equa¸cão (1.1) dizem-se

n˜ao-lineares.

Ou seja, uma equa¸c˜ao diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo a vari´avel dependente e suas derivadas at´e ordem n s˜ao de 1o _{grau com rela¸c˜}_{ao a esta}

vari´avel. Por exemplo, y′′ + xy′+ y = sin x ´e linear de 2a _{ordem, enquanto y}′′ _{+ yy}′_{+ y =}

sin x ´e n˜ao linear, devido ao termo yy′.

1.5 Solu¸

c˜

oes

Introdu¸c˜ao

O estudo de equa¸cões diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equa¸cão diferencial que descreve uma situa¸cão f´ısica espec´ıfica e, achar a solu¸cão apropriada dessa equa¸cão.

Em álgebra tipicamente procuramos números desconhecidos que satisfazem uma equa¸c˜ao como x3 _{+ 7x}2 − 11x + 41 = 0. No caso de uma equa¸cão diferencial, por ou-tro lado, somos desafiados a encontrar fun¸cões desconhecidas y = f (x) para as quais

uma identidade como y′(x) = 2xy(x) - isto ´e, a equa¸cão diferencial dy_dx = 2xy - vale em algum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se poss´ıvel, todas as solu¸cões da equa¸cão diferencial.

Uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial na fun¸cão inc´ognita y e na vari´avel indepen-dente x, no intervalo I, ´e uma fun¸c˜ao y(x) que verifica identicamente a equa¸c˜ao para todo

x em I.

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1.5. Solu¸c˜oes 7

Exemplo 7 Mostre que, para qualquer escolha das constantes c1 e c2, a fun¸c˜ao ϕ(x) =

c1e−x+ c2e2x é uma solu¸cão explicita para a equa¸cão linear y′′− y′ − 2y = 0.

Exemplo 8 Demonstrar que a fun¸c˜ao dada sob a forma param´etrica y (x) = 

 

x = a sin t y = b cos t

é a solu¸cão da equa¸cão diferencial y′ =−_ab22x_y.

Exemplo 9 Demonstrar que a fun¸c˜ao impl´ıcita (1 + y3₎2 _{= (1 + x}2₎3 _´_{e solu¸}_c˜_{ao da}

equa¸c˜ao diferencial y′ = x(1+y 3₎

y2_(1+x2₎.

Exemplo 10 Mostre que x = y + exy _{= 0 ´}_{e uma solu¸}_c˜_{ao implicita para a equa¸}_c˜_{ao n˜}_ao

linear (1 + xexy dy_dx+ 1 + yexy = 0.

Exemplo 11 Determinar a equa¸c˜ao diferencial da fam´ılia de curvas c1x + (y− c2) 2

= 0.

1.5.1 Solu¸

c˜

ao particular e solu¸

c˜

ao geral

Uma solu¸cão particular de uma equa¸cão diferencial é qualquer solu¸cão da mesma. A solu¸cão geral da equa¸cão diferencial é o conjunto de todas as suas solu¸cões.

A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial y” + 4y = 0 ´e y(x) = c1sin 2x + c2cos 2x. Isto ´

e, toda solu¸cão particular da referida equa¸cão tem esta forma geral. Algumas solu¸cões particulares são:

(a) y = 5 sin 2x− 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 =−3)

(b) y = sin 2x (com c1 = 1 e c2 = 0), e

(c) y ≡ 0 (com c1 = c2 = 0).

A solu¸cão geral de uma equa¸cão diferencial nem sempre pode ser expressa mediante uma fórmula única. Como exemplo, consideremos a equa¸c˜ao diferencial y′ + y2 = 0, que admite duas solu¸c˜oes y = 1/x e y≡ 0.

1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno

Um problema de valor inicial consiste em uma equa¸cão diferencial, juntamente com condi¸cões subsidiárias relativas à fun¸cão incógnita e suas derivadas - tudo dado para um mesmo valor da variável independente. As condi¸cões subsidiárias s˜ao condi¸cões inici-ais se as condi¸c˜oes subsidiárias se referem a mais de um valor da variável independente,

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8 1.5. Solu¸cões o problema ´e um problema de valores de contorno, e as condi¸cões dizem-se condi¸cões de contorno.

Uma solu¸cão de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, é uma fun¸cão y(x) que satisfaz não só a equa¸cão diferencial dada, mas também todas as condi¸cões subsidiárias.

Exemplo 12 Determine se y(x) = 2e−x+ xe−x ´e solu¸c˜ao de y′′+ 2y′+ y = 0.

Exemplo 13 y(x) ≡ 1 ´e solu¸c˜ao de y′′+ 2y′+ y = x?

Exemplo 14 Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1sin 2x + c2cos 2x + 1 satisfa¸ca

y(π/8) = 0 e y′(π/8) =√2 .

Nos problemas, determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1sin x + c2cos x satisfa¸ca as condi¸cões dadas. Determine se tais condi¸cões são iniciais ou de contorno.

Exerc´ıcio 1.7 y(0) = 1, y′(0) = 2 sol. c1 = 2 ec2 = 1

Exerc´ıcio 1.8 y(0) = 1, y′(π) = 1 sol. c1 =−1e c2 = 1

Exerc´ıcio 1.9 y(π/2) = 1, y′(π/2) = 2 sol. c1 = 1 e c2 =−2

Nos problemas a seguir, determine c1 e c2 de modo que as fun¸c˜oes dadas satisfa¸cam as condi¸c˜oes inicias prescritas.

Exerc´ıcio 1.10 y(x) = c1ex+ c2e−x+ 4 sin x; y(0) = 1, y′(0) =−1 sol. c1 =−2 e

c2 = 3

Exerc´ıcio 1.11 y(x) = c1ex+ c2e2x+ 3e3x; y(0) = 0, y′(0) = 0 sol. c1 = 3 ec2 =−6

Exerc´ıcio 1.12 y(x) = c1sin x + c2cos x + 1; y(π) = 0, y′(π) = 0 sol. c1 = 0 e

c2 = 1

Exerc´ıcio 1.13 y(x) = c1ex+ c2xex+ x2ex; y(1) = 1, y′(1) = −1 sol. c1 = 1 + 3_e e

c2 =−2 −2_e

Exerc´ıcio 1.14 Demonstrar que a fun¸cão y = e−5x+c é a solu¸cão da equa¸cão diferencial y′′+ 5y′ = 0.

