P R O G R A M A DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O E M . E N G E N H A R I A M E C A N I C A V I B R A Ç Ã O E M S I S T E M A S E S T R U T U R A I S P O R M A T R I Z E S DE T R A N S F E R Ê N C I A D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A Ã U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A P A R A O B T E N Ç Ã O DO G R A U D E M E S T R E E M E N G E N H A R I A A N T O N I O E D U A R D O T U R R A F L O R I A N Õ P O L I S , A G O S T O , 1985
V I B R A Ç Ã O E M S I S T E M A S E S T R U T U R A I S P O R M AT RI ZE ST JÊ 's^BTOSf«®í|glffies3^ A N T O N I O E D U A R D O T U R R A E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A P A R A A O B T E N Ç Ã O DO T Í T U L O DE M E S T R E E M E N G E N H A R I A - E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C  N I C A E A P R O V A D A E M S U A F O R M A F I N A L P E L O P R O G R A M A DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O . A P R E S E N T A D A P E R A N T E A B A N C A E X A M I N A D O R A X O M P O S T A DOS P R O F E S S O R E S : Prof. J o s e J o ã o de E s p í n d o l a , Ph.D . N e l s o n D i o g e n e s do Va. P r o f g e n e s do V a l l e , Dr. Ing.
iv A G R A D E C I M E N T O S Â U n i v e r s i d a d e E s t a d u a l P a u l i s t a " J ü l i o de M e s q u i t a Fi. lho" e ao P I C D - C A P E S p e l o a po io f i n a n c e i r o e â U n i v e r s i d a d e Fe de ral de S a nt a C a t a r i n a p e l o a p oi o té cn i c o . Ao P r o f e s s o r J o s é J o ã o de E s p í n d o l a p e l a o r i e n t a ç ã o . Ao a m i g o A n t o n i o C a r l o s R i b e i r o N o g u e i r a p e l a a j u d a e in c e n t i v o . Ao Clube do C a f e z i n h o . Ã Ivani p e l o e x c e l e n t e t r a b a l h o de d a t i l o g r a f i a e a o E i j i p e l o s desen ho s.
A todos que, de a l g u m a forma, c o n t r i b u í r a m p a r a a reali_ z ação deste t ra b a l h o .
Í N D I C E 1 - I N T R O D U Ç Ã O ... ... 1 2 - V I B R A Ç Õ E S DE F L E X Ã O DE V I G A S ... ... ... ... '4 2.1 - V e t o r de E s t a d o e M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a ... 4 2 1 . 1 - G e n e r a l iÜades . . . ,' .4 2.1.2 - E q u a ç ã o de E s t a d o ... 7 2.2 - Ma’tr iz de T r a n s f e r ê n c i a pa'ra um E l e m e n t o de V i g a . 9 2". 31"-1- P r e p a r a ç ã o • p a r a T r a t a m e n t o N u n é r i c o ... •. 14 '2. 4 - S i s t e m a de V i g a s ... . .%>. ... ' !â<6 2.5 - P r o g r a m a ç ã o do M é t o d o ... ... 27 2.6 - Exe m p l o s N u m é r i c o s ... ... 53 3 - V I B R A Ç Õ E S DE F L E X Ã O D E C A S C A S C I L Í N D R I C A S C O M R E F O R Ç O S L O N G I T U D I N A I S ... ... . ... . 39 3.1 - G e n e r a l i d a d e s ... ... ... 39 3.2 - M a t r i z de* Traiís f é r ê n c i a ' ... . 41 3.2.1 - M a t r i z de E s t a d o ... 41 3.2.2 - M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a P o n t o 46 3.2.3 - M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a C a m p o ... 51 4 - E S T R U T U R A S DE C A S C A S A B E R T A S ... ... 54 4.1 - G e n e r a l i d a d e s ... 54 4.2 - V e t o r - d e E s t a d o com C a r r e g a m e n t o E x t e r n o ... 54 4 .3 - V e t o r de E s t a d o R e d u z i d o ... ... ... 56 4.4 - S i s t e m a A b e r t o : C a r r e g a m e n t o no .Primeiro V ã o .. 61 4.5 - R e s u l t a d o s Numéricos. ... . 63
5 - C O N C L U S Õ E S ... ... 72 R E F E R Ê N C I A S ... 74 A P Ê N D I C E I - T é c n i c a de R e d u ç ã o A u t o m á t i c a de G raus de L i b e r d a d e T e r m i n a i s ... . 77 A P Ê N D I C E II - M é t o d o de Lev.errier com M o d i f i c a ç ã o de F a d d e e v 81 A P Ê N D I C E III - E s t r u t u r a s de C a s c a s F e c h a d a s ... 83 vi
S Í M B O L O G I A [ ] M a t r i z q u a d r a d a { } M a t r i z c o l u n a [ ] ^ M a t r i z i n v e r s a w F r e q u ê n c i a c i r c u l a r E M o d u l o de e l a s t i c i d a d e G M o d u l o de r i g i d e z c i s a l h a n t e v C o e f i c i e n t e de P o i s s o n p D e n s i d a d e de m a s s a [A] M a t r i z de e s t a d o [T] M a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a [T(s,.0)] M a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a c a m p o [P] M a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n t o {Z(s}} V e t o r de e s t a d o x , s , z V a r i á v e i s e s p a c i a i s [ V ] , [U] M a t r i z m o d a l de [A]
["Xí-J M a t r i z d i a g o n a l , onde X. são os a u t o v a l o r e s de [A]
* J u , v , w D e s l o c a m e n t o s nas d i r e ç õ e s x, s e z, respect-ivamente n N u m e r o de m e i a s on da ao l o ng o dos s u p o r t e s b ' D i s t â n c i a e n t r e m o n t a n t e s l D i s t â n c i a e n t r e " r e f o r ç o s " q C o n s t a n t e h E s p e s s u r a de c a s c a M o m e n t o p o l a r de i né r c i a Cw C o n s t a n t e de e m p e n a m e n t o
i C; - C o n s t a n t e de St. V e n a n t a R a i o de c u r v a t u r a da c a s c a A Ã r e a da s e ç ã o t r a n s v e r s a l do " r e f o r ç o " A s ,Az ,Cs ,Cz Ver F i Su r a 3 M o m e n t o s de i n é r c i a do " r e f o r ç o " [TP] M a t r i z r e d u z i d a {Z} V e t o r de e s t a d o r e d u z i d o
R E S U M 0
0 m é t o d o de m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a é u t i l i z a d o n a o b t e n ção de f r e q u ê n c i a s n a t u r a i s de s i s t e m a s de v i g a s e de c a s c a s ci. l í n d r i c a s c o m r e f o r ç o s l o n g i t u d i n a i s . A p r e s e n t a - s e , i n i c i a l m e n t e , u m a r e v i s ã o de a l g u n s e l e m e n v j. tos de m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a e i n t r o d u z - s e os c o n c e i t o s de c a m p o e s e g m e n t o p a r a o e s t u d o de s i s t e m a de v i g a s p a r a m o s t r a r a e f i c i ê n c i a do m é t o d o . R e s u l t a d o s n u m é r i c o s são a p r e s e n t a d o s e c o m p a r a d o s c o m c o n h e c i d o s . E s t u d a - s e a r e s p o s t a de u m s i s t e m a de c a s c a s c i l í n d r i c a s r e f o r ç a d a s p o r ’’s t r i n g e r s " , u t i l i z a n d o - s e a t é c n i c a de r e d u ç ã o de graus t e r m i n a i s de liberdade, p a r a c o n t o r n a r as d i f i c u l d a d e s c o m p u t a c i o n a i s i n e r e n t e s ao mét od o. As m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a dos e l e m e n t o s de c a s c a são d e t e r m i n a d a s a p a r t i r dos a u t o v e t o r e s e a u t o v a l o r e s o b t i d o s p e l o m é t o d o de L e v e r r i e r c o m m o d i f i c a ç ã o de Fa dd e e v . Os r e s u l t a d o s de u m e x e m p l o sã o c o m p a r a d o s c o m os de H e n d e r s o n e M c D a n i e l que se u t i l i z a m da t é c n i c a dè s u p e r - m a t r i z .X A B S T R A C T T he t r a n s f e r m a t r i x m e t h o d is u s e d in the c a l c u l a t i o n of n a t u r a l f r e q u e n c i e s of b e a m - t y p e s y s t e m s and c y l i n d r i c a l s h e l l s s t i f f e n e d by s t r i n g e r s in the ax ial d i r e c t i o n . ■ A r e v i e w of some a s p e c t s of the t h e o r y of t r a n s f e r
m a t r i c e s is p r e s e n t e d and the c o n c e p t s of f i e l d and s e g m e n t for s t u d y the b e a m - t y p e s y s t e m are i n t r o d u c e d and d i s c u s s e d as an e f f i c i e n t c o n c e p t in th e p r e p a r a t i o n of g e n e r a l p ro g r a m s .
i
N u m e r i c a l r e s u l t s are p r e s e n t e d and compared.
The r e s p o n s e of c y l i n d r i c a l shells, s t i f f e n e d by stringers, i s ' s t u d i e d t h r o u g h the u s e of a r e d u c t i o n t e c h n i q u e of t e r m i n a l d e g r e e of freedoms.
Th e t r a n s f e r m a t r i c e s of the shell e l e m e n t s are
c a l c u l a t e d f r o m the e i g e n v e c t o r s and e i g e n v a l u e s o b t a i n e d b y the F a d d e e v L e v e r r i e r method.
. ^ The n u m e r i c a l r e s u l t s are c o m p a r e d w i t h p u b l i s h e d l i t e r a t u r e on o t h e r s me th o d s .
