Ajuste de controlador PI mmbarcado em CLP baseado em estimativa de robustez

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE T ECNOLOGIA P ROGRAMA DE P ÓS -G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA E LÉTRICA E DE C OMPUTAÇÃO. Ajuste de Controlador PI Embarcado em CLP Baseado em Estimativa de Robustez. Everton José de Castro Rego. Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea Co-orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.. Número de ordem PPgEEC: M511 Natal,RN, 20 Fevereiro de 2018.

(2) Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Rego, Everton José de Castro. Ajuste de controlador PI mmbarcado em CLP baseado em estimativa de robustez / Everton José de Castro Rego. - 2018. 50 f. : il. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós -Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação, Natal, RN, 2018. Orientador: Carlos Eduardo Trabuco Dórea. Coorientador: André Laurindo Maitelli. 1. Controladores PI - Dissertação. 2. Sintonia de Controladores Dissertação. 3. Automação Industrial - Dissertação. 4. Margem de Ganho - Dissertação. 5. Margem de Fase - Dissertação. I. Dórea, Carlos Eduardo Trabuco. II. Maitelli, André Laurindo. III. Título. RN/UF/BCZM. CDU 621.3.

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(4) À minha mãe Neilza, meu pai Everton, minha irmã Larissa e minha noiva Juliana..

(5) Agradecimentos. Agradeço primeiramente a Deus, à meus pais Everton e Neilza, minha irmã Larissa e minha Noiva Juliana por todo apoio para eu chegar até aqui. Agradeço ao meu orientador e ao meu co-orientador, professores Trabuco e Maitelli, sou grato pela orientação e incentivo na carreira acadêmica. Aos membros da sala de pesquisa D Rhaclley, Diego e o professor Alessandro pelas parcerias. À toda equipe do Laut pela ajuda na realização deste trabalho. Por fim, ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN..

(6) Resumo. O controle automático de processos é uma demanda crescente nas indústrias que buscam técnicas que automatizem a sintonia dos sistemas de controle e que garantam eficiência, qualidade e segurança. Este trabalho tem como objetivo implementar um método de avaliação e ressintonia de controladores PI em Controlador Lógico Programável (CLP), a fim de melhorar a robustez do sistema. O método é inspirado em trabalhos já existentes na literatura e possui duas etapas, a primeira etapa é de avaliação de robustez do controlador, em que se estima suas margens de ganho e de fase. Na segunda etapa, os parâmetros do controlador PI são corrigidos para assegurar que os critérios de robustez não sejam violados. Pretendeu-se programar o método diretamente num CLP para que funcione em conjunto com o seu controlador. Inicialmente, resultados de simulações numéricas são apresentados para ilustrar o funcionamento do método. Em seguida, é descrita a implementação do método por meio da programação de CLP. Resultados de experimentos em plantas reais controladas por CLP ilustram a efetividade do método. Palavras-chave: Controladores PI, Sintonia de Controladores, Automação Industrial, Robustez, Margem de Ganho, Margem de Fase..

(7) Abstract. Automatic process control is a growing demand in industries that seek techniques that automate the tuning of control systems and ensure efficiency, quality and safety. This work aims to implement a method of assessment and readjustment of PI controllers in Programmable Logic Controller (PLC), in order to improve the robustness of the system. The method is inspired by works from the literature and has two stages, the first step is to evaluate the robustness of the controller, in which its gain and phase margins are estimated. In the second step the parameters of the PI controller are adjusted to ensure that the robustness criteria are not violated. It was intended to program the method directly into a PLC to work together with its controller. Initially, results of numerical simulations are presented to illustrate the method’s operation. Then, the implementation of the method through PLC programming is described. Experiments results in real plants controlled by PLC illustrate the effectiveness of the method. Keywords: PI controllers, Controller tuning, Industrial automation, Robustness, Gain Margin, Phase Margin..

(8) Sumário. Sumário. i. Lista de Figuras. iii. Lista de Tabelas. v. Lista de Símbolos e Abreviaturas. vi. 1. Introdução 1.1 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 3 4. 2. Fundamentos Teóricos 2.1 Diagramas de Bode e de Nyquist . . . . . . . . . . . 2.2 Análise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Margens de ganho e fase . . . . . . . . . . . 2.2.2 Funções de sensibilidade . . . . . . . . . . . 2.3 Método do Relé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Experimento do relé padrão . . . . . . . . . 2.3.2 Estimação da Margem de Fase . . . . . . . . 2.3.3 Estimação da Margem de Ganho . . . . . . . 2.4 Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Controlador proporcional . . . . . . . . . . . 2.4.2 Controlador proporcional-integral . . . . . . 2.4.3 Controlador proporcional-integral-derivativo 2.5 Programação em CLP . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Controladores em CLPs . . . . . . . . . . . 2.5.2 Linguagem de Programação em CLP . . . . 2.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Ressintonia de Controlador PI 3.1 Limitações do controlador PI . . 3.2 Parâmetros α e β . . . . . . . . 3.3 Estimação de um Terceiro Ponto 3.4 Cálculo do Parâmetro α . . . . . 3.5 Cálculo do Parâmetro β . . . . .. . . . . .. i. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 5 7 8 8 10 10 12 13 14 14 14 15 15 15 16 16. . . . . .. 17 17 18 20 21 23.

(9) SUMÁRIO. ii. 3.6 3.7. Resumo dos Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 25. 4. Análise do Método de Ressintonia 4.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 26 30 33. 5. Resultados Experimentais 5.1 Resultados Preliminares . . . . 5.2 Descrição da Planta Didática . 5.2.1 Bloco Funcional PIDA 5.3 Ressintonia de FIC-1001A . . 5.4 Ressintonia de FIC-1001B . . 5.5 Conclusão . . . . . . . . . . .. 34 34 36 36 41 44 47. 6. Conclusão. Referências bibliográficas. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 48 49.

(10) Lista de Figuras. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10. Diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Bode para a função de transferência de um processo. . Diagrama de Nyquist para a função de transferência de um processo. Diagrama de blocos de um sistema realimentado. . . . . . . . . . . Margens de estabilidade de um sistema no Diagrama de Nyquist. . . Critério de robustez do círculo Ms no diagrama de Nyquist. . . . . . Relé padrão Realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Experimento do método do relé para estimação de margem de fase. . Simplificação do método do relé para estimação de margem de fase. Experiência do relé para estimação da margem de ganho. . . . . . .. . . . . . . . . . .. 5 6 7 7 9 10 11 12 12 13. 3.1 3.2 3.3 3.4. Variação de β para o PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variação de α para o PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos estimados de L( jωu ), L( jωc ) e L( jωi ), no diagrama de Nyquist. . Exemplo de contribuição de α no deslocamento dos pontos estimados L( jω) no diagrama de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo de contribuição de β no deslocamento dos pontos estimados L( jω) no diagrama de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 19 21. 24. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6. Deslocamento dos pontos estimados L( jωu ), L( jωc ) e L( jωi ). Curva real de L(s) original e final. . . . . . . . . . . . . . . . Resposta no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deslocamento dos pontos estimados L( jωu ), L( jωc ) e L( jωi ). Curva real de L(s) original e final. . . . . . . . . . . . . . . . Resposta no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 28 29 30 31 32 32. 5.1 5.2. Ajuste da curva de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta ao degrau: — antes do ajuste de robustez, −− após ajuste de robustez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta a perturbação: — antes do ajuste de robustez, −− após ajuste de robustez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluxograma do Processo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha de controle da planta didática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Módulo NX3004. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bloco funcional PIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ação do relé sobre FIC-1001A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.5. 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8. iii. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. 22. 35 35 37 38 38 39 42.

