Análise de Arquitecturas Vectoriais em Receptores de
GPS
Francisco Jorge Ramilo Jacinto
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Orientador: Prof. Fernando Duarte Nunes
Júri
Presidente: Prof. Nuno Cavaco Gomes Horta
Orientador: Prof. Fernando Duarte Nunes
Vogal: Prof. José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Fernando Nunes por me ter dado a oportunidade de realizar a minha dissertação nesta área, tenho de agradecer também toda a disponibilidade e ajuda ao longo de todo este tempo.
RESUMO
Com o número de dispositivos que necessitam de posicionamento GPS de forma constante a aumentar significativamente, cria-se a necessidade de tornar o sistema mais fiável e robusto. Uma das formas possíveis para melhorar a robustez é através do uso de receptores vectoriais.
Esta dissertação tem como objectivo estudar e desenvolver um receptor vectorial. Este deve suportar a ocultação de um dos satélites por um dado período de tempo para observações com quatro satélites. Após terminar a ocultação deve recuperar a posição do utilizador o mais rapidamente possível, sem passar pela fase de aquisição.
Na primeira parte da dissertação, apresenta-se o método usado pelo receptor escalar para fazer a aquisição e consequentemente o seguimento dos sinais de GPS. Em seguida, desenvolve-se o modelo do receptor vectorial.
Para ambos os receptores foram desenvolvidos programas em linguagem Matlab. Estes programas são usados na parte final da dissertação e é com base nos resultados destes dois programas que são obtidas as conclusões finais.
Os testes são realizados tendo em mente situações de uso normal de um receptor GPS, onde se consegue obter cobertura significativa da constelação de satélites e algumas condições mais adversas em que não é possível observar o número mínimo de satélites necessários para o normal funcionamento de um receptor convencional.
ABSTRACT
The increasing number of devices that require constant GPS positioning, brings up the necessity of making positioning more reliable and robust. One of the various ways of doing this is through the use of vector receivers.
The goal of this dissertation is to study and develop a vector receiver. It must be capable of coping with the shadowing of one of the visible satellites for observations with four satellites. When the shadowing ends, the receiver must be capable of tracking the user position in the shortest amount of time, without returning to the acquisition process.
In the beginning of this dissertation, the method used by the scalar receiver to do the signal acquisition and tracking of the GPS user is shown. The model for the vector receiver is then developed.
Both receivers were developed in Matlab. These programs are used in the last part of the dissertation, and the final conclusions are based on the results from those programs.
Tests are conducted having in mind the normal usage of a GPS receiver where is possible to have an unobstructed view of a significant part the satellites, and other tests are made in more adverse conditions, where there is no line of sight for the minimum of four satellites that are mandatory for the normal operation of a conventional GPS receiver.
ÍNDICE
Capítulo 1 –
Introdução ... 1 1.1 História ... 1 1.2 Motivação ... 2 1.3 Estrutura da Dissertação ... 3 1.4 Objectivos da Dissertação ... 3Capítulo 2 – Conceitos Básicos de GPS ... 5
2.1 Geração de sinais de GPS ... 5
2.2 Diluição geométrica da precisão ... 6
2.3 Transformação de coordenadas ... 8
2.4 Escolha dos satélites visíveis ... 9
2.5 Simulação de constelação ... 9
Capítulo 3 – Receptor de GPS ... 13
3.1 Arquitectura do receptor ... 13 3.1.1 DLL ... 14 3.1.2 Correladores ... 15 3.1.3 Modelo linear de um DLL ... 163.1.4 Malha de seguimento de código “Rate-Aided” ... 19
3.1.5 Análise do ruído ... 19
3.1.6 PLL ... 22
3.1.7 Malha de segunda ordem ... 23
3.1.8 Análise do ruído ... 24
3.1.9 Largura de banda ... 25
3.2 Simulação do receptor ... 27
3.2.1 Modelo do relógio do receptor ... 27
3.2.2 Simulação em Matlab do erro do relógio ... 28
3.2.3 Geração das pseudo-distâncias ... 30
3.2.4 Filtro de Kalman... 30
Capítulo 4 –
Receptor Vectorial de GPS ... 354.1.1 VDFLL ... 37
4.1.2 Correladores ... 38
4.1.3 Discriminador de código normalizado ... 39
4.1.4 Discriminador de frequência normalizado ... 40
4.2 Simulação do receptor vectorial ... 43
4.2.1 Modelo da dinâmica ... 43
4.2.2 Modelo das observações ... 44
4.2.3 Filtro de Kalman generalizado ... 45
Capítulo 5 – Resultados e discussão ... 47
5.1 Trajectória circular ... 49 5.1.1 Receptor escalar... 50 5.1.2 Receptor vectorial ... 51 5.2 Análise de erros ... 52 5.2.1 Receptor escalar... 52 5.2.2 Receptor vectorial ... 52 5.3 Número de satélites ... 53 5.4 Ângulo de máscara ... 54
5.5 C/No em função do erro ... 56
5.6 Ocultação de um dos satélites ... 57
Capítulo 6 – Conclusões ... 63
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Contribuição das várias fontes de erro para a variância das pseudo-distâncias (link budget)
... 7
Tabela 2 - Valores típicos de h0 e h-2 para vários tipos de relógios usados em receptores GPS ... 28
Tabela 3 - Dados de simulação ... 47
Tabela 4 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real ... 52
Tabela 5 - Variância do erro em metros quadrados, para cada coordenada ... 52
Tabela 6 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real ... 52
Tabela 7 - Variância do erro em metros quadrados, para cada uma das coordenadas ... 52
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Diagrama de blocos de um receptor de GPS genérico [10] ... 13Figura 2 - Diagrama de blocos de um receptor digital [10] ... 14
Figura 3 - Delay locked loop com correladores early e late e discriminadores do tipo NELP (Non-coherent early-late power) [1] ... 15
Figura 4 – Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem [1] ... 16
Figura 5 - Resposta ao escalão de um DLL de primeira ordem [1] ... 18
Figura 6 - Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem com "rate aiding" [1] ... 19
Figura 7 - Desempenho do DLL na presença de ruído branco gaussiano [1] ... 21
Figura 8 - PLL genérico ... 22
Figura 9 - Malha de Costas [1] ... 22
Figura 10 - Resposta de segunda ordem a um escalão, largura de banda de ruído de 5 e 15 HZ e coeficiente de amortecimento de 0.2 e 0.707 [1] ... 24
Figura 11 - Desempenho de um PLL de Costas na presença de ruído branco gaussiano [1] ... 25
Figura 12 - Desvio padrão do erro de fase como função da largura de banda do PLL quando é usado um TCXO [1] ... 26
Figura 13 - Modelo de estado do relógio [13]... 27
Figura 14 - Fluxograma da geração das pseudo-distâncias ... 30
Figura 15 - Fluxograma do filtro de Kalman generalizado [14] ... 33
Figura 16 - Arquitectura do receptor tradicional [5] ... 35
Figura 17 - Arquitectura de um receptor vectorial genérico [5] ... 36
Figura 18 - Diagrama de blocos simplificado da arquitectura vectorial [17] ... 37
Figura 19 – VDFLL [17] ... 38
Figura 20 - Desvios-padrão dos erros de sincronismo no DLL NELP usando sinais GPS C/A ... 49
Figura 21 - Erro de cada coordenada em relação à posição real para o receptor escalar ... 50
Figura 23 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor escalar ... 53
Figura 24 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor vectorial ... 54
Figura 25 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor escalar ... 55
Figura 26 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor vectorial ... 55
Figura 27- Erro para cada coordenada em função do C/No , usando o receptor escalar ... 56
Figura 28 -Erro para cada coordenada em função do C/No, usando o receptor vectorial ... 56
Figura 29 - Erros de posição para o receptor vectorial, sem ocultação. Parâmetros da matriz Rii modificados ... 58
Figura 30 - Erros de posição para a ocultação de um satélite, um segundo de duração ... 59
Figura 31 - Erros de posição para a ocultação de um satélite, cinco segundos de duração ... 59
Figura 32 - Erro de posição para a ocultação de um satélite durante dez segundos ... 60
LISTA DE ABREVIATURAS
AGC Automatic Gain Control
C/A Coarse/Acquisition
BPSK Binary Phase Shift Keying
CTL Carrier Tracking Loop
DLL Delay Locked Loop
ECEF Earth-Centered, Earth-Fixed
EKF Extended Kalman Filter
ENU East-North-Up
EUA Estados Unidos da América
FLL Frequency Locked Loop
GDOP Geometric Dilution of Precision
GPS Global Positioning System
NCO Numerically Controlled Oscillator
NELP Non-coherent early-Late Power
PLL Phase Locked Loop
PV Posição, Velocidade
RAAN Right Ascension of the ascending node
RMS Root Mean Square
TCXO Temperature compensated crystal oscillator
UERE User equivalent range error
VCO Voltage Controlled Oscillator
VDFLL Vector Delay/Frequency Locked Loop
LISTA DE SÍMBOLOS
𝝆𝒊 Pseudo-distância entre o satélite i e o receptor 𝜹𝒕 Erro do relógio do receptor
c Velocidade da luz 𝜺𝒊 Erro gaussiano
∆𝚪 Vector de erros das pseudo-distâncias
G Matriz de geometria do sistema 𝝈𝑼𝑬𝑹𝑬𝟐 User Equivalent Range Error
I Matriz identidade
Q Matriz de covariância dos erros de posição
RMS Root mean squared 𝜺𝑹𝑴𝑺 Valor eficaz do erro
H Matriz de GDOP 𝝓𝒖 Latitude do utilizador 𝜽𝒖 Longitude do utilizador 𝜶𝒂𝒛 Ângulo de azimute ϵ Ângulo de elevação R Raio da trajectória
𝜽 Argumento da latitude do satélite 𝛀 Longitude do nó ascendente 𝜶 Inclinação da órbita ω Argumento do perigeu 𝝂 Anomalia verdadeira e0 Excentricidade da órbita E Anomalia excêntrica M Anomalia média
tst Instante de transmissão do sinal 𝛀̇ Taxa de variação do nó ascendente 𝒕𝒐𝒆 Tempo de referência da efeméride 𝛀̇𝒆 Taxa de rotação da Terra
μ Constante gravitacional
𝑨 Comprimento do semi-eixo maior da órbita
C Potência do sinal recebido
D(t) Sinal de navegação 𝝉 Atraso do sinal recebido
Δf Frequência de Doppler
Δθ Erro de fase da malha de seguimento da portadora
TCO Intervalo de integração dos correladores
TC Duração de chip
TEL Espaçamento early-late
𝑺̃𝑬 Saídas (early) dos correladores complexos 𝑺̃𝑳 Saídas (late) dos correladores complexos 𝑵̃𝑬 Componentes (early) do ruído (gaussianas) 𝑵̃𝑳 Componentes (late) do ruído (gaussianas)
𝒍𝝉 Saída normalizada do discriminador de código 𝝐𝝉 Ruído normalizado do discriminador
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1 História
Na década de cinquenta, o objectivo do departamento de defesa dos Estados Unidos da América (EUA) era desenvolver um sistema que permitisse estimar a posição, velocidade e tempo de um receptor. Entre os requisitos assumia-se que o erro da posição não podia ser superior a 10m, o erro da velocidade não podia ser superior a 0,1 m/s e o erro do tempo devia ser inferior a 100 ns. O sistema deveria também poder ser usado por um número ilimitado de utilizadores, em todo o globo e sem interrupções e teria ainda de ser desenhado de tal forma que os inimigos dos EUA não tivessem acesso ao sistema [1].
