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2007.1 TCC Silas

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(1)

Controle Adaptativo Auto-Ajust´

avel de um

Processo T´

ermico.

Feira de Santana – Ba Mar¸co / 2008

(2)

Controle Adaptativo Auto-Ajust´

avel de um

Processo T´

ermico.

Trabalho de Conclus˜ao de Curso apresen-tado `a Banca de Gradua¸c˜ao em Engenharia de Computa¸c˜ao da Universidade Estadual de Feira de Santana para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Bacharel em Engenharia de Computa¸c˜ao.

Orientadora:

Prof

a

. Dr

a

. M´arcia Lissandra M. Prado

Departamento de Tecnologia

Universidade Estadual de Feira de Santana

Feira de Santana – Ba Mar¸co / 2008

(3)

de Engenharia de Computa¸c˜ao da Universidade Estadual de Feira de Santana, em 17 de mar¸co de 2008, em Feira de Santana, com aprova¸c˜ao da orientadora:

Prof. Dra. M´arcia Lissandra Machado Prado

Departamento de Exatas - UEFS Orientadora

(4)

a minha futura esposa, que tem me dado apoio nos momentos mais dif´ıceis e, principalmente, a Deus, para o qual e pelo qual todas as coisas foram feitas.

(5)

T´ecnicas de controle s˜ao largamente utilizadas na Ind´ustria, a exemplo do controle Proporcional-Integral-Derivativo (PID), utilizado em mais de 90% dos casos. Acontece que algumas plantas apresentam varia¸c˜oes em seus parˆametros, seja pelo desgaste dos com-ponentes f´ısicos envolvidos ou mesmo por varia¸c˜oes nas caracter´ısticas das perturba¸c˜oes do ambiente. Nesses casos se faz necess´ario `a utiliza¸c˜ao de t´ecnicas avan¸cadas de controle, como o controle adaptativo. Nesse tipo de t´ecnica ´e feita, em tempo real, a estima¸c˜ao dos parˆametros da planta e o re-projeto do controlador, tornando o sistema mais robusto no que tange `as varia¸c˜oes supracitadas.

No presente trabalho foi projetado um controlador adaptativo indireto do tipo auto-ajust´avel (STR - Self Tuning Regulator). Para estima¸c˜ao dos parˆametros da planta foi utilizado o algoritmo dos M´ınimos Quadrados Recursivos e a t´ecnica de Aloca¸c˜ao de P´olos para a sintonia de um controlador PI (Proporcional-Integral). O processo f´ısico consiste numa pastilha termoel´etrica (Peltier) presa a uma barra met´alica chata. Um sensor de temperatura LM35 foi preso ao outro extremo da barra e conectado a um microcontrolador, respons´avel pela captura dos dados do respectivo processo f´ısico e o envio dos mesmos `a um computador, onde de fato foi executado todo o algoritmo de controle.

(6)

Control techniques are widely used in industry such as PID control, that is used by more than 90% of the cases. However, some industrial plants present the characteristic of changing their parameters with the time. It could happen by the wear of the involved process components or changes in the characteristics of environmental disturbances. In those cases, is needed to apply advanced control techniques such as adaptive control. In this kind of technique is usually done a real time parameter estimation and the controller is also redesigned.

In this work, an indirect adaptive control (STR) was implemented. The recursive least square algorithm has been used to estimate the parameters of the plant, together with the pole placement technique, used to redesign the controller. The physical process consists in a thermoelectric peltier cell connected to a metallic bar with a temperature sensor (Lm35) also plugged on it. The sensor has been connected to a microcontroller, responsible for interconnect the peltier cell with a computer, where the technique was in fact executed.

(7)

Lista de Figuras

1 Introdu¸c˜ao p. 10

2 Fundamenta¸c˜ao Te´orica p. 12

2.1 Sistemas de Controle . . . p. 12 2.1.1 Controle em Malha Aberta . . . p. 13 2.1.2 Controle em Malha Fechada . . . p. 16 2.1.3 Sistemas de Primeira Ordem . . . p. 18 2.1.4 Sistemas de Segunda Ordem . . . p. 19 2.1.5 Controlador PI . . . p. 21 2.2 Controle Digital . . . p. 22 2.2.1 Equa¸c˜oes Discretas - Equa¸c˜oes a Diferen¸cas . . . p. 23 2.2.2 Transformada Z e Transforma¸c˜oes de s em z . . . p. 23 2.2.3 Controlador PI Discreto . . . p. 25 2.2.4 Aloca¸c˜ao de P´olos . . . p. 25 2.3 Identifica¸c˜ao de Sistemas . . . p. 26 2.3.1 Modelos Discretos . . . p. 27 2.3.2 M´ınimos Quadrados Recursivos . . . p. 28 2.3.3 M´ınimos Quadrados Preditivos . . . p. 30 2.4 Controle Adaptativo . . . p. 31 2.4.1 T´ecnicas de Controle Adaptativo . . . p. 33

(8)

2.4.1.2 Modelo de Referˆencia (MRAS) . . . p. 34 2.4.1.3 Reguladores Auto-ajust´aveis (STR) . . . p. 35

3 Plataforma de Testes p. 36

3.1 M´odulo T´ermico . . . p. 36 3.2 M´odulo de aquisi¸c˜ao e interface . . . p. 37 3.3 M´odulo de Processamento . . . p. 38 3.4 Integra¸c˜ao dos M´odulos . . . p. 39

4 Ensaios e Resultados p. 41

4.1 Determina¸c˜ao da Ordem do Modelo . . . p. 41 4.2 Projeto e Simula¸c˜ao do Controlador Adaptativo . . . p. 44 4.3 Implementa¸c˜ao do Controlador Adaptativo . . . p. 49

5 Conclus˜ao p. 53

(9)

1 Diagrama de bloco de um sistema em malha aberta. . . p. 14 2 Resposta ao degrau de G(s). . . p. 15 3 Resposta ao degrau de G(s) - Superposi¸c˜ao do diagrama da figura 2 com

a sa´ıda para uma referˆencia Tr . . . p. 16 4 Diagrama de bloco de um sistema em malha fechada. . . p. 16 5 Resposta ao degrau em malha aberta e fechada com varia¸c˜ao do ganho

de G(s). . . p. 17 6 Resposta ao degrau unit´ario de um sistema de primeira ordem. . . p. 19 7 Resposta ao degrau unit´ario de um sistema de segunda ordem. . . p. 20 8 Diagrama de blocos de um Sistema de Controle Adaptativo. . . p. 31 9 Sistema de controle com um atuador n˜ao linear. . . p. 32 10 Resposta do sistema da v´alvula n˜ao-linear em diferentes pontos de opera¸c˜ao. p. 33 11 Diagrama de blocos - Escalonamento de Ganho . . . p. 34 12 Diagrama de blocos - MRAS . . . p. 34 13 Diagrama de blocos - STR . . . p. 35 14 M´odulos da Plataforma de Testes . . . p. 36 15 Montagem do M´odulo T´ermico . . . p. 37 16 Montagem Microcontrolador-Max232 . . . p. 38 17 Circuito de acoplamento transistorizado - Driver . . . p. 39 18 Respostas do Sistema ao PWM=50% e PWM=55%. . . p. 42 19 Resposta do Sistema `a onda quadrada. . . p. 43 20 Erros de cada itera¸c˜ao do PLS. . . p. 43

(10)

22 Sa´ıda Simulada do Processo - Temperatura controlada. . . p. 48 23 Sinal Simulado de Controle . . . p. 48 24 Estima¸c˜ao Simulada dos parˆametros a1 e b1 . . . p. 49 25 Sa´ıda Real do Processo - Temperatura controlada. . . p. 50 26 Sinal Real de Controle. . . p. 51 27 Estima¸c˜ao Real dos Parˆametros. . . p. 51 28 Sa´ıdas Superpostas (Simula¸c˜ao vs. Implementa¸c˜ao). . . p. 52

(11)

1

Introdu¸

ao

Nos ´ultimos 60 anos a teoria de controle de sistemas dinˆamicos tem experimentado um progresso not´avel, tendo um papel fundamental na atual sociedade tecnol´ogica. En-tretanto, n˜ao ´e de agora que sistemas de controle tˆem dado algum trabalho a cientistas e engenheiros.

Data do s´eculo XVIII o primeiro trabalho expressivo na ´area, o controlador centr´ıfugo de James Watt (OGATA, 2003). Esse controlador foi concebido numa ´epoca onde ainda n˜ao existiam circuitos eletrˆonicos e computadores, sendo um dispositivo completamente mecˆanico. O sistema consistiu num controle de velocidade de uma m´aquina a vapor, onde a velocidade desejada era alcan¸cada atrav´es do controle do fluxo de ´oleo em um cilindro de potˆencia.

Em 1922 Minorsk utilizou controladores autom´aticos para pilotagem de embarca¸c˜oes, enfatizando o uso de equa¸c˜oes diferenciais na descri¸c˜ao matem´atica de sistemas dinˆamicos (OGATA, 2003). Nyquist, em 1932, contribuiu com um m´etodo para determina¸c˜ao da esta-bilidade de sistemas de malha fechada com base na resposta de malha aberta a excita¸c˜oes senoidais estacion´arias, seguido por Hazen, em 1934, que introduziu o termo servomeca-nismos para sistemas de controle de posi¸c˜ao (OGATA, 2003).

Na d´ecada de 40 foi consolidada a teoria cl´assica de controle com as contribui¸c˜oes de Bode e Evans. O primeiro ajudou a desenvolver e aprimorar a an´alise de resposta em freq¨uˆencia e o segundo criou o importante m´etodo de an´alise do lugar das ra´ızes (OGATA, 2003). Na d´ecada de 50 surge, oficialmente, o controle adaptativo, quando pesquisas que visavam desenvolver pilotos autom´aticos de avi˜oes foram intensificadas. O sistema dinˆamico de um avi˜ao ´e ideal para aplica¸c˜ao desse tipo de controle, pois as mudan¸cas no ambiente e no pr´oprio sistema s˜ao bastante acentuadas, tornando um controlador de ganho fixo n˜ao eficaz (ASTROM; WITTENMARK, 1995).