(11) LISTA DE FIGURAS 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13. Ajuste da curva de Nyquist - FIC-1001A. Resposta ao degrau e à pertubação. . . . . Ação do relé sobre FIC-1001B. . . . . . . Ajuste da curva de Nyquist - FIC-1001B. Resposta ao degrau e à pertubação. . . . .. iv . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 43 44 45 45 46.

(12) Lista de Tabelas. 1.1. Autossintonizadores de diferentes fabricantes . . . . . . . . . . . . . . .. 4.1 4.2 4.3 4.4. Resultados da ressintonia do exemplo 1 para restrição de Ms = 1.5. Desempenho do sistema a entrada do tipo degrau. . . . . . . . . . Resultados da ressintonia do exemplo 2 para restrição de Ms = 1.4. Desempenho do sistema a entrada do tipo degrau. . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 29 29 31 33. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5. Variáveis de entrada e de saída do bloco de funcional PIDA. . . . . Desempenho do sistema a entrada do tipo degrau. . . . . . . . . . . Resultados da ressintonia de FIC-1001A para restrição de Ms = 1.4. Desempenho do sistema a entrada do tipo degrau. . . . . . . . . . . Resultados da ressintonia de FIC-1001B para restrição de Ms = 1.4.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 40 43 43 46 47. v. 2.

(13) Lista de Símbolos e Abreviaturas. E(s). Sinal de erro atuante. G( jω). Resposta em frequência do processo. G(s). Função de transferência do processo. K. Ganho estático. Kp. Ganho proporcional. Ku. Ganho crítico. L(s). Função de transferência da malha aberta. MF. Margem de fase. MG. Margem de ganho. Ms. Máxima sensibilidade. R(s). Sinal de referência. Rm. Raio da região circular de restrição. S(s). Função de transferência de sensibilidade. T (s). Função de transferência de malha fechada. Td. Tempo derivativo. Ti. Tempo integral. Tp. Constante de tempo do processo. Ts. Tempo amostragem. U(s). Sinal de entrada do processo. Y (s). Sinal de saída do processo. α. Variável de ajuste do tempo integral. β. Variável de ajuste do ganho proporcional vi.

(14) LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS. ωc. Frequência de cruzamento de ganho. ωi. Frequência intermediária a ωu e ωc. ωu. Frequência de cruzamento de fase. τ. Constante de tempo. θ. Ângulo de atraso. a. Amplitude ddo relé. aco f. Coeficiente angular de L1 ( jω). h. Amplitude do relé. k. Ganho relativo. CLP. Controlador Lógico Programável. FBD. Diagrama de bloco funcional. FOPDT First Order Plus Dead Time IL. Lista de instruções. LD. Diagrama Ladder. P. Controlador Proporcional. PI. Controlador Proporcional-Integral. PID. Controlador Proporcional-Integral-Derivativo. SFC. Função gráfica de sequenciamento. ST. Texto estruturado. vii.

(15) Capítulo 1 Introdução. O avanço das ferramentas tecnológicas e da complexidade dos processos fez com que fossem desenvolvidas novas estratégias de controle. Apesar desse cenário, o controlador proporcional-integral-derivativo (PID) continuou a se destacar em processos industriais. As propriedades da sua estrutura atendem a uma grande quantidade de aplicações e seus parâmetros, de fácil compreensão, garantem grande aceitação pelos usuários. Em processos industriais, mais de 97% dos controladores regulatórios são do tipo PID, porém as condições de funcionamento dos controladores não são satisfatórias como observado nas indústrias químicas de papel, celulose e refinarias (Desborough e Miller, 2002), devido às seguintes constatações: • Somente 32% das malhas de controle foram classificadas como de desempenho “excelente” ou “aceitável”; • 32% dos controladores foram classificados como de desempenho “razoável” ou “fraco”, o que indicava resposta inaceitavelmente lenta ou oscilatória; • 36% dos sistemas controlados estavam com malha aberta, o que implica no controle operando em modo manual ou com atuadores em saturação. Como está descrito em Åström e Hägglund (1995), as malhas encontradas na indústria não são ajustadas na sua melhor performance, mas seguindo padrões de fabricantes de controladores ou manualmente por operadores. Sendo assim, faz-se necessário o desenvolvimento de técnicas para sintonia desses controladores. No que lhes diz respeito, os métodos de sintonia comuns necessitam do levantamento do modelo matemático do processo que pode ser dispendioso. Por sua vez, técnicas de identificação e sintonia em malha aberta, como o Método da Resposta ao Degrau Unitário de Ziegler e Nichols (1942), causam interrupções na operação da malha de controle do processo. Por outro lado, as técnicas para identificação de processos e sintonia de controladores em malha fechada provam ser mais atrativas, especialmente para o ambiente industrial, tendo em vista que o método atuará no sistema enquanto está em operação, portanto não há interrupções na produção. Outra vantagem é a possibilidade de atuar com segurança em um processo estável em malha fechada, originado de um processo instável em malha aberta. Na literatura são encontradas diversas técnicas de sintonia de controladores como (Chen e Seborg, 2002) e (Hägglund e Åström, 2002). Mas, para garantir uma sintonia.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 2. segura e satisfatória muitas técnicas são baseadas em modelos matemáticos estimados do processo, como, por exemplo, em (Ramakrishnan e Chidambaram, 2003) propõe-se um método para identificar os parâmetros de um modelo de segunda ordem mais atraso de tempo (SOPTD), através de um teste com relé realimentado. Em geral, a aproximação para modelos simples de primeira e segunda ordem fornecem características suficientes do processo para atingir um bom resultado. O’Dwyer (2009) cataloga as principais regras de sintonia de controladores PI e PID, que podem ser aplicadas aos modelos estimados. Possuir controladores industriais bem sintonizados, por meio de técnicas de sintonia e ferramentas que avaliam o comportamento do sistema ao longo do tempo e com capacidade de autossintonizá-los, demonstra ser um elemento essencial para manter processos com alto desempenho. Autossintonia é um método pelo qual o controlador pode ser ajustado por demanda. Seu uso torna-se interessante por dispensar o ajuste manual pelos operadores do sistema e consiste de três passos (Åström e Hägglund, 2006): • Geração de uma perturbação no processo; • Avaliação da resposta à perturbação; • Cálculo dos parâmetros do controlador. Muitos equipamentos de controle industrial estão recebendo funcionalidade de autossintonia. Åström e Hägglund (2006) relatam que os controladores PID comerciais já possuíam recursos de autossintonia desde o inicio dos anos 80. O objetivo da sintonia dessas ferramentas são desempenhos específicos como, pequeno sobressinal, rápida resposta e/ou rejeição a perturbações. Na Tabela 1.1, Yu (2006) cataloga alguns fabricantes que possuem equipamentos com função de autossintonia e qual método de identificação utilizam. Tabela 1.1: Autossintonizadores de diferentes fabricantes. Fabricante ABB Emerson Process Management Foxboro Honeywell Siemens Yokogawa. Método de Identificação Step/Relay Relay Step Step Step Step. Fonte: Yu (2006). Tendo em vista, que a autossintonia já é bastante empregada nos instrumentos industriais, pensou-se em desenvolver uma ferramenta de avaliação de robustez dos controladores que atuasse diretamente na planta industrial. Assim, este trabalho objetiva avaliar as margens de estabilidade e robustez do sistema e garantir que o controlador atenda a essas características. O método testado foi inspirado em trabalhos já existentes, como por exemplo Longchamp e Piguet (1995), que demonstra técnicas de uso do relé para a estimação da margem de robustez e Barbosa (2015) que sugere procedimentos para correção dos parâmetros do controlador. Foram realizadas simulações em um ambiente computacional para avaliar a estrutura do algoritmo e posteriormente o mesmo foi implementado em um CLP e executado numa planta real..