C a p í t u l o 1
INTRODUÇÃO
O e s t u d o de v i b r a ç õ e s p o r m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a jã ê f eito a a l g u m tempo, jã que e s t a s se m o s t r a m um a p o d e r o s a f e r r a m e n t a na a n a l i s e de e s t r u t u r a s p e r i ó d i c a s , como m o s t r a m os t r a b a lhos de Lin e D o n a l d s o n |3 | , M c D a n i e l 14 |, M e r c e r e S e a v e y |ó j e, m a i s r e c e n t e m e n t e , Irie, Y a m a d a e M u r a m o t o 11 7 1 . Este ti p o de es t r u t u r a ê de m u i t a u t i l i z a ç ã o na a t u a l i d a d e co mo m o s t r a m os se g ui n t e s e xe mp lo s: g r a n d e s o l e o d u t o s c o m a n é i s de r i g i d e z i g u a l m e n te e s p a ç a d o s , a lt o s e d i f í c i o s t en do u m a e s t r u t u r a u n i f o r m e e a n d a res idên ti co s, f u s e l a g e m de a e r o n a v e s c o n s i s t i n d o de c a s c a s c i l í n d r i c a s u n i f o r m e s r e f o r ç a d a s c o m " s t r i n g e r s " i g u a l m e n t e e s p a ç a d o s , e t c • • • E s t e t r a b a l h o se inse re n u m a l i n h a de e s t u d o s s o b r e apljl c a ç õ e s de m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a , em c u r s o no L a b o r a t õ r i o de V i b r a ç õ e s e A c ú s t i c a , t e n d o jã p r o d u z i d o a l g u n s r e s u l t a d o s 12 | , 114 1 , 11 5 |. 0 que a q u i se p r o p õ e a f a z e r ê e s t u d a r i n i c i a l m e n t e o c o m p o r t a m e n t o d e , u m s i s t e m a de v i g a s c o m a i n t r o d u ç ã o dòs concei. tos de c a m p o e s e g m e n t o p a r a m o s t r a r a e f i c i ê n c i a do m é t o d o de m a tr iz de t r a n s f e r ê n c i a . P o s t e r i o r m e n t e f a r - s e - ã o e s t u d o de u m s i s t e m a de c a s c a s c o m r e f o r ç o s l o n g i t u d i n a i s on de o f a t o r e l e v a n t e é a u t i l i z a ç ã o
2
da t é c n i c a de r e d u ç ã o de g r a u s de l i b e r d a d e t e r m i n a i s e o u s o de a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s n o c a l c u l o da m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a . Sã o d e s c r i t o s a g o r a os c o n t e ú d o s dos c a p í t u l o s e apêndi. ces que a p a r e c e m n a s e q u ê n c i a . No C a p í t u l o 2 são a p r e s e n t a d o s o v e t o r de e s t a d o e as ma t ri z e s de t r a n s f e r ê n c i a que f u n c i o n a r ã o c o m o -ferramentas bãsic-as no d e s e n v o l v i m e n t o de todo o estudo. E s p e c i f i c a m e n t e , f a r - s e - á r e f e r ê n c i a s a u m s i s t e m a de v i g a s o n d e a p r e s e n t a m - s e a l g u n s e x e m p i o s po r este m é t o d o e f a z - s e c o m p a r a ç ã o c o m r e s u l t a d o s conhecji d o s . No C a p í t u l o 3 é a p r e s e n t a d a a t e o r i a b ã s i c a do e s t u d o de c a s c a s c o m r e f o r ç o s l o n g i t u d i n a i s p o r m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a . No C a p í t u l o 4 são a p r e s e n t a d o s e s t u d o s de u m s i s t e m a aber to de c a s c a s r e f o r ç a d a s , b e m c o m o ê i n t r o d u z i d a a t é c n i c a da r e d u ç ã o de g r a us de l i b e r d a d e te rm i n a i s . D e f i n e - s e t a m b é m as c a r a c t e r í s t i c a s e s t r u t u r a i s de u m e x e m p l o o n d e c o m p a r a - s e os r e s u l t a d o s o b t i d o s c o m a u t i l i z a ç ã o da t é c n i c a de r e d u ç ã o e a u t o v a l o r e s e au t o v e t o r e s c o m os o b t i d o s p o r H e n d e r s o n e M c D a n i e l |l|. 0 C a p í t u l o 5 r e un e c o n c l u s õ e s e s u g e s t õ e s de c o n t i n u i d a de d e st e estudo. N o A p ê n d i c e I ê a p r e s e n t a d a a t é c n i c a de r e d u ç ã o a u t o m á tica de g raus de l i b e r d a d e te rm i n a i s .No A p ê n d i c e II é a p r e s e n t a d o o m é t o d o de L e v e r r i e r c o m m o d i f i c a ç ã o de F a d d e e v p a r a c a l c u l o de a u t o v e t o r e s e a u t o v a l o r e s de u m a m a t r i z q ua dr ad a. F i n a l m e n t e n o A p ê n d i c e III. a p r e s e n t a - s e a t e o r i a de u m s i s t e m a f e c h a d o de c a s c a s c o m r e f o r ç o s l o n g i t u d i n a i s , d i s c u t e - s e as d i f i c u l d a d e s n u m é r i c a s p a r a c á l c u l o de sua r e s p o s t a , b e m co m o a p r e s e n t a - s e u m a s u g e s t ã o p a r a p o s s í v e l solução*
4
C
a p í t u l o2
oV
i b r a ç õ e s d eF
l e x ã o d eV
i g a s 2.1. V e t o r de E s t a d o e M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a 2 . 1 . 1 . G e n e r a l i d a d e s O v e t o r de e s t a d o de u m c e r t o p o n t o de u m s i s t e m a elãsti^ co ê u m a c o l u n a c u j a s c o m p o n e n t e s são o d e s l o c a m e n t o n e s t e p o n t o e as f o r ç a s i n t e r n a s c o r r e s p o n d e n t e s . E s t e v e t o r p e r m i t e identifi^ c a r o s e s t a d o s d e d e f o r m a ç ã o e de t e n s ã o do s i s t e m a no p o n t o a q u e se r e f e r e ; d a í a s u a d e n o m i n a ç ã o . N o c a s o e m e s t u d o , d a v i b r a ç ã o t r a n s v e r s a l de um s i s t e m a c o m m a s s a d i s t r i b u í d a , t e m - s e d o i s d e s l o c a m e n t o s i n d e p e n d e n t e s , q u e s ã o o l i n e a r t r a n s v e r s a l w e o a n g u l a r \p. As f or ç a s i nter n a s s ã o o e s f o r ç o c o r t a n t e V e o m o m e n t o f l e t o r M. D e s s a forma, p o d e - s e m o n t a r o v e t o r de e s t a d o p a r a u m d e t e r m i n a d o p o n t o i: { Z .} ={Z>i
=[W i -,
M.,
V i ]T (2.1.1)A
o r d e m d o s c o m p o n e n t e s f oi e s c o l h i d a de forma que, c om o se p o d e r á c o n s t a t a r p o s t e r i o r m e n t e , as m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a r e s u l t e m s i m é t r i c a s e m r e l a ç ã o a d i a g o n a l s e c u n d á r i a .A
c o n v e n ç ã o de o r i e n t a ç ã o d e s s a s c o m p o n e n t e s p o d e se r o b s e r v a d a na F i g u r a 2 .1 . ■? / 'VFig - rra 2 . 1 - C o n v e n ç ã o d.e-Òri-éntacâo
S e j a m a g o r a d o i s v e t o r e s de e s t a d o do -s is tem-a co-Bs-id-ersa- d o . ' Se u m - ' V é t o r ^ e e s t a d o , q u a n d o m u l t i p l i c a d o po r .una m a t r i z , -Sórnecer o o u t r o v e t õ r , - d i z - s e que esta e a ’’matriz, de t r a n s í e r ê n
cia" qne os re l a c i o n a .
• Se -os dois v ô t o r e s r e p r e s e n t a m p.ontos d i s t i n t o s -êe u m sis tema c on tí nu o, p o r e x e m p l o , os p o n t o s i e i -1 , d i z - s e que a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a é u m a m a t r i z de campo. E s t a s i t u a ç ã o p o d e ser d e s c r i t a m a t e m a t i c a m e n t e da s e g u i n t e forma: f Z ) i - [T CjH Z Í j., C . 1.2) o nd e [Tc^] é a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a c a m p o qu e r e l a c i o n a os ve t or es de e s t a d o n o s p o n t o s i e i -1 . Se, e m o u t r a s i t u a ç ã o , t i v e r - s e , p o r e x e m p l o , u m a m a s s a c o n c e n t r a d a a p l i c a d a e m p o n t o i do si s te m a , os v e t o r e s de e s t a d o i m e d i a t a m e n t e a ntes e i m e d i a t a m e n t e ap os este p o n t o são d i f è r e n tes, é m f u n ç ã o da f o r ç a de i n é r c i a da m a ss a . D e u m m o d o g e r a l , c a
6
da p o n t o e m que h a j a u ma d e s c o n t i n u i d a d e no si stema, n e c e s s i t a ser d e s c r i t o p o r dois v e t o r e s de e s t a d o , que s erão i d e n t i f i c a d o s da
« , s e g u i n t e forma: £ D -{Z}. (a e s q u e r d a ) e { Z } ^ (ã d ir eita) E s t e s v e t o r e s e s t ã o r e l a c i o n a d o s po r um a m a t r i z de tran_s f er ê n c i a ; e e s t a r e c e b e a d e n o m i n a ç ã o de m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n to , ou p u n t u a l , ou de es ta ç ã o . 0 r e l a c i o n a m e n t o a c i m a p o d e ser d e s c r i t o m a t e m a t i c a m e n t e p e l a s e g u i n t e e qu ação: [ P i H Z } ? (2.1.3) onde [P^] ê a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n t o que r e l a c i o n a os v e t £ res de e s t a d o no p o n t o i. Se, p o r o u t r o lado, t i v e r - s e u m a s i t u a ç ã o o n d e n o s i s t e m a e l á s t i c o e x i s t e u m a d e s c o n t i n u i d a d e n o f i n al do c a m p o d e f i n i d o p e l o s p o n t o s i e i -1 , a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a que r e l a c i o n a os v e t o r e s de e s t a d o n e s t e s p o n t o s ê r e p r e s e n t a d a m a t e m a t i c a m e n t e por: { Zj ? = [T ci H Z ) i _ 1 {Z }1? = [Pi ] { Z} ? = [ P ^ [Tci ] { Z} i _ 1 {Z}P = [T]{Z)i _ 1 (2.1.4) logo ou
o n d e se o s i s t e n a for p e r i õ d i c o , a m a t r i z [T] d e n o m i n a - s e m a t r i z
ãe t r a n s f e r ê n c i a período..
