i
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA
REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC
_____________________________________________________________________Diego Macedo Pedreira Lameirão
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Prof.Carmen Lucia Tancredo Borges Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos
Rio de Janeiro Abril de 2014
ii
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA
REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA NO MODELO DC
Diego Macedo Pedreira Lameirão
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinada por:
__________________________________________ Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges D.Sc.
__________________________________________ André Luiz Diniz, D.Sc.
__________________________________________ Prof. Tatiana Mariano Lessa de Assis, D.Sc
__________________________________________ Tiago Norbiato dos Santos, M.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL ABRIL DE 2014
iii Lameirão, Diego Macedo Pedreira
Análise comparativa para representação da rede elétrica no modelo DC/ Diego Macedo Pedreira Lameirão. – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2014
xii, 81 p.; 29,7 cm
Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos.
Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Curso de Engenharia Elétrica, 2014.
Referências Bibliográficas: p.65 -66
1.Inclusão da rede no modelo de despacho econômico; I. Borges, Carmen Lúcia Tancredo et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Análise de formas alternativas para representação da rede elétrica no modelo DC.
iv “Feliz é aquele que sabe que não controla nada, mas tem plena confiança naquele que controla tudo.” Domingos Marcelus Carias Rodrigues
v
Dedico este trabalho a minha mãe, sinônimo de dedicação.
vi
Agradecimentos
A Gita. Pois sem o tudo, não somos nada.
Aos meus pais: Joselita e Antonio João, por me fazerem sentir a sensação do que é ter os melhores pais do mundo.
Aos meus Avós: Isabel, Geny, João e Francisco. Sou muito feliz por ser um pouquinho de cada um.
Ao meus irmãos: Marina, Marcela e Rafael, por serem minha fonte de inspiração.
A minha namorada Adriane, por ser uma pessoa que vem caminhando ao meu lado.
A toda minha família, afinal cada um contribuiu um pouco para tornar o que eu sou hoje.
Aos meus amigos: Marvin, Ian, Filipe, Luis e todos aqueles em que posso contar.
Aos meus amigos da faculdade: Cássio, Sthenio, Bruno e todos aqueles que percorreram junto comigo esse difícil caminho que se chama Engenharia Elétrica.
Aos meus amigos do CEPEL: Jonathan, Juan, João, Felipe, Priscilla e todos os outros que tornaram os meus dias de trabalho muito mais prazerosos.
A Tiago Norbiato, cuja paciência e dedicação me mostraram “o caminho das pedras” para a realização desse trabalho.
A Andre Diniz, por acreditar que eu era capaz de obter sucesso nesse trabalho. A Carmen Lucia, pelo conhecimento adquirido para realização desse trabalho. A todos que não citei, mas não menos importantes, que de alguma forma me ajudaram a chegar até aqui.
A UFRJ, por todos os momentos bons e ruins que modelaram o ser humano que hoje sou.
vii Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
ANALISE DE FORMAS ALTERNATIVAS PARA REPRESENTAÇÃO DA REDE ELÉTRICA DO MODELO DC DA REDE ELÉTRICA NO MODELO
DC
Diego Macedo Pedreira Lameirão Abril/2014
Orientador: Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges Co-orientador: Tiago Norbiato dos Santos
Curso: Engenharia Elétrica
A Programação Diária da Operação - PDO pode ser realizada considerando sistemas hidrotérmicos ou puramente térmicos. Cada uma dessas abordagens será utilizada dependendo do tipo de sistema a ser estudado e de sua configuração, ou até mesmo do objetivo do estudo em si. Como forma de se obter um estudo mais detalhado, a rede elétrica pode ser considerada como mais um atributo a ser utilizado no estudo, ampliando o detalhamento do problema, independente do sistema ser térmico ou hidrotérmico. Ao considerar a rede elétrica, as perdas nas linhas de transmissão podem ser incluídas como forma de se obter um resultado mais próximo do real. Este trabalho tem como objetivo estudar algumas das abordagens alternativas para utilizar o modelo DC da rede elétrica para um problema de despacho econômico puramente térmico com um estágio. Acredita-se que os resultados e conclusões obtidos possam ser estendidos para o problema de PDO hidrotérmico multiestágio.
viii
SUMÁRIO
1 Introdução ... 1
2 planejamento da operação ... 3
2.1 Descrição do Sistema brasileiro ... 3
2.2 Programação diária da operação ... 4
2.2.1 Sistemas Termoelétricos ... 4
2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos ... 6
2.2.2.1 Formulação do problema ... 6
2.2.2.2 Estratégia de solução ... 10
2.3 Representação da transmissão sem perdas ... 12
2.3.1 Representação somente dos intercâmbios ... 12
2.3.2 Representação linear da rede de transmissão ... 12
2.3.3 Consideração dos limites de fluxo ... 13
2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções. ... 13
2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema ... 18
2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema ... 22
2.3.4 Algoritmo de resolução geral ... 25
2.3.5 Comparação entre os métodos ... 26
3 Representação da rede com a inclusão das perdas ... 28
ix
3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes ... 29
3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das injeções com representação das perdas ... 29
3.2.1.1. Formulação do problema ... 29
3.2.1.2 Estratégia de solução ... 30
3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no PPL com representação das perdas ... 32
3.2.2.1 Formulação do problema ... 32
3.2.2.2 Estratégia de solução ... 33
3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do problema com representação das perdas ... 36
3.2.3.1 Formulação do Problema ... 36
3.2.3.2 Estratégia de Solução ... 37
3.3 Comparação geral entre os métodos ... 40
4 estudo de caso ... 43
4.1 Introdução ao caso ... 43
4.2 Comparação dos resultados sem consideração das perdas ... 45
4.2.1 Comparações de Eficiência ... 46
4.2.2 Comparações de resultados ... 46
4.3 Comparação dos resultados com a consideração das perdas ... 52
4.3.1 Comparações de eficiência ... 52
4.3.2 Comparações de resultados ... 53
x 5 Conclusões ... 64
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1. Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1.
Tabela 3: Dados das Usinas térmicas do sistema teste IEEE – 118 Barras
Tabela 4: Iterações e tempo de resolução métodos sem perdas IEEE – 118 Barras. Tabela 5: Gerações sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 6: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 7: Iterações e tempo de resolução métodos com perdas IEEE – 118 Barras. Tabela: 8: Gerações com perdas IEEE – 118 Barras.
Tabela 9: Fluxo sem perdas IEEE – 118 Barras. Tabela 10: Perdas nos linhas IEEE – 118 Barras.
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Integração Eletroenergética do Sistema Interligado Nacional
Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo de Despacho de geração em curtíssimo prazo.
Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras
Figura 4: Algoritmo de resolução do subproblema para cada período considerando limites na rede.
Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo Linear Dinâmico por Partes. Aplicado para uma linha i no período t.
1
1 INTRODUÇÃO
O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos é um problema complexo que pode ser decomposto em 3 etapas com distintas características: médio prazo ( horizonte de até 5 anos), curto prazo (com horizonte de até 1 ano), e curtíssimo prazo (com estudos semanais) [1]. Este trabalho terá como base o curtíssimo prazo, também conhecido como programação diária da operação - PDO, com horizonte de estudo em geral de até uma semana (vide revisão bibliográfica feita em [2]). O enfoque se dará na inclusão da rede elétrica nesse tipo de problema [3], mais especificamente em estudar formas distintas de considerar a modelagem DC com e sem as perdas na linha de transmissão no problema. Os estudos foram realizados tomando como base diversos trabalhos relacionados ao modelo DESSEM [4], desenvolvido pelo Centro de Pesquisas de Energia Elétrica.
