Metodos de decomposição de dominio e multigrid para a discretização, por elementos finitos, de equações de Maxuel em duas dimensões

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..

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.

·

-Ernesto Esteves

Prudência

Métodos

de Decomposição

de Domínio

e

Multigrid

para a

Discretização

,

por

Elementos Finitos,

de Equações

de Maxwell

em

Duas Dimensões

Pro

f.

Dr.

Mario Arlindo Casarin Junior

Orientador

Janeiro de 2001

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, da Universidade Estadual de Campinas, para a obtenção

do título de Mestre em Matemática Aplicada.

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J

Métodos de

Decomposição de Domínio

e M

ultigrid

para a

Discretização,

por

Elementos

Finitos

,

de Equações

de

Maxwell

em Duas Dimensões

Banca Examinadora:

1. Prof. Dr. Mario Arlindo Casarin Jr. 2. Prof. Dr. Milton Lopes

3. Profa. Dra. Sônia Maria Gomes

Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corri-gida e defendida por Ernesto Esteves Prudêncio e aprovada pela commissão julgadora.

Campinas, 05 de janeiro de 2001.

P~r ~!~do

Casarin Jr. Orientador

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do Título de MESTRE em Matemática Aplicada.

\

P95lm

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BffiLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Prudência, Ernesto Esteves

Métodos de decomposição de domlnio e multigrid para a discrettzação, por elementos finitos, de equações de Maxwell em duas dimensões I Ernesto Esteves Prudêncio- Campmas, [S.P. :s.n.], 2001

Or1entador: Mario Arlindo Casarin Junior

Dissertação (mestrado)-Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, EstatístJca e Computação Científica.

I. Método de decompostção. 2. Método de redes múltiplas (Análise numénca) 3. Método de elementos finitos. 4. Maxwell, Equações de. I. Casarin Junior, Mario Arlindo. II. Umverstdade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica ill. Título.

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof (a). Dr (a). MARIO INDO CASARIN JÚNIOR

Aos meus pais, Cuido e Heloísa, à minha irmã, Letícia, e à minha esposa, Adriana.

AGRADECIMENTOS

Muitos são aqueles a quem sou grato por ter conseguido realizar este trabalho em Matemática Aplicada, mas sem dúvida aquele que mais se destaca é meu ori-entador e amigo Mario Arlindo Casarin Jr .. Seu talento único para a Matemática (desde a época de Olimpíadas) e sua paciência foram fundamentais para o sucesso de nosso trabalho.

Muito sou grato também à minha amada esposa, Adriana, que sempre me apoiou nesta minha decisão de voltar à vida de estudante que, espero, possa me levar em breve para um trabalho de ponta em pesquisa. Sem seu carinho constante certamente não poderia vencer meus momentos de incerteza.

Obviamente, não posso deixar de mencionar meus queridos pais, que me ensi-naram o valor da honestidade, da determinação, e a quem devo meu gosto pelos estudos. Muito importante no meu equilíbrio emocional é minha querida irmã, sempre me dirigindo serenidade e palavras de admiração.

Quero agradecer aos pais e irmãos da Adriana pelo afeto e apoio constantes. Muito devo também aos professores e pessoal do IMECC (secretarias, bibliote-ca, xerox). Um obrigado especial aos professores Boldrini, Nir, Sônia, Petrônio, Moretti, Martinez, Vera Lopes, Márcia Scialom, Marcelo Santos, Mário Matos e Milton Lopes. Muito aprendi com eles, e não foi apenas Matemática!

Grato também sou às agências CAPES e CNPq, cujo apoio foi decisivo para a realização desta tese.

Um obrigado também a todos os parentes e amigos (Anglo, Impacto, ITA, IBM, Integris, IMECC) que me apoiaram e me serviram de exemplo.

1 Introdução

2 Modelagem de Problemas Eletromagnéticos

2.1 Eletromagnetismo . . . . 2.2 Método dos Elementos Finitos . 2.3 Métodos Iterativos . . . .

3 Métodos de Schwarz e Multigrid 3.1 Métodos de Schwarz de 1 nível . 3.2 Métodos de Schwarz multi-nível 3.3 Métodos de 2 níveis . . . . 3.4 Métodos Multigrid ciclo V

4 Resultados Numéricos

4.1 Problema variacional em 2 dimensões . . . . 4.2 Gradientes Conjugados sem Precondicionamento (CGM) 4.3 Precondicionador de Schwarz de 1 nível .

4.4 Precondicionador de Schwarz de 2 níveis 4.5 Precondicionador Multigrid ciclo V 4.6 Algumas Variações

5 Análise de Schwarz 5.1 Métodos de Schwarz 5.2 Schwarz Aditivo . . .

5.3 Schwarz com sobreposição, aditivo, de 2 níveis 5.4 Schwarz aditivo de 2 níveis, V = HJ (f2) o o • o 5.5 Schwarz aditivo de 2 níveis, V

=

H0(div;

n

c

JR?)

xi 1 7 7 12 17 23 23 32 35 38 41 42 45

48

52 56 57 61

61

64 69

73

75

506 Multigrid ciclo V, V= H0(div; 0.

c

IR2 ) o o o o o o o o o o o o o o o o 85

6 Conclusões 97

A Alguns Teoremas e Conceitos Básicos 99

Ao1 Forma multi-linear ékÜ 99

Ao2 Espaço H(div; O) o o o 101

Ao3 Espaço H(rot;

n

c

lR2_{) 102}

A.4 Espaço H(rot; n c JR3) 104

Ao5 Espaços locais e espaços globais 105

Ao6 Espaços auxiliares o o o o o o o o 107

Ao7 Espaços conformes em H1 _{(O) o 107}

Ao8 Espaços de Raviart-Thomas em n

=

2 e n = 3 dimensões 108 Ao9 Espaços de Nedelec em n = 2 e n = 3 dimensões o 111 Ao10 Espaços conformes em L2(0) o o o o o o o o o o o o o o o o o 116 Aoll Decomposições o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 116 Aol2 Equivalência de problemas em H(div, O) e H(rot, O) quando 0.

c

IR2 ₁₁₇

B Implementação Computacional

Bo1 Geração de malhas de triângulos o Bo2 Sistema linear obtido o . o o o o o

119 119 120 Bo3 Matrizes de seleção, devolução, restrição e prolongamento o 123

2.1 Funções de base vetoriais locais associadas a arestas de triângulos (a) triângulo genérico (b) função de base vetorial associada à aresta 1 (c) função de base vetorial associada à aresta 2 (d) função de base vetorial associada à aresta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Domínio n nâo padrão obtido pela união de domínios padrões 01 e

n2 ...

..

...

.

...

.

...

24 4.1 Exemplos de malhas geradas sobre n =(O, 1) X (O, 1) para utilização

do método dos elementos finitos: (a) triangulação inicial para mal-has tipo A, com h = 1, a partir da qual todas as demais malhas tipo A são obtidas por refinamento uniforme (b) triangulação inicial para malhas tipo B ( 4 subdominínios quadrados de lado H = 1 /2) com h = 1/2 (c) triangulação iniciaÍ para malhas tipo C (16 sub-dominínios quadrados de lado H = 1/4), com h = 1/4 (d) malha tipo A com h= 1/8 (e) malha tipo B com h= 1/8 (f) malha tipo C com h

=

1/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Soluções do problema (a) Solução exata (b) Solução aproximada

obtida via CGM com malha tipo A com h= 1/8 . . . . . . . . . . 45 4.3 Comportamento do erro

llü-

ühiiL2(n)2 para soluções obtidas com

malhas tipo A. No eixo vertical temos log do erro; no eixo horizontal temos log de h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 4.4 Matriz 24448 x 24448, esparsa, para malha tipo A com h= 1/64 47 4.5 Matriz reordenada através do comando "symrcm{)"do MATLAB 47 4.6 Exemplos de expansão de subdomínios com fJ = 1h: (a) em malha

tipo A com h= 1/4 (b) em malha tipo B com h = 1/4 . . . . . . . 48

4.7 Comparação do número de condição obtido com o precondiciona-mento através de diversos métodos de Schwarz no caso de malhas tipo C e h= 1/32: (a) com 6