Q u a n d o se t e m e s f o r ç o s e x t e r n o s a g i n d o sobre o s i s t e m a , a sua p r e s e n ç a se faz n o t a r m a t e m a t i c a m e n t e p e l a a d i ç ã o de v e t o r e s c o l u n a que os r e p r e s e n t a m . A s s i m sendo, no caso em que se t e n h a m es f o r ç o s concentradó-s. (por e x e m p l o em i) ,. a e q u a ç ã o ( 2 . 1 . 4 ) d e v e ser m o d i f i c a d a da s e g u i n t e forma: . {Z}® = [ T ] ( Z} i _ 1 + { F } ± o n d e r e p r e s e n t a o e s f o r ç o e x t e r n o c o n c e n t r a d o ei;] i . 2 . 1 . 2 . E q u a ç ã o de E s t a d o Os p r i n c í p i o s b l s i c o s de m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a f o r a m r e f e r e n c i a d o s n a s e ç ão a n t e r i o r e p o d e m ser e n c o n t r a d o s em m u i t o s t e xt os que t r a t a m de e n g e n h a r i a e s t r u t u r a l e c o n t r o l e a u t o m á t i c o (por e x e m p l o |8 [ e j9[) . C o n t u d o , a l g u m a s c o n si de ra çõ es . d e v e m a q u i ser feitas. E s t a s c o n s i d e r a ç õ e s f o r a m f e i t a s p o r E s p í n d o l a |2| e, a p a r t i r de u m m o d e l o m a t e m á t i c o M de u m s i s t e m a f í s i c o S, t e m - s e o c o n c e i t o de e s t a d o do sistema. 0 p a p e l do m o d e l o m a t e m á t i c o ê d e s c r e v e r a l g u n s a s p e c t o s do c o m p o r t a m e n t o r ea l do si st em a. N e s t e t r a b a l h o , o m o d e l o m a t e m á t i c o ê c o n s t i t u í d o de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s . (2.1.5) <
8
E m t e o r i a de c o n t r o l e , o c o n c e i t o de e s t a d o de ü m s i s t e m a - f í s i c o ê n o r m a l m e n t e a s s o c i a d o a u m i n s t a n t e p a r t i c u l a r de t e m po. Po r e x e m p l o , a p l i c a n d o - s e u m a c e r t a e n t r a d a ao s i s t e m a físi. co e o b s e r v a n d o - s e a saída, e s t a d e p e n d e r a do e s t a d o i n i c i a l do s i s t e m a e da e n t r a d a a p l i c a d a . P o r t a n t o , o m o d e l o m a t e m á t i c o do s i s t e m a c o n s i s t e de duas c l a s s e s de eq ua ç õ e s : a q u e l a s qu e d e s c r e v e m o e s t a d o do s i s t e m a e a q u e l a s que d e s c r e v e m a s àí da do s i s t e ma, das q u a i s sõ as p r i m e i r a s são r e l e v a n t e s n e s t e t r ab al ho . P a r a u m s i s t e m a físi co a e q u a ç ã o de e s t a d o p o d e ser e s c r i t a como:í Z C t D }* = g ({ Z (t ) } , {f(t)}, t) (2.1.6) o n d e {Z(t)} ê u m v e t o r c o l u n a , r e p r e s e n t a n d o o e s t a d o do s i s t e m a no i ns ta nt e t, {.f (t) > ê u m v e t o r e n t r a d a e { Z ( t ) } ‘ ê a d e r i v a d a de { Z (t )} no tempo. Se o s i s t e m a ê l i n e a r a e q u a ç ã o (2.1.6) p o d e ser e s c r i t a c o m o { Z ( t ) } ‘ =; [ A ( t ) H Z ( t ) } :+ [ B ( t ) ] { f ( t ) } (2.1.7) o nd e [ A ( t ) ] e [B(t)] são m a t r i z e s n x n e nxp, r e s p e c t i v a m e n t e , e (f(t)} ê u m v e t o r c o l u n a pxl. A g o r a , p a r a a f i n a l i d a d e d e s t e t r a b a l h o , o c o n c e i t o de e s t a d o deve ser a d a p t a d o . E m vez de r e f e r i r - s e ao e s t a d o do s i s t e m a no i n s t a n t e t, f a l a r - s e - á s ob re o e s t a d o do s i s t e m a e m u m a e s t a ç ã o p a r t i c u l a r . 0 e s t a d o i n i c i a l p a s s a r á a ser u m a e s t a ç ã o de r e f e r ê n c i a . P o r t a n t o , a d i m e n s ã o t e m p o s e r á s u b s t i t u í d a p o r
u m a d i m e n s ã o e s p a c i a l s. F e i t a e s t a a d a p t a ç ã o na e q u a ç ã o (2.1.7), ter-se-ã: { Z (s ) } * = [A ( s ) ] ( Z ( s ) } + [B ( s ) ]{£ ( s ) } (2.1.8) onde { Z ( s ) } ’ ê a d e r i v a d a e s p a c i a l de {Z(s)}. N a m a i o r i a das e s t r u t u r a s de e n g e n h a r i a , as m a t r i z e s [A(s)] e [B (s ) •] i n d e p e n d e m de s. N e s t e caso, a e q u a ç ã o de e s t a d o (2 .1 .8 ), po de ser e s c r i t a c om o { Z ( s ) } ’ = [A]{ Z ( s ) } + [ B ] { £ ( s ) } (2.1.9)
Se n e n h u m a e n t r a d a for a p l i c a d a ã e q u a ç ã o acima, ela sim p l i f i c a r - s e - a para:
:{Z ( s ) }* = [A ] { Z ( s ) } (2.1.10)
o nd e [A] ê a m a t r i z de e stado.
2.2. M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a p a r a u m E l e m e n t o de V i g a
C o n s i d e r a - s e o ca so de u m s e g m e n t o de v i g a c o n t í n u a de s eç ão t r a n s v e r s a l c o n s t a n t e e nt re du as e s t a ç õ e s i-1 e i ( Fi g u r a
10
F i g u r a 2 . 2 - E t e m e n t o ' de Viga.
A e q u a ç ã o do m o v i m e n t o d e st e s e g m e n t o p o d e s.er ã & rivacLa da e q u a ç ã o b á s i c a de . f lexão de uma viga j 3 | . Isto ê , - par.a«. • mov_i m e n t o v i b ra tó ri o,
C T 3'lw
J x ~ = “ p (2 .2 . 1 5
o nd e p ê a d e n s i d a d e de m a s s a , A a área da s eç ão transver.sa.1:, :e c a d a u m dos p o n t o s a c i m a e m w i n di ca u m a d i f e r e n c i a ç ã o p a r c i a l em r e l a ç ã o ao tempo. S u p õ e - s e que \\r(x,t) = x e lü)t e a e q u a ç ã o do m o v i m e n t o r e d u z - s e p a r a ou rl1* Y 2 E I = pAo3 X dx d“X d x4 - XX = 0 (2 .2 .2 ) (2.2.3) oiide X = pAw E I (2.2.4)
D a s r e l a ç õ e s de d e s l o c a m e n t o e e s f o r ç o s i n t e r n o s t e m - s e d w . d t p M d M ,, d V . 2 3 j = ,|’: a £ = - - E r ; H j = v e a ? ' - p A “ w qu e p o d e m ser r e e s c r i t a s n a f o r m a m a t r i c i a l : w 9 0 1 0 0 w * 7 - 0 0 -1/EI 0 < M 0 2 0
0
1 M V .. 1I
... . -i 00
0 V (2.2.5) onde o índice " l i n h a " r e p r e s e n t a d e r i v a ç ã o em r e l a ç ã o a x. A e q u a ç ã o (2.2.5), q u a n d o e m n o t a ç ã o s i m p l i f i c a d a , se a p r e s e n t a da s e g u i n t e forma: { Z } ’ = [ A ] { Z } ( 2 . 2 . 6 ) A e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l m a t r i c i a l (2.2.6) p o s s u i , à seme l h a n ç a das e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s co mu n s , a s o l u ç ã o a p r e s e n t a d a n a e q u a ç ã o (2.2.7) a b a i x o 110 | . { Z (x) } = e [ A ] x {Z(0)} (2.2.7) C o m p a r a n d o - s e as e q u a ç õ e s (2.1.2) e (2.2.7) c h e g a - s e â c o n c l u s ã o de que; [TC i ] = e [ A ] x ,(
2.
2.
8)
d es de qu e se c o n s i d e r e que os p o n t o s i e i- 1 e s t ã o d i s t a n c i a d o s12
de u m a d i s t â n c i a x e n t r e si, de f o r m a que { Z } = (Z(0.).} {Z}. = {Z(x)}.