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 1.1. 3. Revisão Bibliográfica. Os primeiros métodos propostos para ajuste dos parâmetros de um controlador PID foram apresentados por Ziegler e Nichols (1942). Os métodos foram bastante inovadores para a época, pela praticidade com que as simples equações poderiam ser utilizadas. Entretanto, o desenvolvimento matemático das fórmulas foi realizado empiricamente, sem inicialmente possuir uma fundamentação teórica apurada. Ziegler e Nichols (1942) apresentaram dois métodos clássicos para determinar os parâmetros do controlador PID - o método da Resposta ao Degrau Unitário (ou Método da Curva de Reação) e o Método da Sensibilidade Crítica. O primeiro método avalia a resposta do processo na forma de resposta ao degrau unitário do sistema em malha aberta. A limitação para o método é o processo ser estável em malha aberta e a resposta a uma entrada degrau unitário ser monotônica. No segundo método, com um controlador proporcional em malha fechada, aumenta-se o ganho gradativamente até se obter uma resposta oscilatória com amplitude constante. O ganho que causa esta oscilação é conhecido como ganho crítico e a frequência da oscilação estabelecida fornece o período crítico. Através desses parâmetros basta aplicar as fórmulas propostas por Ziegler-Nichols para a sintonia. Na prática, este teste pode levar o processo a funcionar fora de uma região segura, podendo causar a instabilidade do sistema. Anos mais tarde, Chien et al. (1952), através de estimação de um modelo de primeira ordem com atraso, propõem uma sintonia mais robusta, partindo do trabalho de Ziegler e Nichols. A fundamentação teórica permitia a sintonia do controlador PID com estratégias distintas, caso se tratasse de um problema servo ou regulatório. Com um método baseado na resposta em frequência, Åström e Hägglund (1984) utilizam um relé em malha fechada com a planta. Como resultado, a variável do processo oscilará devido à não linearidade do relé na frequência crítica, sendo que o ganho crítico será função da amplitude de saída do relé e da amplitude da variável de processo. Conhecendo a frequência crítica e o ganho crítico, as regras de Ziegler e Nichols podem ser exploradas para a sintonia do controlador PID. Leva (1993) associou um atraso variável ao relé permitindo identificar outros pontos da função de transferência além do ponto crítico. Outros trabalhos focaram em encontrar pontos específicos da função de transferência do sistema, como em Schei (1992) que estima tanto a frequência crítica quanto a de cruzamento de ganho. Para que isso fosse possível, a configuração base do relé padrão foi alterada, o relé passaria a comutar o sinal de referência com base em uma malha realimentada externa à malha fechada do sistema. Baseado nas variações da estrutura do relé, Longchamp e Piguet (1995) mostraram que por meio de duas experiências que era possível avaliar a robustez da malha, estimando as margens de ganho e fase. Almeida e Prado (2011) utilizaram dessa técnica com um microcontrolador para estimar as margens de estabilidade de planta térmica. Em geral os sistemas reais possuem não linearidades fazendo com que os sistemas de controle sofram deterioração do desempenho e alteração de sua robustez ao longo do tempo ou por mudança do ponto de operação do sistema. Desta forma, métodos que avaliam a robustez do sistema e ressintonizam o controlador foram desenvolvidos, como.

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 4. nos trabalhos de Berger (2007) e Barbosa (2015).. 1.2. Estrutura do Trabalho. A organização deste trabalho encontra-se disposta da seguinte forma: no Capítulo 2 são abordados os conceitos básicos para avaliação de robustez de um sistema e a estrutura de controladores P, PI e PID implementados em CLPs. O Capítulo 3 apresenta os conceitos e o método para reajuste de robustez do controlador PI; no Capítulo 4 é apresentada uma simulação que segue as etapas do método apresentado anteriormente. O Capítulo 5 explica a estrutura e o funcionamento da planta didática usada para aplicação do método, como também apresenta os resultados da aplicação do método na ressintonia de controladores PI da planta. Por fim, o Capítulo 6 apresenta as conclusões..

(19) Capítulo 2 Fundamentos Teóricos. 2.1. Diagramas de Bode e de Nyquist. Um processo pode ser representado por um diagrama de blocos, onde em sua entrada tem-se um sinal u(t) e que resulta na saída y(t), como na Figura 2.1. Figura 2.1: Diagrama de blocos. O modelo matemático de um processo oferece bastante informações a respeito de sua dinâmica. Uma das principais formas de representar a relação de entrada e saída do processo é por meio de uma função de transferência. Se converter os sinais de entrada u(t) e saída y(t) para o domínio da frequência através de uma transformada de Laplace, pode-se chegar à relação da função de transferência do processo. Y (s) = L {y(t)} U(s) = L {u(t)}

(20) Y (s)

(21)

(22) G(s) = U(s)

(23) considerando cond. iniciais nulas.. (2.1). Se a dinâmica do processo é desconhecida pode-se usar métodos de identificação inserindo sinais de entrada conhecidos e observando a saída do processo. Se o sinal de entrada u(t) do sistema for função de uma senoide, a resposta y(t) do sistema linear deve ser uma senoide de mesma frequência ω, porém com amplitude diferente e defasada. Considerando s = jω, para a Equação 2.1 a resposta em frequência do sistema pode ser calculada por:.

(24) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. G( jω) =. Y ( jω) U( jω). 6. (2.2). Para cada sinal de entrada com frequência específica é gerada uma saída com amplitude e fase distinta. Essa característica traz muita informação sobre o comportamento do processo e é comum a representação gráfica da resposta em frequência. As principais formas de representação são pelos diagramas de Bode e Nyquist. Um diagrama de Bode é composto por dois gráficos em escala logarítmica da frequência ω. O primeiro é o Diagrama do Módulo ou Magnitude, em decibéis (dB), da resposta em frequência e o segundo o Diagrama da Fase, em graus, da resposta em frequência. Um exemplo deste diagrama, com as principais características que podem ser extraídas, pode ser visualizado na Figura 2.2. Figura 2.2: Diagrama de Bode para a função de transferência de um processo.. Por sua vez, o Diagrama de Nyquist expressa a resposta em frequência G(jω) em números complexos, quando a frequência varia de 0 a ∞, o vetor descreve uma curva no plano, chamada de curva de Nyquist. Essas informações podem ser utilizadas para se analisar a estabilidade e robustez do sistema. Um exemplo do diagrama pode ser visualizado na Figura 2.3..

(25) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 7. Figura 2.3: Diagrama de Nyquist para a função de transferência de um processo.. 2.2. Análise de Estabilidade. Na Figura 2.4 tem-se que um processo com função de transferência G(s) associado a um controlador C(s) possui um ganho de malha aberta: L(s) = C(s)G(s). (2.3). Figura 2.4: Diagrama de blocos de um sistema realimentado.. Mesmo possuindo muitas vantagens, um sistema realimentado ainda pode causar instabilidade ao sistema. Åström e Hägglund (2006) explicam que o critério de estabilidade desenvolvido por Nyquist propõe analisar como um sinal senoidal propaga-se pela malha fechada. Para frequências que |L( jω)| < 1 o sistema está estável, pois a amplitude do sinal é minimizada quando o sinal atravessa a malha. Porém, para |L( jω)| > 1 a análise não é simples, pois mesmo assim o sistema pode não ser estável. Caso a função de trans-.

