Fenômenos dinâmicos em nano-estruturas magnéticas -II

(1)

Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Física

Recife, PE, Brazil

rezende@df.ufpe.br

Fenômenos dinâmicos em

nano-estruturas magnéticas -II

Sergio M. Rezende

Recife,

(2)

II- Excitações dinâmicas

a- Ressonância magnética

b- Ondas de spin: conceito e tratamento simples. c- Ondas de spin: tratamento clássico.

d- Ondas de spin: tratamento quântico; magnons.

e- Técnicas experimentais para estudo de ondas de spin.

SUMÁRIO

(3)

Material ferromagnético M T T_C T<<T_C T >T_C M (T )? SMR 3

(4)

Desvio de spin localizado não é o auto-estado excitado de menor energia H Interações de exchange e dipolar

Ondas de spin em ferromagnetos

4 Em 1932, Felix Bloch mostrou que os estados

excitados em

T

> 0 são formados por desvios de spin coletivos que ele chamou de ondas de spin.

Estado fundamental do ferromagneto Situação em T=0

Campo magnético aplicado

(5)

Movimento de giroscópio no campo gravitacional

g

Movimento de spin em campo magnético

L

m

M

Movimento spin em campo magnético

f H = 2.8 GHz/ kOe H f 



Fator giromagnético SMR 5

(6)

0 H ) (t h M  H₀– ω/γ

Campo de micro-ondas Absorção de micro-ondas

SMR 6 Ressonância magnética = 2.8 GHz/ kOe H f 



(7)

1 2



 _   _i i i exc J S S U   i B i g S   _   exch i i i H U    ) ( 2 1 1     _i _i B exch i S S g J H    ) (H H dt S d _exch i i i i          





a ) (H H S g dt S d _exch i i B i        



 B g   Fator_{giromagnético}

Ondas de spin: tratamento simples em 1d

(8)

)] ( ) ( [ 2 1 1 1 1 y i y i z i z i z i y i y i x i S S S S S S J H S dt dS            S S S S _ix , _iy  _iz  ) (k x t i x i i e u S  

S

_iy



v

e

i(k xi t) ] 2 [ 2 1 1 y i y i y i y i x i S S S S J H S dt dS         ] 2 [ 2 1 1 x i x i x i x i y i S S S S J H S dt dS        

(9)

)] 2 ( 2 [ H J S e ika eika v u i          )] cos 1 ( 4 [ H J S ka v u i        )] cos 1 ( 4 [ H J S ka u v i        ) cos 1 ( 4 ka S J H       ) cos 1 ( 4 J S ka H       u i v  ) cos(k x t u S_ix  _i  ) sin(k x t u S_iy  _i 



Relação de dispersão Energia de 1 magnon

(10)

 k 2 /  Onda de spin propagante

Ondas de spin: tratamento semi-clássico

Onda de spin estacionária

t x k i i i e u S    ) cos( ) cos(k x t u S_i  _i  Vetor de onda SMR 10

(11)

t k i r k i e m ) t , r ( m        0 H k

Cortesia de C.E. Patton

Onda de spin propagante

Ondas de spin em 3D: tratamento semi-clássico

(12)

Energia de desvio de spin localizado 0 _1x107 2x107 3x107 4x107 0 5 10 15 20 Frequency f =  / 2  (T Hz) Wave number k (cm-1) 0 1 2 3 4 Wave number k (107 _cm-1₎ Fr equenc y f = ω /2 π (T Hz )

Frequência (energia) de ondas de spin

Energia de exchange ) cos 1 ( 4 ka S J H       Relação de dispersão SMR 12

(13)

)

(

M

H

t

M



_



_





_

Equação de movimento da magnetização

M H i i dt S d 

_

  H S g dt S d i B i      



Torque sobre o momento magnético i H i i    _

_

_



 B g   Fator_{giromagnético} Equação de Landau-Fifshitz SMR 13

(14)

Ondas de spin em 3D: tratamento semi-clássico ] 6 [ 2 2 2 i i B exch i S a S g J H       ) (H H_efetivo M t M         _ Equação de Landau-Lifshitz



     i B exch i S g J H 2  Campo de exchange 2 2 2 2 1 x S a x S a S S i i i i              2 2 2 2 1 x S a x S a S S i i i i              2 2 2 2 1 z S a z S a S S i i i i              z y x a a a

Aproximação de meio contínuo

(15)

] 6 [ 2 ₂ ₂ i i B exch i S a S g J H       i B i S a g M  ₃  _M M D M w H exch    2  M g S J w B  2 6  M g a S J D B  2 2  t i y x t i e m y m x M z e r m M z t r M (, ) ˆ  ()   ˆ (ˆ  ˆ )  m M D h_exch  2 