De a c o r d o c o m o t e o r e m a de C a y l e y - H a m i l t o n p o d e - s e e s c r e v e r que
j [ I ] + C2 [A] + C3 [A] + C4 [A] :■ Í[Â] (2.2.9)
A s cõivstant.e-s. , i = 1 , 2 ,3,4 podem s.e.r o b t i d a s da solviçã-o d a s e q u a ç õ e s a b a i x o '■ i -X 2 . - 3 f C X p - e 1 = C 1 + C 2 ' j + C 3 X Í . +■ C 4'^ . ■ (2.2.10) onde ós ^ i ’s sao os d i s t i n t o s a u t o v a l o r e s de O b t e m - s e e n t ã o At X e 1 = C1 + C 2 X 1 + C 3 X 1 + c4 x1 -X, x e 1 = - + C 3 X 1 - CW X ? x e = C1 + C 9 X ? + C 3 X2 + C4.x2 — X ^ x e = ■ G 2 X 2 + C 3 X2 '2 _ r 3 4 2 V De o n d e tem- se X^ c o s h ( X 2 x ) - X2 c o s h ( X ^ x ) (X*-- *■) (2 .2 .1 1 )
3 3 X^ s e n h ( X2x) - X2 senh(X-^x) = r X1 X2 C À 1 " X 2^ c o s h ( X , x ) - c o s h ( A9x) r - _______ ±_____________ 1 3 ~ ( * 1 - x 2 ) X2 s en h ( A ^ x ) - A^ s e n h ( A2x) C = -H 2 2 X i A2 (Ai - a 2 ) onde A^ = \ I - ■ e A^ = i Aj EI U t i l i z a n d o - s e as s e g u i n t e s r e l a ç õ e s c os h( ia ) = cosa s en h(ia) = isena o b t e m - s e : C-^ = — [cosh(A^x) + eos(A ^x )] C, = — ij- [ c o s h ( A nx) - co s( A , x ) ] ° 2 X 1 1 1 C, = — [senh(X,x) - sen(A, x) ] 2 X 1 1 1 (2.2.1 2) ( 2 . 2 . 1 3 . a) ( 2 . 2 . 1 3 . b ) (2.2.14)
14 A p l i c a n d o - s e os r e s u l t a d o s de (2.2.14) n a e q u a ç ã o (2.2.9), t e m - s e a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p a r a u m e l e m e n t o de v i g a u n i f o r me de c o m p r i m e n t o x: [Tc] ^ 1 p A w2 ^ 4 EI - P A w2 C. ■1 - p A w : - p A w2 C9 -pAto2 C. ■_Ü3 EI . h . EI C 1 pAo)2 EI _4 EI S EI (2.2.15) 2.3. P r e p a r a ç ã o p a r a T r a t a m e n t o N u m é r i c o Na o b t e n ç ã o das c o n s t a n t e s (2.2.14) as r a í z e s X-^x p o d e m a s s u m i r v a l o r e s e l e v a d o s e, e m c o n s e q u ê n c i a d i s t o , c o s h ( X ^ x ) . e s e nh (x ^x ) t o r n a m - s e m u i t o g r a n d e s , d i f í c e i s de s e r e m t r a t a d o s n u m e r i c a m e n t e . Isto o c o r r e q u a n d o se p e s q u i s a m m o d o s e l e v a d o s , co m o o c o r r e e m l i n ha s de t r a n s m i s s ã o de e n e r g i a e l é t r i c a . E m f u n ç ã o d e s t a s d i f i c u l d a d e s , à p l i c a m - s e a l g u n s artifjí c i o s p a r a a d e q u ã - l o s a u m m e l h o r t r a t a m e n t o n u m é r i c o , qu e p a s s a m a ser aq ui d e s c r i t o s . M u l t i p l i c a n d o - s e e s t a s c o n s t a n t e s p o r c o sh (X ^ x) e d i v t d i n d o - s e t e m- se . C o s h ( X , x ) c ós ( X , x ) C --- 3— [ 1 * 2 coshíX^x) s.
e u s a n d o - s e as s e g u i n t e s r e l a ç õ e s c o s h a = e + e: ( 2 . 3 .1 . a) s e n h "a = e - ea - a O . i-' • ( 2 . 3 •1 .b) c o s h ( X1x) 2cos (À x) --- J.. [i + 0 A,X' -â-x-i- e J. + e i" o.u c 'o s h (X x ) [1 + 2e"‘.A ix g os (X^x) 1 + e .1 ] ( 2 . 3 . 2 . a) De manei ra a n á l o g a . t.em-.se c o s h ( x1x) 2 a-, l - e -2x l* l + e ~2x lx s-énfXXjX} + 2 e ‘"A ix -ü + e "2x ix (2.3.2 c o s h U ^ x ) 2 2A-, ^ cos (A -, x) 1 - 2e " lx ----— l + e “2X lx (2.3. 2.c.) C 4 ■ c o s h (A ^x) 2a■ l - e -2 x lx „ - M sen(X x) --- _ 7 e i --->— (2 . 3 .2 .d) l + e '2 X lx l +e -2X lx A d o t a n d o - s e a s e g u i n t e n ot aç ã o : , -X,x c o s t X lx) a ■= 2e 1 -. m 1+e 1 (2.3.3)
t e m - s e então (2.3.6) c os h( À, x ) C 1 = --- -±— (1+a) c os h C X i X ) C7 = --- i ~ ( y +3) 2 X 1 c os h( A, x ) C. = ---r-i— (1-a) 2 X 1 c o s h ( A x) C = --- 5-^— (Y-6 ) 4 2 X 1 As c o n s t a n t e s a c i m a a g o r a p o d e m ser t r a t a d a s n u m e r i c a m e n te, a m e n o s do t er m o em c o s h ( X ^ x ) , s e m d i f i c u l d a d e s . Es te, e n t r £ tanto, p o d e r ã ser e l i m i n a d o na s c o m p u t a ç õ e s n u m é r i c a s , c o m o se ve rã adiante. 2.4. S i s t e m a de V i g a s T r a t a r - s e - ã a q u i de v i g a s s o br e a p o i o s r í g i d o s . P a r a a a b o r d a g e m n u m é r i c a g er al d e s s e s s i s t e m a s i n t r o d u z i r - s e - á a l g u n s
c o n c e i t o s . ' C a m p o - 0 c a m p o de u m s i s t e m a de v i g a s e d e l i m i t a d o p o r dois a p o i o s r í g i d o s , o u p o r u m b a l a n ç o d e l i m i t a do p o r u m a p o i o s im p le s. S e g m e n t o - 0 s e g m e n t o ê d e l i m i t a d o d e n t r o de u m c a m p o p o r d e s c o n t i n u i d a d e s , ou seja, c a d a d e s c o n t i n u i d a d e r e p r e s e n t a o f i m de u m s e g m e n t o e o i n í c i o de ou J • tro . . . ,/y v j! . . São c o n s i d e r a d a s d e s c o n t i n u i d a d e s , p o r e x e m p l o , m u d a n ç a de á re a da s e çã o t r a n s v e r s a l , m a s s a c o n c e n t r a d a , r o t u l a s , a p o i o s s i m p l e s (extremo dos c a m p o s ) . A s e g u i r a p r e s e n t a - s e a l g u n s e x e m p l o s s i m p l e s de s i s t e m a de v i ga s onde d e t e r m i n a - s e a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a , l e v a n d o - s e e m c o n s i d e r a ç ã o c a m p o s e s e g m e n t o s . E x e m p l o 1. M a s s a P u n t u a l S ej a a F i g u r a 2.4.1 o n d e t e m - s e u m a v i g a s i m p l e s m e n t e a p o i a d a c o m u m a m a s s a c o n c e n t r a d a , os a p o i o s i n d i c a m que t e m - s e u m c a m p o e a m a s s a c o n c e n t r a d a i n d i c a que se t e m d o i s s e g m e n t o s q u e são r e p r e s e n t a d o s p o r A e B de c o m p r i m e n t o s 2.^ e respect_i v ã m e n t e .
18 -n -£■ " X F i g u r a 2.4.1 - V i g a com M a s s a C o n c e n t r a d a S ej a a m a t r i z [Tm] do p o n t o ■ V 1 0 0 -Mw2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2.4.1) onde { Z} 2 = [ T m ] í Z> 2 (2.4.2) C h a m a n d o - s e de m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a [A] a m a t r i z q u e r e l a c i o n a o v e t o r de e s t a d o { Z)^ n a e s t a ç ã o 1 c o m o v e t o r de e s t a E do {Z}2 » a que r e p r e s e n t a o s e g m e n t o A de c o m p r i m e n t o e de [B] a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a que r e p r e s e n t a o s e g m e n t o B de compri. m e n t o &2 > p o d e - s e escrever. {■?}? = [A]{Z> (2.4.3) {Z} [B]{Z}° (2.4.4) c o m (2.4.2), (2.4.3) e (2.4.4) t e m - s e
{ Z) 3 = [B] [Tm] [ A ] { Z} ;1 (2.4.5) ou { Z> 3 = [ T ] { Z> 1 (2.4.6) o n d e [T] ê a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a que r e l a c i o n a os v e t o r e s de e s t a d o dos apoios. E x e m p l o 2. R o t u l a P e r f e i t a i, \ i I-V S ej a a F i g u r a 2.4.2 o n de t e m - s e u m a vi ga s i m p l e s m e n t e a p o i a d a c a r a c t e r i z a n d o u m campo, e uma r o t u l a que d e l i m i t a os d oi s s e g m e n t o s A e B de c o m p r i m e n t o s e r e s p e c t i v a m e n t e . I j ] À~ Ã ? ~b l A 1 1 I ‘2 13 F i g u r a 2 . 4 . 2 - V i g a c o m R o t u l a P é r f e i t a t e m - s e (Z = [A] {Z } 1 (2.4.7) E o n d e Í Z> 2 = v e t o r de e s t a d o a e s q u e r d a da r o t u l a [A] = m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a do s e g m e n t o A de c o m pr i me n- to 'i - (Z), = v e t o r de e s t a d o n o a p o i o 1
20 L e v a n d o - s e e m c o n s i d e r a ç ã o q u e no a p o i o l w ^ = 0 e a r o t u l a n ã o te m m o m e n t o , o u seja, M2=0 , p o d e - s e e s c r e v e r ou > * w 2 E a ll * a l2 a 13 a 14 ' / *\ w i ^ 2 a 2 1 a 2 2 a 23 a 2 4 ♦í < > = y (2.4.8) M 2 a 31 a 32 a 33 a 34 M i V 2 » • a 41 a 42 a 43 a 44
V
t w2 =a12^i
+ a 13M l + a 14V l (2 . 4 . 9 . a) ^ 2 = * 2 2 ^ 1 + a 2 3M 1 + a 24V l ( 2 . 4 . 9 .b)0
=a32^i
+ a 33M l + a 34V l (2.4.9.C) V 2 = & ^2 ^1 + a 43M l + a 44V l (2 . 4 . 9 .d)
De (2.4.9.c) 34 (-a 32^1 + a 33M l^ S u b s t i t u i n d o - s e (2.4.10) e m ( 2 . 4 . 9 . a) e (2.4.9.b) (2.4.10) a 3 2 ' a 14 34 ) + (a13 a 33 * a 14 34 ) M X * (2.4.11) a 3 2 * a 24 a 3 3 * a 24 * 2 “ C a 2 2 - - < a 2 3 ' (2.4.12) 34 34 ou na f o r m a m a t r i c i a l 2 *2j *1 M, (2.4.13) s.E s c r e v e n d o - s e a g o r a a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a do s e g m e n to B de c o m p r i m e n t o D { Z} 3 = [B]í Z > 2 ( 2.4.14) ou w 3 \ l b 12 b 13 b 14 W 2 *3 b 2 1 b 22 ' b 23 b 24. *2 > i < > M 3 b 31 b 32 b 33 b 34 M 2 V 3 b 41 b 42 b 43 b 44 V 2 (2.4.15) L e v a n d o - s e e m c o n s i d e r a ç ã o que n a e s t a ç ã o 3 t e m - s e u m a p o i o si mp le s, ou seja, W j= 0 e na r ó t u l a ^2 =0 , p o d e - s e e s c r e v e r (2.4.15) como 0 = V = m3 = V, = b llw 2 + b 12^2 + b 14V 2 b 21w 2 + b 22^2 + b 2 4 V 2 b 31W 2 + b 32 ^2. + b 34V 2 b 41W 2 + b 42*2 + b 44V 2 ( 2 . 4 . 1 6 . a) ( 2 . 4 . 1 6 . b) (2 .4.16.C) ( 2 . 4 . 1 6 . d) De ( 2 . 4 . 1 6 . a) t e m - s e V 2 = -’14 (b llW 2 + b1 2 ^2 ^ S u b s t i t u i n d o - s e (2.4.17) e m (2.4.16.b) e (2.4.16.c) (2.4.17) b ll 'b 24, • b 1 2 ‘b 24,,l, ^ = Cb2 1 ---- - ) w2 + Cb 2 2 ~ ^ 2 14 14 (2.4.18) v
22 i l»-, ~ • b „- M 3 = (b31 - ■ - ~ ) w2 + (b3 2 - - ip2 (2.4.19) 14 14 o u n a f o r m a m a t r i c i a l
v
B W 2 'K
j
v.
