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Respostas. Resposta 1: Considerando que o objetivo é calcular a proporção de hipertensos, recorremos à fórmula abaixo:

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Academic year: 2021

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Deseja-se saber a proporção de pacientes com hipertensão arterial entre os pacientes de um ambulatório de diabetes mellitus. Estudos anteriores de diabetes têm encontrado uma proporção de 18,5%.

1. Qual o tamanho da amostra de pacientes que devem ser examinados por meio de uma amostra casual simples para se estimar a proporção de hipertensos neste ambulatório? Considere tolerar um erro absoluto de até 5% entre esta estimativa e a proporção real. Considere também que esta estimativa não deva ter uma probabilidade maior que 47,5% de ser menor ou maior que a proporção real (ou seja, caia entre os 95% de eventos possíveis em torno da proporção da população)?

2. Se considerarmos que 18,5% seja uma proporção verdadeira de hipertensos entre diabéticos, qual a probabilidade de numa amostra de 30 pacientes se encontrar uma proporção de 30,2% ou ainda maior? Você acha que esta amostra seria uma boa representação da população? 3. Se ao invés de apenas 30 pacientes fossem examinados 100, como seria a situação: qual

seria a probabilidade de se encontrar esta proporção de 30,2% ou ainda maior? Esta amostra maior seria uma melhor representação da população?

Respostas

Resposta 1: Considerando que o objetivo é calcular a proporção de hipertensos, recorremos à fórmula abaixo:

que é derivada da padronização da diferença entre a estimativa pela amostra e o valor populacional (erro) admitindo-se que a estimativa caia dentro de um intervalo de probabilidades em torno da proporção da população (expresso pelo Zres) que se admite como espaço de variações aleatórias.

O tamanho mínimo da amostra, considerando

 que o valor a ser encontrado não difira mais do que 5% (0,05) da proporção real que seria encontrada se todos os doentes deste ambulatório de diabetes fossem examinados (erro que se aceita) e

 que esse valor a ser encontrado, quando padronizado (transformado em Zres), não diste da real proporção de hipertensão mais do que um valor

2 2 (1 ) erro p p z n= −

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correspondente a 47,5% a mais ou a menos (95% das variações aleatórias em torno da proporção da população)1,

 é

݊ = 1,96ଶ ሺ଴,ଵ଼ହሻ(ଵି଴,ଵ଼ହ)

଴,଴ହమ = 232.

Note a racionalidade deste cálculo: expressar a variabilidade habitual por unidades de erro admissível,

1º) definindo o que é habitual, v.g. 1 ou 2 ou 1,96 vezes o padrão de desvio (o erro padrão) ao qual corresponde uma probabilidade arbitrada (se 95%, 47,5% de desvios à E e 47,5% de desvios à D, que corresponde ao um Zres = 1,96) ;

2º) e definindo o que é erro admissível, v.g. uma proporção de 5% ou 10% ou 2,5% a mais ou a menos que a proporção da população, da classe.

A equação acima n = ... pode ser lida como:

Em quantas variações de probabilidade resulta admitir-se uma proporção

de 18,5%, da qual decorre uma variação habitual

(variância [p.(1-p)])

em

unidades de erro admissível de 5%.

Feito o cálculo, concluí-se:

232 variações de habituais de probabilidade em unidades de erro de

proporções de 5%

Logo, sabendo que se espera 232 variações, melhor ver 232 pessoas para dar oportunidade de todas as possíveis variações se apresentarem.

A figura abaixo provê uma representação gráfica deste exercício:

 Na curva padronizada de densidade de probabilidade normal, a origem (zero) dos valores que representam eventos é a proporção da classe, a proporção da população da qual se toma uma amostra. Aqui supostamente 18,5%;  O intervalo de 95% dos eventos possíveis em torno da proporção

populacional é dado pelo intervalo de valores de Zres entre -1,96 e +1,96 – lembra-se? Entre estes dois valores ocorrem 95% dos eventos possíveis. Se

1 Algumas vezes você verá referência a este valor crítico como α, que é o complemento do intervalo que se quer admitir para coisas iguais, a probabilidade admitida para considerar coisas diferentes. Quando estudarmos relações de ordem você se familiarizará com esta nomenclatura.

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você não se lembrar disto, basta consultar a Tabela Z para identificar este valor ;

 O erro de estimativa de proporção (diferença entre o que se encontra na amostra e o que é o valor populacional) que pode ter qualquer valor conforme a tolerância a erro que se admita (no nosso exemplo fixado em uma proporção de 5%) deve delimitar em valores de proporção (%) o intervalo de 95% (probabilidade) de eventos possíveis em torno da proporção da população;

 Ou seja, se admito um erro de 5% e espero que a proporção populacional seja de 18,5%, então admito que minha estimativa possa ser algo entre 13,5% e 23,5%, mas fixo que entre esses dois pontos deve haver uma probabilidade de 95% de estimativas de proporção para amostras semelhantes a que examino, amostras de mesmo tamanho.