Cristal cúbico

(16)

y z y x m M D M H m t m ₂        H m m M D M t m x x z y        ₂ y x im m m   _M _M z  t m i m H m D      _ 2  _   t m i m H m D      _ _ 2  _ _  _  ) (H Dk2 E _k     ) ( 0 ) , (r t m e i k r k t m    

Energia Auto-estado ) (H H exch M t M _  _  _    _ SMR 16

(17)

Frequência de ondas de spin H f  Energia de exchange ) ( H Dk2 k     0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Fr e q u e n c y f =  / 2  ( GH z ) Wave number k (105 cm-1) =2.8 GHz/kOe



D =2 x 10-9 _Oe.cm2 YIG SMR 17

(18)

Energy of localized spin deviation 0 _1x107 2x107 3x107 4x107 0 5 10 15 20 Frequency f =  / 2  (T Hz) Wave number k (cm-1) 0 1 2 3 4 Wave number k (107 _cm-1₎ F requency f = ω /2 π (T H z ) 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 H _k _k= 90o k _k= 0 F re qu en cy  /2  ( GHz ) Wave number k (105 cm-1) 0 2 4 6 8 Wave number k (105_cm-1₎ Fr eq ue ncy f = ω /2 π (GHz ) Energia de exchange =2.8 GHz/kOe H f 



Energia dipolar ) cos 1 ( 4 ka S J H       1  a k 2 / ) ( ) cos 1 (  ka  k a 2 2 2 ) 2 ( J S a k H    ) (H Dk2  

Frequência de ondas de spin

(19)

SMR 19 H k H k H = 200 Oe Pulsed RF generator Oscilloscope Amplifier Detector H YIG film GGG k Surface waves Volume waves Filme fino 0 1 2 0 1 2 3 4 F req u e n cy f =  / 2  (GH z) Wave number k (103 cm-1)

(20)

SMR 20 time 0 H = 146 Oe f₀=1.59 GHz 0 20 40 60 80 100 1.50 1.55 1.60 1.65 F re q u e n c y f ( G H z ) Wave number k_z (cm-1) a L k_z H Onda de volume H = 152 Oe time



0 0 20 40 60 80 100 1.50 1.55 1.60 1.65 F re q u e n c y f ( G H z ) Wave number k_z (cm-1) k v_g _k /  g a v L / 



time



0 0 20 40 60 80 100 1.50 1.55 1.60 1.65 F re q u e n c y f ( G H z ) Wave number k_z (cm-1) H = 156 Oe time 0



H = 160 Oe 0 20 40 60 80 100 1.50 1.55 1.60 1.65 Wave number k_z (cm-1) Acoplamento direto entre as antenas 150 152 154 156 80 90 100 110 120 YIG (8 m)/Pt (6 nm) f = 1.59 GHz D el ay  (ns )

Magnetic field H (Oe)

(21)

Ondas de spin: tratamento quântico exch Z









Hamiltoniano Zeeman Exchange



    i i B z g S H    _i _j j i ij exc J S S      





Propriedades do operador de spin

z i z z i z i S S S S  y i x i i S i S S   S_i S_iz [S(S 1)S_iz(S_iz 1)]1/2 S_iz 1     _ _ i ij j i S i S S , ]  [ [S_i,Sz_j ]  _ij S_i [S_i,S_j ]  2_ij S_iz z S SMR 21

(22)

Ondas de spin: tratamento quântico

Operadores de desvio de spin

z i

i S S

n  

Número de desvios n_i a_ia_i

Op. Criação de desvio _a_i _n_i ₍_n_i ₁₎1/ 2 _n_i ₁

Op. Destruição de desvio a_i n_i (n_i)1/2 n_i 1 ai aj ij

 ] , [ i i i i S a a S a S  (2 )1/2(1  / 2 )1/2 2 / 1 2 / 1 ) 2 / 1 ( ) 2 ( S a a a S S_i  _i  _i _i i i i z i S a a S n S      ) 4 / ( ) 2 ( S 1/2 a a a a S S_i  _i  _i _i _i S_i  (2S)1/2 (a_i a_ia_ia_i / 4S) Relações entre operadores z S i n SMR 22

(23)

Ondas de spin: tratamento quântico Zeeman Exchange



    i i B z g S H    i j j i ij exc J S S      





Transforma para operadores de desvio de spin



   i z i B z g H S ₂ ( 2 ) 1 _z j z i j i j i j i ij exc   J S S  S S  S S      



      i j i j i ij a a A , ) 2 ( Aproximação linear Si S ai 2 / 1 ) 2 (     _ i i S a S (2 )1/2 JS zJS H g A_ij  ( _B  2 )_ij  2 SMR 23