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1.5. Solu¸c˜oes 9

Exerc´ıcio 1.15 Mostrar que a fun¸c˜ao impl´ıcita y(x), x2 _{+ 4xy}− y2 _{= 1 ´}_{e a solu¸}_c˜_{ao da}

equa¸c˜ao diferencial (x + 2y) dx + (2x− y) dy = 0.

Exerc´ıcio 1.16 Verificar se as fun¸cões: a) y =−e−x; b) y = xe−x e y = 5e−3x , são as solu¸cões da equa¸cão diferencial y′′− 2y′− 3y = 0. sol. a) sim, b) não, c) sim

Exerc´ıcio 1.17 Determinar as equa¸c˜oes diferenciais das fam´ılias de curvas: a) y = ecx

e b) y = cx3_. _{sol. a)}_xy′ _{− y ln y = 0}_{. b)} _xy′_{− 3y = 0}_.

Exerc´ıcio 1.18 Determinar a equa¸c˜ao diferencial y = (c1+ c2x) ex + c2. sol. (ex− 1) y′′+ (1− 2ex) y′+ exy = 0.

Exerc´ıcio 1.19 Determinar a equa¸c˜ao diferencial y = c1e2x+c2e3x. sol. y′′−5y′+6y = 0.

(16)

(17)

Cap´ıtulo 2

EQUAC

¸ OES DIFERENCIAIS DE

PRIMEIRA ORDEM

A forma normal de uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem ´e M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y)dx e N (x, y)dy s˜ao as fun¸c˜oes de x e y.

A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem chama-se a fun¸c˜ao y =

φ(x, c), que ´e a solu¸cão desta equa¸cão para todos os valores da constante arbitrária. A solu¸cão obtida da solu¸c˜ao geral y = φ(x, c) para um valor determinado da constante arbitr´aria, chama-se solu¸cão particular. O gr´afico da solu¸cão particular da equa¸cão dife-rencial chama-se curva integral da equa¸c˜ao diferencial. E a interpreta¸cão geométrica da solu¸c˜ao geral y = φ(x, c) ´e a fam´ılia das curvas integrais.

2.1 Equa¸

c˜

oes com vari´

aveis separ´

aveis

Muitas equa¸cões diferenciais de primeira ordem, Linear ou não, podem ser reduzidas por manipula¸cões algébricas à forma:

h(y)y′ = g(x) → y′ = dy

dx (2.1)

h(y)dy = g(x)dx (2.2)

A equa¸cão (2.2) é chamada equa¸cão de variáveis separáveis, ou equa¸cão separável, porque as variáveis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando

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12 2.1. Equa¸cões com variáveis separáveis ambos os membros de (2.2), obtemos: ∫ h(y)dy =∫ g(x)dx + c

Exemplo 15 Seja as equa¸c˜oes: dy_dx = y2_xe3x+4y _e dy

dx = y + sin x.

Exemplo 16 Seja, y′ =−2xy, resolva pelo método das equa¸cões separáveis.

Exemplo 17 Seja, y′ = 1 + y2, resolva pelo método das equa¸cões separáveis. Exemplo 18 Seja, dy_dx = y2− 4, resolva pelo método das equa¸cões separáveis.

Exemplo 19 Resolver o problema de valor inicial y′ = 3x_2(y2+4x+2₋₁₎ , y(0) =−1. Resolver pelo método das equa¸cões separáveis:

Exerc´ıcio 2.1 y′ = x_y2 sol. y =± √ 2 3x 3_{+ c} Exerc´ıcio 2.2 y′ = x2 y(1+x3₎ sol. y =± √ 2 3ln|1 + x 3| + c

Exerc´ıcio 2.3 y′ + y2_{sin x = 0} _sol. _{y = c}₋ 1 cos x

Exerc´ıcio 2.4 y′ = 1 + x + y2_{+ xy}2 _sol. _{y = tan}(_{x +}x2 2 + c

)

Exerc´ıcio 2.5 y′ = (cos2_x).(cos2_2y) _sol. _{y =} 1

2arctan (₁

2sin 2x + x + c )

Exerc´ıcio 2.6 xy′ = (1− y2₎1/2 _sol. _{y = sin (ln}_{|x| + c)}

Exerc´ıcio 2.7 dy_dx = x_y+e−e−xy sol. y =±

√

x2 _{+ 2 (}−ey_{+ e}−x_{) + c}

Determine a solu¸c˜ao do problema de valor inicial dado, em forma expl´ıcita.

Exerc´ıcio 2.8 xdx + ye−xdy = 0, y(0) = 1 sol. y2 _{= 2e}x₍₁− x) + c → c = −1 → y =

[2ex₍₁_{− x) − 1]}12

Exerc´ıcio 2.9 y′ = _(y+x2x2_y), y(0) = −2 sol.

y2

2 = ln|1 + x

2_{| + c → c = 2 → y =} [2 (ln|1 + x2| + 2)]12

Exerc´ıcio 2.10 y′ = xy3(1 + x2)−1/2, y(0) = 1 sol. −_2y12 = (1 + x

2₎12 _{+ c} →

c =−3₂ → y =[3− 2√1 + x2]− 1 2

Exerc´ıcio 2.11 y′ = _1+2y2x , y(2) = 0 sol. y + y2 _{= x}2 _{+ c} _{→ c = −4 → y =}

−1 2 + 1 2 √ 4x2 − 15

(19)

2.2. Equa¸c˜oes Homogˆeneas 13

2.2 Equa¸

c˜

oes Homogˆ

eneas

Iniciemos com a defini¸cão de equa¸cões homogêneas

Defini¸c˜ao 2.1 Se o lado direito da equa¸c˜ao dy

dx = f (x, y) (2.3)

puder ser expresso como uma fun¸cão da razão y/x somente, então dizemos que a equa¸cão ´e homogênea.