(26) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 8. ferência L(s) não possua polos no semi-plano direito a condição para a estabilidade é que o ponto crítico (−1, 0) esteja a esquerda da curva de Nyquist L( jω), que é desenhada um plano real/imaginário para as 0 < ω < ∞. Esta propriedade é bastante útil, pois descreve graficamente a estabilidade relativa do sistema.. 2.2.1. Margens de ganho e fase. Os métodos de projeto de controladores comumente almejam determinadas características de desempenho para o controlador, mas sempre que possível mantendo o sistema robusto. Como é descrito em Åström e Hägglund (2006), a robustez é a medida de quanto o sistema de controle é sensível a variações do processo. As propriedades do processo podem ser alteradas devido a mudanças das condições de operação e também ao envelhecimento do equipamento. Os valores do atraso de transporte e da constante de tempo também mudam com o passar do tempo. Por isso, um das principais razões para se utilizar sistema de controle realimentado é a possibilidade de obter sistemas que são insensíveis às variações no processo. A margem de ganho, MG, é um critério de estabilidade que define de quanto o ganho proporcional do controlador pode ser incrementado para levar o processo ao limite de estabilidade e, dessa forma, fazer com que a curva de Nyquist de L( jω) cruze o ponto (−1, 0). Sendo ωu a frequência de cruzamento de fase, então a margem de ganho será definida como: MG =. 1 , emque ∠L( jωu ) = −π |L( jωu )|. (2.4). Já o critério de estabilidade conhecido como margem de fase MF representa o quanto pode-se aumentar a defasagem do sistema sem que ele se torne instável. A frequência de cruzamento de ganho, ωc , é determinada quando L( jωc ) tem módulo unitário e no diagrama de Nyquist corresponde ao ângulo formado entre o eixo real (sentido negativo) e o ponto L( jωc ) representa MF. Assim, a margem de fase pode ser calculada como: MF = π + ∠L( jωc ), emque |L( jωc )| = 1. (2.5). Para uma melhor compreensão, as margens de ganho e fase estão representadas no diagrama de Nyquist na Figura 2.5.. 2.2.2. Funções de sensibilidade. O comportamento dinâmico da malha fechada com realimentação unitária, da Figura 2.4, é descrito pela seguinte função de transferência do sinal de referência R(s) para o sinal de saída Y (s): T (s) =. Y (s) L(s) = R(s) 1 + L(s). (2.6).

(27) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 9. Figura 2.5: Margens de estabilidade de um sistema no Diagrama de Nyquist.. Já para uma perturbação em relação à saída do sistema, Åström e Hägglund (2006) demonstram que a função de transferência será: S(s) =. 1 1 + L(s). (2.7). que é conhecida como função de sensibilidade. De acordo com a propriedade T (s) + S(s) = 1, T (s) é conhecida também como função de sensibilidade complementar. Para um distúrbio com frequência qualquer, se |S( jω)| < 1, a pertubação terá o sinal atenuado. Caso |S( jω)| > 1, a pertubação terá o sinal amplificado. A expressão (1 + L( jω)) representa o vetor que parte de (−1, 0) ao ponto L( jω) na curva de Nyquist. Como comentado sobre o critério de estabilidade de Nyquist no início da Seção 2.2, o ponto (−1, 0) deve estar a esquerda da curva de Nyquist. Logo, em termos de projeto de robustez é estabelecida no Diagrama de Nyquist uma região circular centrada em (−1, 0) com raio de tamanho 1/Ms , como mostra a Figura 2.6. No decorrer do texto essa região é chamada simplesmente por círculo Ms . Se a curva de Nyquist do sistema tangenciar o círculo Ms , a seguinte relação é estabelecida com a função de sensibilidade:

(28)

(29)

(30)

(31) 1

(32)

(33) Ms = maxω |S( jω)| = maxω

(34) (2.8) 1 + L( jω)

(35) Por conseguinte, a Equação 2.8 descreve o pior caso em que o sinal de uma pertubação é amplificado na saída do sistema. Os valores aceitáveis do parâmetro de máxima sensibilidade Ms variam entre 1.4 e 2 e traduz-se a restrição de máxima sensibilidade em termos de Margens de Ganho e Fase de projeto pelas relações (Åström e Hägglund, 2006):.

(36) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 10. Figura 2.6: Critério de robustez do círculo Ms no diagrama de Nyquist.. MG >. Ms Ms − 1. MF > 2arcsin(. 1 ) 2Ms. (2.9) (2.10). De acordo com Åström e Hägglund (2006), o círculo de máxima sensibilidade pode servir como margem de estabilidade o que garante uma malha fechada robusta a variações relativas às incertezas dos processos, portanto, garantindo segurança a variações de parâmetros e de condições de funcionamento do sistema. O valor mínimo de Ms = 1, 4 resulta em MG > 3, 5 e MF > 42◦ , enquanto que Ms = 2 implica em MG > 2 e MF > 29◦ .. 2.3. Método do Relé. Nesta seção são apresentados os experimentos com relé que permitem o melhor conhecimento da dinâmica do processo. Primeiro, é apresentada a estrutura do relé padrão, depois o mesmo aplicado a uma malha fechada para a estimação da Margem de Ganho e em seguida é descrita uma estrutura mais complexa que é utilizada para obter uma estimativa da Margem de Fase.. 2.3.1. Experimento do relé padrão. O método da resposta em frequência proposto no trabalho de Ziegler e Nichols (1942) requer o conhecimento do ponto crítico do processo, levando-o ao limite da estabilidade utilizando um controlador proporcional em malha fechada e aumentando gradativamente o valor do ganho até atingir uma oscilação sustentada na saída do sistema..

(37) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 11. Posteriormente, inspirado nesse trabalho Åström e Hägglund (1984) propuseram uma nova abordagem para a identificação do ponto crítico que ficou conhecida como o método do relé padrão. Nessa estrutura o controlador proporcional é substituído por um relé de amplitude fixa (com sinal on-off) realimentado, como na Figura 2.7, assegurando uma oscilação sustentada em função do ponto crítico. Figura 2.7: Relé padrão Realimentado.. A propagação do sinal no processo é descrita por G( jω) e no relé é caracterizada por N(a) que vem da função descritiva que é detalha em Åström e Wittenmark (2013). Para o relé a função descritiva é dada por: 4h (2.11) πa em que a é a amplitude do sinal de entrada e h é a amplitude do sinal de saída do relé. O sistema da Figura 2.7 apresentará um ciclo limite (oscilação auto sustentada) quando a seguinte condição for satisfeita: N(a) =. 1 + N(a)G( jωu ) = 0. (2.12). O ganho crítico Ku , na frequência crítica ωu , é dado pela equação: Ku =. 1 4h = |G( jωu )| πa. (2.13). O método torna-se de fácil implementação uma vez que as variáveis necessárias a e h são fáceis de obter. Com o ponto crítico, é possível identificar o modelo FOPDT (First Order Plus Dead Time) dado por: G(s) =. Ke−θs τs + 1. (2.14). em que, R Tu. K = R0Tu 0. y(t)dt u(t)dt. p (Ku K)2 − 1 τ= ωu. (2.15). (2.16).

(38) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 12. π − tan−1 (τωu ) (2.17) ωu Com os valores de Ku e ωu , a sintonia pode ser feita com a regra proposta por ZieglerNichols, porém conhecendo-se os valores de τ (constante de tempo), θ (ângulo de atraso) e K (ganho estático) outras regras de sintonia podem ser aplicadas. Uma vasta lista de métodos de sintonias podem ser encontradas em O’Dwyer (2009). θ=. 2.3.2. Estimação da Margem de Fase. O relé padrão tem a capacidade de fazer o sistema oscilar na frequência crítica, onde no diagrama de Nyquist a curva intercepta o lado negativo do eixo real, revelando a margem de ganho do sistema. A margem de fase do sistema em malha fechada T (s) é definida na frequência de cruzamento de ganho ωc , na qual L( jω) tem uma unidade de amplitude. Longchamp e Piguet (1995) descrevem um método derivado do relé padrão para estimar a margem de fase do sistema, como mostra a Figura 2.8. Figura 2.8: Experimento do método do relé para estimação de margem de fase.. Relacionando os componentes lineares das Figuras 2.7 e 2.8 resulta na estrutura da Figura 2.9. Figura 2.9: Simplificação do método do relé para estimação de margem de fase.. Então, desenvolvendo a condição de ciclo limite marginalmente estável da Equação (2.12) para a estrutura da Figura 2.9, tem-se que:.

