Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática Lista de exercícios
Professora: Angelita Minetto Araújo Álgebra Linear
1. Verifique se o produto das matrizes 0 1 0 1 é comutativo.
2. Dada à função f (x) = x2 – 3 x + 2, encontre f (A), para a matriz 0 1. 3. Seja *
+, se ( ) , encontre ( ) 4. Encontre a solução dos sistemas dados por
a. [ ] 0 1 b. * + * + * + 5. Seja * +. Encontre: a) AA T ; b) ATA 6. As matrizes 2 3 1 1 A e 2 1 0 1
B . Se a matriz X, de ordem 2, é a solução da equação AX B
, então a soma dos elementos de X é: (a) 7 3 (b) 7 3 (c) 5 1 (d) 5 1 (e) n.d.a.
7. Determine a matriz adjunta de A [
]
8. Calcule as inversas das matrizes:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
9. Encontre a matriz dos cofatores de [
].
10. Verifique se as matrizes A e B são simétricas ou antissimétricas:
a. [ ] b. [ ] 11. Dada a matriz [ ], resolva a equação: A-1. X. AT = A.
12. Reduza as matrizes à forma escalonada, determine os valores e classifique os sistemas:
a. [ ] b. [ ] c. [ ] d. [ ]
13. Resolva e discuta os sistemas de equações, reduzindo à forma escalonada.
a. { b. { c. { d. { e. { f. { g. { {
j i j i j i aij se 2 se 0
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6 (e) n.d.a
15. Calcule o determinante da matriz: A
aij de ordem 2, onde: j i i j i a j i j i se 1 se 2 2(a) 30 (b) 30 (c) 40 (d) 50 (e) n.d.a.
16. Se multiplicarmos por 2 cada elemento de uma matriz quadrada de ordem 3, o seu determinante fica multiplicado por:
(a) 8 (b) 2 (c) 6 (d) 4 (e) n.d.a.
17. Se multiplicarmos por 3 cada elemento de uma matriz quadrada de ordem 4, o seu determinante fica multiplicado por:
(a) 3 (b) 81 (c) 64 (d) 12 (e) n.d.a.
18. Se 2 1 4 2 3 0 1 2 1
A , então o elemento que está na terceira linha e segunda coluna da matriz
inversa de A é: (a) 4 1 (b) 4 3 (c) 4 3 (d) 4 5 (e) n.d.a. 19. Se 0
1 , ache M , de modo que M
2 = P. 20. Sejam as matrizes 6 1 1 2 A e 2 1 0 1
B . Se a matriz X, de ordem 2, é a solução da
equação AX B, então a soma dos elementos de X é:
(a) 11 7 (b) 11 7 (c) 11 10 (d) 11 10 (e) n.d.a.
21. Para que valores de m e n o sistema de equações lineares 4 2 3 my x n y x é impossível? (a) m6 e n2 (b) m6 e n2 (c) m6 e n2 (d) m6 e n 2 (e) n.d.a.
22. Ache todos os valores de k para que sistema homogêneo de equações lineares que segue
admita solução: 0 2 0 2 0 kz y x z y x kz y x (a) 2 1 k (b) 2 1 k (c) k 2 ou k1 (d) k 2 ou k 3 (e) n.d.a.
23. Calcule o determinante das matrizes:
a. [ ] b. [ ] 24. Sejam 0 1 e [ ]. Encontre AB.
25. Dadas as matrizes 0 1 e 0
1 . Calcule a e b, de forma que AB seja a matriz nula de ordem 2.
26. Sendo [ ] ache X tal que AX = AT. A
Resoluções
1. Verifique se o produto das matrizes 0 1 0 1 é comutativo. R: Sim.
) 0 1 0 1 0 1 0 1 ) 0 1 0 1 0 1 0 1
2. Dada à função f (x) = x2 – 3 x + 2, encontre f (A), para a matriz 0 1. ( ) .0 1/ .0 1/ .0 1/ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Logo, ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1
3. Seja * +, se ( ) , encontre ( ) ( ) ( ) * + * + * + ( ) * + * + * + * + ... ( ) * +
4. Encontre a solução dos sistemas dados por
[ ] 0 1 { ( ) ( ) ( ) De (1) em (2): ( ) Logo, (4) em (3): R: x = 3; y = 4; z = 7 * + * + * + * + * + * + * + * + { 5. Seja * +. Encontre: a) AA T ; b) ATA
a. * + [ ] * + b. [ ] * + [ ] 6. As matrizes 2 3 1 1 A e 2 1 0 1
B . Se a matriz X, de ordem 2, é a solução da equação AX B
então a soma dos elementos de X é: R: (d)
(a) 7 3 (b) 7 3 (c) 5 1 (d) 5 1 (e) n.d.a.