Um teste para a homogeneidade da Equa¸cão (2.3) é dada pela seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜ao 2.2 Se uma fun¸c˜ao f satisfaz f (tx, ty) = tn_{f (x, y) para algum n´}_{umero real}

n, então dizemos que f é uma fun¸cão homogênea de grau n.

Exemplo 20 f (x, y) = x2_{− 3xy + 5y}2

Exemplo 21 f (x, y) = √3

x2_{+ y}2

Exemplo 22 f (x, y) = x3+ y3+ 1

Exemplo 23 f (x, y) = _2yx + 4

Se f (x, y) for uma fun¸c˜ao homogˆenea de grau n, podemos escrever

f (x, y) = xnf ( 1,y x ) e f (x, y) = ynf ( x y, 1 ) (2.4) em que f (1,y_x) e f (x_y, 1) s˜ao ambas homogˆeneas de grau zero.

Defini¸c˜ao 2.3 Uma equa¸c˜ao diferencial da forma

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.5)

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são fun¸cões homogêneas de mesmo grau.

(20)

14 2.3. Equa¸c˜oes Exatas Em outras palavras, M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´e homogˆenea se M (tx, ty) =

tnM (x, y) e N (tx, ty) = tnN (x, y). M´etodo de Solu¸c˜ao

Uma equa¸cão diferencial homogˆenea M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 pode ser resolvida por meio de uma substitui¸cão algébrica. Especificamente, a substitui¸c˜ao y = ux ou

x = vy, em que u e v s˜ao as novas variáveis independentes, transformará a equa¸cão em uma equa¸cão diferencial de primeira ordem separ´avel. Seja y = ux; ent˜ao, sua diferencial

dy = udx + xdu. Substituindo em (2.5), temos M (x, ux)dx + N (x, ux)[udx + xdu] = 0.

Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.4), podemos escrever

xnM (1, u)dx + xnN (1, u)[udx + xdu] = 0 ou [M (1, u) + uN (1, u)]dx + xN (1, u)du = 0, assim

dx x +

N (1,u)du

M (1,u)+uN (1,u) = 0.

Exemplo 24 Resolva (x2 + y2)dx + (x2− xy)dy = 0

Exemplo 25 Resolva o problema de valor inicial xdy_dx = y + xey/x_, _{y(1) = 1.}

Resolva as equa¸c˜oes :

Exerc´ıcio 2.12 2x3_{ydx + (x}4_{+ y}4_{)dy = 0}

Exerc´ıcio 2.13 (y2_{+ xy)dx + x}2_{dy = 0}

Exerc´ıcio 2.14 (x2+ 2y2)dx = xydy para y(−1) = 1

Exerc´ıcio 2.15 2x2 dy

dx = 3xy + y

2 _{para y(1) =}₋₂

2.3 Equa¸

c˜

oes Exatas

Defini¸c˜ao 2.4 Uma express˜ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma fun¸cão f (x, y). Uma equa¸cão diferencial da forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 é chamada de uma equa¸cão exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

Exemplo 26 A equa¸c˜ao x2_y3_dx+x3_y2_{dy = 0 ´}_{e exata, pois d}(1 3x

3_y3)_{= x}2_y3_dx+x3_y2_dy.

(21)

2.3. Equa¸c˜oes Exatas 15

Teorema 2.1 Sejam M (x, y)dx e N (x, y)dy fun¸cões cont´ınuas com derivadas parciais cont´ınuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condi¸cão necessária e suficiente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy seja uma diferencial exata é ∂M ∂y = ∂N ∂x. (2.6) Método de solu¸cão

Dada a equa¸c˜ao (2.5) mostre primeiro que ∂M_∂y = ∂N_∂x .

Depois suponha que ∂f_∂x = M (x, y) da´ı podemos encontrar f integrando M (x, y) com rela¸c˜ao a x, considerando y constante. Escrevemos,

f (x, y) =

∫

M (x, y)dx + g(y), (2.7)

em que a fun¸c˜ao arbitr´aria g(y) ´e a constante de integra¸c˜ao. Agora, derivando (2.7) com rela¸c˜ao a y e supondo ∂f /∂y = N (x, y):

∂f ∂y =

∂ ∂y

∫

M (x, y)dx + g′(y) = N (x, y). Assim,

g′(y) = N (x, y)− ∂

∂y

∫

M (x, y)dx. (2.8)

Finalmente, integre (2.8) com rela¸c˜ao a y e substitua o resultado em (2.7). A solu¸c˜ao ´

e f (x, y) = c.

Exemplo 27 Resolva 2xydx + (x2 − 1)dy = 0.

Exemplo 28 Resolva (e2y− y cos xy)dx + (2xe2y− x cos xy + 2y)dy = 0.

Exemplo 29 Resolva o problema de valor inicial (cos x sin x− xy2_{) dx+y(1}_−x2_{)dy = 0,}

y(0) = 2.

Verifique se a equa¸cão dada é exata. Se for, resolva.

Exerc´ıcio 2.16 (5x + 4y) dx + (4x− 8y3_{) dy = 0} _sol. 5 2x

2_{+ 4xy}− 2y4 _{= c}

Exerc´ıcio 2.17 (2y2_x− 3) dx + (2yx2_{+ 4) dy = 0} _sol. _x2_y2− 3x + 4y = c

Exerc´ıcio 2.18 (y3_{− y}2_{sin x}_{− x) dx + (3xy}2_{+ 2y cos x) dy = 0} _sol. _xy3 _{+ y}2_{cos x} ₋ 1

2x 2 _{= c}

(22)

16 2.4. Fator integrante Exerc´ıcio 2.19 (y ln y− e−xy) dx + ( 1 y + x ln y ) dy = 0 sol. n˜ao exata.

Exerc´ıcio 2.20 xdy_dx = 2xex_{− y + 6x}2 _sol. _xy_{− 2xe}x_{+ 2e}x_{− 2x}3 _{= c} Resolva a equa¸cão diferencial dada sujeita à condi¸cão incial indicada.