(39) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 1 + N(a). 1 L( jωc ) − 1 . =0 jωc L( jωc ) + 1. 13. (2.18). Substituindo N(a) como na Equação (2.11) da função descritiva: 1 L( jωc ) − 1 aπ . =− jωc L( jωc ) + 1 4h. (2.19). Consequentemente, ω aπ c 4h ω aπ (2.20) L( jωc ) = c 1+ j 4h Desta forma, Schei (1992) demonstram que o sistema oscilando na frequência ωc tem: 1− j. |L( jωc )| = 1. (2.21). e ω aπ c ∠L( jωc ) = −2arctan (2.22) 4h Aplicando a Equação (2.22) em (2.5) pode-se calcular a Margem de Fase estimada. ω aπ c MF = π − 2arctan (2.23) 4h. 2.3.3. Estimação da Margem de Ganho. Como visto na Subseção 2.3.1, o relé padrão permite encontrar o ponto crítico da dinâmica do processo (Ku , ωu ), em que ∠G( jω) = −π. Agora, realizando o mesmo método para uma malha fechada de função de transferência dada por T (s), uma oscilação com ∠T ( jω) = −π é estabelecida. A partir da condição de ciclo limite marginalmente estável da Equação (2.12) para a estrutura da Figura 2.10, tem-se que: Figura 2.10: Experiência do relé para estimação da margem de ganho.. 1 + N(a)T ( jωu ) = 0. (2.24).

(40) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 14. Substituindo N(a) como na Equação (2.11) da função descritiva e expandindo T ( jωu ) em termos de L( jωu ): aπ L( jωu ) =− 1 + L( jωu ) 4h. (2.25). Consequentemente, πa 4h + πa Assim, a margem de ganho MG pode ser calculada por: L( jωu ) = −. MG =. 2.4. 1 |L( jωu )|. (2.26). (2.27). Controladores. Antes de apresentar o método de avaliação e ajuste do controlador, será apropriado comentar brevemente os efeitos de controladores comumente encontrados na indústria. Cardoso (2002) considera que os controladores do tipo PID e suas variações dominarão ainda por bastante tempo o cenário industrial. Isso é notório, pois mesmo com técnicas de controle mais sofisticadas, um controlador PI é suficiente para processos de resposta lenta e que não tem muita oscilação. Visto isso, antes de apresentar o método de avaliação e ajuste do controlador será apropriado comentar brevemente os efeitos de controladores comumente encontrados em CLP como o P, PI e PID.. 2.4.1. Controlador proporcional. Um controlador proporcional consiste basicamente de um amplificador com ganho ajustável. Assim, quanto maior for o erro, maior será a ação de controle gerada, como mostra a Equação (2.28), em que K p é a constante de ganho proporcional. u(t) = K p e(t). (2.28). Sem uma ação integrativa o sistema controlado apresentará um erro residual. O aumento gradativo de K p diminuirá o erro, porém aos poucos tornará o sistema oscilatório e até instável.. 2.4.2. Controlador proporcional-integral. A saída do controlador é proporcional ao erro como também à integral do erro. A Equação (2.29) mostra o controlador PI ideal: Kp u(t) = K p e(t) + Ti. Z. e(t). (2.29).

(41) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 15. Realizando a transformada de Laplace da Equação (2.29), para condições iniciais nulas, obtém-se a função de transferência do controlador PI ideal: U(s) 1 = Kp 1 + CPI (s) = (2.30) E(s) Ti s Desde que a função de transferência em malha fechada seja estável, a ação integrativa garantirá e(∞) = 0. Portanto, controladores para frequentes mudanças de carga devem ser do tipo PI.. 2.4.3. Controlador proporcional-integral-derivativo. A ação gerada por controle PID é proporcional ao erro, à integral e à derivada do erro. A forma não iterativa, padrão, ideal ou ISA do PID é mostrada na Equação (2.31) e aplicando a transforma de Laplace pela Equação (2.32): Kp u(t) = K p e(t) + Ti. de(t) dt U(s) 1 CPID (s) = = Kp 1 + + Td s E(s) Ti s Z. e(t) + K p Td. (2.31) (2.32). O aumento de K p reduz o tempo de subida e o erro estacionário, mas somente o termo integrativo elimina definitivamente o erro. Possíveis efeitos oscilatórios da integral, podem ser minimizados pelo controle derivativo favorecendo a estabilidade do sistema e melhorando a resposta transitória.. 2.5. Programação em CLP. Um CLP é um instrumento digital de memória programável para execução de instruções de lógica, temporização e cálculos matemáticos, para controlar através de módulos de entrada e saída (digital e analógica) diversos tipos de processos. Nesta seção é apresentado como são implementados os controladores em um CLP.. 2.5.1. Controladores em CLPs. Para utilização do algoritmo de controle PID em sistemas digitais, é necessário usar sua forma discreta, em que a ação de controle é atualizada a cada período de amostragem Ts . O algoritmo PID na forma de posição que ainda pode ser encontrado em CLPs, tem a seguinte estrutura: Td Ts (2.33) u(k) = K p e(k) + ∑ ek + (e(k) − e(k − 1)) Ti Ts.

(42) CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 16. A equação (2.34) apresenta a forma de controle PID discreto paralelo ideal de velocidade. K p Td K p Ts e(k −1)+ [(e(k) − 2e(k − 1) + e(k − 2))] Ti Ts (2.34) As duas principais diferenças entre as formas do algoritmo PID são que o termo proporcional é proporcional à diferença do erro (∆e) na forma de velocidade, enquanto que na forma posicional é proporcional ao erro (e). O acúmulo de erro do termo integral é guardado no valor anterior da saída u(k − 1) na forma de velocidade. Um característica importante do algoritmo PID discreto é que ele está sujeito ao período de amostragem, ou tempo de ciclo para uma execução. Quanto menor for o período de amostragem, mais próximo de uma execução contínua estará o controlador, porém, isto exige maior poder computacional. Os controladores de CLPs costumam adotar a regra (Ts = Tp /10), em que Tp é a constante de tempo do processo (Van Dessel, 2012). u(k) = u(k −1)+K p [e(k) − e(k − 1)]+. 2.5.2. Linguagem de Programação em CLP. O método de avaliação e ajuste de sintonia deste trabalho foi implementado na norma IEC-61131, a qual foi desenvolvida para programação de aplicações em CLP na indústria de automação. O CLP contém as seguinte linguagens: • • • • •. Lista de instruções (IL); Texto estruturado (ST); Função gráfica de sequenciamento (SFC); Diagrama de bloco funcional (FBD); Diagrama Ladder (LD).. O IL e ST são baseados em texto. O texto estruturado se assemelha à linguagem de programação Pascal. As demais são linguagens gráficas, o que significa que o programa é caracterizado por diferentes blocos de função conectados entre si.. 2.6. Conclusão. Neste capítulo foram apresentados os experimentos com relé usados para analisar os sistemas em malha fechada. Estes experimento permitem estimar pontos da curva de Nyquist referentes a Margem de Ganho e a Margem de Fase do sistema. Essas margens são parâmetros relevantes para quantificar a estabilidade do sistema no domínio da frequência. O estudo da função de sensibilidade vai servir de base no próximo capítulo para a ressintonia do controlador PI que posicione a curva de Nyquist fora do círculo de máxima sensibilidade. Ainda, neste capítulo foram apresentadas a estrutura do controlador PI e a linguagem de programação utilizadas para implementar o método proposto neste trabalho em CLP..