Inicialmente considerava-se a PDO sem a inclusão da rede [5]. Nesse caso existem duas abordagens possíveis: a consideração de um sistema hidrotérmico ou a de um sistema puramente térmico. No sistema hidrotérmico, em geral são representados os balanços hídricos do sistema, restrições das usinas hidrelétricas, restrições das usinas térmicas, o intercâmbio de energia entrem as áreas do sistema e a restrição de atendimento a demanda. Nos sistemas puramente térmicos são representadas apenas as restrições das usinas térmicas, o intercâmbio entre as áreas e a restrição de atendimento a demanda. Ressalta-se que há uma série de restrições operativas adicionais [2] que podem ser consideradas. Entretanto, essas restrições não serão mencionadas neste trabalho.
Com a inclusão da rede elétrica no problema [6], pode-se utilizar o fluxo de potência linear, ou modelo DC da rede. Isso será feito com a representação das restrições de fluxo em relação a sua capacidade de transmissão. No método I0, os ângulos serão representados em função das injeções de potência, ou seja, o quanto cada fluxo em cada linha é afetado pelas gerações e cargas em cada barra do sistema.
2 Outra forma de representar a rede no problema de PDO é diretamente através dos ângulos das barras [7] (Método A0). Nesse caso, as restrições de fluxo também passam a ser representadas em função dos ângulos e não das injeções. O Método A1 também fará essa representação, porém com inclusão das perdas na rede elétrica.
Outra forma de considerar a rede no PDO é incluir explicitamente uma variável fluxo na formulação do problema, sendo que esses são representados em função das injeções do sistema (Método F0). O Método F1 também fará essa representação, porém com inclusão das perdas na rede elétrica. Esta abordagem foi proposta em [8], com as perdas representadas por barra. Entretanto, neste trabalho as perdas serão representadas por linha de transmissão, sendo essa a principal contribuição deste trabalho.
O método com a inclusão das perdas que se mostrou mais eficiente até agora, foi o
Método A1 . Porém, seu custo computacional ainda não é satisfatório. A motivação
então é buscar alternativas que possam vir a gerar um custo computacional menor. É nesse ponto que entra o Método F1, o qual será pela primeira vez testado com a finalidade de verificar seu custo computacional, verificando se esse custo é menor comparado ao Método A1.
3
2 PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO
2.1 Descrição do Sistema brasileiro
O sistema de produção e transmissão de energia elétrica do Brasil [9] é hidrotérmico, de grande porte, sendo predominantemente composto por usinas hidrelétricas vinculadas a proprietários diferentes. O Sistema Interligado Nacional (SIN) é formado por empresas das regiões Sudeste/ Centro-oeste, Sul, Nordeste, e Norte, em que algumas áreas se encontram fora do SIN (aproximadamente 3,4% da capacidade de produção do país). A seguir pode ser visto a integração Eletroenergética do SIN:
Figura 1: Integração Eletroenergética do SIN – Disponível em: <https// <http://www.ons.org.br/conheca_sistema/mapas_sin.aspx>
4 Para que se houvesse uma operação centralizada do sistema, foi criado em 1998 o Operador Nacional do Sistema Elétrico – ONS, responsável pela coordenação e controle da operação da geração e transmissão de energia elétrica no SIN. Maiores informações sobre o ONS podem ser obtidas em [10]. O ONS possui varias responsabilidades, dentre elas, incluem-se o planejamento da operação a longo, médio e curto prazo e do despacho horário de geração. A fim de cumprir essas responsabilidades e obter a otimização do sistema global em níveis diferentes, o ONS utiliza de uma cadeia de modelos e programas computacionais [11], desenvolvidos pelo CEPEL, baseados em regras definidas e aprovadas por todos os membros e pelo órgão regulador, a Agência Nacional de Energia Elétrica – ANEEL.
2.2 Programação diária da operação
O Centro de pesquisa de Energia Elétrica (CEPEL) [12] desenvolve uma cadeia de modelos para a operação, planejamento e expansão o sistema elétrico Brasileiro, dentre eles está o modelo DESSEM [13] para o estudo de curtíssimo prazo (Despacho de Geração Horário). O objetivo do DESSEM é resolver o problema de planejamento da operação de forma detalhada, tendo como horizonte de estudo uma semana, com discretização horária.
Para que esse problema possa ser resolvido, ele será descrito como um Problema de Programação Linear – PPL. Nesse trabalho foi utilizada a linguagem Fortran 77, em que foi feito um programa de computador utilizando a mesma. Nesse programa, a partir da entrada de dados do sistema, ele modela o PPL para que possa ser resolvido a otimização externamente a partir de um pacote de otimização.
2.2.1 Sistemas Termoelétricos
Sistemas Termoelétricos, como o próprio nome diz, são compostos apenas por usinas térmicas. Neste caso o objetivo é obter uma operação para as usinas com o menor custo possível. Uma característica importante deste tipo de sistema é o fato das gerações das usinas não estarem relacionadas umas as outras. A seguir será descrito uma formulação simplificada do problema termoelétrico.
5
Formulação do Problema: O objetivo do problema é minimizar a função Ct(Ut),
chamada de função de custo imediato. Essa função representa o custo de geração térmico necessário para complementar o atendimento da demanda no período t. Para calcular Ct(Ut), utiliza – se o PPL descrito a seguir:
(1.1) 𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑𝑁𝑇𝑗=1𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗)) (2.1a) s.a ∑𝑁𝑇𝑘𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑𝑟∈Ω𝑘(𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘) 𝑗=1 (2.1b) 𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.1c) 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.1d) Para K=1,..., NS; para j=1,...,NT Onde:
𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no período) .
𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também custos de déficit.
𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t 𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t
Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k
𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do período t
6 A restrição (2.1b) representa o atendimento a demanda. As restrições (2.1c) e (2.1d) são respectivamente os limites de geração térmica e limites de intercâmbio de energia entre submercado.
2.2.2 Sistemas Hidrotérmicos
2.2.2.1 Formulação do problema
Quando o problema de PDO é resolvido por Programação Dual Determinística (será visto a frente), que é uma opção do modelo DESSEM, obtém-se a chamada função de custo futuro ao final de cada meia-hora ou hora, além da a solução proveniente do pré-despacho térmico, o pré-despacho inicial da rede, e os custos marginais por submercado e barras.
Além das restrições mais importantes descritas com mais detalhes nesse trabalho, apresentam-se abaixo os conjuntos de restrições hidráulicas e elétricas importantes para o aprimoramento do problema de despacho horário de geração:
a) Modelagem da calha do rio com o propósito de representar o tempo de viagem da água entre duas usinas hidroelétricas;
b) Restrição de faixa operativa por unidade;
c) Limites máximo e mínimo de armazenamento nos reservatórios;
d) Restrições de vazões mínima e máxima de forma a atender a navegação e qualidade da água;
e) Restrições de níveis máximo e mínimo;
f) Volume de água destinado à irrigação e abastecimento de água; g) Cálculo de volume de espera para controle de cheias;
h) Diferença de nível entre duas usinas hidroelétricas;
i) Vazão máxima defluente em função do nível do reservatório de jusante; j) Enchimento de volume morto;
7 k) Consideração de curvas de rendimento das unidades geradoras;
l) Taxa de variação de geração de um grupo de usinas (CAG); m) Possibilidade de representação completa da rede DC;
n) Cálculo de custos marginais a nível de sub-mercados ou barras; o) Representação de usinas térmicas;
p) Representação de contratos internacionais;
O problema de PDO hidrotérmico pode ser representado pela seguinte equação recursiva:
𝛼𝑡(𝑋𝑡) = {min[𝐶𝑡(𝑈𝑡) + 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1)} (2.2)
Sujeito a (s.a.)