Inicialmente, o departamento de defesa dos EUA decidiu disponibilizar o GPS para uso civil mas com precisão reduzida: inicialmente a precisão máxima para uso civil era de 500 metros; após consideração, o erro foi reduzido para 100 metros.
O acesso à total capacidade do sistema era restrito e teria de ser encriptado para que apenas utilizadores autorizados tivessem acesso às potencialidades do sistema. Este acesso controlado foi mantido até ao final da década de noventa.
O uso do GPS foi anunciado como sendo livre e gratuito para uso civil mas com restrições de precisão. Em 1983, um avião civil Coreano saiu da sua rota, devido a problemas de navegação, e entrou em espaço aéreo soviético sendo posteriormente abatido. Este acidente evidenciou os benefícios do uso do sistema GPS para a aviação civil. Nesta altura o sistema estava ainda a 10 anos de se tornar operacional.
Apesar do entusiamo desta ferramenta para o uso civil, a Europa não queria estar dependente de um sistema controlado pelo exército de um governo estrangeiro. Assim, a União Europeia decide em 1999 iniciar o desenvolvimento do seu próprio sistema de navegação, Galileo.
Devido a esta decisão por parte da União Europeia e a um estudo elaborado nos EUA, que sugeria o fim da degradação do sinal GPS para uso civil, este estudo concluía também que sem restrições o sistema GPS teria uma maior aceitação a nível internacional. A restrição que originava a diminuição da precisão foi desactivada a 2 de Maio de 2000.
1.2 Motivação
Apesar de ter sido desenvolvido para o uso do exército Norte-americano, o GPS é hoje usado em muitas outras aplicações, militares e civis, muito para além do qual foi imaginado inicialmente. Actualmente é usado em aplicações tão diversas como aviação civil, controlo de tráfego, agricultura de precisão ou até em operações bancárias.
O uso de aplicações onde uma falha do sistema GPS pode ter consequências graves, impõe naturalmente a necessidade de aumentar a capacidade do sistema para resistir a várias falhas possíveis de ocorrer. Algumas destas falhas podem ser devidas a perturbações atmosféricas ou obstruções físicas como por exemplo edifícios altos ou árvores. Existe também outro tipo de perturbações, como perturbações intencionais (jamming) causadas por aparelhos electrónicos desenhados para o efeito. Uma aplicação onde o sistema GPS não pode falhar é, por exemplo, durante a aterragem de um avião; a diferença de alguns metros pode fazer a diferença entre uma aterragem perfeita e uma catástrofe. Para superar estas vulnerabilidades, têm sido desenvolvidos ao longo dos anos novos tipos de receptores e novas arquitecturas, com a intenção de tornar o sistema mais fiável e robusto.
Existem várias fontes que podem causar interferência no sistema GPS e dividem-se nos seguintes grupos:
Atenuação devido a obstrução física: Aqui incluem-se obstruções devido ao ambiente em que o utilizador se encontra, e onde muitas vezes não existe linha de vista entre os satélites GPS e o receptor. Um exemplo são passagens por baixo de pontes, tuneis, folhagem densa e estradas estreitas rodeadas por prédios muito altos (canyons urbanos). Nestes ambientes a relação sinal-ruído pode ser reduzida para valores inferiores a 5 dB-Hz, enquanto que onde existe boa visibilidade da constelação GPS, a relação sinal-ruído varia entre 35 e 55 dB-Hz [2].
Interferências rádio: A potência dos sinais que chegam à terra vindos dos satélites é muito fraca, na ordem dos 10-16 Watt, pelo que se revela fácil que exista interferências. Estas interferências podem ser intencionais, geradas por aparelhos que geram ruido, ou podem ser interferências causadas por estações emissoras, como é o caso das antenas emissoras de televisão ou de rádio.
Perturbações atmosféricas: No caminho entre o satélite e o receptor, o sinal GPS atravessa varias camadas da atmosfera terrestre, uma dessas camadas é a ionosfera, que age como um meio dispersivo para este tipo de sinais. A existência de tempestades ionosféricas pode mesmo levar a que o sistema GPS fique indisponível.
Uma arquitectura que tem atraído muitas atenções é a arquitectura vectorial, pois permite resolver alguns destes problemas [3] [4] [5] [6] [7] [8]. Com a arquitectura vectorial é possível obter estimativas da posição em locais em que o sinal de GPS está muito atenuado. Ao contrário
da arquitectura escalar, a possibilidade desta arquitectura operar com sinais fracos e onde o receptor se pode mover a grande velocidade, torna-a numa arquitectura desejável.
1.3 Estrutura da Dissertação
Esta dissertação encontra-se dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo introdutório apresenta-se um pouco da história do sistema GPS e as motivações que levaram à elaboração deste trabalho. No segundo capítulo, são descritos alguns conceitos necessários para a elaboração deste trabalho, desde a diluição geométrica de precisão até à simulação da constelação GPS.
Em seguida no terceiro capítulo é apresentada a arquitectura de um receptor escalar; neste capítulo são também mostrados os conceitos matemáticos que deram origem à simulação do receptor escalar em Matlab.
O quarto capítulo é onde se apresenta a arquitectura e os conceitos matemáticos do receptor vectorial.
No quinto capítulo são efectuadas algumas comparações entres os dois receptores; é deste capítulo que são elaboradas as conclusões que são apresentadas no capítulo seis.
1.4 Objectivos da Dissertação
Esta dissertação tem como objectivo a criação de um receptor vectorial em Matlab que simule o comportamento de um receptor vectorial real de forma a testar as suas capacidades em casos em que um receptor convencional tem dificuldades em estimar a sua posição.
O receptor vectorial deve suportar a ocultação de pelo menos um satélite durante um determinado período de tempo. Após esse tempo o receptor deve conseguir recuperar a sua posição no menor período de tempo e sem passar pela fase de aquisição.
Este receptor deve ainda assim ter um bom comportamento em operação normal para se revelar uma boa alternativa ao receptor GPS comum.
Capítulo 2
CONCEITOS BÁSICOS DE GPS
2.1 Geração de sinais de GPS
Cada satélite de GPS leva a bordo um relógio atómico com uma frequência fundamental f0=10.23 MHz. São transmitidos dois sinais: L1, com uma frequência central de 1575.42MHz e o L2 com uma frequência central de 1227.6MHz. Cada uma destas frequências é um múltiplo inteiro de f0 do relógio: 154 para L1 e 120 para L2. O objectivo da transmissão ser feita em duas frequências é para ser possível ao receptor efectuar uma correcção devido à refracção que os sinais sofrem ao passar pela ionosfera. O sinal L1 consiste em duas componentes da portadora: Uma transporta um código de precisão encriptado (P) e a outra transmite, em quadratura, o código C/A. O sinal L2 consiste apenas na transmissão do código (P).Ambos os códigos são modulados por dados de navegação transmitidos a 50 bps.