(43) Capítulo 3 Ressintonia de Controlador PI. Neste capítulo, é apresentada a técnica de avaliação e ressintonia da robustez do sistema. Este trabalho não tem o objetivo de propor uma nova abordagem para este tipo de ressintonia de controlador, mas de adequar metodologias já existentes para a implementação em um CLP. A avaliação de robustez é feita pelos métodos apresentados nas Subseções 2.3.2 e 2.3.3, desta forma, é possível encontrar os pontos de L( jωc ) e L( jωu ), respectivamente. Um terceiro ponto de operação é estimado para uma frequência intermediária à frequência crítica e à de cruzamento de ganho. Em seguida são mensuradas no diagrama de Nyquist as distâncias desses três pontos de operação à curva de máxima sensibilidade Ms . E, por fim, o controlador PI é reconfigurado através dos parâmetros de ajuste α e β de modo a garantir que esses pontos não violem a restrição de robustez. Esses parâmetros de ajuste alteram os ganhos proporcional e integrativa, respectivamente, do controlador PI e são inspirados do trabalho de Barbosa (2015).. 3.1. Limitações do controlador PI. Nem sempre as especificações de projeto de controle são alcançáveis, dado que as limitações físicas e de estrutura de um sistema impedem que ele alcance certo desempenho. Para examinar as limitações da estrutura do controlador PI considera-se s = jω na Equação (2.30): j (3.1) CPI ( jω) = K p 1 − ωTi A partir da Equação (3.1) podem-se calcular as equações de ganho e fase do controlador, respectivamente (3.2) e (3.3). s Kp 2 2 |CPI ( jω)| = K p + (3.2) ωTi 1 ∠CPI ( jω) = arctan − (3.3) ωTi Considerando valores reais e positivos das variáveis de configuração K p e Ti , percebe-.

(44) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 18. se que não há restrição na Equação (3.2), entretanto (3.3) mostra que para um mesmo valor de frequência ω existe como limite um ângulo de fase máximo e mínimo que o controlador PI permite alcançar. π 6 ∠CPI ( jω) 6 0 2 A relação da Margem de Fase, MF, no projeto do controlador PI, é dada por: −. ∠L( jωc ) = ∠CPI ( jωc ) + ∠G( jωc ) = −π + MF. (3.4). (3.5). Desse modo, substituindo a equação (3.5) em (3.4), têm-se que o limite para a Margem de Fase realizável será: π + ∠G( jωc ) 6 MF 6 π + ∠G( jωc ) 2. 3.2. (3.6). Parâmetros α e β. Para modificar o módulo e a fase do controlador PI, Barbosa (2015) introduziu as variáveis β e α, associadas respectivamente aos parâmetros K p e Ti do PI. Assim, a Equação (3.1) terá a forma: Kp j 1− (3.7) CPI ( jω) = β ωTi α As Equações (3.2) e (3.3) passam a ser: s s 2 2 2 Kp Kp Kp 1 |CPI ( jω)| = + − = 1+ − β ωTi αβ β ωTi α 1 ∠CPI ( jω) = arctan − ωTi α. (3.8) (3.9). Considerando valores reais e positivos de β e α, é possível manipular a curva de Nyquist do sistema. Modificar o valor de β faz a curva expandir-se ou contrair-se radialmente. Há expansão para valores 0 < β < 1 e contração para β > 1. Para exemplificar, a Figura 3.1 expõe o deslocamento da curva de L(s) no diagrama de Nyquist para três valores de β e três linhas radiais sobre a quais movimentam-se os pontos das frequências de 1.3, 1.6 e 1.92 rad/s. Pela Equação (3.9) percebe-se que a fase do controlador depende apenas de α. Se 0 < α < 1 a curva de Nyquist original se moverá para a esquerda, caso α > 1 será para a direita. Para exemplificar, a Figura 3.2 expõe o deslocamento da curva de L(s) no diagrama de Nyquist para três valores de α e cinco linhas guias sobre a quais movimentam-se os pontos das frequências de 0.8, 0.9, 1.1, 1.3 e 1.5 rad/s..

(45) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 19. Figura 3.1: Variação de β para o PI.. Diagrama de Nyquist 2. 0. -2. Eixo Imaginário. -4. -6. -8. -10. -12. -14. -5. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 1. 2. Eixo Real. Figura 3.2: Variação de α para o PI.. Diagrama de Nyquist 2. 0. -2. Eixo Imaginário. -4. -6. -8. -10. -12. -14. -5. -4. -3. -2. -1. Eixo Real. 0.

(46) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 3.3. 20. Estimação de um Terceiro Ponto. A partir do método de estimação da Margem de Ganho, Subseção 2.3.3, é possível estimar o ponto de L( jωu ) do diagrama de Nyquist e sabendo que a resposta em frequência do controlador PI, em termos de ganho proporcional K p e de tempo integral Ti , é dada pela Equação (3.1) é possível calcular C( jωu ). Desta forma, descobre-se a dinâmica do processo pela relação: G( jωu ) = L( jωu )/C( jωu ). (3.10). em que, para este trabalho, ωu é a frequência crítica de L(s) e não de G(s). Em Åström e Hägglund (2006) o método de estimação do modelo FOPTD proposto é executado em relação ao ponto da curva de Nyquist de frequência crítica, posteriormente Santos e Barros (2011) estenderam a estimação do FOPTD para qualquer ponto da curva de Nyquist. O cálculo da constante K se mantém a mesma da Equação (2.15), porém as Equações (2.16) e (2.17) passam a ter a forma: p (k)−2 − 1 (3.11) τ(ω) = ω φ(ω) − tan−1 (τ(ω)ω) (3.12) ω em que φ(ω) representa a fase na frequência ω e k é o ganho relativo estabelecido pela relação k = |G(Kjω)| , sendo |G( jω)| o ganho na frequência ω. Assim, é possível gerar um modelo FOPTD baseado na dinâmica de G( jωu ), Equação (3.10). A frequência intermediária será calculada por: θ(ω) =. ωi =. √ ωu ωc. (3.13). essa frequência é o ponto médio entre ωu e ωc em escala logarítmica. Assim, para o terceiro ponto estimado calcula-se: L( jωi ) = C( jωi )G( jωi ). (3.14). Com os pontos estimados L( jωu ) e L( jωc ) desconhece-se o comportamento da curva de Nyquist entre os dois pontos, por esse motivo estimar um ponto intermediário L( jωi ) deve melhorar o entendimento dessa parte da curva de Nyquist. Por fim, os pontos estimados na avaliação de robustez do sistema são três, como mostra a Figura 3.3. O cálculo em (3.10) a (3.14) usa o valor do ponto estimado L( jωu ), mas poderia da mesma forma usar o ponto L( jωc ). A escolha do ponto estimado se deu em função de uma melhor precisão na estimação da Margem de Ganho e da Margem de Fase (vide subseções 2.3.2 e 2.3.3). Longchamp e Piguet (1995) comenta que a estimação da Margem de Fase é precisa para pequenos valores de Margem de Fase e menos precisa para valores excessivamente grandes..

(47) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 21. Figura 3.3: Pontos estimados de L( jωu ), L( jωc ) e L( jωi ), no diagrama de Nyquist.. 3.4. Cálculo do Parâmetro α. Como demonstrado na Seção 3.2 pela Equação (3.9), a contribuição de fase do controlador PI pode ser modificada pela variável de ajuste α. Para o método de reajuste do controlador, α deve aproximar a fase do sistema para a Margem de Fase do projeto que é dada pela relação (2.10) com a máxima sensibilidade. Segundo Barbosa (2015), não é possível estabelecer uma relação linear entre o α e a nova reta que cruza o círculo unitário. Por isso, ele propôs um procedimento iterativo para se determinar o valor de α que leva toda a curva à interseção entre os círculos. Um método iterativo exigiria muito processamento e tempo para calcular o valor de α em um CLP, por isso, nesse trabalho propõe-se calcular α de forma direta. Dado o ponto estimado L1 ( jωi ) com ângulo de fase ∠L1 ( jωi ), deseja-se que a variável α contribua para levá-lo ao ângulo ∠L2 ( jωi ). O ponto L2 , como mostra a Figura 3.4, tem módulo igual a |L1 ( jωi )| e representa o ponto de interseção se o ponto L1 ( jωi ) executasse um movimento circular em torno da origem. As equações que descrevem a região circular de 1/Ms e o círculo de raio igual a |L1 ( jωi )| são, respectivamente, dadas por: 2 1 2 2 (3.15) (x + 1) + y = Ms e x2 + y2 = |L1 ( jωi )|2. (3.16).

