Propriedades difrativas de vórtices
ópticos
André de Souza Santos
Niterói - RJ
2019
André de Souza Santos
Propriedades difrativas de vórtices ópticos
Monografia apresentada à coordenação do curso de Física da Universidade Fe-deral Fluminense como requisito parcial para a obtenção do Grau de Bacharel em Física.
Universidade Federal Fluminense – UFF Instituto de Física
Orientador: Prof. Dr. Antonio Zelaquett Khoury
Niterói - RJ
2019
Ficha catalográfica automática - SDC/BIF Gerada com informações fornecidas pelo autor
Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155
S237p Santos, André de Souza
Propriedades difrativas de vórtices ópticos / André de Souza Santos ; Antonio Zelaquett Khoury, orientador. Niterói, 2019.
48 p. : il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2019.
1. Vórtice Óptico. 2. Momento Angular Orbital. 3. Difração. 4. Produção intelectual. I. Khoury, Antonio Zelaquett, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.
-Agradecimentos
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer aos meus pais, Carlos Alberto e Suzana Regina, pelo apoio incondicional em todas as etapas da minha vida, sempre me encorajando a nunca desistir. Por terem se esforçado, mesmo diante todas as adversidades, para garantir que eu teria uma boa educação. Por serem um exemplo de vida. Tudo que tenho e sou hoje, são graças a vocês.
Ao meu orientador, Antonio Zelaquett Khoury, pela excelente orientação ao longo da minha iniciação científica e nesta monografia. Além de excelente pesquisador, é um exímio professor. Sempre cirúrgico nas explicações, é capaz de explicar uma física complexa de forma simples.
Ao Wagner, meu supervisor ao longo da iniciação. Sou grato pelas conversas diárias e pela convivência no laboratório. Pelos incentivos e ensinamentos que envolvem o mundo da física experimental. Sua paixão pela óptica experimental é contagiante.
Por fim, porém não menos importante, gostaria de agradecer ao meu irmão Andrei Santos. Um agradecimento sincero não caberiam nestas páginas, então irei resumir. Sou grato por todas as conversas, ensinamentos e incentivos ao longo da vida. Sou grato pelo constante encorajamento e apoio incondicional nos momentos em que queria desistir. Sou grato por ter você como irmão, meu herói pessoal.
Resumo
Neste trabalho, investigamos as propriedades difrativas de vórtices ópticos em conexão com sua variação radial e angular. Um acoplamento radial-angular aparece naturalmente quando a carga topológica do vórtice e a dependência radial não combinam. Esta condição determina a estrutura radial gerada em processos não-lineares, dependendo da quiralidade relativa dos feixes interagentes. No domínio óptico, isto pode ser entendido como um efeito difrativo no qual a estrutura anular produzida na região de interação (campo próximo) evolui para uma estrutura com anéis externos no campo distante.
O experimento realizado no laboratório de óptica quântica da UFF teve como objetivo demonstrar este efeito, através de medidas da difração usando um modulador espacial de luz (SLM) para simular a interação entre os vórtices que ocorre no cristal não-linear. Os resultados experimentais apresentam os desdobramentos desse efeito difrativo.
Abstract
In this work, we investigate the diffractive properties of optical vortices in con-nection with their radial and angular variation. Radial-angular coupling naturally appears when the vortex topological charge and radial power law do not match. This condition determines the radial structure generated in nonlinear optical processes, depending on the relative chirality of the interacting beams. In the optical domain, this can be understood as a diffractive effect in which the annular structure produced in the interaction region (near field) evolves to a external ring structure in the distant field.
The experiment conducted at the UFF quantum optics laboratory aimed to demonstrate this effect through diffraction measurements using a spatial light modulator (SLM) to simulate the interaction beween vortices that occurs in the nonlinear crystal. Experimental results shows the consequences of this diffractive effect.
Sumário
Introdução . . . . 13
1 DIFRAÇÃO E ÓPTICA DE FOURIER . . . . 15
1.1 Formulação de Rayleigh-Sommerfeld da difração . . . 16
1.1.1 Difração de Fresnel . . . 20
1.1.2 Difração de Fraunhofer . . . 20
1.2 Difração com Transformada de Fourier . . . 21
1.3 Função de transmissão e modulador espacial de luz . . . 22
2 LUZ ESTRTUTURADA E MOMENTO ANGULAR ORBI-TAL . . . . 24
2.1 Momento Angular da luz . . . 24
2.1.1 Momento Angular intrínseco e extrínseco . . . 25
2.2 Equação de onda paraxial . . . 26
2.3 Soluções da equação de onda paraxial . . . 27
2.3.1 Modo fundamental: Gaussiano . . . 27
2.3.2 Modo paraxial: Hermite-Gaussiano . . . 28
2.3.3 Modo paraxial: Laguerre-Gaussiano (LG) . . . 29
3 VÓRTICES ÓPTICOS NA GERAÇÃO DE SEGUNDO HARMÔNICO . . . . 32
3.1 Óptica não-linear . . . 32
3.1.1 Geração de segundo harmônico (GSH) . . . 34
3.2 Segundo harmônico com vórtices . . . 35
4 ACOPLAMENTO DIFRATIVO EM VÓRTICES ÓPTICOS . . . . 39
4.1 Decomposição do produto de modos . . . 39
4.2 Acoplamento por Difração . . . 41
4.2.1 Modulação de amplitude e fase . . . 41
4.2.2 Método holográfico de geração dos feixes . . . 42
4.3 Configuração experimental e resultados . . . 44
13
Introdução
"Nós provavelmente não podemos fugir da inferência de que a luz consiste nas ondulações transversas do mesmo meio, o que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos"[1]. Com estas palavras, James Clerk Maxwell (1831-1879) conclui que a luz é uma onda eletromagnética! Em seu trabalho "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field"(1865) Maxwell traz a unificação da eletricidade, magnetismo e a luz como diferentes manifestações de um mesmo fenômeno, estabelecendo os fundamentos da teoria eletromagnética [2]. Como consequência da luz ser uma onda eletromagnética, podemos dizer que a luz carrega momento angular, sendo a primeira medida realizada por Richard Beth em 1936 [3]. O trabalhos de Maxwell inauguram uma nova era na física moderna, servindo como base para a relatividade espacial e a mecânica quântica.
A mecânica quântica, por sua vez, permitiu o desenvolvimento de novas tecnologias como a invenção do laser em 1960 [4]. Este aparato possibilitou avanços não somente no campo da óptica (com a descoberta da geração de segundo harmônico em 1961 [5], dando origem a linha de pesquisa em óptica não linear) como em outras áreas. Em 1989, P. Coullen, L. Gil e J. Lega em um trabalho conjunto [6] propuseram a existência de um campo óptico especial em cavidades laser e o chamaram de vórtice óptico. Três anos depois, L. Allen, M. W. Beijersbergen e outros autores demonstraram que a singularidade de fase presente nos vórtices ópticos está associado ao momento angular orbital (MAO) do feixe [7]. A descoberta de L. Allen et.al deu origem a diversas aplicações envolvendo feixes com MAO [8].
Nesta monografia, damos continuidade às investigações anteriores [9, 10], com relação aos graus de liberdade da luz. Mostramos que o surgimento de ordens radiais observadas no processo de geração de segundo harmônico com vórtices, tem origem em uma modulação de amplitude e fase (portanto, origem difrativa) que ocorre naturalmente em processos ópticos não lineares sobre o campo gerado. Alterando apenas as cargas topológicas envolvidas, somos capazes de controlar a estrutura radial do feixe de saída. No capítulo 1, revisamos o conceito de difração.
