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calculo aula3.5[1]

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Texto

(1)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Capítulo 3

(2)

3.6

Derivadas de Funções Logarítmicas

Nesta

seção, nós

aprenderemos

sobre:

usar

a derivação

implícita

para

achar

as derivadas

das funções

logarítmicas

e, em

particular, da

(3)

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Um exemplo de função logarítmica é

y =

log

a

x

Um exemplo da função logarítmica

natural é

y =

ln

x

(4)

É

possível demonstrar que as funções

logarítmicas são deriváveis: com certeza

isso é

plausível a partir dos seus gráficos.

(Veja a figura da

Seção 1.6.)]

(5)

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Seja y =

log

a

x. Então a

y

= x

Derivando essa equação implicitamente em

relação a x, usando a Fórmula 3.4.5,

obtemos:

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 1

1

(log

)

ln

a

d

x

dx

=

x

a

(6)

E assim,

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 1

1

1

ln

ln

y

dy

dx

=

a

a

=

x

a

(ln )

1

y

dy

a

a

dx

=

(7)

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Se pusermos a =

e na Fórmula 1, então o

fator ln

a no lado direito torna-se ln

e =

1, e

obtemos a fórmula para a derivada da

função logarítmica natural log

e

x = ln

x:

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 2

1

(ln )

d

x

(8)

Comparando as Fórmulas 1 e 2, vemos uma

das principais razões para os logaritmos

naturais (logaritmos com base e) serem

usados em cálculo.

A fórmula de derivação é

a mais simples

quando a =

e, pois ln

e =

1.

(9)

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Derive y =

ln

(x

3

+ 1).

ƒ

Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x

3

+ 1.

Então y =

ln

u; logo:

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 1

2

2

3

3

1

1

3

(3

)

1

1

dy

dy du

du

x

x

dx

=

du dx

=

u dx

=

x

+

=

x

+

(10)

ƒ

De forma geral, se combinarmos a Fórmula 2 com a

Regra da Cadeia, como no Exemplo 1, obtemos

ou

(11)

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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 2

d

dx

Encontre

ln

(sen

x).

ƒ

Usando (3), temos

(12)

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 3

Derive

ƒ

Dessa vez o logaritmo é a função de dentro;

logo, a Regra da Cadeia dá

( )

ln

f x

=

x

1 2

1

2

'( )

(ln )

(ln )

1

1

1

2 ln

2

ln

d

f x

x

x

dx

x

x

x

x

=

=

⋅ =

(13)

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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 4

Derive f (x) = log

10

(2 + sen

x).

(14)

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 5

Encontre

ƒ

Solução 1:

d

dx

ln

x

1

x

2

1

x

1

x

2

d

dx

x

1

x

2

x

2

x

1

x

2 1 (x 1)

1

2

(x

2)

1 2

x

2

2

1)

1

ln

2

d

x

dx

x

+

(15)

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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 5

ƒ

Solução 2: Se primeiro simplificarmos a função dada

usando as propriedades do logaritmo, então a

derivação ficará mais fácil:

Essa

resposta

pode

ser deixada

assim, mas

se

usássemos

um denominador

comum

obteríamos

a

mesma

resposta

da

Solução

1.

[

1

]

2

1

ln

ln(

1)

ln(

2)

2

1

1

1

1

2

2

d

x

d

x

x

dx

x

dx

x

x

+

=

+ −

=

− ⎜

+

(16)

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 6

Encontre

f’

(x) se f (x) = ln

|x|.

ƒ

Uma vez que

(17)

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DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 6

Equação 4

O resultado

do Exemplo

6 vale a pena

ser

(18)

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

Os cálculos

de derivadas

de funções

complicadas

envolvendo

produtos,

quocientes

ou

potências

podem

muitas

vezes

ser simplificados

tomando-se os

logaritmos.

O método

usado

no exemplo

a seguir

é

(19)

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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO 7

Derive .

ƒ

Tome o logaritmo em ambos os lados da equação e

use as Propriedades do Logaritmo para simplificar:

3 / 4

2

5

1

(3

2)

x

x

y

x

+

=

+

2

3

1

4

2

ln

y

=

ln

x

+

ln(

x

+ −

1) 5 ln(3

x

+

2)

(20)

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO 7

ƒ

Derivando implicitamente em relação a x temos

ƒ

Isolando dy/dx, obtemos

2

1

3 1

1

2

3

5

4

2

1

3

2

dy

x

y dx

= ⋅ + ⋅

x

x

+

− ⋅

x

+

2

3

15

4

1

3

2

dy

x

y

dx

x

x

x

=

+

+

+

(21)

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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO 7

ƒ

Como temos uma expressão explícita para y,

podemos substituí-lo por ela e escrever

3 / 4

2

5

2

1

3

15

4

3

2

(3

2)

1

dy

x

x

x

dx

x

x

x

x

+ ⎛

=

+

+

+

+

(22)

PASSOS NA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

1.

Tome o logaritmo

natural em

ambos os

lados

de uma

equação

y =

f (x) e use as

Propriedades

dos Logaritmos

para

simplificar.

2.

Derive implicitamente

em

relação

a x.

(23)

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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

Se f (x) < 0 para

algum

valor de x, então

ln

f (x) não

está

definida, mas

podemos

escrever

|y|

=

|f (x)|

e usar

a Equação

4.

Ilustramos

esse

procedimento

demonstrando

a versão

geral

da

Regra

da

Potência, como

prometemos

na

Seção

3.1.

(24)

A REGRA DA POTÊNCIA

Demonstração

Se n for qualquer

número

real e f (x) = x

n

,

então

f’

(x) = nx

n-1.

Seja

y =

x

n

. Use a derivação

logarítmica:

Consequentemente

ln

y

=

ln

x

n

=

n

ln

x x

0

'

y

n

(25)

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A REGRA DA POTÊNCIA

Demonstração

Daí,

Você

deve

distinguir

cuidadosamente

entre:

ƒ

a Regra da Potência [(x

n

)’ = nx

n-1

], na qual a base

é variável e o expoente, constante;

ƒ

a regra para diferenciar as funções exponenciais

[(a

x

)’ = a

x

ln a], na qual a base é constante e o

expoente, variável.

1

'

n

n

y

x

y

n

n

nx

x

x

=

=

=

(26)

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

Em

geral

quatro

casos

para

os

expoentes

e

as bases:

1.

(a

e b são

constantes)

2.

3.

(27)

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DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO 8

Derive

ƒ

Solução 1: Usando a derivação logarítmica, temos

ln

ln

ln

'

1

1

(ln )

2

1

ln

2

ln

'

2

2

x

x

y

x

x

x

y

x

x

y

x

x

x

x

y

y

x

x

x

x

=

=

=

⋅ +

+

=

+

=

x

y

=

x

(28)

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO 8

ƒ

Solução 2: Outro método é escrever

ln

ln

(

)

(

)

(

ln )

2

ln

2

x

x

x

x

x

x

d

d

x

e

dx

dx

d

e

x

x

dx

x

x

x

=

=

+

=

ln

(

)

x

x

x

x

=

e

(29)

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O NÚMERO e COMO UM LIMITE

mostramos

que

se f (x) = ln

x, então

f’

(x) = 1/x. Assim, f’

(1) = 1.

Agora, usamos

esse

fato

para

expressar

o

número

e como

um limite.

Da

definição

de derivada

como

um limite,

temos:

(30)

O NÚMERO e COMO UM LIMITE

0

0

0

0

1

0

(1

)

(1)

(1

)

(1)

'(1)

lim

lim

ln(1

)

ln1

1

lim

lim

ln(1

)

lim ln(1

)

h

x

x

x

x

x

f

h

f

f

x

f

f

h

x

x

x

x

x

x

+

+

=

=

+

=

=

+

=

+

Como f’

(1) = 1, temos

1

0

lim ln(1

)

x

1

x

+

x

=

(31)

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O NÚMERO e COMO UM LIMITE

A Fórmula

5 está

ilustrada

pelo

gráfico

da

função

y =

(1 + x)

1/x

da

figura

e na

tabela

para

os

valores

pequenos

de x.

(32)

O NÚMERO e COMO UM LIMITE

Isso

ilustra

o fato

de que, correto

até

a

sétima

casa decimal,

(33)

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O NÚMERO e COMO UM LIMITE

Se colocarmos

n =

1/x na

Fórmula

5, então

n

→ ∞

quando

x

→ 0

+

, e uma

expressão

alternativa

para

e é

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