Exerc´ıcio 2.21 (x + y)2dx+(2xy + x2− 1) dy = 0, y (1) = 1 _sol. 1 3x

3_+x2_y+xy2−y = 4

3

Exerc´ıcio 2.22 (y2_{cos x}_{− 3x}2_y_{− 2x) dx + (2y sin x − x}3_{+ ln y) dy = 0,} _{y (0) = e} _sol.

y2sin x− x3y− x2+ y ln|y| − y = 0

2.4 Fator integrante

Em geral, a equa¸c˜ao diferencial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.9)

não é exata, mas a equa¸cão

µ(x, y)M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,

que resulta da multiplica¸cão da Equa¸cão (2.9) pela fun¸c˜ao µ(x, y), for exata, então µ(x, y) ´

e chamado de fator integrante da Equa¸c˜ao (2.9).

Exemplo 30 A equa¸cão ydx− xdy = 0 não é exata, pois ∂M_∂y = 1 e ∂N_∂x =−1.

Defini¸c˜ao 2.5

Uma fun¸cão I(x, y) é um fator integrante de (2.9) se a equa¸cão

I(x, y)[M (x, y)dx + N (x, y)dy] = 0 (2.10)

´

e exata.

Considerando a equa¸c˜ao

dy

dx+ p(x)y = g(x) (2.11)

e o fator integrante como

(23)

2.4. Fator integrante 17 a solu¸c˜ao ´e dada por

y =

∫

µ(x)g(x)dx + c

µ(x) . (2.13)

Passos para resolu¸c˜ao

1. Para resolver uma equa¸c˜ao linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.11);

2. Identifique P (x)e encontre o fator de integra¸c˜ao equa¸c˜ao (2.12);

3. Multiplique a equa¸c˜ao obtida em (2.11) pelo fator integrante;

4. O lado esquerdo da equa¸cão em (3) é a derivada do produto do fator de integra¸cão e a variável dependentey;

5. Integre ambos os lados da equa¸c˜ao encontrada em (4).

Exemplo 31 y′ = 2xy− x

Exemplo 32 y′+ 3y = x + e−2x

Exemplo 33 Determine a solu¸c˜ao do problema de valor inicial y′−y = 2xe2x _{e y(0) = 1.} Resolver pelo m´etodo do fator integrante:

Exerc´ıcio 2.23 y′ − 2y = x2_e2x _sol. _{y = e}2x(x3 3 + c

)

Exerc´ıcio 2.24 y′ + y = xe−x+ 1 sol. y = 1 + e−x(x2₂ + c)

Exerc´ıcio 2.25 y′ +(_x1)y = 3 cos 2x sol. y = 3₂(sin 2x + _2x1 cos 2x)+_xc

Exerc´ıcio 2.26 y′ − y = 2.ex _sol. _{y = e}x_{(2x + c)}

Exerc´ıcio 2.27 xy′ + 2y = sin x sol. y = 1_x(1_xsin x− cos x + _xc)

Exerc´ıcio 2.28 y′ + 2xy = 2xe−x2 sol. y = e−x2(x2_{+ c)}

Exerc´ıcio 2.29 (1 + x2_)y′_{+ 4xy = (1 + x}2₎−2 _sol. _{y = (arctan x + c) (1 + x}2₎−2

Exerc´ıcio 2.30 xy′ + (x + 1)y = x sol. y = 1 + 1

x

( _c

ex − 1

)

Determine a solu¸c˜ao do problema de valor inicial:

Exerc´ıcio 2.31 y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0 sol. y = e−x2₂ (x2− 1)

Exerc´ıcio 2.32 xy′ + 2y = x2− x + 1, y(1) = 1₂ y > 0 sol. y = x₄2 −x₃ + 1₂ +_12x12

Exerc´ıcio 2.33 xy′ + 2y = sin x, y(π₂) = 1 sol. y = x−2

(

−x cos x + sin x + π2 4 − 1

)

(24)

18 2.6. Equa¸c˜ao de Ricatti

2.5 Equa¸

c˜

ao de Bernoulli

Uma equa¸c˜ao de primeira ordem que pode ser escrita na forma

dy

dx + P (x)y = Q(x)y

n

, n̸= 1 (2.14)

onde P (x) e Q(x) são cont´ınuos em um intervalo (a, b) e n ´e um número real, é chamado de equa¸cão de Bernoulli.

Teorema 2.2 A equa¸c˜ao diferencial de Bernoulli n˜ao-linear dy_dx+P (x)y = Q(x)yn_{, sendo}

n ̸= 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸cão diferencial linear através da mudan¸ca de variáveis z = y1−n _{que resulta numa equa¸}_c˜_{ao diferencial linear em z.}

Exemplo 34 Resolver a equa¸c˜ao (1 + x2)dy_dx + xy = x3y3. Exemplo 35 Resolver a equa¸c˜ao dy_dx = 4_xy + x√y.

Resolva a equa¸c˜ao diferencial de Bernoulli.

Exerc´ıcio 2.35 dy_dx− y_x =−y_x2 sol. y = _x+cx Exerc´ıcio 2.36 dy_dx+ y_x = xy2 _sol. _{y =} 1 cx−x2 Exerc´ıcio 2.37 3 (1 + x2₎dy dx = 2xy (y 3− 1) _sol. _{y =} 1 3 √ 1+c(1+x2₎ Exerc´ıcio 2.38 x2 dy dx − 2xy = 3y 4 _{para y(1) =} 1 2 sol. y = 1 (−9 5x−1+ 49 5x−6) 1 3

2.6 Equa¸

c˜

ao de Ricatti

A equa¸c˜ao diferencial n˜ao-linear

dy

dx = P (x) + Q(x)y + R(x)y

2

(2.15)

´

e chamada de equa¸c˜ao de Ricatti. Se y1 é uma solu¸cão particular para (2.15), então as substitui¸cões y = y1+ u e dy dx = dy1 dx + du dx

em (2.15) produzem a seguinte equa¸c˜ao diferencial para u:

du

dx − (Q + 2y1R)u = Ru

2

(25)

2.7. Aplica¸cões das ED de Primeira Ordem 19 Como (2.16) é uma equa¸c˜ao de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida ` a equa¸cão linear dz dx + (Q + 2y1R)z =−R (2.17) através da substitui¸c˜ao z = u−1. Exemplo 36 Resolva _dxdy = x3_(y− x)2₊ y x para y = x.

