Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência
Carlos Cardeira
Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)
Sumário
Definições
Sistemas sem memória
Sistemas causais
Sistemas Invariantes no Tempo
Sistemas Lineares
Definições
x Entradas = [tempo → Reais ou
Complexos]
y Entradas = [tempo → Reais ou
Complexos]
Tempo = Inteiros ou Reais
S
Exemplos (contínuos)
Ganho K Delay T Média Móvel)
(
)
)(
(
,
,
t
R
G
x
t
kx
t
x
k)
(
)
)(
(
,
,
t
R
D
x
t
x
t
T
x
Td
x
M
t
x
MA
R
t
C
R
R
x
t M t)
(
1
)
)(
(
,
],
,
[
Exemplos (contínuos)
Reverse Fast Forward Câmara Lenta Energia)
(
)
)(
(
,
,
t
Rv
x
t
x
t
x
)
5
.
1
(
)
)(
(
,
,
t
FF
x
t
x
t
x
)
5
.
0
(
)
)(
(
,
,
t
CL
x
t
x
t
x
td
x
t
x
E
t
x
,
,
(
)(
)
2(
)
Definições: Resposta Impulsiva
A saída do sistema pode-se calcular através da
convolução da resposta impulsiva com a entrada s
ds
s
x
s
t
h
t
x
H
t
x
,
,
(
)(
)
(
)
(
)
Exemplos (discretos)
Ganho K Delay T (T inteiro) Média Móvel)
(
)
)(
(
,
,
n
Inteiros
G
x
n
kx
n
x
k)
(
)
)(
(
,
,
n
Inteiros
D
x
n
x
n
T
x
T 1 0)
(
1
)
)(
(
,
],
,
[
M kk
n
x
M
n
x
MA
Inteiros
n
C
R
R
x
Exemplos (discretos)
Reverse
Down Sample (subamostrar)
Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou
outro valor, nos pontos não definidos)
)
(
)
)(
(
,
,
n
Rv
x
n
x
n
x
)
2
(
)
)(
(
,
,
n
Down
x
n
x
n
x
ímpar
n
par
n
n
x
n
x
Up
n
x
0
2
)
)(
(
,
,
Resposta Impulsiva (discretos)
A saída do sistema pode-se calcular através da
convolução da resposta impulsiva com a entrada m
m
x
m
n
h
n
x
H
n
x
,
,
(
)(
)
(
)
(
)
Sistema sem memória
Um sistema S não tem memória se existir uma
função tal que:
Exemplos:
))
(
(
)
)(
(
,
,
x
S
x
t
f
x
t
t
)
2
(
)
1
(
)
)(
(
,
,
)
(
2
)
)(
(
,
,
)
(
)
)(
(
,
,
2t
x
t
x
t
x
S
x
t
t
x
t
x
S
x
t
t
x
t
x
S
x
t
Sem memória Sem memória Com memóriaDefinições: Sistema causal
Um sistema S é causal se a saída não depender
de entradas futuras:
Se duas entradas forem iguais até um
determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas
)
)(
(
)
)(
(
),
(
)
(
,
,
,
t
w
S
t
x
S
t
s
s
w
s
x
x
w
t
Causalidade
O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).
