aula 08 Regra Cadeia Vetor Gradiente

(1)

Regra da Cadeia e Vetor Gradiente

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

(2)

Regra da Cadeia - Caso Real

Sejam y = f (x ) e x = g(t) funções diferenciáveis. Então

[f (g(t))]0 =f0(g(t)) · g0(t) dy dt = dy dx · dx dt

(3)

Regra da Cadeia - Caso Real

(4)

Regra da Cadeia - Caso Real

(5)

Regra da Cadeia - 1

o

Caso

Suponha que z = f (x , y ) seja uma função diferenciável de x e y , em que x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável e

dz dt = ∂f ∂x · dx dt + ∂f ∂y · dy dt

(6)

Exemplo

1 _{Se z = x}2_{y + 3xy}2_{, em que x = e}t _{e y = cos(t), determine} dz

dt quando t = 0.

2 _{Se z =}p_x2₊_y2_{, em que x = e}2t _{e y = e}−2t_{, determine} dz

(7)

Exemplo

1 _{Se z = x}2_{y + 3xy}2_{, em que x = e}t _{e y = cos(t), determine} dz

dt quando t = 0.

2 _{Se z =}p_x2₊_y2_{, em que x = e}2t _{e y = e}−2t_{, determine} dz

(8)

Regra da Cadeia - 2

o

Caso

Suponha que z = f (x , y ) seja uma função diferenciável de x e y , em que x = g(s, t) e y = h(s, t) são funções diferenciáveis de s e de t. Então z é uma função diferenciável e

∂z ∂s = ∂z ∂x · ∂x ∂s + ∂z ∂y · ∂y ∂s ∂z ∂t = ∂z ∂x · ∂x ∂t + ∂z ∂y · ∂y ∂t

(9)

Exemplo

1 _{Se z = e}x_{cos y , em que x = s}2_{t e y = st}2_{, determine} ∂z ∂t e ∂z ∂s. 2 _Encontre ∂z ∂t _(t,s)=(0,0)

(10)

Exemplo

1 _{Se z = e}x_{cos y , em que x = s}2_{t e y = st}2_{, determine} ∂z ∂t e ∂z ∂s. 2 _Encontre ∂z ∂t _(t,s)=(0,0)

(11)

Regra da Cadeia - Caso Geral

Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x1, x2, · · · , xn, em que cada xj seja uma função

diferenciá-vel de m variáveis t1, t2, · · · ,tm. Então u é uma função de

t1, t2, · · · ,tm e ∂u ∂ti = ∂u ∂x1 ·∂x1 ∂ti + ∂u ∂x2 ·∂x2 ∂ti + · · · + ∂u ∂xn ·∂xn ∂ti para cada i = 1, 2, · · · , m.

(12)

Exemplo

1 _{Se u = x}4_{y + y}2_z3_{, em que x = rse}t_{, y = rs}2_e−t _e z = r2ssen(t), determine o valor de ∂u

∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.

2 _{Se z = f (x , y ) tem derivadas parciais de segunda ordem} contínuas e x = r2+s2e y = 2rs, determine (a) ∂z/∂r e (b) ∂2_z/∂r2_.

(13)

Exemplo

1 _{Se u = x}4_{y + y}2_z3_{, em que x = rse}t_{, y = rs}2_e−t _e z = r2ssen(t), determine o valor de ∂u

∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.

2 _{Se z = f (x , y ) tem derivadas parciais de segunda ordem} contínuas e x = r2+s2e y = 2rs, determine (a) ∂z/∂r e (b) ∂2_z/∂r2_.