=

lh, (b) com 6

=

2h. Em ambas as figuras temos, da esquerda para a direita, os seguintes métodos: aditivo de 1 nível, multiplicativo de 1 nível, aditivo de 2 níveis, mul-tiplicativo de 2 níveis. Os valores em (a) são 94.4, 11.9, 7.5 e 1.3. Os valore em (b) são 44.8, 5.8, 5.9 e 1. 2. . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.8 Malhas geradas para utilização do método dos elementos finitos no

problema 4.1.1 sobre um domínio não convexo. (a) triangulação inicial para malhas tipo D, com h = 1, a partir da qual todas as demais malhas tipo D são obtidas por refinamento uniforme (b) triangulação inicial para malhas tipo E, com h= 1 (c) malha tipo D com h= 1/8 (d) malha tipo E com h= 1/8 . . . . . . . . . . . . 58

B.1 Funções de base vetoriais locais associadas a uma mesma aresta comum a 2 triângulos adjacentes têm projeções opostas sobre esta aresta.

B.2 Sentido global de referência adotado neste trabalho para as funções 121

de base vetoriais globais. . . . . .. 121 B.3 Ilustração do processo de interpolação entre uma malha grossa e

uma malha fina aninhada: (a) relação genérica entre uma aresta "q" da malha grossa e uma aresta "p" da malha fina (b) apresentação esquemática da matriz

wt

de interpolação entre os 2 níveis. 124

4.1 Quantidade de arestas internas em cada tipo de malha, em função de h. O número de arestas internas é justamente a ordem do sistema linear Au

=f.

O parâmetro H mede o diâmetro dos subdomínios.

Não consideramos casos em que H < h. 44

4.2 Resultados para CGM para diferentes malhas e valores de h. Os valores de iterações, tempo e fiop são aqueles consumidos pelo al-goritmo CGM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Resultados para PCGM com Schwarz aditivo de 1 nível com malhas

tipo B (H=l/2) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e ftops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . . . 50 4.4 Resultados para PCGM com Schwarz aditivo de 1 nível com malhas

tipo C (H=l/4) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e fiops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . . . . . 50 4.5 Resultados para PCGM com Schwarz multiplicativo de 1 nível com

malhas tipo B (H=1/2) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e flops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . 51 4.6 Resultados para PCGM com Schwarz multiplicativo de 1 nível com

malhas tipo C (H=l/4) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e fiops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . 51 4.7 Resultados para PCGM com Schwarz aditivo de 2 níveis com malhas

tipo B (H=1/2) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e fiops

são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . 54 4.8 Resultados para PCGM com Schwarz aditivo de 2 níveis com malhas

tipo C (H=l/4) e variando fJ. Os valores de iterações, tempo e ftops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . 54

4.9 Resultados para PCGM com Schwarz multiplicativo de 2 níveis com malhas tipo B (H=l/2) e variando 8. Os valores de iterações, tempo e ftops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . 55 4.10 Resultados para PCGM com Schwarz multiplicativo de 2 níveis com

malhas tipo C (H=1/4) e variando 8. Os valores de iterações, tempo e ftops são aqueles consumidos pelo algoritmo PCGM. . . . . . . . 55 4.11 PCGM com Multigrid ciclo V de 2 a 5 níveis . . . . . . . . . . . . 56 4.12 Experimentos numéricos com o problema 4.1.1 sobre domínio e

mal-has da Figura 4.8, com h

=

1/16. Os métodos de Schwarz foram utilizados com malhas tipo E, com 2 níveis, com H =1/4 e com 8 = 1h. Os métodos Multigrid foram utilizados na forma de ciclo V com malhas tipo D e com 4 níveis (h =1/16, 1/8, 1/4 e 1/2). O método CGM foi também utilizado com malhas tipo D. . . . . . . 59

RESUMO

Esta tese apresenta os métodos de Schwarz como algoritmos eficazes para a

obtenção de precondicionadores para aceleradores de Krylov e de relaxadores para métodos multigrid, os quais, por sua vez, também podem ser vistos como casos particulares de métodos de Schwarz multi-nível.

Para este fim, é feita a implementação computacional e a análise de

difer-entes algoritmos para a resolução numérica de sistemas de equações lineares resul-tantes da aplicação do método dos elementos finitos a problemas vetoriais varia-cionais relacionados às equações de Maxwell para fenômenos eletromagnéticos em

domínios do plano. Tais sistemas de equações lineares são em geral muito mal condicionados e são resolvidos, neste trabalho, via método dos gradientes

conju-gados, precondicionado ou não. Utilizam-se como precondicionadores os métodos

de Schwarz (métodos de decomposição de domínio com sobreposição, aditivo e multiplicativo, de 1 nível e de 2 níveis) e os métodos multigrid. Escolhem-se como

relaxadores o método de Jacobi pontual ou o método de Schwarz aditivo; este

último mostra-se extremamente efetivo nesta situação.

Todos estes métodos são comparados entre si de acordo com a quantidade

de iterações para se atingir uma redução de 8 ordens de magnitude do resíduo

inicial; relata-se também o número de condição do sistema linear precondicionado resultante.

ABSTRACT

This thesis presents Schwarz algorithrns as efficient preconditioners for Krylov acceleration and as efficient smoothers for rnultigrid rnethods, which can also be seen as particular cases of multi-levei Schwarz rnethods.

We perforrn the cornputational irnplementation and the analysis of different algorithms for the numerical solution of systems of linear equations resulting from the application of finite elements method to variational vectorial problems related to Maxwell equations for electromagnetic phenomena on plane domains. Such sys-tems of linear equations are in general very ill conditioned and are solved, in this thesis, using the conjugate gradients method, with or witbout preconditioning. \Ve use, as preconditioners, Schwarz algorithms (domain decompostion methods with overlapping, aditive and multiplicative, 1 levei and 2 leveis) and multigrid algo-rithms. We choose as relaxation methods the point-Jacobi smoother or the aditive Schwarz smoother, which turns out to be extremely efficient in this situation.

All these methods are compareci with each other according to the number of iterations needed to achieve a reduction of 8 orders of magnitude on the initial residual; we also report the condition number of the resulting preconditioned linear system.

Introdução

Fenômenos elétricos e magnéticos sempre despertaram muita curiosidade,

pas-sando a ser mais sistematicamente estudados a partir do século XVIII, com leis

experimentais obtidas por cientistas como Coulomb, Faraday e Ampére, entre ou-tros. A sistematização das diversas leis experimentais em um pequeno conjunto de

equações, obtida por Maxwell no final do século XIX, constitui-se numa das mais belas passagens da ciência moderna. É inquestionável todo o progresso obtido pelo homem a partir do domínio de fenômenos eletromagnéticos. Podemos citar, por exemplo, o telefone, o rádio, o radar, a fibra ótica, entre muitos outros inventos.

Um típico problema em eletromagnetismo consiste na previsão do comporta-mento da propagação de ondas eletromagnéticas no interior de um guia de ondas

n

c

JR3 _{com superfície perfeitamente condutora e interior não perfeitamente}

con-dutor, podendo até ser oco (vácuo ou ar apenas). Os campos elétrico

E

e magnético

il

atuam conjuntamente. O problema pode ser colocado em termos de um destes dois campos e o outro pode ser encontrado a partir do primeiro.