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑔𝑖𝑜 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 𝑇, 𝑇 − 1, … ,1; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑋𝑡
O horizonte de estudo T, para o sistema brasileiro, é de 7 a 13 dias. Sendo que a recursão (2.2) é feita para cada período T do período estudado.
No caso de sistemas hidrotérmicos, as variáveis de estado Xt representam o
armazenamento nos reservatórios, Vt, a cada período t. Sendo que Vt é um vetor
representando da seguinte maneira:{Vt(i), i=1,...,Número de Usinas - NUS}, onde i
representa o i-ézimo reservatório.
As variáveis de decisão a cada período t incluem as vazões turbinadas (Qt) e vertidas
(St) nas usinas hidrelétricas e as gerações das usinas térmicas. O vetor Ut representa a
energia fornecida pelos volumes turbinados nas usinas hidrelétricas. Ct(Ut) representa o
custo imediato associado a decisão Ut , e 𝛼𝑡 (𝑋𝑡) representa o custo de operação do
período t até o final do período em que está sendo feito o estudo, supondo operação ótima.
8
Função de custo imediato: Ct(Ut) é chamada de função de custo imediato e representa o
custo de geração térmica necessário para complementar o atendimento da demanda na etapa t, em que o complemento é representando pela diferença entre a demanda e a energia hidroelétrica produzida.
Para obter um despacho ótimo de geração, resolve – se o PPL descrito a seguir:
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 ∑𝑗=1𝑁𝑇 𝐶𝑇𝑗(𝐺𝑇𝑡(𝑗))+ 𝛼𝑡+1(𝑋𝑡+1) (2.3a) s.a 𝑉𝑡+1(𝑖) = 𝑉𝑡(𝑖) + 𝐴𝑡(𝑖) − 𝑄𝑡(𝑖) − 𝑆𝑡(𝑖) − 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) + ∑𝑗∈𝑀(𝑖)(𝑄𝑡(𝑗) + 𝑆𝑡(𝑖)) (2.3b) ∑ (𝑖)𝐺𝐻𝑡(𝑖) + ∑ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) + ∑𝑟∈Ω𝑘(𝑓𝑡(𝑟, 𝑘) − 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟)) = 𝐷𝑡(𝑘) 𝑁𝑇𝑘 𝑗=1 𝑁𝐻𝑘 𝑖 (2.3c) 𝐺𝑇(𝑗) ≤ 𝐺𝑇𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝑇(𝑗) (2.3d) 𝐺𝐻(𝐽) ≤ 𝐺𝐻𝑡(𝑗) ≤ 𝐺𝐻(𝑗) (2.3e) 𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) ≤ 𝑄𝑡(𝑖) (2.3f) 𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) , 𝑉(𝑖) ≤ 𝑉𝑡+1(𝑖) ≤ 𝑉(𝑖) (2.3g) 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) ≤ 𝑓𝑡(𝑘, 𝑟) (2.3h) Para K=1,..., NS; para i=,1...,NH; para j=1,...,NT
Onde:
𝑁𝐻𝑘 = Usinas hidrelétricas pertencentes ao submercado k 𝑁𝑇𝑘 = Usinas térmicas pertencentes ao submercado k
𝐶𝑡(𝑈𝑡) = Custo imediato associado à decisão 𝑈𝑡 ( geração térmica e déficit ocorrido no período)
9 𝐶𝑇𝐽 = Custo de geração da usina térmica j, em função da energia gerada. Inclui também custos de déficit.
𝐺𝑇𝑡(𝑗) = Geração da usina térmica j no período t
𝑉𝑡(𝑖) = Volume armazenado na usina i no inicio do período t 𝑄𝑡(𝑖) = Turbinamento da usina i no período t
𝑆𝑡(𝑖) = Vertimento da usina i no período t
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑡(𝑖) = Consumo de água na Usina i no período t(Devido à irrigação, abastecimento, etc.)
𝐴𝑡(𝑖) = Afluência incremental natural a usina i no período t (conhecida). M(i) = Conjunto de usinas imediatamente a montante da usina i
𝐷𝑡(𝑘)= Demanda no submercado k, no período t
Ω𝑘= Conjunto de submercados interligados ao submercado k 𝐺𝐻𝑡(𝑖)= Geração da usina hidrelétrica i no período t
𝑓𝑡(𝑟, 𝑘)= Intercambio de energia do submercado r para o submercado k ao longo do período t
A restrição (2.3b) representa o balanço hídrico por cada reservatório. Já a restrição (2.3c) representa o atendimento à demanda. As restrições (2.3d), (2.3e), (2.3f), (2.3g) e (2.3h) são respectivamente os limites de geração térmica, geração hidrelétrica, volume armazenado para as usinas hidrelétricas e limites de intercâmbio de energia entre submercado.
Função de custo Futuro: A função de custo futuro é representada como uma função
linear por partes:
𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1) = 𝑚𝑖𝑛𝛼𝑡+1 (2.4a)
10 𝛼𝑡+1 ≥ ∑𝑁𝐻1=1𝜋1(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿1 (2.4b) 𝛼𝑡+1 ≤ ∑𝑁𝐻 𝜋2(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿2 𝑖=1 (2.4c) ... 𝛼𝑡+1 ≤ ∑𝑁𝐻𝑖=1𝜋𝑃(𝑖)𝑉𝑡+1(𝑖) + 𝛿𝑝 (2.4d) Onde:
𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1 ) = Custo de operação da etapa 𝑡 + 1 até o horizonte T, a partir do armazenamento 𝑉𝑡+1
𝑉𝑡+1= Variável de estado a qual a função custo futuro é dependente. P= Número de segmentos da função linear por p
𝜋= Coeficiente associado à variação dos volumes armazenados, o qual mede a sensibilidade da função Custo Futuro do período t+1 até T em relação a variação incremental do volume armazenado no período t.
𝛿= Termo constante da restrição linear
A função de custo futuro permite comparar o custo de utilizar o reservatório na Etapa T, ou “guardar” a água para uma utilização futura. Conclui-se dessa maneira, que o custo futuro aumenta com a utilização presente do reservatório, já que eles ficarão mais vazios no futuro.
A recursão (2.2) requer como dado de entrada a função de custo futuro para a última etapa,𝛼𝑡+1(𝑉𝑡+1). Esta função terminal fornecida pelo modelo de planejamento da operação de médio prazo - DECOMP.
2.2.2.2 Estratégia de solução
Depois de visto a formulação do problema, será mostrada uma estratégia de solução para o mesmo, que será aplicada também ao capitulo três, o qual mostra formas diferentes de representação da rede.