Esse tipo de controle preza a adequa¸c˜ao dos parˆametros de um controlador para va-ria¸c˜oes imprevis´ıveis de uma determinada planta. Esse ajuste ´e feito manualmente, por

(12)

exemplo, quando se trata de adequar parˆametros para controladores PID. Entretanto, quando o n´umero de parˆametros ´e superior a dois ou trˆes, essa tarefa de ajuste ma-nual se torna complexa, sendo necess´aria `a inser¸c˜ao de um controlador auto-ajust´avel ou controlador adaptativo (ASTROM; WITTENMARK, 1995).

Segundo Astrom e Wittenmark (1995), ainda existe uma controv´ersia na classifica¸c˜ao de um sistema de controle quanto adaptativo ou n˜ao. Diz-se ent˜ao que um controle adaptativo ´e aquele que pode mudar sua resposta `as varia¸c˜oes de uma planta ou `as carac-ter´ısticas dos dist´urbios. Essa defini¸c˜ao, todavia, n˜ao representa univocamente o conceito de controle adaptativo, j´a que qualquer controle em malha fechada ´e projetado para ser insens´ıvel `as varia¸c˜oes da planta. Ainda de acordo com Astrom e Wittenmark (1995), con-trole adaptativo ´e definido como qualquer concon-trole cujo controlador n˜ao apresente ganho fixo, sendo essa a defini¸c˜ao mais aceita atualmente.

Este trabalho visa aprofundar o estudo nas t´ecnicas de controle adaptativo. Isso se dar´a atrav´es do estudo, projeto e implementa¸c˜ao de um controlador auto-ajust´avel. Os motivos que conduziram `a realiza¸c˜ao do presente projeto podem ser divididos em dois aspectos. O primeiro aspecto ´e o aspecto acadˆemico, pois o objetivo ´e que se estude uma t´ecnica de controle avan¸cada de forma a se abordar um conjunto consider´avel de t´ecnicas acess´orias, como, por exemplo, t´ecnicas de identifica¸c˜ao de sistemas. O segundo aspecto diz respeito a dificuldade de se determinar o modelo matem´atico do processo t´ermico aqui abordado, necessitando de uma t´ecnica menos convencional para a tarefa como o controle adaptativo.

O presente cap´ıtulo tem por objetivo dar uma introdu¸c˜ao acerca do trabalho reali-zado. O cap´ıtulo dois apresenta a fundamenta¸c˜ao te´orica, onde uma base conceitual e matem´atica, indispens´avel para o entendimento do presente trabalho, ser´a abordada. O cap´ıtulo trˆes mostra como foi concebida a plataforma de testes. O cap´ıtulo quatro apre-senta os ensaios e resultados al´em de uma breve discuss˜ao dos mesmos, ressaltando as dificuldades encontradas e os sucessos obtidos no desenvolvimento do projeto e, por fim, na conclus˜ao ser˜ao discutidos alguns assuntos n˜ao revelados durante o trabalho al´em de coment´arios sobre os resultados obtidos e trabalhos futuros.

(13)

2

Fundamenta¸

ao Te´

orica

2.1

Sistemas de Controle

O pr´evio conhecimento de alguns conceitos b´asicos e terminologias s˜ao indispens´aveis para uma futura imers˜ao na ´area de teoria de controle. Ogata (2003) lista as seguintes defini¸c˜oes:

• Vari´avel controlada: grandeza que ´e medida e controlada;

• Vari´avel manipulada: grandeza a qual se tem acesso e por meio da qual se afeta a

vari´avel controlada;

• Sistemas a controlar ou Plantas: parte ou conjunto de componentes de um

equipa-mento que funcione de maneira integrada; Qualquer objeto f´ısico a ser controlado (um forno, um reator qu´ımico ou mesmo uma espa¸conave);

• Processos: opera¸c˜ao a ser controlada (processos qu´ımicos, econˆomicos, biol´ogicos e

etc.);

• Sistemas: combina¸c˜ao de componentes que agem em conjunto em pr´o de um mesmo

objetivo (sistemas f´ısicos, econˆomicos, biol´ogicos e etc.);

• Dist´urbios: sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da vari´avel de sa´ıda

de um sistema, podem ser externos ou internos.

Uma fase importante no desenvolvimento de sistemas de controle ´e a modelagem dos sistemas dinˆamicos envolvidos. Como dito na introdu¸c˜ao, Minorsk ratifica em 1922 o uso de equa¸c˜oes diferenciais para modelar esses sistemas. Contudo, qualquer an´alise com base nessas equa¸c˜oes requer a resolu¸c˜ao das mesmas, o que pode, muitas vezes, n˜ao ser trivial. Faz-se necess´ario a introdu¸c˜ao do conceito de fun¸c˜ao de transferˆencia. Essas fun¸c˜oes s˜ao normalmente utilizadas para caracterizar rela¸c˜oes de entrada e sa´ıda de sistemas

(14)

dinˆamicos, que podem ser descritos por equa¸c˜oes diferenciais lineares e invariantes no tempo (OGATA, 2003).

A fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema representado por uma equa¸c˜ao diferencial linear e invariante no tempo ´e definida na maioria dos casos como sendo a rela¸c˜ao da transformada de Laplace da sa´ıda e a transformada de Laplace da entrada, admitindo-se todas as condi¸c˜oes iniciais nulas (OGATA, 2003). Com o uso da transformada de Laplace consegue-se reduzir as complexas equa¸c˜oes diferenciais a equa¸c˜oes alg´ebricas.

Como exemplo, considere o sistema linear invariante no tempo dado pela seguinte equa¸c˜ao: a0dny dtn + a1dny dtn + ... + an−1dy dt + any = b0dmx dtm + b1dmx dtm + ... + bm−1dx dt + bmx (n ≥ m) (2.1)

Onde y ´e a sa´ıda do sistema, x a entrada, n ´e a ordem do sistema e m ´e o numero de parˆametros que afetam a entrada x. A respectiva fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por:

H(s) = L{saida} L{entrada} = Y (s) X(s) = b0sm+ b1sm−1+ ... + bm−1s + bm a0sn+ b1sn−1+ ... + an−1+ an (2.2) Pode-se afirmar que a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema caracteriza-o univoca-mente, independente da natureza do sinal de entrada ou de excita¸c˜ao. ´E importante res-saltar que a modelagem por fun¸c˜oes de transferˆencias se aplica apenas a sistemas lineares e invariantes no tempo e que possuam uma entrada ´unica e uma sa´ıda ´unica (SISO:

Sin-gle Input - SinSin-gle Output). Neste trabalho foi utilizada exaustivamente a modelagem por

fun¸c˜oes de transferˆencia para a caracteriza¸c˜ao dos sistemas dinˆamicos aqui apresentados, o que se deve justamente ao fato do sistema ser SISO, fazendo com que seja mais f´acil de trabalhar com fun¸c˜oes de transferˆencia do que com representa¸c˜oes matriciais como espa¸co de estados, al´em do que, fun¸c˜oes de transferˆencia s˜ao utilizadas com maior frequˆencia na literatura (OGATA, 2003).

2.1.1

Controle em Malha Aberta

As fun¸c˜oes de transferˆencia podem ser utilizadas para modelar dois tipos de sistemas de controle: controle em malha aberta e controle em malha fechada. O controle em malha aberta consiste naquele em que o sinal de sa´ıda n˜ao exerce nenhuma a¸c˜ao de controle no sistema (OGATA, 2003), ou seja, o sinal de sa´ıda n˜ao ´e medido ou mesmo realimentado para compara¸c˜ao com a entrada. Para que fiquem claras as implica¸c˜oes de um sistema de controle em malha aberta observe o exemplo a seguir. A figura 1 representa um

(15)

sistema de controle em malha aberta. Essa forma de representa¸c˜ao ´e conhecida como diagrama de blocos, que consiste numa representa¸c˜ao gr´afica das fun¸c˜oes desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles (OGATA, 2003). Difere da representa¸c˜ao matem´atica abstrata pura por indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real.

Figura 1: Diagrama de bloco de um sistema em malha aberta.

´

E fato que todos os sinais representados na figura 1 est˜ao no dom´ınio s de Laplace e podem ser descritos da seguinte forma.

• R(s) - entrada de referˆencia (setpoint). • C(s) - controlador.

• U(s) - sinal de controle. • G(s) - planta.

• Y(s) - sa´ıda do sistema.

Admite-se ent˜ao que a planta G(s), para simplificar os c´alculos, seja um sistema qualquer de primeira ordem, onde a ordem de um sistema ´e dada pelo grau do polinˆomio do denominador de sua fun¸c˜ao de transferˆencia, representado pela seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia:

G(s) = Y (s) U(s) =

K

T s + 1 (2.3)

Onde K ´e um ganho inerente ao pr´oprio sistema e T ´e uma constante de tempo. Fazendo U(s) igual ao degrau unit´ario (U(s) = 1

s) e evidenciando-se a sa´ıda Y(s) na

equa¸c˜ao (2.3) obt´em-se:

Y (s) = K T s + 1

1

s (2.4)

Deseja-se ent˜ao obter o valor de Y(s) quando o sistema estiver em regime permanente, ou melhor, quando o tempo tender a infinito. Para tal, utiliza-se o teorema do valor final

(16)

(OGATA, 2003) mostrado na equa¸c˜ao (2.5). lim

t→∞y(t) = lims→0sY (s) = K (2.5)

A simula¸c˜ao, feita no MatLab, da resposta ao degrau da fun¸c˜ao G(s) (figura 1), para uma ganho k=10 e T=1s, pode ser observada na figura 2.