Este trabalho é exposto da seguinte maneira: O capítulo 1 é uma revisão de literatura sobre a teoria escalar da difração, a relação com a transformada de Fourier e uma breve descrição sobre função de transmissão óptica e o modulador
14
espacial de luz. No segundo capítulo, apresentamos o momento angular do campo eletromagnético e duas famílias de modos paraxiais da luz: os modos de Hermite-Gauss e Laguerre-Hermite-Gauss. No terceiro capítulo introduzimos a óptica não-linear e apresentamos alguns resultados da geração de segundo harmônico com vórtices. O quarto e último capítulo faz a conexão entre os capítulos anteriores, sintetizados na realização de um experimento. Os resultados que confirmam a origem difrativa do efeito são apresentados.
15
1 Difração e óptica de Fourier
A Difração é um efeito característico de fenômeno ondulatório, ocorrendo sempre que uma frente de onda é obstruída parcialmente de alguma forma, com dimensões comparáveis ao seu comprimento de onda [11]. A primeira referência à difração aparece no trabalho de Leonardo da Vinci. Tal fenômeno foi, no entanto, precisamente descrito e nomeado pelo físico italiano Grimaldi em 1665 num livro publicado postumamente [12]. Ele mostrou que a difração era inconsistente com a descrição geométrica da luz, que naquele tempo acreditava-se ser a teoria correta para a descrição da propagação luminosa.
O primeiro passo para a explicação da difração surge com o princípio de Huygens em 1678, que estabelece cada ponto da frente de onda como uma fonte pontual que gera ondas secundárias tal que a nova onda seria composta pelo envoltória das ondas secundárias, como visto na figura 1. Uma explicação para os efeitos de difração com base em uma teoria ondulatória, no entanto, não foi oferecida até 1818. Naquele ano, Fresnel foi capaz de esclarecer a difração combinando o princípio de Huygens com o fenômeno de interferência, que, poste-riormente, ganhou solidez matemática por Kirchhoff. A formulação da difração de Fresnel-Kirchhoff demonstrava algumas inconsistências que foram corrigidas com a fórmula de Rayleigh-Sommerfeld da difração, estabelecendo condições de contorno apropriadas [13].
16
1.1
Formulação de Rayleigh-Sommerfeld da difração
Considere uma onda luminosa descrita por uma função ψ(r, t) = U e−iωt, onde ω é a frequência de oscilação da onda. Estamos interessados em obter o perfil transverso U (r) que descreve uma onda difratada. Assumiremos que tal função satisfaz a equação de onda:
∇2ψ = 1
c2
∂2ψ
∂t2. (1.1)
A partir de (1.1) obtemos a equação de Helmholtz para o perfil transverso difratado.
(∇2+ k2)U = 0, (1.2)
onde k = ω/c é o número de onda e c a velocidade da luz no vácuo. A fim de resolver a equação acima obtendo a função U (r), seguiremos os passos da formulação de Rayleigh-Sommerfeld da difração. Utilizando a segunda identidade de Green (definida logo abaixo), somos capazes de obter a função U para um ponto de observação arbitrário P0 em termos de uma superfície fechada S em
torno de P0 e do volume contido pela superfície (Em outras palavras, obtemos a
solução da equação de Helmholtz em termos de integrais de superfície e volume, desde que a superfície S seja escolhida de forma adequada).
A segunda identidade de Green é definida por
Z V0(U ∇ 2G − G∇2U )dV =I S U∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS, (1.3)
sendo ∂/∂n a derivada normal para fora em cada ponto da superfície S e V0 o volume contido por ela, esquematizada na figura 2. G é uma função de Green, escolhida de tal maneira que auxilie na resolução da equação. Assumimos que a função de Green satisfaz a equação de Helmholtz
(∇2+ k2)G = 0. (1.4)
Utilizando as equações (1.2) e (1.4) na identidade de Green encontramos um integrando nulo no lado esquerdo da equação (1.3)
0 = I S U∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS. (1.5)
Capítulo 1. Difração e óptica de Fourier 17
Figura 2 – (a) Exemplo da superfície de integração S’. (b) Mesma superfície, porém com o ponto de observação cercado por uma região Sε [14].
Nosso próximo passo será uma escolha apropriada para a função de Green. Considere a função G abaixo, para um segundo ponto arbitrário P1:
G(P1) =
eikr01 r01
. (1.6)
Note que a função G escolhida é descontínua caso P1 = P0. De modo a nos livrar
desta descontinuidade, excluímos o ponto de observação P0. A região S é então
dividida em duas, uma livre de P0 e outra que o contém dada por S0 = S − Sε.
Portanto, reescrevemos a equação (1.5) na forma
Z Z Sε U∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS = − ZZ S0 U ∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS. (1.7)
Se P1 estiver sobre a superfície Sε, temos
G(P1) = eikε ε , ∂G(P1) ∂n = eikε ε 1 ε − ik . (1.8)
Permitindo que ε seja arbitrariamente pequeno e utilizando as relações (1.8) podemos escrever [14] lim ε→0 ZZ Sε U∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS = lim ε→04πε 2 " U (P0) eikε ε 1 ε − ik −∂U (P0) ∂n eikε ε # = 4πU (P0). (1.9) Logo, U (P0) = − 1 4π Z Z S0 U ∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS. (1.10)
18
Esse resultado é conhecido como teorema Integral de Kirchhoff [13]. Inserindo este resultado no contexto da difração, realizamos uma divisão da superfície S0 em duas novas superfícies S1 e S2 tal que S0 = S1+ S2, de acordo com a figura 3.
Utilizando a condição de radiação de Sommerfeld [15], a contribuição da superfície S2 pode ser negligenciada. O perfil transverso da onda difratada U (P0) depende
então apenas de S1, U (P0) = − 1 4π Z Z S1 U∂G ∂n − G ∂U ∂n ! dS. (1.11)
Figura 3 – Representação de integração da superfície S, junto com uma abertura Σ. A contribuição de S2 para a integral (1.10) pode ser negligenciada
tomando R arbitrariamente grande [16].
O teorema integral de Kirchhoff é valido sobre três condições: 1. A teoria escalar para difração deve permanecer válida
2. Ambas as funções U e G devem satisfazer a equação de Helmholtz 3. A condição de Radiação de Sommerfeld deve ser válida.
Existe uma segunda escolha para a função de Green que satisfaz as três condições listadas acima. Com base nas condições de contorno de Rayleigh-Sommerfeld e no esquema da figura 3, podemos definir uma função de Green alternativa.
G(P0) = eikr01 r01 − e ik˜r01 ˜ r01 . (1.12)
Capítulo 1. Difração e óptica de Fourier 19
Trata-se de uma função contínua e diferenciável, exceto nos pontos P0 e ˜P0.