11 O problema como um todo a ser otimizado é determinístico e multi-período. Com isso, uma estratégia de solução a ser adotada baseia-se na Programação Dinâmica Dual Determinística – PDDD [14], que é uma extensão, para o caso determinístico, do método de decomposição de Benders multi-estágio. Esse processo envolve a construção de corte de Benders (restrições de desigualdades lineares) que vão sendo adicionados gradativamente ao subproblema de cada período, compondo suas respectivas funções de custo futuro. No fim do processo, além de se obter o despacho de geração, obtêm-se também os custos marginais de energia por submercado, usina ou barra, e por período de tempo. No fluxograma da Figura 2, pode-se ver o processo iterativo da PDDD.
Figura 2: Processo Iterativo de PDDD adotado para o modelo Despacho energético em curtíssimo prazo. Retirado de [1].
12
2.3 Representação da transmissão sem perdas
2.3.1 Representação somente dos intercâmbios
A primeira forma de se considerar restrições na transmissão é através do Intercambio entre Submercados. Essa representação é chamada no modelo DESSEM como
representação sem rede.
2.3.2 Representação linear da rede de transmissão
No problema de PDO, pode-se utilizar o modelo linearizado em potência ativa, ou fluxo DC. Nele é desprezado o efeito de tensão/potência reativa. Dessa forma temos uma aproximação com baixo custo computacional e razoável para o fluxo na rede, devido ao fato da potência ativa possuir um forte acoplamento com os ângulos das tensões, sendo esse acoplamento maior quanto maior for o nível de tensão do sistema.
O modelo DC é obtido através da linearização das equações de fluxo de potência ativa na rede. Primeiramente não consideraremos as perdas, o que será feito no próximo capitulo. A equação de fluxo de potência ativa na rede entre as barras k será:
𝑃𝑘𝑚= −𝑉𝑘𝑉𝑚𝑏𝑘𝑚sin 𝜃𝑘𝑚 (2.12) Onde:
𝑉𝑘 e 𝑉𝑚 = Tensões das barras k e m; 𝑏𝑘𝑚 = Susceptância da linha k-m; 𝜃𝑘𝑚 = Diferença angular entre k e m; Aproximando:
𝑉𝑘 ≅ 𝑉𝑚 ≅ 1 𝑝𝑢 ; sin 𝜃𝑘𝑚 ≅ 𝜃𝑘𝑚e 𝑏𝑘𝑚 ≅𝑋1
𝑘𝑚
Dessa forma, pode-se calcular o fluxo ativo entre as barras k e m no modelo linearizado: 𝑃𝑘𝑚= 𝑏𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚 =𝜃𝑘𝑋−𝜃𝑚
13 No caso de um sistema com inúmeras barras:
𝑃 = 𝐵𝜃 (2.14) Onde:
P = Vetor injeção de potência nas barras B = Matriz de susceptâncias da rede 𝜃 = Vetor de ângulo das tensões nodais
A matriz de susceptâncias é conhecida através da entrada de dados do sistema no modelo. Calcula-se então o fluxo de potência da rede. Não há nenhuma alteração na geração da barra de referência do sistema devido a restrição de atendimento à demanda por submercado, dessa forma as gerações obtidas no PPL são mantidas.
2.3.3 Consideração dos limites de fluxo
Para obter-se de forma direta um despacho ótimo que atenda os limites de fluxo ativo nas linhas da rede elétrica, no PPL de cada período do Despacho energético em curtíssimo prazo, seria necessário adicionar uma restrição para cada sentido de fluxo e para cada linha. No caso brasileiro, isso levaria a milhares de restrições.
Como forma de contornar tal problema, será utilizado um raciocínio semelhante a [15], onde são incluídos no problema apenas os limites de fluxo que vão sendo violados durante a resolução do problema.
A seguir serão vistas diferentes estratégias de solução para representação da rede.
2.3.3.1 Método I0: Ângulos em função das injeções.
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) não é representada dentro do PPL, com isso as restrições de fluxo são representadas em função das injeções de potência da barra. Isso torna o problema com menos variáveis, porém as restrições de fluxo se tornam muito densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no Estudo de caso (Capítulo 4). A seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:
14
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as
restrições de geração no caso do despacho inicial (em outras iterações consideram-se também os limites de fluxo para os fluxos violados).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede.
Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras externamente ao PPL, a partir da equação
(2.14).
Passo quatro: A partir da equação (2.13), calculam-se os fluxos em toda rede.
Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância
desejada, sendo que, para os fluxos que ultrapassarem essa tolerância, adicionam-se as seguintes restrições:
𝑊𝑙∙ 𝑃 ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m, 𝑊𝑙∙ 𝑃 ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 ,se a restrição é no sentido m-k, (2.15) 𝑊𝑙 = 𝑏𝑙(𝐴𝐵−1)
Onde:
"∙" representa o Produto escalar e A representa a matriz incidência nó ramo. Cada linha da matriz corresponde a uma linha e possui apenas dois elementos que não são nulos: 1 e -1, correspondendo respectivamente a barra “de” e a barra “para” da linha. Essa matriz possui dimensão NC X NB, em que NC corresponde ao número de linhas e NB corresponde ao número de barras do sistema. 𝐵−1 Representa a inversa da matriz de susceptâncias, essa matriz possui dimensão NB X NB. 𝑏𝑙 Representa a susceptância da linha l.
Na equação (2.15), 𝑊𝑙 é o vetor coeficiente (derivadas) da restrição de fluxo na linha l em relação às gerações nodais. Esse vetor possui dimensão NB. O índice l indica a l-ésima linha na matriz 𝐴𝐵−1, que corresponde à linha de mesmo índice.
Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições, podendo assim acontecer
15
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de transmissão de nenhuma outra linha ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
Exemplo 2.1: Aplicação da estratégia de solução para representação dos ângulos em
função da geração em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).
Figura 3: Sistema elétrico simples com três barras
Onde:
𝐵1, 𝐵2 e 𝐵3 representam respectivamente as Barras Um, Dois e Três. Já 𝐿1, 𝐺2 e 𝐺3 representam respectivamente a carga da Barra Um , a geração da Barra Dois e a geração da Barra Três. E finalmente, 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3 representam o Linha Um, Dois e Três. Dados do problema:
Tabela 1: Dados das linhas do exemplo 2.1
Linhas\Dados das linhas Susceptância (𝑏𝑖): [pu] Condutância (𝑔𝑖): [pu] Resistência (𝑟𝑖): [pu] Reatância (𝑥𝑖): [pu] Limite de fluxo superior Limite de fluxo inferior
16 (𝑓) [MW] (𝑓) [MW]
𝐶1 2 2 0,25 0,25 100 -100
𝐶2 5 5 0,1 0,1 80 -80
𝐶3 1 1 0,5 0,5 800 -800
Tabela 2: Dados de barra do exemplo 2.1
Barras/Dados de barra
Limite de geração superior (𝐺𝑖) [MW]
Limite de geração inferior (𝐺𝑖)
[MW]
Custo de geração (𝑆𝑖)
[$/MW]
𝐵1 (Carga de 150 MW)
Não Há (Barra de carga) Não Há ( Barra de carga) Não Há (Barra de carga)
𝐵2 0 100 10
𝐵3 0 500 100
Considerações:
Sistema na base de 100 MVA
Barra de referência adotada é a Barra dois.
Sistema termoelétrico.
