O Método de Newton-Raphson no Cálculo do TIR

MILITÃO, F.G.S.A.; ALBERTO, J.G.C.

O Método de Newton-Raphson no Cálculo do TIR

The Newton-Raphson Method for Calculating Internal Rate of Return

a_{Fundação Pedro Leopoldo, MG, Brasil}

b_{Pontifícia Universidade Católica, MG, Brasil e Centro Universitário UNA, MG, Brasil} Email: [email protected]

Resumo

O método da Taxa Interna de Retorno é um dos mais utilizados na escolha de projetos, sendo usado amplamente na tomada de decisão de investimentos das empresas. Porém, o método possui algumas restrições matemáticas e deve ser utilizado com cautela. Entre os problemas mais apontados pelos estudiosos, são os problemas ligados a múltiplas taxas e a reaplicação dos benefícios líquidos de caixa por uma Taxa Interna de Retorno constante. Assim, este artigo busca mostrar algumas restrições que existem no cálculo da TIR e mostrar como calculadoras e planilhas eletrônicas usam o do Método de Newton-Raphson para estimar a Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa.

Palavras-chave: Taxa Interna de Retorno. Método de Newton-Raphson. Estimação da TIR. Abstract

The method of the Internal Rate of Return is one of the most used when selecting projects and is widely used by companies in investment decision making. However, the method has some mathematical constraints and should be used with caution. According to several studies, among the most pointed problems are those associated with multiple rates and the reapplication of the net cash benefits on a constant Internal Rate of Return. Therefore, this article seeks to demonstrate that there are some restrictions in the IRR calculation and also how calculators and spreadsheets use the Newton-Raphson method to estimate the IRR of a cash flow.

Keywords: Internal Rate of Return. Newton-Raphson Method. IRR Estimate. 1 Introdução

O cálculo da taxa interna de retorno - TIR é atualmente um dos indicadores mais utilizados, tanto nos mercados financeiros como em empresas para análise de viabilidade de projetos. Empresas comparam a taxa interna de retorno de seus projetos com uma taxa mínima requerida, denominada “Taxa Mínima de Atratividade”, sendo viáveis projetos que possuam uma TIR > TMA.

Assim, este artigo tem por objetivo demonstrar como as calculadoras e a função financeira pré-programada em planilhas eletrônicas estimam a TIR de um fluxo de caixa convencional. Tanto as calculadoras como as planilhas programadas em computador se valem de método iterativo para achar as raízes de um polinômio.

2 Desenvolvimento

2.1 Taxa interna de retorno – TIR

Diversos trabalhos anteriores analisaram as vantagens e desvantagens do uso da TIR na seleção de projetos e investimentos. Hartmam e Schafric (2004) afirmam que a TIR de um projeto convencional definem o retorno de um investimento. Ross; Jordan e Westerfield (2000) argumentam que a alternativa mais importante em relação ao valor presente

liquido é a TIR, sendo definida como a taxa que torna o valor presente líquido (VPL) igual a zero. Faro (1976) mostra que o cálculo da TIR é complexo dado que resulta na resolução de um polinômio de grau “n”, por interpolação linear ou métodos matemáticos iterativos. Autores como Faro e Faro (1999); Johnstone (2008); Meyer (1979); Rooney (1973); e Tang e Tang (2003) também fizeram importantes contribuições sobre o tema, ressaltando uma das grandes limitações da TIR na estimação de fluxos não convencionais.

Conforme afirmam Assaf Neto e Lima (2009), a medida do VPL de um projeto é obtida pela diferença entre o valor presente dos benefícios líquidos de caixa, previstos para cada período no horizonte de duração do projeto, e o valor presente do investimento. VPL = (R₁/(1+x)1 _{+ R} 2/(1+x)2 +...+ Rn/(1 + x)n) - (I0 + I1/(1 + x)1 _{+ I} 2/(1 + x)2-...+ (In/(1 + x)n onde:

R₁, R₂,..., R_n fluxo de caixa previsto em cada período; x taxa mínima de atratividade;

I₀ investimento a ser feito no momento zero; I₁, I₂,..., I_n valor do investimento previsto em cada

período subsequente.

0 = (R1/(1+TIR)1 + R2/(1+TIR)2 +...+ Rn/(1+TIR)n) - (I0 + I1/(1 +TIR)1 _{+ I}

2/(1 + TIR)2+...+ In/(1 + TIR)n)

A Taxa Mínima de Atratividade - TMA de uma empresa é definida por Assaf Neto e Lima (2008) como sendo a menor rentabilidade que uma empresa está disposta a aceitar para seus projetos.