Resolva a equa¸c˜ao de Ricatti dada; y1 é uma solu¸cão conhecida para a equa¸cão.

Exerc´ıcio 2.39 dy_dx =−2 − y + y2, y1 = 2 sol. y = 2 + _ce−3x1₋1 3 Exerc´ıcio 2.40 dy_dx =−_x42 − 1 xy + y 2_{, y} 1 = 2_x sol. y = 2_x +_cx−31₋x 4 Exerc´ıcio 2.41 dy_dx = e2x_{+ (1 + 2e}x_{)y + y}2_{, y}

1 =−ex sol. y =−ex+_ce−x1₋₁

Exerc´ıcio 2.42 dy_dx = sec2_x− (tan x)y + y2_{, y}

1 = tan x

2.7 Aplica¸

c˜

oes das ED de Primeira Ordem

2.7.1 Problemas de varia¸

c˜

ao de temperatura

A lei de varia¸cão de temperatura de Newton afirma que a taxa de varia¸cão de temperatura de um corpo é proporcional à diferen¸ca de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa

de varia¸cão da temperatura do corpo é dT_dt, e a lei de Newton relativa à varia¸cão de temperatura pode ser formulado como

dT

dt =−k (T − Tm) , ou como dT

dt + kT = kTm (2.18)

onde k ´e uma constante positiva de proporcionalidade.

Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necess´ario o sinal negativo na lei de Newton, a ﬁm de tornar dT_dt negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em tal processo, T > Tm; assim T − Tm ´e positiva.

A equa¸cão (2.18) é a diferencial linear. A solu¸cão geral dessa equa¸cão é:

T = Tm+ Ce−kt, onde C ´e a constante arbitr´aria.

Se T|t=0 = T0, ent˜ao: C = T0− Tm.

(26)

20 2.7. Aplica¸c˜oes das ED de Primeira Ordem Resulta dessa f´ormula que para t suﬁcientemente grande a temperatura T depende pouco de T0.

2.7.2 Equa¸

c˜

ao do movimento de um corpo

Equa¸cão do movimento de um corpo para um meio em que a resistência é proporcional à velocidade

Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a lei de varia¸c˜ao da velocidade da queda V , se o corpo experimentar uma resistˆencia do ar proporcional `a velocidade (sendo o coeﬁciente de proporcionalidade k), isto ´e, encontrar

V = f (t).

Em virtude da segunda lei de Newton mdV_dt = F , em que dV_dt é a acelera¸cão do corpo em movimento (a derivada da velocidade em rela¸c˜ao ao tempo) e F , a for¸ca que age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta for¸ca é constitu´ıda por duas for¸cas: pela for¸ca de gravidade mg e pela resistˆencia do ar −kV (toma-se o sinal menos porque esta for¸ca é oposta à velocidade). Assim,

mdV

dt = mg− kV . (2.19)

Temos uma equa¸cão diferencial sobre a fun¸cão desconhecida V. (É a equa¸cão do mo-vimento de certos tipos de para-quedas). A solu¸cão geral da equa¸cão diferencial (2.19) ´ e: V = Ce− k mt+mg k . (2.20)

Para encontrar a constante arbitr´aria C, vamos supor uma condi¸c˜ao suplementar: uma velocidade inicial V0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida; suporemos que esta velocidade incial ´e conhecida. Ent˜ao, a fun¸c˜ao procurada V = f (t) deve ser tal que se tenha para t = 0 (no come¸co do movimento) V = V0. Substituindo

t = 0, V = V0 na equa¸c˜ao (2.20), temos: V0 = C +

mg

k , de onde C = V0− mg

k

Assim, a dependˆencia entre V e t ´e:

V = ( V0− mg k ) e− k mt+mg k . (2.21)

(27)

2.7. Aplica¸c˜oes das ED de Primeira Ordem 21 pouco de V0.

2.7.3 Circuitos em s´

erie

A equa¸c˜ao b´asica que rege a quantidade de corrente i em um circu´ıto simples do tipo RL consistindo de uma resistˆencia R, um indutor L e uma for¸ca eletromotriz E ´e:

Ldi

dt + Ri = E(t), (2.22)

onde i(0) = i0.

Esta equa¸cão é linear; sua solu¸cão é:

i(t) = i0e −R Lt+E R  1 − e− R Lt   =(i0 − E R ) e− R Lt+E R. A quantidade ( i0− E R ) e− R

Lt na solu¸c˜ao ´e chamada corrente transit´oria, pois tende

a zero quando t → ∞. A quantidade E

R ´e chamada corrente estacion´aria. Quando t → ∞, a corrente i tende para a corrente estacion´aria.

Para um circu´ıto do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C, uma for¸ca eletromotriz, e sem indutância, a equa¸cão que rege a quantidade de carga elétrica

q no capacitor ´e Rdq dt + 1 Cq = E(t). (2.23) A rela¸c˜ao entre q e i ´e i = dq dt.

A solu¸cão desta equa¸cão diferencial é q(t) = q0(t)e

− 1

RCt+ CE.

Exemplo 37 Uma bateria de 12 volts ´e conectada a um circuito em série no qual a indutâ ncia é de 1

2 henry e a resistˆencia, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial

´ e zero.

Exemplo 38 Quando um bolo ´e retirado do forno, sua temperatura ´e de 300o_{F . Trˆ}_es

minutos depois, sua temperatura passa para 200o_{F . Quanto tempo levar´}_{a para sua}

tem-peratura chegar a 70 graus, se a temtem-peratura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70o_{F ?}

(28)

22 2.7. Aplica¸c˜oes das ED de Primeira Ordem

Exerc´ıcio 2.43 Uma for¸ca eletromatriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L− R no qual a indutância é de 0, 5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t → ∞. Sol. i = 3₅(1− e−100t). Para t→ ∞, temos i = 3₅.

Exerc´ıcio 2.44 Uma for¸ca eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R−C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10−4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Sol. q (t) = ₁₀₀1 (1− e−50t) e, i = dq_dt temos i (t) = 1₂e−50t.

