Exercícios de matemática - revisão

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Exerc´ıcios de matem´

atica - revis˜

ao

Renato Assun¸c˜

ao - DCC, UFMG

2015

Esta lista de exerc´ıcios visa a uma revisão de fatos básicos de matemática e probabilidade que serão necessários durante a disciplina.

1. Teoria de Conjuntos: O objetivo é apenas verificar se você está informado sobre a diferen¸ca con-ceitual entre conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis. Não é necessário saber provar que um conjunto é não-enumerável. Diga quais dos conjuntos abaixo é um conjunto enumerável e qual é não-enumerável:

• {0, 1, 2}

• naturais: N = {0, 1, 2, . . .}

• inteiros: Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}

• reticulado inteiro no plano: {(x, y); x ∈ Z, y ∈ Z} • racionais: Q = {p/q; q > 0, p ∈ Z, q ∈ N}

• reais: R

• irracionais: R − Q.

2. Propriedades b´asicas de expoentes. Identifique abaixo quais igualdades est˜ao corretas: • xa_ya_{= (xy)}a • a x+y = a x+ a y • (xa₎b = xab • (x/y)a= xa/yb • (x + y)a= xa+ ya • xa_yb_{= (xy)}a+b • (−x)2_{= −x}2 • p x2_{+ y}2_{= |x| + |y|} • x+y_a = x_a +y_a

3. Complete as senten¸cas abaixo:

• Os pontos (x, y) ∈ R2_{que satisfazem a equa¸}_c˜_{ao x}2_{+ y}2_{= 1 formam ?? no plano real.}

• Os pontos que satisfazem a equa¸c˜ao x2+ y2= 4 formam ??.

• Os pontos que satisfazem a equa¸c˜ao (x − 2)2+ (y + 1)2= 1 formam ??. • Os pontos que satisfazem a equa¸c˜ao x−2₂ 2

+ y+1₁ 2

= 1 formam ??. 4. Propriedades b´asicas das fun¸c˜oes exp e log.

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• Esboce o gráfico das fun¸cões f (x) = log(3x + 1) e f (x) = exp(3x). Identifique o maior dom´ınio na reta em que as fun¸cões podem ser definidas.

• Obtenha as derivadas f0_{(x) das duas fun¸}_c˜_{oes acima.}

• Verifique quais das seguintes igualdades s˜ao v´alidas: – log(xy) = log(x) + log(y).

– log(x + y) = log(x) × log(y). – exp(x + y) = exp(x) + exp(y). – exp(x + y) = exp(x) × exp(y). – log(x/y) = log(x) − log(y). – exp(xy) = (exp(x))y. – exp(xy) = exp(x) + exp(y).

5. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = exp −3(x − 1)2_{e obtenha a sua derivada f}0_(x).

6. Expansão de Taylor até segunda ordem. Esta é uma das fórmulas mais úteis em matemática pois ela permite aproximar uma fun¸cão f (x) que pode ser muito complicada por uma fun¸cão muito simples, um polinômio de segundo grau. A aproxima¸cão de Taylor precisa escolher um ponto de referência x0 e ela vale para pontos x no entorno de x (este entorno varia de problema para problema). A

expansão de Taylor da fun¸cão f no ponto x próximo de x0é dada por

f (x) ≈ f (x0) + f0(x0)(x − x0) +

1 2f

00_(x

0)(x − x0)2

Essencialmente, todas as fun¸cões que aparecem na prática da análise de dados podem ser aproxi-madas pela expansão de Taylor.

• Obtenha a express˜ao aproximada para f (x) = exp(x) para x ≈ x0= 0.

• Fa¸ca um gráfico com as duas fun¸cões, f (x) e sua aproxima¸cão de Taylor de 2a. ordem, para x ∈ (−1, 2).

• Repita com x0= 1: obtenha a express˜ao aproximada para f (x) = exp(x) para x ≈ x0= 1.

• Fa¸ca um gráfico com as duas fun¸cões, f (x) e sua aproxima¸cão de Taylor de 2a. ordem, para x ∈ (−1, 2).

Vocˆe deve obter gr´aficos iguais ao da Figura 1.

7. Na expansão de Taylor, aproxima¸cões numa região mais extensa em torno do ponto de referência x0podem ser obtidas usando um polinômio de grau mais elevado (o que implica calcular derivadas

de ordens mais elevadas):

f (x) ≈ f (x0) + f0(x0)(x − x0) + 1 2!f 00_(x 0)(x − x0)2+ 1 3!f 000_(x 0)(x − x0)3+ 1 4!f (4)_(x 0)(x − x0)4+ . . .

Por exemplo, em torno de x0= 0 e usando a expans˜ao at´e a 4a. ordem , temos

ex cos(x) ≈ 1 + x + x 2₊2x3 3 + x4 2

Fa¸ca um gr´afico de f (x) = ex_{/ cos(x) com a aproxima¸}_c˜_{ao at´}_{e a segunda ordem (basta usar os}

primeiros 3 termso acima) e até a quarta ordem para x ∈ (−1, 1). Você deve obter um gráfico igual ao da Figura 2.

8. Considere a seguinte matriz 5 × 3 contendo dados de 5 apartamentos colocados a venda em BH:

X =       1 153 2 1 107 1 1 238 3 1 179 2 1 250 4      

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Figura 1: Aproxima¸c˜ao de Taylor at´e a segunda ordem de f (x) = ex em torno de x0= 0 e em torno de

x0= 1.

