Dois amigos resolveram apostar qual deles acertava mais bolas ao cesto. João arremessou 12 bolas e acertou 7; Mário arremessou 15 bolas e acertou 8.

Escreva as frações que representam os acertos de cada um. Qual deles ganhou a aposta?

Comparação de frações

Comparar duas frações é verificar se elas são iguais ou não e, caso sejam diferentes, qual delas é a maior.

Quando as frações têm o mesmo denominador, a comparação éimediata. Veja o exemplo. Exemplo 1

Qual é a fração maior:

1.

ou i.?

. 8 8 Observe as figuras: 3 8

_~>l..

8 8 5 8

Éfácil concluir a seguinte regra:

2 5

__

I---

I

...--

~

__ ---I..__ -L __

I

_

1

.

> 2 5 7 172 AULA 25

E quando apenas os numeradores das frações forem iguais? Qual será a maior fração? Exemplo 2

Qual é a maior fração:

1:

.

ou

1:

.

?

5 7

Observe as figuras:

2 7

Você pode observar que a primeira figura foi dividida em menor número de partes que a segunda. Por isso, as duas partes que representam

1:

.

são maiores que as duas partes que representam

1:

.

.

C 1, - 5 7

onc uimos, então, que:

Quando as frações têm numeradores iguais, a maior é a que tem menor denominador.

Comparar frações de denominadores iguais ou de numeradores iguais é bastante simples. Mas, como comparar frações de denominadores e de numeradores diferentes?

Podemos fazer isso usando um conjunto repartido em outros conjuntos que permitam a repre-sentação das frações que desejamos comparar. Veja o exemplo.

Exemplo 3

Qual é a maior fração: 1:.ou â.?

3 7

Vamos considerar um conjunto de 3 x 7=21 elementos.

Para facilitar, organizamos esses elementos formando um retângulo, como na figura seguinte. Depois, fazemos uma cerca em volta dos elementos que representam ~ do total e outra em volta dos elementos que representam

1:

.

do total. Precisamos de um conjunto que possa ser repartido em terços e em sétimos. Escolhefuos um conjunto com os elementos em 3 fileiras com 7 ele-mentos ou em 7 fileiras com 3elementos. Assim:

,,------------, I I

1

. • . . . I. •

~---r----, 11. • • • • • • \ I I I 2 11

1-

3

li ••••• 1 •• , ~-

_,

---~----_/

.,---

-

-

r

---5 7

Na figura, éfácil ver que

t

é maior que ~ :

3

do conjunto contêm 15 elementos; ~ do conjunto contêm 14 elementos.

Também podemos comparar frações com denominadores diferentes sem usar figuras. Para isso, substituímos as frações dadas por outras equivalentes a elas, com denominadores iguais.

Para comparar ~ e ~, por exemplo, qual deverá ser o denominador das novas frações? O

denominador deverá ser múltiplo de 5 e também múltiplo de 4, jáque devemos encontrar fra

-ções equivalentes. .

Sabemos que 20 émúltiplo comum a 5 e 4. Portanto, ele será odenominador das frações equi

-1 2 3

va entes a 5 e 4'

Além disso, já sabemos que, multiplicando o numerador e o denominador deuma fração pelo mesmo número, encontramos uma fração equivalente.

Para transformar

1

..

em uma fração de denominador 20, fazemos assim:

5 2 5 2 x 4 8 = 5 x 4 20

Como

!

também deve ser transformada em uma fração de denominador 20, fazemos assim:

3 _ 3 x 5 _ 15

4 - 4 x 5 - 20

Como

~6

é maior que 280' concluímos que:

!

> ;

Atividades

Faça no seu caderno.

1. Compare asfrações usando os sinais: <, >ou

=

.

a) O 1 d) 1 3 3 b) ~ 5 e) 1 3 6 4 c)

-

º

-

5 f) 3 4 4 4

2. Coloque em ordem crescente as frações:

2 1 3 7 3 2 5 10 1 5 2 8 1 2

174 AULA 25

Adição de frações

Estarnos prontos, agora, para aprender a somar frações. A regra é a seguinte:

Para somar duas frações de mesmo denominador, somamos os numeradores.

Essa regra é fácil de entender. Somar 10com

l,

por exemplo, significa que uma certa unidade

1 10 '

foi dividida em 10partes eque juntamos uma parte com três partes. E claro que teremos, então, quatro das 10 partes. Assim:

-.

l+l

=

~

10 10 10

E se as duas frações não têm mesmo denominador? ão há problema. Já sabemos encontrar fra -ções equivalentes, com denominadores iguais. Observe o exemplo.

