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Capítulo 3
3.6
Derivadas de Funções Logarítmicas
Nesta
seção, nós
aprenderemos
sobre:
usar
a derivação
implícita
para
achar
as derivadas
das funções
logarítmicas
e, em
particular, da
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Um exemplo de função logarítmica é
y =
log
a
x
Um exemplo da função logarítmica
natural é
y =
ln
x
É
possível demonstrar que as funções
logarítmicas são deriváveis: com certeza
isso é
plausível a partir dos seus gráficos.
(Veja a figura da
Seção 1.6.)]
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Seja y =
log
a
x. Então a
y
= x
Derivando essa equação implicitamente em
relação a x, usando a Fórmula 3.4.5,
obtemos:
DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 1
1
(log
)
ln
a
d
x
dx
=
x
a
E assim,
DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 1
1
1
ln
ln
y
dy
dx
=
a
a
=
x
a
(ln )
1
y
dy
a
a
dx
=
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Se pusermos a =
e na Fórmula 1, então o
fator ln
a no lado direito torna-se ln
e =
1, e
obtemos a fórmula para a derivada da
função logarítmica natural log
e
x = ln
x:
DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 2
1
(ln )
d
x
Comparando as Fórmulas 1 e 2, vemos uma
das principais razões para os logaritmos
naturais (logaritmos com base e) serem
usados em cálculo.
A fórmula de derivação é
a mais simples
quando a =
e, pois ln
e =
1.
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Derive y =
ln
(x
3
+ 1).
Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x
3
+ 1.
Então y =
ln
u; logo:
DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 1
2
2
3
3
1
1
3
(3
)
1
1
dy
dy du
du
x
x
dx
=
du dx
=
u dx
=
x
+
=
x
+
De forma geral, se combinarmos a Fórmula 2 com a
Regra da Cadeia, como no Exemplo 1, obtemos
ou
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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 2
d
dx
Encontre
ln
(sen
x).
Usando (3), temos
DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 3
Derive
Dessa vez o logaritmo é a função de dentro;
logo, a Regra da Cadeia dá
( )
ln
f x
=
x
1 2
1
2
'( )
(ln )
(ln )
1
1
1
2 ln
2
ln
d
f x
x
x
dx
x
x
x
x
−
=
=
⋅ =
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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 4
Derive f (x) = log
10
(2 + sen
x).
DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 5
Encontre
Solução 1:
d
dx
ln
x
1
x
2
1
x
1
x
2
d
dx
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2 1 (x 1)
1
2
(x
2)
1 2
x
2
2
1)
1
ln
2
d
x
dx
x
+
−
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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 5
Solução 2: Se primeiro simplificarmos a função dada
usando as propriedades do logaritmo, então a
derivação ficará mais fácil:
Essa
resposta
pode
ser deixada
assim, mas
se
usássemos
um denominador
comum
obteríamos
a
mesma
resposta
da
Solução
1.
[
1
]
2
1
ln
ln(
1)
ln(
2)
2
1
1
1
1
2
2
d
x
d
x
x
dx
x
dx
x
x
+
=
+ −
−
−
⎛
⎞
=
− ⎜
⎟
+
⎝
−
⎠
DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 6
Encontre
f’
(x) se f (x) = ln
|x|.
Uma vez que
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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 6
Equação 4
O resultado
do Exemplo
6 vale a pena
ser
DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
Os cálculos
de derivadas
de funções
complicadas
envolvendo
produtos,
quocientes
ou
potências
podem
muitas
vezes
ser simplificados
tomando-se os
logaritmos.
O método
usado
no exemplo
a seguir
é
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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLO 7
Derive .