Figura 2: Resposta ao degrau de G(s).

De acordo com o diagrama da figura 1 pode-se escrever Y(s) como:

Y (s) = C(s)G(s)R(s) (2.6) Onde C(s) (figura 1) ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador, a qual se deve projetar. Fazendo ent˜ao o controlador igual a um ganho Kp e a entrada de referˆencia igual a Tr

reescreve-se a equa¸c˜ao (2.4) como:

Y (s) = KKp T s + 1

Tr

s (2.7)

E o resultado da nova simula¸c˜ao para uma entrada qualquer Tr = 20 em compara¸c˜ao a

resposta ao degrau mostrada na figura 2 pode ser analisado na figura 3.

A partir da observa¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.7) conclui-se que para que Y(s) (representado tamb´em na figura 1) tenha um comportamento servo em rela¸c˜ao a entrada de referencia, ou melhor, para que Y(s) siga o sinal de referˆencia R(s), deve-se fazer Kp = 1/K. Acontece

que se K, ganho inerente a planta, variar em algum momento, Y(s) n˜ao ter´a mais um comportamento servo em rela¸c˜ao a R(s). Pode-se concluir ent˜ao que sistemas de controle

(17)

Figura 3: Resposta ao degrau de G(s) - Superposi¸c˜ao do diagrama da figura 2 com a sa´ıda para uma referˆencia Tr .

em malha aberta s˜ao sens´ıveis a m´ınimas varia¸c˜oes da planta (ASTROM; WITTENMARK, 1995).

2.1.2

Controle em Malha Fechada

Segundo Astrom e Wittenmark (1995) e Ogata (2003) o problema de pequenas va-ria¸c˜oes nos parˆametros da planta ´e resolvido realimentando a sa´ıda Y(s) `a entrada de referˆencia R(s), ou seja, desenvolvendo o que se chama de sistema de controle em malha fechada. A figura 4 mostra um novo diagrama de blocos para um sistema em malha fechada.

Figura 4: Diagrama de bloco de um sistema em malha fechada.

Ainda segundo Ogata (2003), para um sistema de malha fechada t´ıpico como o mos-trado pela figura 4, define-se a fun¸c˜ao de transferˆencia que relaciona a sa´ıda Y(s) com a entrada R(s), chamada fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada, como:

Y (s) R(s) =

C(s)G(s)

(18)

Para que se facilite a an´alise, considere as fun¸c˜oes de transferˆencias que comp˜oem a equa¸c˜ao (2.8) independentes da freq¨uˆencia s:

Y R =

CG

1 + CG (2.9)

Dividindo-se o numerador e o denominador por C obt´em-se:

Y R = G 1 C + G (2.10) De onde se pode concluir que fazendo G muito maior que 1

C o sistema em malha fechada

se torna insens´ıvel `a varia¸c˜oes da planta.

Utilizando o sistema dado na equa¸c˜ao (2.3) a figura 5 mostra o resultado de uma simula¸c˜ao da resposta ao degrau em malha fechada em detrimento de outra simula¸c˜ao em malha aberta onde, nas duas simula¸c˜oes, fez-se variar o ganho da planta entre os valores:

K = 9.5, K = 10, K = 10.5 para uma constante de tempo T = 1s e um controlador C(s)

de ganho Kp = 0.1 para a malha aberta e Kp = 10 para malha fechada.

Pode-se perceber, a partir da oberva¸c˜ao do diagramas apresentado na figura 5 , que um sistema em malha fechada (b) ´e, de fato, insens´ıvel a pequenas varia¸c˜oes nos parˆametros da planta em rela¸c˜ao a um sistema em malha aberta (a), apresentando uma menor varia¸c˜ao em rela¸c˜ao a referencia em regime estacion´ario, o que, como j´a dito, pode ser constatado no diagrama da figura 5 cujo t´ıtulo ´e ¨Resposta ao degrau: Malha Fechada¨.

Figura 5: Resposta ao degrau em malha aberta e fechada com varia¸c˜ao do ganho de G(s).

(19)

2.1.3

Sistemas de Primeira Ordem

A relevˆancia de sistemas de primeira ordem para este trabalho decorre do fato de que o sistema t´ermico aqui abordado ser´a representado por uma fun¸c˜ao de transferˆencia de primeira ordem. Como j´a mencionado, a ordem de um sistema ´e dada pelo grau do polinˆomio do denominador de sua fun¸c˜ao de transferˆencia. O denominador da fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema ´e tamb´em chamado de polinˆomio caracter´ıstico, ent˜ao, reescrevendo a primeira afirma¸c˜ao, a ordem de um sistema ´e dada pelo grau de seu polinˆomio caracter´ıstico (OGATA, 2003) (AGUIRRE, 2000).

Um sistema de primeira ordem pode ent˜ao ser definido como aquele que possui um polinˆomio caracter´ıstico de grau 1, ou melhor, tomando a equa¸c˜ao (2.1) como base, n deve ser igual a unidade. Na literatura (OGATA, 2003), um sistema de primeira ordem pode ser definido genericamente pela fun¸c˜ao de transferˆencia da equa¸c˜ao (2.3), onde K ´e o ganho inerente ao sistema e T a sua constante de tempo:

A partir da equa¸c˜ao (2.11), pode-se analisar o sistema gen´erico supracitado em termos de sua resposta temporal. Segundo Ogata (2003), a resposta temporal de um sistema de controle ´e constitu´ıda de duas partes: a resposta transit´oria e a resposta estacion´aria, sendo que a resposta transit´oria ´e aquela que vai desde o estado inicial do sistema at´e o estado final. A an´alise da resposta transit´oria, de fundamental importˆancia para especi-fica¸c˜oes de desempenho de um sistema controlado.

Fazendo ent˜ao R(s)=1/s, com 1/s sendo a transformada de laplace do degrau unit´ario, pode-se obter, analiticamente, a resposta temporal transit´oria do referido sistema gen´erico de primeira ordem em malha aberta:

Y (s) = K T s + 1

1

s (2.11)

Onde a resposta no dom´ınio do tempo, obtida a partir da transformada inversa de laplace (OGATA, 2003) (AGUIRRE, 2000), ´e:

y(t) = 1 − e−tT (2.12)

A figura 6 apresenta graficamente a resposta transit´oria ao degrau unit´ario carac-ter´ıstica de um sistema de primeira ordem (para T=1s e K=1):

Dois fatores importantes podem ser obtidos a partir da an´alise do gr´afico da figura 6: o sistema alcan¸ca 63,2% de seu valor de regime transit´orio depois de decorrido o tempo

(20)

Resposta ao Degrau Unitario Tempo (sec) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 System: Y Time (sec): 0.969 Amplitude: 0.621 System: Y Time (sec): 5.01 Amplitude: 0.993

Figura 6: Resposta ao degrau unit´ario de um sistema de primeira ordem.

de uma constante de tempo T, e alcan¸ca o tempo de regime permanente ap´os 5T. A importˆancia desses fatores deve-se ao fato dos mesmos funcionarem como especifica¸c˜oes de desempenho em um eventual projeto de controlador para um sistema de primeira ordem.

2.1.4

Sistemas de Segunda Ordem

Analogamente `a defini¸c˜ao de um sistema de primeira ordem, um sistema de segunda ordem pode ser definido como aquele cujo grau de seu polinˆomio caracter´ıstico ´e igual a 2, ou seja, utilizando novamente a equa¸c˜ao (2.1) como base, deve-se fazer n=2. Segundo Ogata (2003), Aguirre (2000) e Hemerly (2000) um sistema de segunda ordem pode ser representado genericamente pela seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia:

Y (s) R(s) = (wn)2 s2+ 2ζw ns + (wn)2 (2.13) Onde wn ´e conhecido como freq¨uˆencia natural n˜ao amortecida e ζ ´e o coeficiente de

amortecimento.

A resposta ao degrau unit´ario do sistema gen´erico de segunda ordem dado pela equa¸c˜ao (2.13) ´e apresentada na figura 7:

A an´alise da resposta transit´oria de sistemas de segunda ordem tamb´em ´e de funda-mental importˆancia para o projeto de controladores, pois ´e atrav´es dela que especifica¸c˜oes de desempenho s˜ao consideradas (OGATA, 2003). Dentre os v´arios atributos retirados da

(21)

Resposta ao degrau unitario Tempo (sec) Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: H Time (sec): 4.34 Amplitude: 1.25 System: H Time (sec): 16.1 Amplitude: 0.998

Figura 7: Resposta ao degrau unit´ario de um sistema de segunda ordem.

curva transit´oria da resposta ao degrau de um sistema gen´erico de segunda ordem, dois s˜ao de grande importˆancia para o presente trabalho: m´aximo sobre-sinal (Mp) e o tempo

de acomoda¸c˜ao (ts).

O m´aximo sobre-sinal, tamb´em chamado de overshoot, ´e definido em Ogata (2003) como sendo o m´aximo valor de sa´ıda do sistema ap´os o primeiro cruzamento ascendente com o valor de referˆencia (primeiro ponto da figura 7). Portanto, considerando tp (tempo

de pico) como o tempo que o sistema leva at´e atingir esse valor, o m´aximo sobre-sinal pode ser definido como o erro relativo que o sistema apresenta entre o valor de sua sa´ıda em tp e o valor de sa´ıda esperado:

Mp =

c(tp) − c(∞)

c(∞) (2.14)

Onde ∞ ´e o simbolo de infinito, c(∞) ´e a sa´ıda do sistema em estado permanente e

c(tp) ´e a representa¸c˜ao temporal da equa¸c˜ao (2.13) definida em Ogata (2003) como:

c(t) = 1 − e−(ζ−√ζ2−1)wnt

(2.15) ´

E percept´ıvel que o sobre-sinal est´a formente relacionado com o valor de ζ. Ogata (2003) caracteriza os sistemas de segunda ordem de acordo com os valores que ζ pode assumir. Para 0 < ζ < 1, o sistema apresenta p´olos conjugados complexos e resposta transit´oria oscilat´oria, sendo dito que o sistema ´e subamortecido. Para ζ = 1 o sistema

(22)

n˜ao apresenta resposta transit´oria oscilat´oria e ´e dito como sendo um sistema criticamente amortecido. Para ζ > 1 o sistema tamb´em n˜ao apresenta resposta transit´oria oscilat´oria, sendo um sistema superamortecido.