Fluxos positivos: Linha um(Barra três para Barra um), Linha dois(Barra dois para Barra um)e Linha três(Barra três para Barra dois).
Resolução do problema:
17 B = [ 7−2 −23 ] (ex2.1a)
Iteração um:
Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖 → Função objetivo
s.a
∑ 𝐺𝑖 = D → Equação de atendimento a demanda
𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 → Restrição das Gerações
Substituindo pelos valores dados:
Min 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.1a)
s.a.
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.1b) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1c) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1d) Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14): 𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13): 𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW Verificação de fluxos violados:
18 𝑏2× [−1 00 0] × [ 7−2 −23 ] −1 × [−150G3 ] ≥ −80 → G3 ≥ 88,99 → Restrição de fluxo Iteração dois: Min 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.1f) s.a. 𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.gi) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.1h) 88,99 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.1i) Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores
𝐺2 = 61,01 MW e 𝐺3 = 88,99 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14): 𝜃1 = −0,16 rad e 𝜃3 = 0,1899 rad
Calculando os fluxos nos linhas pela equação (2.13): 𝑓1 = 69,98 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18,99 MW Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.
Fim do problema.
2.3.3.2 Método F0: Fluxo como variável do problema
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) também não é representada dentro do PPL, com isso as restrições de fluxo são representadas em função das Injeções de Potência da Barra. Entretanto, diferentemente do problema anterior, a variável fluxo é representada diretamente no PPL, conforme determinado fluxo viole sua capacidade. Devido à representação dessas restrições de fluxo pelas injeções de potência, essas também se
19 tornam muito densas. Isso também será analisado no Estudo de caso (Capítulo 4). A seguir resume-se o algoritmo de resolução desse método:
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda e as
restrições de geração no caso do despacho inicial, (em outras iterações, consideram-se também os limites de fluxo e as equações de fluxo em função das injeções para os fluxos violados).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede. Passo três: Cálculo dos ângulos nas barras a partir da equação (2.14).
Passo quatro: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.
Passo cinco: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma tolerância
desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se as seguintes restrições:
𝑓𝑙= 𝑊𝑙∙ 𝑃
𝑓𝑙 ≤ 𝑓𝑙 (2.16)
Passo seis: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três
situações distintas:
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viole a capacidade de nenhuma outra linha de transmissão ou que viole a capacidade de transmissão de alguma linha que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
20
Exemplo 2.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em
função das gerações, com o fluxo como variável do problema em um sistema simples de três barras(Aplicação em um uníco período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1: Iteração um:
Min ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖
s.a
∑ 𝐺𝑖 = D 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖
Substituindo pelos valores dados:
Min 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.2a)
s.a.
𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.2b) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.2c) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.2d)
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores: 𝐺2 = 100 MW e 𝐺3 = 50 MW
Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14): 𝜃1 = −0,206 rad e 𝜃3 = 0,0294 rad
21 𝑓1 = 47,04 MW , 𝑓2 = 102,9 MW e 𝑓3 = 2,94 MW
Verificação de fluxos violados:
Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.16).
𝑏2× [−1 00 0] × [ 7−2 −23 ]−1× [−150𝐺
3 ] = 𝑓2 → 𝑓2+ 0,59𝐺3 = 132,35 →Equação de fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL.
e
𝑓2 ≤ 80 →Restrição de fluxo com a variável fluxo representada diretamente no PPL. Iteração dois: Min 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.2e) s.a. 𝑓2+ 0.59𝐺3 = 1,3235 (ex2.2f) 𝐺2 + 𝐺3 = 1,5 (ex2.2g) −0,8 ≤ f2 ≤ 0,8 (ex2.2h) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex2.2i) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex2.2j) Resolvendo o PPL , obtêm-se os seguintes valores:
𝑓2 = 80 MW, 𝐺2 = 61,27 MW e 𝐺3 = 88,73 MW Calculando os ângulos nas barras pela equação (2.14): 𝜃1 = −0.1603 rad e 𝜃3 = 0.1888 rad
Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13),lembrando que o fluxo no linha dois foi obtido no resultado do PPL, portanto não há necessidade de calculá-lo novamente.
22 𝑓1 = 69.8 MW , 𝑓2 = 80 MW e 𝑓3 = 18.88MW
Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha.
Fim do problema.
2.3.3.3 Método A0: Ângulos como variáveis do problema
Nesta estratégia de solução, a equação (2.14) é representada dentro do PPL, com isso a variável ângulo é representada diretamente no PPL. Isso torna o problema com mais variáveis que o Método I0, e menos varáveis que o método F0. No entanto, as restrições de fluxo acabam menos densas. Essas vantagens e desvantagens serão discutidas no Estudo de caso (Capítulo 4). A seguir o algoritmo de resolução desse método:
Passo um: Cálculo do despacho considerando-se apenas o atendimento a demanda, as
restrições de geração e da equação (2.14) no PPL no caso do despacho inicial (em outras iterações consideram-se também os limites de fluxo).
Passo dois: Obtenção do vetor P de cargas e gerações em cada barra da rede e dos
ângulos entre as barras.
Passo três: A partir da equação (2.13) calcula-se o fluxo em toda rede.
Passo quatro: Comparar fluxo com um valor máximo nominal, a partir de uma
tolerância desejada, sendo que os fluxos que ultrapassarem essa tolerância adicionam-se as seguintes restrições:
𝑏𝑘𝑚× (𝜃𝑘− 𝜃𝑚) ≤ 𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m,
𝑏𝑘𝑚× (𝜃𝑚− 𝜃𝑘) ≥ −𝐹𝑙𝑚𝑎𝑥 , se a restrição é no sentido k-m, (2.17)
Passo cinco: Resolve-se o PPL incluindo as novas restrições. Podendo acontecer três
23
Inviabilidade do PPL.
Um novo despacho é obtido, porém pode levar a violações na capacidade de transmissão em outras linhas, devido à redistribuição que foi feita nas gerações anteriores. Volta-se então ao passo dois.
Encontra-se um despacho ótimo que não viola a capacidade de nenhuma outra linha de transmissão ou que viole algum a capacidade de transmissão de alguma linha que já tenha sido violada, nesse caso o problema para.
Exemplo 2.3: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos
diretamente no PPL em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1, tem-se a seguinte resolução do problema:
Iteração um: 𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑆𝑖𝐺𝑖
s.a
𝐵𝜃 = 𝑃 → Representação dos ângulos em função das injeções de potência (Variável ângulo no problema)
∑ 𝐺𝑖 = 𝐷 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖
Substituindo pelos valores dados:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.3a)
24 7𝜃1− 2𝜃3 = 150 (ex2.3b) −2𝜃1+ 3𝜃3+ 𝐺3 = 0 (ex2.3c) 𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3d) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3e) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3f) Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 100 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 50 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,21 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,03 𝑟𝑎𝑑 Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13)
𝑓1 = 46 𝑀𝑊 , 𝑓2 = 100 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 𝑓32 = 3 𝑀𝑊 Verificação de fluxos violados
Como somente o 𝑓2 violou, adicionamos uma restrição a partir da equação (2.15).
