Um elemento finito de casca fina para analise elastoplastica de estruturas

CURSO DE PõS-GRADUAÇXO EM ENGENHARIA MECÂNICA

UM ELEMENTO FINITO DE CASCA FINA PARA ANALISE

ELÀSTOPLÃSTT CA DE ESTRUTURAS

DISSERTACXO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PARA A OBTENÇXO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

FLÃVIO TAKANE IMAEDA

FLÃVIO TAKANE IMAEDA

ESTA DISSERTAÇXO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇXO DO T ITULO DE

MESTRE E M ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇXO PROJETO,

APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÕS-GRADUAÇXO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

BANCA EXAMINADORA:

CLÕVIS SPERB

üLLOS - Ph.D.

À COSIPA, pelo incentivo e apoio ao desenvolvimento de novas

lecnol

oçfi a s ;

aos professores Carlos Alberto de Campos Selke e Arno Blass, pela

orientação deste trabalho.

1

INTRODUÇXO E REVISSO BIBLIOGRÁFICA

1

1.1

Introdução

1

1.1.1

DescriçSo do processo de desempenamento

1

1.2 Levaniamenio bibliográfico

4

1.2.1

Modelos exper

i mentai s

4

1.2.2 Análise utilizando métodos numéricos

8

1.3 Escopo do trabalho

11

2 SOLUÇXO NUMÉRICA DOS PROBLEMAS DA ELASTOPLASTCClDADE

13

2.1

Introdução

13

2.2 EquaçSes de equilíbrio

13

2.3 Formulação por elementos finitos

18

2.4 Atualização das tensSes

20

2.5 Integração da matriz rigidez

21

2.6 Solução numérica do sistema não linear

22

2.6.1

Método de Newton-Raphson

23

2.6.2 Método de Newton-Raphson modificado

24

2.6.3 Método BFGS

25

2.6.4 Comentários sobre os métodos iterativos

29

2.7 Critério de convergência

30

3 RELAÇÃO CONSTITUTIVA

32

3.1

Introdução

32

3.2 Relação constitutiva infinitesimal

32

3.2.1

Critério de escoamento de von Mises

33

3.2.2 EquaçSes de Prandtl -Reuss

34

3.2.3 Relação constitutiva elastoplástica

34

3.2.4 Critério de carregamento plástico

37

3.2.5 Relação constitutiva para o estado plano de

tensSes

38

3.2.6 Generalização da relação constitutiva

40

4.1

IntroduçSo

45

4.2 Descr-içSo dos graus de liberdade do elemento

45

4.3 Matriz da relação deformação/graus de liberdade

nodai s

49

4.4 Descrição da geometria

51

4.5 Determinação das bases locais

5£

4.6 Campo de deslocamentos

55

4.7 DeformaçSes devidas aos efeitos de membrana

56

4.7.1

Determinação de £

e e .

56

O s s o t t

4.7.2 Determinação do cisalhamento v

57

‘ Oat

4.8 Efei tos de f1exão

58

4.8.1

Cálculo das rotaçSes segundo as direç5es t

e

n CG, e e D

59

t

n

4.8.2 Eliminação dos graus

de

liberdade

do

centróide

63

4.8.3 Determinação das variaçQes de

curvatura

,

&

63

s s tt st

5 RESULTADOS NUMÉRICOS

65

5.1 Introdução

65

5.2 Casos lineares

65

5.2.1

"Patch t e s t "

65

5.2.2 Placa quadrada

69

5.2.3 Telhado cilindrico

73

5.2.4 Cilindro puncionado

73

5.2.5 Semi-esfera

76

5.2.6 Viga retilínea

81

5.3 Casos não lineares

81

5.3.1

Placa tracionada

83

5.3.2 Placa quadrada engastada c om

deformação

plástica

85

5.3.3 Casca esférica puncionada - "snap through”

89

5.3.4 Casca cilíndrica com grandes deslocamentos

e

1

Transformação do princípio variacional

07

2 Relação entre deformaçSes e graus de liberdade nodais

ÍOO

3 Matriz C fcO

relativa à. relação dof

or

mação/graus de

liberdade nodais

105

M

M

M

w CC J :k j ü K ] s C N D CB ] J S S T V

s

1-J f () k - t e n s o r t a x a de d e f o r m a ç ã o - t e n s o r de C a u c h u - t e n s o r de K i r c h h o f f - t e n s o r t a x a de v a r i a ç ã o de J a u m a n n do t e n s o r t e n s ã o de K i r c h h o f f - t e n s o r t e n s ã o n o m i n a l ou 1- P i o l a - K i r c h h o f f - rnatriz c o l u n a d a s v e i o c i d a d e s - m a t r i z c o l u n a do t e n s o r t a x a de d e f o r m a ç ã o - m a t r i z c o l u n a da t a x a de v a r i a ç ã o das f o r c a s e x t e r n a s - m a t r i z c o l u n a da t a x a de v a r i a ç ã o dos g r a u s de l i b e r d a d e n o d a i s - m a t r i z da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a - m a t r i z r i g i d e z l i n e a r - m a t r i z r i g i d e z da t e n s ã o inic i a l - m a t r i z das f u n ç õ e s i n t e r p o l a ç ã o - m a t r i z da r e l a ç ã o v e l o c i d a d e / t a x a de v a r i a ç ã o dos g r a u s de l i b e r d a d e n o d a i s - r e l a ç ã o e n t r e o v o l u m e n o e s t a d o de r e f e r ê n c i a e o v o l u m e na c o n f i g u r a c ã o em c o n s i d e r a ç ã o - ár e a - s u p e r f í c i e o n d e f o r a m e s p e c i f i c a d a s as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o de N e u m a n n - v o l u m e - t e n s o r d e v i a t ó r i c o do t e n s o r de C a u c h y - f u n c ã o e s c o a m e n t o - p a r â m e t r o de e n c r u a m e n t o - t e n s ã o de e s c o a m e n t o

Um elemento finito de casca fina com nove nós,

e m cuja

formulação se utilizam as hipóteses de Kirchhoff discretizadas,

ó

desenvolvido para a solução de problemas elastoplásticos em

estruturas.

Utiliza—se uma f

ormuiaçao lagrangiana atualizada,

baseada no princípio dos trabalhos virtuais.

Para representar o comportamento do material, ó adotada a lei

de escoamento de Prandtl-Reuss»

associada

ao

critério

de

escoamento de von Mises e à lei de encruamento isotrópico.

 validade e o bom desempenho do elemento

de

casca

implementado foram constatados através da análise de diversos

problemas envolvendo placas e cascas.

A thin shell

finite **1 emont wi t-h

nine

n o d e s »

whose

formulation uses the discrete Kirchhoff hypothesis,

is developed

to solution structural

elasto-plastic problems.

An

updated

lagrangian formulation, based on the virtual

work

principle,

is

utilized.

The Prandtl-Reuss flow rule, associated with the Von Mises

yield criterion and with the isotropic hardening, is used to model

the behavior of the material.

The validity and good performance of the developed shell

finite element was verified through the analysis of several plates

and shells problems.