J´a o tempo de acomoda¸c˜ao (ts) ´e definido em Ogata (2003) como sendo o tempo

necess´ario para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa de 2% a 5% em torno do valor final c(∞). O tempo de acomoda¸c˜ao pode ser definido ent˜ao como:

ts =

4

ζwn

(2.16) Para uma faixa de 2% em torno do valor final e,

ts =

3

ζwn

(2.17) Para uma faixa de 5% em torno do valor final.

2.1.5

Controlador PI

Controladores PI(Proporcional-Integral) s˜ao utilizados em mais de 90% das aplica¸c˜oes industriais (OGATA, 2003), sendo essa aplicabilidade geral a diversos sistemas de controle a grande vantagem dessa t´ecnica.

A a¸c˜ao de controle proporcional define um ganho Kp, sendo este a rela¸c˜ao entre a

sa´ıda do controlador u(t) e o sinal de erro atuante num sistema realimentado:

u(t) = Kpe(t) (2.18)

ou, transformando por Laplace (OGATA, 2003),

Kp =

U(s)

E(s) (2.19)

Na a¸c˜ao Integral, o valor da sa´ıda u(t) ´e modificado a uma taxa de varia¸c˜ao propor-cional ao sinal de erro atuante e(t):

Kie(t) = du(t) dt (2.20) ou U(s) E(s) = Ki s (2.21)

(23)

Durante o desenvolvimento, ou melhor, durante ensaios realizados com a plataforma de testes desenvolvida, percebeu-se que o valor de sa´ıda do sistema varia lentamente para mudan¸cas bruscas no sinal de entrada, e como o objetivo deste trabalho n˜ao ´e o de melhorar o tempo de subida do referido sistema, mas sim, o de diminuir a sensibilidade do sistema `a varia¸c˜oes da planta e, tamb´em, para simplificar os c´alculos, optou-se por n˜ao utilizar a a¸c˜ao derivativa.

O controlador utilizado neste trabalho foi, portanto, um controlador PI (Proporcional-Integral) que, a partir das equa¸c˜oes (2.18) e (2.20), pode ser definido como se segue:

u(t) = Kpe(t) + Kp Ti Z e(t)dt (2.22) ou, em Laplace, U(s) E(s) = Kp(1 + 1 Tis ) (2.23)

Sendo Ti chamado de tempo integrativo.

2.2

Controle Digital

Tecnologias digitais s˜ao cada vez mais comuns nos dias de hoje. Seja em aparelhos ce-lulares, eletrodom´esticos, carros e at´e mesmo em casas, m´odulos de processamento digital s˜ao encontrados com bastante freq¨uˆencia, substituindo toda uma circuitaria anal´ogica.

O projeto de controladores digitais, aqueles implementados em computadores, mi-crocontroladores, FPGAs e etc., tem aumentado nos ´ultimos anos devido ao aumento significativo do poder de processamento desses dispositivos (HEMERLY, 2000). Contudo, a introdu¸c˜ao desses dispositivos numa malha de controle traz problemas antes inexistentes, como fun¸c˜oes de transferˆencia de conversores anal´ogicos/digitais, tempos de amostragem e outras caracter´ısticas sutis, peculiares a um sistema discreto, agora presentes.

Entretanto, neste trabalho, n˜ao se teve a preocupa¸c˜ao de modelar separadamente essas novas entidades, dada a complexidade dessa tarefa, e a relativa robustez de um controlador adaptativo, capaz de funcionar mesmo para um modelo que n˜ao equivalha 100% com o modelo real do sistema (ASTROM; WITTENMARK, 1995) (HEMERLY, 2000).

Alguns conceitos fundamentais para o entendimento desse projeto se fazem necess´arios. S˜ao eles: equa¸c˜oes a diferen¸cas, transformada Z, controladores PI digitais e o projeto de controladores por aloca¸c˜ao de p´olos, explanados nas pr´oximas subse¸c˜oes.

(24)

2.2.1

Equa¸c˜

oes Discretas - Equa¸c˜

oes a Diferen¸cas

Analogamente aos sistemas de tempo continuo, que s˜ao representados por equa¸c˜oes diferenciais, os sistemas discretos s˜ao representados por equa¸c˜oes discretas ou equa¸c˜oes a diferen¸cas (HEMERLY, 2000). Essas equa¸c˜oes descrevem com propriedade sistemas amos-trados, assim como as equa¸c˜oes diferenciais descrevem os sistemas sistemas anal´ogicos. A equa¸c˜ao que se segue ´e um exemplo de uma equa¸c˜ao discreta:

y(k) = y(k − 1) + u(k − 1) (2.24) A equa¸c˜ao (2.24), al´em de ser um bom exemplo de equa¸c˜ao discreta, se enquadra num modelo de equa¸c˜ao ARX (Auto-Regressivo Com Entradas Ex´ogenas), pois a sa´ıda do sistema no instante k ´e descrita em termos da sa´ıda num instante anterior e de uma entrada ex´ogena. Contudo, a teoria acerca de modelos ARX ser´a tratada mais adiante neste trabalho. Segundo Geromel e Palhares (2004) existem m´etodos funcionais para resolu¸c˜ao dessas equa¸c˜oes discretas, m´etodos estes, an´alogos aos m´etodos que resolvem equa¸c˜oes diferenciais. Entretanto, n˜ao faz parte do escopo deste projeto discutir os v´arios meios para resolu¸c˜ao dessas equa¸c˜oes, mas sim, utiliza-las para a representa¸c˜ao do sistema discreto obtido para o processo t´ermico em quest˜ao.

2.2.2

Transformada Z e Transforma¸c˜

oes de s em z

A equa¸c˜ao discreta mostrada em 2.2.1 est´a representada no dom´ınio do tempo. Como citado anteriormente, sistemas dinˆamicos SISO s˜ao melhor representados por fun¸c˜oes de transferˆencia, sendo que para sistemas anal´ogicos utiliza-se a Transformada de Laplace na obten¸c˜ao dessas fun¸c˜oes. O an´alogo discreto da transformada de Laplace ´e a Transformada Z, facilitando, como em Laplace, a resolu¸c˜ao e obten¸c˜ao de fun¸c˜oes de transferˆencia a partir de equa¸c˜oes discretas (HEMERLY, 2000).

Uma defini¸c˜ao mais apurada da Transformada Z diz que, quando utilizada, transforma uma seq¨uˆencia de n´umeros em uma fun¸c˜ao da vari´avel complexa Z (HEMERLY, 2000), sendo sua defini¸c˜ao matem´atica dada por:

Z[y(k)] = Xy(k)z−k (2.25)

com k (vari´avel discreta) variando de −∞ a ∞.

(25)

atrav´es do somat´orio supracitado, antes utiliza-se um conjunto de propriedades bem de-finidas na literatura (HEMERLY, 2000). Dentre as muitas propriedades, uma ´e bastante utilizada neste trabalho, a propriedade do deslocamento no tempo. Essa propriedade diz que um deslocamento d no tempo discreto (y(k-d)) ´e o resultado da multiplica¸c˜ao de z−d

no dom´ınio Z. Dessa forma, pode-se facilmente obter a representa¸c˜ao em Z da equa¸c˜ao (2.19):

Y (z) = z−1Y (z) + z−1U(z) ⇒ Y (z) U(z) =

1

z − 1 (2.26)

Outra defini¸c˜ao importante ´e a defini¸c˜ao da ordem de um sistema discreto. A ordem de um sistema discreto ´e dada da mesma forma que num sistema continuo, pelo maior grau de seu polinˆomio caracter´ıstico, de forma que o sistema descrito pela equa¸c˜ao anterior ´e de primeira ordem.

Existem basicamente dois caminhos para o projeto de controladores digitais. O pri-meiro sugere que o projeto do controlador seja feito no tempo cont´ınuo e, posteriormente, transforma-o para o tempo discreto. Na segunda abordagem, o projeto ´e feito j´a no dom´ınio discreto, podendo, muitas vezes, aumentar a complexidade da tarefa.

Como os dados obtidos neste trabalho foram feitos a partir de amostras do processo f´ısico, pode-se dizer que a maioria das equa¸c˜oes obtidas j´a est˜ao em sua forma discreta, contudo, algumas especifica¸c˜oes de projeto s˜ao dadas no dom´ınio cont´ınuo, sendo ne-cess´ario para este projeto apenas o estudo do mapeamento de p´olos e zeros de um dom´ınio para outro.

Segundo (HEMERLY, 2000) a rela¸c˜ao entre um p´olo ou zero no dom´ınio cont´ınuo com o dom´ınio discreto ´e dada por:

z = esT (2.27)

Onde T ´e o per´ıodo de amostragem e s = σ + jw ´e a vari´avel complexa, sendo σ a parte real e w a parte imagin´aria, portanto:

z = eσTejwT (2.28)

Essa t´ecnica ser´a utilizada para se obter os p´olos no dom´ınio z a partir dos p´olos em

(26)

2.2.3

Controlador PI Discreto

Outra t´ecnica largamente utilizada no mapeamento de s em z ´e a transforma¸c˜ao bilinear (AGUIRRE, 2000). Atrav´es da aplica¸c˜ao de uma integra¸c˜ao num´erica ´a equa¸c˜ao em s (HEMERLY, 2000) chega-se a seguinte rela¸c˜ao:

s = 2 T

z − 1

z + 1 (2.29)

A equa¸c˜ao anterior mostra que, dada uma fun¸c˜ao de transferˆencia qualquer no dom´ınio

s, ´e poss´ıvel se obter sua equivalente discreta no dom´ınio z. Esse conceito pode ser aplicado

`a defini¸c˜ao em s do controlador Proporcional-Integral, apresentado na equa¸c˜ao (2.23), obtendo-se o seguinte controlador em z (MONTENEGRO et al., 2006):

U(z) = q0z + q1

z − 1 (2.30)

Onde sua equa¸c˜ao no tempo discreto ´e dada por:

u(k) = q0e(k) + q1e(k − 1) + u(k − 1) (2.31)

2.2.4

Aloca¸c˜

ao de P´

olos

Existem v´arias t´ecnicas para projeto de controladores. Dado que neste projeto j´a foi definido o tipo de controlador a ser utilizado (PI), ser´a necess´ario apenas sintonizar o controlador, ou melhor, determinar os valores adequados de q0 e q1 da equa¸c˜ao (2.31).