Exerc´ıcio 2.45 Um termˆometro ´e retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura ´e de 5o_{C. Ap´}_{os 1 minuto, o termˆ}_{ometro marcava 20}o_{C; ap´}_os

5 minutos, 10o_{C. Qual a temperatura da sala?} _{Sol. T ∼}_{= 24, 7411 que ´}_{e a temperatura da}

(29)

Cap´ıtulo 3

EQUAC

¸ ˜

OES LINEARES DE

SEGUNDA ORDEM

3.1 EDL: Teoria das solu¸

c˜

oes

3.1.1 Dependˆ

encia linear

Um conjunto de fun¸c˜oes{y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} ´e linearmente dependente em a ≤ x ≤

b se existem constantes c1, c2, . . . , cn, n˜ao todas nulas, tais que

c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x)≡ 0, em a≤ x ≤ b (3.1)

Exemplo 39 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} ´e linearmente dependente em [−5, 1] pois existem constantes c1 = −5, c2 = 1, c3 = 0 e c4 = 0, n˜ao todas nulas, tais que (3.1)

se verifica. Em particular, −5x + 1 · 5x + 0 · 1 + 0 · sin x ≡ 0

Note que c1 = c2 = . . . = cn = 0 ´e um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1).

Um conjunto de fun¸cões é linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes, não todas nulas, tais que (3.1) se verifica.

3.1.2 Independˆ

encia linear

Um conjunto de fun¸c˜oes {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} ´e linearmente independente em a ≤

x ≤ b se não é linearmente dependente a´ı; isto é, se as únicas constantes que satisfazem

(30)

24 3.1. EDL: Teoria das solu¸c˜oes

3.1.3 Solu¸

c˜

oes linearmente independentes. O Wronskiano

Teorema 3.1 A equa¸cão diferencial linear homogênea de ordem n L(y) = 0 sempre tem n solu¸cões linearmente independentes. Se {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} representam essas

solu¸cões, então a solu¸cão geral de L(y) = 0 é

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x) (3.2)

onde c1, c2, . . . , cn s˜ao constantes arbitr´arias.

O teorema (3.1) acima real¸ca a importância de podermos determinar se um conjunto de solu¸c˜oes de L(y) = 0 ´e linearmente independente ou não. Em geral, o problema não pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); não se pode experimentar todos os valores poss´ıveis dos c′s. Existe, entretanto, um outro m´etodo para abordar o problema.

Seja{y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} um conjunto de fun¸c˜oes no intervalo I, cada uma das

quais possui n− 1 derivadas. Ent˜ao o determinante na forma seguinte

W (y₁, . . . , y_n) = y1 y2 · · · yn y′₁ y′₂ · · · y_n′ .. . ... . .. ... y(n₁ −1) y₂(n−1) · · · yn(n−1) (3.3) ´

e chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de fun¸cões. Se um conjunto de fun¸cões {y1(x) , y2(x) , . . . , yn(x)} é linearmente dependente no intervalo I então

Wronskiano de W (y1, y2, . . . , yn)≡ 0 neste intervalo.

Exemplo 40 As fun¸cões y1 = e−x, y2 = ex, y3 = e2x são solu¸cões da equa¸cão y′′′− 2y′′−

y′+ 2y = 0.

Mostrar que as fun¸c˜oes dadas formam um sistema fundamental das equa¸c˜oes diferen-ciais correspondentes.

Exerc´ıcio 3.1 ex_{, e}2x_{, e}3x _, _y′′′_{− 6y}′′_{+ 11y}′_{− 6y = 0} _Sol. _2e6x _{̸= 0}

Exerc´ıcio 3.2 e−x, ex, xex , y′′′− y′′− y′+ y = 0 Sol. 4ex ̸= 0

Exerc´ıcio 3.3 x1/2 _{, x}−1/2_{, 1,} _x2_y′′′ _{+ 3xy}′′₊3

4y′ = 0 Sol. 1

4x−3 ̸= 0

(31)

3.2. A equa¸c˜ao caracter´ıstica 25

3.2 A equa¸

c˜

ao caracter´ıstica

Iniciemos considerando as equa¸cões homogêneas, isto é, as equa¸cões da forma:

y′′+ ay′+ by = 0 (3.4)

onde a e b s˜ao constantes.

Suponhamos que a e b s˜ao reais e que o intervalo de varia¸c˜ao de x é o eixo dos x. Lembremos que a solu¸cão da equa¸cão homogênea linear de 1a _{ordem com coeficientes}

constantes y′+ ky = 0 ´e uma fun¸c˜ao exponencial, a saber,

y = ce−kx (3.5)

de onde temos y = eλx_{, possa ser uma solu¸c˜}_{ao de (3.4) se λ for escolhido adequadamente.}

Substituindo (3.5) e suas derivadas y′ = λeλx _e _y′′ _{= λ}2_eλx _{, na equa¸c˜}_{ao (3.4). Ent˜}_ao

(3.5) ser´a uma solu¸c˜ao de (3.4) se λ for uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do 2o _grau.

λ2+ aλ + b = 0 (3.6)

Esta equa¸cão é chamada a equa¸cão caracter´ıstica (ou equa¸cão auxiliar) de (3.4). Suas ra´ızes s˜ao: (λ− λ1)(λ− λ2) = 0 ou λ1 = 1 2 ( −a +√a2− 4b)_, _λ 2 = 1 2 ( −a −√a2− 4b)_, _(3.7)

Em vista da dedu¸c˜ao segue-se que as fun¸c˜oes

y1 = eλ1x e y2 = eλ2x (3.8)

s˜ao solu¸c˜oes de (3.4).

Da ´algebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equa¸c˜ao carac-ter´ıstica (3.6) pode possuir: duas ra´ızes reais distintas; duas ra´ızes complexas conjugadas ou, uma raiz dupla real.

Determinar as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes:

Exemplo 41 y′′+ y′ − 2y = 0

(32)

26 3.3. Solu¸c˜ao geral - sistema fundamental

Exemplo 43 y′′− 2y′+ y = 0

Determinar as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes diferenciais seguintes:

Exerc´ıcio 3.5 y′′− 9y = 0 Exerc´ıcio 3.6 y′′+ 2y′ = 0 Exerc´ıcio 3.7 y′′− 3y′+ 2y = 0 Exerc´ıcio 3.8 y′′+ w2y = 0 Exerc´ıcio 3.9 y′′+ 4y′+ 5y = 0 Exerc´ıcio 3.10 y′′+ 2y′+ 5y = 0

Determinar uma equa¸cão diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes fun¸cões são solu¸cões.