I N T R O D U C S O E R E V I S 2 0 B I B L I O G R ô F I C A 1.1. Int r o d u c ã o . A c o m p r e e n s ã o d os f e n ô m e n o s e n v o l v i d o s n os p r o c e s s o s de c o n f o r m a ç ã o m e c â n i c a é de g r a n d e i n t e r e s s e p a r a a i n d ú s t r i a d e v i d o à c o n s t a n t e n e c e s s i d a d e de a p e r f e i ç o a r a q u a l i d a d e do s s e u s P rodut os . Um m o d e l a m e n t o m a t e m á t i c o , que r e f l i t a a r e a l i d a d e física, a j u d a a m e l h o r c o n t r o l a r os p a r â m e t r o s i n t e r v e n i e n t e s no p r o c e s s o . At é r e c e n t e m e n t e , a e l a b o r a ç ã o d o s m o d e l o s m a t e m á t i c o s e r a feita, p r e d o m i n a n t e m e n t e , a t r a v é s da m o n t a g e m de e x p e r i m e n t o s a d e q u a d o s p a r a c a d a p r o c e s s o de f a b r i c a c ã o em e s t u d o . U l t i m a m e n t e , a r e d u ç ã o d os c u s t o s c o m p u t a c i o n a i s t o r n o u p o s s í v e l a a b o r d a g e m a t r a v é s do s m é t o d o s n u m é r i c o s . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o a p r e s e n t a o d e s e n v o l v i m e n t o de uma f e r r a m e n t a a ser u s a d a na m o d e l a ç ã o d os p,rocessos de d e s e m p e n a m e n t o de c h a p a s f i n a s a f r i o u s a n d o - s e o m é t o d o dos e l e m e n t o s finitos. 1.1.1. D e s c r i ç ã o do p r o c e s s o de d e s e m p e n a m e n t o . No p r o c e s s o de l a m i n a c ã o p o d e m o c o r r e r d e f o r m a ç õ e s p l á s t i c a s n ã o - u n i f o r m e s d a n d o o r i g e m a t e n s õ e s r e s i d u a i s na s tiras. D e p e n d e n d o d a s c o n d i ç õ e s d i t a d a s p e l a e s p e s s u r a , m ó d u l o de e l a s t i c i d a d e e n í v e i s de t e n s ã o , p o d e m s u r g i r f e n ô m e n o s de

i n s t a b i l i d a d e l o c a i s , os q u a i s s ã o v i s u a l i z a d o s a t r a v é s d e f e i t o s de p l a n i c i d a d e d a s c h a p a s . A F i g u r a i i l u s t r a e s t e de i m p e r f e i ç ã o .

Distribuição de tensões ao longo da largara

♦ tração

- compressão

O

o

o

de t i p o F i g u r a i D e f e i t o de p l a n i c i d a d e em c h a p a s

Os d e f e i t o s d e s s a n a t u r e z a s ã o p o s t e r i o r m e n t e c o r r i g i d o s p e l a s d e s e m p e n a d e i r a s , c u j o f u n c i o n a m e n t o e s t á e s q u e m a t i z a d o na F i g u r a 2. E s t a i l u s t r a ç ã o m o s t r a q u e a d i s t â n c i a v e r t i c a l e n t r e os r o l o s s u p e r i o r e s e i n f e r i o r e s v a r i a l i n e a r m e n t e ao l o n g o da m á q u i n a , c a r a c t e r i z a n d o a t é c n i c a d a r e g u l a g e m em c u nha . chapa F i g u r a £ - D e s e n h o e s q u e m á t i c o de u m a d e s e m p e n a d e i r a . N e s t e p r o c e s s o , o m a t e r i a l s o f r e u m a s é r i e de f l e x õ e s a l t e r n a d a s , à m e d i d a qu e p a s s a sob os r o l o s , f a z e n d o c o m que u m a p a r t e da c a m a d a se p l a s t i f i q u e e se d i s t e n d a . 0 f o r m a t o o n d u l a d o d o s d e f e i t o s f a v o r e c e a o c o r r ê n c i a de i n s t a b i 1 i d a d e s l o c a i s ; p o i s a f o r ç a de c o n t a t o a p l i c a d a p e l o s r o l o s p r o v o c a g r a n d e s d e s l o c a m e n t o s , p o r é m c o m p e q u e n a s d e f o r m a ç õ e s I s t o f a z c o m q u e as d e f o r m a ç õ e s a c o n t e ç a m de m a n e i r a s e l e t i v a . S ã o b e m m a i o r e s n a s r e g i õ e s s e m d e f e i t o d o que e m l o c a i s c o m e m p e n a m e n t o . E s t e s e f e i t o s t e n d e m a a n u l a r as d e f o r m a ç õ e s i r r e g u l a r e s i n i c i a i s qu e p r o v o c a m o p r o b l e m a d o e m p e n a m e n t o .

0 c o n t r o l e do p r o c e s s o se faz r e g u l a n d o a d i s t â n c i a e n t r e os r o l o s s u p e r i o r e s e i n f e r i o r e s que é d a d a p e l a c o t a K m o s t r a d a na F i g u r a 2. A d i c i o n a l m e n t e , as t i r a s p o d e m ser s u b m e t i d a s a t e n s õ e s de t r a ç ã o na d i r e ç ã o l o n g i t u d i n a l á c h a p a . Os e q u i p a m e n t o s que a s s i m f u n c i o n a m s ã o d e n o m i n a d o s d e s e m p e n a d e i r a s sob ten s ã o . Os a r t i g o s que t r a t a m d e s t a c a t e g o r i a de m á q u i n a (C 37 1 a Í 3 9 1 , C42], C 4 4 D a C49Ü, C 5 1 D e C 5 2 3 ) u s a m m o d e l o s m a t e m á t i c o s s i m p l e s . Os r e s u l t a d o s s ã o s a t i s f a t ó r i o s a p e s a r de t a i s m o d e l o s nã o c o n s i d e r a r e m a h i s t ó r i a do c a r r e g a m e n t o 0 i n t e r e s s e d e s t e t r a b a l h o , c o n t u d o , se c o n c e n t r a nos p r o c e s s o s se m t e n s ã o . N e s s a á r e a e n c o n t r a m - s e p o u c o s t r a b a l h o s de m o d e l a m e n t o m a t e m á t i c a (C40D, C41D, C43 D ) . S e g u n d o P a n k i n C 4 0 1 , os e r r o s que e s t e s a p r e s e n t a m p o d e m se r s i g n i f i c a t i v o s se no m o d e l a m e n t o n ã o for c o n s i d e r a d a a h i s t ó r i a do c a r r e g a m e n t o . 1.2. L e v a n t a m e n t o b i b 1 í o g r á f i c o 0 l e v a n t a m e n t o b i b l i o g r á f i c o foi d i v i d i d o em d i v e r s o s itens, de a c o r d o c o m as e t a p a s e n v o l v i d a s na i m p l e m e n t a ç ã o do m é t o d o do s e l e m e n t o s f i n i t o s . As r e f e r ê n c i a s b i b 1 i o g r á f i c a s a r e s p e i t o do s modelo':. o b t i d o s e x p e r i m e n t a l m e n t e f o r n e c e r a m '.ubsídios i m p o r t a n t e s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o das h i p ó t e s e s s i m p 1 i f i c a d o r a s 1.2.1. M o d e l o s e x p e r i m e n t a i s . G r a n d e p a r t e da l i t e r a t u r a a r e s p e i t o do d e s e m p e n a m e n t o p r o c u r a o b t e r e x p r e s s õ e s r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s p a r a o c á l c u l o de d e f o r m a ç õ e s a p a r t i r d o s d a d o s g e o m é t r i c o s e d a s p r o p r i e d a d e s d o s