(14)

Notação de vetor

Se (a, b) é um vetor de R2_{, então (a, b) = ai + bj}

(15)

Norma de um vetor

Se (a, b) é um vetor de R2, então k(a, b)k =√a2₊_b2

Se (a, b, c) é um vetor de R3, então k(a, b, c)k =√a2₊_b2₊_c2 Se V = (v1,v2, · · · ,vn)é um vetor de Rn, então kV k = q v2 1 +v22+ · · · +vn2

(16)

Norma de um vetor

Se (a, b) é um vetor de R2, então k(a, b)k =√a2₊_b2

Se (a, b, c) é um vetor de R3, então k(a, b, c)k =√a2₊_b2₊_c2 Se V = (v1,v2, · · · ,vn)é um vetor de Rn, então kV k = q v2 1 +v22+ · · · +vn2

(17)

Exemplo

1 _{Encontre a norma do vetor V =}i + j ∈ R2 2 _{Encontre a norma do vetor W = 2}i − j − 2k

3 _{O vetor V =} √ 3 3 , − √ 3 3 , √ 3 3 ! é unitário?

(18)

Exemplo

1 _{Encontre a norma do vetor V =}i + j ∈ R2 2 Encontre a norma do vetor W = 2i − j − 2k

(19)

Exemplo

1 _{Encontre a norma do vetor V =}i + j ∈ R2 2 Encontre a norma do vetor W = 2i − j − 2k

(20)

Versor de um vetor

Seja V um vetor. Então o vetor U é o versor do vetor V se U tiver a mesma direção e sentido do vetor V e kUk = 1.

Para encontrar o versor de um vetor, basta dividí-lo pela sua norma.

U é o versor do vetor V ⇔ U = V kV k.

(21)

Versor de um vetor

(22)

Versor de um vetor

(23)

Exemplo

Encontre o versor do vetor V = (1, −1)

(24)

Exemplo

Encontre o versor do vetor V = (1, −1)

(25)

Derivada Direcional

A derivada direcional de f no ponto (x0,y0)na direção do vetor

unitário V = (a, b) é DVf (x0,y0) = lim

h→0

f (x0+ha, y0+hb) − f (x0,y0)

h se esse limite existir.

(26)

Exemplos

1 _{A derivada direcional da função f na direção do vetor} U = (1, 0) =i é fx.

2 _{A derivada direcional da função f na direção do vetor} U = (0, 1) =j é fy.

3 _{Encontre a derivada direcional da função f (x , y ) = x + y} na direção do versor do vetor V = (1, 1) no ponto P = (2, 4).

(27)

Exemplos

(28)

Exemplos

(29)

Teorema

Seja f (x , y ) uma função diferenciável em x e em y , então f tem derivada direcional na direção de qualquer versor V = (a, b) e

D_Vf (x , y ) = fx(x , y ) · a + fy(x , y ) · b.

OBS: Se o versor V faz um ângulo θ com o eixo x positivo,

então podemos escrever V = (cos(θ), sen(θ)) e

(30)

Teorema

Seja f (x , y ) uma função diferenciável em x e em y , então f tem derivada direcional na direção de qualquer versor V = (a, b) e

D_Vf (x , y ) = fx(x , y ) · a + fy(x , y ) · b.

OBS: Se o versor V faz um ângulo θ com o eixo x positivo, então podemos escrever V = (cos(θ), sen(θ)) e

(31)

Exemplos

1 _{Determine a derivada direcional D}

Vf (x , y ) se

f (x , y ) = x3− 3xy + 4y2e V é o versor dado pelo ângulo θ = π

6.

2 _{Encontre D}

(32)

Exemplos

1 _{Determine a derivada direcional D}

Vf (x , y ) se

f (x , y ) = x3− 3xy + 4y2e V é o versor dado pelo ângulo θ = π

6.

2 _{Encontre D}

(33)

Definição

Se f é uma função diferenciável de duas variáveis x e y , o gra-diente de f é a função vetorial ∇f definida por

∇f = (fx(x , y ), fy(x , y )) =

∂f ∂xi +

∂f ∂yj.

(34)

Gradiente

Se U = (a, b) é um vetor unitário de R2e f é uma função diferenciável de duas variáveis x e y , então:

D_Uf (x , y ) = ∂f ∂x · a + ∂f ∂y · b = ∂f ∂x, ∂f ∂y · (a, b) = ∇f (x , y ) · U.

