Universidade Federal de Vi¸cosa
Campus UFV-Florestal
Matem´
atica - Licenciatura
N´ıvel 1
Gabarito ORM nv.1
Resolu¸c˜ao de quest˜oes do n´ıvel 1 da Olimp´ıada Regional de Ma-tem´atica.
Quest˜ao 1:
Sabe-se que 25 = 5 ∗ 5 e 144 = 12 ∗ 12. Diante dessa linha de racioc´ınio temos: comprimento (A− > B) = 22
Altura (A− > D) = 17
Diante disso, `Area= 22 ∗ 17 = 374. Resposta correta 374m2
Quest˜ao 2:
A presa corre 25x e o leopardo 58x. Como o leopardo est´a a 66m temos eles se encontrando quando 25x = 58x − 66 → 33x = 66 → x = 2. Logo. 58 × 2 = 116 ´e a resposta.
Quest˜ao 3: Poss´ıveis Rotas:
Terra - Merc´urio, Plut˜ao - Vˆenus, Terra - Plut˜ao, Plut˜ao - Merc´urio, Merc´urio - Vˆenus, Urano -Netuno, Netuno - Saturno, Saturno - J´upiter, J´upiter - Marte, Marte - Urano.
Essas s˜ao as rotas de percurso direto, agora vamos analisar as rotas ”com escala”. Terra - Merc´urio - Vˆenus
Terra - Plut˜ao - Vˆenus
Terra - Plut˜ao - Merc´urio - Vˆenus
• Note que todas as rotas saindo de Terra, Merc´urio e Plut˜ao, tem como ´ultimo planeta, Vˆenus, pois n˜ao h´a nenhuma rota saindo de Vˆenus.
J´upiter - Marte - Urano - Netuno - Saturno - J´upiter - Marte - Urano - Netuno - Saturno... • Essa rota consegue transitar entre estes 5 planetas, sempre sendo poss´ıvel viajar entre eles. Analisando as poss´ıveis rotas, temos que a alternativa que descreve uma rota poss´ıvel, uma imposs´ıvel e uma poss´ıvel, respectivamente ´e:
Urano - Saturno, Terra para Urano, J´upiter para Urano.
Quest˜ao 4
De A para B e poss´ıvel ir de 3 formas diferentes. Logo fixamos primeiramente o 3;
Agora estamos na cidade B e queremos ir at´e a cidade C, para isso utilizemos o principio mul-tiplicativo no qual temos que 3.4 = 12, portanto h´a 12 formas diferentes de ir da cidade A para C.
Quest˜ao 5
• podemos comprar 6 tipos de livros e 4 de caneta, isto ´e, 6.4 = 24 possibilidades;
• podemos comprar 6 tipos de livros e 5 tipos de cadernos, isto ´e, 6.5 = 30 possibilidades; • podemos comprar 4 tipos de canetas e 5 tipos de cadernos, isto ´e, 4.5 = 20 possibilidades. Portanto, h´a 24 + 30 + 20 = 74 possibilidades de compras distintas.
Quest˜ao 6
A formiguinha andou 12cm sobre a r´egua, logo, metade desta distˆancia, ´e 6cm, como a formi-guinha saiu da marca de 8cm, basta somar 8cm + 6cm = 14cm.
Quest˜ao 7:
Resposta : III, II, I Quest˜ao 8
Para resolvermos essa quest˜ao, precisamos determinar a ordem de tamanho de ´area e per´ımetro de cada figura. Do modo em que est´a, basta contarmos o numero de quadrados internos da figura para sabermos sua ´area, e o n´umero de quadrados no seu contorno para sabermos o per´ımetro, assim:
A = 13 unidades de ´area e 16 unidades de per´ımetro B = 13 unidades de ´area e 18 unidades de per´ımetro C = 11 unidades de ´area e 20 unidades de per´ımetro
Sendo assim, temos a I=C, III=B e II=A, tornando a letra a) a resposta correta Quest˜ao 9
Como os dois retˆangulos de baixo tem a mesma altura e mesma ´area, logo eles possuem a mesma largura que ´e: 15
2 = 7, 5. Se chamarmos de x a altura desses dois retˆangulos, ent˜ao a largura do retˆangulo de cima ser´a 15 − x. Como os trˆes retˆangulos possuem a mesma ´area, podemos igualar a ´area de um dos retˆangulos de baixo com a ´area do retˆangulo de cima:
7, 5 · x = 15 · (15 − x) ⇒ 7, 5x = 225 − 15x ⇒ 22, 5x = 225 ⇒ x = 10
Logo como temos o valor de x, ´e facil calcular o per´ımetro do retˆangulo sombreado: 7, 5 + 7, 5 + 10 + 10 = 35
Quest˜ao 10 Leia preencheu 3
4 de uma jarra de 1000 ml, isto ´e, 750 ml. Al´em disso, foram distribu´ıdos 100 ml em cada copo, ocupando 2
4 da capacidade de cada um. Ou seja, foram utilizados 5.100 = 500 do suco.
Como haviam 750 ml de in´ıcio e foram utilizados 500, isto ´e 2
3, restou na jarra 250 ml, ou seja 1 3 do que havia de in´ıcio.
Quest˜ao 11
• O desconto de 25% ´e dado sobre o pre¸co de tabela dos medicamentos. Sabendo, ent˜ao, que o pre¸co de tabela de um rem´edio ´e de 140 reais, basta calcularmos qual ser´a o pre¸co final do item ap´os aplicado o desconto.
• Temos que o desconto dado ´e de 140·25% = (140·25)/100 = 35 reais. Sendo assim, a quantia paga pela pessoa ´e de 140 − 35 = 105 reais.
• Dado isso, a alternativa correta ´e a letra A. Quest˜ao 12
• Para respondermos a quest˜ao basta mostrarmos uma colora¸c˜ao poss´ıvel com uma quantidade N de cores, e provar que ´e imposs´ıvel uma colora¸c˜ao com menos de N cores.
• Note que os estados de Roraima, Par´a e Amazonas dois-a-dois fazem fronteiras entre si. Isso significa que um m´ınimo de 3 cores diferentes dever˜ao ser usadas para pintar os trˆes estados, o que nos prova ser imposs´ıvel existir uma colora¸c˜ao menos de 3 cores.
• Agora basta mostrarmos a existˆencia de uma colora¸c˜ao usando 3 cores diferentes. • Dada a colora¸c˜ao de 3 cores abaixo, a alternativa correta ´e, ent˜ao, a letra A.
Quest˜ao 13: Resposta : + Quest˜ao 14
Analisando as afirma¸c˜oes, temos:
Mehran chegou antes de Gustavo; Mehran chegou depois de Bruno; Luiz, Bruno e Henrique chegaram um em seguida do outro.
Ent˜ao, se Mehran chegou depois do Bruno, ele tamb´em chegou depois do Henrique e do Luiz. E mais, como Merhan chegou antes do Gustavo, o Gustavo foi o ´ultimo a chegar. Logo, o primeiro a chegar foi Luiz. A ordem ficou: Luiz, Bruno, Henrique, Mehran e Gustavo.
Quest˜ao 15:
Um anagrama da palavra ”BOLA”´e uma permuta¸c˜ao simples sem repeti¸c˜ao das letras B, O, L, A de modo que forme uma palavra com ou sem sentido. Dessa maneira, temos:
Pn= 4!= 4 * 3 * 2 * 1= 24 Resposta : 24