(2.4.20) S u b s t i t u i n d o - s e a g o r a (2.4.13) e m (2.4.20) ^ 2 M, B * 1 l-M-, (2.4.21) ou % M, h M n (2.4.22) onde [T] ê a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a r e d u z i d a qu e r e l a c i o n a o . ve tor de e s t a d o na e s t a ç ã o 1, c o m o v e t o r de e s t a d o na s eç ão 3.C o n s i d e r a n d o - s e a g o r a o c a s o da F i g u r a 2 . 4. 3 o n d e t e m - s e u m a vi ga c o m v á r i o s a p o i o s e dois c a m p o s e m b a l a n ç o nos e x t r e m o s . ! a
T
T
! d ! F i g u r a 2 . 4 . 3 - S i s t e m a de V i g a : T e m - s e e n t ã o q u a t r o c a m p o s q u e são d e l i m i t a d o s p e l o s a p o i o s e b a l a n ç o s e suas m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a se rão r e p r e s e nt a da s p o r [A], [ B ] , [C] e [D]. D a s r e l a ç õ e s de m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a p o d e - s e e s c r e v er {Z}| [B]ÍZ}J í z } | = [C3 ÍZ>5 (2.4.23) (2.4.2 4) C o n s i d e r a n d o - s e qu e nos a p o i o s n ã o se t e m d e s l o c a m e n t o m o : ou seja, w= 0 , p o d e - s e e s c r e v e r a e q u a ç ã o ( 2 0 b ll b l 2 b 13 b 14 < 0 ^ 2 b 2 1 b 2 2 b 23 b 24 * 1 ► -- < * M 2 b 31 b 32 b 33 b 34 M 1 vS 4 , b 41 b 42 b 43 b 4 4 . v ? . (2.4.25) onde a p e n a s os e s f o r ç o s c o r t a n t e s são i n f l u e n c i a d o s p e l a p r e s e n ç a do a po io que f a r ã a p a r e c e r u m a f o r ç a a d i c i o n a l , p o r i s s o q u e se re E D p r e s e n t a n a e q u a ç a o (2.4.2 5) a c i m a e , apenas. P o d e - s e e s c r e v e r a e q u a ç ã o a c i m a de f o r m a e xp a n d i d a : ' 0 jp2
M-b l2 + b 1 3 M l + b 1 4 V l = b 2 2 ^ 1 + 2 3 1 + b ? A ^ D '24v 1 -D = b3 2 ^ + b3 3M1 + b3 4V1 = b 4 2 * l + b 43Ml + b 4 4 V l ( 2 . 4 . 2 6 . a) ( 2 . 4 . 2 6 . b) ( 2 . 4 . 2 6 . c) ( 2 . 4 . 2 6 . d)
24 De ( 2 . 4 . 2 6 . a) v i - - r ~ íhi 2 h * b i 3 - v 14 (2.4.27) S u b s t i t u i n d o - s e (2.4.27) e m (2.4.26.b) e ( 2 . 4 .2 6. C) , t em - s e b l 2 ’ b 2 4 b i 3 ' b ? 4 ^ 2 = C b 2 2 " — ---— ^ + (b^ " 23 ■ -3M, 14 14 b l 2 *1 T ^ u 33 b 1 2 ’ b 34 b Î 3 ‘b ^4 M9 = (b3 2 - -±±---— ) ^ + ( b „ - _± ^_w£z)Mi 14 14 ou na f or ma m a t r i c i a l , ^2 Mo B M-. (2.4.28) onde rh b 1 2 ' b 24. Cb2 2
---:---)
'14 r, 12 34. 3 2 ---- T--- } 14 rk b 1 3 ' b 24, (b2 3 ---) 14 ru b 1 3 ’b 34, 33 " — b---) 14 S u b s t i t u i n d o - s e (2.4.27) e m (2.4.26.d), t e m - s e Vz = Cb4 2 ---- --- ^12 44-, + ^ 4 3 ---T---(U 13 4 4 ) u~M 1 14 14 (2.4.29) F o r m u l a s a n á l o g a s p o d e m ser e s c r i t a s p a r a M. V D . E \> 2 e 3 VM q =V q = 0 e r e p r e s e n t a n d o - s e a r e l a ç ã o m a t r i c i a l e nt re a esta.ção ze ro e a e s t a ç ã o 1 por: {1}\ = [ A ] { Z } Q (2.4.30) e que no a p o i o 1 w ^ =0 , p o d e - s e e s c r e v e r que: / \ ’ 0 a ll a 1 2 a 13 a l4 w 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .. v » a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 24 i M 1 a 3 1 a 32 a 33 a 34 0 V? a 4 1 a 42 a 43 a 44 0 >» ou a i nd a 0 = a n v0 + a 1 2 * 0 ( 2 . 4 . 3 1 . a) * 1 = a2 1w Q + a 2 2 ^ 0 ( 2 . 4 . 3 1 . b) M 1 = a 31W 0 + a 32^0 ( 2 . 4 . 3 1 . c) V? = *41*0 + a 42^0 ( 2 . 4 . 3 1 . d) w o _ & 1 2 a ll 'Po (2.4.32) S u b s t i t u i n d o - s e C2.4.32) e m ( 2. 4.31.b) e (2 .4 .31.c), t e m - s e
26 ou na f o r m a m a t r i c i a l onde > 1 «1 » > » s * Ã ' % (2.4.33) Ca 22 a l 2 'a 21. 11 {A} = S a 12 ' a ^ 1 ta 32 -a 11 e em ( 2 . 4 . 3 1 . d) V E - fa a 1 2 * a 4l V 1 - <~a 42 3 a ll (2.4.34) C o n s i d e r a n d o - s e o e f e i t o do e s f o r ç o do a po io c o n f o r m e Fi gura 2.4.4 T F F i g u r a 2.4.4 - E s f o r ç o s no A p o i o R í g i d o e s c r e v e s s e vj = V E + P ][ (2.4.35)
T e n d o - s e e n t ã o ^ , p o d e - s e c o n s t r u i r o v e t o r n a e s t a ç ã o zero e d e t e r m i n a r - s e os y e t o r e s i n t e r m e d i á r i o s e n t r e as e s t a ç õ e s E ° zero e l e t a m b e m ^ e . D e v e - s e n o t a r que e s t a r e p r e s e n t a ç ã o co m u m c a m p o e m b a l a n ç o ê b a s t a n t e g e n é r i c a e e n g l o b a o ca so em que t e n d o - s e u m c a m po de c o m p r i m e n t o nulo, ou seja, a v i g a nã o tem b a l a n ç o , o eq ua c i o n a m e n t o p e r m a n e c e vá li do , sem p e r d a de sua g e n e r a l i d a d e e favo r e c e n d o a p r o g r a m a ç ã o p a r a c o m p u t a d o r digital.
Se o c a m p o te m c o m p r i m e n t o nulo, [-A] = [I] e a ^ = l-, a ^ 2 = ^» l e v a n d o - s e a c o n c l u i r que M^ = 0 , W q = w^ = 0 e ^ = ^ = 1 . F o r m u l a ç ã o a n á l o g a d ev e ser f e i t a p a r a o c a m p o e m b a l a n ço D. 2.5. P r o g r a m a ç ã o do M é t o d o G p r o g r a m a é ger al , c o n s i d e r a n d o n c c am p o s , c a d a c a m p o c o m n g s e g m e n t o s , n g p o d e n d o ser d i f e r e n t e de c a m p o p a r a campo. Os e x t r e m o s do s i s t e m a são dois c a m p o s em b a l a n ç o , p o d e n do, e n t r e t a n t o , esses c a m p o s , ter c o m p r i m e n t o s n u l o s (Ver F i g u r a
í-* 2.5.1).