(48) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 22. Figura 3.4: Exemplo de contribuição de α no deslocamento dos pontos estimados L( jω) no diagrama de Nyquist.. A partir das Equações (3.15) e (3.16) é possível calcular a parte real do ponto L2 : 1 2 ( Ms ) − (|L1 ( jωi )|)2 − 1 x = real {L2 } = 2 e assim, o novo ângulo de fase ∠L2 ( jωi ) é igual à: s  2 |L1 ( jωi )| ∠L2 ( jωi ) = tan−1  − 1 − π real {L2 }. Logo, a contribuição de fase do controlador após o ajuste de α é dada por: 1 −1 ∠C2 ( jωi ) = ∆ (∠L( jωi )) + tan − Ti ωi em que, ∆ (∠L( jωi )) = ∠L2 ( jωi ) − ∠L1 ( jωi ). (3.17). (3.18). (3.19). (3.20).

(49) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 23. por fim, α=−. 1 tan(∠C2 ( jωi ))ωi Ti. (3.21). Deve-se ter em mente que o limite de contribuição de fase do controlador PI vai de 0◦ a −90◦ , por essa razão o valor de α que altera ∠L1 ( jωi ) para ∠L2 ( jωi ) será válido se, e somente se, a Equação (3.4) for verdadeira para ∠C2 ( jωi ). Caso a condição da Equação (3.4) não for atendida, α pode ser calculado com relação ao ponto estimado L( jωc ) e caso não seja possível para L( jωc ) o valor de α será igual a 1, logo ∠C1 ( jω) = ∠C2 ( jω).. 3.5. Cálculo do Parâmetro β. A variação do termo α irá ajustar a Margem de Fase do sistema, mas mesmo após o ajuste do termo integrativo do controlador PI a curva de Nyquist ainda pode estar além da sensibilidade requerida. A variação do valor de β irá, então, certificar-se de pôr para fora do círculo Ms o ponto L( jω) mais próximo da região de instabilidade garantindo os requisitos de robustez impostos no projeto. Como foi apresentado na Seção 3.2, a variação de β faz com que todos os pontos da curva de Nyquist movam-se radialmente em distâncias proporcionais. Por consequência, os segmentos de retas que conectam os pontos estimados de L( jω) mantêm o mesmo coeficiente angular antes e depois do ajuste de β. Após o cálculo de α os três pontos estimados de L( jω) são deslocados para suas novas posições no diagrama de Nyquist chamadas de L1 ( jω), a exemplo da Figura 3.5, e a partir desses novos valores é calculado o valor de β que moverá todos para fora do círculo Ms . Para mover, por exemplo, o ponto L1 ( jωu ) para a borda do círculo de Ms , a equação para calcular o β será: β=. |L1 ( jωu )| |Lcirc |. (3.22). onde, o numerador é o módulo da posição inicial e o denominador é o módulo da posição final do ponto estimado de L( jωu ). Como mostra a Figura 3.5, o ponto Lcirc está posicionado na borda do círculo Ms e seu módulo é dado por: q

(50)

(51)

(52) −1 + −a2 + R2 + (R a )2

(53) m co f

(54)

(55) m co f

(56) q |Lcirc | =

(57)

(58) (3.23)

(59)

(60)

(61) a2co f + 1 em que, Rm é o raio da região circular dada por (1/Ms ) e aco f é o coeficiente angular de L1 ( jω) dada pela equação: imag {L1 ( jωu )} aco f = (3.24) real {L1 ( jωu )}.

(62) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 24. Figura 3.5: Exemplo de contribuição de β no deslocamento dos pontos estimados L( jω) no diagrama de Nyquist.. Repetindo as Equações (3.22), (3.23) e (3.24) obtém-se pelo menos 3 valores possíveis para β associados aos pontos estimados L1 ( jωu ), L1 ( jωi ) e L1 ( jωc ). Como foi explicado na Seção 3.2, para (β > 1) há o processo de contração e quanto maior o valor de β maior será o deslocamento dos pontos. Logo, deve-se escolher o maior valor calculado de β para reposicionar todos pontos estimados fora da região 1/Ms .. 3.6. Resumo dos Procedimentos. A seguir é apresentado o passo a passo para avaliação e ressintonia do controlador PI: 1. É realizado o experimento do relé da Seção 2.3.2, calculando-se a fase de L( jωc ) pela Equação (2.22); 2. É realizado o experimento do relé da Seção 2.3.3, calculando-se o ganho de L( jωu ) pela Equação (2.26); 3. A partir dos pontos estimados L( jωc ) e L( jωu ) é executado todo o procedimento da Seção 3.3, para encontrar o ponto intermediário L( jωi ) na curva de Nyquist; 4. A variável de ajuste α segue as Equações de (3.15) a (3.21) da Sessão 3.4: (a) α pode ser calculado tanto em relação a L( jωi ) quanto a L( jωc ); (b) Dada a Equação (3.20), se (∆∠L( jωi ) > ∆∠L( jωc )) for verdadeira, então α é calculado em relação ao ponto o L( jωi ); caso contrário, será L( jωc )..

(63) CAPÍTULO 3. RESSINTONIA DE CONTROLADOR PI. 25. 5. Em virtude do termo integrativo do controlador PI ter sido alterado por α, deve-se calcular as novas posições dos pontos L( jω). Isto é feito a partir dos pontos iniciais de L( jω) e utilizando as Equações (3.8) e (3.9); 6. O parâmetro β é calculado para que os pontos estimados de L( jω) sejam movidos para fora do circulo de máxima sensibilidade. O cálculo de β segue as Equações (3.22), (3.23) e (3.24).. 3.7. Conclusão. Neste capítulo foi apresentado o procedimento para alcançar a especificação de máxima sensibilidade, deslocando três pontos estimados da curva de Nyquist do sistema. Desses pontos, dois são estimados através dos experimentos com relé e o terceiro é estimado para uma frequência intermediária. Foram apresentadas as variáveis α e β que modificam os parâmetros do controlador PI de modo a garantir que os pontos estimados estejam fora do círculo de máxima sensibilidade. No Capítulo seguinte serão analisados resultados de simulações do procedimento de ressintonia apresentado neste capítulo..

(64) Capítulo 4 Análise do Método de Ressintonia. Nesta capítulo são apresentados alguns resultados de simulações que ilustram as características do método. Com estes exemplos, desejou-se diminuir o valor da sensibilidade para valores mais adequados. As restrições foram determinadas a partir dos valores usuais de máxima sensibilidade na literatura para um sistema robusto. Os exemplos foram analisados a fim de explicar os procedimentos utilizados para o ajuste dos controladores e obtenção dos resultados. As simulações foram executadas com o sistema em malha fechada, com set point igual a 1, e quando estava em regime permanente foi inicializado o método de estimação de margem de fase (Subseção 2.3.2) e, em seguida, o de margem de ganho (Subseção 2.3.3).. 4.1. Exemplo 1. Para apresentar as principais propriedades do método, as etapas da primeira simulação foram mais detalhadas. Considerando que a função de transferências do processo é dada por: 2 e−s (4.1) s + 0.2 e que na sintonia inicial foi realizada a técnica do relé padrão para estimar o modelo FOPDT do processo em conjunto da regra de sintonia proposta por Ziegler e Nichols (1942) para controladores PI, resulta no controlador de função de transferência igual a: 1 C(s) = 0.3 1 + (4.2) 4.28s G(s) =. A fim de ajustar a robustez do sistema para uma máxima sensibilidade de Ms = 1.5, deu-se início ao procedimento apresentado na Seção 3.6. No passo 1, através do experimento de Margem de Fase foi estimado o ponto na frequência de cruzamento de ganho: L( jωc ) = 1∠−125.46◦ , emque ωc = 0.4963 rad/s. (4.3). cuja Margem de Fase estimada, correspondente a L( jωc ), é MF = 54, 54◦ . Em seguida, no passo 2, através do experimento de Margem de Ganho foi estimado o ponto na frequência de cruzamento de fase:.