Tome o logaritmo em ambos os lados da equação e
use as Propriedades do Logaritmo para simplificar:
3 / 4
2
5
1
(3
2)
x
x
y
x
+
=
+
2
3
1
4
2
ln
y
=
ln
x
+
ln(
x
+ −
1) 5 ln(3
x
+
2)
DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLO 7
Derivando implicitamente em relação a x temos
Isolando dy/dx, obtemos
2
1
3 1
1
2
3
5
4
2
1
3
2
dy
x
y dx
= ⋅ + ⋅
x
x
+
− ⋅
x
+
2
3
15
4
1
3
2
dy
x
y
dx
x
x
x
⎛
⎞
=
⎜
+
−
⎟
+
+
⎝
⎠
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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLO 7
Como temos uma expressão explícita para y,
podemos substituí-lo por ela e escrever
3 / 4
2
5
2
1
3
15
4
3
2
(3
2)
1
dy
x
x
x
dx
x
x
x
x
+ ⎛
⎞
=
⎜
+
−
⎟
+
+
⎝
+
⎠
PASSOS NA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
1.
Tome o logaritmo
natural em
ambos os
lados
de uma
equação
y =
f (x) e use as
Propriedades
dos Logaritmos
para
simplificar.
2.
Derive implicitamente
em
relação
a x.
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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
Se f (x) < 0 para
algum
valor de x, então
ln
f (x) não
está
definida, mas
podemos
escrever
|y|
=
|f (x)|
e usar
a Equação
4.
Ilustramos
esse
procedimento
demonstrando
a versão
geral
da
Regra
da
Potência, como
prometemos
na
Seção
3.1.
A REGRA DA POTÊNCIA
Demonstração
Se n for qualquer
número
real e f (x) = x
n
,
então
f’
(x) = nx
n-1.
Seja
y =
x
n
. Use a derivação
logarítmica:
Consequentemente
ln
y
=
ln
x
n
=
n
ln
x x
≠
0
'
y
n
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A REGRA DA POTÊNCIA
Demonstração
Daí,
Você
deve
distinguir
cuidadosamente
entre:
a Regra da Potência [(x
n
)’ = nx
n-1
], na qual a base
é variável e o expoente, constante;
a regra para diferenciar as funções exponenciais
[(a
x
)’ = a
x
ln a], na qual a base é constante e o
expoente, variável.
1
'
n
n
y
x
y
n
n
nx
x
x
−
=
=
=
DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
Em
geral
há
quatro
casos
para
os
expoentes
e
as bases:
1.
(a
e b são
constantes)
2.
3.
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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLO 8
Derive
Solução 1: Usando a derivação logarítmica, temos
ln
ln
ln
'
1
1
(ln )
2
1
ln
2
ln
'
2
2
x
x
y
x
x
x
y
x
x
y
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
=
=
=
⋅ +
⎛
⎞
⎛
+
⎞
=
⎜
+
⎟
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
x
y
=
x
DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLO 8
Solução 2: Outro método é escrever
ln
ln
(
)
(
)
(
ln )
2
ln
2
x
x
x
x
x
x
d
d
x
e
dx
dx
d
e
x
x
dx
x
x
x
=
=
⎛
+
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
ln
(
)
x
x
x
x
=
e
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O NÚMERO e COMO UM LIMITE
Já
mostramos
que
se f (x) = ln
x, então
f’
(x) = 1/x. Assim, f’
(1) = 1.
Agora, usamos
esse
fato
para
expressar
o
número
e como
um limite.
Da
definição
de derivada
como
um limite,
temos:
O NÚMERO e COMO UM LIMITE
0
0
0
0
1
0
(1
)
(1)
(1
)
(1)
'(1)
lim
lim
ln(1
)
ln1
1
lim
lim
ln(1
)
lim ln(1
)
h
x
x
x
x
x
f
h
f
f
x
f
f
h
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
→
+
−
+
−
=
=
+
−
=
=
+
=
+
Como f’
(1) = 1, temos
1
0
lim ln(1
)
x
1
x
→
+
x
=
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O NÚMERO e COMO UM LIMITE
A Fórmula
5 está
ilustrada
pelo
gráfico
da
função
y =
(1 + x)
1/x
da
figura
e na
tabela
para
os
valores
pequenos
de x.
O NÚMERO e COMO UM LIMITE
Isso
ilustra
o fato
de que, correto
até
a
sétima
casa decimal,
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