Para estudarmos o comportamento transitório aproximado do campo

eletro-magnético, podemos, por exemplo, realizar uma discretização no tempo através

do método das diferenças finitas e obter um problema de valor de contorno, para

cada passo no tempo, dado por: (PVC) Encontrar

E

E H2₍₀₎3 _{tal que:}

rot(J.L-1_rotE)

₊

_{AE =}

_g(x

₎

_,

_em

n

{ X ií

=

Ô, em 8f2

onde J.L, A E C3_{x3 ,}

_g(x)

_{E L}2₍₀₎3 _{e ií é o vetor unitário normal externo a}

_an.

A condição de contorno acima estabelece que o campo elétrico tenha compo-nente tangencial nula ao longo de toda a fronteira, uma vez que assumimos um guia de ondas de superfície perfeitamente condutora.

No estudo do ondas estacionárias, assumimos que o campo elétrico tenha seu comportamento governado pela expressão:

onde w é a freqüência de propagação e E(x) independe do tempo e tem partes real e imaginária. No caso de um guia de ondas cujo interior é o vácuo (isotrópico, homogêneo e sem perdas}, chegamos à seguinte equação:

_.

(

w

)2 _.

rot(rotE) = ~ E,

onde c é a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo. Os au-tovalores desta equação fornecem diferentes valores de w, chamados de freqüências de corte. A cada freqüência de corte está associado um modo de propagação de ondas eletromagnéticas.

Em ambos os casos (problemas transitórios e estacionários) obtemos formu-lações variacionais contínuas nas quais o operador rotacional tem papel predomi-nante. Nestes casos utiliza-se o espaço de Hilbert H(rot;

n

c

JR3), formado pelas funções vetoriais que pertencem a L2_{(0)3 e cujos rotacionais também pertencem} a L2₍₀₎3_.

Existe uma extensa literatura (ver principalmente [32] e [52]} sobre a evolução do emprego do método dos elementos finitos a problemas eletromagnéticos. Num primeito momento, podemos pensar em trabalhar com cada componente do cam-po elétrico em separado, obter problemas escalares e trabalhar com funções de base nodais. Esta escolha, no entanto, força uma continuidade total do campo elétrico na interface de elementos adjacentes, continuidade esta incompatível com o comportamento físico do mesmo, pois na interface entre meios de propagação o campo elétrico tem apenas a sua componente tangencial preservada. Quando, por exemplo, estamos interessados em calcular as freqüências de corte em um guia de ondas, a utilização de funções de base nodais pode nos levar à obtenção de modos de propagação espúrios, não existentes na realidade.

Esta situação motiva a utilização de outros espaços de elementos finitos, entre os quais podemos destacar o espaço de Nedelec de primeira ordem para

triangu-lações

Th

de tetraedros ou triângulos, definido assim: N'Di(n) := {ü E H(rot; n) 1

ül

E R1 (K)

K VK E Th}.

Os espaços locais R1(K) são dados por (em n=2 ou n=3 dimensões):

RI(K)={ü+v, ÜElPo(Kt, vEH\(Kt

lv·x=O}

onde lPk(n) é o conjunto dos polinômios de grau total~ 1 e lPk(O) é o conjunto dos polinômios homogêneos de grau total

=

1. Os graus de liberdade nestes espaços locais, no caso de malhas de triângulos, correspondem ao valor da componente tangencial das funções de base vetoriais ao longo das arestas. Dizemos então que trabalhamos com funções de base vetoriais associadas a arestas. No caso do espaço de Nedelec de primeira ordem, podemos utilizar funções de base que preservam continuidade apenas da componente tangencial ao longo de urna aresta de interface entre 2 elementos adjacentes da malha. Pode-se mostrar que os elementos finitos de Nedelec são conformes em H(rot, n).

A discretização por elementos de Nedelec produz um sistema Au =

f

de equações lineares. Para sistemas de ordem muito grande, principalmente aque-les resultantes de problemas em 3 dimensões, os métodos diretos de resolução tornam-se impraticáveis, tanto no quesito de número de flops (consumo de CPU) quanto no quesito quantidade de memória necessária (consumo de memória). A limitação de recursos computacionais é a principal motivação para a utilização de métodos iterativos, dentre os quais podemos destacar o método dos gradientes conjugados (para problemas simétricos e positivos definidos), o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel.

Além destes métodos, vale destacar também os métodos de Schwarz, ou de decomposição de domínio, e os métodos multigrid, os quais, por sua vez, também podem ser vistos como casos particulares de métodos de Schwarz multi-nível; ver Capítulo 3.

Para simulações computacionalmente exigentes, o consumo de memória ejou CPU tende a ser muito alto mesmo para métodos iterativos. Nestes casos é conve-niente a utilização de um ambiente computacional com vários processadores tra-balhando em paralelo. É neste ponto que os métodos de decomposição de domínio se tornam particularmente interessantes.

A decomposição de domínios foi originalmente proposta por Schwarz no final do século XIX como um algoritmo para demonstrar a existência de soluções de

problemas de valor de contorno. O domínio original "não padrão'' é decompos-to em subdomínios mais simples, para os quais soluções analíticas são conheci-das. Trabalha-se então sucessivamente sobre este subdomínios, de forma a "co-municar" resultados entre os sub-problemas, convergindo-se para a solução global desejada.

Com o surgimento de computadores paralelos e seu potencial para a resolução numérica de problemas tridimensionais "altamente desafiantes", a decomposição de domínios voltou a despertar interesse como uma maneira de reduzir o tempo ou o uso de memória para a resolução do sistema linear resultante da discretização de um problema: ao invés de se trabalhar sobre um único domínio

n

,

trabalha--se em vários subdomínios

ni

que, quando unidos, fornecem o domínio original

n.

Assim evita-se a solução direta de um único problema (potencialmente caro e que exige recursos muitas vezes indisponíveis) sobre todo o domínio

n

pela solução sucessiva de problemas relacionados aos subdomínios

nr

O processo todo é "gerenciado" e sincronizado por um método iterativo global. Se tal método for convenientemente construído (por exemplo, métodos de Schwarz aditivos), vários processadores podem ser utilizados em paralelo, com cada processador cuidando essencialmente da solução de problemas em apenas um subdomínio; ver Capítulo 3. Vale notar qye a sobreposição dos Sl₃ é permitida e, como veremos, até benéfica para acelerar o método iterativo.

Em geral temos que decidir entre várias opções de implementação e encontrar uma solução de compromisso em relação aos seguintes fatores: número de sub-domínios, sobreposição entre os subdomínios, convergência numérica e paralelis-mo. Quanto ao tempo total de processamento, muitos são os fatores que podem afetá-lo: poder da CPU, utilização de memória cache, de memória RAM e de memória em disco, além da comunicação e sincronização entre computadores no caso de ambientes paralelos.

Este trabalho visa apresentar os algoritmos de Schwarz como algoritmos eficazes para a obtenção de precondicionadores para métodos de subespaços de Krylov e de relaxadores para métodos multigrid. Implementamos computacionalmente vários métodos para a solução de sistemas lineares resultantes da aplicação de elemen-tos finitos a certos problemas vetoriais variacionais em domínios do plano. Estes problemas são provenientes do estudo do comportamento transitório do campo elétrico.

Em nossos experimentos usamos o espaço de elementos finitos de Nedelec de primeira ordem para malhas de triângulos. O sistema linear obtido resulta ser muito mal condicionado e é resolvido através do método dos gradientes conjuga-dos: sem precondicionamento (CGM), precondicionado (PCGM) com algoritmos de decomposição de domínio aditivos e multiplicativos, de 1 nível e de 2 níveis, e precondicionado (PCGM) com métodos multigrid padrão (i.e., com relaxador de Jacobi pontual) e com relaxador de Schwarz aditivo. Estes métodos são compara-dos entre si. Privilegiamos, em nossa análise comparativa, o número de iterações e o número de condição do problema precondicionado.