Observe que para qualquer ponto pertencente a superfície S1 a função G é
identicamente nula. Assumimos que U para a superfície S1 é zero, exceto para
abertura Σ. Com isso temos como resultado para U (P0) a expressão abaixo:
U (P0) = − 1 4π ZZ Σ U∂G ∂ndS. (1.13)
Seguimos para o cálculo explícito de ∂G/∂n: ∂G ∂n = ik − 1 r01 eikr01 r01 cos(~n, ~r01) − ik − 1 ˜ r01 eik˜r01 ˜ r01 cos~n, ~˜r01 . (1.14) Para pontos sobre a superfície S1 e, em particular, sobre a abertura Σ, r01 = ˜r01
e cos(~n, ~r01) = − cos ~n, ~˜r01 . ∂G ∂n = 2 cos(~n, ~r01) ik − 1 r01 eikr01 r01 . (1.15)
Quando r01 λ, o segundo termo pode ser desprezado e podemos escrever
∂G
∂n = 2ik cos(~n, ~r01) eikr01
r01
, (1.16)
Logo, a equação (1.13) é escrita na forma U (P0) = − ik 2π ZZ Σ Ue ikr01 r01 cos(~n, ~r01)dS. (1.17)
Considerando a geometria da figura 4 para a abertura do plano de difração, temos a expressão final para a função de onda U (P0)
U (P0) = − iz λ Z Z Σ U (ξ, η, z = 0)e ikr01 r2 01 dξdη. (1.18)
20
Trata-se do princípio de Huygens-Fresnel em sua forma mais explícita, obtida através da formulação de Rayleigh-Sommerfeld da difração escalar, com cos(~n, ~r01) = z/r01 e r01 =
q
(x − ξ)2+ (y − η)2+ z2.
Faz-se necessária a distinção entre dois casos gerais que podem ocorrer no contexto da difração escalar, conhecidos como a difração de Fraunhofer (1) e Fresnel (2). No caso (1), tanto o ponto de observação quanto a fonte luminosa se encontram muito distantes da abertura (em outras palavras, a onda incidente sobre o plano de difração é essencialmente plana assim como a onda incidente sobre o ponto de observação). No caso (2), não podemos ignorar a curvatura da frente de onda incidente.
1.1.1
Difração de Fresnel
Simplifiquemos a equação (1.18) com uso da aproximação binomial para r01. Fazendo ρ2 = (x − ξ)2+ (y − η)2, temos r01=
q
1 + ρ2/z2. Para 1 ρ2/z2,
fazendo a aproximação até 1a ordem:
r01 ≈ z 1 + 1 2 x − ξ z !2 + y − η z 2 . (1.19) Para o termo r2
01no denominador podemos desprezar os outros termos quadráticos
presentes, no entanto o mesmo não pode ser feito para a exponencial, mais sensível a mudanças em seu argumento. Com todas essas considerações podemos escrever
U (x, y; z) = e ikz iλz Z Z Σ U (ξ, η; 0) exp ik 2z h (x − ξ)2+ (y − η)2i ! dξdη. (1.20) A equação acima é conhecida como integral da difração de Fresnel, válida sempre que a condição 1 ρ2/z2 for satisfeita. Além disso, o observador é dito estar na região de campo próximo da abertura [14].
1.1.2
Difração de Fraunhofer
É possível fazer outra aproximação a partir da equação (1.20), que consi-dera estarmos longe o suficiente para que
z k(ξ
2+ η2)
max
2 , (1.21)
de forma que os termos quadráticos da exponencial se aproximem da unidade, resultando na integral da difração de Fraunhofer :
U (x, y; z) = e ikzeik(x2+y2)/2z iλz ZZ Σ U (ξ, η) exp " ik 2z(xξ + yη) # dξdη. (1.22)
Capítulo 1. Difração e óptica de Fourier 21
Nesse caso, estamos na região de difração de Fraunhofer, ou campo distante.
1.2
Difração com Transformada de Fourier
A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática muito útil no estudo de sinais e na propagação de feixes luminosos. Quando utilizada no contexto da óptica, temos a chamada Óptica de Fourier. A óptica de Fourier nos permite estudar a propagação dos feixes em sistemas lineares de formas simples, realizando decomposições do campo em uma superposição (contínua ou discreta) de ondas planas, de amplitudes e vetores de onda diferentes. Além disso, existe uma relação entre a difração e a transformada de Fourier. A fim de elucidar esta relação, O primeiro passo será definir a transformada de Fourier.
A transformada de Fourier F {g} de uma função de duas variáveis g(x, y) é definida como F {g} = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞g(x, y)e −i(kxx+kyy)dxdy. (1.23)
Similarmente, a transformada de Fourier inversa de uma função G(kx, ky) pode
ser definida por
F−1{G} = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ G(kx, ky)ei(kxx+kyy)dkxdky. (1.24)
Revisitando a equação (1.20), podemos reescrevê-la do seguinte modo: U (x, y, z) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ U (ξ, η, z)h(x − ξ, y − η)dξdη, (1.25) com h(x, y, z) = e ikz iλz exp " ik 2z x2+ y2 # . (1.26)
A equação (1.25) é conhecida como integral de convolução. Neste caso, temos a convolução entre duas funções U (ξ, η, z) e h(x, y, z), que pode ser representada como
U (x, y, z) = U (ξ, η, z) ∗ h(x, y, z). (1.27) O teorema da convolução nos diz que a Transformada de Fourier da convolução de duas funções é o produto das Transformadas de Fourier de cada função, isto é
22
Portanto, somos capazes de obter o campo resultante da integral de Fresnel substituindo o cálculo da convolução pelo produto das Transformadas de Fourier das funções envolvidas, seguido pela Transformada inversa:
U (x, y, z) = F−1{F {U (ξ, η, z)} · F {h(x, y, z)}}. (1.29) Note que, como a difração de Fraunhofer é um caso particular da difração de Fresnel (devido a condição extra (1.21)), a equação (1.29) permanece válida em ambos os regimes de Fresnel e Fraunhofer. Logo, é sempre possível obter o campo difratado na região de campo distante mantendo a precisão da aproximação de Fresnel.
1.3
Função de transmissão e modulador espacial de luz
Considere um campo óptico incidente U0 sobre um objeto bidimensional
posicionado no plano z = 0. A relação entre o campo óptico transmitido U e o campo incidente é dado pela função de transmissão T (x, y) do objeto, definida por [13]:
T (ξ, η) = U (ξ, η, 0+) U0(ξ, η, 0−)
, (1.30)
onde U (ξ, η, 0+) representa o campo imediatamente após a transmissão pelo
objeto e U (ξ, η, 0−) imediatamente antes. Em geral, a função de Transmissão
é uma função complexa, sendo a parte real associada a uma modulação de amplitude e a parte imaginária à associada a uma modulação de fase. Dada a função de transmissão, obtemos o perfil de campo próximo multiplicando pela onda incidente:
U (ξ, η, 0+) = T (ξ, η) · U0(ξ, η, 0−) (1.31)
substituindo a equação acima em (1.29) para o campo de entrada, obtemos o campo resultante para o regime de campo distante. A função de transmissão desempenha um papel importante no contexto de elementos difrativos ópticos, ela representa a resposta do objeto sobre o campo incidente. Dentre estes elementos, destacamos o modulador espacial de luz.
O modulador espacial de luz (SLM) é um equipamento que permite uma modulação de amplitude e/ou fase programável sobre um feixe luz incidente, sendo possível associar esta modulação a uma função de transmissão óptica. O SLM é limitado pela resolução em pixels de sua tela, isto é, o menor controle de modulação possível sobre um feixe de luz incidente é de um pixel do monitor.
Capítulo 1. Difração e óptica de Fourier 23
Neste trabalho, utilizamos um (SLM) de cristal líquido de Silício (LCOS) para reproduzir a modulação que ocorre na ótica não-linear, como veremos nos capítulos 3 e 4. A rigor, deveríamos fazer uso de uma função de refletância para o caso do SLM. No entanto aqui não faremos distinção entre as representações. A seguir, vamos falar sobre os modos paraxiais da luz e seu momento angular.
Figura 5 – Fotografia da tela do Modulador espacial de luz de cristal líquido. Foto Elaborado pelo Autor.