m a t e r i a i s . O b s e r v a - s e que em c o m u m a p r e s e n t a m a l g u m a s h i p ó t e s e s : a) e s t a d o p l a n o de t e n s õ e s , b) m a t e r i a l i s o t r ó p i c o , c) d e s p r e z a m o e f e i t o B a u s c h i n g e r , d) d e s p r e z a m o e f e i t o do a t r i t o e n t r e o r o l o e a c h a p a , e) a d m i t e m p e q u e n a s d e f o r m a ç õ e s , f) s u p õ e m que a s e ç ã o p e r m a n e c e p l a n a e p e r p e n d i c u l a r à l i n h a m é d i a , g) n ã o l e v a m em c o n t a a v e l o c i d a d e d e d e f o r m a ç ã o , h) a g e o m e t r i a da c h a p a é c o n h e c i d a a p r i o r i , n ã o l e v a n d o e m c o n s i d e r a ç ã o o p r o b l e m a de c o n t a t o , i) d e s p r e z a m a s t e n s õ e s de t r a ç ã o na d i r e ç ã o t r a n s v e r s a l ao s e n t i d o de m o v i m e n t o d a c h a p a . A d m i t e m , b a s i c a m e n t e , qu e a c h a p a a p r e s e n t a a m e s m a c u r v a t u r a que os r o l o s , c o m o i l u s t r a a F i g u r a 3. F i g u r a 3 - A c u r v a t u r a d a c h a p a é s u p o s t a c o i n c i d e n t e c o m a da c h a p a . Os a u t o r e s a b a i x o e s t u d a m as d e s e m p e n a d e i r a s s o b t e n s ã o . chapa R o b e r t s e S h e p p a r d C 5 i D m o s t r a m que o r e s u l t a d o do m o d e l o m a t e m á t i c o é t a n t o m e l h o r , q u a n t o m a i o r for o v a l o r da

f o r c a de t r a ç ã o f m o s t r a d a n a F i g u r a 3. A e x p l i c a ç ã o p a r a i s s o e s t á a s s o c i a d a ao f a t o d e qu e o a u m e n t o de f a j u d a a f o r ç a r a c h a p a c o n t r a o r o l o , a g i n d o e m f a v o r da h i p ó t e s e m e n c i o n a d a no p a r á g r a f o a n t e r i o r . Y o s h i z a k i Í A 7 1 e K a w a g u c h i C 4 8 D a p r e s e n t a m um t i p o de d e s e m p e n a d e i r a p a r a c h a p a s m u i t o f i n a s ( e s p e s s u r a m e n o r que 0 , 3 mm). E s t a b e l e c e m u m c r i t é r i o de m e d i d a do d e f e i t o de p l a n i c i d a d e , d a d o p e l a e x p r e s s ã o E hv g r a u de e m p e n o = ---- ^--- . 100 (JO , c o m os h m e d i d o s s e g u n d o a F i g u r a 4 F i g u r a 4 - C r i t é r i o p a r a a m e d i d a d o e m p e n a m e n t o . Os a u t o r e s m o s t r a m que e x i s t e u m a c o r r e l a ç ã o e s t a t í s t i c a e n t r e o d e f e i t o , m e d i d o s e g u n d o o c r i t é r i o m o s t r a d o na e x p r e s s ã o a c i m a , a l o c a l i z a ç ã o d o s e m p e n a m e n t o s e o g r a u de a l o n g a m e n t o n e c e s s á r i o p a r a e l i m i n a r o p r o b l e m a . E s t e s d a d o s s ã o ú t e i s p a r a o

e s t a b e l e c i m e n t o do s v a l o r e s o r i e n t a t i v o s de r e g u l a g e m do

e q u i p a m e n t o .

T h o m p s o n [ 3 8 3 o b t é m a ma e x p r e s s ã o a n a l í t i c a p a r a

c a l c u l a r o e n c u r v a m e n t o da t i r a s e m p r e c i s a r l e v a r em c o n s i d e r a ç ã o

a h i p ó t e s e de que a c h a p a a d q u i r a a m e s m a c u r v a t u r a que o rolo.

K i n n a v y C42D, f i n a l m e n t e , d e t e r m i n a a f o r c a m í n i m a de t r a c ã o f, m o s t r a d a na F i g u r a 3, p a r a que e s s a h i p ó t e s e , da c o n c o r d â n c i a e n t r e as c u r v a t u r a do r o l o e da c h a p a , s e j a v á l i d a . H a n a k i e K a t o C 4 Ó D f a z e m um t r a b a l h o e x p e r i m e n t a l m e d i n d o a d i s t r i b u i ç ã o de p r e s s ã o no a r c o de c o n t a t o e n t r e a c h a p a e o r o l o p a r a v á r i o s t i p o s de m a t e r i a i s da tira. P a t u l a C 3 7 Ü m o s t r a que o m o d e l a m e n t o a d e q u a d o r e q u e r a s u b d i v i s ã o da a n á l i s e em c i n c o c a s o s d i f e r e n t e s , os q u a i s d e p e n d e m b a s i c a m e n t e de c o m o é a d i s t r i b u i ç ã o d as t e n s õ e s ao l o n g o da e s p e s s u r a . Stark Í 3 9 3 faz um a a n á l i s e c o m p a r a t i v a e n t r e os m o d e l o s p r o p o s t o s p or K m n a v y C42 3 , S h e p p a r d & R o b e r t s C 5 0 3 e P a t u l a C373. A s e g u i r c o n s i d e r a m - s e os m o d e l o s p a r a d e s e m p e n a d e i r a s s e m t e n s í o n a m e n t o . A p r i n c i p a l d i f e r e n ç a em r e l a ç ã o a os a n t e r i o r e s r e s i d e

no fato de que a c h a p a n ã o c o n s e g u e a t i n g i r a m e s m a c u r v a t u r a dos

rolos. A c o n s e q ü ê n c i a de tal f a t o é que, agora, os p o n t o s de

c o n t a t o e n t r e a c h a p a e o r o l o n ã o s ã o c o n h e c i d o s a p r i o r i . Surge, e ntã o , a n e c e s s i d a d e de r e s o l v e r o p r o b l e m a de c o n t a t o . S t e n u d d C 4 1 D s u p õ e que a c h a p a a d q u i r a um a c u r v a t u r a c i l í n d r i c a , c u j o r a i o d e p e n d e da d i s t â n c i a v e r t i c a l e do e s p a ç a m e n t o h o r i z o n t a l e n t r e os rolos, da t e n s ã o de e s c o a m e n t o e do m ó d u l o de e l a s t i c i d a d e do m a t e r i a l . 0 a u t o r não le v a em c o n s i d e r a ç ã o os e f e i t o s de m e m b r a n a , a p e s a r da e x i s t ê n c i a do