(24)

Operador desvio coletivo

Regra de comutação de operadores de bosons



  k k r k i i e a N a i   2 / 1 1  _

_

   k k r k i i e a N a i   2 / 1 1 ' '] , [a_k a_k _kk



   k k k k a a   ) 2 ( _ / ) 1 ( 2 _k k  H zJS      ) cos cos (cos 3 1 a k a k a k_x _y _z k     1  ka k 1 k a / z 2 2     / 2JS k2a2 H k    Rede cúbica simples

(25)

Relação de dispersão

2 k D H k        / 2JS a2 D 

Energy of localized spin deviation

0 _1x107 2x107 3x107 4x107 0 5 10 15 20 Frequency f =  / 2  (T Hz) Wave number k (cm-1) 0 1 2 3 4 Wave number k (107 _cm-1₎ F req uen c y f = ω /2 π (T H z ) Energia de exchange  / ) 1 ( 2 _k k  H zJS      0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Fr e q u e n c y f =  / 2  ( GH z ) Wave number k (105 cm-1) Parâmetro de exchange SMR 25

(26)

Para diagonalizar o Hamiltoniano

usa transformação de Bogoliubov ak uk ck  vk ck Ondas de spin: tratamento quântico

Hamiltoniano com interação dipolar



 _ _    k k k k k k k k k k a a B a a B a a A H(2) * 2 1 2 1  ) sin 2 ( 2 2 _k k H Dk M A       k k M B   2 sin2 2 / 1 ) 2 ( k k k k A u     2 / 1 ) 2 ( k k k k A v     SMR 26

(27)

Hamiltoniano livre



  k k k k c c H₀  k  energia k k c c , Operadores de magnons

2 / 1 2 2 2 ] ) sin 4 ( ) ( [ _k k  H Dk H Dk  M       k k k c c n   Operador número de magnons 1 magnon ₁ _  ₀ k k c 0 ] ) ! /( ) [( _k n _k 1/2 k c n n   k n magnons k k k n n n  nk nk nk nk Auto-estados de H e n_k 2 magnons ( ) 0 2 1 2_k  c_k 2 ' , '_k _n _n k n n  SMR 27

(28)

0 ] ) ! /( ) [( _k n _k 1/2 k c n

n   k Auto estados do número de ocupação

e também do Hamiltoniano livre

São usados em quase todos tratamentos quânticos das

propriedades termodinâmicas, mecanismos de relaxação e outros fenômenos envolvendo magnons

Porém, eles têm valor esperado dos operadores m_x and m_y que são

NULOS. Portanto eles não têm função de onda macroscópica

) )( ( ) 2 ( ) ( ₁_/₂ . _k _k _k *_k k r k i x e u v c c NS M r m     _    ) )( ( ) 2 ( ) ( ₁_/₂ . _k _k _k *_k k r k i y e u v c c NS M i r m      _   k y x m c m m    0      k k k y k k x k n m n n m n n m n

(29)

k k k k c    k n k n k k e n n k k k



  /2 1/2 ) ! /( ) ( 2    2 k k n  

Estados coerentes de magnons são definidos como os estados coerentes de fótons, introduzidos por Roy J. Glauber em 1963 (Prêmio Nobel em 2005)

[S.M. Rezende e N. Zagury, Phys. Lett. A 29, 47 (1969)]

) . ( cos ) ( ) 2 / ( ) , ( ₁_/₂ _k _k _k _k _k x u v k r t NS M t r m        ) . ( sin ) ( ) 2 / ( ) , ( ₁_/₂ _k _k _k _k _k y u v k r t NS M t r m        m M k 

(30)

k k k k d P      2 ) (







P(_k ) d2_k 1

density matrix operator

2 ) ! / ( ) ( 2 2 k k e n n n_k _k _k _k n _k coh     _ _  coherent state 1 1 /   _k _T k _k _B e n __ 1 ) 1 ( ) ( ) ( _   k k n k n k k th n n n  thermal magnons 0 20 40 60 80 100 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 <n_coh> = 50 <n_th> = 50 M a g n o n d istr ibu tion Number of magnons

(31)

1. Excitação com micro-ondas:

a- Excitação linear- ondas estacionárias b- Excitação linear- ondas propagantes

c- Excitação não linear- parallel pumping d- Excitação não linear- perpendicular pumping (Suhl 1ª e 2ª ordem)

2. Espalhamento inelástico de nêutrons 3. Espalhamento inelástico de luz

a- Raman b- Brillouin

Técnicas experimentais de estudo de o. spin

(32)