7. Determine a matriz adjunta de A [
]
Matriz Adjunta: ̅
É a matriz transposta da matriz dos cofatores.
Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.
Para encontrar a matriz cofator fazemos: A11 = ( ) |
|
Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas.
R: [
]
8. Calcule as inversas das matrizes:
) [ ] [ ] ) [ ] [ ] Determinante
) [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ]
9. Encontre a matriz dos cofatores de [
]
Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.
Para encontrar a matriz cofator fazemos: A11 = ( ) |
| para cada elemento da matriz.
Encontrando a matriz cofator: A’
Seja A a matriz original, tal que: [
]
E, seja A’ a matriz dos cofatores, tal que: A’ = [
]
Para encontrar a matriz cofator fazemos: A11 = ( ) | | A12 = ( ) | | A13 = ( ) | | A21 = ( ) | | A22 = ( ) | | A23 = ( ) | | A31 = ( ) | | A32 = ( ) | | A33 = ( ) | | Assim, A11 = ( ) ( ) A12 = ( ) ( ) A13 = ( ) ( ) A21 = ( ) ( ) A22 = ( ) ( ) A23 = ( ) ( ) A31 = ( ) ( ) A32 = ( ) ( ) A33 = ( ) ( ) Logo, A11 = ( ) = ( ) A12 = ( ) = A13 = ( ) = A21 = ( ) = A22 = ( ) = A23 = ( ) = 0 A31 = ( ) = A32 = ( ) = A33 = ( ) = [ ]
10. Verifique se as matrizes A e B são simétricas ou antissimétricas: Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante
a. [ ] R: A é simétrica (AT = A) b. [ ] R: B é antissimétrica (AT = - A) 11. Dada a matriz [ ], resolva a equação: A-1. X. AT = A ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] Calculando a inversa de ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] Logo, ( ) [ ] Descobrindo [ ] [ ] [ ] [ ] Portanto, ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
12. Reduza as matrizes à forma escalonada, determine os valores e classifique os sistemas:
a. [ ] ( ) , ( )
( ) * ( ) ( ) , ( ) { ( )
Portanto, SPI, com , (
)- Logo, se b. [ ] R: SPI [ ] , [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c. [ ] [ ] , [ ] * [ ] { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SPD, com , (
)-d. [
]
13. Resolva e discuta os sistemas de equações, reduzindo à forma escalonada.
a. { R: SPI [ ] , [ ] [ ] [ ] 2 ( ) R: S *( )+ b. { R: SPD [ ] , [ ] [ ] [ ]
{ ( ) ( ) ( ) R: SPD, S *( )+ c. { R: SPI [ ] , [ ] 2 R: S *( )+ d. { R: SI [ ] , [ ] 2 Logo, SI
e. { R: SI { g. { R: SPI ( -1-2y , y, 1, -1) { R: SI
[ ] , [ ] [ ] * [ ] { Logo, SI
14. Calcule o determinante da matriz: A
aij de ordem 3, onde: j i j i j i aij se 2 se 0 R: (d)
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6 (e) n.d.a
A = [ ] [ ]
15. Calcule o determinante da matriz: A
aij de ordem 2, onde: j i i j i a j i j i se 1 se 2 2
(a) 30 (b) 30 (c) 40 (d) 50 (e) n.d.a. R: (a)
0 1 [ ] [ ]
16. Se multiplicarmos por 2 cada elemento de uma matriz quadrada de ordem 3, o seu determinante fica multiplicado por:
(a) 8 (b) 2 (c) 6 (d) 4 (e) n.d.a. R: (a)
Propriedade 2 dos determinantes: se multiplicarmos uma linha da matriz por k o determinante fica multiplicado por k. Logo numa matriz 3 x 3 então:
É o número que pretendemos multiplicar cada elemento da matriz (2), elevado a ordem da matriz (3).
Logo, temos que multiplicar o determinante por 8.
17. Se multiplicarmos por 3 cada elemento de uma matriz quadrada de ordem 4, o seu determinante fica multiplicado por:
(a) 3 (b) 81 (c) 64 (d) 12 (e) n.d.a. R: (b)
Propriedade 2 dos determinantes: se multiplicarmos uma linha da matriz por k o determinante fica multiplicado por k. Logo numa matriz 4x 4 então:
É o número que pretendemos multiplicar cada elemento da matriz (3), elevado a ordem da matriz (4).
Logo, temos que multiplicar o determinante por 81.