a c o p l a m e n t o co m os e f e i t o s de f l e x ã o , um a v e z que os d e s l o c a m e n t o s v e r t i c a i s i m p o s t o s á c h a p a sã o d u a s a s e i s v e z e s m a i o r e s que a e s p e s s u r a da mesma. P a n k i n , T h i e l e e Z i e g l e r C 4 0 3 f a z e m u m a a n á l i s e m o s t r a n d o que a p r i n c i p a l f o n t e de e r r o s do s m o d e l o s a n a l í t i c o s e s t á na d i f i c u l d a d e em . c o n s e g u i r e x p r e s s õ e s que c o n s i d e r e m a h i s t ó r i a do c a r r e g a m e n t o . S e g u n d o os a u t o r e s , as f o r c a s 1 de c o n t a t o e n t r e o r o l o e à chap a , c a l c u l a d a s p o r m o d e l o s a n a l í t i c o s , l e v a m a e r r o s de até 200%. 1.2.2. A n á l i s e u t i l i z a n d o m é t o d o s n u m é r i c o s . A s e g u i r c o m e n t a m - s e as d i v e r s a s a b o r d a g e n s de a n á l i s e de c o n f o r m a ç ã o m e c â n i c a c o m o u s o do m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s . 0 l e v a n t a m e n t o b i b l i o g r á f i c o r e s t r i n g i u - s e ao s a r t i g o s que o p t a r a m p e l a s h i p ó t e s e s s i m p 1 i f i c a d o r a s que d e s p r e z a m os e f e i t o s t é r m i c o s e d i n â m i c o s . E s s a s h i p ó t e s e s s ão c o m u n s ao s t r a b a l h o s e x p e r i m e n t a i s m e n c i o n a d o s a n t e r i o r m e n t e ( i t e m 1.2.1. ). N a g t e g a a l & R e b e l o C 1D e N a g t e g a a l £ Jon g C 2H d e s c r e v e m os p o n t o s i m p o r t a n t e s p a r a a s i m u l a ç ã o do p r o c e s s o de c o n f o r m a ç ã o m e c â n i c a , que s ã o a e s c o l h a d o s t e n s o r e s , da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a e se u m é t o d o de i n t e g r a ç ã o , do a l g o r i t m o p a r a a a u t o m a ç ã o do p r o b l e m a de c o n t a t o e m o d e l a m e n t o do a t r i t o . R e c o m e n d a m a f o r m u l a ç ã o l a g r a n g i a n a a t u a l i z a d a p a r a a p l a s t i c i d a d e , p o i s a r e l a ç ã o c o n s t i t u t i t i v a , que v e m na f o r m a i n c r e m e n t a l , m e l h o r d e s c r e v e a r e a l i d a d e f í s i c a , se r e f e r i d a à c o n f i g u r a c ã o a t u a l i z a d a . S e g u n d o os a u t o r e s , os g r a n d e s d e s l o c a m e n t o s p r o d u z e m o e f e i t o a d i c i o n a l da d i s t o r ç ã o e x c e s s i v a da s m a l h a s do s e l e m e n t o s f i n i t o s , p r e j u d i c a n d o a p r e c i s ã o d a s r e s p o s t a s , t a i s c o n s e q ü ê n c i a s

p o d e m s er m i n o r a d a s s o b r e p o n d o - s e u m a n o v a m a l h a s o b r e a g e o m e t r i a d e f o r m a d a ( r e s o n i n g ) ou i n t r o d u z i n d o a l g u m a t é c n i c a de r e f i n o de m a l h a ( r e m e s h i n g ) . M c M e e k i n g & R i c e E 5□ e l a b o r a r a m um a f o r m u l a ç ã o f u n d a m e n t a d a no p r i n c i p i o v a r i a c i o n a l i n c r e m e n t a l de Hill C34H. E s t a f o r m u l a ç ã o é d e s e n v o l v i d a de tal f o r m a a p e r m i t i r sua i m p l e m e n t a ç ã o p o r m e i o de u m a a d a p t a ç ã o s i m p l e s de um p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n i t o s da e 1 a s t o p 1a s t i c1 d a de i n f i n i t e s i m a l . Os a u t o r e s g e n e r a l i z a m u m a r e l a ç ã o c o n s t i t u t í t v a e l a s t o p l á s t íca i n & f i n11 e s i m a 1 , de m a n e i r a a p o s s i b i l i t a r o us o d e s t a em c a s o s co m n ã o - l i n e a r i d a d e g e o m é t r i c a . P a r a isso, a d m i t e m que a m a t r i z C da r e l a ç ã o e n t r e o i n c r e m e n t o do t e n s o r de C a u c h y e o i n c r e m e n t o de d e f o r m a ç ã o , é a p r o p r i a d a p a r a e s t a b e l e c e r , agora, a r e l a ç ã o e n t r e o t e n s o r t e n s ã o de J a u m a n n e o t e n s o r t a x a de d e f o r m a ç ã o . E s s a f o r m u l a ç ã o foi u t i l i z a d a p o s t e r i o r m e n t e p o r K i k u c h i & C h e n g Z 2 Í 3 e po r C h a n d r a C14D, r e s p e c t i v a m e n t e , n a s a n á l i s e s dos p r o c e s s o s de e x t r u s ã o e e s t a m p a g e m . K i k u c h i & C h e n g [ 2 i D p r o p õ e m um a f o r m u l a ç ã o g e r a l p a r a c a s o s c o m g r a n d e s d e f o r m a ç õ e s e c o n t a t o c om a t r i t o . 0 p r o b l e m a de c o n t a t o é c o n s i d e r a d o em d u a s d i r e ç õ e s loc a i s : na d i r e ç ã o n o r m a l à i n t e r f a c e i m p õ e - s e a c o n d i ç ã o u s u a l de que o m a t e r i a l em p r o c e s s a m e n t o n ã o p o d e p e n e t r a r na m a t r i z . Já na d i r e ç ã o t a n g e n c i a l , as f o r c a s de a t r i t o s ã o f o r m u l a d a s a t r a v é s do c r i t é r i o de d e s l i z a m e n t o i s o t r ó p i c o de C o u l o m b , que te m a m e s m a f o r m a u s u a l m e n t e a d o t a d a na p l a s t i c i d a d e Um p r o c e s s o de c o n f o r m a ç ã o , c o m a n á l i s e s já e f e t u a d a s p o r e l e m e n t o s f i n i t o s , e que t e m a s p e c t o s s e m e l h a n t e s c o m o d e s e m p e n a m e n t o , é a e s t a m p a g e m de c h a p a s . 0 a r t i g o s a b a i x o a b o r d a m e s t e t i p o de t r a b a l h o .