O código PRN (pseudorandom noise) é modulado na portadora usando uma modulação BPSK (binary phase shift keying). Esta modulação roda a fase da portadora 0º ou 180º. O código PRN é composto por uma sequência de 1’s e 0’s, tal como os dados de navegação transmitidos. Os dados de navegação são somados, modulo-2, à sequência de código. A sequência resultante de 1’s e 0’s é convertida para mudanças da fase da portadora, 180º e 0º respectivamente. Como uma rotação de 180º corresponde simplesmente a mudar o sinal da portadora, uma representação equivalente é modular a amplitude como ±1. O resultado é o seguinte:
𝑠𝐿1(𝑡) = 𝐴𝑃(𝑡)𝐷(𝑡)cos(2𝜋𝑓1𝑡 + 𝜙01
)
+√2𝐴𝐶(𝑡)𝐷(𝑡)sin (2𝜋𝑓
1𝑡 + 𝜙01) (2.1) 𝑠𝐿2(
𝑡)
=𝐴
√2
𝑃(
𝑡)
𝐷(
𝑡)
cos (2𝜋𝑓2𝑡 + 𝜙02) (2.2) onde A é a amplitude do sinal L1 P, P(t) e C(t) é ±1 do código P e C/A, D(t) é ±1 dos dados de navegação, 𝑓1 e 𝑓2 são das frequências da portadora L1 e L2, e 𝜙01 e 𝜙02 são as fases das portadoras L1 e L2.O código PRN é gerado com o produto (módulo-2) de dois outros códigos gerados à mesma taxa de chip,
𝐶𝑖
(𝑡)
= 𝐺1(𝑡)𝐺2(𝑡 + 𝑛𝑖𝑇𝑐)
(2.3)𝑃𝑖
(𝑡)
= 𝑋1(𝑡)𝑋2[𝑡 +(𝑖 − 1)𝑇
𝑃] (2.4)para cada satélite i, Tc é o inverso da taxa de chip de 1.023 MHz do código C/A, Tp é o inverso da taxa de chip de 10.23 MHz do código P, ni é o inteiro associado ao satélite i para o código C/A. No
caso do código P, ni toma o valores entre 1 e 37 para os 32 satélites e 5 são reservados para as estações terrestres. No caso do código C/A, ni toma valores entre 1 e 1023.
O código PRN possibilita uma divisão de código desejada, múltiplo acesso (CDMA), os códigos de vários satélites não são correlacionados entre si. Assim é possível que todos os sinais de todos os satélites sejam recebidos na mesma frequência [9].
Esta descrição corresponde aos satélites lançados na década de 80 e 90. A partir do início do século XXI iniciou-se a fase de modernização com a introdução de novos sinais civis e militares, para além da utilização da banda L5.
2.2 Diluição geométrica da precisão
No receptor convencional de GPS a determinação da posição e velocidade baseiam-se na medição das pseudo-distâncias
𝜌𝑖= √(𝑋𝑖− 𝑥)2+ (𝑌𝑖− 𝑦)2+ (𝑍𝑖− 𝑧)2+ 𝑐𝛿𝑡 + 𝜀𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 (2.5)
em que (𝑋𝑖, 𝑌𝑖, 𝑍𝑖) são as coordenadas ECEF do satélite i, (x,y,z) são as coordenadas do receptor, e 𝑣 = 𝑐𝛿𝑡 é o erro do relógio do receptor relativamente ao referencial temporal do GPS medido em metros (c é a velocidade da luz) e 𝜀𝑖 é um erro gaussiano tipicamente de média nula e variância 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 que contabiliza as contribuições da ionosfera/troposfera, ruído térmico, etc.
Do ponto de vista incremental tem-se
∆𝜌𝑖= 𝑑𝜌𝑖 𝑑𝑥∆𝑥 + 𝑑𝜌𝑖 𝑑𝑦∆𝑦 + 𝑑𝜌𝑖 𝑑𝑧 ∆𝑧 + 𝑑𝜌𝑖 𝑑𝑣∆𝑣 (2.6) ou matricialmente [ ∆𝜌1 ⋮ ∆𝜌𝑁] ⏟ ∆Γ = [ 𝑑𝜌1 𝑑𝑥 𝑑𝜌1 𝑑𝑦 𝑑𝜌1 𝑑𝑧 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑑𝜌𝑁 𝑑𝑥 𝑑𝜌𝑁 𝑑𝑦 𝑑𝜌𝑁 𝑑𝑧 1] ⏟ 𝐺 [ ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ∆𝑣] ⏟ ∆𝑋 (2.7)
em que N é o número de satélites visíveis.
Os valores típicos da contribuição das várias fontes de erro para o parâmetro 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 são apresentados na Tabela 1 [10].
Tabela 1 - Contribuição das várias fontes de erro para a variância das pseudo-distâncias (link budget)
Segmento Fonte de erro Erro 1𝜎(m)
espaço estabilidade do relógio do satélite 1.1
atraso de grupo de L1 0.3
controlo erros das efemérides 0.8
utilizador atraso ionosférico 7.0
atraso troposférico 0.2
ruído do receptor e resolução 0.6
multipercurso 0.2
UERE total ≈7.2
A solução deste sistema para N≥4 é:
Δ𝑋 = (𝐺𝑇𝐺)−1𝐺𝑇ΔΓ
(2.8)
Considera-se agora que ΔΓ é um vector de erros das pseudo-distâncias caracterizado por
𝐸{ΔΓ} = 0 (2.9)
𝐸{ΔΓΔΓ𝑇} = 𝜎
𝑈𝐸𝑅𝐸2 𝐼𝑁𝑥𝑁 (2.10)
Isto é, assume-se que os erros 𝜀𝑖 são independentes, de média nula e variâncias iguais a 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 . A matriz de covariâncias dos erros de posição é dada por
𝑄 = 𝐸 {∆𝑋∆𝑋𝑇} = (𝐺𝑇𝐺)−1𝐺𝑇𝐸{∆ΓΔΓ−1}𝐺((𝐺𝑇𝐺)−1)𝑇 = 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 ((𝐺𝑇𝐺)−1)𝑇
= 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 (𝐺𝑇𝐺)−1
= 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 𝐻 (2.11)
em que a matriz 𝐻 = (𝐺𝑇𝐺)−1 se designa por matriz de GDOP.
O erro RMS de posicionamento vem dado por
𝜀𝑅𝑀𝑆= √∑ 𝜎{𝑞𝑖𝑖2} 4
𝑖=1
= 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸√𝑇𝑟𝑎ç𝑜{𝐻} (2.12)
em que 𝑞𝑖𝑖 é o elemento ii da matriz de covariância Q. A quantidade indicada pela raiz quadrada é conhecida por diluição de precisão geométrica
ou seja
𝜀𝑅𝑀𝑆= 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸𝐺𝐷𝑂𝑃 (2.14)
O GDOP é uma quantidade que depende apenas das posições relativas (geométricas) dos transmissores e do receptor. Para um dado valor de 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸 a qualidade da posição do receptor é tanto melhor quanto menor for o factor GDOP, como se pode concluir de (2.14).
A matriz de geometria do sistema usando coordenadas ECEF é dada por
𝐺 = [ −𝑋1− 𝑥 𝐷1 ⋮ −𝑋𝑁− 𝑥 𝐷𝑁 −𝑌1− 𝑦 𝐷1 ⋮ −𝑌𝑁− 𝑦 𝐷𝑁 −𝑍1− 𝑧 𝐷1 ⋮ −𝑍𝑁− 𝑧 𝐷𝑁 1 ⋮ 1 ] (2.15)
em que Di é a distância entre o satélite i e o receptor.
De acordo com (2.13) o parâmetro GDOP obtém-se através de
𝐺𝐷𝑂𝑃 = √ℎ11+ ℎ22+ ℎ33+ ℎ44 (2.16)
em que hii é o enésimo elemento da diagonal principal da matriz H.
Para resolver a equação de navegação há que determinar os satélites que melhor minimizam o GDOP para uma dada posição do receptor. Conhecendo estes satélites, eles passam a ser os satélites de trabalho. Para o caso particular de quatro satélites demonstra-se que o parâmetro GDOP é aproximadamente minimizado quando o volume de um tetraedro obtido unindo as posições dos satélites é maximizado [11]. No caso geral, satélites mais afastados no céu obtêm melhores valores de GDOP.