28 *1 5i Ci+. Cnc zr 7sr s F i g u r a 2.5.1 - V i g a com nc C am p o s A i déia b á s i c a do p r o g r a m a p o d e ser d e s e n v o l v i d a a p a r tir do e s q u e m a da F i g u r a 2.5.2. I }I ‘O r,, F i g u r a 2.5.2 - V i g a B a s i c a Na p r o g r a m a ç ã o geral, e n t r e t a n t o , a m a t r i z r e p r e s e n t a n d o o c a mp o B e q u i v a l e r á ao p r o d u t o das m a t r i z e s C ,, C ~ . .. C0 , c n c -1 5 n c- 2 2 * da F i g u r a 2.5.2. T o m a n d o - s e , p o i s , c o m o r e f e r ê n c i a a F i g u r a 2 . 5 . 2 , o a l g o r i t m o p o d e ser d e s e n v o l v i d o c o m o segue: B a s e a n d o - s e na f o r m u l a ç ã o f e i t a a n t e r i o r m e n t e p a r a os c a m pos A e B, f o r m u l á - s e o d e s e n v o l v i m e n t o p a r a o c a m p o e m b a l a n ç o C. Na e s t a ç ã o 3 e m b a l a n ç o t e m - s e M ^ V ^ O e na e s t a ç ã o 2 que
é ura a p o i o r í g i d o t e m - s e v ^ - O , e n t a o p o d e - s e e s c r e v e r que (2.5.1) ou w 3 ’C 1 1 C 1 2 C 13 C 14 f 0 *3 > = C 2 1 C 2 2 C 2 3 C 24 < 0 C 31 C 32 C 33 C 34 M 0 C 41 c 42 C 43 C 44 V \. 2 rD ou a i n d a W 3 ~ C1 2 ^ 2 + C 13M 2 + C 14 2 ( 2 . 5 .2 .a) "Ç r II c 2 2 ^ 2 + c 2 3M 2 + C 24 2 (2 . 5. 2;.b) 11 o c 32^2 + C 33M 2 + c 34 2' wD ( 2 . 5 . 2 . c) o II c4 2 ^ 2 + C 43M 2 + ,,D C44 2 ( 2 .5 .2 . d) De ( 2 . 5 . 2 . d) v e m que •(c4 2 ^2 + c43M 2 ^ '44 (2.5.3) S u b s t i t u i n d o - s e (2.5.3) e m (2.5.2.b) e (2.5.2.c) t e m - s e ^3 = Cc22 C 42 *C 24 '44 -1 ^2 + ('c 23 C 4 3 ‘C 24 '44 )M,
50 n ^ C 4 2 ’C 34,,,, , C 4 3 * C 3 4 , „ 0 = (c3 2 - — ---)1>2 + Cc3 3 --- — ) M2 '44 '44 ou na f o rm a m a t r i c i a l , ï 5 f = M, ! •i i r ' -l i . c L-r Y í - x L, . ^ J onde [C] = (C - l4 Y c 4 4 r C 4 2 ‘C 34, 5 2 --- --- 1 c 44 c * c * Cc - ■) ! 2 3 } ' C 4 4" Cc.o o C 4 3 " C 54) '4 4 j S u b s t i t u i n d o - s e a g o r a em (2.5.4) as e x p r e s s õ e s I e (2.4.33) t e m - s e r y - 1 f 1 . 3 M » c B A 1 '1 -T 0 v. • , - ! ou ’ ^ * M- > = < FCT '■’í j
onde {FGT} ê u m a f u n ç ã o que d e f i n e o s i s t e m a de vi ga a ser mado.
: . 4 . 2 s r
(2.5.5)
(2.5.6)
F a z e n d o - s e os p r o d u t o s de e x p r e s s ã o (2.5.5) t e m - s e que {FCT}. = „ CcllÏÏll + c1 2ÏÏ2 1 ')al + ('C1 1 Ï Ï 1 2 + C l2 Ï Ï 22 ' ) a 2 Cc2 1ÏÏll + c2 2^2 1 ) a l + Cc2 1 Ï Ï 1 2 + c2 2 ^2 2 ) a 2 (2.5.7) onde a l — a ll a 2 2 ' a2 I a a 2 ■= a lla 32 a 3 1 a E u = b 14b 22 - b 1 2b b 1 2 = b 2 3 b 14 - b 1 3 b b 2 1 = b 32b 14 - b 1 2 b b 2 2 = b 33b 14 “ b 13b C 1 1 = C 2 2 C 44 " C 4 2 C C 1 2 = C 2 3 C 44 " C 4 3 C C2 l - C 32C 44 C 34° c 2 2 = C 33C44 ' C 34C N a e x p r e s s ã o (2.5.6), s a b e - s e que M ^ O e s u bs ti t ui nd o-(2.5.7) em (2.5.6) se *3 f CcllÏÏll + c1 2ÏÏ2 1 ) a l + . (-C1 1 ^ 1 2 + c1 2'b2 2 ') a 2 p O (c2 1H1 Í'+ c2 2F2 1 -*a l + (-C2 1 ^ 1 2 + C2 2^2 2 - * a 2 4 C o n c l u i - s e p o r t a n t o que [(c^'^^'^i c2 2^2 1 ^a l ^ ^ ^ i 21 12 T 22 22 ^**1 ^9 9^9 9 ^ * 9 32 H0 0 (2.5.8)
32 que ê a e q u a ç a o t r a n s c e d e n t a l qu e f o r n e c e as f r e q u ê n c i a s do s i s t e ma. E s t a e q u a ç ã o é r e s o l v i d a p e l o M é t o d o de M u l l e r |1 1 |. A s e g u i r a p r e s e n t a - s e o d i a g r a m a de f l u x o ( F i g u r a 2.5.3) p a r a a s o l u ç ã o do p r o b l e m a da F i g u r a 2.5.1. F i g u r a 2 . 5 . 3 - D i a g r a m a de F l u x o
C o m o o b j e t i v o de t e s t a r o m é t o d o e o p r o g r a m a , a l g u n s e x e m p l o s f o r a m e n s a i a d o s . E x e m p l o n9 1. E i x o c i l í n d r i c o s i m p l e s m e n t e a p o i a d o com 3m de c o m p r i m e n to, cujo e s q u e m a é a p r e s e n t a d o na F i g u r a 2.6.1. 3m Á “ & !| '2 F i g u r a 2.6.1 - Ei xo C i l í n d r i c o B i - a p o i a d o • D a d o s e s t r u t u r a i s D i â m e t r o = 0,19 in M o d u l o de Y o u n g = 2 x 10.^ N / m2 D e n s i d a d e do M a t e r i a l = 7 8 3 3 , 5 3 k g / m3 D i v i d i u - s e o c a m p o e n t r e os m a n c a i s em q u a t r o s e g m e n t o s f i c t í c i o s de c o m p r i m e n t o s a p a r t i r da e s t a ç ã o 1 de 0,5 m, 0,7 m, 1 , 0 m e 0 , 8 m r e s p e c t i v a m e n t e . O p r o g r a m a sem pr e t e s t a a e x i s t ê n c i a de m a s s a c o n c e n t r a d a ao final de c a d a segme nt o. Nã o a h a v e n d o , e s t a é t o m a d a c om o s e n d o
34 zero. A s s i m , ao final de c a d a s e g m e n t o f i c t í c i o , c o n s i d e r o u - s e u m a m a s s a c o n c e n t r a d a nula. 0 p r e s e n t e e x e m p l o t e m três ca mp os , s en do que os d o is ex t r e m o s são b a l a n ç o s de c o m p r i m e n t o zero. 0 que se d e s e j a c o m este e x e m p l o ê c o t e j a r os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s do m é t o d o co m a q u e l e s c o n h e c i d o s de uma viga u n i f o r m e s i m p l e s m e n t e a p o i a d a ; c ujas f r e q u ê n c i a s n a t u r a i s são d a da s p o r
onde í ê o c o m p r i m e n t o do vão, EI a r i g i d e z ã fie xa o, p a d e n s i d a
Os r e s u l t a d o s do p r o g r a m a , b e m c om o os c á l c u l o s p e l a for m u l a acima, são c o m p a r a d o s n a T a b e l a (2.1) abaixo.
T a b e l a 2.1.- F r e q u ê n c i a s N a t u r a i s do Eixo - vão 3m (2.6. 1) de de m a s s a e A a ãr ea da s e ç ã o reta. F r e q . N a t u r a i s [Hz] F é r m u l a (2.6 .1) P r o g r a m a 1 4 1,89 41,89 2 1 67, 56 167,57 3 377 ,0 377 ,0
E x e m p l o n? 2. N e s t e e x e m p l o c o n s i d e r o u - s e os m e s m o s d a d o s e s t r u t u r a i s do e x e m p l o a n t e r i o r e u m ei xo c i l í n d r i c o co m u m vão de 2 0m de c o m p r i m e n t o . F o r a m f e i t a s as m e s m a s c o n s i d e r a ç õ e s a n t e r i o r e s e ro d o u - s e o m e s m o e x e m p l o p a r a dois casos: C a s o 1. C o n s i d e r o u - s e u m ú n i c o s e g m e n t o no c a mp o e n t r e os m an cais. C a s o 2. C o n s i d e r o u - s e u m a d i v i s ã o e m q u a t r o s e g m e n t o s f i c t í c i o s de c o m p r i m e n t o s 4m, 10m, 3m e 3m a p a r t i r do m a n c a i da e sque rd a. Os r e s u l t a d o s do p r o g r a m a p a r a os c a so s 1 e 2 , b e m c o m o os c á l c u l o s p e l a f o r m u l a (2.6.1), são c o m p a r a d o s na T a b e l a (2.2) abaixo. T a b e l a 2.2.- F r e q u ê n c i a s N a t u r a i s do E i x o - vão 20m F r e q . N a t u r a i s [Hz] F õ r m ú l a (2 .6 .1 ) P r o g . C a s o 1 Prog. C a s o 2 1 0,94 0,94 0,94 2 z. 3,77 3,77 3,77 3 8,48 8,48 8,48 4 15,08 * 1 5,08 5 23,56 V 2 3 , 5 6 * N ã o f o r a m e x e c u t a d o s
36
V e - s e que o p r o g r a m a f o r n e c e os m e s m o s r e s u l t a d o s .
E x e m p l o n? 3.
0 m é t o d o foi aplicado ao caso p r a t i c o do c ô m p u t o da r o t a ç ã o c r í t i c a de u m r o t o r de v e n t i l a d o r de e x a u s t ã o de f a b r i c a ç ã o n a c i o nal, c u jo s dados f o r a m f o r n e c i d o s p e l o s f a b r i c a n t e s . 0 e s q u e m a do r o t o r e os d e m a i s d a d o s e st ão c o l o c a d o s a b a i x o : F i g u r a -2.6.2 - R o t o r de V e n t i l a d o r T\ D a d o s E s t r u t u r a i s : M o d u l o de Y o u n g = 2 x 1 0 ^ N / m2 (aço) D e n s i d a d e do M a t e r i a l = 7 8 3 3 , 5 3 k g / m3 (aço) V,.