2 Luz estrtuturada e momento angular
orbital
Neste capítulo descrevemos sobre o momento angular orbital (MAO) da luz. Além disso, apresentamos duas famílias de modos paraxiais da luz, os modos de Hermite-Gauss (HG) e Laguerre-Gauss (LG). Partindo da equação de onda e, utilizando a aproximação paraxial, chegamos à equação de onda paraxial, para qual as famílias de modos HG e LG são possíveis soluções.
2.1
Momento Angular da luz
A teoria eletromagnética, compostas pelas equações de Maxwell e pela força de Lorentz, prevê um fluxo de energia e momento transportados pelos campos eletromagnéticos. O vetor de Poyting representa o fluxo de energia por unidade de área e tempo dos campos e é definida no sistema internacional de unidades (SI) como
~
S(~r, t) = c20( ~E × ~B). (2.1)
Além disso, a densidade de momento linear é proporcional a ~S em meios isotrópicos,
~
p(~r, t) = ~ S(~r, t)
c2 = 0( ~E × ~B). (2.2)
Integrando (2.2) em todo o espaço obtemos o momento linear total armazenado nos campos: ~ P (~r, t) = 0 Z V ( ~E × ~B)dV. (2.3)
Da mesma forma, podemos definir o momento angular associado ao campo eletromagnético:
~l(~r, t) = ~r × ~p(~r, t) = ~r × 0( ~E × ~B)dV (2.4)
é a densidade do momento angular armazenada no campo e, integrando em todo o espaço podemos obter o momento angular total
~ L(~r, t) = 0 Z V ~ r × ( ~E × ~B)dV. (2.5)
É conhecido que a luz transporta momento angular orbital e de spin [17], [18]. Levando em consideração campos transversos, localizados e no calibre de
Capítulo 2. Luz estrtuturada e momento angular orbital 25
Coulomb podemos separar ambos com o auxílio do potencial vetor ~A(~r, t). O momento angular total pode ser escrito como
~
L(~r, t) = 0
Z
V
~r × ( ~E × ~∇ × ~A)dV. (2.6) Usando a notação de somatórios implícitos para índices repetidos, a p-ésima componente do momento angular é então
Lp = 0[~r × ~E × ~∇ × ~A]p = −pqirqEq∂jAi+ pqirqEq∂iAj.
O primeiro termo no lado direito da equação pode ser substituído utilizando a regra do produto e, notando que ∂jEj = 0 e ∂irq= δiq, obtemos
rqEq∂jAi = ∂(rqEqAi) − rqAi∂jEj − EjAi∂jrq. = ∂(rqEqAi) − EqAi (2.7)
Utilizando o resultado acima, a equação 2.6 pode ser escrita na forma ~ L = 0 Z V h ( ~E × ~A) − ~∇ · ~E(~r × ~A) + Ei(~r × ~∇)Ai i dV = 0 Z V h ( ~E × ~A) + Ei(~r × ~∇)Ai i dV − I S E(~r × ~A)dS,
em que foi usado o teorema de Gauss para transformar a segunda integral de volume em uma integral de superfície sobre uma caixa de lado L. No limite de L suficientemente grande e para campos localizados podemos descartar o termos de superfície e o momento angular da luz pode ser dividido em duas partes, onde
~ L = ~Ls+ ~Lo, ~ Ls = 0 Z V ( ~E × ~A)dV, ~ Lo = 0 Z V Ei(~r × ~∇)AidV. (2.8)
O primeiro termo, ~Ls, representa uma propriedade intrínseca do campo
eletromagnético e está associado ao estado de polarização do fóton e seu spin [3]. O segundo termo, ~Lo, é associado ao momento angular orbital devido ao
aparecimento do operador momento angular orbital ~Lo = (~r × ~∇). Ele está
relacionado à circulação de energia causada pela configuração espacial do campo.
2.1.1
Momento Angular intrínseco e extrínseco
A separação entre momento angular orbital ou de spin não deve ser confundida com a separação entre momento angular de natureza intrínseca e
26
extrínseca. O momento angular de spin é independente do eixo de referência e representa uma propriedade intrínseca do campo. O momento angular orbital no entanto pode ser de natureza extrínseca ou intrínseca [19]. Das equações (2.3) e (2.6) calculamos o momento angular total referente a um ponto ~r0 do espaço:
~ L0( ~r0) = 0 Z V [(~r − ~r0) × ~E × ~∇ × ~A]dV = 0 Z V [~r × ~E × ~∇ × ~A]dV − 0 Z V [ ~r0× ~E × ~∇ × ~A]dV = ~L(0) − ~r0× ~P . (2.9)
Note que o primeiro termo é o mesmo obtido anteriormente. No entanto, surge um segundo termo orbital dependente explicitamente de ~r0. Da mesma
forma, podemos calcular o momento angular para um segundo ponto de referência ~
r1 e analisar sua variação
∆~L = ~L(~r1) − ~L(~r0) = (~r1− ~r0) × ~P . (2.10)
Para um sistema de eixos coordenados no qual o momento linear ~P é paralelo ao eixo z, então a componente ˆz da variação do momento angular total do campo é ∆~Lz = (~r1− ~r0) × ~P · ˆz = 0. Portanto, para uma mudança do ponto de referência,
o momento angular orbital ao longo da direção de ~P permanece inalterada e podemos considerá-la como sendo intrínseca. Em suma, a decomposição do momento angular em extrínseca e intrínseca é
~ L = ~Le+ ~LI, ~ LI = ~Ls+ ~L0· ˆz, ~ Le = ~L0− ~L0· ˆz. (2.11)
2.2
Equação de onda paraxial
A dinâmica da radiação eletromagnética é descrita em um conjunto de quatro equações, conhecidas como as equações de Maxwell. Na ausência de cargas e correntes, elas assumem a forma
~ ∇ · ~E = 0; (2.12) ~ ∇ × ~E = −∂ ~B ∂t; (2.13) ~ ∇ · ~B = 0; (2.14) ~ ∇ × ~B = 1 c2 ∂ ~E ∂t. (2.15)
Capítulo 2. Luz estrtuturada e momento angular orbital 27
A partir desse conjunto, é possível obter a equação de onda no vácuo 1:
∇2E −~ 1
c2
∂2
∂t2E = 0.~ (2.16)
A fim de descrever um feixe laser monocromático pouco divergente propa-gante ao longo do eixo z, usaremos o ansatz
~
E(~r, t) = u(~r)ei(kz−ωt)ˆ, (2.17) no qual u(~r)eikz é a amplitude da onda, e−iωt o fator de fase temporal, ˆ o vetor
de polarização e k = ω/c o módulo do vetor de onda. Substituindo (2.17) em (2.16), obtém-se então
∇2u(r) + 2ik ˆz · ∇u(r) = 0. (2.18)
Para um feixe bem colimado, a variação de u(~r) ao longo do eixo z é lenta em comparação ao fator de fase espacial eikz. tal suposição nos leva à aproximação
paraxial: ∂2u ∂z2 ∂2u ∂x2 , ∂2u ∂y2 e 2k ∂u ∂z . (2.19)
Usando a aproximação paraxial, a equação (2.18) se torna a equação de onda paraxial: ∇2 ⊥u + 2ik ∂u ∂z = 0, (2.20) sendo ∇2
⊥ um operador Laplaciano que atua apenas sobre as coordenadas
trans-versais à direção ˆz. Em coordenadas cartesianas, ∇2 ⊥u = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2. (2.21)
2.3
Soluções da equação de onda paraxial
2.3.1
Modo fundamental: Gaussiano
A equação (2.20) admite uma família infinita de soluções [21]. Dentre elas, a mais simples e de menor ordem é dada por:
u0(x, y, z) = s 2 π 1 w(z)exp " −x 2+ y2 w2(z) + ik x2+ y2 2R(z) − i arctan z zR # , (2.22)
1 Aqui, adotamos a convenção presente em [20]. O operador laplaciano aplicado a um vetor
28
onde R(z) é o raio de curvatura do feixe, dado por R(z) = z 1 + z 2 R z2 ! , (2.23)
onde w(z) é o diâmetro do feixe, dada por
w(z) = wo v u u t 1 + z2 z2 R ! , (2.24)
wo é o diâmetro mínimo do feixe, ou cintura, definida no plano z = 0. Por fim,
zR é a distância de Rayleigh, dada por
zR=
πw2o
λ . (2.25)
Figura 6 – Plano focal de um feixe gaussiano, mostrando a variação da cintura ao longo do eixo z [22].
2.3.2
Modo paraxial: Hermite-Gaussiano
Resolvendo (2.20) em coordenadas cartesianas, obtemos a família de modos Hermite-Gaussianos que são dados por
unm(x, y, z) = Anm w(z)Hn √ 2 x w(z) ! Hm √ 2 y w(z) ! exp " −x 2+ y2 w2(z) # × × exp " ikx 2+ y2 2R(z) − iφnm(z) # . (2.26)
Capítulo 2. Luz estrtuturada e momento angular orbital 29
Na expressão acima, Anm é uma constante de normalização, Hn é o
polinômio de Hermite de ordem n, w(z) e R(z) são dados pelas equações (2.24) e (2.23) respectivamente e φnm(z) é a chamada fase de Gouy, dada por
φnm(z) = (n + m + 1) arctan
z zR
. (2.27)
A ordem do modo Hermite-Gaussiano (HG) é definida como N = n + m. No caso em que N = 0, retornamos ao caso do modo fundamental.
Figura 7 – Perfil de intensidade para modos Hermite-Gaussianos até 2a ordem
[22].
2.3.3
Modo paraxial: Laguerre-Gaussiano (LG)
Resolvendo (2.20) em coordenadas cilíndricas, obtemos a família de modos Laguerre-Gaussianos: upl(r, φ, z) = Apl w(z) √ 2r2 w(z) !|l| Llp " 2r2 w2(z) # exp " − r 2 w2(z) # × × exp " ik r 2 2R(z)− ilφ − iφpl(z) # , (2.28)
30
nas quais l|lp são os polinômios de Laguerre generalizados, w(z) e R(z) são dados pelas equações (2.24) e (2.23) respectivamente, Apl =
q
2p!/π(p + |l|)! é um fator de normalização e φpl(z) é a fase de Gouy, neste caso dado por
φpl(z) = (2p + |l| + 1) arctan
z zR
. (2.29)
Um modo paraxial Laguerre-Gaussiano tem ordem N = 2p + |l|. o parâmetro p é um número natural e está associado à presença de anéis externos (também chamados de ordens radiais) no perfil de intensidade do modo. O parâmetro l é um número inteiro, conhecido como helicidade ou carga topológica, e está associado ao momento angular orbital do feixe.
Figura 8 – Perfil de intensidade para modos Laguerre-Gaussianos até 2a ordem
[22].
Vórtices ópticos e modos de Laguerre-Gauss
De maneira simplificada, um vórtice óptico pode ser escrito como uma variação de fase azimutal com um envelope gaussiano no plano de cintura mínima:
ψl(r, φ) = G(r)e−ilφ, (2.30)
onde G(r) = e−r2/w0 é o envelope gaussiano, w
0 é o diâmetro mínimo do feixe e
e−ilφ o termo de fase azimutal associado ao momento angular orbital de valor l~ por fóton (l é um número inteiro diferente de zero). Esses tipos de feixe
Capítulo 2. Luz estrtuturada e momento angular orbital 31
apresentam intensidade nula no centro e uma circulação da fase em torno desse ponto de intensidade nula. Os modos paraxiais Laguerre-Gaussianos apresentam essa singularidade óptica (ponto de intensidade nula) no centro, junto com a circulação da fase em torno da singularidade sendo assim um vórtice óptico.
É valido ressaltar que a equação (2.30) não constituí uma solução para a equação de onda paraxial no espaço livre, diferente dos modos LG. Dentro do contexto da óptica é então comum a utilização do termo vórtice óptico para essa família de modos paraxiais, por serem solução de (2.20) e apresentarem tanto a singularidade óptica quanto a circulação da fase.
Os modos de Hermite-Gauss e Laguerre-Gauss constituem bases ortonor-mais distintas de um espaço vetorial, formando um conjunto completo de soluções da equação de onda paraxial. Logo, qualquer combinação linear desses modos também é solução da equação paraxial. Essa informação será útil ao estudar a propagação dos vórtices ópticos posteriormente. Também é possível obter a conversão entre os modos de HG e LG por meio da equação abaixo:
n+m X k=0 = (2i)kPkn−k,m−k(0)Hn+m−k(x)Hk(y) = 2n+m× × (−1)mm!(x + iy)n−mLn−m m (x2+ y2) para n ≥ m (−1)nn!(x + iy)m−nLm−n n (x2+ y2) para m > n, (2.31) onde Pkn−k,m−k(0) = (−1) k 2kk! dk dtk[(1 − t) n(1 + t)m]| t=0 (2.32)
são os polinômios de Jacobi. A seguir, faremos uma síntese dos resultados apre-sentados em [10], que motivaram a investigação deste trabalho.
3 Vórtices ópticos na geração de
segundo harmônico
Neste capítulo, descrevemos a dinâmica de modos Laguerre-Gaussianos na geração de segundo harmônico. Fazemos uma breve introdução ao campo da óptica não-linear com um exemplo simples da geração de segundo harmônico, seguindo para o caso de vórtices ópticos. Observamos o surgimento de anéis externos para o padrão de intensidade no caso onde as cargas topológicas dos vórtices possuem sinais contrários.
3.1
Óptica não-linear
Óptica não-linear é o estudo de fenômenos que ocorrem como consequência da modificação das propriedades ópticas de um sistema material pela presença de luz. Tipicamente, apenas luz laser é intensa o suficiente ao ponto de modificar essas propriedades ópticas do sistema. De fato, a óptica não-linear começa com a descoberta da geração de segundo harmônico em 1961 utilizando luz laser [23].
No estudo de efeitos não lineares, a polarização do meio desempenha um papel fundamental. A fim de descrever em detalhes processos não-lineares, precisamos introduzir a polarização do meio P (t) (ou momento de dipolo por unidade de volume) e considerar sua relação com um campo elétrico E(t) aplicado. Podemos expressar a polarização em séries de potências do campo elétrico aplicado:
P (t) = ε0
χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) + ...
≡ P(L)+ P(N L), (3.1)
onde, por simplicidade, tomamos os campos P (t) e E(t) como escalares. Os termos χ(i) são conhecidos como susceptibilidade óptica de ordem i, ε0 é a permissividade
elétrica do vácuo e P(L) e P(N L) são respectivamente a polarização linear e
não-linear. O próximo passo no entendimento de processos não lineares é compreender o comportamento do luz em meios materiais, descritos pelas Equações de Maxwell na matéria.
Capítulo 3. Vórtices ópticos na geração de
segundo harmônico 33
Equação de onda na matéria
Em meios materiais, as equações de Maxwell se transformam. O campo elétrico ~E e magnético ~B são substituídos pelo vetor deslocamento elétrico ~D e indução magnética ~H, respectivamente1. As equações então assumem a forma
~ ∇ · ~D = ρf; (3.2) ~ ∇ × ~E = −∂ ~B ∂t; (3.3) ~ ∇ · ~H = 0; (3.4) ~ ∇ × ~H = ∂ ~D ∂t + ~Jf, (3.5) sendo ~ D = ε0E + ~~ P e (3.6) ~ H = 1 µ0 ~ B − ~M . (3.7)
Na ausência de cargas e correntes livres (ρf = 0 e ~Jf = ~0) e assumindo
que o material seja não magnético ( ~B = µ0H), obtemos a equação de onda na~
matéria: ∇2E −~ n 2 c2 ∂2E~ ∂t2 = 1 ε0c2 ∂2P~(N L) ∂t2 , (3.8)
onde n é o índice de refração do meio e c a velocidade da luz no vácuo. Comparando a equação acima com (2.16), vemos que essa equação corresponde à equação de onda não homogênea (trata-se ainda, de uma equação não linear). A resposta não-linear do meio material age como fonte para o campo elétrico que surge no lado direito desta equação. Em meios dispersivos, é útil escrever tanto o campo elétrico quanto a polarização como uma superposição de ondas separados pela frequência de oscilação, na forma
~
P(N L)(~r, t) =X
n
~
Pn0(~r)e−iωnt+ c.c., (3.9a)
~
E(~r, t) =X
n
~
En0(~r)e−iωnt+ c.c.. (3.9b)
Com isso, utilizando as equações (3.9) em (3.8) obtemos ∇2E~0 n(~r) + ω2 n c2ε (1) n (ωn) ~En0(~r) = − ω2 n c2P~ 0(N L) n (~r). (3.10)
1 Existe uma discussão interessante com relação a nomenclatura dos campos ~B e ~H [20]. Neste
34
3.1.1
Geração de segundo harmônico (GSH)
Trata-se de um efeito não linear de segunda ordem, consequência da resposta quadrática do meio material sob estímulo de um campo elétrico. A resposta do meio, no entanto, não ocorre necessariamente na mesma direção no qual o campo elétrico está polarizado. Neste processo, um feixe de entrada com frequência ω incidente sobre um cristal gera um feixe de frequência 2ω e com metade do comprimento de onda do feixe incidente. A figura 9 mostra a esquematização da geração de segundo harmônico. O diagrama (b) da figura
Figura 9 – (a) Geometria da geração de segundo harmônico. (b) Diagrama em níveis de energia descrevendo a geração de segundo harmônico [24].
representa um modelo efetivo em termos de fótons. O meio absorve dois fótons de frequência ω, emitindo um fóton de frequência 2ω de maneira que a energia se conserva.
Como exemplo, considere a geração de segundo harmônico com casamento de fase do tipo-I (Isto quer dizer que, dois fótons incidentes com mesma polari-zação geram o campo de segundo harmônico). Tomamos o campo elétrico total dentro de um cristal com susceptibilidade óptica de segunda ordem χ2 = χ (as
susceptibilidades de ordens mais altas serão desprezadas) como ~
E(z, t) = E1(z, t)ˆx + E2(z, t)ˆy + c.c., (3.11)
onde c.c. representa o complexo conjugado, E1 o feixe incidente e E2 o campo
de segundo harmônico gerado. Cada componente é expressa em termos de uma amplitude complexa Ej(z), além de uma amplitude complexa lentamente
variá-vel Aj(z) (veremos algo semelhante utilizando vórtices na geração de segundo
harmônico), de acordo com
Capítulo 3. Vórtices ópticos na geração de
segundo harmônico 35
onde kj = njωj/c é o numero de onda e nj =
q ε(1)(ω
j) o índice de refração do
meio. A polarização não linear por sua vez, é dada por
P(N L)(z, t) = P1(z)e−iωt+ P2(z)e−2iωt+ c.c., (3.13)
com
P1(z) = 2ε0χE2E1∗ = A2A∗1e
i(k2−k1)z, P2(z) = ε0χE12 = ε0χA1e2ik1z.
(3.14) Inserindo o campo elétrico total e a polarização não linear do meio na equação (3.10), obtemos as equações acopladas para as amplitudes:
dA1 dz = iω12χ k1c2 A2A∗1e −i∆kz e dA2 dz = iω2 2χ 2k2c2 A21ei∆kz, (3.15)
onde ∆k = 2k1− k2. A convergência máxima é chamada de casamento de fase
perfeito e ocorre quando ∆k = 0. A seguir, vemos o caso de segundo harmônico com vórtices ópticos, no qual os resultados motivaram este trabalho. O surgimento das ordens radiais no caso de vórtices contra-girantes nos leva a investigação sobre sua origem física e o papel da não-linearidade do sistema no processo.
3.2
Segundo harmônico com vórtices
Nesta seção sintetizamos os resultados apresentados em [10]. Considere o caso da geração de segundo harmônico com vórtices ópticos. O campo de entrada correspondendo a uma onda propagante na direção z, frequência ω e polarizações ortogonais pode ser expresso como
~
Eω(r, z; t) = [Eh(r, z)ˆeheikhz+ Ev(r, z)ˆeveikvz]e−iωt, (3.16)
onde ˆeh(ˆev), kh(kv) são respectivamente o vetor unitário de polarização
hori-zontal (vertical) e o número de onda associado. Para casamento de fase tipo II (polarizações ortogonais), o campo de segundo harmônico gerado é dado por
~
E2ω(r, z; t) = E2ω(r, z)ˆevei(k2ωz−2ωt). (3.17)
Neste caso, temos para a polarização não linear Ph(2)(ω) = ε0χE2ωEv∗,
Pv(2)(ω) = ε0χE2ωEh∗,
P2ω(2)(2ω) = ε0χEhEv.
36
As três componentes dos campos seguem uma evolução acoplada dentro do cristal não linear. Sobre casamento de fase (k2ω = kh+ kv) estas equações no
regime paraxial são
∇2 ⊥Eh+ 2ikh ∂Eh ∂z = − χω2 c2 E2ωE ∗ v , ∇2⊥Ev + 2ikv ∂Ev ∂z = − χω2 c2 E2ωE ∗ v , ∇2 ⊥E2ω+ 2ik2ω ∂E2ω ∂z = −4 χω2 c2 EhEv , (3.19)
onde usamos as equações (3.16) a (3.18). Para as componentes dos campos, permitindo que sejam uma expansão na base de modos Laguerre-Gaussiano temos
Eh(r, z) = s ω nh X p0l0 Ahp0l0(z)uhp0l0(r, z), Ev(r, z) = s ω nv X p00l00 Avp00l00(z)uvp00l00(r, z), E2ω(r, z) = s 2ω n2ω X pl Bpl2ω(z)u2ωpl (r, z). (3.20)
Utilizando o trio de equações acima em (3.19) e após algumas passagens obtemos as equações dinâmicas multimodo na geração de segundo harmônico com vórtices: dAh pl dz (z) = ig X p0l0 X p00l00 Λlp00llpp0000Bp0l0 Avp00l00 ∗ , (3.21a) dAv pl dz (z) = ig X p0l0 X p00l00 Λlp00lp0000lpBp0l0 Ahp00l00 ∗ , (3.21b) dBpl dz (z) = 2ig X p0l0 X p00l00 Λlp00llpp0000 ∗ Ahp0l0Avp00l00, (3.21c)
onde introduzimos os parâmetros
g = χ 2c s 2ω3 nhnvn2ω R000000, (3.22a) Λllpp0l000p00 = Rll0l00 pp0p00 R000 000 , (3.22b) Rllpp0l000p00 = Z u2ωpl (uhp0l0)∗(uvp00l00)∗d2r. (3.22c)
Capítulo 3. Vórtices ópticos na geração de
segundo harmônico 37
O conjunto de equações acopladas (3.21) descrevem a evolução dos campos para as amplitudes dos modos. Nosso interesse no entanto, será restrito a uma discussão qualitativa com relação aos desdobramentos da constante de recobri-mento. Detalhes sobre a mistura de ondas no processo da geração de segundo harmônico, assim como a solução da integral de recobrimento podem ser vistos em [25]. Sobre condições de casamento de fase perfeito (∆k = 0), sem ordens radiais para os campos de entrada (p = p0 = 0) e para distância de Rayleigh pequena em relação a dimensão do cristal não-linear temos
Caso l
0· l
00≥ 0
Λllp000l00 = δl,l0+l00 r ξ|l0|h ξ|l00|v (|l0|+|l00|)! |l0|!|l00|! (p = 0), 0 (p > 0), (3.23) onde ξj = (w2ω/wj)2. Para o caso em que os vórtices de entrada possuem cargastopológicas de sinais iguais, é gerado um vórtice puro com momento angular l = l0+ l00 e sem ordens radiais.