Exemplo 4

Vamos calcular 3 + 1 4 b'

Repare que 12 é múltiplo de 4 e também de 6. Então:

3=3x3_9 4 4x3-TI 1 6 1 x 2 6x2 2 12

Frações maiores que a unidade

Sabemos que toda fração que tem numerador igual ao denominador representa aunidade.

Podemos, então, entender o que significa uma fração com numerador maior que o denominador. Por exemplo, oque significa a fração ~?

Éclaro que, de um bolo que foi dividido em quatro partes iguais, não podemos pegar cinco par-tes. Mas, pelo que vimos anteriormente, raciocinamos assim:

~

=

~+

l=

l+

l

Assim, ~ representa uma unidade inteira mais

!

dessa unidade. Portanto, aexpressão ~ de bolo deve ser entendida como 1 bolo inteiro mais a quarta parte de um outro bolo idêntico.

o

numerador pode ser muito maior que o denominador. Não há problema. Por exemplo, vamos ver o que é

11

:

4

R

=

....

i

..

+

....

i

..

+

....

i

..

=1+1 + 1=3unidades

4 444

Atividades

Faça no seu caderno.

3. Faça as operações:

b)..l..+l=

5 5

d)

.

L

+..l..

=

3 4

4. Escreva cada fração abaixo como soma de um número inteiro e uma fração com numerador menor que o denominador. Veja o modelo:

72221 1 1

-=-+-+-+-=1+1+1+-=3+

-22222 2 2

a)

J

_{3 -}

L

-c) ~3

=

5. A diferença entre duas frações segue o mesmo critério da soma. Tente fazer estas operações:

a) ~

_

.

1

=

5 5

176 AULA 25

A reta numérica

Um recurso bastante interessante para representar frações é o da reta numérica.

Trace uma reta e nela marque um ponto, que representa o zero:

o

Pegue uma tira de papel de aproximadamente 4 em, como esta:

o

2 3

'--- 4em ---'

Usando estatira como unidade, marque na reta os pontos que representarão osnúmeros inteiros.

Divida atira em duas partes iguais.

Já

sabemos que cada uma dessas partes representa a fração

i

(um meio).

1 1

2 2

Usando essa metade da tira, marque, apartir do zero e para adireita, os pontos que representam

f -.12345 t as raçoes. T' T' T' T' T' e c.

I

i

l

_

i

[T

I

I o 2 3 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2

Pegue outra tira de papel, igual à anterior, e divida-a em quatro partes iguais. Cada parte repre-senta a fração 1.(um quarto):

Usando esse pedaço da tira

t,

marque na mesma reta, a partir do zero, os pontos que repre -sentam as frações:

I

41

I

41

I

41

I

41

I

[

±]

I

o

7 4 1 2 3 2 2 2 2

.

s

.

4 ...L 6 L 4 4 4 4 4 4 I

,

I 2 3

....

L

₅

₆

2 2 2 8

L

u

:

u

.

12 4 4 4 4 4

Esse processo pode continuar. Se dividirmos aomeio o pedaço da tira que vale

t,

obteremos uma fração que vale

.

l

.

Veja:

8

Com esse pequeno pedaço de tira, podemos marcar as frações:

12345

-, -, -, -, -, etc.

8 8 8 8 8

Se, por outro lado, dividirmos a nossa primeira tira em três partes iguais, teremos uma parte que vale

l

Com ela, podemos marcar, na reta numérica, as frações:

1 234

-, -, -zrr -, etc.

3 333

o

trabalho de colocar as frações na reta numérica não acaba nunca. Mas o importante é saber que:

'78

AULA 25

Atividades

F ~ ru» ieu r erno.

6. Assinale numa mesma reta asfrações de cada item:

333 6 a)

2

'

8'4

e

6

5 5 5 10 b)

3

'

8

'

10e

6

2 7 15 4 c)

5'

10'

5

e 10

7. Em cada item da atividade anterior, destaque amaior fração.

8. Gil e Gal disputavam um torneio ortográfico: queriam saber quem escrevia

corretamente o maior número de palavras difíceis. Primeiro, Gil ditou 50 palavras, eGal escreveu certo 30 delas. Depois foi a vezde Gal ditar 50 pal

a-vras. Mas, quando Gil escreveu a quadragésima (40ª)palavra, chegaram uns

amigos, e a brincadeira acabou. Gil, que tinha acertado 24 palavras, disse: