CAPÍTULO I INTRODUÇÃO

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Na maior parte do curso de engenharia são abordados problemas que envolvem simplificações do fenômeno físico e geometrias simples, como transferência de calor em meios infinitos ou semi-infinitos, escoamento de um fluído sem considerar a sua viscosidade (escoamento potencial), bem como problemas que impõem limitações na validade da solução, como a teoria linear de vigas, válida somente para vigas delgadas e que apresentem pequenos deslocamentos. Essas simplificações possibilitam a solução analítica das equações envolvidas, permitindo entender o seu conceito.

No entanto, a maior parte dos problemas práticos de engenharia envolvem problemas complexos que não apresentam solução analítica. O nível de complexidade está relacionado com a complexidade da geometria envolvida, as equações que descrevem o fenômeno físico (por exemplo, escoamento fluído envolvendo viscosidade, plasticidade em estruturas, propriedades que dependem da temperatura, etc.), ou a variação das grandezas envolvidas (por exemplo, estruturas sujeitas à grandes deformações). Uma abordagem comum em engenharia para resolver esses problemas até então era utilizar fórmulas com coeficientes obtidos de forma empírica. Essa abordagem é muito custosa pois exige a realização de experimentos para obter esses coeficientes sendo incompatível com a engenharia moderna. Atualmente esses problemas de engenharia são analisados utilizando-se simulação computacional que envolve uma forte combinação de computação gráfica e métodos numéricos. Pelo fato dos computadores serem mais acessíveis atualmente, a simulação computacional está fortemente presente em todos os ramos da engenharia.

Dessa forma, o conhecimento de computação gráfica e métodos numéricos são extremamente importantes para o engenheiro atualmente. Portanto, o objetivo desse curso é ensinar as ferramentas de métodos numéricos mais comuns na engenharia moderna para que o aluno tenha condições de transpor a barreira que existe entre os problemas didáticos dados em aula e os problemas práticos de engenharia. É importante deixar claro que os problemas didáticos de solução analítica simples são extremamente importantes pois nos ajudam a entender o fenômeno físico, o que permitirá interpretar os resultados da solução numérica. Sempre que possível devemos dar preferência para uma solução analítica se esta estiver disponível.

No entanto, não só problemas complexos necessitam ser solucionados por métodos numéricos. Por exemplo, considere o cálculo do seno do ângulo 65°. A sua calculadora calcula o valor desse seno se utilizando de métodos numéricos baseados em interpolação polinomial. A calculadora somente é capaz de executar as quatro operações básicas de um computador (somar, subtrair, multiplicar e dividir), todas as demais operações disponíveis são na verdade realizadas através da execução de programas de métodos numéricos gravados na memória permanente (ROM) da calculadora. Outro exemplo são as integrais do tipo x2dx, cosxdx,..._{que usamos muito ao} longo do curso, mas que raramente ocorrem nos problemas práticos de engenharia, o que faz com que o engenheiro seja freqüentemente obrigado a recorrer à solução computacional. Dessa forma, métodos numéricos estão mais presentes na nossa vida diária do que se pensa.

A seguir são apresentados vários exemplos onde a simulação computacional é necessária para se obter a solução do problema.

a) Massa-mola Não-linear

Considere o sistema massa-mola (fig.1.1) muito estudado no curso de vibrações. Uma hipótese adotada é que a mola é linear, ou seja, a força na mola é diretamente proporcional ao deslocamento (F=kx). Essa hipótese torna simples a solução da equação diferencial que descreve esse sistema mx+kx=0. A solução pode ser obtida de forma analítica, como é bem conhecido.

Figura1.1 – Sistema massa-mola.

No entanto, em grande parte das aplicações reais a mola pode apresentar um comportamento não-linear em que a força é proporcional ao cubo dos deslocamentos (F=kx3_{). Nesse caso a equação} de vibração não mais apresenta solução analítica e o engenheiro deve recorrer a métodos numéricos. b) Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes descrevem quase todos os fenômenos em mecânica dos fluidos. No entanto, apresentam soluções analíticas para apenas alguns casos particulares, como problemas de escoamento fluido sem considerar a viscosidade (escoamento potencial), problemas de escoamento viscoso em canais retilíneos, etc…. É comum dizer que “As equações de Navier-Stokes resolvem qualquer problema em Mecânica dos Fluidos, o problema é resolver as equações de Navier-Stokes”. Dessa forma, a solução dessas equações são obtidas em geral através de métodos numéricos.

Figura 1.2 – Distribuição de pressão e linhas de fluxo ao longo de um avião.

Figura 1.3 – Linhas de fluxo ao longo do ônibus espacial e distribuição de pressão ao longo da asa de um avião.