UJang e EtiCLarisky C óH m o d e l a m o p r o c e s s o de e s t a m p a g e m em f o r m a t o s a r b i t r á r i o s de p e c a s , c o n s i d e r a n d o a p e n a s o e f e i t o de m e m b r a n a p a r a um m a t e r i a l e 1a s t o p 1 á s t i c c . G e r m a i n , C h u n g e W a g o n e r í 2 7 1, i n c l u e m a i n f l u ê n c i a da v e l o c i d a d e de d e f o r m a ç ã o , u t i l i z a n d o um m o d e l o r í g i d o - v i s c o p 1 á s t i c o . Os e f e i t o s de f l e x ã o , p a r a os c a s o s a x i s s i m é t r i c o s , são i n c l u í d o s no t r a b a l h o de UJang e T a n g C l7 2 . . C h a n d r a C 1 4 D t a m b é m c o n s i d e r a a f l e x ã o e e m p r e g a a f o r m u l a ç ã o p r o p o s t a po r M c M e e k i n g e R i c e C 5H p a r a a c o n s t r u ç ã o da m a t r i z r i g i d e z . A p a r t i r d e s t e ponto, a r e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a se r á d i r i g i d a p a r a a r t i g o s que t r a t e m e s p e c i f i c a m e n t e de e l e m e n t o s de c a s c a a p l i c a d o s a p r o b l e m a s da e l a s t o p 1a s t i c i d a d e . A b a y a k o o n C 2 9 D d e s e n v o l v e u o m é t o d o de t i r a s f i n i t a s ( f i n i t e s t r i p m e t h o d ) p a r a o u s o em g r a n d e s d e s l o c a m e n t o s com d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a . A v a n t a g e m d e s t e m é t o d o c o n s i s t e b a s i c a m e n t e em f a z e r a n a l o g i a c om o c o m p o r t a m e n t o de u m a viga, d i m i n u i n d o a q u a n t i d a d e de g r a u s de l i b e r d a d e do e l e m e n t o . No e n t a n t o , as f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o do e l e m e n t o c o n t ê m s é r i e s de F o u n e r que p r e c i s a m ser e s c o l h i d a s , a d e q u a d a m e n t e , p a r a c a d a t i p o de c o n d i ç ã o de cont o r n o . D i n i s & O w e n C 1 5 U i m p l e m e n t a m o u s o do e l e m e n t o de c a s c a f i n a c o n h e c i d o c o m o S e m i l o o f C 2 2 D p a r a um a d e s c r i ç ã o l a g r a n g i a n a a t u a l i z a d a . E l e s u t i l i z a m o m o d e l o da r ó t u l a p l á s t i c a , a d m i t i n d o que a p l a s t i f i c a ç ã o o c o r r a i n s t a n t a n e a m e n t e em t o d a a seç ã o , e p a r a isso a d o t a m o c r i t é r i o de e s c o a m e n t o de I l y u s h i n C2óD, e x p r e s s o em f u n ç ã o de m o m e n t o s f l e t o r e s e t e n s õ e s r e s u l t a n t e s . Os i n c r e m e n t o s de r o t a ç ã o s ã o s u p o s t o s p e q u e n o s e os t e r m o s nã o l i n e a r e s d a s r e l a ç õ e s d e f o r m a ç õ e s - d e s l o c a m e n t o s f o r a m d e s p r e z a d o s . P a r i s h C 3 3 3 e s t e n d e o u s o d o e l e m e n t o de c a s c a de 4 nós,

d e s e n v o l v i d o p o r M a c N e a l C23 D , p a r a os p r o b l e m a s de p l a s t i c i d a d e c o m nã o l i n e a r i d a d e g e o m é t r i c a . T a n t o a i n t e g r a ç ã o da m a t r i z r i g id e z , c o m o o c á l c u l o da s f o r ç a s n o d a i s sã o f e i t o s d i v i d i n d o - s e a c a s c a em d i v e r s a s c a m a d a s de m e s m a e s p e s s u r a , e c a l c u l a n d o - s e as v a r i á v e i s no p o n t o m é d i o de c a d a u ma d e s t a s A d i v i s ã o po r c a m a d a s , q u a n d o se te m d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a , v i s a p e r m i t i r a a d e q u a d a d e s c r i ç ã o do se u c o m p l e x o p e r f i l de d i s t r i b u i ç ã o das t e n s õ e s . 0 m e s m o m é t o d o de i n t e g r a ç ã o po r c a m a d a s é v i s t o no t r a b a l h o de Ya n g & S a i g a l C363. N a g t e g a a l e S l a t e r C 1 9 D d e s e n v o l v e r a m um e l e m e n t o de c a s c a fin a s e m e l h a n t e ao S e m i l o o f C 2 2 D p o r é m c o m m e n o r n ú m e r o de nós, s i m p l i f i c a n d o a f o r m u l a ç ã o . A g e o m e t r i a e os e f e i t o s de m e m b r a n a s ã o d e s c r i t o s p o r f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o l i n e a r e s , e is t o c a u s a p r o b l e m a s de e x c e s s i v a r i g i d e z p a r a o c i s a l h a m e n t o de m e m b r a n a C ó i H P a r a s u p l a n t a r e s t a d e f i c i ê n c i a , os a u t o r e s c a l c u l a m a m a t r i z r i g i d e z s u p o n d o que e s t e c i s a l h a m e n t o s e j a c o n s t a n t e e igual ao v a l o r c a l c u l a d o no c e n t r ó i d e do e l e m e n t o . I d ê n t i c o p r o c e d i m e n t o foi i m p l a n t a d o p or M a c N e a l C233. P o d e m - s e e n c o n t r a r t r a b a l h o s c om e l e m e n t o s h í b r i d o s (C 8 D e [ i 1 D ), ou m i s t o s C18D, p a r a a á r e a de p l a s t i c i d a d e . A t u a l m e n t e , no e n t a n t o , a su a a p l i c a ç ã o se r e s t r i n g e a c a s o s s i m p l e s . No l e v a n t a m e n t o b i b l i o g r á f i c o e f e t u a d o n ã o se e n c o n t r a m e x e m p l o s u t i l i z a d o s em p r o c e s s s o s de c o n f o r m a ç ã o . 1.3. E s c o p o do t r a b a l h o . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o p r e t e n d e d e s e n v o l v e r f e r r a m e n t a s c o m p u t a c i o n a i s p a r a a a n á l i s e do p r o c e s s o de d e s e m p e n a m e n t o p e l o m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s ; a b r a n g e , e s p e c i f i c a m e n t e , a

i m p l e m e n t a ç ã o de um e l e m e n t o de c a s c a f i n a c o m n ã o l i n e a r i d a d e s de

m a t e r i a l e de g e o m e t r i a , s e m c o n s i d e r a r os e f e i t o s d i n â m i c o s . N ão

e s t á i n c l u í d o o e s t u d o do p r o b l e m a de c o n t a t o .

0 c o m p o r t a m e n t o f í s i c o foi d e s c r i t o a t r a v é s da

f o r m u l a ç ã o l a g r a n g i a n a a t u a l i z a d a , c o n f o r m e p r o p o s t o p or M c M e e k i n g

& R i c e C 5 D e K i k u c h i & C h e n g C213. Foi e s c o l h i d o o e l e m e n t o de

c a s c a p r o p o s t o p or N a g t e g a a l & S l a t e r C19D. Na r e l a ç ã o

c o n s t i t u t i v a foi u t i l i z a d o o c r i t é r i o de e s c o a m e n t o de Uon M i s e s ,

a t e o r i a i n c r e m e n t a l de P r a n d t 1- R e u s s e e n c r u a m e n t o i s o t r ó p i ç o .