𝑏2 × (𝜃2 − 𝜃1) ≤ 80 → 𝜃1 ≥ −16 → Restrição de limite de fluxo com a variável ângulo. Iteração dois: 𝑀𝑖𝑛 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex2.3g) s.a. 7𝜃1− 2𝜃3 = 150 (ex2.3h) −2𝜃1+ 3𝜃3+ 𝐺3 = 0 (ex2.3i) 𝐺2 + 𝐺3 = 150 (ex2.3j) 𝜃1 ≥ −16 (ex2.3l) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex2.3m) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex2.3n)
25 Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝐺2 = 61 𝑀𝑊 , 𝐺3 = 89 𝑀𝑊, 𝜃1 = −0,16 𝑟𝑎𝑑, 𝜃3 = 0,19 𝑟𝑎𝑑 Calculando os fluxos nas linhas pela equação (2.13):
𝑓1 = 70 𝑀𝑊, 𝑓2 = 80 𝑀𝑊 𝑒 𝑓3 = 19 𝑀𝑊 Verificação de fluxos violados:
Um redespacho ótimo é encontrado sem violação em nenhuma linha
Fim do problema.
2.3.4 Algoritmo de resolução geral
Abaixo se pode ver o fluxograma do processo iterativo que se insere na resolução de cada período, quando se considera o limite da rede elétrica no estudo.
Figura 4: Algoritmo de resolução do problema para cada período, considerando limites na rede (Nesse caso o estágio indica o período). – Retirado de [1].
26 É importante considerar que como os cortes de Benders para o período 𝑡 − 1 só são construídos quando se obtêm uma solução viável para o período, solução inviáveis não são consideradas no calculo da função de custo futuro. Outra ressalva importante é que as restrições adicionadas em determinado período, permanecem no PPL para as iterações seguintes.
Se o processo Iterativo terminar com uma solução viável no PPL de cada período, garante-se que o despacho final obtido seja uma solução de mínimo custo. É importante notar que as restrições já existiam implicitamente, apenas não tinham sido ativas. Portanto o problema não está sendo modificado a medidas que elas vão surgindo.
2.3.5 Comparação entre os métodos
Por fins de um entendimento maior de todos os métodos, será feito agora uma comparação dos algoritmos de cada método na hora de resolver cada iteração do PPL. Lembrando que será considerado aqui um problema estático (um único período de tempo). O Método I0 será o método base para comparação, sendo que o que estiver diferente entre os métodos em relação ao método base (será considerado aqui o Método I0), será destacado no texto.
1. Passo um:
Método I0: Despacho inicial + Restrições de fluxo. . Resultados: Valor das
gerações.
Método F0: Despacho inicial + Restrições de fluxo + equações de fluxo.
Resultados: Valor das gerações + fluxo nas linhas que violaram.
Método A0: Despacho inicial, considerando a restrição de atendimento a
demanda + a equação matricial das injeções de potência nas barras + Restrições de fluxo. Resultados: Valor das gerações + ângulos nas barras.
27 2. Passo dois:
Método I0: Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência
nas barras por fora do PPL.
Método F0Cálculo dos ângulos pela equação matricial das injeções de potência nas barras por fora do PPL.
Método A0: Não há calculo dos ângulos.
3. Passo três:
Método I0: Calculo dos fluxos por fora do PPL
Método F0: Calculo dos fluxos por fora do PPL caso a restrição desse fluxo ainda não tenha sido adicionada.
Método A0: Calculo dos fluxos por fora do PPL
4. Passo quatro:
Método I0: Adições das restrições dos fluxos violados.
Método F0: Adições das restrições dos fluxos + equações dos fluxos em função das injeções nas linhas violadas
Método A0: Adições das restrições dos fluxos violados.
5. Passo cinco:
Método I0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1. Método F0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1. Método A0: Se não adicionou restrições pare, senão volte ao passo 1.
28
3 REPRESENTAÇÃO DA REDE COM A
INCLUSÃO DAS PERDAS
Após o problema inicial ser resolvido sem perdas (Capitulo dois), duas opções são possíveis:
não considerar as perdas. Nesse caso, o problema teria um fim após a inclusão de todos os limites de fluxo violados;
incluir as perdas na rede. Nesse caso, o problema continua após a inclusão de todos os limites de fluxo violados, utilizando o ponto de operação obtido na ultima iteração antes de considerar as perdas.
3.1 Estratégia estática de inclusão dos cortes
Um processo que permite a inclusão das perdas diretamente no PPL é um método de inclusão “estático” de uma série de restrições lineares por partes (cortes) para aproximação das perdas. É um processo que inclui todos os cortes de uma única vez, assim como mostra a figura 5.
Figura 5: Exemplo de um modelo estático linear por partes de inclusão das perdas. Retirado de[13].
Entretanto esse método apresenta um ponto negativo: o número de restrições torna-se maior que o necessário, já que todos os cortes são incluídos em uma única vez.
Como forma de contornar isso, utiliza-se uma estratégia dinâmica de inclusão dos cortes proposta em [13]. Além da estratégia original daquele trabalho, foram consideradas
29 neste trabalho algumas variantes em relação à representação das variáveis no problema, conforme descrito a seguir.
3.2 Estratégia dinâmica de inclusão dos cortes
3.2.1 Método I1: representação dos ângulos em função das
injeções com representação das perdas
Esse método é uma extensão do Método I0 (2.3.3.1), sendo o utilizado atualmente no Dessem. Pelo fato do trabalho [7] sugerir que o Método A1 é mais eficiente, não será considerado esse Método I1 nos estudos de caso. Entretanto, esse método será descrito a seguir, pois como servir como base para o desenvolvimento desse trabalho. Apesar de a formulação ser geral para um problema multi-período, será considerado o subproblema de despacho econômico de um estágio t.
3.2.1.1. Formulação do problema
Assim como visto anteriormente, uma função objetivo será otimizada de forma a minimizar o custo de geração térmica, porém com a inclusão das perdas nas restrições. O problema pode ser equacionado da seguinte maneira:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.1a) s.a. 𝑝𝑖𝑡+ ∑ 𝑓𝑘𝑡 𝑘𝜖Ω𝑖 = 𝑑𝑖 𝑡+ ∑ 𝑙𝑘𝑡 2 𝑘∈Ω𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.1b) 𝑓𝑖𝑡= 𝑊 𝑙∙ 𝑃 (3.1c) 𝑙𝑖𝑡 = 𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.1d) −𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.1e) Assim como restrições adicionais e limites para a variável p.
O índice t representa o período que varia de 1 até T e o índice k representa a iteração em determinado período.
30 A função objetivo (3.1a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A equação (3.1b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.1c) representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações). As perdas são dadas pela equação (3.1d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema. Finalmente, a inequação (3.1e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
3.2.1.2 Estratégia de solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.1d) para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1 tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração 𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras
perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo
(3.2), em que sua dedução está no anexo I, resolve-se o PPL: 𝑙𝑖𝑡− 2𝑔 𝑖∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)𝑥𝑖(∑ 𝐾𝑏𝑖(𝑝𝑏𝑡− ∑ 𝑙𝑗𝑡 2 − 𝑑𝑏 𝑡) 𝑁𝐵 𝑏=1 ) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘))2 (3.2) Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, assim como uma aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.
Passo três: Resolve-se o sistema linear a seguir (3.3) para o fluxo de potência linear dc.
Como resultado, é obtido os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘) em função do vetor 𝑝𝑡− 𝑑𝑡 das injeções de potência liquida nas barras.