Segundo Ross, Westerfield e Jaffe (2008), se a TIR for igual à taxa mínima de atratividade, fica a critério da empresa a aceitação ou não do projeto. Se a TIR for superior à taxa mínima de atratividade, o projeto deve ser aceito e, caso contrário, o projeto deve ser rejeitado. Os autores ainda esclarecem que, quando as taxas mínimas de atratividade são inferiores à TIR, o VPL é positivo e quando forem acima da TIR, o VLP será negativo.

Para Samanez (2010), o apelo intuitivo é a razão do uso generalizado do método da TIR na análise da viabilidade econômica de projetos. As pessoas preferem tomar decisões fazendo comparações em termos de porcentagens.

Existem algumas dificuldades a serem superadas ao se avaliar projetos pelo método da TIR:

• Taxas indeterminadas ou múltiplas: Quando houver mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto pode ser que haja mais de uma raiz que faça o VPL ser igual a zero ou até que não haja raiz que zere o VPL. Nestes casos, deve-se avaliar a viabilidade econômica do projeto não mais pela TIR, mas pelo VPL.

• Reaplicação implícita dos benefícios líquidos de caixa pela TIR: Quase sempre não é possível a reaplicação dos benefícios líquidos de caixa pela TIR. Neste caso Ross, Westerfield e Jaffe (2008) recomendam o uso da taxa interna de retorno modificada, que leva em consideração as taxas possíveis de reaplicação destes benefícios.

• Escala: Segundo Samanez (2010) o VPL é o método a seguir quando há diferença de tamanho entre projetos mutuamente exclusivos. Assim se expressa:

Contudo se for o caso de usar um critério baseado em porcentagem, uma maneira de evitar a contradição entre o VPL e a TIR na comparação de alternativas mutuamente exclusivas, de escala diferente, seria o uso da TIR do fluxo incremental, também chamada taxa incremental de Fisher (SAMANEZ, 2010, p.209).

Pode-se considerar que o projeto de maior escala (A) é igual à soma do projeto de menor escala (B) mais um incremento igual a (A-B). E nesta situação, se o projeto B for justificado economicamente (TIR_B > TMA), bastará justificar o incremento economicamente (TIR(A-B) > TMA) para justificar

o projeto de maior escala (A).

• Distribuição dos fluxos de caixa no tempo: Quando os fluxos de caixa de projetos mutuamente exclusivos se distribuem diferentemente no tempo, poderá

ocorrer uma contradição entre os métodos do VPL e da TIR causada pela suposição implícita da taxa de reinvestimento nos dois métodos. A contradição pode ser evitada selecionando-se as alternativas por meio da TIR do fluxo incremental ou taxa incremental de Fisher. Assim se expressa Samanez (2010, p.209):

De modo geral a regra decisória do VPL é a melhor a seguir quando há diferença na distribuição do fluxo de alternativas mutuamente exclusivas. Entretanto, um ponto a ser considerado é que o VPL não revela muita coisa a respeito da rentabilidade das alternativas, pois duas alternativas podem ter o mesmo VPL e uma delas representar um investimento substancialmente maior em relação à outra [...] permitindo-nos concluir que a aplicação do VPL não dá por encerrada a discussão sobre análise e seleção de alternativas de investimento, mas proporciona um sólido ponto de partida.

2.2 Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson estima o valor das raízes reais de um polinômio de grau n. O método é iterativo e consiste em se atribuir valores iniciais às raízes e se chegar aos valores aproximados destas raízes por meio de aproximações sucessivas.

Por simples, a abordagem do Método de Newton-Raphson será gráfica, mas a série de Taylor também levaria ao mesmo resultado. Rangel, Santos e Bueno (2003) descrevem o método pela abordagem gráfica. A abordagem pela série de Taylor pode ser vista no site Condição Inicial1_.

• Toma-se um valor inicial qualquer (x₀) da variável independente x como primeira estimativa da raiz x_r; • Calcula-se o valor da função para este valor de x₀, que

provavelmente não será igual a zero, ou seja, x0 não

será a raiz procurada;

• Desse ponto (x₀, f(x₀)), traça-se a tangente à curva, achando-se o ponto (x₁, f(x₁)=0) em que esta tangente corta o eixo dos x. O novo valor x1 é mais próximo de

x_r do que x₀; e

• O processo se repete até que o intercepto da tangente à curva com o eixo de x se torne tão próximo de xr

quanto se queira, ao mesmo tempo em que f(x) se torna próximo de zero.

Este método apresenta duas desvantagens: nem sempre há convergência e nem sempre é muito fácil obter a derivada da função.