C a m p o A - d i â m e t r o D = ’0 , 1 3 9 7 5 5 m c o m p r i m e n t o = 0 , 1 7 5 m C a m p o B - S e g m e n t o 1 d i â m e t r o = 0 , 1 3 9 7 5 5 m c o m p r i m e n t o = 0,24 m S e g m e n t o 2 d i â m e t r o = 0 , 19 05 m c o m p r i m e n t o = 1 , 6 2 2 m. m a s s a c o n c e n t r a d a = 2000 Kg S e g m e n t o 3 d i â m e t r o = 0 , 1 9 0 5 m c o m p r i m e n t o = 0,14 m S e g m e n t o 4 d i â m e t r o = 0 , 1 3 9 7 5 5 m c o m p r i m e n t o = 0,24 m C a m p o C - d i â m e t r o = 0 , 1 3 9 7 5 5 m c o m p r i m e n t o = 0,3 81 m m a s s a c o n c e n t r a d a = 212 Kg
S ão c o n s i d e r a d a s m a s s a s c o n c e n t r a d a s no fi nal dos s e g m e n tos, 2 do C a m p o B e no s e g m e n t o do C a m p o C; as d e m a i s m a s s a s nos fina is dos s e g m e n t o s r e s t a n t e s são c o n s i d e r a d a s nulas.
Os r e s u l t a d o s são a p r e s e n t a d o s na T a b e l a 2.3 abaixo.
T a b e l a 2.3 R o t a ç õ e s C r í t i c a s do R o t o r do V e n t i l a d o r
R o t a ç ã o N9 1 2
38 Os c o n c e i t o s de c a m p o e s e g m e n t o p e r m i t i r a m , p o is , a e l a b o r a ç ã o de u m a t é c n i c a c o m p u t a c i o n a l g e r a l das f r e q u ê n c i a s n a t u r ai s de s i s t e m a s u n i d i m e n s i o n a i s . Po r ser ger al , a t é c n i c a , q u a n do i m p l e m e n t a d a em c o m p u t a d o r d i g i t a l , p r o d u z u m p r o g r a m a de u s o e x t r e m a m e n t e simples. O u t r o s e x e m p l o s de v ig as sobre m ú l t i p l o s ap oi o s f o r a m r od a d o s , m o s t r a n d o - s e o p r o g r a m a a l t a m e n t e e f i c i e n t e em t e m p o de c o m p u t a ç ã o , r e q u e r e n d o u m m í n i m o de m e m ó r i a e f o r n e c e n d o r e s u l t a dos e x t r e m a m e n t e p r e c i s o s . E f e i t o s , tais c o mo i n é r c i a r o t a t ó r i a , c i sa l h a m e n t o e gi r o s c o p i c o s p o d e m ser f a c i l m e n t e i n t r o d u z i d o s p o r r o t i n a s jã imple m e n t a d a s .
C a p í t u l o 3 « Vi b r a ç õ e s d e Fl e x ã o d e Ca s c a s Ci l í n d r i c a s c o m Re f o r ç o s Lo n g i t u d i n a i s 3.1. G e n e r a l i d a d e s B a s e a n d o - s e nos c o n c e i t o s de v e t o r de e s t a d o e m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a , d e s e n v o l v e - s e a q u i o e s t u d o da v i b r a ç ã o de u m a cas ca c i l í n d r i c a c o m r e f o r ç o s l o n g i t u d i n a i s , on de t e m - s e q u a t r o dejs l o c a m e n t o s i n d e p e n d e n t e s , que são o l o n g i t u d i n a l u, o r a d i a l v, o t r a n s v e r s a l w e o a n g u l a r \p. As f o r ç a s i n t e r n a s são o e s f o r ç o c i s a l h a n t e no p l a n o N A > a t r a ç ã o n o p l a n o N , o e s f o r ç o c o r t a n t eJ V s e o m o m e n t o f le t o r M . D e s s a forma, p o d e - s e m o n t a r o v e t q r de e s t a d o p a r a u m determinado, p o n t o i: fZ i } = ( Z }l = [U i , V i , WjL>- ^ M s i , V s i , - N s i , N s x 1 ]T (3.1.1) 0 s inal e a o r d e m dos c o m p o n e n t e s f o r a m e s c o l h i d o s de f or ma que, c om o se p o d e r á c o n s t a t a r p o s t e r i o r m e n t e , as m a t r i z e s de t r a n s f e r ê n c i a r e s u l t e m s i m é t r i c a s em r e l a ç ã o ã d i a g o n a l s e c u n dária. A c o n v e n ç ã o de o r i e n t a ç ã o d e s t a s c o m p o n e n t e s p o d e ser ob s e r v a d a n a F i g u r a 3.1.
3.2. M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a « 3.2.1. M a t r i z de E s t a d o A m a t r i z de e s t a d o [A] é o e l e m e n t o b á s i c o p a r a o c ã l c u lo da m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a campo. A p a r e c e na e q u a ç ã o de e s t a do (2 .1 .1 0 ), o n d e ê real p a r a s i s t e m a s não a m o r t e c i d o s e c o m p l e x a p a r a s i s t e m a s c.om a m o r t e c i m e n t o . 0 tipo de e s t r u t u r a c o n s i d e r a d o n e s t e t r a b a l h o c o n s i s t e de u m a c a s c a c i l í n d r i c a f i n a s u p o s t a s i m p l e s m e n t e a p o i a d a n o s ex tremos. E s t a h i p ó t e s e se j u s t i f i c a em e s t r u t u r a s a e r o n á u t i c a s por que as v i b r a ç õ e s entre s e g m e n t o s de f u s e l a g e m a d j a c e n t e s a u m m o n tante, não são c o r r e l a c i o n a d a s |7 |. Os m o n t a n t e s f u n c i o n a m , pois,
como a p o i o s simples. ■ ?
A s s u m e - s e que o m a t e r i a l e ás d i m e n s õ e s da e s t r u t u r a se j a m tais que as s u p o s i ç õ e s u s u a i s p a r a c a s c a s fi nas s e j a m v a l i d a s , isto ê, que a e s p e s s u r a (h) s e j a m u i t o m e n o r que o r a i o de c u r v a t u r a (a), que os d e s l o c a m e n t o s e d e f o r m a ç õ e s s e j a m l i n e a r e s , o m a t e r i a l s ej a e l á s t i c o , as n o r m a i s â s u p e r f í c i e m e d i a i n d e f o r m a d a p e r m a n e ç a m r e t a s e normais "à s u p e r f í c i e d e f o r m a d a , e as t e n s õ e s nor m a i s e d e f o r m a ç õ e s a t u a n d o e m p l a n o s p a r a l e l o s ã s u p e r f í c i e s e j a m n e g l i g e n c i a d a s . r N o que segue, m o s t r a r - s e - ã a d e r i v a ç ã o da m a t r i z de e s t a do [A]:. Os p a s s o s d ad os s e g u e m de p e r t o a q u e l e s de H e n d e r s o n e M c D a n i e l |1 | . . i •: I . .
42 U t i l i z a n d o - s e as e q u a ç õ e s de D o n n e l l p a r a c a s c a [10 ] e c o n s i d e r a n d o - s e a c o n v e n ç ã o de s i n a l e s t a b e l e c i d a na F i g u r a 3.1, p o d e - s e e s c r e v e r : 3 u (l-v)3 u ' (l+v)3 v v 3w ph3 u n --- + --- --- + --- ---- - --- - --- ss U 9 x2 2 3 s2 2 3x3s a 3 x k 3 t2 C1+ v) 3 u + (1 - v) 3 v + 3 v 1 3w ph3 y ^ ( 3 2 1 ) 2 3.x3 s 2 3 x2 3 s2 a 3s k 3 t2 v 3 u l 3 v l w h 2 , 3 4 w • 2 3 Itw 3 4 w . p h 3 2 w „ --- + --- — - — (--- + --- + --- ) - --- = 0, a3x a 3s a2 12 3x4 3 x2 3 s2 3s1* k 3 t2 ■ j i E h onde k = ---(1 - v) 2 A s s u m i n d o - s e s o l u ç õ e s na s e g u i n t e f o rm a u ( x , s , t ) = í u (s) cos(qx) e 1 11 ■ iwt v ( x , s , t ) = í v (s) sen(qx) e lwt (3.2.2) n=l w ( x , s , t ) = í w n (s ) sen(qx) e n=l íwt , nu onde q = — V-.
T e m - s e u"(s) = — -— (q2 - P h ^ 0 u (s) - qv* (s) + — w Cs) n (1 -v) k n 1- v n (1-v) a n v" Cs) = [ í l n ^ - a2 - v Cs) + qu'Cs) + - w'Cs) C3.2.3) n 2 ‘ k 11 2 n a ,mV -, 1 2vq , -, 12, 1 phtü2 h2q \ , . w Cs) --- ^ u ( s ) ---- C---- - ---- + — )w Cs) + n h 2a n h2 a2 k 1 2 n + — v'Cs) + 2q2w ”(s) h2 a n n o nd e 1 s i g n i f i c a d e r i v a d a e s p a c i a l em r e l a ç ã o a s. T e m - s e a i n d a as s e g u i n t e s r e l a ç õ e s 6 = S ü 9s n c32w ' 92 Ws M = - D C --- + v --- ) 9 s2 9 x2 V = _ D [ — + C 2 - v) .3.3-w— ] (3.2.4) S 9 s3 9 x2 9 s xi , /3v ■ ,,9u 1 -, N = kC— + V'— - — \v) 9s 9x a n: ; = ^ 2 3s 3x E h1 1 2 ( 1 - v2)
44 A p l i c a n d o - s e as e x p r e s s õ e s (3.2.2) n a s r e l a ç õ e s (3.2.4) e c o n s i d e r a n d o - s e que as e x p r e s s õ e s a s e g u i r s e j a m da f o r m a 3 (x,s,t) = 1 $ (s) s en(qx) n=l íwt e M (x,s,t) = l M (s) s e n ( q x ) e n= l sn 160t V s (x,s,t) = l v s n (s ) sen(qx) e iwt (3.2.5) n=l oo . N (x,s,t) = l N s n (s ) sen(qx) e lwt n=l OO . N s x C x , s , t ^ = ^ N s x n (s-) c o s ^ x;) elWt . n=l T e m - s e B„(s) M s n (s) = D v q2w n (s) - Dw£(s) V s n ' s > = D (2 - v ) q zw^ (s) - Dw"' (s) N s n < s ’ = - k v q u n (s) a n + kVj;(s) ' / 'sxnÇ5 5 - (1_V) k ^ n 2 n (s) + k - ^ 2 — u ^ 5 ) (3.2.6) D e r i v a n d o - s e as e q u a ç õ e s (3.2.6) e m r e l a ç ã o a s e u t i l i z a n d o - s e as e q u a ç õ e s (3.2.3) e (3.2.6), t e m - s e as s e g u i n t e s e q u a ç õe s , ?