Sã o a p r e s e n t a d o s d i v e r s o s e x e m p l o s c o m p a r a t i v o s p a r a

S 0 L U C 2 0 N U M É R I C A D O S P R O B L E M A S DA E L A S T O P L A S T I C I D A D E 2 .í . Int r o d u c ã o . A p r e s e n t a - s e , n e s t e c a p í t u l o , a -Formulação po r e l e m e n t o s f i n i t o s p a r a a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s e n v o l v e n d o g r a n d e s d e f o r m a ç õ e s p l á s t i c a s e não l i n e a r i d a d e g e o m é t r i c a . 0 t r a b a l h o b a s e i a - s e nas f o r m u l a ç õ e s a p r e s e n t a d a s p o r M c M e e k i n g & R i c e C 5 3 . 0 m o t i v o d e s s a e s c o l h a foi f u n d a m e n t a d a em d o i s fatos. 0 p r i m e i r o , d e v e - s e aos b o n s r e s u l t a d o s o b t i d o s p or C h a n d r a C 143 e K i k u c h i & C h e n g C213, q u a n d o u t i l i z a r a m e s t a f o r m u l a ç ã o na a n á l i s e , r e s p e c t i v a m e n t e , do s p r o c e s s o s de e s t a m p a g e m e e x t r u s ã o .. 0 s e g u n d o , p o r q u e a f o r m u l a ç ã o p e r m i t e a p r o v e i t a r um d e t e r m i n a d o p r o g r a m a , e x i s t e n t e , de e l e m e n t o s f i n i t o s da e l a s t o p 1a s t i c i d a d e p a r a p e q u e n a s - d e f o r m a ç õ e s , d e s l o c a m e n t o s e r o t a c o e s . P a r a ta. n e c e s s i t a m - s e p e q u e n a s a d a p t a ç õ e s que s e r ã o m o s t r a d a s no d e c o r r e r do c a p í t u l o . 0 m é t o d o u t i l i z a 0 p r i n c í p i o v a n a c i o n a l , i n c r e m e n t a l , d os t r a b a l h o s v i r t u a i s a p r e s e n t a d o p o r Hill C3 4 3. Na s e c ã o 2 . 2 é v i s t o que e s t e p r i n c í p i o é c o n v e r t i d o em t e r m o s dos t e n s o r e s e s c o l h i d o s p a r a e x p r i m i r a r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a . As e q u a ç õ e s de e q u i l í b r i o sã o o b t i d a s a t r a v é s da d e s c r i c ã o l a g r a n g i a n a a t u a l i z a d a . 2.2. E q u a ç õ e s de e q u i l í b r i o . 0 d e s l o c a m e n t o de um c o r p o s u j e i t o a e s f o r ç o s e x t e r n o s p o d e se r r e p r e s e n t a d o p o r

x = x (X , t ) , o n d e t r e p r e s e n t a o t e m p o , e X a p o s i ç ã o de u m a p a r t í c u l a X em r e l a ç ã o a um s i s t e m a de r e f e r ê n c i a f i x o e o r t o n o r m a l . conf iguração F i g u r a 5 - D e f i n i ç ã o d a s c o n f i g u r a ç õ e s p a r a à d e s c r i ç ã o l a g r a n g i a n a a t u a l i z a d a A t r a j e t ó r i a do c a r r e g a m e n t o é o b t i d a a c r e s c e n t a d o - s e s u c e s s i v o s i n c r e m e n t o s de c a r g a ao c o r p o s ó l i d o , os q u a i s o r i g i n a m a s e q ü ê n c i a

no c a r r e g a m e n t o . S u p o n d o - s e que s e j a m c o n h e c i d a s as s o l u ç õ e s a té o i n s t a n t e t, o p r o b l e m a c o n s i s t i r á em d e t e r m i n a r t o d a s as v a r i á v e i s de e s t a d o em t+At, d a d o ü v a l o r do i n c r e m e n t o de c a r g a e n t r e e s t e s i n s t a n t e s . C h e g a - s e à e q u a ç ã o final de e q u i l í b r i o p r o c e d e n d o - s e da m e s m a f o r m a p a r a os i n s t a n t e s s e g u i n t e s . As c o n f i g u r a ç õ e s de i n t e r e s s e z e r ã o C , no i n s t a n t e o ■

inic i a l t , L't no i n s t a n t e t e em t+At, as q u a i s p o d e m ser

o b s e r v a d a s na F i g u r a 5 acim a . D e v i d o à n a t u r e z a r e f e r e n c i a l da d e s c n c ã o l a g r a n g i a n a o v e t o r p o s i ç ã o X de c a d a p o n t o do s ó l i d o fi c a c o n s t a n t e d u r a n t e o i n t e r v a l o de t e m p o Ct,t+Atl!. No fim de c a d a i n t e r v a l o a c o n f i g u r a ç ã o g e o m é t r i c a , be m c o m o as t e n s õ è s , s ão a t u a l i z a d a s . 0 p r i n c í p i o v a r i a c i o n a l i n c r e m e n t a l , a p r e s e n t a d o por Hill l 3 4 3

,

que o r i g i n a l m e n t e é r e f e r i d o à c o n f i g u r a ç ã o i n i c i a l C o te m a s e g u i n t e f o r m a :' (2.1) em que O ( ) r e p r e s e n t a a d e r i v a d a da v a r i á v e l em r e l a ç ã o ao tem p o , e S° são, r e s p e c t i v a m e n t e , o v o l u m e e a s u p e r f í c i e de c o n t o r n o i n i c i a i s , , - » , o t e o t e n s o r t e n s ã o n o m i n a l , n a o s i m é t r i c o , ou 1 t e n s o r de

Piola-Kirchhoff, definido de ta.1 maneira que uma força f por

unidade de área da configuração de referência com o vetor

1

°

.

o.

normal n se expressa por f - n t

;

t 1 Cj

b é a força de corpo por unidade de volume inicial;

óv representa uma variação virtual arbitrária da velocidade

com valor

nulo,

onde v está especificado,

ou seja,

em

S0 - S° ;

T

denomina a superfície de referência onde os vetores

tração são especificados.

O

próximo passo será definir o tensor taxa de variação

de tensão adequado para descrever

as propriedades do m a t e r i a l »

quando sujeito a grandes deslocamentos,

sendo desejável

que o

mesmo seja independente das

rotaçSes e deslocamentos de corpo

O

rígido. Como o tensor t não preenche esta condição C34], McMeeking

& Rice E53, sugerem o tensor incremento co-rotacional

do tensor

Hf

tensão de Kirchhoff

t

Cou tensor de JaumannD para a descrição da

relação constitutiva. Aqui

deve—se ressalvar

que o tensor

de

Jaumann, segundo Simo & Pister C67] è Moss C68], não produz bons

resultados em deformaçSes de cisalhamento simples.

A relação entre ambos os tensores é

CS]

t .

.

= t *

.

-

t

D .

- r., D, .