2.3 Transformação de coordenadas
A equação de transformação de coordenadas Earth-centered Earth-fixed ou ECEF de um satélite em coordenadas relativas a um referencial local, East-North-Up (ENU) centrado no receptor é a seguinte
[𝑥 ′ 𝑦′ 𝑧′] = [
− sin 𝜃𝑢 cos 𝜃𝑢 0
− sin 𝜙𝑢cos 𝜃𝑢 − sin 𝜙𝑢sin 𝜃𝑢 cos 𝜙𝑢 cos 𝜙𝑢cos 𝜃𝑢 cos 𝜙𝑢sin 𝜃𝑢 sin 𝜙𝑢 ] ⏟ 𝑀 [ 𝑥 − 𝑥𝑢 𝑦 − 𝑦𝑢 𝑧 − 𝑧𝑢 ] (2.17)
em que 𝜙𝑢 e 𝜃𝑢 são respectivamente a latitude e longitude do utilizador (receptor), e onde (x,y,z) e (xu,yu,zu) são respectivamente as coordenadas ECEF do satélite e do receptor.
Obtém-se assim o ângulo de azimute (𝛼𝑎𝑧) de um dado satélite através de
tan 𝛼𝑎𝑧= 𝑥′
𝑦′ (2.18)
2.4 Escolha dos satélites visíveis
Apesar de vários satélites estarem visíveis e minimizarem o GDOP nem todos devem ser usados, pois sinais de satélites que estejam perto do horizonte estão mais susceptíveis a desvanecimento de sinal e a perturbações devidas à ionosfera e troposfera. Deve então definir-se um ângulo de máscara e excluir os satélites que tenham ângulo de elevação inferior ao ângulo de máscara. Os valores típicos para o ângulo de máscara variam entre os 10º e os 15º.
O ângulo de elevação (ϵ) de cada satélite pode ser calculado da seguinte forma:
sin(𝜖) = 𝑧′
√(𝑥′)2+ (𝑦′)2+ (𝑧′)2 (2.19)
As coordenadas (x’,y’,z’), estão convertidas em coordenadas ENU e o ângulo 𝜖 só é calculado para satélites que apresentem valores de z’ positivos, isto significa que o satélite está acima da linha do horizonte.
2.5 Simulação de constelação
Para determinar a posição rigorosa de cada satélite é necessário ter acesso às efemérides. No entanto para efeitos de simulação é suficiente utilizar-se uma versão menos rigorosa das efemérides designada por Almanaque. Uma das funções do Almanaque é ajudar o receptor na aquisição de sinal quando este é ligado, conseguindo determinar um conjunto de satélites visíveis, a partir da posição do receptor quando foi desligado.
O Almanaque é constituído por um conjunto de dados que todos os satélites GPS transmitem, e que inclui informação acerca do estado de toda a constelação de satélites GPS, bem como excentricidade da órbita, tempo de aplicabilidade, inclinação orbital, entre outros parâmetros importantes para a correta determinação da posição de cada satélite. Neste caso foi usado o Almanaque com o formato YUMA [12].
Uma vez tendo o ficheiro do almanaque disponível é possível calcular da seguinte forma a posição aproximada de um satélite GPS em coordenadas ECEF,
[𝑥𝑦 𝑧] = 𝑅 [
cos 𝜃 cos Ω − sin 𝜃 sin Ω cos 𝛼 cos 𝜃 sin Ω + sin 𝜃 cos Ω cos 𝛼
sin 𝜃 sin 𝛼
] (2.20)
onde R é o raio da órbita de cada satélite, 𝜃 é o argumento de latitude, Ω é a longitude do nó ascendente e 𝛼 é o ângulo de inclinação da órbita.
O argumento de latitude é dado por
𝜃 = 𝜈 + 𝜔 (2.21)
ω é o argumento do perigeu, obtido directamente do Almanaque e 𝜈 é a anomalia verdadeira dada por sin 𝜈 =√1 − 𝑒0 2sin 𝐸 1 − 𝑒0cos 𝐸 (2.22) cos 𝜈 = cos 𝐸 − 𝑒0 1 − 𝑒0cos 𝐸 (2.23)
em que e0 é a excentricidade da órbita e E é a anomalia excêntrica que se obtém através da solução iterativa da equação de Kepler
𝑀 = 𝐸 − 𝑒0sin 𝐸 (2.24)
Aproxima-se inicialmente E pelo valor de M, em seguida obtém-se uma solução numérica dada por, 𝐸𝑖= 𝑀 + 𝑒0sin 𝐸𝑖−1, i = 1,2,...,n (2.25)
em que M é a anomalia média.
Em seguida calcula-se o valor de Ω através da equação
Ω = Ω0+ Ω̇Δ𝑡 − Ω̇𝑒𝑡𝑠𝑡 (2.26)
ou pela expressão aproximada
Ω = Ω0− 2𝜋
86164𝑡𝑠𝑡 (2.27)
em que tst é o instante de transmissão do sinal, Ω̇ é a taxa de mudança do nó ascendente em 𝑡 = 𝑡𝑜𝑒, (tempo de aplicabilidade dos dados do almanaque) Ω̇𝑒= 7.2921151467 × 10−5 rad/s e Ω0 é a RAAN (Longitude do nó ascendente no início da semana GPS).
Calcula-se também o movimento médio que é um valor constante igual a
𝑛 = √𝜇
𝐴3 (2.28)
μ é a constante gravitacional da Terra e é igual a 3.986005x1014
, 𝐴 é o comprimento do semi-eixo maior da órbita, valor que se retira do Almanaque.
A anomalia média no instante tst é dada por
𝑀 = 𝑀0+ 𝜂∆𝑡 (2.29)
em que ∆𝑡 = 𝑡𝑠𝑡− 𝑡𝑜𝑒. Deve verificar-se |∆𝑡| < 302400 segundos. Caso contrário deve somar-se ou subrair-se o valor 604800 segundos para que tal aconteça. O valor de M0 é dado no almanaque. Finalmente calcula-se o raio da órbita, distância entre o satélite e o centro da Terra,
𝑅 = 𝐴(1 − 𝑒0cos 𝐸) (2.30)
Após se ter calculado todos estes parâmetros para cada satélite GPS é possível, através da equação (2.20), obter as coordenadas ECEF de cada um desses satélites.
Capítulo 3
RECEPTOR DE GPS
3.1 Arquitectura do receptor
Os receptores de GPS modernos são receptores digitais. A Figura 1 representa um diagrama de blocos de alto nível de um receptor de GPS moderno. À antena do receptor chegam sinais de todos os satélites visíveis. Os sinais recebidos (RF), são amplificados por um pré-amplificador de baixo ruído, preamp. Esses sinais são depois convertidos para uma frequência intermédia (IF), após serem misturados com sinais vindos dos osciladores locais (LO). O Bloco AGC permite regular a amplificação dos sinais analógicos no bloco down-converter por forma a evitar que os sinais digitalizados apresentem variações muito elevadas de amplitude. Após o processo de digitalização dos sinais IF, estes estão prontos para serem processados por cada um dos canais do receptor digital. N 2 Preamp Down-converter Conversor A/D AGC Sintetizador de frequência Oscilador de referência 1 Receptor digital Processador do receptor Processador de navegação Interface do utilizador RF Analog IF Digital IF LOs Antena
Figura 1 - Diagrama de blocos de um receptor de GPS genérico [10]
A Figura 2 mostra o diagrama de blocos de um canal do receptor digital, em que à entrada se aplica o sinal IF. Primeiro é retirada a portadora ao sinal, aplicando-lhe uma réplica dessa mesma portadora. Obtém-se assim uma amostra dos dados em fase (I) e quadratura (Q). O sinal pretendido contém
ainda muito ruído para ser processado, correlaciona-se então os sinais I e Q com o sinal de código em banda de base gerado localmente, para assim se conseguir extrair os dados de navegação.
I Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Processador do receptor Q IE IP IL QE QP QL SIN map COS map Portadora NCO Relógio fc
2-bit shift register Gerador de código Código NCO fC0 2 fC0 Digital IF SIN COS Correcção do código P P P E L L L E E D C
Correcção da fase da portadora Relógio fc
Figura 2 - Diagrama de blocos de um receptor digital [10]
3.1.1 DLL
No caso do GPS a malha de seguimento do sinal de código ou delay locked loop, DLL, tem de controlar o gerador local de código para que a réplica do código gerada fique sincronizada com o código do sinal recebido. Este processo é feito dando ordem para aumentar ou diminuir a velocidade do relógio que controla o gerador de código interno. O procedimento não é feito de forma abrupta: se a réplica do código gerado for precoce, o DLL faz com que o gerador de código abrande. Se a réplica do código for tardia, o DLL faz com que o gerador de código acelere. O objectivo deste processo é que eventualmente a réplica do código, gerada no receptor, fique alinhada com o código recebido, ou seja, sincronizado. Um exemplo de DLL com correladores early e late encontra-se esquematizado na Figura 3.
Na Figura 3, C é a potência do sinal recebido, D(t) é o sinal com dados de navegação, 𝜏 é o atraso do sinal recebido, ∆𝑓𝐷 é o erro de frequência de Doppler, Δθ é o erro de fase da malha de seguimento da portadora, T é o intervalo de integração dos correladores, TEL é o espaçamento early-late dos correladores (com TEL ≤ TC, em queTC é a duração de chip), 𝜏̂ é o atraso do sinal recebido estimado pelo DLL, 𝑆̃𝐸 e 𝑆̃𝐿 são as saídas dos correladores complexos devidos à integração do sinal de GPS, 𝑁̃𝐸 e 𝑁̃𝐿 são as componentes do ruído (gaussianas), 𝑙𝜏 é a saída normalizada do discriminador de
código, ∆𝜏 é o atraso de código da versão local relativamente ao sinal recebido, 𝜖𝜏 é o ruído normalizado do discriminador e 𝑘𝜏 designado por detector de ganho.