Procuramos fazer um texto auto-suficiente. Os conceitos básicos e principais pré-requisitos aparecem em apêndices. Com isso procuramos também atingir uma certa uniformidade de notação, o que certamente não ocorre entre as dezenas de fontes (livros e principalmente artigos) consultadas. Esperamos também que o presente texto possa servir de referência inicial para os interessados em estudos matemáticos e algoritmos computacionais para a modelagem de fenômenos eletro-magnéticos.

No Capítulo 2 fazemos uma breve apresentaçào das equações de Maxwell e formulamos alguns problemas variacionais contínuos e discretos a partir destas equações. Apresentamos também funções de base vetoriais, o sistema linear obtido a partir de um dos problemas discretos e alguns métodos iterativos clássicos a serem utilizados na resolução deste sistema linear. .

No Capítulo 3 apresentamos os algoritmos de Schwarz, que são então particu-larizados como algoritmos de decomposição de domínios com sobreposição e como algoritmos multigrid.

No Capítulo 4 apresentamos resultados numéricos obtidos com os algoritmos estudados nos capítulos precedentes. Esta é uma das partes principais de nossa contribuição.

No Capítulo 5 estudamos mais abstratamente e analisamos a convergência de alguns destes algoritmos.

O Apêndice A concentra um conhecimento mais básico, útil para um melhor entendimento do Capítulo 5 principalmente.

No Apêndice B apresentamos detalhes sobre o nosso programa escrito em MAT-LAB para a obtenção dos resultados numéricos. Limitamo-nos a problemas do plano. O principal limitante para produzirmos um programa em 3 dimensões foi

Modelagem de Problemas

Eletromagnéticos

Neste capítulo, partindo das equações básicas de Maxwell, chegamos a uma equa-ção que governa o comportamento do campo elétrico. Realizamos então uma dis-cretização no tempo via diferenças finitas e obtemos um problema diferencial de valor de contorno, que também é formulado variacionalmente. Realizamos então uma discretização no espaço através do método de elementos finitos, obtendo uma formulação variacional discreta. Após a apresentação de certas funções de base vetoriais, chegamos, a partir do problema variacional discreto, a um sistema linear de equações. Descrevemos então alguns métodos iterativos para a resolução do mesmo.

2.1 Eletromagnetismo

Os fenômenos eletromagnéticos podem ser descritos por 6 equações vetoriais em 6 incógnitas. Nestas equações todas as grandezas vetoriais são funções

v

dadas por

v=

v(x,

y

,

z, t)

=

v(x,

t).

-

as

rotE = - - (Lei de Faraday) 8t

-

énB

-

-rot1í-

Bt

=

:li+

..Jc

(Lei de Maxwell-Ampere)

- - 8pe

div(.:li

+

:lc)

=

-

at

(Eq. da Continuidade)

v= €E

7 (2.1)

(2

.2

)

(2.3)

(2.4)

(2.5) (2.6) As incógnitas são [ , a intensidade do campo elétrico (medida em Vfm ou kg ·m/ A· s2_),

B

,

_{a intensidade do fluxo magnético (W eber fm}2 _{ou kg /A· s}2

),

il,

a

intensidade do campo magnético (A/m),

i5

,

a intensidade do fluxo elétrico (C/m2

ou A · s/m2_),

Jc,

_{a densidade de corrente elétrica induzida, de condução (A/m}2

) e Pe, a densidade de carga elética (C fm3 ou A· sfm3).

A quantidade

Ji

(densidade de corrente elétrica fornecida, medida em A/m2 ou Afm2

) é um dado do problema, assim como os três parâmetros constitutivos t (permitividade/ coeficiente dielétrica(o), em farads/m ou A2 • s4 fkg · m3), f.-t ( per-meabilidade magnética, em henriesfm ou kg·m/A2_·s2_{) e a (condutividade, medida} em síemens/m ou A2 _{• s}3 _{jkg · m}3_{). Numa situação mais geral, tais parâmetros} constitutivos são modelados como tensores.

As equações {2.4), (2.5) e (2.6) são chamadas de relações constitutivas e

des-crevem as propriedades macroscópicas do meio. Para o vácuo, por exemplo, temos

10-9 A2 · s4 _{kg · m}

t = fo ==: 367r kg. m3, J1. = Jl.o = 47r x 10-7 A2 . s2 e a

=

O.

Um material perfeitamente condutor (i.e., sem perdas elétricas) caracteriza

--se por a = oo (condutividade infinita), ou seja, campos nulos em seu interior.

Em meios isotrópicos os parâmetros constitutivos resumem-se a escalares. Meios

homogêneos são aqueles nos quais tais parâmetros não dependem da posição. Meios com perdas correspondem a valores complexos destes parâmetros. A velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas num meio é dada pela relação c

=

~. No vácuo, por exemplo, temos c

=

Co ~ 3 x 108_{m/ s.}

A partir das equações (2.1) a (2.3) obtém-se

divi5

= Pe

(Lei de Gauss) e

divB = O (Lei de Gauss Magnética)

(2.7)

(2.8)

equações estas que coerentes com o significado físico e origem experimental das

grandezas envolvidas,

Assumindo €, J1. e a independentes do tempo, obtemos, a partir das equações

(2.1) a (2.6), que:

Este sistema de equações pode ser concisamente escrito como: onde:

au +

M-1_AaV

=f

8t

U=[~]

M = [ é &k

IL~k

l

A

- [

o -root

J

u - rot A ₀ = A = [ O -rot

l

rot O (operador de Maxwell)

(2.10)

(2.11)

O operador de Maxwell é um operador linear e não limitado. É possível mostrar que o operador iA é auto-adjunto sobre o espaço L2₍₀₎3 _{x L}2₍₀₎3

=

_L2₍₀₎6

com-plexo e que

-A

é um gerador infinitesimal de um grupo unitário { G(t)} em L2(D)6 de classe C0 _{([37, pág. 146] [18, pág. 344] [16, pág. 266) [17, pág. 435]).}

A partir do sistema acima, podemos obter uma equação na variável

f:

(2.12)

Aplicando diferenças finitas para discretização no tempo, usando o método de Crank-Nicolson, obtemos:

1 [ _

1

(fn+1+2En+En-l)

l

E:+l-2fn+En-1

é- rot IL rot

ou seja,

_ 1 - ( 4E

2a) -

__

rot(J.J. rotEn+l)

+

ó.t₂

+

ó.t En+l = g(x), (2.13)

onde §(i) depende apenas da corrente

.ft

e de passos anteriores do campo elétrico [.

Denotando então A= (~:2 +~),chegamos ao seguinte problema:

Problema 2.1.1 Seja

n

um conjunto aberto conexo limitado em 1R:3, com fronteira Lipschitz 8D. Encontrar ü E H2_(0.)3 _{tal que:}

rot(J.L-1rotü)

+

Aü =§(i), em f2 e (2.14)

Ü X iJ = Õ, em 8Q,

onde A E

CJ

x

3

, §(i) E L2(D)3 e iJ é o vetor umtário normal externo a 8D.

Este problema ocorre, por exemplo, no caso de um guia de ondas cilíndrico de superfície perfeitamente condutora e interior não perfeitamente condutor, podendo

até ser oco (vácuo ou ar apenas). O campo eletromagnético se manifesta no interior do guia de ondas de tal forma que o campo elétrico é sempre perpendicular à fronteira perfeitamente COndutora, daí a condição Ü X iJ

=

Õ em 8Q.

O espaço natural para a formulação variacional deste problema é o espaço

H(rot; n

c

1R:3_{) das funções vetoriais que pertencem a L}2_(0.)3 _{e cujos rotacionais}

também pertencem a L2_(D)3 _{_ Tal espaço é um espaço de Hilbert com produto}

interno e norma dados por:

(ü, V)H(rot;ncJRl) ·- (ü, VJL2(n)3

+

(rot ü, rot v)L2(n)3

llVJin(rot;íldll) -- IIV11L2(n)3

+

llrot viiL2(í1)3

O espaço H0(rot;

n

c

1R3) é definido como o fecho do espaço 'D(D)3 na norma

ll·lln(rot;ncJRl)· Pode-se provar que, no caso de domínios limitados com fronteira de

Lipschitz

r

=

80, este espaço H0(rot;

n

c

1R3) consiste justamente do subespaço

de H(rot;

n

c

lR.3_{) das funções que satisfazem}

v

_X

vir

₌

_õ

_,

_{onde;; denota o vetor}

unitário normal externo a

r.