(65) CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO MÉTODO DE RESSINTONIA. L( jωu ) = 0.4196∠−180◦ , emque ωu = 1.5476 rad/s. 27. (4.4). cuja Margem de Ganho estimada, correspondente a L( jωu ), é MG = 7.54dB. No passo número 3, através das Equações (2.15), (3.10), (3.11) e (3.12) foi estimado o seguinte modelo FOPTD: 10e−1.01s (4.5) 4.63s + 1 Ainda no passo número 3, a frequência intermediária ωi foi estimada pela Equação (3.13), e combinada com as Equações (3.1) e (3.14) foi estimado o ponto intermediário: G(s) =. L( jωi ) = 0.7313∠−142.48◦ , emque ωi = 0.8906 rad/s. (4.6). No passo 4, foi analisado se α deveria ser calculado em relação à L( jωi ) ou L( jωu ). Assim, foram calculadas as diferenças de fase antes e após a contribuição de α. ∆∠L( jωi ) = 4.28◦ ∆∠L( jωu ) = −14.78◦. (4.7). Por (∆∠L( jωi ) > ∆∠L( jωu )) e o ângulo de fase final do controlador ∠C2 ( jωi ) atender à condição da Equação (3.4), pôde-se calcular α em relação a L( jωi ) pelas seguintes equações: 1 = −10.41◦ (4.8) ∠C2 ( jωi ) = ∆∠L( jωi ) + atan − ωi Ti α=−. 1 = 1.427 tan(∠C2 ( jωi ))ωi Ti. (4.9). Com o valor de α definido, as posições de L( jωu ), L( jωi ) e L( jωc ) foram atualizadas cada uma pela equação: Cnova ( jω) , Cvelha ( jω) 1 − j αT1i ω Lnova ( jω) = Lvelha ( jω) 1 − j T1i ω Lnova ( jω) = Lvelha ( jω). (4.10). ou ainda para módulo e ângulo de fase, r. . 1 αTi ω. 2. 1+ Lnova ( jω) = |Lvelha ( jω)| r 2 1 + T1i ω. ∠Lnova ( jω) = ∠Lvelha ( jω) − tan−1 − T1i ω + tan−1 − αT1i ω. (4.11).

(66) CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO MÉTODO DE RESSINTONIA. 28. As novas posições de L( jω) foram: L( jωu ) = 0.4172∠−177.46◦ L( jωi ) = 0.7193∠−138.2◦ L( jωc ) = 0.9553∠−119.5◦. (4.12). O valor de β deve garantir que todos os pontos estimados estejam fora do circulo de Ms e que de preferência apenas um deles esteja tocando na circunferência. Através do procedimento da Seção 3.5 foi calculado β = 1.25 e as posições finais de L( jω) foram: L( jωu ) = 0.3338∠−177.46◦ L( jωi ) = 0.5755∠−138.2◦ L( jωc ) = 0.7644∠−119.5◦. (4.13). Na Figura 4.1 é apresentado o deslocamento dos pontos estimados de L( jωu ), L( jωi ) e L( jωc ) no Diagrama de Nyquist. É possível observar não só os pontos originais e finais, como também, a posição dos pontos logo após o cálculo de α. Figura 4.1: Deslocamento dos pontos estimados L( jωu ), L( jωc ) e L( jωi ).. 0.5 Círculo Ms. 0. -0.5. -1 -1. -0.9. -0.8. -0.7. -0.6. -0.5. -0.4. -0.3. -0.2. -0.1. 0. Após a execução do método, a curva de Nyquist foi movida em quase toda sua totalidade para fora da região de máxima sensibilidade do projeto, como mostra a Figura 4.2. Esse resultado impreciso deve-se ao fato de se utilizar no método apenas três pontos da curva de L( jω). Um outro fator que pode comprometer a precisão da técnica é a estimação do pontos, por exemplo, a margem de fase inicial estimada foi ϕest = 54, 54◦ , enquanto que a real foi ϕreal = 52◦ ..

(67) CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO MÉTODO DE RESSINTONIA. 29. Figura 4.2: Curva real de L(s) original e final.. Nyquist Diagram 0.5. Círculo Ms. MG = 10.4 dB. MG = 8.22 dB. Imaginary Axis. 0. -0.5. MF = 52º MF = 67º. -1 -1. -0.5. 0. 0.5. Real Axis. A Tabela 4.1 mostra os valores de Margem de Ganho, Margem de Fase e Máxima Sensibilidade das curvas apresentadas na Figura 4.2. Essa Tabela mostra uma melhora na robustez através do valores de Margem de Ganho, Margem de Fase e Máxima Sensibilidade. Entretanto, a ressintonia não foi capaz de mover toda a curva de Nyquist para fora do círculo Ms . Isto ocorre porque o método proposto utiliza apenas três pontos da curva de L( jω). O erro entre o Ms projetado e o efetivamente alcançado ficou em torno de 2%. Tabela 4.1: Resultados da ressintonia do exemplo 1 para restrição de Ms = 1.5.. Original Ressintonia. MG 8.22 dB 10.4 dB. MF 52◦ 67◦. Ms 1.8 1.53. A Figura 4.3 mostra a resposta do sistema para os controladores inicial e final submetidos a uma entrada degrau e distúrbio de carga. Pode-se verificar a mudança de desempenho do sistema para uma resposta ao degrau antes e após a ressintonia na Tabela 4.2. Enquanto os tempos de resposta e de acomodação praticamente dobraram, o overshoot foi eliminado. Tabela 4.2: Desempenho do sistema a entrada do tipo degrau.. Original Ressintonia. Tresposta 1.39 2.25. Tacomodação 6.38 11.4. Overshoot (%) 16.2 –.

(68) CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO MÉTODO DE RESSINTONIA. 30. Figura 4.3: Resposta no Tempo.. Step Response 1.4 Original Final. 1.2. Amplitude. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Time (seconds). 4.2. Exemplo 2. Na sessão anterior, as etapas de execução do método de ressintonia foram detalhadas para um melhor entendimento. Nesta sessão, foi repetido o método para um sistema de segunda ordem com um controlador PI sintonizado. Considerando que a função de transferência do processo e o controlador PI sintonizado são dados, respectivamente, por: G(s) =. 4.5 s2 + 6s + 4.5. C(s) = 2.14 1 +. e−0.2s. 1 1.47s. (4.14). (4.15). onde, o processo do sintonia inicial do controlador PI foi o mesmo da sessão anterior. A fim de ajustar a robustez do sistema para uma máxima sensibilidade de Ms = 1.4, dá-se início ao procedimento apresentado na Seção 3.6. Através do experimentos Margem de Fase e de Ganho são estimados os pontos no domínio da frequência: L( jωu ) = 0.3308∠−180◦ , onde ωu = 4.36 rad/s L( jωi ) = 0.5916∠−140◦ , onde ωi = 2.44 rad/s L( jωc ) = 1∠−118◦ , onde ωc = 1.37 rad/s. (4.16).