Exerc´ıcio 3.11 e−x, e−2x sol. y′′+ 3y′+ 2y = 0

Exerc´ıcio 3.12 1, e2x _sol. _y′′− 2y′ _{= 0}

Exerc´ıcio 3.13 e3ix, e−3ix sol. y′′+ 9y = 0

Exerc´ıcio 3.14 e(−3+4i)x_{, e}(−3−4i)x _sol. _y′′_{+ 6y}′_{+ 25y = 0}

3.3 Solu¸

c˜

ao geral - sistema fundamental

Uma solu¸cão de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou não) é chamada uma solu¸cão geral se ela contém duas constantes arbitrárias independentes (o intervalo de varia¸cão das constantes pode ser restrito em alguns casos a fim de evitar expressões imaginárias e outras degenera¸cões). Aqui, independência significa que a mesma solu¸cão não pode ser reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitrária ou nenhuma. Quando atribu´ımos valores definidos a estas duas constantes, então a solu¸cão obtida é chamada uma solu¸cão particular.

Consideremos a equa¸c˜ao linear homogˆenea

(33)

3.3. Solu¸cão geral - sistema fundamental 27 e desejamos mostrar que uma solu¸cão geral de tal equa¸cão pode ser facilmente obtida se duas solu¸c˜oes adequadas y1 e y2 são conhecidas.

Se y1(x) e y2(x) s˜ao solu¸c˜oes de (3.9) em um dado intervalo I, ent˜ao, temos:

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) (3.10)

onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, será uma solu¸c˜ao de (3.9) no intervalo I. De vez que ela encerra duas constantes arbitrárias, ela será uma solu¸cão geral de (3.9), desde que não possa ser reduzida a uma expressão contendo menos que duas constantes arbitrárias.

3.3.1 Solu¸

c˜

ao em termos das ra´ızes

A solu¸cão de (3.4) se obtém diretamente a partir das ra´ızes de (3.7). Há três casos a considerar.

• caso 1. λ1 e λ2 são ambas reais e distintas. eλ1x e eλ2x são duas solu¸cões linearmente independentes. A solu¸cão geral é

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ou y(x) = c1eλ1x+ c2eλ2x (3.11)

• caso 2. λ1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b sup˜oem-se reais, as ra´ızes de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz ´e λ2 = p−iq. Duas solu¸c˜oes linearmente independentes s˜ao e(p+iq)x _{e e}(p−iq)x_{. O que nos interessa agora} ´

e obter solu¸cões reais a partir destas solu¸cões complexas. Isto será feito aplicando as rela¸cões de Euler.

eiqx= cos qx + i sin qx e e−iqx = cos qx− i sin qx

De onde n´os obtemos y(x) = c1epxcos qx + c2epxsin qx ou

y(x) = epx(c1cos qx + c2sin qx) (3.12)

(34)

28 3.3. Solu¸c˜ao geral - sistema fundamental

• caso 3. λ1 = λ2. eλ1x e xeλ1x são duas solu¸cões LI; a solu¸cão geral é

y(x) = c1eλ1x+ c2xeλ1x (3.13)

Observa¸cão 2 As solu¸cões acima não são válidas se a equa¸cão diferencial não é linear ou se não tem coeficientes constantes.

Determinar uma solu¸c˜ao geral das seguintes equa¸c˜oes diferenciais:

Exemplo 44 y′′+ y′ − 2y = 0 sol. y(x) = c1ex+ c2e−2x

Exemplo 45 y′′− 2y′+ 10y = 0 sol. y(x) = ex_(c

1cos 3x + c2sin 3x)

Exemplo 46 y′′+ 8y′+ 16y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e−4x Resolver o problema de valor inicial:

Exemplo 47 y′′− 4y′+ 13y = 0 y(0) = 4, y′(0) = 1

Exemplo 48 y′′+ 4y′− 21y = 0 y(0) = 3, y′(0) = 0

Determinar uma solu¸c˜ao geral das seguintes equa¸c˜oes diferenciais:

Exerc´ıcio 3.15 y′′− y′− 12y = 0 sol. y(x) = c1e4x+ c2e−3x

Exerc´ıcio 3.16 y′′+ 4y′+ 5y = 0 sol. y(x) = e−2x(c1cos x + c2sin x)

Exerc´ıcio 3.17 y′′+ 0, 2y′ + 0, 26y = 0 sol. y(x) = e−10x (c₁cosx

2 + c2sin

x

2 )

Exerc´ıcio 3.18 4y′′+ 17y′+ 4y = 0 sol. y(x) = c1e−

x

4 + c₂e−4x

Exerc´ıcio 3.19 y′′+ 5y′+ 12, 5y = 0 sol. y(x) = e−5x2 (c₁cos5x

2 + c2sin 5x

2 )

Exerc´ıcio 3.20 2y′′+ 2y′ + y = 0 sol. y(x) = e−x2 (c₁cosx

2 + c2sin

x

2 )

Exerc´ıcio 3.21 25y′′− 20y′+ 4y = 0 sol. y(x) = (c1+ c2x) e 2 5x

Exerc´ıcio 3.22 y′′+ 0, 25y = 0 sol. y(x) = c1cosx₂ + c2sinx₂

Exerc´ıcio 3.23 y′′+ 2αy′+ (α2_{+ 1)y = 0} _sol. _{y(x) = e}−αx_(c

(35)

3.4. Equa¸cões lineares não homogêneas 29

Exerc´ıcio 3.24 4y′′− 4y′− 3y = 0 sol. y(x) = c1e−

x

2 + c₂e 3 2x Resolver o problema de valor inicial proposto.