Esta relação entre H0(rot;f2

c

lR.3) e H(rot;n

c

1R3) é análoga àquela entre os espaços

H

J

(O) e H1 _(n).

Para ü E H(rot; f2) e

v

E H1₍₀₎3

, vale [55] o teorema de Green na forma

r

rotÜ ·V dx

-1

Ü · rotV dx =

r

(iJ X Ü) ·V df,

Aplicanto este teorema em conjunto com a identidade vetorial ã·(bxê) = b·(cxã) =

c.

(ã X

b),

obtemos, no problema 2.1.1, com v E Ho(rot; n):

In

rot(J-L-1rotü) ·v dx =

r

(J.L-1_{rotii) · rot'Ü dx}

₊

r

_(ii

X (J-L-1rotii)) ·V d"(

ln lan

r

(J-L-1rotÜ) · rotiJ dx

+

r

(v X ii) · (J-L-1_{rotÜ)) d"!}

ln lan

L

(J-L-1rotü) · rotiJ dx .

Obtemos então o seguinte problema variacional equivalente ao problema 2.1.1:

Problema 2.1.2 Encontrar ii E H0(rot; 0.) que satisfaz

L

(J-L-1rotü) . rotV dx

+

l

Aii.

v

dx =

l

§(i).

v

dx

v

v

E Ho(rot;

n)

Fazendo agora hipóteses simplificadoras de meio isotrópico (termos J.1 e A es-calares) e homogêneo (termos J.1 e A independentes da posição), e denotando

T 2 = J-L-1 A - l,

f=

A -1§, chegamos ao seguinte problema variacional:

Problema 2.1.3 Encontrar ii E Ho(rot; 0.) que satisfaz:

(ü, v)L2(í1)3

+

T2(rotü, rotV)Lz(n)3 = ([, v)P(n)3 v

v

E Ho(rot; O)

onde TE C e [(i) E L2(0?.

Para

n

c

IR2_{, com fronteira Lipschitz}

r

_{= 80., seja}

_f=

_(t

1, t2) = ( -v2 , v1 )

o vetor tangente, definido a partir das coordenadas do vetor normal externo ii. Sejam também os seguintes espaços de Hilbert:

H(rot;

n

c

lR2) =

{v

E L2(0.)2

_I

_rotesc

_v

E L2(0.)} H0(rot;

n

c

IR2) = {v E H(rot;

n

c

IR2); v· ~r = 0},

análogos aos respectiYOS espaços para

n

C

R'3.

O problema variacional em domíni-os do plano é:

Problema 2.1.4 Encontrar ii E H0(rot; 0.) que satisfaz:

(ü, v)Lz(n)Z

+

T2(rotescÜ, rotescV)L2(n)

=

(f~ v)L2(n)Z

v

v

E Ho(rot; D)

É comum, no estudo da propagação de ondas eletromagnéticas, ater-se apenas

ao comportamento estacionário das ondas, deixando de lado o comportamento

transitório. Neste caso assume-se que as grandezas eletromagnéticas tenham seu

comportamento governado pelas seguintes expressões:

~(x, t)

=

Re(Ji(x) · e-nut) E(x, t) = Re(E(x) · e-iwt)

onde w é a freqüência de propagação das ondas, i i(x) e E(x) independem do tempo

e têm partes real e imaginária. Substituindo tais expressões em {2.12), obtemos a

chamada equação do campo elétrico harmônico:

- 2 (

1.0

) -

-rot(J.t-1rotE)-w €

+--;:;

E= iwJ, (2.15) Tomemos como exemplo Ji = Õ e o meio sendo o vácuo (isotrópico, homogêneo

e com u =O e com Pe = O). Chegamos então à seguinte equação (c= 1/ .jiif.):

-

(w)2

-rot( rotE)

=

~ E

Usando agora a identidade vetorial "V x V x Ê = "V"V ·É - "V2É e o fato de

que "V·

E=

"V· (d5) = €Pe =O, obtemos a equação de Helmholtz:

2 -

(w)

2 - ...

V E+

c

E = O; (2.16)

Esta equação, acompanhada de condições de fronteira apropriadas, define um

problema de autovalores que fornecem valores de w, chamados de freqüências de

corte. A cada freqüência de corte está associado um modo de propagação de ondas eletromagnéticas.

2.2 Método

dos Elementos

Finitos

A discretização dos problemas 2.1.3 e 2.1.4 começa com a geração de uma seqüência

de triangulações

Th

parametrizadas por h (tamanho característico).

Existe uma extensa literatura (ver principalmente [32] e [52]) sobre a evolução

do emprego do método dos elementos finitos a problemas eletromagnéticos. Num

primeito momento, podemos pensar em trabalhar com cada componente do

base nodais. Esta escolha, no entanto, força uma continuidade total do campo

elétrico na interface de elementos adjacentes, continuidade esta incompatível com

o comportamento físico do mesmo, pois na interface entre meios de propagação o

campo elétrico tem apenas a sua componente tangencial preservada. Quando, por

exemplo, estamos interessados em calcular as freqüências de corte em um guia de

ondas, a utilização de funções de base nodais pode nos levar à obtenção de modos

de propagação espúrios, não existentes na realidade.

Esta situação motiva a utilização de outros espaços de elementos finitos. Vamos utilizar como espaço de discretização os espaços de Nedelec, definidos da seguinte forma para malhas de tetraedros (dimensão n

=

3) ou triângulos (n

=

2):

NV~(O) := {ü E H(rot;D)

I

ül E 'R.k(K) VK E 7h}

K

NV~.h(O) _, := { ü E Ho(rot; n)

I

ül _K E 'R.k(K) VK E 7h}

O número k E N é chamado de ordem do espaço. Os espaços locais 'R.k são dados por:

nk(K) = {ü +v, ü E ll\-l(Kt, v E

Pk(Kt 1

v. X= 0}, (n = 2, 3)

onde JP>k(n) é o conjunto dos polinômios de grau total ~ k e ll\(!1) é o conjunto dos polinômios homogêneos de grau k.

Para n = 3, a dimensão do espaço local é (k+3)~k+2)k e os graus de liberdade

são dados por (ver Apêndice A):

l

ü ·

iP

d')', p E 1Pk-l (E), em cada aresta E

l

(ü x ii) ·

p

d')',

p

E 1Pk_2(F)2, k

>

1, em cada face F

Para n

=

2, a dimensão do espaço local é (k

+

2)k e os graus de liberdade são dados por (ver Apêndice A):

Com estes graus de liberdade, os elementos finitos são unisolventes. Estes ele-mentos finitos são conformes em H(rot; n). Além disso, vale a seguinte estimativa para n = 2 [55, pág. 25]:

(2.17)

onde n~Tk é o operador de interpolação de ü E H(rot; D.) no espaço NV~(il)

c

H(rot; D.) e C é uma constante que depende apenas dos parâmetros de aspecto dos elementos de

Th-Ressaltamos que as funções de base locais são vetoriais e associadas a arestas. Neste trabalho restringimos nossos experimentos numéricos para n

=

2 e k

=

1 e reduzimos os graus de liberdade a valores da componente tangencial ao longo de cada aresta de um triãngulo. Empregamos as seguintes fórmulas para as funções de base locais no e-ésimo triângulo Ke com arestas i, i = 1, 2, 3 (ver págs. 80, 124 e 235 de [32], além da Figura 2.1 aqui):

~e 1 - l~(L~\7 L2- L2\7 Ln, ~e 2 - lí(Li\7 L~- Lj\7 Li), ~e 3 - l3(L3\7 L~- L1\7 L3),

onde

li

denota o comprimento da aresta i de Ke,

Li(x,

y) é dada por ae

+

b~x

+

ce.y Lf(x, y)

=

3 3 1 1

x1

Y!

