e folioA 21037 2010 Rel

(1)

CRIT´

ERIOS DE CORRECC

¸ ˜

AO

Elementos de Probabilidades e Estat´ıstica

(21037)

2009/10

Docente: M´

ario J. Edmundo. Tutora: Elsa Negas

27 de Abril de 2010

(2)

Para a resoluc

¸˜

ao do e-F´

olio, aconselha-se que:

• Imprima este documento.

• Leia com aten¸cão as instru¸cões indicadas para o e-Fólio.

• A sua proposta de resolu¸cão do e-Fólio deverá satisfazer os seguintes requisitos: (i) incluir no cabe¸calho o seu Nome, B.I., e N0 de Estudante; (ii) estar, de preferência, num único ficheiro em formato word ou pdf; (iii) conter no máximo 20 páginas e 7,5 Mb.

• Depois de ter realizado o e-F´olio insera a sua proposta de resolu¸c˜ao no recurso disponibilizado para o efeito na sala de aulas virtual dentro do prazo indicado.

Crit´

erios de avaliac

¸˜

ao e cotac

¸˜

ao:

• A cota¸cão total deste e-Fólio é de 4 valores. • As questões terão as cota¸cões seguintes:

1. 2. 3.

a) b) a) b) c) a) b) c)

(3)

PROPOSTA DE RESOLUC¸ ˜AO

. . . . O objectivo deste e-Fólio é o de avaliar os conhecimentos adquiridos pelos alunos relativa-mente às matérias do Tema 2 - Probabilidades.

. . . .

DETALHES DOS CRITÉRIOS DE CORRECÇ ÃO

Serão valorizados os seguintes aspectos: • Correçcão e completude das respostas. • Inclusão de cálculos auxiliares.

• Inclus˜ao das f´ormulas auxiliares.

• Correçcão, originalidade e adequa¸cão dos exemplos.

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1. a) Apresente a defini¸c˜ao dos seguintes conceitos:

i. Experiência aleatória: é qualquer processo, sujeito à influência de factores casuais, capaz de produzir resultados incertos observáveis. Numa experiência aleatória o conjunto dos resultados poss´ıveis é conhecido antecipadamente, apesar de o resul-tado efectivo nunca poder ser previsto de forma exacta, mesmo tentando manter sob controlo as circunstâncias relevantes para o resultado.

ii. Espa¸co de resultados de uma experiência aleatória: é o conjunto, denotado Ω, for-mado por todos os resultados que é possvel obter quando se efectua a experiência aleatória. . Os espa¸cos de resultados podem classificar-se em: (i) discretos (se Ω é um conjunto finito ou infinito numerável), por exemplo, o lanamento de um dado cúbico numerado, onde Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ou; (ii) cont´ınuos (se Ω é um conjunto infinito não numerável), por exemplo o ensaio de dura¸cão de uma lˆ_{ampada, Ω = {x ∈ R : x > 0}.} iii. Espa¸co de acontecimentos de uma experiência aleatória: é o conjunto, denotado A, de todos os acontecimentos que podem ocorrer num espa¸co de resultados da experiência aleatória.

iv. Acontecimento: é qualquer subconjunto do espa¸co de resultados Ω. v. Acontecimento imposs´ıvel: é o acontecimento representado por ∅. vi. Acontecimento certo: é o acontecimento representado por Ω.

vii. Acontecimentos mutuamente exclusivos: são acontecimentos A e B tais que A ∩ B = ∅, ou seja, é imposs´ıvel que ambos aconte¸cam em simultâneo.

b) Apresente um exemplo de uma experiˆencia aleat´oria e indique o espa¸co de resultados e o espa¸co de acontecimentos associado.1

O registo de n lan¸camentos de dois dados cúbicos numerados. O espa¸co de resultados dessa experiência é

Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. O espa¸co de acontecimentos A dessa experiˆencia ´e o conjunto de todos os subconjunto de Ω.

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2. a) Apresenta a defini¸cão de fun¸cão de probabilidades para uma experiência aleatória com um espa¸co de resultados Ω e um espa¸co de acontecimentos A associado.

´

E uma fun¸c˜_{ao P : A → R que faz corresponde a um acontecimento A um n´umero real P (A),} chamado de probabilidade do acontecimento A, que verifica a Axiomatica de Kolmogorov:

(1) P (A) ≥ 0. (2) P (Ω) = 1.