O DLL consegue obter uma estimativa do código de seguimento antes dos dados e da portadora de fase serem conhecidas. Isto é possível devido ao uso de discriminadores não lineares. Apesar de os discriminadores serem não lineares, em condições normais de funcionamento quando a réplica do código está alinhada com o código recebido, usa-se um modelo linear.
X
X
Gerador de código (Late) (Early) Filtro da malhade código “Rate aiding” da malha de seguimento de código Para o PLL ou FLL
dt
T
T
0)
(
1
dt
T
T
0)
(
1
2 2 ~ ~ L E T Z Z L L L LS
N
Z
~ ~ ~
E E ES
N
Z
~ ~ ~
Figura 3 - Delay locked loop com correladores early e late e discriminadores do tipo NELP (Non-coherent early-late power) [1]
O modelo linear é usado para analisar o ruído e o desempenho do DLL. Para se conseguir um bom desempenho em relação ao ruído é necessário que o DLL atenue o efeito do ruído medido o que é conseguido, em parte, pelo filtro da malha de código. Um bom desempenho dinâmico exige que o DLL siga eficazmente as alterações no código devido à dinâmica do sistema. Por dinâmica do sistema entende-se desvios do relógio e alterações na distância entre utilizador e o satélite.
3.1.2 Correladores
Num receptor convencional existem três correladores complexos (early, late e prompt).
No correlador prompt o sinal em banda de base recebido é comparado com uma réplica do código gerada localmente designada por 𝑥(𝑡 − 𝜏̂). O resultado da correlação é
ẐP= √𝐶𝐷𝑒𝑥𝑝(𝑗∆𝜃) 1 𝑇∫ 𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏̂)𝑒𝑥𝑝(𝑗2𝜋∆𝑓𝐷𝑡)𝑑𝑡 T 0 = √𝐶𝐷𝑒𝑥𝑝(𝑗∆𝜃)𝑅̃(∆𝜏, ∆𝑓𝐷) + 𝑁𝑃 (3.1)
Após a aquisição do sinal, pode-se assumir que a frequência estimada é razoavelmente precisa, ∆𝑓𝐷 ≈ 0. Pode assim reescrever-se a parte da equação (3.1) que não contém ruído como
𝑆̃P= √𝐶𝐷𝑒𝑥𝑝(𝑗∆𝜃)R(∆𝜏) (3.2)
Na equação, R(·) é a função de auto correlação do código. Se a estimativa da frequência for correcta e o atraso do código for bem estimado, obtém-se ∆𝜏 ≈ 0. Pode dizer-se assim que o correlador é pontual. Este correlador pontual desempenha um papel importante no phase locked loop (PLL) e no frequency locked loop (FLL).
No caso da estimativa da frequência ser precisa e o atraso do código estar adiantado ou atrasado, diz-se então que os correladores são tardios (late) ou precoces (early).
Na figura as saídas dos correladores complexos early e late são dadas por
𝑍̃𝐸= 𝑆̃𝐸+ 𝑁̃𝐸 (3.3) 𝑍̃𝐿= 𝑆̃𝐿+ 𝑁̃𝐿 (3.4) em que S̃E= √𝐶𝐷𝑒𝑥𝑝(𝑗∆𝜃)𝑅̃(∆𝜏 −𝑇2𝐸𝐿) (3.5) S̃L= √𝐶𝐷𝑒𝑥𝑝(𝑗∆𝜃)𝑅̃(∆𝜏 + 𝑇𝐸𝐿 2 ) (3.6)
3.1.3 Modelo linear de um DLL
∑
T
∑
-Nf
2
1 Z n
ˆ
k
l
t
O DLL emite sinais que são proporcionais à diferença observada entre os atrasos do sinal observado e do sinal recebido.
A função de transferência da malha fechada é [1]:
𝑇̂(𝑠) 𝑇(𝑠)= 𝐻(𝑠) = 2𝜋𝑓𝑁1𝑆 1 + 2𝜋𝑓𝑁1𝑆 = 2𝜋𝑓𝑁 𝑠 + 2𝜋𝑓𝑁 (3.7)
A resposta em frequência é a seguinte:
𝐻(𝑠 = 𝑗2𝜋𝑓) = 𝑓𝑁 𝑗𝑓 + 𝑓𝑁 |𝐻(𝑠 = 𝑗2𝜋𝑓)|2= 𝑓𝑁 2 𝑓2+ 𝑓 𝑁2 (3.8)
Pode assim, através da resposta em frequência, conhecer-se a largura de banda equivalente de ruído do DLL 𝐵𝜏,1= 1 |𝐻(𝑗0)|2 ∫ |𝐻(𝑠 = 𝑗2𝜋𝑓)| 2 𝑑𝑓 ∞ 0 𝐵𝜏,1= ∫ 𝑓𝑁2 𝑓2+ 𝑓 𝑁2 ∞ 0 𝑑𝑓 =𝜋𝑓𝑁 2 (3.9)
Este parâmetro permite caracterizar a dinâmica do processo de atraso de código. Através da equação (3.7) pode-se estudar a resposta a um escalão introduzido no DLL.
Figura 5 - Resposta ao escalão de um DLL de primeira ordem [1]
Na Figura 5, estão representadas três larguras de banda equivalentes de ruído: 5, 15 e 25 Hz. Uma baixa largura de banda faz com que o DLL atinja o valor final muito lentamente. Uma largura de banda maior faz com que o DLL seja mais ágil e consiga seguir o escalão de forma mais rápida, chegando ao valor final rapidamente. Por outro lado uma largura de banda pequena consegue uma melhor atenuação do ruído de entrada. Tem assim de se encontrar um compromisso entre os desempenhos da dinâmica e do ruído.
O compromisso pode ser melhorado, caso o DLL obtenha uma estimativa da variação da distância que separa o satélite do utilizador. Essa informação provém da malha de seguimento da portadora (CTL - Carrier Tracking Loop) constituida por um PLL ou FLL. Esta estimativa é bastante precisa pois baseia-se na medição do efeito de Doppler do sinal de GPS. Este DLL é designado por "rate-aided Delay Locked Loop".
3.1.4
Malha de seguimento de código “Rate-Aided”
∑
∑
T∑
-“Rate aiding” do CTL Nf
2
1 Z n
ˆ
k
l
t,n1
n1
,n1Figura 6 - Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem com "rate aiding" [1]
A Figura 6 representa um "rate-aided" DLL. Com esta ajuda o DLL consegue funcionar com uma largura de banda muito baixa, tipicamente 0.005Hz. É possível trabalhar com uma largura de banda tão pequena pois a dinâmica do sistema é captada pelo PLL ou FLL [1].
Do diagrama de blocos resulta a seguinte equação:
∆𝜏̂𝑛+1= ∆𝜏̂𝑛+ T (∆𝜏̇̂𝑛+ 2𝜋𝑓𝑁(∆𝜏𝑛+1+ 𝜀𝑡,𝑛+1
𝑘𝜏 − ∆𝜏̂𝑛)) (3.10)
3.1.5 Análise do ruído
Para analisar a resposta do DLL ao ruído branco gaussiano, é necessário ter as suas entradas a zero. Forçando ∆𝜏𝑛= 0 e ∆𝜏̇𝑛= 0, obtém-se assim ∆𝜏̇̂𝑛= 0.
Seja 𝑇𝐶𝑂 o intervalo de correlação. Simplificando a equação (3.10) obtém-se:
∆𝜏̂𝑛+1= ∆𝜏̂𝑛+ 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂(𝜀𝑡,𝑛+1𝑘
𝑡 − ∆𝜏̂𝑛) = ∆𝜏̂𝑛(1 − 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂) +
𝜀𝑡,𝑛+12𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂
𝑘𝑡 (3.11)
em que ∆𝜏̂𝑛 é a melhor estimativa do sinal no instante n, e ∆𝜏̂𝑛+1 é a melhor estimativa do sinal no instante n+1.
A variância da estimativa do sinal é:
𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂𝑛+1) = 𝐸[(∆𝜏̂𝑛+1− ∆𝜏𝑛+1)2]
Como o ruído é branco gaussiano, tem média zero e as suas amostras não são correlacionadas, obtém-se assim a seguinte equação:
𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂𝑛+1) = 𝐸[∆𝜏̂𝑛+12] = 𝐸[∆𝜏̂𝑛2](1 − 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂)2+ 𝐸[𝜀𝑡,𝑛+12] ( 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂 𝑘𝑡 ) 2 (3.13)
A equação (3.13) é obtida substituindo ∆𝜏̂𝑛+1 pela equação (3.11).