(35)

Gradiente

(36)

Gradiente

(37)

Para funções de três variáveis

U = (a, b, c) vetor unitário

DUf (x0,y0,z0) = lim h→0 f (x0+ah, y0+bh, z0+ch) − f (x0,y0,z0) h , se o limite existir. ∇f (x, y , z) = ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z = ∂f ∂xi + ∂f ∂yj + ∂f ∂zk

(38)

Para funções de três variáveis

(39)

Para funções de três variáveis

(40)

Para funções de três variáveis

(41)

Exemplos

1 _{Se f (x , y ) = sen(x ) + e}xy_{, encontre ∇f (x , y ) e ∇f (0, 1).} 2 _{Determine a derivada direcional da função}

f (x , y ) = x2_y3_{− 4y no ponto (2, −1) na direção do vetor}

V = 2i + 5j

3 Se f (x , y , z) = x sen(yz), encontre o gradiente de f e a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção do vetor V = (1, 2, −1)

4 _{Encontre a taxa de variação da função}

(42)

Exemplos

V = 2i + 5j

(43)

Exemplos

V = 2i + 5j

(44)

Exemplos

V = 2i + 5j

(45)

Maximização da derivada direcional

Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O va-lor máximo da derivada direcional DUf é k∇f k e ocorre quando

(46)

Exemplo

1 _{Seja f (x , y ) = xe}y_:

1 Determine a taxa de variação de f no ponto P = (2, 0) na

direção do vetor V = Q − P, em que Q = 1 2,2

.

2 Encontre a direção em que f tem a máxima taxa de

variação e o valor da taxa de variação máxima.

3 Suponha que a temperatura em um ponto (x , y , z) do

espaço seja dada por T (x , y , z) = 80/(1 + x2₊_2y2₊_3z2_),

onde T é medida em graus Celsius e x , y e z, em metros. Em que direção no ponto (1, 1, −2) a temperatura aumenta

(47)

Definição

Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, b) se f (x , y ) ≤ f (a, b) para todo ponto (x , y ) em alguma circunfe-rência com centro em (a, b). O número f (a, b) é chamado valor máximo local.

Uma função de duas variáveis tem um mínimo local em (a, b) se f (x , y ) ≥ f (a, b) para todo ponto (x , y ) em alguma circunfe-rência com centro em (a, b). O número f (a, b) é chamado valor mínimo local.

(48)

Definição

(49)

Definição

(50)

Teorema

Se uma função f tem um máximo ou um mínimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.

Um ponto (a, b) é dito ser ponto crítico de f se fx(a, b) = 0 e

(51)

Teorema

Se uma função f tem um máximo ou um mínimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.

Um ponto (a, b) é dito ser ponto crítico de f se fx(a, b) = 0 e

(52)

Exemplos

1 _{Seja f (x , y ) = x}2₊_y2_{− 2x − 6y + 14. Encontre os pontos} críticos de f .

(53)

Exemplos

1 _{Seja f (x , y ) = x}2₊_y2_{− 2x − 6y + 14. Encontre os pontos} críticos de f .

(54)

Teorema (Teste da Segunda Derivada)

Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contí-nuas num disco com centro em (a, b) e suponha que fx(a, b) = 0

e fy(a, b) = 0. Seja D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b) − [fxy(a, b)]2.

Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, então f (a, b) é um mínimo local.

Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, então f (a, b) é um máximo local.

Se D < 0, então f (a, b) não é nem mínimo nem máximo local.

(55)

(56)

Encontrando D

Matriz Hessiana H = fxx fxy fyx fyy . det(H) = fxxfyy − fxyfyx =fxxfyy− [fxy]2=D

(57)

Encontrando D

(58)

Encontrando D

(59)

Exemplos

1 _{Determine os valores de máximo e mínimo locais e os} pontos de sela de f (x , y ) = x4+y4− 4xy + 1.

2 _{Determine a distância mais curta entre o ponto (1, 0, −2) e} o plano x + 2y + z = 4.

3 _{Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m}2 de papelão. Determine o volume máximo da tal caixa.

(60)

Exemplos

(61)