Dentre as t´ecnicas utilizadas na sintonia de controladores PI, pode-se citar algumas emp´ıricas como as de Ziegler-Nichols (OGATA, 2003), que se baseiam na an´alise da resposta ao degrau para a obten¸c˜ao dos respectivos parˆametros, ou no comportamento do sistema na zona de estabilidade cr´ıtica.

Uma outra t´ecnica descrita em Lordelo e Ferreira (2005), e bastante utilizada em Astrom e Wittenmark (1995), ´e a t´ecnica de aloca¸c˜ao ou imposi¸c˜ao de p´olos. Essa t´ecnica se baseia na obten¸c˜ao dos parˆametros do controlador a partir do posicionamento adequado dos p´olos em malha fechada do sistema controlador-planta. Esses p´olos, por sua vez, podem ser obtidos a partir de especifica¸c˜oes de desempenho, como o m´aximo sobre-sinal desejado, e o tempo de acomoda¸c˜ao, j´a explicados neste trabalho.

Segundo Lordelo e Ferreira (2005), uma fun¸c˜ao de transferˆencia P(s) de uma planta de ordem n, estritamente pr´opria, a ser controlada, e um controlador C(s) de ordem r

(27)

representados por: P (s) = numP (s) denP (s) e C(s) = nC(s) dC(s) (2.32) Onde, para an+2 6= 0: nP (s) = a1sn+ a2sn−1+ ... + an+1 dP (s) = an+2sn+ an+3sn−1+ ... + a2n+2 nC(s) = x1sr+ x2sr−1+ ... + xr+1 dC(s) = xr+2sr+ xr+3sr−1+ ... + x2r+2

Onde (a1, a1...a2n+2) s˜ao os coeficientes da planta, assumidamente conhecidos, e (x1...x2r+2)

s˜ao os coeficientes do controlador, os quais se deseja determinar. Deve-se escolher os coefi-cientes do controlador a partir de especifica¸c˜oes de desempenho traduzidas em localiza¸c˜oes de p´olos, no plano complexo s, do sistema em malha fechada dado por:

F (s) = numF (s) denF (s) =

numC(s)numP (s)

denP (s)denC(s) + numP (s)numC(s) (2.33)

Ent˜ao, ainda segundo Lordelo e Ferreira (2005), o objetivo da t´ecnica ´e alocar os p´olos de F(s) de forma a se determinar os parˆametros do controlador. Isso normalmente ´e feito a partir da resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao diofantina (ASTROM; WITTENMARK, 1995) (LORDELO; FERREIRA, 2005):

denP (s)denC(s) + numP (s)numC(s) = denF (s) (2.34) A resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao diofantina pode apresentar dif´ıcil solu¸c˜ao, demandando m´etodos e t´ecnicas apropriadas. Contudo, a aloca¸c˜ao de p´olos realizada neste trabalho se resumiu a resolu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes homogˆeneas simples, n˜ao precisando entrar no m´erito da equa¸c˜ao diofantina em si.

2.3

Identifica¸c˜

ao de Sistemas

Entende-se por identificar um sistema, como o processo pelo qual se obt´em o modelo matem´atico que descreve o comportamento do mesmo, ou melhor, sua fun¸c˜ao de trans-ferˆencia (AGUIRRE, 2000). Segundo Aguirre (2000) existem basicamente duas formas de se levantar o modelo de uma dado sistema: modelagem caixa-branca e a modelagem caixa-preta (identifica¸c˜ao de sistemas).

(28)

A modelagem caixa-branca requer um conhecimento profundo de toda a f´ısica do sistema. Os modelos obtidos a partir desta abordagem descrevem o sistema da forma mais fiel poss´ıvel, apresentando uma maior riqueza na descri¸c˜ao das propriedade dinˆamicas do mesmo. Contudo, na maioria das vezes, o sistema que se quer analisar possui um numero muito grande de vari´aveis, muitas das quais, desnecess´arias, dependendo do que se quer do sistema, tornando a tarefa de modelagem caixa-branca trabalhosa, quando n˜ao, imposs´ıvel.

A identifica¸c˜ao caixa-preta, ou simplesmente identifica¸c˜ao de sistemas, lan¸ca m˜ao do poder computacional para a analise de um conjunto de dados que venham a fornecer um modelo matem´atico satisfat´orio do sistema (AGUIRRE, 2000). Essa abordagem ´e bastante utilizada por engenheiros e modeladores de sistemas, que precisariam de um conhecimento muito grande para modelar todo e qualquer sistema pela f´ısica do seu processo.

Neste trabalho utiliza-se a t´ecnica de Identifica¸c˜ao de Sistemas (caixa-preta) como um bloco funcional de um controlador adaptativo. Dentre as muitas abordagens para se determinar os parˆametros de uma planta, a t´ecnica dos M´ınimos Quadrados Recursivos ´e largamente utilizada (ASTROM; WITTENMARK, 1995) (AGUIRRE, 2000) (HEMERLY, 2000) (MONTENEGRO et al., 2006).

Para determina¸c˜ao da ordem do modelo utiliza-se a t´ecnica dos M´ınimos Quadrados Preditivos (HEMERLY, 2000), mais indicada para computa¸c˜ao recursiva em detrimento de outras t´ecnicas bastante utilizadas como, por exemplo, o crit´erio de Akaike (AGUIRRE, 2000).

2.3.1

Modelos Discretos

No processo de Identifica¸c˜ao de Sistemas, costuma-se enquadrar os dados coletados numa familia ou modelo gen´erico. O seguinte modelo gen´erico ´e bastante utilizado para representar modelos discretos:

A(q)y(k) = B(q)

F (q)u(k) + C(q)

D(q)v(k) (2.35)

Onde, segundo Aguirre (2000), q−1 ´e conhecido como operador atraso, sendo definido

como y(k)q−1 = y(k − 1), v(k) ´e o ruido branco e A(q), B(q), C(q), D(q), F (q) s˜ao

definidos como:

A(q) = 1 + a1q−1+ ... + anyq

(29)

B(q) = b1q−1+ ... + bnuq −nu (2.37) C(q) = 1 + c1q−1+ ... + cnξq −nξ (2.38) D(q) = 1 + d1q−1+ ... + dndq −nd (2.39) F (q) = 1 + f1q−1+ ... + fnfq −nf (2.40)

A partir da equa¸c˜ao (2.35), fazendo D(q) = F (q) = 1, obt´em-se um modelo dis-creto conhecido na literatura (AGUIRRE, 2000) (HEMERLY, 2000) como ARMAX (Auto-Regressivo com M´edia M´ovel e Entradas Ex´ogenas):

A(q)y(k) = B(q)u(k) + C(q)v(k) (2.41) O Modelo ARMAX ´e definido como sendo da classe dos modelos com erro na equa¸c˜ao, j´a que da equa¸c˜ao (2.37) pode-se observar que o ru´ıdo branco, v(k), ´e filtrado por um filtro ARMA (C(q)A(q)).

Fazendo-se agora C(q) = 1, obt´em-se um modelo conhecido como ARX (Auto-Regressivo com Entradas Ex´ogenas):

A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k) (2.42) Reescrevendo (2.42) obt´em-se, y(k) = B(q) A(q)u(k) + 1 A(q)v(k) (2.43)

2.3.2

M´ınimos Quadrados Recursivos

O m´etodo dos m´ınimos quadrados foi desenvolvido por Karl Friedrich Gauss para a determina¸c˜ao da ´orbita de planetas e aster´oides. A id´eia central do seu algoritmo ´e a estima¸c˜ao de parˆametros n˜ao conhecidos de um determinado modelo, o que ´e feito medi-ante a minimiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de perda (ASTROM; WITTENMARK, 1995), (AGUIRRE, 2000).

Para a aplica¸c˜ao do m´etodo dos m´ınimos quadrados, o modelo matem´atico do sistema deve ser escrito na forma:

y(i) = ϕ1(i)θ1+ ϕ2(i)θ2... + ϕn(i)θn = ϕT(i)θ (2.44)

(30)

serem estimados e ϕ1, x2...ϕn s˜ao fun¸c˜oes de vari´aveis conhecidas. ϕT(i) e θ s˜ao definidas

a seguir:

ϕT(i) = [ϕ

1(i)ϕ2(i)...ϕn(i)] (2.45)

θ = [θ1(i)θ2(i)...θn(i)]T (2.46)

A fun¸c˜ao de perda que deve ser minimizada ´e definida como:

V (θ, t) =

t

X

i=1

(y(i) − ϕT(i)θ)2 (2.47)

Segundo Astrom e Wittenmark (1995) e Aguirre (2000) a fun¸c˜ao (2.47) ´e minima para:

ΦTΦθ = ΦTY (2.48)

Com Φ = [ϕT(1) ... ϕT(t)]T e Y (t) = [y(1) y(2) ... y(t)]T. Resolvendo ent˜ao

(2.48) para θ(t), segundo Astrom e Wittenmark (1995), obt´em-se:

θ(t) = P (t)(Xϕ(i)y(i)) (2.49) Onde i varia de 1 a t e P(t) ´e a matriz de covarian¸ca de ϕ(i).