Caso l
0· l
00< 0
Λllp000l00 = δl,l0+l00 (−1)P (P −p)! r ξ|l0|h ξ|l00|v |l0|!|l00|! p!(p+|l0+l00|)! (p ≤ P ), 0 (p > P ), (3.24) onde P ≡ min(|l0|, |l00|). Para este caso quando os campos de entradacarre-gam helicidades contra girantes (equivalente a dizer que as cargas topológicas possuem sinais opostos) o campo de segundo harmônico gerado apresentam P = min(|l0|, |l00|) ordens radiais, sendo uma superposição de modos
38
Figura 10 – Comparação entre os resultados experimentais (topo) e simulação teórica (inferior) dos campos próximo e distante formados pela GSH com vórtices de helicidades opostas.
39
4 Acoplamento difrativo
em vórtices ópticos
Neste capítulo investigamos a origem física do surgimento das ordens radiais no processo da geração de segundo harmônico visto no capítulo anterior, no caso em que as cargas topológicas dos feixes de entrada possuem sinais opostos. Evidenciamos um acoplamento radial-angular na interação dos vórtices de helicidades opostas.
4.1
Decomposição do produto de modos
Vemos no capítulo anterior que o cristal não-linear é responsável pelo acoplamento dos três campos envolvidos no processo da geração de segundo harmônico por meio das equações (3.21) e (3.22), ocorrendo na forma de produtos entre os modos. Nosso passo inicial na investigação em busca da origem física para as ordens radiais do campo resultante é estudar esses produtos de modos Laguerre-Gaussianos. Para isto, reescrevemos os modos de Laguerre-Gauss de uma forma compacta:
upl(˜r, φ, ˜z) = Npl
√
2˜r|l|L|l|p(˜r2)e−ilφe−˜r2e−i˜z ˜r2e−iϕpl(˜z), (4.1)
onde L|l|p são os polinômios de Laguerre generalizados, e Npl = s 2p! πw2(˜z)(p + |l|)! ˜ r = r/w(˜z), ˜z = z/zR w(˜z) = w0 √ 1 + ˜z2 ϕpl(˜z) = (2p + |l| + 1) arctan(˜z). (4.2)
Considere o produto de dois modos Laguerre-Gaussianos com zero ordens radiais e de cargas topológicas l1 e l2 arbitrárias. Podemos escrevê-los em z = 0
(por motivos que ficaram claros mais adiante) e na forma compacta como u0l1 · u0l2 = N0l1N0l2(
√
40
Queremos estudar este produto na base de modos paraxiais LG (Lembre-se que esta família forma um conjunto completo de soluções da equação de onda paraxial e são ortogonais entre si, logo formam uma base de um espaço vetorial). Assim como no capítulo anterior, devemos separar em dois casos.
Caso 1: l
1· l
2≥ 0
Se as cargas topológicas carregam o mesmo sinal, podemos associar (4.3) a um modo LG puro de cintura diferente.
u0l1(r, φ; w0) · u0l2(r, φ; w0) = N0,l1+l2u0,l1+l2 r, φ; w0 √ 2 ! . (4.4)
onde N0,l1+l2 é uma constante de normalização.
Caso 2: l
1· l
2< 0
Se as cargas topológicas dos vórtices possuem sinais contrários, então a equação (4.3) não é associada a um modo LG puro (os índices azimutais e radiais são diferentes). No entanto, é possível expandir na base de modos LG, na forma
u0l1(r, φ; w0) · u0l2(r, φ; w0) = X p Cpup,l1+l2 r, φ; w0 √ 2 ! . (4.5)
Os coeficientes Cp são a projeção do produto sobre cada elemento da base, e são
dados por: Cp = Z (u0l1u0l2)(up,l1+l2) ∗ d2r. (4.6)
Note que a integral presente na equação (4.6) é semelhante a (3.22c), sendo também uma integral de recobrimento de três modos. Sem perda de generalidade, fazendo |l1| ≤ |l2| obtemos os valores dos coeficientes:
Cp = (−1)p (|l1|−p)! r |l1|!|l2|! 2|l1|+|l2|p!(|l2|−|l1|+p)!, se p ≤ |l1| 0 se p > |l1|. (4.7) Assim como as integrais de recobrimento são semelhantes, é de se esperar que a solução também seja. De fato, para valores de diâmetro dos feixes wh = wv = w0
e w2w = w0/
√
2 dos campos envolvidos no processo não linear as equações (3.24) e (4.7) tornam-se equivalentes.
No processo não-linear, o campo de segundo harmônico é simultaneamente gerado e modulado pelos campos de entrada. Neste caso, a origem para o surgi-mento das ordens radiais parece estar ligada, a princípio, à modulação do campo resultante e não necessariamente na não-linearidade do sistema.
Capítulo 4. Acoplamento difrativo
em vórtices ópticos 41
4.2
Acoplamento por Difração
Com o objetivo de isolar a modulação do campo realizada pelo produto dos modos de outros efeitos não lineares, utilizaremos um modulador espacial de luz (SLM). Com base na difração, é possível descrever um campo E0 que passa
por um obstáculo bi-dimensional por meio de sua função de transmissão óptica T (x, y). Nesse estudo, definimos a função de transmissão programada no plano do SLM (considerado em z = 0) como equivalente à equação (4.3),
T (x, y) = u0l1 · u0l2 = A(x, y) exp[iΦ(x, y)], (4.8) onde A(x, y) = T0r(|l1|+|l2|)e−2˜r 2 , Φ(x, y) = (l1+ l2)φ, (4.9) sendo T0 uma constante. O termo A(x, y) representa a modulação de amplitude,
(parte real) e Φ(x, y) representa a modulação de fase (parte imaginária). Enquanto o campo próximo é o produto imediato do campo incidente E0 e a função
de transmissão óptica T (x, y). Considerando o campo incidente E0 como uma
onda plana, o campo resultante pode ser tido simplesmente como o produto de modos Laguerre-Gaussianos. O campo distante pode ser calculado usando uma transformada de Fourier.