Ao longo do tempo o DLL vai estabilizar e a variância irá convergir para um valor dado por:
𝐸[∆𝜏̂𝑛+12] = 𝐸[∆𝜏̂𝑛2] = 𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂) (3.14)
Usando a equação (3.14) para simplificar a equação (3.13),
𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂) = 𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂)(1 − 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂)2+ 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑡) ( 2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂 𝑘𝑡 ) 2 =𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑡)(2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂⁄ )𝑘𝑡 2 4𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂− (2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂)2 =𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑡)2𝜋𝑓𝑁𝑇𝐶𝑂 2𝑘𝑡2 =2𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑡)𝐵𝜏,1𝑇𝐶𝑂 𝑘𝑡2 (3.15)
Da equação (3.9) sabe-se que 𝐵𝑁,1=𝜋𝑓2𝑁, chega-se assim à equação (3.15). Esta aproximação é válida quando 2𝐵𝜏,1𝑇𝐶𝑂≪ 1, o que é uma aproximação razoável.
Após uma análise do DLL em banda base, a variância de 𝜀𝜏 é [1]:
𝑣𝑎𝑟(𝜀𝜏) = ( 2𝑁02 𝑇𝐶𝑂2+ 𝐶𝑁0 𝑇𝐶𝑂) 𝑠 2 (3.16)
Obtém-se assim a variância do ruído, isto é, a potência do sinal à saída do discriminador precoce menos o tardio quando é usado um tempo de coerência de 𝑇𝐶𝑂 segundos, a densidade espectral de potência é 𝑁𝑂⁄ . A relação portadora-ruído é C/N2 o.
Combinando a equação (3.15) e equação (3.16):
𝑣𝑎𝑟(∆𝜏̂) =𝐵𝜏,1𝑇𝐶2 2𝐶 𝑁⁄ 0(1 + 2 𝑇𝐶𝑂𝐶 𝑁⁄ 0) 𝑠 2 (3.17)
O termo dentro de parenteses designa-se por perdas quadráticas. Com a equação (3.17) e usando larguras de banda de 0.005 Hz e 0.05 Hz, obtém-se o gráfico da Figura 7, que mostra o erro de 1-σ em função da relação portadora-ruído.
Figura 7 - Desempenho do DLL na presença de ruído branco gaussiano [1]
Todos os discriminadores não coerentes têm perdas quadráticas. Os discriminadores não coerentes retiram perturbações da portadora de fase e dos dados recebidos mas este processo tem a contrapartida de amplificar o ruído recebido.
As curvas coerentes ignoram as perdas quadráticas enquanto as curvas não coerentes incluem as perdas quadráticas. Da Figura 7 observa-se que as perdas quadráticas não são significativas até que a relação portadora-ruído seja menos que 25 dB-Hz. Como em geral os sinais de GPS são recebidos com relações portadora-ruído acima de 30 dB-Hz, as perdas quadráticas no DLL não coerente não são uma preocupação para o sistema.
3.1.6 PLL
O Phase Locked Loop (PLL) consiste em três elementos básicos: o detector de fase, que compara a fase dos dois sinais e gera uma voltagem em função dessa diferença, o filtro passa baixo, que tem como função filtrar a saída do detector de fase e o VCO, que é um oscilador controlado por tensão, responsável por gerar o sinal para a saída.
A operação do PLL tem como princípio comparar a fase do sinal entrada com o sinal gerado internamente pelo VCO. Desta operação obtém-se o erro de fase ou a diferença de fase entre os dois sinais. Este erro é novamente introduzido na malha para ajustar a frequência e a fase.
Sinal de entrada Detector de fase Filtro passa baixo VCO fref fout Figura 8 - PLL genérico
O problema da utilização de um PLL para assegurar a sincronização da portadora é que o funcionamento do PLL vai depender dos Bits de navegação transmitidos. Por isso, é muitas vezes utilizada uma malha fechada ligeiramente diferente do PLL, designada por malha de Costas, que é independente da sequência de dados.
X
X
Filtro de malha da portadora NCO
Prompt code:
“Rate aiding” para a malha de seguimento de código
dt
T
T
0)
(
1
Z
PZ
PL
Re
ˆ
Im
ˆ
C
k
P Q P I P P PS
N
Z
jZ
Z
~
~
~
,
,
k
l
)
ˆ
(
t
x
(
2
(
ˆ
)
ˆ
)
exp
2
j
f
IF
f
Dt
f
f
t
t
x
t
D
C
(
)
(
)
cos
2
(
IF D)
A Figura 9 mostra uma implementação da malha de Costas. A saída do discriminador de fase é dada por,
𝐿𝜃= 𝑅𝑒{𝑍𝑃}𝐼𝑚{𝑍𝑃}
= 𝑅𝑒{𝑆𝑃}𝐼𝑚{𝑆𝑃} + 𝜀𝜃 (3.18)
em que 𝜀𝜃 é a componente de ruído. Tem-se:
𝐿𝜃= 𝐶𝐷2𝑅2(∆𝜏) sin(∆𝜃) cos(∆𝜃) + 𝜀𝜃
=1
2 𝐶𝑅2(∆𝜏) sin(2∆𝜃) + 𝜀𝜃 (3.19)
O que mostra que a resposta do discriminador não depende dos dados de navegação, D.
O PLL de Costas tem de conduzir o oscilador controlado numericamente, NCO, de maneira a conseguir obter uma boa estimativa do efeito de Doppler, 𝑓̂𝐷. Um outro objetivo é fazer com que a fase da réplica do sinal, 𝜃̂, se aproxime da fase do sinal recebido, 𝜃. Para atingir esse objetivo, o PLL mede a diferença entre a frequência e a fase do sinal recebido e a frequência e fase da réplica do sinal. É com base nesse erro que o NCO é controlado, aumentando ou diminuindo a frequência. A réplica da fase não sofre mudanças bruscas, pois o PLL controla a frequência. Uma outra função do PLL é fornecer uma estimativa dos bits de navegação. Assim que o PLL sincronizar, os dados de navegação podem ser extraídos. Admitindo que ∆𝜃 ≈ 0 e ∆𝜏 ≈ 0 obtém-se de (3.1)
𝑍̃𝑃≈ √𝐶𝐷 + 𝑁̃𝑃 (3.20)
pelo que o sinal da parte real de 𝑍̃𝑃, isto é, 𝑍̃𝐼,𝑃, é igual ao sinal de D com elevada probabilidade.
3.1.7 Malha de segunda ordem
Para que o DLL possa funcionar convenientemente há que garantir que os erros de fase no PLL se mantêm dentro de certos limites. Para dimensionar convenientemente o PLL tem de se chegar a um equilíbrio entre um nível de ruído de fase aceitável e uma boa dinâmica do sistema.
Figura 10 - Resposta de segunda ordem a um escalão, largura de banda de ruído de 5 e 15 HZ e coeficiente de amortecimento de 0.2 e 0.707 [1]
Observando a Figura 10, verifica-se que quanto maior for a largura de banda mais ágil é a malha fechada e mais rápido é o tempo de resposta. Existe uma oscilação acentuada em resposta ao escalão de fase antes de convergir para o valor desejado, isto deve-se a um baixo coeficiente de amortecimento, ζ.
Os receptores de GPS normalmente usam um coeficiente de amortecimento de 𝜁 = 0.707 pois a resposta ao impulso é rápida e existe pouca oscilação.
3.1.8 Análise do ruído
A largura de banda do ruído pode ser usada para caracterizar o desempenho do PLL de Costas de segunda ordem quanto ao ruído branco gaussiano.
A variância do erro de fase pode ser estimada por [1]:
𝑣𝑎𝑟(∆𝜃̂) =2𝑣𝑎𝑟(𝜀𝜃)𝐵𝜃,1𝑇𝐶𝑂 𝑘𝜃2
𝑟𝑎𝑑2
A variância de 𝜀𝜃 é [10]: 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝜃) = 𝐶𝑁0 2𝑇𝐶𝑂(1 + 1 2𝑇𝐶𝑂𝐶 𝑁⁄ 0) (3.22)
A densidade espectral de potência do ruído branco gaussiano é 𝑁0⁄ . Combinado as duas equações, 2 (3.21) e (3.22), obtém-se [10]: 𝑣𝑎𝑟(∆𝜃̂) = 𝐵𝜃,1 𝐶 𝑁⁄ 0(1 + 1 2𝑇𝐶𝑂𝐶 𝑁⁄ 0) 𝑟𝑎𝑑 2 (3.23)
O termo dentro de parênteses é a perda quadrática de uma portadora que usa discriminadores de Costas. Se se excluir esse termo, obtém-se a variância do erro de fase para um PLL coerente.
Figura 11 - Desempenho de um PLL de Costas na presença de ruído branco gaussiano [1]
A Figura 11 mostra o desvio padrão do erro de fase em função da relação portadora-ruído. A degradação dos discriminadores de Costas relativamente aos discriminadores coerentes, não é significativa até que a relação portadora-ruído desça abaixo de 25 dB-Hz.
3.1.9 Largura de banda
A largura de banda do PLL tem de ser escolhida conforme a aceleração esperada. Quanto maior a aceleração que o receptor tem de suportar, maior deverá ser a largura de banda necessária para que o PLL consiga acompanhar as variações da velocidade.
