Óptica 2007
Óptica de Sólidos
Aula 2
Daniel Schneider Tasca,
Sumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringentes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Equações de Maxwell e a
Equação de Onda
(
)
t
t
t
c
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
+
×
∇
×
∇
E
E
P
2 0J
2 0 2 2 21
μ
μ
0 01
ε
ρ
ε
∇
⋅
+
−
=
⋅
∇
∂
∂
−
∂
∂
−
=
×
∇
P
E
M
H
E
0 0t
μ
t
μ
M
H
J
P
E
H
⋅
∇
=
⋅
∇
+
∂
∂
+
∂
∂
=
×
∇
t
t
0ε
Sumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringêntes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Propagação da luz em meios
condutores
z Equação diferencial de movimento para os elétrons:
z Equação para a densidade de corrente:
z Solução transiente (tempo de relaxação):
z Para um campo elétrico estático:
0
≠
J
Termo de corrente na
equação de onda
(elétrons livres)
1d
m
m
e
dt
τ
−= −
−
v
v
E
v
J
=
−
Ne
2 1d
Ne
dt
τ
m
−+
=
J
J
E
Densidade volumétrica
de corrente
τ / 0 te
−= J
J
Lei de Ohm
2 1Ne
m
τ
−J
=
E
σ
τ
J
=
σ
E
m Ne2 = Condutividade estáticaPropagação da luz em meios
condutores
z Solução harmônica para a densidade de corrente
z Resolvendo para J
z Substituindo a expressão para J na equação de onda
z Solução
(
ω
τ
)
J Eτ
1σ
E 2 1 − − = = + − m Ne i 1 iσ
ωτ
= − J E 2 2 0 2 21
1
c
t
i
t
μ σ
ωτ
∂
∂
∇
=
+
∂
−
∂
E
Ε
E
( ) ( ) 0 0 i z t i kz t ze
Κ −ωe
−ωe
−α=
=
E E
E
α
i
k
+
=
Κ
Vetor de onda complexo
Comprimento de penetração (aproximação freqüências baixas)
0 0 0 1 2 c
λ
δ
α
ωσμ
πσμ
= ≈ = 2 2 01
i
c
i
ωμ σ
ω
ωτ
⎛ ⎞
Κ =
⎜ ⎟
+
−
⎝ ⎠
1 2 2 1 − + − = Κ =ωτ
ω
ω
ω
i c N p τ σ μ ε ω 0 2 0 2 c m Ne p = = Índice de refraçãoTempo de relaxação típico para de metais da ordem de 10 -13 s (infravermelho). Freqüência de plasma 1015s-1 (visível).
Propagação da luz em meios
condutores
Gráfico: Amplitude do campo elétrico em função da distancia percorrida em um meio condutor.
Sumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringêntes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Placas de onda, divisores de feixe e
polarizadores birrefringentes
z
Meio dielétrico anisotrópico uniaxial (eixo óptico na direção z):
( )
( )
2( )
2 2 2 2sin
cos
1
e on
n
n
θ
θ
θ
=
+
Placas de onda
e on
n
n
=
−
Δ
cos
1
0
cos
sin
sin
0
1
θ
θ
θ
θ
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
=
+
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
( )1
( , )
0
o i k x t ox t
e
ω −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
E
( , )
0
( )1
e i k x t ex t
e
ω −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
E
Birrefringência: 0 e e ek
n
n k
c
ω
=
=
k
on
on k
o 0c
ω
=
=
Definimos os vetores de onda:
0
1
0
cos
sin
0
1
o ik x i t i nk xe e
−ω⎧
θ
⎡ ⎤
θ
⎡ ⎤
e
− Δ⎫
→
⎨
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎬
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎩
⎭
Considere um cristal anisotrópico de comprimento L (0<x<L) com eixo óptico na direção do eixo z. As componentes do campo elétrico com polarizações y e z “enxergam” índices de refração diferentes.
