Coordenadas cartesianas Triedro direto

Coordenadas cartesianas

Triedro direto

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas

Componentes x, y, z do vetor r

Coordenadas cartesianas

Vetores unitários

Coordenadas cartesianas

Vetor diferença entre P e Q

Produto vetorial

Regra do parafuso

Coordenadas cilíndricas circulares

Coordenadas cilíndricas circulares

3 vetores unitários

Coordenadas cilíndricas circulares

Volume diferencial

Relações entre coordenadas retangulares

e cilíndricas circulares

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas

3 vetores unitários

Coordenadas esféricas

Comparação entre coordenadas retangulares,

cilíndricas e esféricas

Comparação entre vetores unitários de

Comparação entre elementos diferenciais de

volumes em coordenadas retangulares,

Relações entre as coordenadas

Retangulares

Cilíndricas

Esféricas

R

e

t

C

i

l

E

s

f

x

ρ

cos

φ

r sen

θ

cos

φ

y

ρ

sen

φ

r sen

θ

sen

φ

z

z

r cos

θ

ρ

φ

z

r

θ

φ

2 2

y

x

+

x

y

arc tan

z

2 2 2

z

y

x

+

+

2 2 2

cos

z

y

x

z

arc

+

+

x

y

arc tan

Produtos escalares entre os versores

a

_ρ

a

_φ

a

_z

a

_r

a

_θ

a

_φ

−

sen

φ

cos

φ

0

sen

θ

cos

φ

0

0

sen

θ

sen

φ

1

cos

θ

a

_x

cos

φ

cos

θ

cos

φ −

sen

φ

a

_y

sen

φ

0

cos

θ

sen

φ

cos

θ

Relações entre os versores

Retangulares

Cilíndricas

Esféricas

R

e

t

C

i

l

E

s

f

a

x

cos

φ

a

ρ

−

sen

φ

a

φ

sen

θ

cos

φ

a

r

+ cos

θ

cos

φ

a

θ

- sen

φ

a

φ

a

_y

cos

φ

a

x

+

sen

φ

a

y

−

sen

φ

a

_x

+

cos

φ

a

_y

a

_z

sen

θ

cos

φ

a

_x

+ sen

θ

sen

φ

a

_y

+ cos

θ

a

_z

cos

θ

cos

φ

a

_x

+ cos

θ

sen

φ

a

_y

- sen

θ

a

_z

−

sen

φ

a

_x

+

cos

φ

a

_y

sen

φ

a

_ρ

+

cos

φ

a

_φ

sen

θ

sen

φ

a

_r

+ cos

θ

sen

φ

a

_θ

+ cos

φ

a

_φ

a

z

a

z

cos

θ

a

r

- sen

θ

a

θ

a

_ρ

a

φ

a

_z

a

_r

a

_θ

a

_φ

Identidades vetoriais diferenciais

=

=

₀

=

₀

=

=

=

=

=

=

=

f

2

∇

f

∇

⋅

∇

F

×

∇

⋅

∇

f

∇

×

∇

(

∇

⋅

F

)

−

∇

2

F

∇

(

∇

×

F

)

×

∇

( )

f

g

+

f

( )

∇

g

∇

( )

fg

∇

(

F

⋅

G

)

⋅

∇

(

∇

⋅

F

)

G

+

F

×

(

∇

×

G

) (

+

∇

⋅

G

)

F

+

G

×

(

∇

×

F

)

( )

∇

f

⋅

F

+

f

∇

⋅

F

( )

f

F

⋅

∇

( )

∇

f

⋅

F

+

f

(

∇

⋅

F

)

(

F

×

G

)

⋅

∇

( )

∇

f

×

F

+

f

∇

×

F

( )

f

F

×

∇

(

F

×

G

)

×

∇

(

∇

⋅

G

) (

F

−

∇

⋅

F

)

G

+

(

G

⋅

∇

) (

F

−

F

⋅

∇

)

G

Coordenadas curvilíneas

Um ponto

P

no espaço pode ser localizado

por coordenadas retangulares (

x,y,z

) ou

por coordenadas curvilíneas (

u

₁

,u

₂

,u

₃

).