Figura 1.4 - Distribuição de pressão no lançamento de um foguete. c) Pêndulo Simples

Outro exemplo clássico é o pêndulo simples discutido nos cursos de Física e Dinâmica. Considerando o pêndulo mostrado na figura 1.5, sabemos que seu período é dado por

g L 2 T= π .

θ

L

g

m

Figura 1.5 – Pêndulo Simples.

A integral acima é denominada integral elíptica e não possui solução analítica, devendo ser calculada utilizando-se métodos numéricos. No caso em que θ é pequeno obtém-se o resultado do período apresentado acima.

Na verdade a solução numérica do período é obtida resolvendo-se diretamente a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo ( 0

L

g ₌

+ θ

θ sin ), uma vez que os métodos de solução de equação diferencial são mais robustos do que os métodos usados na solução numérica da integral elíptica. Esse é um exemplo simples que ilustra a necessidade de se conhecer com mais detalhes, em termos de eficiência e robustez, os métodos numéricos disponíveis.

d) Cálculo Estrutural

Sem dúvida nenhuma um dos campos em que a aplicação de simulação computacional se iniciou e tem grande impacto é no cálculo estrutural. Os primeiros softwares de simulação em engenharia surgiram nessa área.

No curso de resistência dos materiais aprendemos a teoria de viga simples. Essa teoria permite, por exemplo, calcular o deslocamento (“flecha”) na ponta da viga sujeita a um carregamento em sua extremidade e engastada na outra, que vale

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y= 3 , como mostrado na figura 1.6.

Figura 1.6 – Viga engastada,

No entanto, existem várias hipóteses simplificadoras por detrás dessa teoria, como por exemplo:

• A viga deve ser delgada, ou seja, seu comprimento deve ser muito maior do que as dimensões de sua seção;

• Efeito de cisalhamento é desprezado na seção, ou seja, supõe-se que o plano da seção permanece normal à linha neutra;

• Não considera rigidez e flambagem localizadas (deformações localizadas);

• A viga deve ser uniforme, não podendo apresentar furos por exemplo nem mais de um material; Essas hipóteses limitam essa teoria e que portanto não pode ser aplicada de forma

Figura 1.7 – Resultado de simulação computacional (tensões mecânicas) do chassi de um trem.

Figura 1.8 – Simulação da deformação por impacto de um tanque de gasolina de motocicleta.

Figura 1.11 – Resultado da simulação computacional (distribuição das tensões mecânicas) de um vaso de pressão.

Figura 1.12 – Simulação computacional de um eixo com chaveta sujeito a um momento torçor. É apresentado a distribuição de tensão mecânica ao longo do eixo.

Atualmente os softwares de simulação estruturais em engenharia nessa área permitem simular fenômenos complexos como uma operação de estampagem ou de forjamento de uma peça, impacto de automóveis ou trens, processos que envolvem tratamentos térmicos em metais, estruturas sujeitas a grandes deformações, injeção de plástico, etc…

e) Transferência de Calor

A área de transferência de calor é outro típico exemplo onde métodos numéricos vem sendo aplicados há muito tempo. O problema é similar ao caso estrutural, ou seja, soluções analíticas são obtidas apenas para problemas simples, como, por exemplo, o fluxo de calor num domínio unidimensional (cilindro ou semi-plano infinito, por exemplo). As figuras 1.13 à 1.15 ilustram algumas simulações na área de transferência de calor. Outros exemplos serão mostrados ao longo do curso.

Figura 1.13 – Simulação computacional do perfil de temperaturas numa placa de circuito eletrônico.

Figura 1.14 - Simulação computacional do perfil de temperaturas em sistemas de injeção de combustível.

Figura 1.15 - Simulação computacional do perfil de temperaturas no interior da câmara de combustão de um foguete.

f) Análise Eletromagnética

Figura 1.16 – Simulação computacional de um motor eletrostático. É mostrado o perfil de potencial elétrico no interior do motor.

Figura 1.17 – Simulação representando a distribuição de fluxo magnético no interior de um motor elétrico.

Figura 1.18 - Simulação representando a distribuição de fluxo magnético no interior de um motor elétrico.

Figura 1.19 - Simulação computacional da distribuição de fluxo magnético no interior de um mancal eletromagnético.

Figura 1.20 - Simulação computacional da distribuição de fluxo magnético em um motor elétrico para relógios.

g) Simulação de Mecanismos

Outra área em que sem dúvida a simulação computacional ajudou muito é a área de mecanismos. Como é visto no curso de mecanismos, as equações que descrevem o movimento (posição, velocidade e aceleração) dos mecanismos são altamente não-lineares, apresentando solução analítica apenas no caso de mecanismos simples (máximo de 4 barras). A simulação de mecanismos mais complexos exige a utilização de métodos numéricos.