(3) Se A ∩ B = ∅ ent˜ao P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

b) Seja P uma fun¸cão de probabilidades para uma experiência aleatória com um espa¸co de resultados Ω e um espa¸co de acontecimentos A associado. Mostre os seguintes resultados: i. P (AC_{) = 1−P (A) para todo o acontecimento A ∈ A: Temos A∪A}c_{= Ω e A∩A}c_{= ∅;}

Logo pelos Axiomas (1) e (3), 1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac) e portanto, P (Ac_{) = 1 − P (A).}

ii. P (A) ≤ 1 para todo o acontecimento A ∈ A: Temos P (Ac_{) = 1 − P (A) e P (A}c_{) ≥ 0}

pelo Axioma (1), logo P (A) ≤ 1.

iii. P (∅) = 0: Temos ∅c _{= Ω e P (A}c_{) = 1 − P (A), logo P (∅) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0.}

iv. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) para todos os acontecimentos A, B ∈ A: Temos A∪B = A∪(B\A) com A∩(B\A) = ∅ e B = (B\A)∪(B∩A) com (B\A)∩(B∩A) = ∅, logo pelo Axioma (3), P (A ∪ B) = P (A) + P (B \ A) = P (A) + (P (B) − P (B ∩ A)). v. Sejam A, B ∈ A. Se a ocorrência de A implica a ocorrência de B, então P (A) ≤ P (B) : Temos se A ⊆ B então A ∩ B = A, A ∩ B \ A) = ∅ e B = A ∪ (B \ A), logo pelo Axioma (3) P (B) = P (A)+P (B \A) e pelo Axioma (1) segue que P (A) ≤ P (B).

c) Apresenta um exemplo de uma fun¸cão de probabilidades para uma experiência aleatória da al´ınea b) do exerc´ıcio 1.

Seja I = ”sa´ıda de números cuja soma é inferior a 6”. De acordo com a interpreta¸cão clássica e supondo que os dados lan¸cados são ”perfeitos”, temos

P (I) = |I| |Ω| =

10

(6)

3. a) Apresenta a defini¸c˜ao do conceito de probabilidade condicionada bem como a aplica¸c˜ao deste conceito a um caso particular no contexto do exemplo da al´ınea c) do exerc´ıcio 2.

Probabilidade condicionada ´e a probabilidade de um acontecimento A se realizar sabendo que um outro acontecimento B se realizou e ´e definida por

P (A|B) = P (A ∩ B)

P (B) com P (B) > 0.

Seja I = ”sa´ıda de números cuja soma é inferior a 6”e seja B = ”sa´ıda de números pares”. Então P (I|B) = P (I ∩ B) P (B) = 1 36 6 36 = 1 6 = 0.16(6)

b) Apresenta a defini¸c˜ao do conceito de acontecimentos independentes bem como a aplica¸c˜ao deste conceito a um caso particular no contexto do exemplo da al´ınea c) do exerc´ıcio 2.

Dois acontecimentos A e B do espa¸co de resultados são independentes se e só se a probabi-lidade condicionada de A relativamente a B ou de B relativamente a A é a probabilidade de A respectivamente de B. Ou seja, P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Seja A =”sa´ıda de número impar no primeiro dado”e seja C = ”sa´ıda de número par no segundo dado”. Então

P (A) = 3 × 6 36 = 1 2 = 0.5 P (C) = 3 × 6 36 = 1 2 = 0.5 P (A ∩ C) = 3 × 3 36 = 1 4 = 0.25

(7)

c) Apresenta o enunciado do Teorema de Bayes bem como a aplica¸c˜ao deste resultado a um caso particular no contexto do exemplo da al´ınea c) do exerc´ıcio 2.

Teorema de Bayes: Seja I um acontecimento qualquer definido em Ω com P (I) > 0 e seja A1, A2, . . . An uma lista de acontecimentos definidos em Ω tais que: (i) P (Ai) > 0 para

todo i = 1, 2, . . . , n; (ii) s˜ao disjuntos dois a dois; (iii) Ω = A1∪ A2 ∪ · · · ∪ An. Ent˜ao

P (Ai|I) =

P (I|Ai) × P (Ai)

P (I|A1) × P (A1) + · · · + P (I|An) × P (An)

com i = 1, 2, . . . , n.

Este teorema permite calcular as probabilidades a posterioir P (Ai|I) das hip´otese Ai (i =

1, . . . , n) depois de se conhecer a informa¸c˜ao I, desde que se conhe¸cam as probabilidades a priori P (Ai) (i = 1, . . . , n) e as probabilidades P (I|Ai) de se observar I quando as hip´oteses

Ai se verificam.

Seja A1 =”sa´ıda de n´umero impar no primeiro dado”, A2 = ”sa´ıda de n´umero par no

primeiro dado”e seja I = ”sa´ıda de números cuja soma é inferior a 6”. Então

P (A2|I) = P (A2∩ I) P (I) = 4 36 10 36 = 4 10 = 0.4 e por outro lado, pelo Teorema de Bayes,

P (A2|I) = P (I|A2) × P (A2) P (I|A1) × P (A1) + P (I|A2) × P (A2) = P (I ∩ A2) P (I ∩ A1) + P (I ∩ A2) = 4 36 4 36 + 6 36 = 4 10 = 0.4 FIM —————————————————————————————————————–