As equações que transformam um

conjunto de coordenadas no outro são:

x

= x(

u

₁

,u

₂

,u

₃

)

y

= y(

u

₁

,u

₂

,u

₃

)

y

= y(

u

₁

,u

₂

,u

₃

)

Se

u

₂

e

u

₃

forem constantes, então, à medida que

u

₁

variar, a posição do

ponto

P

, representada pelo vetor r = xa

_x

+ ya

_y

+ za

_z

descreve a curva

coordenada

u

₁

. Similarmente são definidas as curvas no espaço

u

₂

e

u

₃

.

Os vetores representam os versores tangentes às curvas

coordenadas

u

₁

,u

₂

,u

₃

.

1

2

3

,

,

u

u

u

∂

∂

∂

∂

∂

∂

r

r

r

Coordenadas curvilíneas

Fazendo a

₁

, a

₂

, a

₃

os

versores tangentes

às curvas coordenadas, tem-se:

em que

são denominados “fatores escalares”.

1 1

2

2

3 3

1

2

3

,

,

,

h

h

h

u

u

u

∂

₌

∂

₌

∂

₌

∂

∂

∂

r

r

r

a

a

a

1

2

3

1

2

3

,

,

h

h

h

u

u

u

∂

∂

∂

=

=

=

∂

∂

∂

r

r

r

Se a

₁

, a

₂

, a

₃

forem mutuamente perpendiculares, o sistema de coordenadas

curvilíneas é dito “

ortogonal

”.

Coordenadas curvilíneas

O elemento diferencial de volume em

coordenadas curvilíneas será:

em que

é denominada “Matriz

Jacobiana” da transformação.

(

1 1

1

) (

2

2

2

) (

3 3

3

)

1 2 3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 2 3

=

( , , )

=

dV

h

du

h

du

h

du

h h h du du du

du du du

u

u

u

x y z

du du du

u u u

=

⋅

×

=

∂

_⋅

∂

_×

∂

₌

∂

∂

∂

∂

∂

a

a

a

r

r

r

1

2

3

1

2

3

1 2 3

1

2

3

( , , )

x y z

x u

x u

x u

y

u

y

u

y

u

u u u

z u

z u

z u

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

_{= ∂ ∂}

_{∂ ∂}

_{∂ ∂}

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

=

⋅

∇

→ 3 3 2 1 3 2 2 3 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 2

1

u

f

h

h

h

u

u

f

h

h

h

u

u

f

h

h

h

u

h

h

h

f

→ → → →

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

₃ 3 3 2 2 2 1 1 1

1

1

1

a

u

f

h

a

u

f

h

a

u

f

h

f

(

) (

) (

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

⋅

∇

→ → 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1

1

u

h

h

A

u

h

h

A

u

h

h

A

h

h

h

A

3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1

1

h

A

h

A

h

A

u

u

u

a

h

a

h

a

h

h

h

h

A

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

×

∇

vetor qualquer

escalar do vetor

A

Laplaciano

Gradiente

Divergente

Rotacional

u

₁

u

₂

u

₃

h

₁

h

₂

h

₃

Cartesianas

x

y

z

1

1

1

Cilíndricas

ρ

φ

z

1

ρ

1

Esféricas

r

1

r

r sen

θ

Fatores de proporcionalidade

Coordenadas curvilíneas

versores tangentes às curvas

função algébrica qualquer

f

A

θ

φ

Exercícios

Exercício E 1.1

Dados os três pontos A(2;-3;1), B(-4;-2;6), e C(1;5;-3), determinar: a) O vetor que se extende de A até C;

b) O vetor unitário dirigido de B para A; c) A distância entre B e C;

d) O vetor q

2

4 2 x (7 2 ) (4 2 )

ue se extende de A até o ponto médio do segmento que une B a C.

Exercício E 1.2

Um campo vetorial é definido por W = x ya - x+ z a_y + xy+ z a_z. Dados os três pontos , B(-4;-2;6), e C(1;5;-3), determinar:

a) Qual é a intensidade (ou módulo) da campo no ponto P(2;-3;4)?

b) Determine o vetor unitário que indique a direção da campo no ponto P? c) Em que ponto (ou pontos) do eixo "z" a intensidade de "W "

2 - 5 4 3 5 2 ; . x x é unitária? Exercício E 1.3 Dados e , determine: a) b) O ângulo entre e ;

c) A componente escalar de na direção de ; c) A projeção de na direção de Exercício E 1.4 y z y z = − = + − F a a a G a a a F G F G F G F G i 45 70 25 4 3 2 ; ); ) . x x x x Se e , determine: a) b) ( c) ( ; c) Um vetor perpendicular a e a y z y z y y = − + + = − + × × × × × F a a a G a a a F G a a F a a F F G

Respostas dos exercícios

(

0

,

669

0

,

591

0

,

451

)

.