Em controle adaptativo as observa¸c˜oes s˜ao feitas seq¨uencialmente e em tempo real. ´

E desej´avel ent˜ao que os c´alculos sejam feitos de forma recursiva, ou seja, as estima¸c˜oes devem ser arranjadas de tal forma que os resultados da estima¸c˜ao anterior (θ(t − 1)) possam ser utilizados para a estima¸c˜ao de θ(t). Ainda segundo (ASTROM; WITTENMARK, 1995), θ(t) ´e definido recursivamente como:

θ(t) = θ(t − 1) + K(t)(y(t) − ϕT(t)θ(t − 1)) (2.50)

K(t) = P (t)ϕ(t) = P (t − 1)ϕ(t)(λI + ϕTP (t − 1)ϕ(t)) (2.51)

P (t) = (I − K(t)ϕ(t))P (t − 1)/λ (2.52) Onde I ´e a matriz identidade e λ ´e conhecido como fator de esquecimento.

As equa¸c˜oes (2.50), (2.51) e (2.52) s˜ao de extrema importˆancia para a implementa¸c˜ao do algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos, sendo este apenas uma transcri¸c˜ao con-veniente das mesmas para uma linguagem de programa¸c˜ao adequada.

(31)

2.3.3

M´ınimos Quadrados Preditivos

Os m´ınimos quadrados recursivos fornecem uma boa estimativa para os parˆametros desconhecidos de uma planta, como mostrado na se¸c˜ao anterior. Contudo, para a uti-liza¸c˜ao do seu algoritmo ´e necess´ario que se determine um modelo com uma determinada ordem. Normalmente a escolha do modelo ´e feita a partir da conveniˆencia do projetista, a despeito dos m´etodos existentes para sua obten¸c˜ao, enquanto que a ordem do respectivo modelo ´e usualmente obtida a partir de um crit´erio bem definido.

Existem alguns crit´erios que s˜ao normalmente utilizados para a determina¸c˜ao da or-dem de um dado modelo, como o AIC e o BIC (HEMERLY, 2000). Contudo, segundo Hemerly (2000) o algoritmo dos m´ınimos quadrados preditivos (PLS) ´e mais indicado para sistemas digitais onde s˜ao requeridas computa¸c˜oes recursivas.

O modelo discreto adotado no presente trabalho foi o ARX, que a despeito da equa¸c˜ao (1.24) pode ser reescrito em fun¸c˜ao de suas amostras futuras:

y(k + 1) = a1y(k) + ... + ap0y(k − p0+ 1) + b1uk+ ... + bq0u(k − q0+ 1)(2.53)

Onde (p0, q0) (sendo p0 a ordem dos parˆametros de entrada e q0 a sa´ıda) ´e a ordem do

referido modelo. O crit´erio PLS ´e bastante intuitivo: no instante n, a estimativa (pn, qn)

corresponde `a ordem do modelo que resultou o menor erro m´edio quadr´atico de predi¸c˜ao at´e este instante, ou seja:

(pn, qn) = ArgMin(p,q)P LS(p, q, n) (2.54) onde: P LS(p, q, n) = 1 n X e2(p, q, k + 1) (2.55) com

e(p, q, k + 1) = y(k + 1) − ap, 1(k)y(k) − ...

−a(p,p)y(k − p + 1) − a(q,1)(k)u(k) − ... − a(q,q)u(k − q + 1) (2.56)

´

E importante frisar que antes da execu¸c˜ao do algoritmo PLS ´e necess´aria a obten¸c˜ao dos parˆametros estimados do sistema atrav´es do m´etodo dos m´ınimos quadrados recursivos com uma importante peculiaridade: o vetor de regressores tamb´em deve estar baseada nas amostras futuras - Φ = [ϕ(j) ϕ(j − p + 1) u(j) u(j − q + 1)] - , o que ´e perfeitamente

(32)

realizavel j´a que, nessa etapa, tudo ´e feito em modo off-line, ou seja, a partir de amostras colhidas do experimento.

2.4

Controle Adaptativo

Foi dito na introdu¸c˜ao deste trabalho que n˜ao existe uma defini¸c˜ao unˆanime para controle adaptativo. Segundo Astrom e Wittenmark (1995) um controlador adaptativo pode ser definido intuitivamente como aquele que pode modificar o seu comportamento em resposta `a mudan¸cas na dinˆamica de um processo ou nas caracter´ısticas de suas perturba¸c˜oes.

Tecnicamente, um controlador adaptativo ´e aquele que possui parˆametros ajust´aveis e tamb´em mecanismos para ajustar esses parˆametros. Dessa forma, nenhum dos sistemas de controle apresentados nas se¸c˜oes anteriores pode ser considerado adaptativo, pois, como j´a mencionado, tanto o controle puramente em malha fechada como o controle em malha aberta, possuem ganhos fixos.

O diagrama de blocos de um sistema adaptativo ´e ent˜ao considerado como tendo dois la¸cos (loops): um contendo a malha fechada do sistema e outro para ajuste dos parˆametros do controlador (figura 8).

Figura 8: Diagrama de blocos de um Sistema de Controle Adaptativo.

Uma pergunta que pode surgir mediante o que foi explicado at´e aqui ´e qual seria a real necessidade de um sistema de controle adaptativo j´a que o controle em malha fechada ´e menos sens´ıvel `a varia¸c˜oes da planta. Para responder a esse questionamento, lan¸ca-se m˜ao de um exemplo onde ´e considerado um sistema em malha fechada apresentado na

(33)

figura 9.

Figura 9: Sistema de controle com um atuador n˜ao linear.

O diagrama de blocos da figura 9 mostra um sistema de controle formado por um controlador PI (Proporcional-Integral (OGATA, 2003)) com ganho K=0.15 e constante de tempo Ti = 1s. A Fun¸c˜ao de transferˆencia de um controlador PI ´e definida de acordo com

a equa¸c˜ao (2.57).

P I = K(1 − 1

sT i) (2.57)

A planta G0(s) ´e definida como:

G0(s) =

1

(s + 1)3 (2.58)

e V (valvula n˜ao linear) ´e definida pela equa¸c˜ao (2.59).

V = u4 (2.59)

Segundo Astrom e Wittenmark (1995), uma abordagem empregada para projetos baseados em sistemas n˜ao-lineares como o supracitado ´e a seguinte: lineariza-se o sistema e projeta-se o controlador com base nesse sistema linearizado. Essa t´ecnica tem sido largamente utilizada sem alcan¸car, porem, um desempenho satisfat´orio.

Linearizando-se a equa¸c˜ao (2.59) pela sua derivada e construindo a fun¸c˜ao de trans-ferˆencia de malha fechada a partir do diagrama da figura 9 obt´em-se:

Ga(s) = (0.15)4u3

s(s + 1)2 (2.60)

O problema ´e que n˜ao se pode garantir que o sistema responda da mesma forma para diferentes pontos de opera¸c˜ao. A simula¸c˜ao da figura 10 (a, b e c) mostra a resposta do referido sistema `a diferentes pontos de opera¸c˜ao.

(34)

Figura 10: Resposta do sistema da v´alvula n˜ao-linear em diferentes pontos de opera¸c˜ao.

garantir que o sistema seja est´avel para qualquer ponto de opera¸c˜ao. O ideal seria que, para cada ponto de opera¸c˜ao, o controlador sofresse uma altera¸c˜ao em seu ganho ou mesmo fosse re-projetado, caracterizando a necessidade de um sistema de controle adaptativo.

Com base em Astrom e Wittenmark (1995), foram estudadas trˆes t´ecnicas distintas de sistemas adaptativos: escalonamento de ganho (Gain Scheduling), modelo de referˆencia (MRAS - Model Reference Adaptive Systems) e sistemas auto-ajust´aveis (STR - Self-tuning Regulators), os quais ser˜ao explicados na pr´oxima se¸c˜ao.

2.4.1

ecnicas de Controle Adaptativo

2.4.1.1 Escalonamento de Ganho (Gain Scheduling)

A t´ecnica de escalonamento de ganho prima por encontrar num dado sistema vari´aveis que se correlacionem com as mudan¸cas na planta. Essas vari´aveis podem ent˜ao ser usadas para fazer altera¸c˜oes no ganho do controlador, assim, as varia¸c˜oes da planta s˜ao compen-sadas pela mudan¸ca no ganho do controlador. A figura 11 mostra o diagrama de blocos dessa abordagem.

Escalonamento de ganho tem levantado controv´ersias com rela¸c˜ao `a sua classifica¸c˜ao enquanto t´ecnica de controle adaptativo ou n˜ao. Isso se deve a sua abordagem simplista. Essa t´ecnica ´e normalmente implementada na forma de uma lookup table, ou seja, para cada ponto de opera¸c˜ao ´e definido um ganho satisfat´orio do controlador. Como segundo Astrom e Wittenmark (1995) um controlador adaptativo ´e aquele que n˜ao apresenta ganho fixo o escalonamento de ganho ´e considerado, nesse trabalho, como uma t´ecnica de controle adaptativo.

(35)

Figura 11: Diagrama de blocos - Escalonamento de Ganho

2.4.1.2 Modelo de Referˆencia (MRAS)

O esquema de controle adaptativo por modelo de referˆencia foi originalmente proje-tado para resolver problemas onde as especifica¸c˜oes de desempenho de um sistema s˜ao dadas na forma de um modelo. A inten¸c˜ao ´e mostrar como o sistema deve responder idealmente `as excita¸c˜oes de entrada. A figura 12 mostra o diagrama de blocos da referida estrat´egia.