Figura 2: Aproxima¸c˜ao de Taylor at´e a segunda e a quarta ordem de f (x) = ex_{/ cos(x) em torno de}

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Cada linha possui dados de um apartamento distinto. A primeira coluna contem apenas o valor constante 1. A segunda coluna mostra a ´area (em metros quadrados) de cada apto. A terceira coluna mostra o n´umero de quartos do apto.

Seja β = (β0, β1, β3)tum vetor-coluna 3 × 1.

• Sejam v1, . . . , vk vetores em R5. Verifique que o conjunto das combina¸c˜oes lineares desses

vetores forma um sub-espa¸_{co vetorial do R}5_.

• Verifique que é válida a seguinte igualdade: Xβ = β0X0+ β1X1+ β3X3 onde X0, X1, X3são

os vetores-coluna da matriz X.

• O conjunto M(X) das combina¸c˜oes lineares das colunas de X ´_{e igual a M(X) = {Xβ | β ∈ R}3_}

e ´e um sub-espa¸_{co vetorial do R}5_{. V ou F? Se V, qual a dimens˜}_{ao do sub-espa¸}_{co vetorial M(X)?}

9. Uma manipula¸cão algébrica que é muito comum em estat´ıstica envolve uma decomposi¸cão de soma de quadrados. Seja ¯x = (x1, . . . , xn)/n a média aritmética de x1, . . . , xn. Verifique que:

• P i(xi− ¯x)2=Pix 2 i − n¯x 2_. • Se a ∈ R, ent˜ao P i(xi− a) 2₌P i(xi± ¯x − a) 2₌P i(xi− ¯x) 2_{+ n(¯}_{x − a)}2_.

• A partir do item anterior, conclua que o valor de a ∈ R que minimiza P

i(xi− a)2 ´e o valor

a = ¯x.

10. Nosso curso precisa usar v´arios resultados de ´algebra de matrizes. Seja x = (x1, . . . , xn) um

vetor-coluna n × 1 e A uma matriz n × n. A0 indica a matriz transposta de A. As seguintes identidades matriciais são fundamentais em nosso curso. Verifique que elas estão corretas, checando que o lado direito é igual ao lado esquerdo.

• x0 _{A x =}P i,jxixjAij • x0 _{x =}P ix 2 i

• x x0 _´_{e uma matriz sim´}_{etrica n × n com elemento (i, j) dado por x} ixj.

11. O vetor gradiente é a extensão do conceito de derivada para fun¸c˜_{oes de R}n _{para R. Para ser mais} concreto, você pode imaginar a altura f (x) = f (x1, x2) de uma superf´ıcie f para cada posi¸cão

x = (x1, x2) do plano R2. Seja

f : Rn −→ _R x −→ f (x)

A derivada mede o quanto f (x) varia quando x sofre uma pequena perturba¸cão. Os matemáticos percebram que a quantidade desta varia¸cão em f (x) dependia da dire¸cão da perturba¸cão com rela¸cão a x! Isto é, a varia¸cão em f (x) depende do ponto x em que estamos, de quanto nos afastamos desse ponto e, diferente do caso uni-dimensional, da dire¸cão em que nos afastamos dele.

Por exemplo, se f (x1, x2) = x21+x22, a fun¸cão f é chamada de parabolóide e seu gráfico pode ser visto

na Figura 3. Observe que a fun¸cão f é igual à distância ao quadrado entre o ponto x = (x1, x2)

e a origem 0 = (0, 0). Portanto, se nos movimentarmos ao longo dos c´ırculos concêntricos, o valor de f (x1, x2) não varia e sua derivada deveria ser zero. Isto é, suponha que estamos num ponto

x = (x1, x2) qualquer, distante r =px21+ x22da origem (0, 0). Se nos movimentarmos ligeiramente,

mas ainda mantendo a mesma distância r da origem, a fun¸cão f não muda de valor e portanto sua varia¸cão é igual a zero. Assim, um ligeiro movimento ao longo da dire¸cão tangente ao c´ırculo concêntrico deveria implicar numa derivada iguala zero.

Por outro lado, se nos movimentarmos em outras dire¸c˜oes, a varia¸c˜ao de f pode ser positiva ou negativa. Por exemplo, se

There is a nice way to describe the gradient geometrically. Consider z = f (x, y) = 4x2_{+ y}2_.

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The bottom of the bowl lies at the origin. The figure below shows the level curves, defined by f (x, y) = c, of the surface. The level curves are the ellipses 4x2+ y2 = c. The gradient vector < 8x, 2y > is plotted at the 3 points (p(1.25), 0), (1, 1), (0,p(5)). As the plot shows, the gradient vector at (x, y) is normal to the level curve through (x, y). As we will see below, the gradient vector points in the direction of greatest rate of increase of f (x, y)

12. O conceito de derivada pode ser estendido para fun¸c˜_{oes f de R}n

em Rm_{. Seja}

f : Rn −→ _Rm

x −→ f (x) = (f1(x), . . . , fm(x))

onde cada componente fj(x) ´e uma fun¸c˜ao de Rn para R. Derivada e’ matriz m × n?? contrario a

gradiente.