Placas de onda
01
0
cos
sin
0
1
o ik L i t i nk Le e
−ω⎧
⎨
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
e
− Δ⎫
⎬
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎩
⎭
(
)
0 0 2 2 1 nk L λπ nL m π Δ = Δ = + 0 0 2 1 2 nk L λπ nL ⎛m ⎞π
Δ = Δ = ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠A polarização do feixe na saída do cristal será dada por
Placas de meia onda obedecem a condição: Placas de ¼ de onda obedecem a condição:
1
0
cos
cos
sin
0
1
sin
o o ik L i t i t ik Le
θ
θ
e
ωe
ωe
θ
θ
− −⎧
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎫
⎡
⎤
+
=
⎨
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎬
⎢
−
⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎩
⎭
1
0
cos
cos
sin
0
sin
o o ik L i t ik L i te
e
e e
i
i
ω ωθ
θ
θ
θ
− −⎧
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎫
⎡
⎤
+
=
⎨
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎬
⎢
−
⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎩
⎭
Polarizadores birrefringentes
Glan-Foucault Glan-Taylor Glan-Thompson Prisma de Nicol Prisma de Wollaston( )
o En
n
<
<
θ
sin
1
Polarizadores birrefringentes
Glan-Taylor
Glan-Thompson
Dividores e separadores de
feixes birrefringêntes
Sumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringêntes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Atividade Óptica
z Certas substâncias tem o poder de rodar o plano de polarização da luz
z O ângulo de rotação é proporcional ao comprimento do caminho da onda eletromagnética dentro do material
l
n
n
R Lλ
π
θ
=
(
−
)
Atividade Óptica
z A atividade óptica pode ser explicada assumindo-se uma diferença de índices de refração para a luz circularmente polarizada à direita e à esquerda.
z Definimos os vetores de onda para a luz direita e esquerda como
z Em termos dos vetores de Jones, temos 0
k
n
c
n
k
R=
Rω
=
R 0k
n
c
n
k
L=
Lω
=
L(
k
z
t
)
i
R
e
Ri
t
z
⎥
−
ω
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1
)
,
(
E
i
(
k
z
t
)
L
e
Li
t
z
⎥
−
ω
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
)
,
(
E
Atividade Óptica
z Suponhamos um feixe com polarização inicial linear na direção x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
i
i
1
2
1
1
2
1
0
1
(
ikRl)
e
(
ikLl)
i
e
i
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
+ 21
− 21
− − 22
1
i kR kL l i kR kL l i kR kL le
i
e
i
e
z Após atravessar uma distância “l” em um meio com atividade óptica, a amplitude complexa do feixe será
Atividade Óptica
z Definindo as quantidades(
k
R+
k
L)
l
=
2
1
ψ
=
(
k
R−
k
L)
l
2
1
θ
z Podemos expressar a amplitude complexa como
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
iψ iθe
−iθi
e
i
e
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
− − θ θ θ θ ψ i i i i ie
e
i
e
e
e
2
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
θ
θ
ψsin
cos
ie
Polarização linear na direção que faz um ângulo θ com a direção original
l
n
n
R Lλ
π
θ
=
(
−
)
Atividade Óptica
z
Poder rotatório
(
)
λ
π
θ
δ
n
Rn
Ll
=
−
=
Poder rotatório específico do quartzo cristalino como função do comprimento de onda
Dispersão rotatória
Os índices n
Re n
Ltambém são
funções do comprimento de onda!
Atividade Óptica
z
O poder rotatório é uma função do comprimento de onda da luz. Pode-se usar
esse fato na determinação do comprimento de onda da luz, ou como um
monocromador, colocando-se um polarizador na entrada do meio e um
analisador na saída deste. Variando-se o ângulo do analisador podemos alterar
o comprimento de onda que sai do monocromador.
Atividade Óptica
z
Prisma de Fresnel
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− i
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
i
1
R
L
Dois prismas feitos de cristais de quartzo levógeros e dextrógeros. O
índice relativo na fronteira entre os dois prismas é maior que 1 para a
polarização direita e menor que 1 para a polarização esquerda.