𝑝𝑡− 𝑑𝑡 = 𝐵𝜃𝑡(𝑘) (3.3) Onde:
B = Matriz de Susceptância da rede elétrica
Passo quatro: Para cada linha i, calculam-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘) utilizando-se a seguinte expressão:
31 𝑙𝑖𝑡(𝑘) = 𝑔
𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘))2 (3.4)
Passo cinco: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
𝛿𝑖𝑡 = 𝑙
𝑖𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖𝑡 (3.5) Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo seis: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL
encontrando uma solução ótima e viável.
Passo sete: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância, constrói-se
uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas (Equação (3.2)). Vá para o passo dois.
Figura 6: Exemplo iterativo para calculo das perdas na transmissão para o Modelo Linear Dinâmico por Partes. Aplicado para uma linha i. Retirado de[13].
32
3.2.2 Método A1: Representação dos ângulos diretamente no
PPL com representação das perdas
Nesse caso, o problema é uma extensão do Método A0 (item 2.3.3.3). Ou seja, ele começa exatamente aonde acaba o problema sem perdas. Utiliza-se, portanto, os pontos de operação para a aproximação que será vista a seguir, os resultados obtidos na ultima iteração do caso sem perdas.
3.2.2.1 Formulação do problema
Da mesma maneira, uma função objetivo será otimizada de forma a minimizar o custo de geração térmica, também com a inclusão das perdas nas restrições. O problema pode ser equacionado da seguinte maneira:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.6a) s.a. 𝑝𝑖𝑡+ ∑ 𝑓 𝑘𝑡 𝑘𝜖Ω𝑖 = 𝑑𝑖𝑡+ ∑ 𝑙𝑘𝑡 2 𝑘∈Ω𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐵 (3.6b) P = Bθ (3.6c) 𝑙𝑖𝑡 = 𝑔 𝑖(∆𝜃𝑖𝑡)2, 1, … , 𝑁𝐿 (3.6d) −𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 𝑓𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.6e) Pode-se notar que nesse caso os ângulos são incluídos diretamente no PPL, assim como restrições adicionais e limites para a variável p. O índice t representa o período e o índice k representa a iteração em determinado período.
A função objetivo (3.6a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A equação (3.6b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.6c) representa os ângulos em função das injeções de potência. As perdas são dadas pela equação (3.6d), em que metade das perdas são colocadas em cada barra do sistema. Finalmente, a inequação (3.6e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
33
3.2.2.2 Estratégia de solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.6d) para cada linha em um processo dinâmico. A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1 tangente a função no ponto corresponde à diferença do ângulo de fase obtida na iteração 𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo (3.2), em que sua dedução está no anexo II, resolve-se o PPL:
𝑙𝑖𝑡− 2𝑔
𝑖∆𝜃𝑖𝑡(𝑘)(∆𝜃𝑖𝑡) ≥ −𝑔𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘))2 (3.7) Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras, uma aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i e os ângulos de fase 𝜃𝑡(𝑘).
Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙𝑖𝑡(𝑘) utilizando-se a seguinte expressão:
𝑙𝑖𝑡(𝑘) = 𝑔
𝑖(∆𝜃𝑖𝑡(𝑘))2 (3.8) Passo quatro: Para cada linha i, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo: 𝛿𝑖𝑡 = 𝑙
𝑖𝑡 (𝑘)− 𝑙𝑖𝑡 (3.9) Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL encontrando uma solução ótima e viável.
Passo seis: Para as linhas em que o erro for maior que uma dada tolerância constrói-se uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas (Equação (3.7)). Vá para o passo dois.
34
Exemplo 3.1: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos
diretamente no PPL, com as perdas na rede representadas em um modelo por linha em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:
Iteração um: 𝑀𝑖𝑛 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex3.1a) s.a. 7𝜃1− 2𝜃3 = −150 −𝑃1 2 − 𝑃2 2 (ex3.1b) −2𝜃1+ 3𝜃3− 𝐺3 = −𝑃1 2 − 𝑃3 2 (ex3.1c) −𝑃1− 𝑃2− 𝑃3+ 𝐺2+ 𝐺3 = 150 (ex3.1d) 𝜃1 ≥ −16 (ex3.1e) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 100 (ex3.1f) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 500 (ex3.1g) 𝑃1 ≥ 𝑔1× (𝜃3∗− 𝜃 1∗)2+ 2 × 𝑔1 × (𝜃3∗− 𝜃1∗) × (𝜃3− 𝜃1− (𝜃3∗− 𝜃1∗)) → Corte para perda na linha um 𝑃2 ≥ 𝑔2× (𝜃2∗− 𝜃 1∗)2+ 2 × 𝑔1 × (𝜃2∗− 𝜃1∗) × (𝜃2 − 𝜃1 − (𝜃2∗− 𝜃1∗)) → Corte para perda na linha dois
𝑃3 ≥ 𝑔3× (𝜃3∗− 𝜃2∗)2+ 2 × 𝑔3 × (𝜃3∗− 𝜃2∗) × (𝜃3 − 𝜃2 − ((𝜃3∗− 𝜃2∗)) → Corte para perda na linha três
As equações (ex3.1c) e (ex3.1d) representam os ângulos em função das injeções de potência em uma barra. São equações menos densas em relação às equações de fluxo
35 Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.3. Substituindo valores, colocando as variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:
𝑀𝑖𝑛 10𝐺2+ 100𝐺3 (ex3.1h) s.a. 𝑃1 2 + 𝑃2 2 + 7𝜃1− 2𝜃3 = −1.5 (ex3.1i) 𝑃1 2 + 𝑃3 2 − 2𝜃1+ 3𝜃3− 𝐺3 = 0 (ex3.1j) −𝑃1− 𝑃2− 𝑃3+ 𝐺2+ 𝐺3 = 1.5 (ex3.1l) 𝑃1 + 1,4𝜃1− 1,4𝜃3 ≥ −0,245 (ex3.1m) 𝑃2+ 1,6𝜃1 ≥ −0,128 (ex3.1n) 𝑃3− 0,38𝜃3 ≥ −0,0361 (ex3.1o) 𝜃1 ≥ −0.16 (ex3.1p) 0 ≤ 𝐺2 ≤ 1 (ex3.1q) 0 ≤ 𝐺3 ≤ 5 (ex3.1r) As inequações de perdas (ex3.1l), (ex3.1m) e (ex3.1n), apresentam um maior número de variáveis por restrição em relação ao Método F1.
Resolvendo o PPL, obtêm-se os seguintes valores:
𝑃1 = 0,0702; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,011; 𝜃1 = −0,08; 𝜃3 = 0,107; 𝐺2 = 0,606; 𝐺3 = 1,007
Calculando as perdas na rede pela equação (3.3): 𝑃1 = 0,0701 ; 𝑃2 = 0,032; 𝑃3 = 0,012
36 𝛿1 = 0,0001; 𝛿2 = 0 ; 𝛿3 = 0,001
Todas as perdas ficaram abaixo da tolerância desejada.
Fim do problema.
3.2.3 Método F1: representação dos fluxos como variável do
problema com representação das perdas
Nesse caso, o problema é uma extensão do Método F0 (item 2.3.3.2). Assim como item anterior (3.2.2), serão utilizados os pontos de operação obtidos na ultima iteração do caso sem perdas.