Figura 12: Diagrama de blocos - MRAS

A chave para o projeto de um sistema MRAS ´e a determina¸c˜ao do mecanismos de ajuste, o que n˜ao ´e um problema trivial (ASTROM; WITTENMARK, 1995).

(36)

2.4.1.3 Reguladores Auto-ajust´aveis (STR)

Os esquemas de controle adaptativo discutidos at´e ent˜ao s˜ao chamados de m´etodos diretos, pois as regras de ajuste dos parˆametros dizem para o controlador diretamente como os parˆametros devem ser atualizados. J´a o esquema STR prop˜oe uma solu¸c˜ao baseada no re-projeto do controlador. A figura 13 mostra que o STR tamb´em ´e composto de dois la¸cos: um para a malha fechada do sistema e outro de re-projeto do controlador. O segundo la¸co, re-projeto, ´e composto por um estimator e c´alculos de projeto.

Figura 13: Diagrama de blocos - STR

O STR pode ent˜ao ser visto como um automatizador do processo de identifica¸c˜ao do sistema. Um bloco importante dentre os v´arios mostrados na figura 13 ´e o estimador. Em Astrom e Wittenmark (1995) sugere-se que essa estima¸c˜ao seja feita com o uso do m´etodo dos m´ınimos quadrados recursivos, explicado numa se¸c˜ao anterior.

O STR foi a arquitetura de controle adaptativo escolhida para este projeto. Essa escolha se deve, principalmente, ao fato dessa arquitetura envolver a estima¸c˜ao on-line dos parˆametros da planta, ou melhor, apresentar o bloco estimador e o bloco de projeto do controlador distintamente, abordando um maior n´umero de conceitos e estruturas que v˜ao desde as teorias b´asicas de sistemas de controle, `as teorias de identifica¸c˜ao de sistemas, sendo mais conveniente para um projeto de final de curso, do ponto de vista acadˆemico.

(37)

3

Plataforma de Testes

Esse cap´ıtulo tem por objetivo a descri¸c˜ao do sistema t´ermico estudado, bem como os passos seguidos no desenvolvimento da plataforma f´ısica de testes.

A plataforma desenvolvida pode ser subdividida em trˆes segmentos: o m´odulo t´ermico, o m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface e o m´odulo de processamento. O m´odulo t´ermico ´e o processo t´ermico a ser controlado, o o m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface ´e o sistema respons´avel pela interface entre o m´odulo t´ermico e o m´odulo de processamento, sendo este ´ultimo o respons´avel pelos c´alculos, ou melhor, por dispor dos algoritmos de estima¸c˜ao e controle. A figura 14 ilustra o esquema proposto.

Figura 14: M´odulos da Plataforma de Testes

3.1

odulo T´

ermico

Este m´odulo descreve o processo t´ermico em si, ou seja, da planta que se quer contro-lar. A planta ´e composta por uma c´elula termoel´etrica, tamb´em conhecida como c´elula peltier (CAMPOS et al., 2005), presa a uma barra met´alica chata. Numa das extremidades da c´elula, um suporte de madeira foi disposto de modo a isolar termicamente o sistema da sua superf´ıcie de apoio. J´a na extremidade da barra met´alica foi acoplado um sensor de temperatura Lm35 (SEMICONDUTOR, 2000), respons´avel pelo fornecimento das medi-das de temperatura ao m´odulo eletrˆonicoo m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface. A referida montagem pode ser verificada na figura 15.

(38)

Figura 15: Montagem do M´odulo T´ermico

A c´elula peltier funciona segundo o efeito Peltier (MADRID, 2003) ( THERMOELEC-TRICS, 2000). Essa c´elula ´e, na verdade, um dispositivo termoel´etrico que se caracteriza pela presen¸ca de uma diferen¸ca de temperatura entre suas duas faces semicondutoras quando submetido a uma corrente el´etrica. Mais precisamente, quando uma corrente el´etrica flui sobre um material semicondutor, com diferentes densidades de el´etrons livres, produz-se um fluxo de calor. A c´elula peltier ´e ent˜ao o dispositivo pr´atico que se aproveita dessa propriedade (MADRID, 2003).

N˜ao ´e a inten¸c˜ao desse trabalho discutir acerca da f´ısica envolvida por tr´as das c´elulas termoel´etricas, mas sim, a sua modelagem atrav´es de t´ecnicas de identifica¸c˜ao de sistemas. A barra met´alica presa `a c´elula peltier aumenta o atraso no sistema, tornando-o peculiar, de dif´ıcil modelagem pela f´ısica do processo (caixa-branca), al´em de adicionar pontos fr´ageis que podem modificar os parˆametros do sistema a depender do seu manuseio, justificando a aplica¸c˜ao de um controlador adaptativo para o controle da temperatura na extremidade da barra.

3.2

odulo de aquisi¸c˜

ao e interface

O m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface ´e respons´avel pelo gerenciamento da comunica¸c˜ao entre o m´odulo t´ermico e o m´odulo de processamento. Esse m´odulo ´e composto por um microcontrolador Atmega8 (ATMEL, 2007) da Atmel e um conversor Max232 ( INSTRU-MENTS, 2004), respons´avel pela adequa¸c˜ao dos sinais gerados pelo m´odulo USART do microcontrolador ao padr˜ao de comunica¸c˜ao serial RS-232, viabilizando a comunica¸c˜ao com o m´odulo de processamento (microcomputador). A figura 16 mostra a montagem do

(39)

circuito Microcontrolador-Max232 na matriz de contatos:

Figura 16: Montagem Microcontrolador-Max232

O conversor A/D (Anal´ogico-Digital) do Atmega8 foi utilizado para converter as me-didas anal´ogicas oriundas do sensor de temperatura Lm35, enviar essas meme-didas para o m´odulo de processamento, receber do modulo de processamento a a¸c˜ao de controle ade-quada e atuar na c´elula peltier atrav´es do m´odulo PWM do respectivo microcontrolador. O m´odulo PWM (Pulse Width Modulation) ´e o respons´avel pelo efetivo acionamento da c´elula peltier. PWM significa modula¸c˜ao por largura de pulso, esse tipo de aciona-mento envolve a modula¸c˜ao de sua raz˜ao c´ıclica (duty cycle) para transportar qualquer informa¸c˜ao sobre um canal de comunica¸c˜ao ou controlar o valor da alimenta¸c˜ao entregue a carga. A modula¸c˜ao PWM ´e tamb´em utilizada para variar o valor da transferˆencia de potˆencia entregue a uma carga sem as perdas ocorridas normalmente devido `a queda de tens˜ao por recursos resistivos e essa ´e a finalidade do seu emprego nesse projeto.

3.3

odulo de Processamento

Este m´odulo ´e respons´avel pela aquisi¸c˜ao dos dados j´a digitalizados, oriundos do m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface, para p processamento desses dados e envio da a¸c˜ao de controle adequada de volta ao m´odulo de aquisi¸c˜ao e interface. Consiste basicamente num microcomputador do tipo PC (Personal Computer ) com 256MB de mem´oria RAM e uma processador de 2Ghz, dispon´ıvel no Laborat´orio de Hardware da Universidade Estadual de Feira de Santana - UEFS. O software respons´avel pela efetiva aquisi¸c˜ao e processamento dos dados foi o Matlab, bastante utilizado em sistemas controlados por computador.

(40)

3.4

Integra¸c˜

ao dos M´

odulos

Para a alimenta¸c˜ao, tanto do sistema t´ermico como do sistema eletrˆonico, foi utilizada uma fonte de tens˜ao Minipa (MINIPA, 2007) com duas sa´ıdas independentes, cada uma po-dendo fornecer uma corrente m´axima de 5 amperes. Como a c´elula termoel´etrica utilizada possui uma potˆencia nominal de 90 watts, para uma tens˜ao m´axima de 15 volts e uma corrente de 6 amperes, decidiu-se limitar convenientemente sua tens˜ao de alimenta¸c˜ao em 5 volts o que demandaria algo pr´oximo a 0.9 amperes da respectiva sa´ıda da fonte dedicada `a alimenta¸c˜ao da c´elula.

O m´odulo PWM do microcontrolador pode fornecer no m´aximo 20mA de corrente e 5 volts de tens˜ao, sendo, portanto, necess´ario um circuito acoplador transistorizado, ou melhor, um driver de potˆencia. O transistor utilizado foi o Tip122, cujas caracter´ısticas t´ecnicas (FAIRCHILD, 2001) atendem `as especifica¸c˜oes supracitadas. A figura 17 mostra o circuito de acoplamento entre a c´elula peltier e o microcontrolador.

Figura 17: Circuito de acoplamento transistorizado - Driver

O resistor R da figura 17 ´e de 330 Ohms, sendo calculado de acordo com a equa¸c˜ao de malha obtida da mesma figura:

R = Vm− VBE Im

(3.1) Onde Vm = 5v, VBE = 0.7v e Im = 20 × 10−3mA, de forma que o transistor (Tip122)

v´a para a satura¸c˜ao ou corte a depender do valor de Vm.

Outro circuito auxiliar importante ´e o circuito de configura¸c˜ao do sensor Lm35. O Lm35 garante uma varia¸c˜ao de 10mV/oC (INSTRUMENTS, 2004). Como a configura¸c˜ao

(41)

rela¸c˜ao da tens˜ao lida nos terminais do sensor com a temperatura: x 1024 = y 1.5 = T − 2 148 (3.2)

Onde x ´e o bit correspondente ao valor de tens˜ao lido para uma resolu¸c˜ao de 10 bits do conversor A/D, y ´e o valor de tens˜ao correspondente na escala de varia¸c˜ao de 0 a 1,5V dados os 10mV/oC de varia¸c˜ao do sensor, e T ´e o valor de temperatura correspondente.

A partir da equa¸c˜ao anterior obt´em-se a equa¸c˜ao da temperatura, ou seja, em fun¸c˜ao de T:

ToC = 0.1445x + 2 (3.3)

A express˜ao da equa¸c˜ao anterior foi ent˜ao escrita diretamente no microcontrolador, sendo utilizada para converter o valor lido em valores de temperatura, para posterior envio para o m´odulo de processamento.