4.2.1
Modulação de amplitude e fase
As partes reais das equações (4.3) e (4.5) são idênticas e mostram apenas uma dependência radial, preservando uma estrutura de dois picos como mostrado na figura 11. No entanto, o argumento das funções complexas diferem para os dois casos vistos anteriormente e mostram apenas uma dependência azimutal. Em suma, a modulação de amplitude é insensível ao sinal das cargas topológicas envolvidas no produto dos modos, dependendo apenas de |l1| + |l2|, enquanto a
modulação de fase (dependente de l1+ l2) não. Isto gera um descasamento entre
as potências das variáveis angular e radial, no caso em que os sinais de l1 e l2 são
opostos. Sendo assim, podemos obter casos onde a soma |l1| + |l2| permanece fixa
enquanto l1+ l2 varia.
Como exemplo, considere um caso particular onde |l1| + |l2| = 6. Podemos
obter essa soma com as combinações: l1+ l2 =(6,0);(5,-1);(5,1);(4,2);(4,-2);(3,-3)
e (3,3). Todos estes pares possuem a mesma parte real, isto é, a modulação de amplitude ocorre da mesma maneira em quaisquer destes pares. Comparando os
42
x
A(u
0,l 1u
0,l2)
u
0,1
u
0,
-1
u
0,5
u
0,
-3
u
0,10
u
0,
-10
Figura 11 – Gráfico da parte real da equação (4.3) para diferentes valores de l1 e
l2. A medida que a soma |l1| + |l2| aumenta, os picos se afastam do
centro.
casos onde ocorre apenas a mudança de sinal como em (3,3) e (3,-3) vemos dos dois possíveis casos para os sinais de cargas topológicas que a superposição resultante com ordens radiais aparece apenas neste último, cuja diferença de modulação está apenas na parte azimutal. Comparando os casos onde temos sinais opostos e módulos diferentes, a diferença na modulação permanece na parte azimutal, porém existe uma relação direta entre os índices azimutais l1 e l2 presentes na
função de transmissão e a quantidade de ordens radiais. O menor índice em módulo dita o número de anéis que aparecem na distribuição de intensidade para o campo distante. Portanto, podemos concluir que o grau de liberdade azimutal no plano da difração é capaz de produzir um padrão que evolui para uma estrutura anular complexa no campo distante dos feixes gerados. Observe que a singularidade na fase ocorre sempre que houver momento angular orbital resultante (l1+ l2 6= 0). A figura 12 mostra a comparação entre os resultados
experimentais e numéricos para o caso mencionado.
4.2.2
Método holográfico de geração dos feixes
Antes de falar sobre a configuração experimental, é necessário mencionar como o SLM com a função de transmissão gera o feixe apropriado. A fim de atingir o efeito difrativo desejado, utilizamos um holograma gerado computacionalmente
Capítulo 4. Acoplamento difrativo
em vórtices ópticos 43
Figura 12 – Comparação entre a simulação numérica (à esquerda) e os resultados experimentais obtidos (direita) do perfil de intensidade para o campo distante com |l1| + |l2| = 6 e 0 ≤ l1+ l2 ≤ 6. Saturação intencional a
fim de evidenciar as ordens radiais mais externas.
(obtido pelo produto de uma onda plana incidente e a função de transmissão vista anteriormente) como entrada para o modulador espacial de luz. O SLM modula a fase da onda incidente de acordo com uma escala de cinza em 8-bits, onde o pixel branco representa um deslocamento 0 na fase, pixel preto representa um deslocamento de fase π e outros valores seguem uma relação linear. Usamos uma grade de difração do tipo "dentes de serra"como mecanismo de modulação de amplitude ajustando a profundidade da grade de acordo. O modo desejado é jogado para a 1a ordem de difração.
44
Figura 13 – Esquematização da máscara holográfica gerada computacionalmente. As duas primeiras imagens à esquerda correspondem respectivamente a grade de difração e a fase do modo LG, gerando a modulação de fase. A última imagem corresponde ao holograma final, com a modulação de amplitude incluída.
4.3
Configuração experimental e resultados
A figura 14 mostra a esquematização do experimento. O arranjo expe-rimental começa com um laser de Hélio–Neônio (He-Ne) de emissão contínua com comprimento de onda 633nm que passa por um par de lentes com distância focal f = 200nm colimadoras e uma combinação de uma lâmina de meia-onda com um separador de feixe por polarização (PBS, ou polarizing beam splitter ) para controle de intensidade e polarização (a modulação de fase feita pelo SLM ocorre apenas para polarização horizontal, sendo importante este controle sobre o mesmo). O feixe Gaussiano emitido pelo laser e estendido pelo par de lentes é refletido pelo SLM programado com a função de transmissão descrita anteriormente. As imagens do campo próximo e distante são formadas por um par de lentes (f1 e f2) e capturadas por uma Câmera CCD.
As figuras 15 a 18 mostram os resultados experimentais obtidos. Em cada figura, fixamos o valor de l1 e permitimos que l2 varie de 0 até 3. Por fim,
mostramos a comparação dos resultados obtidos em [10] para o campo de segundo harmônico gerado, e a modulação do campo dado pelas equações (4.8) e (4.9) realizada pelo SLM. A coincidência dos resultados obtidos neste experimento com os padrões obtidos no processo não linear de geração de segundo harmônico confirma a origem difrativa do efeito.
Capítulo 4. Acoplamento difrativo em vórtices ópticos 45
Laser
633nm
a)
b)
4mm
10zR
f
1
ψ
0l
1
•
ψ
0l
2
f
2
PBS
KTP
l
2
l
1
SHG
10zR
Figura 14 – a) esquematização da configuração experimental montada para ge-ração de segundo harmônico com vórtices. b) Nova configuge-ração experimental, substituindo o cristal não-linear pelo SLM com a fun-ção de transmissão programada.
Figura 15 – Tabela contendo os resultados experimentais obtidos para l1 fixo e l2
46
Figura 16 – Tabela de resultados para os padrões de campo próximo (near field) e distante (far field) com l1 = −1 fixo e l2 variável de 0 a 3.
Figura 17 – Tabela de resultados para os padrões de campo próximo (near field) e distante (far field) com l1 = −2 fixo e l2 variável de 0 a 3.
Capítulo 4. Acoplamento difrativo
em vórtices ópticos 47
Figura 18 – Tabela de resultados para os padrões de campo próximo (near field) e distante (far field) com l1 = −3 fixo e l2 variável de 0 a 3.
l
1, l
21,
-1
1,
-2
2,
-2
SHG
SLM
Max
0
Figura 19 – Tabela de comparação dos resultados obtidos para o processo de segundo harmônico e a modulação pelo SLM.
Conclusão
Conseguimos demonstrar experimentalmente o acoplamento radial-azimutal para vórtices ópticos contra-girantes e a origem física das ordens radiais vistas inicialmente na geração de segundo harmônico com vórtices. O caso de cargas topológicas de sinais opostas mostra a associação entre ordens radiais e a carga topológica, tratados usualmente como independentes. Através da manipulação dos índices l1 e l2 controlamos o surgimento das ordens radiais. Também mostramos a
preservação de um modo LG puro (com a cintura do feixe diferente) para o caso em que l1 e l2 ≥ 0. Este trabalho abre novos caminhos sobre a observação deste
fenômeno em outros processos ópticos não-lineares, como a conversão paramétrica descendente ou processos de ordem mais alta. Podemos também explorar futura-mente casos mais gerais onde os índices radiais sejam variáveis. A coincidência dos resultados obtidos pela modulação do campo com o SLM e os resultados do processo não-linear evidenciam o caráter difrativo do fenômeno estudado.
49
Referências
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