6e =

~

1

X~

y~

2 1

x3

yj a~ l 26e b~ l e e Yi+l- Yt+2 e c~ l

Os índices das coordenadas x e y são tomados a módulo 3 e correspondem aos vértices de Ke.

(a)

(c) (d)

Figura 2.1: Funções de base vetoriais locais associadas a arestas de triângulos (a) triângulo genérico (b) função de base vetorial associada à aresta 1 (c) função de base vetorial associada à aresta 2 (d) função de base vetorial associada à aresta 3

É fácil ver que a função ~r é dada explicitamente por:

ou seja, tal função pertence, por definição, ao espaço local de Nedelec Rk(Ke) de

ordem k

=

1 em n

=

2 dimensões, o mesmo ocorrendo para 'ÍÍ~ e 'ÍÍj.

Note-se na Figura 2.1 que as 3 funções vetoriais locais "apontam"no sentido

anti-horário e têm suas projeções constantes e iguais ao vetor unitário sobre as res-pectivas arestas. As projeções são nulas sobre as outras duas arestas do triângulo. De fato: para i = 1, 2, 3, seja

i:

o vetor tangente a li, unitário, no sentido do nó i

para o nó i+ 1 (módulo 3). É fácil verificar que:

ou seja, com relação à função

LHx

,

y), por exemplo, pode-se afirmar:

• corresponde ao plano que assume valor 1 sobre o nó 1 e valor O sobre os

demais dois nós do triângulo, como se fosse uma função de base local escalar, associada ao nó 1;

• sobre

h:

vai caindo linearmente, do valor 1 sobre o nó 1, para o valor O sobre o nó 2 do triângulo e é tal que \7 L~·

i;

=

-t;

• sobre 12 : vale O e é tal que V' L~ · ~ = O;

• sobre l3: vai caindo linearmente, do valor 1 sobre o nó 1, para o valor O sobre o nó 3 do triângulo e é tal que \7 L~·

i;

=

+t-Afirmações equivalentes podem ser feitas com relação às funções

LHx,

y) e L3(x, y). Assim, com relação à função de base vetorial local ~~, por exemplo, vemos que:

• em l1 : \7 L~·~ =

t

e \7 L~

·i;

=

-t,

ou seja, ~T

·i;

= L1

+ L~

=

1; • em l2 :

L!

= o

e V

Li

·

~

=

O, ou seja, ~i ·

t;

=

O;

• em l3 : L~

=

O e V' L~ ·

i;

=

O, ou seja, ~~ ·

i;

=

O.

Afirmações análogas podem ser feitas com relação às funções ~~ e ~3-

Lem-bramos que no caso de funções de base nodais, uma função de base global associada

a um nó assume o valor 1 sobre este nó e o valor O (zero) sobre todos os demais nós adjacentes a este mesmo nó; ela tem seu suporte restrito apenas aos elementos vizinhos ao nó em em questão. Acabamos de constatar que uma função de base global ~a, associada a uma aresta global "a", conforme utilizada em nosso

traba-lho (comportamento local ilustrado na Figura 2.1), tem características análogas: a sua componente tangencial é constante (e de módulo 1) sobre a aresta "a" e nula

sobre todas as demais arestas adjacentes e tem (a função) sua atuação restrita

apenas aos elementos (no máximo 2) que a compartilham.

Estudamos então o seguinte problema variacional discreto:

Problema 2.2.1 Dados

n,

À e

l

como no problema {2.1.4}, encontrar üh E NV~;h (O) que satisfaz

A solução aproximada procurada é:

nEaliD

Uh=

:L

/3a · {jia a=l

onde nEallD é o número total de arestas (edges) em

n

e f3a é o coeficiente real associado à função de base vetorial global ~a. por sua vez associada à aresta de índice global "a". Fazendo

v=

~1, ~2, ... , ~nEallD, obtém-se o sistema linear

(2.18) onde Z1 e Z2 são matrizes de ordem nEallD associadas respectivamente às formas bilineares (·, ·)L2(n)n e (rotesc·, rotesc·)L2(n),

iJ

é o vetor coluna com entrada f3a e

d

é o lado direito associado a { As matrizes Z1 e Z2 são simétricas e positivas

definidas. Além disso, como a condição de fronteira é üh x iJ = Õ, a componente tangencial de üh deve ser nula ao longo de ân. Portanto, a solução

jJ

satisfaz

f3a = O para todas as arestas da fronteira, ou seja, o problema se reduz à solução de

(2.19)

onde Z é uma submatriz de Z, de ordem nEíntD (número total de arestas no interior de

n)

,

relativa a todas aquelas componentes de Z relacionadas às arestas interiores. O mesmo pode ser dito de Z₁ (Z₂,

§_,

4)

com relação a Z1 (Z2,

jj,

d~ respectivamente). Daqui em diante a equação

z}_

í1

será escrita como

Au

=

f

(2.20)

2.3

Métodos Iterativos

Até recentemente, métodos diretos de solução de sistemas lineares esparsos e grandes eram os preferidos devido principalmente à robustez e comportamento previsível. No entanto, com a utilização cada vez maior de modelagens tridimen

-sionais, nem mesmo os mais bem sucedidos métodos diretos puderam contornar o problema de alta demanda por memória e processamento. Isto abriu campo de pesquisa para métodos iterativos, que se mostraram também mais fáceis de serem eficientemente implementados em computadores de altíssima performance [50].

Muitos métodos iterativos usados para a resolução de um sistema linear

Au=

f

podem ser interpretados como métodos de Richardson:

onde u<k) representa a solução aproximada após k passos do método, TJ

>

O é um parâmetro de relaxação e B representa um precondicionador. Os parâmetros TJ e

B são explicados logo a seguir.

A iteração (2.21) pode ser reescrita de diversas formas:

r{k+l) = (I - ryAB)r(k), ou

e<k+t) = (I- 77BA)e(k),

(2.22) (2.23) (2.24) onde c<k+I) = u(k+l) - uCk), rCk) =

f

-

Au(k), e e(k) = u - uCk) representam respe c-tivamente a correção, resíduo e erro após a k-ésima iteração.

O parâmetro de relaxação TJ

>

O é usado para obter matrizes de propagação de erro E= I - ryBA com espectro estritamente contido na bola unitária, garantin

-do portanto a convergência do método. É fácil ver que, se A e B são positivas definidas, e 17 for escolhido apropriadamente, o raio espectral de I - 77BA satisfaz

I\: (BA) - 1 p(I -TJBA)

~

x; (BA)

+

1'

e portanto quanto "mais próximo"de A-1 _{for o comportamento de B, melhor} será o método, isto é, em um menor número k de passos será atingida uma cer-ta precisão. Diferentes métodos iterativos correspondem a diferentes formas do precondicionador B.

Dois exemplos de métodos iterativos clássicos são o método de Jacobi e o de Gauss-Seidel. Para a aplicação destes algoritmos escrevemos A como A

=

-L+ D- R, com L triangular estritamente inferior, D diagonal e R triangular

estritamente superior. Seja O~ w

<

2 e u<0> uma aproximação inicial.