18. Se 2 1 4 2 3 0 1 2 1
A , então o elemento que está na terceira linha e segunda coluna da
matriz inversa de A é: (a) 4 1 (b) 4 3 (c) 4 3 (d) 4 5 (e) n.d.a. R: (c) 19. Se 0
1 , ache M , de modo que M
2 = P. R: 0
1 ver as demais respostas, conforme o número de raízes do polinômio.
0 1 0 1 0 1 ⦻ 0 1 0 1 aa + bc = 3 bc = 3 – aa ① ab +bd = –2 b (a + d) = – 2 ② ac + cd = – 4 c (a + d) = – 4 ③ bc + dd = 3 bc = 3 – dd ④ De ② e ③: 3 – a2 = 3 – d2 ∴ a2 = d2 ∴ a = d ⑤ De ① e ④: ∴ ∴ ⑥
⑤ e ⑥ em ⦻: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 { 2 ab = - 2 [ ] [ ] 0 1 ⦻ [( ) ( ) ] 0 1
∴ Polinômio de grau 4 – temos 4 raízes
Logo,
Solução: Nesse caso, temos uma equação do 4º grau incompleta, também chamada de equação biquadrada: pode ser reescrita da seguinte forma:
2(b2)2 – 3b2 + 1 = 0
Fazendo b2 = t e substituindo na equação acima obtemos:
2 t2 – 3 t + 1 = 0 → que é uma equação do 2º grau.
Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Báskara: √
Logo, x’ = 1 e x’’ =
Então: b2 = 1 b = ± 1
b2 = b = ± √
Raíz 1: b = 1 Se b = 1 a = -1 d = -1 e c = 2 Portanto, 0 1 Prova: 0 1 0 1 0 1 20. Sejam as matrizes 6 1 1 2 A e 2 1 0 1
B . Se a matriz X, de ordem 2, é a solução da
equação AX B, então a soma dos elementos de X é:
(a) 11 7 (b) 11 7 (c) 11 10 (d) 11 10 (e) n.d.a. R: (d) A X = B 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 { ∴ a = 6c +1 e a = ∴ ∴ c = Se: c = então a = d = 2b ∴ - b + 6 (2b) = 2 ∴ - b + 12b = 2 ∴ b = Se: b = então d = Logo, ( )
21. Para que valores de m e n o sistema de equações lineares 4 2 3 my x n y x é impossível? (a) m6 e n2 (b) m6 e n2 (c) m6 e n2 (d) m6 e n2 (e) n.d.a. R: (b) | | * L1(-2) + L2 | |
Logo, (m – 6) = 4 – 2 n (m – 6) = 2(2 – n) m = 6 e n ≠ 2
Condição: 0x + 0y + 0z = β O sistema é impossível ∄
Se m ≠ 6 e n = 2 é possível, pois teremos:
22. Ache todos os valores de k para que sistema homogêneo de equações lineares que segue admita solução: 0 2 0 2 0 kz y x z y x kz y x (a) 2 1 k (b) 2 1 k (c) k 2 ou k1 (d) k 2 ou k 3 (e) n.d.a. R: (b) [ ] [ ] [ ] * L1(-1) + L2 * L2(-1)+L3 * L1(-2) + L3 { ( ) ( ) 2 k – 1= 0 ∴ k =
k = a solução do sistema será S *( )+
23. Calcule o determinante das matrizes:
a. [ ]
Laplace: det A = 2 (-1)4 det [ ] + 1 (-1)6 det [
]
b. [ ] R: det B = 4
Esta é uma matriz triangular inferior, logo:
det B = produto dos elementos da diagonal principal.
det B = 1 (-2) (-1) (1) (2) = 4 R: det B = 4 24. Sejam 0 1 e [ ]. Encontre AB. A2x3 . B3x2 = AB2x2 R: 0 1 25. Dadas as matrizes 0 1 e 0
1 . Calcule a e b, de forma que AB seja a matriz nula de ordem 2. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0 1 { Logo, a = -6 e R: a = -6 e
26. Sendo [ ] ache X tal que AX = AT. A R: [
Multiplicando à esquerda por A-1: (A-1) AX = (A-1) AT. A
(A-1 A) X = (A-1) AT. A (I) X = (A-1) AT. A
X = (A-1) AT. A
27. Resolva o sistema e classifique-o.
{ z = 2 – w ∴ y = -1 + 2w ∴ x = -5 w + 9 ∴ se w = 1 S {(4, 1, 1, 1)} Portanto, temos todo o conjunto solução dependendo do valor de w, assim o sistema é SPI.
Referências
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
1 1 -1 2 6
0 1 3 1 5
0 0 -3 -3 -6