onde r r r que sera u ' (s) = - qv„ (s) + — --- N n H n k ( 1 _ v) sxn (s)
VA(S)
=vtlV s:) + è V s)
+ ¥ N s n Cs) w k Cs') = V 5 ’ :^(s) = v q2w n (s) - i M s n (s) (3.2.7) M' Cs) = r-, 8 (s) + V (s) sn 1 n sn V'^ Cs ) = rsn' 9 w Cs) + v q 2M Cs) - — N Cs) 2 n H sn a sn N ^ C s ) = - p W v n (s) + q N s x n Cs) N s x n (s) = r 3 u n ts> - ^ ' s n ® t = 2 (v - l)D q * j = C l - v2 ) D q 1< - pho)2 j = (1 - v2 ) k q2 - phto2 P o d e - s e e s c r e v e r as e q u a ç õ e s (3.2.7) na f ôr ma m a t r i c i a l igual a e x p r e s s ã o (2 .1 .1 0 ) {Zn C s) }* = [A] (Zn (s)} (3.2.8) o nd e46 [A] = 0 -q 0 0 0 0 0 2 /k( l- v) vq 0 í/a 0 0 0 - l/ k 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 0 v q2 0 - 1/ D 0 0 0 0 0 0 r l 0 1 0 0 0 0 r 2 0 v q2 0 l/a 0 0 phoj2 0 0 0 0 0 -q r 3 0 0 0 0 0 vq 0 q u e ê a m a t r i z de estado. 3.2.2. M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a P o n t o P a r a e n c o n t r a r - s e a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n t o q ue t r a n s f e r e o v e t o r de e s t a d o a t r a v é s do r e f o r ç o , d e v e - s e a n a l i s a r seu c o m p o r t a m e n t o . 0 r e f o r ç o n ã o i n t e r f e r e na c o n t i n u i d a d e das d e f l e x õ e s e r o t a ç õ e s da c a s c a e m q u a l q u e r dos la dos da l i n h a de u n i a o e n t r e eles. E n t ã o , de u m a m a n e i r a s i m p l e s , t e m - s e u n (s) vS(s) D, ■, w n E r ^ u (s) n v n (s) w n Cs) (3.2.9) C o n t u d o , o r e f o r ç o , d e v i d o as suas p r o p r i e d a d e s e l ã s t ^
cas e i n e r c i a i s , p r o d u z u m a m u d a n ç a b r u s c a nos e s f o r ç o s n o r m a i s e c i s a l h a n t e s e no m o m e n t o f l e t o r da c a s c a na l i n h a de uniã o. P a r a d e t e r m i n a r - s e a f o r m a da m u d a n ç a na s c o m p o n e n t e s do v e t o r de e s t a do, d e v e - s e f a z e r us o das t e o r i a s e x i s t e n t e s ( T i m o s h e n k o (1908) ; G o o d i e r (1941) e outros) que d i s t r i b u e m o m o m e n t o e t o r ç ã o e m u m a s eção t r a n s v e r s a l . A s e q u a ç õ e s b á s i c a s das d e f l e x õ e s p a r a o r e f o r ç o são (Ver F i g u r a 3.2) E I wí + EI c v 1' = p(x) n 0 nç o r E Iç Vq + E I ^ ç Wq = q(x) (3.2.10) E C W B* - GCS" = r (x) on de I r , I e I v são os m o m e n t o s de i n é r c i a e o p r o d u t o de i n é r c i a do c e n t r õ i d e ; G é o m o d u l o e l á s t i c o de c i s a l h a m e n t o ; C é’ ’ w a c o n s t a n t e de e m p e n a m e n t o da s e ç ã o t r a n s v e r s a l do r e f o r ç o c o m r e s p e i t o ao c e n t r o de r o t a ç ã o ; C é a c o n s t a n t e de S a i n t - V e n a n t pa ra t o r ç ã o u n i f o r m e ; o s u b s c r i t o 0 r e f e r e - s e ás d e f l e x õ e s de w e v do c e n t r o de r o t a ç ã o ; p e q são c a r g a s d i s t r i b u í d a s no -centro de r o t a ç ã o ao l o ng o do r e f o r ç o nas d i r e ç õ e s z e s, r e s p e c t i v a m e n t e ; r é o t o r q u e d i s t r i b u í d o so bre o e i x o de r o ta ç ã o ; e o " í n d i c e " 1 i n d i c a d i f e r e n c i a ç ã o e m r e l a ç ã o a x. A d e r i v a ç ã o d as e q u a ç õ e s * (3.2.10) p o d e m 5er e n c o n t r a d a s em F l U g g e 112 | .
48 o n d e p , f or ço e Xo ° F i g u r a 3.2 - S e ç a o T r a n s v e r s a l do R e f o r ç o A s e q u a ç õ e s de e q u i l í b r i o no r e f o r ç o são: pCx) = V s “ V s " pA™c qCx) = - N Es - p A v c (3.2.11) rCx) = M E - M D + (NE - N D )A + (VD - V E )A - s s s s z s s s - p A C sw c + p A C zv c - p Jc 6 A, A , A r\ C , C e J são c a r a c t e r í s t i c a s f í s i c a s do re ’ z ’ . s ’ z ’ s c — o sinal * s i g n i f i c a d i f e r e n c i a l no tempo. A s r e l a ç õ e s de d e s l o c a m e n t o são:
M s - M s - E t I .EA s - rçA z K + ECI n A s - W z H - E C w / + G C S " *I\ + p A ( C z - A z ) v A - p A ( C g - A s ) w A - P J A $
V s - V s = EI nEvA + EI wà + E C I n A r W 1'* cASA + pA(Cs - As ) 6 (3
N s ‘N s = E I Cvà + E I nEwÁ + E C I 5A z - In 5 A s ^ ”’+ pAva - pA(Cz - A z )S
onde C = C + I rA2 + I A2 - 21 rA A w. w ç z n s n Ç z s J A = J c + A t C z - V * + A C C s - V 2 Das e q u a ç õ e s (3.2.2) e (3.2.5) em (3.2.13) t e m -s e .2.13)
50
onde
Pl = Eq'(InÇA s - 1 ^ ) - pAu’(Cz - Aj)
p 2 = Eq*(InA s -'■I.çA,) ♦ PAU >(CS - A s)
p3 ■ - E C W q* - G C q2 + pJA u ! A ; 1’4 “ E * ' \ t p5 = E q 1* 1^ - pAüj2 = - E q ‘* + pAus2 C o l o c a n d o - s e a g o r a as e q u a ç õ e s (3.2.9) e (3 .2 .I 4 ) na for ma m a t r i c i a l t e m - s e {Zn (s)}D = [P] ÍZn (s)}E (3.2.15) onde
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Pl
P2
P
31
00
0
0
P4
P 5
-P2
0
1
0
0
0
Pó
-P4
Pl
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
q ue é a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n t o de H e n d e r s o n e M c D a n i e l |l|. D e v e - s e n o t a r que a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a p o n t o p a r a o r e f o r ç o n ã o c o n s i d e r a q u a l q u e r m u d a n ç a n o e s f o r ç o c i s a l h a n t e N d A /a t r a v é s do re fo rç o. Isto r e s u l t a da s u p o s i ç ã o de qu e o e f e i t o da v a r i a ç ã o de u ao l on go do r e f o r ç o seja d e s p r e z í v e l . 3.2.3. M a t r i z de T r a n s f e r ê n c i a C a mp o P o d e - s e t a m b é m d i z e r que u m a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a [ T ( s 2 ,s )] s ej a u m o p e r a d o r l i n e a r que t r a n s f o r m a o v e t o r de e s t a do { ZCs-^)} no v e t o r í Z C s 2 ^^ - E m n o t a ç ã o m a t e m á t i c a : ( Z ( s 2 )} = [ T ( s2 ,s1 )] ( Z ( s 1 )} (3.2.16) Pa ra o caso e m p a r t i c u l a r o n d e s^ = 0 e s2 = s, t e m - s e . { Z (s) } *= [ T ( s ,0) ] { Z (0) > , (3.2.17) que ê t a m b é m u m c as o p a r t i c u l a r da e q u a ç ã o (2 .1 .2) o n de i=l e o p o n t o 1 esta a u m a d i s t â n c i a s de zero, de o n d e se c o n c l u i q u e [T(s,0) é u m a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a campo. A s s u m i n d o - s e u m a s o l u ç ã o p a r a (2.1.10) n a f or ma í Z ( s ) } = e [Als (3.2.18) p o d e - s e ver f a c i l m e n t e que [T (s ,0)] = e [A]s (3.2.19)
52 H e n d e r s o n e M c D a n i e l |l[ p r o p õ e m u m m é t o d o b a s e a d o e m u m a c o n s e q u ê n c i a do t e o r e m a de C a y l e y - H a m i l t o n e nos c o n s t i t u i n tes i d e m p o t e n t e s de [A], c u j a t e o r i a ê b e m a p r e s e n t a d a p o r F r a m e 113 I -D e a c o r d o c o m es te m é t o d o , a m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a cara p o de u m s e g m e n t o de c o m p r i m e n t o SL ê d a d á por n [ T (£,0)] = l e j [P.] (3.2.20) . ' • 1 ''
onde [Pj] são os c o n s t i t u i n t e s i d e m p o t e n t e s de [A], Xj's os dis t i n t o s a u t o v a l o r e s de [A] e n a o r d e m da m a t r i z q u a d r a d a [A] ; e onde os [P]. são c a l c u l a d o s de a c o r d o c o m a f o r m u l a 3 n [A] - A [I] [ P J = i---- (3.2.21) J i N e s t e t r a b a l h o u s a - s e o m é t o d o dos a u t o v e t o r e s e a u t o v a lores de [A] p a r a o c á l c u l o da m a t r i z de t r a n s f e r ê n c i a campo.
A m a t r i z de t r a n s f e r e n c i a c a m p o p o d e ser e x p r e s s a p o r |2
[ T U , 0 ) ] = [U] [~eX j*] [V]T (3.2.22)
o nd e [U] e [V] saò as m a t r i z e s dos a u t o v e t o r e s a d i r e i t a e ã ejs q u e r d a de [A], R e s p e c t i v a m e n t e , e os são os d i s t i n t o s a u t o v a l o res de [ A ] .