Algoritmo 2.3.1 Algoritmos ponto-Jacobi e ponto-Gauss-Seidel

• Jacobi:

u<k+I) - [(1- w)J

+

wD-1(L + R)]u(k)

+

wD-1

f

- CJ(w)u(k)

+

wD-1

_f

- u(k)

+

wD-1

[f-

_Au(k)]

• Gauss-Seidel:

u<k+l) - (D- wL)-1[(1 - w)D

+

wR]u(k)

+

w(D-wL)-1

f

CG(w)u(k)

+

w(D- wL)-1

_f

- u(k)

+

w(D-wL)-1

_[!-

_Au(k))

- u(k)

+

BG(w)[f- Au(k)), k ~ O _(2.26)

Note-se que as formulações (2.25) e (2.26) dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel seguem o modelo da equação básica (2.21). O algoritmo de Gauss-Seidel apresen-ta uma convergência numérica mais rápida que o algoritmo de Jacobi, porém este último é paralelizável, podendo assim demandar um tempo menor de processamen-to se utilizarmos processadores em paralelo. Generalizações dos métodos ponto--Jacobi e ponto-Gauss-Seidel podem ser obtidas respectivamente com os chamados métodos bloco-Jacobi e bloco-Gauss-Seidel [50] [53].

O

método iterativo preferido para sistemas Au

=

f

simétricos e positivos definidos é o método dos gradientes conjugados, cuja versão precondicionada

apre-sentamos a seguir. Seja E

>

O uma tolerância, B um precondicionador simétrico

e u<0> uma estimativa inicial da solução exata "u". Na versão sem

precondiciona-mento tomamos B =I e nos referimos ao método como 'CGM'.

Algoritmo 2.3.2 (PCGM) Método dos gradientes conjugados

precondí-cionado k =O; u<k) =O; J(k) =

!;

aux1 =

IJfCk)ll;

aux2

=

aux1;

while (aux2jaux1 ~ E) & (k < n)

yCk) = B JCk); k = k

+

1; valk-1 = (JCk-1), y<k-1)); if k

==

1 p(k) = f(k-1); else f3k = valk_tfvalk-2i

p(k) = y<k-1)

+

f3kP(k-1); end vet

=

Ap(k); Ctk

=

valk-d(p(k), vet); u<kl

=

u<k-1)

+

CXkP(k); J(k) = j<k-1) - Ctkvet; aux2 =

IIJ

(

k

)

ll;

end m =ki

Ao final do algoritmo, teremos a aproximação u<m). O estudo deste método é um

tópico muito bem desenvolvido, tanto em aritmética exata quanto em aritmética de ponto flutuante. Uma estimativa superior para a convergência

(

ll

v

ii

A

=

(vt Av)112)

é: para obtermos

é suficiente que

k

~

1

+

~JIÇ(BA)

ln

(~)

(2.27)

A demonstração e versões mais finas deste resultado podem ser encontradas em

(3].

No algoritmo PCGM, para economia de memória, os índices de iteração dos vetores u<k), y{k), J(k) e p(k) e do valor valk-l são usados a "módulo 2", i. e, apenas

as 2 últimas ocorrências são salvas. Já os valores o:k e f3k são salvos para todo k =

1, 2, ... , m, pois com estes valores pode-se montar a matriz tridiagonal simétrica de Lanczos abaixo, a fim de se obter um valor aproximado para IÇ(BA):

..L

_Di

o

o

o

O'! O'J

_:Lffi_ _&+..L

_ih

_o

_o

O'! O'! 0'2 0'2

o

_.J/Ji _{133 +..L}

_o

_o

0'2 0'2 03 Mmxm=

o

o

o

f3m-1

+ _1_

_::L&_

O'm-2 Om-1 Om-1

o

o

o

_..!Bm

~+-1-Om-1 Om-1 Om

Pode-se mostrar que K(M) ~ K(BA). Assim, reduz-se o problema de aproximar

o número de condição de matrizes grandes ao problema de encontrar o número de

M

é

todos de Schwarz e Multigrid

Neste capítulo apresentamos os métodos de decomposição de domínio com

so-breposição e os métodos multigrid. Ambos são vistos como métodos de Schwarz

correspondentes a escolhas apropriadas de subproblemas que são resolvidos a cada aplicação do precondicionador ou método iterativo. Uma apresentação matemática

mais completa é dada no Capítulo 5.

3.1

Méto

do

s

de Schwar

z

de 1 nív

e

l

Vamos começar nossa apresentação com o método multiplicativo, ou seqüencial. A

primeira formulação deste método apareceu no contexto contínuo, e foi proposto

por Schwarz, em 1864, na forma de um método alternante.

Sejam

n

=

!11

u

!12 um domínio aberto limitado, com fronteira Lipschitz 8!1, como mostrado na Figura 3.1,

n

=

n

U 8!1 e L um operador diferencial parcial

(por exemplo, -6). Note-se que a fronteira

an

não inclui a parte f 1 da fronteira

8!1_{1 de n1} nem a parte r2 da fronteira an2 de n2. Chamamos f1 e f2 de fronteiras

artificiais. Sejam também D1 e !12 definidos de forma análoga a

n

,

e f e g funções

do seguinte problema, por simplicidade com condições de contorno de Dirichlet:

Problema 3.1.1 Encontrar u tal que

{

L~

~

emn

em

an

(3.1)

O método clássico de Schwarz consiste na procura da solução u através da

análise do problema restrito aos domínios f2₁ e

fh

alternadamente. Sejam u}k) a

solução aproximada, após k iterações, do problema restrito a

n,,

j

=

1, 2, u~k)lr

2

a

Figura 3.1: Domínio

n

não padrão obtido pela união de domínios padrões fl1 e 02

restrição (rigorosamente, o traço, mas esta formalidade não afeta o entendimento do algoritmo) de u~k) sobre

r

₂ e u~k)lr

1

a restrição de u~k) sobre

r

₁. O método

clássico de Schwarz começa com uma escolha inicial u~o) sobre 0₂ (na verdade

precisamos apenas dos valores sobre ri), seguida da procura da solução u~k>, com

k = 1, do seguinte problema:

emnl

em

anl

\

rl

em

rl

Procuramos então a solução u~k), com k = 1, para um segundo problema:

em

n2

em

an2

\

r2

em

r2

O método então prossegue com a repetição destes 2 passos para k

=

2, 3, ... até

atingirmos algum critério de convergência desejado.

O método de Schwarz multiplicativo é urna tradução quase literal deste método

para o contexto da discretização de uma equação diferencial parcial por elementos finitos ou diferenças finitas. Neste trabalho nós nos restringimos aos elementos

finitos; a formulação análoga para diferenças finitas também pode ser estudada de

maneira similar.

Comecemos nossa apresentação do método de Schwarz multiplicativo ainda

em ni e n2 coincidam sobre r21

n

02 . Denotamos por u)k) o vetor de coeficientes

associado a ujk) e o decompomos como ut>

=

(

uh;,u~i

\

f;'u~~))t,

j

=

1,2. Os 2

subproblemas alternantes recém-vistos podem então ser escritos na forma discreta

como: { Aiuik) =

fi

em S11

u~~J

\

fJ

=

o

em

ani

\

rl

u~~) = u~

2

-I)

1r

1 em f1 { Azu~k)

h

em r2z

u~~J

\

rJ

-

o

em

an2

\

fz U (k) _{r2 - un1 r2} (k)l em

r2

Decompondo Aj = (An;, Aônj\f;, Ar;) é fácil então ver que podemos reescrever os 2 sistemas discretos acima da seguinte forma [53]:

An1 u~!

-

f1

-

Ar1 u~,-l)

1r

1

ou seJa,

u~! U~

₂

-I) + Aõ~(h- Ar

₂

u~!lr

₂

- An2U~

₂

-I))

Lembramos que o problema discreto global que queremos resolver é Au =

f

e

que a solução u pode ser decomposta como

com a aproximação uCk) podendo ser escrita de forma análoga. Quando A₀₁ \S'h = O

e An₂\n

1 = O, i.e., quando não há interação entre graus de liberdade de lados

opostos das fronteiras artificiais, então podemos [53] substituir

Ar

1

U~

2

-l)l~~-l

)

e

(k)l(k) A (k-I) (k) . b

Ar2Un1 r2 por n\n1 Un\n, e An\n2Un\f22 respectivamente para o termos

Denotando por uCk+l/Z) a solução global após atualização em u~! e por u<k+I) a

forma matricial [53]:

u<k+l/2) - u<k)

+ [

Ag:

~

l

(f-.4u(k))

(3.2)

u<k+I) = u<k+I/2)

+

[

~

A~:

l

(f - Au(k+l/2))

que é a formulação matricial do método de Schwarz multiplicativo no caso de

2 subdomínios apenas, com os subproblemas sendo resolvidos de forma exata.

