1 INSTITUTO FEDERAL DE B RASILIA 6 ª Lis ta FUNDAM ENTOS DE M ATEM ÁTICA Nome: DATA: 31/10/2016
1) Resolva as inequações abaixo (com x ), justificando sua resposta.
a) 2 x 5 b) 2 x 5
c) 2 2 x 5 d) 2 2 2x 5
2) A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções:
2 3p 21p 5p 10 D(p) e F(p) 4 2p 3
Admitindo-se p1 e sabendo que 756987, determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda
D(p) do produto é positiva. 3) A desigualdade 2 2 x 4x 3 0 x 7x 10 se verifica para todos os números reais x tais que
a) 1 x ou 3 x 2 ou x 5. b) x1 ou 2 x 3 ou x5. c) 1 x 2 ou 3 x 5. d) x1 ou 2 x 5. e) 1 x 3 ou 2 x 5.
4) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da inequação 2x 5x 3 1 3 4 é o intervalo a) ] , 3[ b) , 3 7 c) 3, 7 d) ] 3, [
5) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98%
foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:
Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.
Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.
Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.
A proposta implementada foi a de número a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
6) Um supermercado vende dois tipos de sabão líquido para lavagem de roupas: o sabão C, mais concentrado, e o sabão D, mais diluído. Para cada lavagem de roupas com o sabão C, Sofia gasta 30 m do produto; usando o sabão D, ela gasta 100 m . O sabão C é vendido apenas em vasilhames de 600 m , custando 12 reais cada vasilhame. O sabão D é vendido apenas em vasilhames de 3 litros, custando 24 reais cada vasilhame. Na compra de n vasilhames do sabão D, o supermercado dá um desconto de 3n% no preço de cada vasilhame desse sabão, quando 1 n 10. Quando n10,esse desconto é de 30%. Sofia resolve comprar n vasilhames do sabão D. Calcule
2 a) quantos centavos de reais Sofia gastaria com o
sabão C em cada lavagem de roupas, se o comprasse;
b) o valor mínimo de n para que Sofia gaste menos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas;
c) o número máximo de vasilhames do sabão D que Sofia pode comprar com 128 reais.
7) Uma função consiste na associação de dois conjuntos A e B de números reais, por meio de uma lei f. O subconjunto dos elementos de A que corresponde a um, e somente um, elemento de B é denominado domínio da função D(f ).
Considerando que a expressão
2 2 2 (2x 8)(x x 6) f(X) x 2x 3
é uma função, determine o domínio de f(x). a) D{x | x1; x 2 e x 3} b) D{x | x1; x 2 e x 3} c) D{x | x1; x 2 e x 3} d) D{x | x1; x 2 e x3} e) D{x | x1; x 2 e x3}
8) A empresa Alpha dedica-se exclusivamente à digitalização de documentos. Um funcionário leva 4 horas para digitalizar um documento, a empresa opera durante 250 dias por ano e não há estoque de documentos antigos para digitalizar. Em 2014, os funcionários têm uma jornada de trabalho de 8 horas diárias, mas têm exatamente 2 horas de ociosidade por dia. Em relação a 2014, o número de novos documentos que chegam para serem digitalizados aumentará 10.000 por ano nos próximos três anos. Sem novas contratações, em 2017, os funcionários precisarão trabalhar 8 horas por dia sem qualquer tempo ocioso para conseguir processar toda a demanda de 2017.
a) Qual é o número atual de funcionários da empresa?
b) Quantos documentos deverão ser digitalizados em 2015?
c) Representando o ano de 2014 como x0, 2015 como x1, 2016 como x2, e assim por diante, é possível expressar Y (demanda da empresa, em número de documentos para digitalização) em função de x, para o período de 2014 a 2017, como Y(x) a bx. Nesta expressão, a representa o número de documentos digitalizados em 2014. Determine o valor de b.
9) De acordo com Agilar e Fioreze (2011), o modelo que melhor representa a concentração de álcool para indivíduos do sexo masculino que ingerem uma lata de cerveja por hora, durante 5 horas, é: (t) (t C 0,022 0,007 (t 1), para 1 t 5 C ) 0,050 0,016 (t 5), para 5 t 8,125)
t tempo decorrido após a ingestão da primeira lata de cerveja.
Suponha que um indivíduo tenha chegado à Oktoberfest às 20 horas, permanecido na festa por 5 horas e que tenha bebido uma cerveja por hora.
Sabendo-se que a Lei Seca não permite que o indivíduo apresente um valor positivo de concentração de álcool ao dirigir, é CORRETO afirmar que esse motorista poderá começar a dirigir novamente
a) antes das 4h do dia seguinte.
b) somente depois das 8h15min e 30s do dia seguinte.
c) às 4h12min e 5s do dia seguinte. d) somente depois das 6h do dia seguinte.
10) Na função f(x)mx 2(m n), m e n . Sabendo que f(3)4 e f (2) 2, os valores de m e n são, respectivamente
a) 1 e 1 b) 2 e 3 c) 6 e 1 d) 6 e 3
11) Everton criou uma escala E de temperatura, com base na temperatura máxima e mínima de sua cidade durante determinado período. A correspondência entre a escala E e a escala Celsius (C) é a seguinte:
E
C
0 16
80 41
Em que temperatura, aproximadamente, ocorre a solidificação da água na escala E?
a) 16 E b) 32 E c) 38 E d) 51 E e) 58 E
3 seguir, onde k é uma constante não nula, é dada por: a) k x, se 0 x 2 f(x) 2 k, se 2 x 5 b) f(x) k, se 0 x 2 3k, se 2 x 5 c) k , se 0 x 2 f(x) 2 kx, se 2 x 5 d) f(x) kx, se 0 x 2 k, se 2 x 5 e) k x, se 0 x 2 f(x) 2 k, se 2 x 5
13) A função f : satisfaz as condições: f(1)2 e f (x 1) f (x) 1 para todo número real x. Os valores f(14), f(36), f(102) formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é
a) 1,5. b) 2,0. c) 2,5. d) 3,0.
14) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de
água consumida (em m3)
Valor a ser pago pelo consumo de água (em reais)
Até 10 R$18,00
Mais do que 10 R$18,00 + (R$2,00 por m
3
que excede 10 m3)
Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por
17 se x 10 B x , 2,1x 4 se x 10 em que x representaa quantidade de água consumida (em m3) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais).
a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A?
15) Em 1º de junho de 2009, João usou R$ 150.000,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à taxa de R$ 2,10 cada uma. Um apartamento que valia R$ 150.000,00 em 1º de junho de 2009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três anos. (Nota: a informação de que a valorização do apartamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser usada para responder a todos os itens a seguir).
a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de investimento, João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, no período?
b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de João tivesse sido R$ 20.000,00 maior com o fundo de investimento, na comparação com o apartamento, por quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de junho de 2012?
c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a rentabilidade do fundo de investimento se igualasse à do apartamento, ao final do período de três anos? Apresente uma função que relacione o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos.
16) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura:
Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas
x e y de seus lados.
4 17) Em uma brincadeira, uma bola é arremessada para o alto, e sua altura em relação ao solo, em função do tempo, é dada pela fórmula
2 1
h(t) (t 2) 5, 2
com h em metros e t em segundos. A seguir temos o gráfico de h em função de t.
Dessa forma, determine a altura máxima atingida pela bola, e em que instante (tempo) isso acontece.
18) Seja r a reta de equação cartesiana x2y4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa xt pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x)k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.
19) Um modelo matemático para a propagação de um vírus em uma população isolada de N indivíduos considera que o número aproximado de novos contágios pelo vírus em uma dada semana é proporcional ao número de pessoas já portadoras do vírus na semana anterior e também ao número de pessoas ainda não infectadas, de forma que, denotando-se por ps o número de portadores do vírus na semana s, tem-se
s s 1 s 1 s 1
p p αp N p
onde considera-se uma aproximação para o número inteiro mais próximo e α é um parâmetro constante.
Aplicando-se este modelo à população de uma ilha com 1000 habitantes, considere que, na nona semana de observação, o número de portadores do vírus é 230 e, na décima semana, este número sobe para 405.
a) Baseando-se apenas nestes dados e considerando-se o valor do parâmetro α que
melhor se ajusta a eles, determine se α é
menor ou maior que 0,001.
b) Aproximando-se o valor de α para 1/1000,
determine em qual semana ocorre o aumento mais expressivo no número de pessoas infectadas pelo vírus.
20) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x70y
x2y2
exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.5 a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão,
de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível?
b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
21) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação 2 x 11 y x 3 6 6 e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD.
22) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados
2
A
s t t, – t 3t 10 e sB t
t, 2t 9 ,
respectivamente.Sabendo que os robôs começam a se mover em t0,
a) DETERMINE o instante t em que o robô A se chocará com o robô B.
b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por sC t
t, kt 11 ,
em quek é um número real positivo. DETERMINE o
maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A.
23) Em um experimento de laboratório, ao disparar um cronômetro no instante t0 s, registra-se que o volume de água de um tanque é de 60 litros. Com a passagem do tempo, identificou-se que o volume V de água no tanque (em litros) em função do tempo t decorrido (em segundos) é dado por V t
at2btc, com a, b e c reais e a0. No instante 20 segundos registrou-se que o volume de água no tanque era de 50 litros, quando o experimento foi encerrado. Se o experimento continuasse mais 4 segundos, o volume de água do tanque voltaria ao mesmo nível do início. O experimento em questão permitiu a montagem do gráfico indicado.a) Calcule o tempo decorrido do início do experimento até que o tanque atingisse seu menor volume de água.
b) Calcule o volume mínimo de água que o tanque atingiu nesse experimento.
6 GABARITO Resposta da questão 1: a) S{x | x 52}. b) S{x | 2 x 3}. c) S{x | 2 x 7}. d) S{x | 2 x 47}. Resposta da questão 2: 2 p 7 Resposta da questão 3: [B] Resposta da questão 4: [B] Resposta da questão 5: [A] Resposta da questão 6: a) 30 12 R$ 0,60, 600 b) 9. c) n6. Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: a) 240 funcionários. b) 100.000 c) b10.000. Resposta da questão 9: [C] Resposta da questão 10: [C] Resposta da questão 11: [D] Resposta da questão 12: [A] Resposta da questão 13: [D] Resposta da questão 14: a) A(x) 18 para x 0 18 (x 10) 2, para x > 10 b) x20 Resposta da questão 15: a) 75.000 b) R$ 3,05 c) Y15000045000 t. Resposta da questão 16: 3 y 2 e x 1. Resposta da questão 17: 5 metros Resposta da questão 18: a) A(t) t (t 4). 4 b) k2. Resposta da questão 19: a) 1 1012 α
b) décima primeira semana.
Resposta da questão 20: a) R$ 66,00 b) 5445 Resposta da questão 21: a) -1 b) C(8, 0). c) 5 Resposta da questão 22: a) t 1 5 2 . b) 1. Resposta da questão 23: a) 12 segundos b) 42 litros