2.3 Fluxo de Caixa Convencional

Segundo Assaf Neto e Lima (2009), um fluxo de caixa convencional é aquele em que, feito um investimento inicial P, obtém-se um fluxo de receitas líquidas positivas futuras R₁, R₂, ..., R_n. Pressupõe-se ainda que a soma R₁ +R₂ + R₃ +...+ R_n seja maior ou igual a P.

O Valor Presente Líquido - VPL do fluxo de caixa é: VPL = - P + R₁/(1 + x)1 _{+ R}

2/(1 + x)2 + ...+ Rn/(1 + x)n 1 http://condicaoinicial.com/2010/04/raizes-de-funcoes-2-newton-raphson.html.

Ensinam Rangel, Santos e Bueno (2003) que: 1. Se i = 0 => VPL = - P + R₁ + R₂ + ...+ R_n 2. Se i -> infinito => VPL = - P

Sendo a TIR a taxa que faz o VPL = 0: 0 = - P + R₁/(1 + TIR)1 _{+ R}

2/(1 + TIR)2 + ...+ Rn/(1 + TIR)n

Na verdade o fluxo de caixa é um polinômio de grau n e, portanto, com n raízes possíveis. Entretanto, como se trata de um projeto convencional, ou seja, com uma única inversão de sinal, a regra dos sinais de Descartes garante uma única raiz real positiva. Neste caso sempre haverá convergência e as derivadas são fáceis de calcular.

Figura 1: TIR e VPL de um fluxo de caixa convencional

x_n = x_n-1 - f(x_n-1) / f’(x_n-1) Exemplo:

Suponha um investimento no valor de R$ 100,00 que promete um fluxo de receitas no valor de R$ 40,00 para os próximos 3 anos. Calcule a TIR utilizando o método de Newton-Raphson.

f(x) = -100 + 40(1 + x)-1 _{+ 40(1 + x)}-2 _{+ 40(1 + x)}-3

f’(x) = -40(1 + x)-2 _{- 80(1 + x)}-3 _{- 120(1 + x)}-4

tangente alfa = f’(x₀) = - f(x₀) / (x₁ - x₀) => x₁ = x₀ - f(x₀) / f’(x0) => xn = xn-1 - f(xn-1) / f’(xn-1)

Como primeira tentativa faz-se x₀ = zero:

f(0) = 40 + 40 +40 - 100 = 20 => como f(0) é diferente de zero, então x = 0 não é raiz.

f’(0) = -40 - 80 - 120 = -240.

x₁ = 0 - f(0)/f’(0) = 0 – (20/-240) = 0,0833 => primeiro intercepto da tangente de alfa com o eixo dos x.

A partir de x₀, sucessivamente acharemos x₁, x₂,... até chegarmos a um valor tão próximo de x_r quanto se queira. Fórmula iterativa:

xn = xn-1 - (-100 + 40(1 + x)-1 + 40(1 + x)-2 + 40(1 + x)-3) /

(-40(1 + x)-2 _{– 80(1 + x)}-3 _{- 120(1 + x)}-4_).

Tabela 1: Cálculo da Taxa Interna de Retorno

n x_n f(x_n) f’(x_n) 0 0,0000% 20,0000 -240,0000 1 8,3333% 2,4670 -184,1280 2 9,6732% 0,0493 -176,8423 3 9,7010% 0,0000 -176,6951 4 9,7010% 0,0000 -176,6950

A TIR é igual a 9,7010 % a.a. Para uma precisão de 5 casas decimais ou mais é só continuar a iteração.

2.4 Preparação da planilha para o cálculo da TIR com N até 10

O site de Rubén Panta Pazos2 _{apresenta exemplos de como}

se usar a Planilha Excel para o cálculo da TIR pelo método de Newton-Raphson.

• Na célula A1 de uma planilha de Excel escreva: PLANILHA PARA O CÁLCULO DA TIR COM n ATÉ 10.

Preenchimento da tabela (Figura 3)

• Esta tabela pode ser visualizada nos exemplos abaixo. • Escreva o cabeçalho da Tabela 1, da célula B3 até a

célula C5.

• Formatar as células de B6 a B16 como número e sem casas decimais.

Aplicação do Método de Newton-Raphson a um Fluxo de Caixa Convencional

Figura 2: Método estimação do TIR em fluxo convencional

Tangente α = f’(x0) = - f(x0) / (x1 - x0) = (derivada da função

em P0)

x₁ - x₀ = -f(x₀) / f’(x₀) x₁ = x₀ - f(x₀) / f’(x₀) Para n iterações, tem-se:

• Preencher as células de B6 a B16 com o número de períodos: 0, 1,2, 3, ... 10.