Podemos também estudar o problema com o uso de formas bilineares. resultando

na formulação estudada no Capítulo 5.

Numa situação mais geral, o domínio

n

é decomposto em subdomínios 0_{1 ,} j

=

1, 2, ... , S, que são uniões dos elementos de uma triangulação

7h

.

Para os métodos

com sobreposição, os subdomínios podem ser arbitrários, não havendo a priori qual

-quer restrição quanto à regularidade desta decomposição. Seja

üj

o subdomínio

gerado a partir de

ni

pela sua expansão, ou seja, agregamos sucessivamente ao

domínio

nj

camadas de elementos de

Th;

o parâmetro de sobreposição b é definido

como a distância mínima entre 80₁ e an~. A matriz Ai é a matriz associada ao subproblema resultante da restrição do problema original ao subdomínio

üj

e

Bi é o precondicionador de Ai; portanto, estas matrizes são locais, e envolvem a

interação apenas dos graus de liberdade relativos a

üj.

As matrizes Ai podem ser expressas na forma

Ai= RiARj,

onde a aplicação de Ri a um vetor global seleciona as componentes relativas aos

graus de liberdade associados a n~ e a aplicação de R~ a um vetor local devolve

suas componentes às respectivas posições globais. As matrizes de seleção Ri e

devolução Rj são formadas apenas por zeros e uns e, na prática, são implicitamente

construídas como mapas entre graus de liberdade locais e globais. Em linguagem

MATLAB podemos por exemplo utilizar o comando "find''; [19].

O precondicionador Bi pode ser o próprio Aj1

, o que corresponde à solução

exata do subproblema. Podemos também definir a aplicação de Bi através de uma

solução inexata do subproblema, desde que este procedimento seja linear. Vale

dizer que, da mesma maneira que em 2.21. o precondionador B₁ pode necessitar

de relaxamento (termo multiplicativo TJ; para garantir a convergência do método

Seja Bi o operador que atua no vetor global e modifica apenas as componentes associadas aos graus de liberdade de

Oj :

(3.3)

ou seja, se resolvemos exatamente os problemas locais,

Cada aplicação do método multiplicativo de 1 nível, não simétrico, consiste numa seqüência de S passos intermediários, da seguinte forma (comparar com equações

(3.2)):

Algoritmo 3.1.2 Método de Schwarz multiplicativo de 1 nível (não si-métrico) uCk+l/S) uCk+2/S) (f- Au(k)) (f- Au(k+l/S)) u<k+CS-1)/S)

+

Bs (f_ Au(k+(S-1)/S))

Como na equação básica (2.21), parte-se de u(k) para se chegar em uCk+l), só

que agora em S passos da forma geral (2.21). A escolha mais natural do precondi-cionador Bi é A_t. Neste caso um cálculo rápido mostra que o método acima é a generalização literal do método original de Schwarz apresentado acima para dois subdomínios, entendendo a solução em cada subdomínio como a solução da instância discreta da equação original.

Versões alternativas equivalentes ao algoritmo multiplicativo podem ser obti-das se nos basearmos nas diferentes apresentações do passo básico do método de Richardson, equação (2.21). Por exemplo, utilizando-se a equação (2.22) e deno-tando c<k+i/S) = uCk+i/S)- uCk), j = 1, 2, ... , S, o Algoritmo 3.1.2 fica da seguinte forma:

Algoritmo 3.1.3 Método de Schwarz multiplicativo de 1 nível (não

si-métrico), em termos de correções

cCk+l/S)

cCk+2/S) cCk+l/S)

Bl rCk)

+

B2 (r(k) - Ac(k+l/S))

Da mesma forma que em ( 2. 22), partimos de r<k) para obter c(k+ 1), em S passos

intermediários. A cada passo de um acelerador para problemas não simétricos, por exemplo o método GMRES, o precondicionador é aplicado ao resíduo atualizado

[

50]

.

O método de Schwarz acima pode ser usado como um precondicionador efi-ciente, interpretando a correção c<k+1) como o resultado de sua aplicação sobre r(k)

[5

3

]

.

Uma formulação matricial deste precondicíonador pode ser obtida utilizando a equação (2.24). Seja e<k+i/S) = u<k+J/S)-u(k+(i·-1)/S) ₁ j

=

1₁ •• •

1 S. O Algoritmo

3.1.2 pode ser reescrito na seguinte forma:

Algoritmo 3.1.4 Método de Schwarz multiplicativo de 1 nível {não si-métrico), em termos de erros

e<k+I/S)

e<k+2/S)

(I- B₁A) e<k)

(I - B2A) e(k+l/S)

(I- BsA) e<k+(S-1)/S)

Da mesma forma que em (2.24), partimos de e<k) para obter e(k+l), depois de

S passos intermediários. É fácil ver que

Colocando na forma da equação (2.24), obtemos

onde

(3.4) é a fórmula explícita para o precondicionador de Schwarz multiplicativo de 1 nível não simétrico.

A matriz Bm não é explicitamente construída. Ao contrário, é implicitamente implementada através do Algoritmo 3.1.3; em especial, a aplicação de A - l nunca

é requerida, pois o precondicionador Bm é aplicado apenas ao resíduo, que já envolveu em sua construção uma pré-multiplicação por A.

O precondicionador Em não pode ser utilizado, por exemplo, com o método dos gradientes conjugados, pois este método exige que o precondicionador seja simétrico. A simetrização ocorre se os Bi forem simétricos, e se reaplicarmos, no Algoritmo 3.1.2, os primeiros (S- 1) passos na ordem inversa.

Algoritmo 3.1.5 Método de Schwarz multiplicativo de 1 nível simetri-zado

uCk+1/(2S-l)) u(k)

₊

_{B1 (f- Au(k))}

uCk+2/(2S-l)) _- u<k+l/(2S-l))

₊

_B2 (f _ Au(k+l/(25-1))) uCk+(S-I)/(25-1)) _- u<k+(S-2)/(25-1))

+

B5-1 (f_ Au(k+(S-2)/(25-1))) u(k+p/(25-I}} u(k+(5-1)/(2S-1))

+

B5 (f_ Au(k+(S-I)/(2S-1))) u(k+(5+1)/(2S-1)) _- u<k+p/(2S-l))

+

Es-1 (f_ Au(k+p/(25-1))) U(k+(25 - 2)/(2S -1)) _- U(k+(25-3)/(2S-1))

+

B2 (f_ Au(k+(25-3)/(25- l)l) u<k+I) u(k+(25-2)/(2S -1))

+

B1 (f_ Au(k+(25-2)/(25-I)))

O mesmo processo de simetrização pode ser aplicado nos algoritmos 3.1.3 e 3.1.4. Então,

ou seja,

onde

Bms =

{1-

[IT

(I-

BiA)l (I- BsA) [.

ll

(I- BiA)]} A-1 (3.5)

J=1 J=(5-l)

é a fórmula explícita para o precondicionador. É fácil ver que, como os Bi são

simétricos, Bms também f> simf>triro. Assim como Bm, o precondicionador Bms é aplicado implicitamente através da implementação do Algoritmo 3.1.5, em termos de correções. Abaixo apresentamos tal algoritmo no caso de resolução exata dos

subproblemas.

Algoritmo 3.1.6 Precondicionador de Schwarz multiplicativo de 1 nível