(42)

4

Ensaios e Resultados

Este cap´ıtulo tem por finalidade apresentar todos os resultados obtidos a partir de testes realizados com a plataforma desenvolvida, bem como descrever e discutir os proce-dimentos adotados para que se chegasse a esses resultados.

4.1

Determina¸c˜

ao da Ordem do Modelo

No cap´ıtulo de fundamenta¸c˜ao te´orica, mais precisamente na se¸c˜ao que discute acerca de modelos discretos, optou-se usar um modelo ARX (Auto-Regressivo com Entradas Ex´ogenas) para representar o sistema t´ermico tamb´em j´a abordado neste trabalho. Essa escolha se deve ao fato da propriedade auto-regressora desse modelo, permitindo adequ´a-lo facilmente a forma exigida pelo algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos, al´em de sua simplicidade em rela¸c˜ao ao modelo ARMAX, facilitando os c´alculos aqui apresentados.

O pr´oximo passo, j´a com a estrutura ARX em m˜aos, seria determinar a ordem mais adequada para o modelo ARX. Para isso lan¸ca-se m˜ao do algoritmo PLS discutido em se¸c˜oes anteriores. No entanto, para a utiliza¸c˜ao desse algoritmo, algumas decis˜oes s˜ao de extrema importˆancia. A primeira delas ´e a escolha do sinal de entrada adequado, de forma que o sistema seja devidamente excitado, contribuindo para a estima¸c˜ao de sua ordem. O sinal de excita¸c˜ao escolhido foi uma onda quadrada, especificada em termos de temperatura, com dois graus de diferen¸ca entre o n´ıvel alto (44.5oC) e o n´ıvel baixo

(42.5oC) e um per´ıodo de duzentos segundos. Essa escolha foi baseada em sugest˜oes de

Hemerly (2000), que utiliza um sinal parecido para excita¸c˜ao de seu sistema e tamb´em na conveniˆencia em rela¸c˜ao a resultados obtidos ainda nessa subse¸c˜ao.

A escolha do per´ıodo apresentado no par´agrafo anterior remete a outro problema: qual seria a taxa de amostragem ideal a ser adotada? ´E necess´ario lembrar que processos t´ermicos s˜ao lentos por natureza, justamente por lidar com varia¸c˜oes de temperatura. Em Hemerly (2000) ´e utilizado um per´ıodo de amostragem de 0.2 segundos para amostrar

(43)

dados que descrevem a velocidade de um motor de corrente continua. Considerou-se ent˜ao razo´avel a utiliza¸c˜ao de uma taxa de amostragem de 1 segundo, a mesma utilizada em Montenegro et al. (2006) para um processo t´ermico, al´em ´e claro, da simplifica¸c˜ao dos c´alculos e mostra gr´afica dos resultados.

Visto que a rela¸c˜ao entre o percentual do PWM, que determina o seu ciclo de traba-lho (duty cicle), e a temperatura alcan¸cada pelo sistema n˜ao ´e conhecida, alguns testes preliminares foram feitos. Configurou-se ent˜ao o PWM em 50% e, obtendo uma curva caracter´ıstica ap´os 1000 amostras a 1 segundo cada, e procedeu-se da mesma forma para um PWM de 55%. A figura 18 ((a) e (b)) mostra as curvas obtidas para o PWM igual a 50% (a) e 55% (b).

Figura 18: Respostas do Sistema ao PWM=50% e PWM=55%.

A partir da an´alise dos gr´aficos da figura 18 pˆode-se de fato excitar o sistema com a onda quadrada sugerida no par´agrafo anterior, obtendo-se a curva mostrada na figura 19 para um tempo de observa¸c˜ao de 1200 segundos.

A partir do conjunto de dados mostrados na figura 19 lan¸cou-se m˜ao do algoritmo PLS escrito em linguagem de script do Matlab e executado no mesmo ambiente. ´E importante que alguns aspectos desse algoritmo sejam novamente abordados. O script desenvolvido testa o conjunto de dados obtidos com o ensaio anterior para trˆes considera¸c˜oes de ordem: primeira segunda e terceira. Isso se deve ao fato de processos t´ermicos normalmente possu´ırem ordem baixa, ou pelo fato da possibilidade de um sistema poder ser representado por uma ordem menor, quando conveniente (OGATA, 2003) (AGUIRRE, 2000). Para cada uma das trˆes ordens foram acrescentados fatores de entrada e sa´ıda no modelo ARX, ou

(44)

0 200 400 600 800 1000 1200 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 Tempo(s) Temperatura(ºC)

Figura 19: Resposta do Sistema `a onda quadrada.

seja, para a primeira ordem y(n − 1)eu(n − 1), para a segunda y(n − 2)eu(n − 2) e o mesmo para a terceira ordem y(n − 3)eu(n − 3).

Em cada itera¸c˜ao do algoritmo PLS foi guardado o erro de predi¸c˜ao dos parˆametros. Os respectivos erros s˜ao mostrados na figura 20 para as trˆes ordens respectivamente:

Figura 20: Erros de cada itera¸c˜ao do PLS.

S´o com a an´alise dos gr´aficos da figura 20 (a, b e c) j´a ´e poss´ıvel perceber que um modelo de primeira ordem seria mais adequado, o que ´e constado pelos valores para os quais converge o erro m´edio quadr´atico para cada ordem, sendo para a primeira 0.9377 (a), para a segunda 4.7105 (b) e 3.7173 (c) para a terceira ordem. Apesar de muitas amostras (1200) terem sido coletadas e do referido ensaio com o algoritmo PLS apontar para um modelo de primeira ordem pode-se levantar a hip´otese do erro m´edio quadr´atico para a predi¸c˜ao dos parˆametros de terceira ordem venham a convergir para um valor menor

(45)

ou igual ao da primeira ordem, contudo, com os dados que se tem em m˜aos, o modelo de primeira ordem ser´a adotado, facilitando, mais uma vez os c´alculos subseq¨uentes. A equa¸c˜ao a seguir mostra o modelo ARX para o sistema t´ermico em quest˜ao, j´a com a sua ordem determinada.

y(k) = a1y(n − 1) + b1u(n − 1) (4.1)

Onde a1 e b1 s˜ao os coeficientes que ser˜ao determinados com o m´etodo dos m´ınimos

quadrados recursivos.

4.2

Projeto e Simula¸c˜

ao do Controlador Adaptativo

A t´ecnica de projeto do controlador que ser´a executada a cada estima¸c˜ao de parˆametro, pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados recursivos, ´e a t´ecnica de aloca¸c˜ao de p´olos ( HE-MERLY, 2000) (ASTROM; WITTENMARK, 1995). Como j´a explicado, esse procedimento permite que especifica¸c˜oes de desempenhos sejam dadas para a determina¸c˜ao dos p´olos de malha fechada do sistema. ´E preciso ent˜ao obter a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha fechada, cujo diagrama de blocos pode ser representado pelo diagrama da figura 4 do primeiro capitulo deste trabalho, substituindo-se C(s) por C(z), como sendo fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador PI na vari´avel complexa z, e G(s) por G(z), como sendo a fun¸c˜ao de primeira ordem obtida a partir da transformada Z da equa¸c˜ao discreta (4.1).

C(z) = q0z + q1

z − 1 G(z) = b1

z − a1

(4.2) Onde C(z) e G(z) podem ser representadas na forma polinomial:

C(z) = B(z)

A(z) G(z) = Q(z) P (z)

De forma que, seguindo os passos de Montenegro et al. (2006), a fun¸c˜ao em malha fechada do referido sistema ´e dada por:

M(z) = B(z)Q(z) A(z)P (z) + B(z)Q(z) (4.3) Substituindo (4.2) em (4.3): M(z) = b1(q0z + q1) (z − a1)(z − 1) + b1(q0z + q1) (4.4)

(46)

O polinˆomio caracter´ıstico da fun¸c˜ao de transferˆencia em malha fechada do sistema ´e definido como o denominador de M(z):

Pc = (z − a1)(z − 1) + b1(q0z + q1)

Expandindo-se a equa¸c˜ao anterior:

Pc= z2 − z(1 + a1− b1q0) + b1q1+ a1 (4.5)

Como a equa¸c˜ao (4.5) ´e de segunda ordem ´e conveniente definir o polinˆomio carac-ter´ıstico de referˆencia (denF (z)) da equa¸c˜ao (2.33) como uma fun¸c˜ao gen´erica em z de segunda ordem:

Pr = (z − z1)(z − z2) (4.6)

Com z1 = v + jw e z2 = v − jw. Podendo a equa¸c˜ao (4.6) ser estendida para:

Pr = z2− 2vz + v2+ w2 (4.7)

Agora deve-se igualar o polinˆomio caracter´ıstico de referˆencia Prda equa¸c˜ao (4.7) com

o polinˆomio caracter´ıstico do sistema em malha fechada Pc da equa¸c˜ao (4.5), conforme a

equa¸c˜ao (2.34):

z2− 2vz + v2 + w2 = z2− z(1 + a

1− b1q0) + b1q1+ a1 (4.8)

Resolvendo agora a equa¸c˜ao (4.8) de forma a se obter os parˆametros do controlador (q0 e q1) em fun¸c˜ao dos p´olos e dos parˆametros da planta (a1 e b1) obt´em-se as equa¸c˜oes de

sintonia do controlador PI que ser˜ao utilizadas diretamente no script Matlab desenvolvido para simula¸c˜ao do controlador adaptativo.

q0 = −( 2v − a1− 1 b1 ) (4.9) e, q1 = v2+ w2− a 1 b1 (4.10) Para a determina¸c˜ao dos p´olos z1 = v + jw e z2 = v − jw utilizou-se a equa¸c˜ao

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