Definições: Sistema Invariante no
tempo
Considere-se a função Delay
Um sistema é invariante no tempo se, para
qualquer delay T, tivermos:
Ou seja:
)
(
)
)(
(
,
,
t
D
x
t
x
t
T
x
T
T
T
S
S
D
D
)
))(
(
(
)
))(
(
(
,
,
t
D
S
x
t
S
D
x
t
x
T TExemplo: Sistema Invariante no
tempo
Atrasar uma entrada produz um atraso
equivalente na saída. As funções atraso e S
Exemplos
S(x)(t)=x(t+3)
DT o S = x(t+3-T) S o DT = x(t-T+3)
Exemplos
S(x)(t)=x(-t)
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t-T) S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T)
Exemplos
S(x)(t)=(x(t-1))2
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2 S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))2
Exemplos
É invariante no tempo
Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula
para t<a t
ds
s
x
t
x
E
(
)(
)
2(
)
t ads
s
x
t
x
E
(
)(
)
2(
)
Exemplos - Convolução
É invariante no tempods
s
t
h
t
x
(
)
(
)
Linearidade
S(x+w)=S(x)+S(w)
S(ax)=aS(x)
S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)
S(0) tem que ser 0 porque senão não
seria possível garantir S(ax)=aS(x) para
qualquer ‘a’
Exemplos
Média Móvel Linear Invariante no Tempo Delay Linear Invariante no Tempo Ganho Linear Invariante no Tempo Reverse LinearExemplos
Fast Forward
Linear
Não Invariante no Tempo
Câmara Lenta
Linear
Não Invariante no Tempo
Energia Não Linear Invariante no Tempo Convolução Linear Invariante no Tempo
Resposta em Frequência
Teorema:
Se a entrada for uma exponencial complexa
(eiwt) de determinada frequência, a saída
também terá a mesma frequência
Exemplo:
1 arctan 21
1
)
(
1
1
)
(
w je
w
w
H
jw
w
H
Exemplo:
|H(w)|
21
1
)
(
w
w
H
Exemplo:
Cálculo da Resposta em
Frequência
)
(
)
(
t
x
t
y
dt
dy
O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma:
Cálculo da Resposta em
Frequência do circuito R/C
jw
w
H
e
e
w
H
e
w
jwH
e
w
H
t
y
e
t
x
jwt jwt jwt jwt jwt1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Exemplo: Resposta em Frequência
da Média Móvel
Exemplo: Resposta em Frequência
da função Delay
Exemplo: Resposta em Frequência
da função Ganho
KA amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se
)
(
,
,
t
G
kx
t
x
k
k
w
H
ke
e
w
H
jwt
jwt
)
(
)
(
Linear e Invariante no Tempo
•Linear porque as derivadas são operadores lineares •Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t
Causalidade e Resposta Impulsiva
Considere-se um sistema definido pela
convolução:
0
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
) ( 0t
t
h
ds
s
x
s
t
h
ds
s
x
s
t
h
ds
s
x
s
t
h
t
x
S
t e causalidad t
Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um sistema definido pela
convolução da entrada com a resposta impulsiva é:
O que significa que a resposta em frequência de um
sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( w H s jwu jwt s s t jw s jwt jws jwt s du e u h e ds e s t h e ds e s t h e w H ds s x s t h t x S
Resposta em Frequência de
Sistemas Discretos
jwn jwne
w
H
n
y
e
n
x
n
,
(
)
(
)
(
)
Analogamente:Exemplo: média móvel
)
1
(
2
1
)
(
1
2
1
2
1
)
(
)
1
(
)
(
2
1
)
)(
(
,
,
) 1 ( jw jw jwn n jw jwn jwne
w
H
e
e
e
e
e
w
H
n
x
n
x
n
x
MA
x
n
Exemplo: média móvel +
autoregressão
w j w j jw w j jw jwn jwn w je
e
e
w
H
e
e
e
e
e
w
H
n
x
n
x
n
x
n
y
n
y
2 3 3 21
1
)
(
)
1
(
)
1
)(
(
)
3
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
(
De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressiva no denominador. Consegue-se escrever a resposta em frequência sem ter que fazer as contas
Exemplo: equação às diferenças
genérica
Peridicidade da resposta em
frequência para sistemas discretos
) 2 ( ) 2 ( '
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
w jn w jn jwn jwne
w
H
n
y
e
n
x
e
w
H
n
y
e
n
x
Mas como x(n)=x’(n) :)
2
(
)
(
w
H
w
H
Em sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2 E, por convenção, desenha-se apenas entre - e ou então apenas entre 0 e porque a função é par
Resposta em frequência de dois
sistemas LTI em cascata
A resposta em frequência é o produto das
respostas em frequência de cada sistema
H(w) G(w)
Resposta em Frequência de dois
sistemas com feedback
H G +
1.e
jwtE(w)e
jwtY(w)e
jwtR(w)e
jwtY(w)=E(w).H(w)
R(w)=Y(w).G(w)
E(w)=1+R(w)
Resposta em Frequência de
sistemas com feedback
Y(w)=E(w).H(w)
R(w)=Y(w).G(w)
E(w)=1+R(w)
Y(w)=(1+R(w)).H(w)=
=(1+Y(w).G(w))H(w)
Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))
Amplitude e fase
H(w)=|H(w)|e
H(w), H(w) representa o
angulo de H(w) com o eixo real
|H(w)| é a amplitude da resposta em
Freq.