• Formatar as células de C6 a C16 como número e com 2 casas decimais.

• Preencher as células de C6 a C16 com -P, +R1, +R2,

+R₃, ...,+R₁₀, nessa ordem.

Figura 3: Calculo da TIR com até 10 intenções

na primeira tabela, a planilha automaticamente calcula a segunda tabela (Figura 3). Partindo de um valor inicial de x igual a zero, a planilha faz, sucessivamente, 10 iterações. Dependendo da precisão desejada, talvez se encontre a raiz antes das 10 iterações.

2.5 Exemplo usando o excel

2.5.1 Fluxo de caixa: (-100,00, + 40,00, + 40,00, + 40,00)

Entrar com os dados do fluxo de caixa na primeira tabela 1. O Excel calcula a segunda tabela automaticamente. O programa parte de x = 0 e faz mais 10 iterações, sendo que, neste exemplo, apenas quatro seriam necessárias para se ter precisão de cinco casas decimais. Se for necessária maior precisão, as células serão formatadas com mais casas decimais.

3 Conclusão

Muito sem tem pesquisado sobre as vantagens e desvantagens da taxa interna de retorno (TIR) em análise de projetos, ressaltando as suas limitações. Porém, pouco foi discutido sobre o cálculo de TIR nas calculadoras e planilhas eletrônicas.

Esse artigo buscou apresentar e esclarecer o método Newton - Raphson altamente utilizado na mecânica de cálculo usada pelas calculadoras e por planilhas eletrônicas. O método é iterativo, consistindo de tentativa e erro e indo rapidamente ao encontro da raiz. A planilha desenvolvida no artigo tem um número fixo de iterações igual a dez e trabalha com precisão de cinco casas decimais, porém estes valores podem ser facilmente alterados. A planilha não oferece dificuldade na elaboração de macros para o cálculo da raiz.

Referências

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HARTMAN, J.C.; SCHAFRICK I. C. The relevant internal rate of return. The Enginering Economist, v.49, p.139-158, 2004. JOHNSTONE, D. What does an IRR (or Two) Mean? Journal of

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ROONEY, R.F. Descartes’ rule and multiple internal rates of return. Western Economic Journal, v.11, n.2, p.241, 1973.

Preenchimento da tabela 2 (Figura 3)

• Esta tabela pode ser visualizada nos exemplos abaixo. • Escreva o cabeçalho da Tabela 2, da célula E3 até a

célula H5

• Formatar as células de E6 a E16 como número e sem casa decimais.

• Preencher as células de E6 a E16 com o número de períodos: 0, 1,2, 3, ... 10

• Formatar as células de F6 a H16 com a quantidade de decimais que se queira. Neste caso com 5 decimais. • Formatar as células de F6 a F16 como %.

• Atribuir o valor zero a F6.

• Atribuir a fórmula da função f(x) abaixo à célula G6: =$C$6+$C$7*(1+F6)^-1+$C$8*(1+F6)^-2+$C$9*(1+F6)^- 3+$C$10*(1+F6)^-4+$C$11*(1+F6)^-5+$C$12*(1+F6)^- 6++$C$13*(1+F6)^-7+$C$14*(1+F6)^-8+$C$15*(1+F6)^-9+$C$16*(1+F6)^-10

• Atribuir a fórmula da derivada da função f’(x) abaixo à célula H6: =$C$7*(-1*(1+F6)^-2)+$C$8*(-2*(1+F6)^-3)+$C$9*(- 3*(1+F6)^-4)+$C$10*(-4*(1+F6)^-5)+$C$11*(-5*(1+F6)^- 6)+$C$12*(-6*(1+F6)^-7)+$C$13*(-7*(1+F6)^-8)+$C$14- *(-8*(1+F6)^-9)+$C$15*(-9*(1+F6)^-10)+$C$16*(-10*(1+F6)^-11) • Atribuir (F6-G6/H6) à célula F7.

• Selecionar G6 e H6 e arrastar 1 linha para baixo. • Selecionar F7, G7 e H7 e arrastar até n = 10. • Entrar com os dados -P, + R1, + R2, + R3 +...+ Rn

na primeira tabela da Figura 3 e a planilha calcula automaticamente na segunda tabela, da Figura 3. Ao entrar com qualquer fluxo de caixa convencional

ROSS, S.A.; JORDAN, B.D.; WESTERFIELD, R.W.

Princípios de Administração Financeira. 2.ed. São Paulo:

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______; WESTERFIELD, R.W.; JAFFE, J.F. Administração

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