Como foi optado a pela inclusão das perdas, as equações para os fluxos nas linhas terão que ser adicionadas já antes da primeira iteração do exemplo do item 2.3.3.2, já que as perdas de cada linha dependem do fluxo de cada linha. Nesse caso, portanto, somente os limites de fluxo serão adicionados dinamicamente.
3.2.3.1 Formulação do Problema
Nesse modelo, tem-se a seguinte formulação:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐(𝑝) (3.10a) s.a. 𝑝𝑖𝑡− 𝑙𝑖𝑡 = 𝑑𝑖𝑡, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10b) 𝑓𝑘𝑡= ∑ 𝑘 𝑖𝑘 𝑁𝐵 𝑖=1 (𝑝𝑖 − 𝑙𝑖𝑡− 𝑑𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10c) 𝑙𝑖𝑡 = 𝑅 𝑖(𝑓𝑖𝑡)2, 𝑖 = 1, … , 𝑁𝐿 (3.10d) Em que: 𝑅𝑖 = 𝑔𝑖 × 𝑥𝑖2, onde 𝑔
𝑖 é a condutância da linha de transmissão e 𝑥𝑖 é a reatância da mesma.
37 A função objetivo (3.10a) representa a minimização dos custos de geração térmica. A equação (3.10b) representa a lei de Kirchhoff em cada barra do sistema. A equação (3.10c) representa o fluxo em cada linha, o qual é função de uma combinação linear das injeções de potência nas barras (Cargas subtraídas das gerações), exatamente como que foi visto no item 2.3.3. As perdas são dadas pela equação (3.10d), em que metade das perdas em uma linha são colocadas em cada barra do sistema. Finalmente, a inequação (3.10e) representa os limites superiores e inferiores dos fluxos.
3.2.3.2 Estratégia de Solução
A proposta é adicionar progressivamente uma aproximação linear para a equação (3.5d) para cada linha, sendo que metade das perdas são injetadas negativamente em cada barra dos extremos de uma linha, em um processo dinâmico.
A curva linear adicionada na iteração 𝑘 + 1 tangente a função no ponto corresponde a diferença do ângulo de fase obtida na iteração 𝑘.
Passo um: Iteração k=1. Usar a inequação 𝑙𝑖𝑡 ≥ 0 como uma aproximação inicial paras perdas nas linhas variando de i=1,...,NL.
Passo dois: Através de uma aproximação atual para as perdas dada pela equação abaixo (3.6), em que sua dedução está no anexo III, resolve-se o PPL: 𝑙𝑖𝑡− 2𝑅
𝑖𝑓𝑖𝑡(𝑘)(𝑓𝑖𝑡) ≥ −𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘))2 (3.11) Como resultado, é obtido o vetor 𝑝𝑡 com a geração em todas as barras,os fluxos nas linhas as quais foram violadas no PPL antes de se considerar as perdas, assim como uma aproximação para as perdas 𝑙𝑖𝑡 em cada linha i.
Passo três: Para cada linha i, calcula-se as perdas “reais” 𝑙i𝑡(𝑘) utilizando-se a seguinte expressão, onde 𝑖 indica a linha i :
𝑙𝑖𝑡(𝑘) =𝑅𝑖(𝑓𝑖𝑡(𝑘))2
2 (3.12) Passo quatro: Para cada linha 𝑖 e período t, comparar as perdas “reais” com as obtidas pelo modelo:
38 𝛿𝑖𝑡 = 𝑙
𝑖𝑡 (𝑘)− (𝑙𝑖𝑡) (3.13) Onde:
𝛿𝑖𝑡 = Erro na aproximação para as perdas.
Passo cinco: No caso do erro ser menor que uma dada tolerância, finaliza-se o PPL encontrando uma solução ótima e viável.
Passo seis: Para as linhas e intervalos em que o erro for maior que uma dada tolerância constrói-se uma nova tangente de aproximação para o modelo dinâmico por partes das perdas (Equação (3.6)). Vá para o passo dois.
Exemplo 3.2: Aplicação da Estratégia de solução para representação dos ângulos em
função das gerações, sendo o fluxo uma variável do problema, com as perdas na rede representadas em um modelo por barra em um sistema simples de três barras (Aplicação em um único período).
Resolução do problema:
Considerando os mesmos dados e considerações do exemplo 2.1 e considerando ainda uma tolerância entre as perdas reais e as obtidas pelo modelo (𝜹) de 5%:
Iteração um: Min 10𝐺2+ 100𝐺3 s.a. 𝑏1 × [−1 1 0 0] × [ 7−2 −23 ] −1 × [−150 − 𝑃1 2 − 𝑃2 2 𝐺3−𝑃21−𝑃23 ] = 𝑓1 𝑏2× [−1 0 0 0] × [ 7−2 −23 ] −1 × [−150 − 𝑃1 2 − 𝑃2 2 𝐺3−𝑃1 2 − 𝑃3 2 ] = 𝑓2 𝑏3× [0 10 0] × [ 7−2 −23 ] −1 × [−150 − 𝑃1 2 − 𝑃2 2 𝐺3−𝑃1 2 − 𝑃3 2 ] = 𝑓3
39 −𝑃1− 𝑃2− 𝑃3+ 𝐺2+ 𝐺3 = 150 𝑃1 ≥𝑟1×𝑓1 ∗2 2 + 𝑟2×𝑓2∗2 2 + 𝑟1× 𝑓1 ∗× (𝑓
1− 𝑓1∗) + 𝑟2× 𝑓2∗× (𝑓2− 𝑓2∗) → Corte para perda na linha um 𝑃2 ≥ 𝑟2×𝑓2∗2 2 + 𝑟3×𝑓3∗2 2 + 𝑟2× 𝑓2 ∗× (𝑓
2− 𝑓2∗) + 𝑟3× 𝑓3∗× (𝑓3− 𝑓3∗) → Corte para perda na linha dois
𝑃3 ≥ 𝑟1×𝑓1∗2
2 +
𝑟3×𝑓3∗2
2 + 𝑟1× 𝑓1∗× (𝑓1− 𝑓1∗) + 𝑟3× 𝑓3∗× (𝑓3− 𝑓3∗) → Corte para perda na linha três
f2 ≤ 80
0 ≤ G2 ≤ 100 0 ≤ G3 ≤ 500
Serão utilizados como ponto de operação para série de Taylor de primeira ordem, os valores obtidos da ultima iteração do exemplo 2.2. Substituindo valores, colocando as variáveis do lado esquerdo e passando as gerações para seus valores em pu:
Min 10𝐺2+ 100𝐺3 s.a. 0,235𝑃1− 0,059𝑃2 + 0,29𝑃3+ 𝑓1− 0,588𝐺3 = 0,1764 (ex3.2a) −0.735𝑃1− 0,44𝑃2− 0,29𝑃3+ 𝑓2+ 0,588G3 = 1,324 (ex3.2b) 0,264𝑃1+ 0,058𝑃2 + 0,206𝑃3+ 𝑓3 − 0.412𝐺3 = −0,1764 (ex3.2c) −𝑃1− 𝑃2− 𝑃3+ 𝐺2+ 𝐺3 = 1,5 (ex3.2d) 100𝑃1 − 0.175𝑓1 ≥ −6,12 (ex3.2e) 100𝑃2− 0,08𝑓2 ≥ −3,2 (ex3.2f) 100𝑃3− 0,095𝑓1 ≥ −0,9 (ex3.2g)