H(w)) é a fase da resposta em
Exemplo:
y(n)=1/2(x(n)+x(n-1))
H(w)=1/2(1+e
-jw)
|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|=
=1/2 sqrt((1+cos(w))
2+sin
2(w))
H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))
Exemplo:
>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; %embora bastasse de 0 a pi >> H=(1+exp(-i*w))/2; >> subplot(2,1,1) >> plot(w,abs(H)) >> subplot(2,1,2) >> plot(w,angle(H))Decibels
É vulgar medir a amplitude em dB)
(
log
20
10
H
w
dB
Propriedades
Se a entrada for periódica de período p a
saída é periodica com o mesmo período
Como cos(wt)=cos(-wt) teremos
H(w)=H*(w)
|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par
H(w)=- H(-w) → fase é ímpar
Exemplo de feedback para
aumentar a largura de banda
Exemplo de feedback para
aumentar a largura de banda
Feedback para melhorar a
resposta em frequência
Se se pretende que o sistema responda
mais rapidamente a resposta às altas
frequências tem que melhorar
À parte o problema das saturações este
Propriedades (Discretos)
Se a entrada for periódica de período p a saída
é periodica com o mesmo período
Como cos(wn)=cos(-wn) teremos
H(w)=H*(w)
|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par H(w)=- H(-w) → fase é ímpar
E porque ejwn=ej(w+2 )n
Temos: H(w)=H(w+2 ) (em sistemas
discretos a resposta em frequência é periódica)
Coeficientes da Série de Fourier
)
cos(
)
(
sec
/
2
,
,
:
0 1 0 0 k k kk
w
t
A
A
t
x
rad
P
w
p
R
R
X
Série de Fourier
A
0é a componente DC (valor médio do
sinal)
Permite representar qualquer sinal
periódico
Se o sinal não for periódico mas for
finito (no tempo), pode também ser
representado por uma série se o
A forma exponencial é mais
prática
*)
(
k k t jkw kX
X
e
X
t
x
oEquivalência entre as formas
exponencial e coseno
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
)
0
(
)
(
2
1
2
1
)
cos(
)
(
0 1 ) ( 1 ) ( 0 0 1 0 0 0 0k
e
A
X
k
e
A
X
k
A
X
e
X
t
x
e
A
e
A
A
t
w
k
A
A
t
x
k k k k j k k j k k k k t jkw k k t kw j k k t kw j k k k kObtenção dos coeficientes Ak e
partir de Xk
k k k k k o k t jkw k t jkw k t jkw k t jkw k t jkw k k o kX
X
A
X
t
w
X
e
X
e
X
e
X
e
X
e
X
t
w
A
X
A
o o o o o2
)
cos(
2
Re
2
)
cos(
* 0 0Cálculo dos coeficientes Xn
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0 2 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0n
k
n
k
p
dt
e
dt
e
dt
e
X
dt
e
X
dt
e
X
e
dt
e
t
x
e
X
t
x
p t p n k j p t w n k j k p t w n k j k p k t w n k j k p k t jkw k t jnw p t jnw k t jkw kCálculo dos Coeficientes
p t jnw n n p t jnw k t jkw kdt
e
t
x
p
X
p
X
dt
e
t
x
e
X
t
x
0 0 0 0 0)
(
1
)
(
)
(
Base
As funções que compõem a série de
Fourier constituem uma base.