)

;

45

70

)

;

45

)

;

145

190

215

)

4

.

1

.

42

,

1

55

,

3

31

,

2

)

;

38

,

4

)

;

8

,

130

)

;

27

)

3

.

1

.

455

,

0

)

;

150

,

0

412

,

0

899

,

0

)

;

4

,

53

)

2

.

1

.

5

,

0

5

,

4

5

,

3

)

;

45

,

12

)

;

635

,

0

127

,

0

762

,

0

)

;

4

8

)

1

.

1

z

y

x

y

x

y

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

a

a

a

d

a

a

c

a

b

a

a

a

a

E

a

a

a

d

c

b

a

E

c

a

a

b

a

E

a

a

a

d

c

a

a

a

b

a

a

a

a

E

−

+

±

−

−

−

−

+

−

−

−

−

±

+

−

−

+

+

−

−

+

−

+

−

Exercícios

o E x e rc íc io E 1 .5 D a d o s o s p o n to s P ( = 6 ; = 1 2 5 ;z= -3 ) e Q (x = 3 ;y= -1 ;z= 4 ), d e te rm in e a d is tâ n c ia : a ) D e "P " a té a o rig e m ; b ) D e "Q " a té o p é d a p e rp e n d icu la r q u e p a ss a p o r e s te p o n to , e m re la ç ã o a o e ix o "z"; c ρ φ 2 _{3 2} 2 4 0 2 2 c os ). 2 ) E n tre P e Q ; E x e rc íc io E 1 .6 a ) E x p re s se o ca m p o d e te m p e ra tu ra s e m c o o rd e n a d a s c ilín d rica s ; b ) D e te rm in e a d e n sid a d e n o p o n to P (-2 ;-5 ;1 ), se n d o a m e sm a e x p re s sa p o r ( E x e rc í z z x y e− ρ φ = + − + T ( ) c os o c io E 1 .7

a ) E x p re s se o ca m p o v e to ria l e m c o o rd e n a d a s cilín d rica s ; b ) E x p re s s e o c a m p o v e to ria l ; E x e rc íc io E 1 .8 D a d o s o s p o n to s P ( = 6 ; = 1 1 0 ; = 1 2 5 ) e Q (x = 3 ;y= -1 ;z= 4 ), d e te rm in e a d is t y x y r ρ ρ φ θ φ = − = W a F a 0; 2 4 0 2 2 â n c ia : a ) D e "Q " à o rig e m ; b ) D e "P " a té o p la n o c ) E n tre "P " e "Q "; E x e rc íc io E 1 .9 a ) E x p re s se o ca m p o d e te m p e ra tu ra s e m c o o rd e n a d a s e s fé rica s ; b ) D e te rm in e a d e n sid a d e é e x p re s s a p o r y z x y r = = + − T / 2 5 c os c os ) ( ) c os ( , d e te rm in e -a n o p o n to P (-2 ;-5 ;1 ). E x e rc íc io E 1 .1 0 a ) E x p re s se o ca m p o v e to ria l e m c o o rd e n a d a s e sfé rica s ; b ) E x p re s s e o c a m p o v e to ria l e m co o rd e n a d a s ca rte sia n a

r y r e se n x y r θ θ φ φ − _{+ +} = − = W a F a s .

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

x

y

z

)

r

y

x

z

y

x

y

x

x

b

r

a

E

b

r

a

E

c

b

a

E

y

x

y

x

x

b

a

E

b

z

a

E

c

b

a

E

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+

+

+

+

+

−

−

+

+

+

+

−

−

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

;

cos

cos

sen

sen

sen

cos

sen

)

10

.

1

.

706

,

1

)

;

sen

2

sen

cos

240

)

9

.

1

.

35

,

10

)

;

62

,

4

)

;

10

,

5

)

8

.

1

.

)

;

cos

sen

sen

cos

)

7

.

1

.

66

,

8

)

;

2

sen

240

)

6

.

1

.

20

,

11

)

;

16

,

3

)

;

71

,

6

)

5

.

1

φ

θ

φ

ρ

φ

θ

θ

φ

φ

φ

θ

θ

φ

θ

φ

φ

φ

φ

ρ

φ

ρ