Figura 12 - Desvio padrão do erro de fase como função da largura de banda do PLL quando é usado um TCXO [1]
A Figura 12 mostra os desvios padrão do erro de fase em função da largura de banda do PLL com uma malha de segunda ordem, no caso de se usar um oscilador de quartzo compensado por temperatura (Temperature compensated crystal oscillator, TCXO).
As larguras de banda reduzidas sofrem do problema do fraco desempenho dinâmico, enquanto que as larguras de banda grandes são afectadas por fraco desempenho em termos do ruído. A figura mostra que para larguras de banda inferiores a 1Hz o desvio padrão do erro de fase é independente da relação portadora-ruído do sinal recebido. Para larguras de banda maiores existem 3 curvas pelo que o erro de fase depende da relação portadora-ruído, decrescendo quando a relação portadora-ruído aumenta. Por exemplo, para C/N0 = 30 dB-Hz e uma aceleração máxima de 1g, a largura de banda ideal é ligeiramente superior a 20Hz. O desvio padrão do erro de fase deve ser mantido abaixo dos 15º para evitar o aparecimento de saltos de fase, Tal equivale a uma relação portadora-ruído mínima de aproximadamente 25 dB-Hz para uma aceleração máxima de 1g. Se não for possível garantir desvios padrão abaixo de 15º dever-se-á substituir o PLL por um circuito de seguimento de frequência (FLL).
3.2 Simulação do receptor
Para resolver a equação de navegação no receptor tradicional foi usado um filtro de Kalman generalizado, sendo as pseudo-distâncias calculadas a cada iteração do filtro. O intervalo entre iterações é igual a ∆𝑡 = 0.01 segundos. Dado que vai ser simulado o receptor em movimento, o modelo dinâmico adoptado, foi o modelo PV (posição+velocidade), obtendo-se assim vectores de estado de dimensão oito.
3.2.1 Modelo do relógio do receptor
A modelação do relógio do receptor é conseguida definido um vector de estado de dimensão dois, por forma a simular um movimento tipo browniano tanto na frequência como na fase. Na Figura 13 está representado o modelo de estado do relógio.
1/S
+
1/S ruído branco gaussiano u (t) Φ frequência ruído branco gaussiano fase u (t) f x (t)f y(t) x (t) = ΔTΦFigura 13 - Modelo de estado do relógio [13]
As entradas 𝑢𝑓(𝑡) e 𝑢ϕ(𝑡), constituídas por ruídos brancos gaussianos, são independentes, têm médias nulas e são assim caracterizadas pela matriz de covariância
𝑄𝑢= [ 𝑞𝜙 0
0 𝑞𝑓] (3.24)
em que 𝑞𝑓 e 𝑞𝜙 são respectivamente as densidades espectrais de potência de 𝑢𝑓(𝑡) e de 𝑢ϕ(𝑡).
A equação do modelo discreto no tempo é
[𝑥𝑥𝜙,𝑘+1 𝑓,𝑘+1] = [1 Δ𝑡0 1] [ 𝑥𝜙,𝑘 𝑥𝑓,𝑘] + [ 𝑢𝜙,𝑘 𝑢𝑓,𝑘] (3.25)
em que ∆𝑡 é o intervalo de actualização do filtro.
A matriz de covariância do ruído é
𝑄̃𝑘 = [ 𝑞𝜙Δ𝑡 + 𝑞𝑓(Δ𝑡)3 3 𝑞𝑓(Δ𝑡)2 2 𝑞𝑓(Δ𝑡)2 2 𝑞𝑓Δ𝑡 ] (3.26)
onde as variâncias da matriz (3.26) são dadas por
𝑞𝜙≈ ℎ0
2 (3.27)
𝑞𝑓 ≈ 2𝜋2ℎ−2 (3.28)
em que ℎ0 e ℎ−2 são parâmetros da variância de Allan.
Tabela 2 - Valores típicos de h0 e h-2 para vários tipos de relógios usados em receptores GPS
Tipo de oscilador h0 h-2
Cristal compensado em temperatura 2x10-19 2x10-20
Cristal em forno 8x10-20 4x10-23
Rubídio 2x10-20 4x10-29
A Tabela 2mostra valores típicos dos parâmetros, h-2 e h0 para alguns tipos de relógios utilizados em receptores GPS [13].
Neste caso foram usados os valores típicos do oscilador de cristal compensando em temperatura.
3.2.2 Simulação em Matlab do erro do relógio
Tendo em conta (3.26), as componentes do vector do ruído 𝑈𝜙,𝑘 e 𝑈𝑓,𝑘 em (3.25) não são independentes pelo que terão de ser geradas a partir de duas variáveis gaussianas independentes em Matlab por combinação linear.
Para simular o erro de relógio em matlab foram criadas duas variáveis que recebem um valor aleatório a cada iteração do programa através da função “randn”, tendo assim estas variáveis média nula e variância unitária.
Considera-se seguinte sistema de equações
{𝑈𝑈𝜙,𝑘= 𝛼𝑈1
𝑓,𝑘= 𝛽𝑈1+ 𝛾𝑈2 (3.29)
em que U1 e U2 são os valores gaussianos independentemente gerados aleatoriamente pela função “randn” (com médias nulas e variâncias unitárias).
𝐸{𝑈𝜙,𝑘2} = 𝛼2𝐸{𝑈12} = 𝛼2 (3.30) pelo que 𝛼 = √𝑞𝜙Δ𝑡 + 𝑞𝑓(Δ𝑡)3 3 (3.31) Além disso 𝐸{𝑈𝜙,𝑘𝑈𝑓,𝑘} = 𝛼𝛽𝐸{𝑈12} + 𝛼𝛾𝐸{𝑈1𝑈2} = 𝛼𝛽 (3.32) Donde 𝛽 =1 𝛼𝑞𝑓 (∆𝑡)2 2 (3.33) e finalmente 𝐸{𝑈𝑓,𝑘2 } = 𝛽2𝐸{𝑈12} + 𝛾2𝐸{𝑈22} + 2𝛽𝛾𝐸{𝑈1𝑈2} = 𝛽2+ 𝛾2 (3.34) obtém-se 𝛾 = √𝐸{𝜎𝑓,𝑘2 } − 𝛽2 = √𝑞𝑓∆𝑡 − 𝛽2 (3.35) .
As equações (3.31), (3.33) e (3.35) permitem, deste modo, obter os valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾 a utilizar em (3.29).
3.2.3 Geração das pseudo-distâncias
A determinação do movimento dos satélites e do receptor assim como a geração das pseudo-distâncias encontram-se resumidos no fluxograma da Figura 14.
Cálculo das posições dos satélites Determinação dos satélites visíveis Determinação da sub-constelação óptima (GDOP mínimo) Geração das pseudo-distâncias Cálculo da posição do receptor k->k+1 Zk (observaçoes)
Figura 14 - Fluxograma da geração das pseudo-distâncias
3.2.4 Filtro de Kalman
Modelo da dinâmica
Como foi referido anteriormente o modelo da dinâmica escolhido para o filtro de kalman generalizado foi o modelo PV (posição, velocidade).
Seja o vector de estado 𝑥𝑘= [𝑥1,𝑘… 𝑥8,𝑘] 𝑇
, onde 𝑥1,𝑘 e 𝑥2,𝑘 são, respectivamente, a posição e a velocidade relativamente à coordenada 𝑥 do receptor, 𝑥3,𝑘 e 𝑥4,𝑘, representam a posição e a velocidade relativamente à coordenada y do receptor, 𝑥5,𝑘 e 𝑥6,𝑘, representam a posição e a velocidade relativamente à coordenada z do receptor. Finalmente 𝑥7,𝑘 e 𝑥8,𝑘 representam a fase e a frequência do ruído do relógio do receptor. O modelo da dinâmica discreto no tempo é dado por
[ 𝑥1,𝑘+1 ⋮ 𝑥8,𝑘+1 ] = Φ𝑘[ 𝑥1,𝑘 ⋮ 𝑥8,𝑘 ] + [ 𝑢1,𝑘 ⋮ 𝑢8,𝑘 ] (3.36)
em que [ 𝑥1,𝑘+1 𝑥2,𝑘+1 𝑥3,𝑘+1 𝑥4,𝑘+1 𝑥5,𝑘+1 𝑥6,𝑘+1 𝑥7,𝑘+1 𝑥8,𝑘+1] = [ 1 ∆𝑡 1 0 1 ∆𝑡 1 1 ∆𝑡 1 0 1 ∆𝑡 1 ] ⏟ Φ𝑘 [ 𝑥1,𝑘 𝑥2,𝑘 𝑥3,𝑘 𝑥4,𝑘 𝑥5,𝑘 𝑥6,𝑘 𝑥7,𝑘 𝑥8,𝑘] + [ 𝑢1,𝑘 𝑢2,𝑘 𝑢3,𝑘 𝑢4,𝑘 𝑢5,𝑘 𝑢6,𝑘 𝑢7,𝑘 𝑢8,𝑘] (3.37)
A matriz de covariância do ruído é a seguinte [14]
𝑄̃𝑘= [ 𝑞𝑣(∆𝑡) 3 3 𝑞𝑣 (∆𝑡)2 2 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑣 (∆𝑡)2 2 𝑞𝑣∆𝑡 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑣(∆𝑡) 3 3 𝑞𝑣 (∆𝑡)2 2 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑣(∆𝑡) 2 2 𝑞𝑣∆t 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑣 (∆𝑡)3 3 𝑞𝑣 (∆𝑡)2 2 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑣(∆𝑡) 2 2 𝑞𝑣∆t 0 0 0 0 0 0 0 0 [𝑞𝜙Δ𝑡 + 𝑞𝑓(Δ𝑡)3 3 ] 𝑐2 𝑞𝑓(Δt)2 2 𝑐2 0 0 0 0 0 0 𝑞𝑓(Δt) 2 2 𝑐2 𝑞𝑓𝑐2Δ𝑡 ] (3.38)
À quantidade qv foi atribuído o valor de 0,1 pois este parâmetro caracteriza a aceleração e pretende-se uma baixa aceleração para esta simulação. De facto, a partir de (3.37) e (3.38) a aceleração é bem aproximada por
𝑎𝑘≈
𝑥2,𝑘+1− 𝑥2,𝑘
∆𝑡 =
𝑈2,𝑘
∆𝑡 (3.39)
o momento de segunda ordem da aceleração vale
𝐸{𝑎𝑘2} ≈ 1
∆𝑡2𝐸{𝑈2,𝑘2 } = 𝑞𝑣
∆𝑡 (3.40)
Modelo das observações
Contrariamente às equações da dinâmica do sistema que são lineares, a equação das observações é não linear
Na equação (3.41), zk é o vector das pseudo-distâncias medidas e ℎ[𝑥𝑘] = [ √(𝑥̃1,𝑘− 𝑥𝑢.𝑘)2+ (𝑦̃1,𝑘− 𝑦𝑢,𝑘)2+ (𝑧̃1,𝑘− 𝑧𝑢,𝑘)2+ 𝑥𝑑,𝑘 ⋮ √(𝑥̃𝑁,𝑘− 𝑥𝑢,𝑘)2+ (𝑦̃𝑁,𝑘− 𝑦𝑢,𝑘)2+ (𝑧̃𝑁,𝑘− 𝑧𝑢,𝑘)2+ 𝑥𝑑,𝑘] (3.42)
em que 𝑥̃𝑖, 𝑦̃𝑖 e 𝑧̃𝑖 são as coordenadas do satélite i, onde i=1,…,N e 𝑥𝑢, 𝑦𝑢 e 𝑧𝑢 são as componentes referentes às coordenadas do receptor, e 𝑥𝑑,𝑘= 𝑐𝑥𝜙,𝑘 representa a fase do ruído do relógio.
A matriz de covariância do ruído das observações é da forma diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais,
𝑅𝑘= [
𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 0 ⋱ 0 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2
] (3.43)
em que 𝜎𝑈𝐸𝑅𝐸2 representa a variância de erro das diversas pseudo-distâncias.
Equações de filtragem e predição
A equação de navegação consiste nas N≥4 equações das pseudo-distâncias (2.5), em que se assume que (𝑋𝑖𝑌𝑖𝑍𝑖) são conhecidas e (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣), com 𝑣 = 𝑐𝛿𝑡, é o vector a estimar. Para resolver a equação de navegação foi usado um filtro de Kalman generalizado. O filtro é implementado através de um ciclo iterativo e tem como entradas as pseudo-distâncias medidas. A cada ciclo do filtro de Kalman é calculado um novo ganho e actualizadas as estimativas do vector de estado (𝑥̂𝑘−→ 𝑥̂𝑘+) e da matriz da covariância do erro de filtragem (𝑃𝑘−→ 𝑃𝑘+). Assim as actualizações correspondem ao passo de filtragem do filtro de Kalman. No passo de predição são actualizadas as estimativas do vector de estado (𝑥̂𝑘−→ 𝑥̂𝑘+1+ ) e da matriz de covariância do erro da predição do vector de estado (𝑃𝑘−→ 𝑃𝑘+1+ ).
Predição
x
x
ˆ
k 1 kˆ
k
Q
P
P
k T k k k k
1 Cálculo do ganho Actualização da estimativaActualização da covariância do erro Observações Estimativas
k
k
1
Condições iniciais
T k k k T k k k k k kI
K
H
P
I
K
H
K
R
K
P
1
T k k k k T k k kP
H
H
P
H
R
K
k k
k k kx
K
z
z
x
ˆ
ˆ
ˆ
^
x
ˆ
k
kZ
0 1 0ˆ
P
x
Figura 15 - Fluxograma do filtro de Kalman generalizado [14]
Na Figura 15 está representado um fluxograma do filtro de Kalman generalizado aplicado à resolução da equação de navegação em GPS. Para simplificar a figura considerou-se
𝑥̂𝑘−= 𝑥̂(𝑘|𝑘 − 1) Estimativa do vector de estado do passo de predição 𝑃𝑘+= 𝑃(𝑘|𝑘) Matriz da covariância do erro do passo de filtragem
𝑧̂𝑘 = ℎ(𝑥(𝑘|𝑘 − 1)] Vector de pseudo-distâncias estimadas no passo de predição 𝑧𝑘= [𝜌1,𝑘… 𝜌𝑛,𝑘]𝑇 Vector de pseudo-distâncias medidas
𝑥̂𝑘+= 𝑥̂(𝑘|𝑘) Estimativa do vector de estado do passo de filtragem 𝑃𝑘+1− = 𝑃(𝑘 + 1|𝑘) Matriz da covariância do erro do passo de predição
A matriz das observações do filtro de Kalman generalizado é
𝐻𝑘 =
𝜕ℎ(𝑥𝑖,𝑘)
𝐻𝑘= − [ 𝑥̃1− 𝑥̂𝑢 𝑟̂1 0 𝑦̃1− 𝑦̂𝑢 𝑟̂1 0 𝑧̃1− 𝑧̂𝑢 𝑟̂1 0 −1 0 0 −1 0 𝑥̃𝑁− 𝑥̂𝑢 𝑟̂𝑁 0 𝑦̃𝑁− 𝑥̂𝑢 𝑟̂𝑁 0 𝑧̃𝑁− 𝑥̂𝑢 𝑟̂𝑁 0 −1 0] (3.45)
𝑥̃𝑖, 𝑦̃𝑖 e 𝑧̃𝑖 são as coordenadas do satélite i, onde i=1,…,N, 𝑥̂𝑢, 𝑦̂𝑢 e 𝑧̂𝑢 são estimativas mais recentes das coordenadas do receptor e 𝑟̂𝑖 são as distâncias estimadas entre cada um dos satélites e o receptor.
𝑟̂𝑖= √(𝑥̃𝑖− 𝑥̂𝑢)2+ (𝑦̃𝑖− 𝑦̂𝑢)2+ (𝑧̃𝑖− 𝑧̂𝑢)2 (3.46)
Tendo todos estes valores calculados pode-se assim voltar a efectuar uma nova iteração do filtro de Kalman; este processo irá devolver novas estimativas das coordenadas do receptor, logo terá de se voltar a recalcular todos os valores anteriormente calculados, entrando-se assim num novo ciclo iterativo.
Capítulo 4
RECEPTOR VECTORIAL DE GPS
4.1 Arquitectura do receptor vectorial
Os receptores de GPS tradicionais seguem cada satélite individualmente usando duas unidades de processamento: a unidade de processamento de sinal, constituída por um bloco de PLLs (ou FLLs) e DLLs, e a unidade de processamento de navegação que inclui um filtro de Kalman generalizado ou um estimador de mínimos quadrados. Estes receptores necessitam de, pelo menos, quatro satélites para uma operação normal. Caso um ou mais sinais estejam degradados, por exemplo através de atenuação, a precisão irá diminuir podendo até deixar de ser possível que exista solução para a equação de navegação. Essa situação deve-se normalmente à perda de sincronismo do PLL.
As malhas de seguimento dos diferentes canais operam de forma independente entre si, Figura 16. A informação não é partilhada entre canais e não existe realimentação entre as malhas de seguimento e o processador de navegação. As medidas das pseudo-distâncias geradas pelas malhas de seguimento são usadas pelo processador de navegação para que o receptor estime a posição, velocidade e estado do relógio.
Antena Processador RF Malha de seguimento Malha de seguimento Canal 1 Canal 2 Canal J Processador de Navegação Malha de seguimento Posição, Velocidade, Tempo Pseudo-distância,
Taxa das pseudo-distâncias Sinal
Figura 16 - Arquitectura do receptor tradicional [5]
A arquitectura do receptor tradicional não explora totalmente a correlação dos sinais recebidos. O princípio fundamental do sistema GPS é de que obtendo as estimativas para o atraso de código e para a frequência da portadora dos sinais recebidos de quatro ou mais satélites, a posição, velocidade e estado do relógio do receptor podem ser estimados. O receptor vectorial explora este