Exerc´ıcio 3.25 y′′+ 2y′+ 10y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3 sol. y(x) = e−xsin 3x

Exerc´ıcio 3.26 9y′′− 12y′+ 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) =−1 sol. y(x) =(2− 7₃x)e23x

Exerc´ıcio 3.27 y′′− 6y′+ 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2 sol. y(x) = 2xe3x

Exerc´ıcio 3.28 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2 sol. y(x) = e−x3 (− cos 3x + 5

9sin 3x )

Exerc´ıcio 3.29 y′′− 3y′+ 2y = 0, y(0) =−1, y′(0) = 0 sol. y(x) = e2x− ex_{sin 3x}

Exerc´ıcio 3.30 y′′+4y′+5y = 0, y(0) = 1, y′(0) =−3 sol. y(x) = e−2x(cos x− sin x)

Exerc´ıcio 3.31 y′′+ 4y′+ 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e−2(x+1)

3.4 Equa¸

c˜

oes lineares n˜

ao homogˆ

eneas

Temos

y′′+ f (x)y′+ g(x)y = r(x) (3.14)

y′′+ f (x)y′+ g(x)y = 0 (3.15)

Teorema 3.2 Uma solu¸cão geral y (x) da equa¸cão diferencial linear (3.14) é a soma de uma solu¸cão geral yh(x) da equa¸cão homogênea correspondente (3.15) e de uma solu¸cão

particular arbitr´aria yp(x) de (3.14).

y(x) = yh(x) + yp(x) (3.16)

Em cada caso verificar que yp(x) ´e uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial dada

e determinar uma solu¸c˜ao geral.

Exemplo 49 y” + y = 2ex yp(x) = ex

(36)

30 3.4. Equa¸cões lineares não homogêneas Em cada caso verificar que yp(x) ´e uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial dada

e determinar uma solu¸c˜ao geral.

Exerc´ıcio 3.32 y′′− y = 2ex_, _y

p(x) = xex sol y (x) = c1ex+ c2e−x+ xex

Exerc´ıcio 3.33 y′′−3y′+ 2y = 2x2−6x+2, yp(x) = x2 sol y (x) = c1e2x+ c2ex+ x2

Exerc´ıcio 3.34 y′′ + 4y = −12 sin 2x, yp(x) = 3x cos 2x sol y (x) = c1cos 2x +

c2sin 2x + 3x cos 2x

Exerc´ıcio 3.35 y′′+ 9y = 18x, yp(x) = 2x sol y (x) = c1cos 3x + c2sin 3x + 2x

Exerc´ıcio 3.36 y′′+ y = 2 sin x, yp(x) =−x cos x sol y (x) = (c1− x) cos x+c2sin x

3.4.1 Resolu¸

c˜

ao de equa¸

c˜

oes lineares n˜

ao homogˆ

eneas

O método a ser utilizado é dos coeficientes a determinar. Este método é adequado para equa¸cões com coeficientes constantes

y′′+ ay′+ by = r(x) (3.17)

onde r(x) ´e tal que a forma de uma solu¸c˜ao particular yp(x) de (3.17) pode ser

prognos-ticada; por exemplo, r pode ser uma potˆencia ´unica de x, um polinˆomio, uma fun¸cão exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais fun¸cões. O método consiste em imaginar para yp(x) uma express˜ao semelhante `a de r(x), contendo coeficientes inc´ognitas

que s˜ao determinados substituindo yp(x) e suas derivadas em (3.17).

Resolver as equa¸cões não homogênea.

Exemplo 51 y′′+ 4y = 8x2

Exemplo 52 y′′− y′− 2y = 10 cos x

Termo em r (x) Escolha parayp(x)

Kxn(n = 0, 1, . . .) Knxn+Kn−1xn−1+ . . . + K1x + K0 Kepx cepx K cos qx K sin qx    K1cos qx + K2sin qx

(37)

3.4. Equa¸cões lineares não homogêneas 31

Observa¸cão 3 Ser (x)é uma soma de fun¸cões da primeira coluna, escolhemos parayp(x)a

soma das fun¸c˜oes nas linhas correspondentes.

• Pn(x) = eαx    sin βx cos βx

• Caso em que a solu¸cão homogênea é igual ao valor da fun¸cão r (x), conforme (3.14)

xs[(A0xn+ A1xn−1+ ... + An)eαcos βx + (B0xn+ B1xn−1+ ... + Bn)eαsin βx]

s→é o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2, ...) que assegura não haver nenhum termo em yi(x)que seja solu¸cão homogênea correspondente.

Exemplo 53 y′′− 3y′+ 2y = 4x + e3x

Exemplo 54 y′′− y = excos x

Determinar uma solu¸c˜ao geral das seguintes equa¸c˜oes diferenciais.

Exerc´ıcio 3.37 y′′+ y = x2_{+ x} _sol _{y (x) = x}2_{+ x}− 2 + c 1cos + c2sin x Exerc´ıcio 3.38 y′′ + 5y′ + 6y = 9x4− x sol y (x) = c1e−2x+ c2e−3x + 9₆x4 − 5x3 + 19 2 x 2− 11x + 6

Exerc´ıcio 3.39 y′′− y′− 2y = sin x sol y (x) = c1e2x+ c2e−x+₁₀1 cos x− ₁₀3 sin x

Exerc´ıcio 3.40 y′′+ y′− 6y = 52 cos 2x sol y (x) = c1e2x + c2e−3x− 5 cos 2x + sin 2x

Exerc´ıcio 3.41 y′′+ y′− 2y = 3ex sol y (x) = c1ex+ c2e−2x+ xex

Exerc´ıcio 3.42 y′′+ y = 2 sin x sol y (x) = c1cos x + c2sin x− x cos x

Exerc´ıcio 3.43 y′′− 2y′+ 2y = 2ex_{cos x} _sol _{y (x) = e}x_(c

1cos x + c2sin x + x sin x)

Exerc´ıcio 3.44 y′′+ y = −x − x2 sol c1cos x + c2sin x− x2− x + 2

Exerc´ıcio 3.45 y′′+ y = sin x sol c1cos x + c2sin x−1₂x cos x

Exerc´ıcio 3.46 y′′+ 4y = e−x sol c1cos 2x + c2sin 2x + 1₅e−x

Exerc´ıcio 3.47 y′′− y′− 2y = 4 sin x sol c1e2x+ c2e−x+ 4₉cos x− 4₃sin x Resolver os seguintes problemas de valor inicial