Resposta 2:

Para conhecer a probabilidade associada a um valor de proporção de hipertensos, temos que transformar esta medida em resíduo padronizado da proporção

Proporção padronizada de hipertensos na população

Espaço em que deve cair a

proporção estimada pela amostra: Em probabilidade:

95% em torno da proporção verdadeira, da população; Em resíduos padronizados: entre Zres=-1,96 e Zres=+1,96

Erro: máxima diferença entre valor estimado e valor

real não deve superar 5%, quer para um lado ou outro

+ 5% - 5% 23,5% 13,5% 18,5% Zres = -1,96 Zres = +1,96

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populacional, de forma a podermos consultar uma curva normal padronizada. Para padronizar uma proporção de amostra em relação a uma proporção de população, dividimos a diferença (o resíduo em relação à proporção da população, a proporção esperada) pelo Erro Padrão da Proporção (o mesmo procedimento que antes fazíamos para padronizar uma medida em relação a uma distribuição, só que agora ao invés de desvio padrão usamos erro padrão)

(

)

0,070893 1,65 117 , 0 30 ) 0185 , 1 .( 185 , 0 185 , 302 , 1 = = − = − − = n p Zres π π π

Graficamente, nossa pergunta corresponde a responder qual é a área sob a curva densidade de probabilidade normal do ponto Zres=1,65 para frente:

Nossa tabela informa a área entre 0 e 1,65:

(5)

Logo, a que queremos saber é o complemento deste valor. Se até Zres=1,65 tenho uma probabilidade ‘x’, de 1,65 para frente tenho uma probabilidade = 1-x. Pra descobrir quanto vale o ‘x’, vamos à tabela:

Se a probabilidade de valores até 1,65 (que a tabela informa) é p ≈ 0,95, então a probabilidade de Zres=1,65 ou mais é de p = 1- 0,95, ou seja p = 0,05 (arredondando) ou p (de uma proporção maior ou igual a 30,2% ou igual a 1,65 quando expressa em unidades de erro padrão)

= 5%.

Esta amostra parece ser de um grupo que ocupa uma posição muito extrema na distribuição amostral, deixando dúvida se é um bom grupo para representar a população. No gráfico abaixo você vê em vermelho o que seria uma distribuição de eventos de mesma variância que a população, mas com centro em Zres=1,65 ao invés de Zres=0: parece tratar-se de outra turma, não? Parece que tirar amostras daí na maior parte das vezes não vai representar bem a população, a classe, que

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Resposta 3: Novamente, precisamos padronizar a proporção 30,2%, agora considerando que o Erro Padrão da Proporção deverá considerar uma amostra de tamanho 100:

(

)

0,03883 3,013153 3 117 , 0 100 ) 0185 , 1 .( 185 , 0 185 , 302 , 1 − = = ≈ − = − − = n p Zres π π π

Para um Zres = 3, nem precisamos consultar a tabela! A probabilidade de valores como este ou ainda maiores é praticamente nula! Precisamente é p = 0,001, 1 em 1.000! Isto nos sugere que apenas uma vez em cada mil um grupo de 100 pacientes desta população, cuja proporção real é 18,5%, poderia chegar a por acaso vir a apresentar uma proporção de 30,2% em amostras de 100 indivíduos - parece que esta amostra de 100 com proporção 30,2% de hipertensos é amostra muito esdrúxula de uma população cuja proporção de hipertenso seja 18,5%. Mais ainda, aumentar o tamanho de 30 para 100 em nada ajudou se a proporção encontrada na amostra continua muito distante daquela esperada pela proporção da população. Isto está nos contando que

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• Se quando aumentamos a amostra esperamos mais nos aproximar do universo da população e assim melhor estimar o valor de população (lembra-se? Se a amostra for tão grande que cubra toda a população, a estimativa será igual à proporção da população)

• E tendo aumentado o tamanho da amostra ainda encontramos um valor muito diferente do esperado para a população

Nossa conclusão deve ser de que este grupo do qual estou tomando amostras não deva ser mesmo um grupo daquela população de onde estou tomando proporções de população – deve ser um grupo que pertença a outra população!

Isto desperta uma curiosidade

– será que se consegue com estas contas descobrir quais grupos pertencem a quais populações, v.g. grupos de diabéticos reconhecidos por suas medidas de pressão arterial numa população geral reconhecida por esta mesma medida –

que você satisfará daqui há pouco, estudando relações de ordem. Oba! ☺

Referências

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