Atividade Óptica
z
Tensor susceptibilidade para
um meio com atividade óptica
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
33 11 12 12 110
0
0
0
χ
χ
χ
χ
χ
i
i
χ
12 111
+
χ
+
χ
=
Rn
12 111
+
χ
−
χ
=
Ln
0
12
11
12
1
n
n
n
R
L
χ
χ
χ
=
+
≈
−
12 0n
χ π
δ
λ
=
Resolvendo a equação de onda para um meio dielétrico com o tensor susceptibilidade acima,
encontramos as seguintes relações:
(
)
2 22 0 221
c
t
μ
t
∂
∂
∇× ∇×
+
= −
∂
∂
E
P
E
χE
P
=
ε
0Sumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringêntes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Efeitos Eletro/Magneto-Ópticos
z
Rotação de Faraday (1845-Michael Faraday):
Birrefringência e atividade óptica induzida por um campo magnético estático aplicado a um dielétrico isotrópico.z
Efeito Kerr ( 1875- J. Kerr):
Birrefringência uniaxial induzida por aplicação de campo elétrico forte .A direção do campo elétrico aplicada define o eixo-óptico.z
Efeito Cotton-Mouton: Análogo magnétio do efeito Kerr eletro-óptico
z
Efeito Pockels: Certos tipos de cristais birrefringêntes têm seus índices de
refração alterados na presença de um campo elétrico estático. Efeito utilizado
para fabricação de moduladores de luz
0 2 ||
n
KE
λ
n
−
⊥=
VB
=
δ
2 || 0n
−
n
⊥=
CH
λ
Rotação de Faraday
11 11 12 11 12 11 11 330
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
i
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
→ −
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Bdt
d
m
e
K
dt
d
m
r
2=
−
r
−
E
−
γ
r
2 2 2d
d
d
m
K
e
m
e
dt
γ
dt
dt
⎛
⎞
= −
−
−
−
⎜
⎟
×
⎝
⎠
r
r
r
r
E
B
Equação de movimento para o elétron ligado na presença de um campo elétrico oscilante
B
r
E
r
r
+
=
−
+
×
−
m
ω
2K
e
i
ω
e
r
P
=
−
Ne
(
−
m
ω
2+
K
)
P
= −
e
E
+
i e
ω
P B
×
Solução harmônica estacionária :
χE
P
=
ε
0Tensor susceptibilidade efetivo
Material efetivo birrefringênte e ópticamente ativo Material dielétrico
Rotação de Faraday
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 11 cm
Ne
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
χ
(
)
2 12 2 2 2 2 2 0 0 c cNe
m
ωω
χ
ε
ω
ω
ω ω
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
−
−
⎥
⎣
⎦
2 33 2 2 0 01
Ne
m
χ
ε ω
ω
⎡
⎤
=
⎢
⎥
−
⎣
⎦
m
eB
m
K
c=
=
ω
ω
0(
)
3 2 2 2 2 0 0Ne
B
m
π
ω
δ
λ ε
ω
ω
⎡
⎤
⎢
⎥
≈
⎢
−
⎥
⎣
⎦
11 11 12 11 12 11 11 330
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
i
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
→ −
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
B Freqüência de Ciclotron Freqüência de ressonânciaSumário da apresentação
z
Equações de Maxwell
z
Propagação da luz em meios condutores
zDispositivos ópticos birrefringêntes
•
Placas de onda
•
Polarizadores
•
Divisores de feixe
z
Atividade óptica
z
Efeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos
•
Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
( )
( )
(
2 2 3 3...
)
0+
+
+
=
E
E
E
P
ε
χ
χ
χ
( )
( )
(
2 2 2 3 3 3)
0 0 0 0...
i t i t i tP
=
ε χ
E e
−ω+
χ
E e
− ω+
χ
E e
− ω+
Em um meio isotrópicoA susceptibilidade linear é em geral muito maior que os coeficientes não lineares
Campo aplicado com a forma
E
=
E
e
−iωt 0Óptica Não-linear
( ) ( )(
2 3)
0...
L NLε
=
+
=
+
⋅ +
⋅ ⋅ +
P P
P
χE χ E E χ E E E
Para o caso de um meio cristalino anisotrópico
0
L
=
ε
P
χE
Cristais com tensor de susceptibilidade elétrica de segunda ordem não nulos não possuem simetria de inversão. Essa também é a
condição para o cristal ser piezoelétrico. Então cristais piezoelétricos são úteis para geração de segundo harmônico (como quartzo e KDP).
Óptica Não-linear
(
)
( )
(
( )
)
∫
∫
∝
− −∝
l o t z k i l odz
e
dz
z
E
l
E
2
ω
,
2ω
,
2 1 ω τ(
)
(
)
2 2 1 2 1 2sin
/ 2
2 ,
/ 2
k
k
l
E
l
k
k
ω
∝ ⎢
⎡
−
⎤
⎥
−
⎣
⎦
(
)
ω
τ
2
2l
z
k
−
=
( )
z
e
i(k z t)E
ω
,
∝
− 1 −ω(
)
( 2 2 )2 ,
i k z tE
ω
z
∝
e
− − ωIntensidade do campo de segundo harmônico
Campo fundamental e de segundo harmônico:
Tempo que o campo de segundo harmônico viaja
no cristal 1 2
2
cl
k
k
π
=
−
Comprimento do cristal para intensidade máximado campo de segundo harmônico