1. Excitação com micro-ondas

Excitação linear- Ondas estacionárias

Gerador de M-O Circulador Fonte de corrente Lock-in Amostra no interior da cavidade Gaussímetro Eletromagneto Detector Bobinas de modulação de campo 0 H ) (t h M SMR 32

(33)

Em YIG vários modos de ondas estacionárias são observadas YIG film t=28 µm 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 Signal d P /d H (arbitrary units)

Magnetic Field H (kOe)

 0 = 0° H 0  0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 ₀ = 0° S ig na l d P /d H (a rb itra ry u ni ts)

Magnetic Field H (kOe)

Si/Pt(10.2 nm)/Py(18.5nm) Em filme de Py a linha de FMR é larga e somente modo k=0 é observado Py film t=18.5 nm

1. Excitação com micro-ondas: linear

(34)

Pulsed RF generator Oscilloscope Amplifier Detector YIG film (3.5 µm) H z x 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 k_x = 0, k_z = k k z = 0, kx = k F req ue ncy f =  / 2  (G Hz) Wave number k (103 cm-1)

Surface spin waves

k

H

k

SMR 34

Ondas de spin propagantes

(35)

SMR 35

2. Espalhamento (scattering) de nêutrons

Técnicas de espalhamento de partículas incidindo sobre alvo a ser estudado têm sido muito importante

em todas as áreas da Física:

Exemplo: Em 1911 Rutherford fez espalhamento de partículas alfa em filmes de vários materiais e concluiu que a carga positiva do átomo estava concentrada no núcleo. Revolução no conceito do átomo (Thomson)

(36)

Espalhamento inelástico de nêutrons E_i , p_i feixe de nêutrons k





,



k



Magnon térmico amostra MnF₂(1965) MnF₂ (Science 2008) E_s = E_i -p_s= p_i -k





k





2. Espalhamento (scattering) de nêutrons

(37)

Espalhamento elástico

Tyndall (1869): espalhamento por partículas de poeira no ar

Rayleigh (1899): espalhamento por moléculas de gás no ar (sem poeira) 3. Espalhamento de luz ) cos 1 ( 1 ₂ 2 4     r I I_S Lei de Rayleigh

Explica o céu e azul de dia e vermelho no por do Sol

Espalhamento inelástico

Raman (1928): linhas laterais em benzeno ~1000 cm-1

Landsberg e Mandelstan (1928): efeito semelhante em

(38)

Espalhamento inelástico de luz laser



_L

,

k

_L m L S



     m L S

k

















Espalhamento Stokes Anti-Stokes L L k  ,  S S k  ,  m m k  ,  m L S         m L S k k k      espectrômetro

3. Espalhamento inelástico de luz

(39)

Referências básicas

3. Espalhamento inelástico de luz

(40)

3. Espalhamento inelástico de luz: Raman Introdução do uso do Laser em espalhamento de luz

(41)

3. Espalhamento inelástico de luz: Raman

Monocromador de prisma (escondido abaixo da peça)

(42)

3. Espalhamento inelástico de luz: Raman Monocromador de grade de difração

(43)

(44)

(45)

3. Espalhamento inelástico de luz: Raman Monocromador duplo de grade de difração

(46)

Sergio Porto na Bell em 1966

A primeira experiência de espalhamento (Raman) de luz foi feita por um brasileiro

Espalhamento inelástico de luz por magnons

(47)









₀ 0 T < T_N T > T_N SMR 47

(48)

(49)

Espalhamento inelástico de luz laser



_L

,

k

_L m L S



     m L S

k

















Espalhamento Stokes Anti-Stokes L L k  ,  S S k  ,  m m k  ,  m L S         m L S k k k      Interferômetro FP

3. Espalhamento inelástico de luz: Brillouin

(50)

Interferômetro Fabry-Perot

(51)

Interferômetro Fabry-Perot

(52)

Amostra

3. Espalhamento inelástico de luz: Brillouin Interferômetro Fabry-Perot tandem com 6 passagens

(53)

Espalhamento BLS por magnons excitados por micro-ondas

(54)

Experimentos de Demokritov et al.

Espalhamento BLS por magnons excitados por micro-ondas

(55)

Espalhamento BLS por magnons excitados por micro-ondas com resolução em vetor de onda

(56)

V.E. Demidov et al., Phys. Rev. B 80, 060401(R) (2009).

Espalhamento BLS por magnons excitados por micro-ondas com resolução espacial

(57)

Muito obrigado pela atenção

e até sexta-feira

rezende@df.ufpe.br

57

Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física