+ t

v.,

C2.2D

tj

ij

kj ku

tk kj

tk j,k

em que

t

= tensor de Kirchhoff,

á v

v

-

J

j.,k

dx

D. <-j [ v L >-J . + V J A J1 , ( 2 . 3 ) A r e l a ç ã o e n t r e o t e n s o r de K i r c h h o f f e de C a u c h y é d a d a por: t = J <r . , (2.4) Vj LJ o n d e J é a r a z ã o e n t r e os v o l u m e s do c o r p o no e s t a d o de r e f e r ê n c i a (is t o é no i n s t a n t e t) e no i n s t a n t e i n t e r m e d i á r i o p e r t e n c e n t e ao i n t e r v a l o C t , t + A t ] . V e r i f i c a - s e . que no i n s t a n t e i n i c i a l t, t = <r ; p o i s J te m v a l o r u n i t á r i o no i n í c i o do i n c r e m e n t o . A s s i m a e q u a ç ã o 2. 2 t r a n s f o r m a - s e em:

*

*

t. ■ = t. . - ■ D. . - D, . + <r , v . . (2.5) ij VJ k j k i i k k j v k j,k S u b s t i t u i n d o - s e a e x p r e s s ã o 2 . 5 na e q u a ç ã o 2.1, t e m - s e , p a r a a c o n f i g u r a ç ã o no i n s t a n t e t ( v id e A p ê n d i c e 1): dV t \ ÔD. . --- D, D,. - v, v, .] >• J '-J 2 Y v <-k k j k A f<5v dS + b ,<5v dV, (2.6) l l. i V s J V o n d e : *J = v o l u m e no i n s t a n t e t, o e f, b = t a x a de v a r i a ç ã o da s i n t e n s i d a d e s de forca, r e s p e c t i v a m e n t e p o r u n i d a d e de á r e a e de v o l u m e da c o n f i g u r á c ã o em t A t r a n s f o r m a ç ã o d a e q u a ç ã o 2.1 p a r a 2. 6 foi e f e t u a d a v i s a n d o o u s o d i r e t o da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a em t e r m o s da t a x a de

v a r i a ç ã o de t e n s ã o . A o u t r a f o r m a p o s s í v e l , e t r a t a d a p or H i b b i t t , M a r c a i e R i c e Í A 1 ou G a d a l a C7 1 , s e r i a a c o n v e r s ã o d a q u e l a r e l a ç ã o d e f o r m a ç ã o que a p a r e c e m na f o r m u l a ç ã o v a r i a c i o n a l da e q u a ç ã o 2.1. 2.3. F o r m u l a ç ã o p o r e l e m e n t o s f i n i t o s A p a r t i r do p r i n c í p i o v a r i a c i o n a l e x p o s t o na e q u a ç ã o 2.6, o b t é m - s e a e x p r e s s ã o m a t r i c i a l do s e l e m e n t o s fini t o s . I n i c i a l m e n t e d e f i n e m - s e as e q u a ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o das ve 1o c i da d e s c o n s t i t u t i v a (2.10) em t e r m o s d as m e d i d a s de t e n s ã o e de (2.7) na qual ■{ v ^ = v e t o r da v e l o c i d a d e , w - t a x a de v a r i a ç ã o d o s g r a u s de l i b e r d a d e n o d a i s , [ N ] = m a t r i z d a s f u n ç õ e s i n t e r p o l a ç ã o , e (2.8) s e n d o ■{ D }■ o v e t o r que r e p r e s e n t a o t e n s o r t a x a de d e f o r m a ç ã o . As m a t r i z e s C B D e C N 1 t êm a r e l a ç ã o (2.9) s e n d o CN ] e [ B. . ] as l i n h a s da s m a t r i z e s N e B < 2 . 9 . a )

Dij = [ ] W (2 . 9 . b . ) As e q u a ç õ e s 2 . 7 e 2 . 8 s e g u e m d i r e t a m e n t e da e x t e n s ã o das e q u a ç õ e s m a t r i c i a i s e x i s t e n t e s p a r a as f o r m u l a ç õ e s de p e q u e n a s d e f o r m a ç õ e s . A m a t r i z C N ] e x p r e s s a ■{ v ^ em t e r m o s da t a x a de v a r i a ç ã o d os g r a u s de l i b e r d a d e n o d a i s , e C B U , a m a t r i z da r e l a ç ã o o e n t r e Cv3 e 3 (ta x a de v a r i a ç ã o d a s d e f o r m a ç õ e s ) . As m a t r i z e s N g B e l e m e n t o de c a s c a e s c o l h i d o p a r a d p r e s e n t e t r a b a l h o e s t ã o a p r e s e n t a d a s , em d e t a l h e s , no C a p í t u l o 4. T e n d o em c o n s i d e r a ç ã o as e q u a ç õ e s 2 .7 e 2.8, e a r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a e x p r e s s a po r (í 3 U ,[53) C r * 3 = [ C ] CD } , (2.10) a p a r c e l a J r ^ ^ D d V do p r i m e i r o m e m b r o da e q u a ç ã o 2 .6 s e r á d a d a por

{4 } T [ k, ] {

r } - [ J v M

T [c] [b] dv ] {

r } ,

(2.11) em que Í \ 1 = I [B]T [C] [b] dY (2 .12) v é a m a t r i z r i g i d e z d a s p e q u e n a s d e f o r m a ç õ e s e d e s l o c a m e n t o s . Qs d e m a i s c o m p o n e n t e s de 2 . 6 s ão d a d o s po r o T o p \ 6 V \ [ k J M = J [ 4 vtl ^ - s * D ki Btj ] d V (2.13) o n d e [ Ko] é a m a t r i z r i g i d e z da t e n s ã o i n i c i a l .

A u t i l i z a ç ã o da s e q u a ç õ e s 2 . 7 e 2 . 8 na e x p r e s s ã o a c i m a r e s u 1 ta em: [ K j = { ([ N j A ^ [ Nk] 3 - 5 [ B j % [Bkj]] dV V (2.14) Os t e r m o s c o r r e s p o n d e n t es ao t r a b a l h o i n c r e m e n t a l e x t e r n o ( s e g u n d o m e m b r o da e q u a ç ã o 2 . 6 . ) s ã o e x p r e s s o s por: O p T o p T o =

J [ N

]

M

dU +

J

[ N ] dS (E. 16) v s T 2.4. A t u a l i z a ç ã o d a s t e n s õ e s . No p r o c e d i m e n t o i n c r e m e n t a l , o b j e t i v a - s e o b t e r os v a l o r e s da s t e n s õ e s no i n s t a n t e t+At c o n h e c e n d o - s e de a n t e m ã o os t e n s o r e s t e n s ã o de C a u c h y no i n s t a n t e t. -0 v a l o r d o s c o m p o n e n t e s da t a x a de i n c r e m e n t o de t e n s ã o * ~ (T ) é c o n s e g u i d o v a l e n d o - s e da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a r e p r e s e n t a d a pel a e q u a ç ã o 2.10: T * v j = C k l v j k l D k f k l

*

^ Os c o m p o n e n t e s de t s ã o r e l a c i o n a d o s c o m os i n c r e m e n t o s de t e n s ã o de C a u c h y , r e f e r i d o s ao s i s t e m a fix o de c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s , - da s e g u i n t e forma:

*

T = <J". . - W <r . + <r u . .+ <r. . D, , (2.16) >. j vj \.k k j v k kj <-j k k c o m W.. = — £v - v 1 <-j 2 L <-j j a j c o n f o r m e m o s t r a K i k u c h i C213. /w o A p a r t i r da e q u a c a o 2 . 1 7 d e t e r m i n a - s e . que é o t e n s o r

t a x a de v a r i a ç ã o do t e n s o r de C a u c h y . A a t u a l i z a ç ã o do t e n s o r de

C a u c h y é f e i t a da f o r m a C 5 4 D

<t+Al> <t>

<r = <r + A<r (2 17)

em que A<r = Ái

2.5. I n t e g r a ç ã o da' m a t r i z r i g i d e z . A i n t e g r a ç ã o da m a t r i z r i g i d e z é f e i t a 'por m e i o de d o i s m é t o d o s d i f e r e n t e s P a r a as d i r e ç õ e s s , ~0, ou s e j a na s u p e f í c i e m é d i a da ca s c a , e m p r e g a - s e a t é c n i c a de i n t e g r a ç ã o da q u a d r a t u r a de G a u s s c om 2 x 2 p o n t o s C19D. Já na d i r e ç ã o n o r m a l , d i v i d e - s e a c a s c a em c a m a d a s p a r a l e l a s C 19 D ,C 2 0 U ,C 3 22,C 333; c o m o J a c o b i a n o a d m i t i d o c o m o c o n s t a n t e ao l o n g o da e s p e s s u r a . A m o t i v a ç ã o p a r a o t r a t a m e n t o d i f e r e n c i a d o v e m da n e c e s s i d a d e de m o d e l a r a d e q u a d a m e n t e a c o m p l e x a d i s t r i b u i ç ã o das t e n s õ e s , c a u s a d a s p e l a d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a ao l o ng o da e s p e s s u r a . Em c o r p o s s u j e i t o s à flex ã o , os p o n t o s de i n t e g r a ç ã o de G a u s s f i c a r i a m r e l a t i v a m e n t e d i s t a n t e s d a s f i b r a s m a i s e x t e r n a s , na s q u a i s se i n i c i a m as d e f o r m a ç õ e s p l á s t i c a s , e l e v a r i a m a um a i m p r e c i s ã o m u i t o g r a n d e na i n t e g r a ç ã o . P a r a os p r o c e d i m e n t o s de i n t e g r a ç ã o , a c a s c a é d i v i d i d a em um n ú m e r o pa r de c a m a d a s i g u a i s , c o n f o r m e m ò s t r a a F i g u r a 6 . As p r o p r i e d a d e s f í s i c a s no i n t e r i o r de c a d a um a d e l a s são s u p o s t a s c o n s t a n t e s e d e t e r m i n a d a s p e l o s s e u s p o n t o s m é d i o s . ü A p ê n d i c e 4 d e t a l h a a i m p l e m e n t a ç ã o da m a t r i z r i g i d e z .

i=n • i=n-V z. s uperfície média i = 2 • i=1 • Z' 2.n 2«i - n - 1 ■< s u p e r f í c i e média

exemplo de uma d is trib u iç ã o de tensões ao longo da camada

F i g u r a 6 - D i v i s ã o da c a s c a em c a m a d a s . 2 . 6 S o l u ç ã o n u m é r i c a do s i s t e m a n ã o l i near . A e q u a ç ã o m a t r i c i a l que se f o r m a a p a r t i r da 2 . 6 d e v e s e r r e s o l v i d a p o r um m é t o d o i t e r a t i v o p a r a se s o l u ç ã o a p r o x i m a d a e d e n t r o de u m a f a i x a de e x p r e s s ã o o b t e r u m a t o l e r â n c i a

pr

<é-®s

t

abei©cida.

No presente trabalho,

foram implementados os

métodos de Newton-Raphson modificado e BFGS.

2.6.1.

Método de Newton-Raphson.

No método de Newton-Raphson, as «quaçSes de equilíbrio

f ( 2u )

= O,

C2. 183

ou seja,

f(2u) = R(2

u

) - F(2

u

) ,

C2.19D

onde

R£2uQ = vetor das forças nodais externas,

no final

do

Incremento;

F

= vetor nas forças nodais internas;

2

u

= vetor

dos deslocamentos nodais para

a

configuração

de

equilíbrio

no

final

do

i ncremento;

sSo expandidos e m séries de T a y l o r , obtendo-se [35]

K L 1 Auv = 2R - F '■~1 ,

CS.aOD

onde

Au^ = u L - u V 4 , C2. 2 1 D

K v 1 = matriz rigidez;

os índices v

.

& i.-± denotam o número da iteração, os índices i

e

z indicam, respectivamente, as configuraçSes no início e no fim do

incremento.

F° = *F ,

C2.22D

u° = ‘u

,

C2.23D

K° =

K C 4uD.

C2. 24D

A apl i

caçSo da

expressão 2.20 está,

graficamente,

ilustrada pela Figura 7.

Figura 7

- Método iterativo de Newton-Raphson.

2.6.2.

Método de Newton-Raphson modificado.

O método de Newton-Raphson modificado diferencia—se do

anterior pelo fato da matriz

rigidez ser

atualizada apenas

no início de cada. incremento. Neste caso, a expressão 2.20 deverá,

ser alterada para

K ° Au

= ZR

- F V_1

(S. 25)

A F i g u r a 8 m o s t r a a r e p r e s e n t a ç ã o g r á f i c a d e s t e m é t o d o . F i g u r a 8 - M é t o d o de N e w t o n - R a p h s o n m o d i f i c a d o . 2 . 6 . 3 M é t o d o B F G S . 0 m é t o d o B F G S (B r o y d e n - F l e t c h e r - G o l d f a r b - S h a n n o ) é s e m e l h a n t e ao N e w t o n - R a p h s o n e p o r i s s o c o n s i d e r a d o , p o r B a t h e C35 3, c o m o um m é t o d o q u a s i - N e w t o n i a n o . A p r i n c i p a l d i f e r e n ç a e n t r e a m b o s c o n s i s t e na f o r m a de a t u a l i z a ç ã o da m a t r i z r i g i d e z , c o m o p o d e s e r v e r i f i c a d a p e l a e q u a ç ã o 2 . 2 8 a b a i x o . Os p r o c e d i m e n t o s i t e r a t i v o s do m é t o d o B F G S foi i m p l e m e n t a d o s e g u n d o o a l g o r i t m o a p r e s e n t a d o p o r M a t t h i e s & S t r a n g

[ Í 0 H que te m os s e g u i n t e s p a s s o s : A) São d a d o s os v a l o r e s i n i c i a i s p a r a a i t e r a ç ã o v ; 2 >.-1 u = v e t o r dos d e s l o c a m e n t o s n o d a i s , 2 Í . - 1 K = m a t r i z r i g i d e z , 2 _ L - á . F = v e t o r d as -Forcas n o d a i s ■ i n te r n a s ,

2

R = v e t o r da s f o r c a s n o d a i s e x t e r n a s ; c o m o í n d i c e 2 d e n o t a n d o o v a l o r de u m a v a r i á v e l no final do in c r e m e n t o . C a l c u l a - s e , n e s t e pas s o , a d i r e ç ã o de p r o c u r a

v-i

f 2_ 2_L-1

(2.26)

f2*-1]

í 2

r

- 2

f M ° s e n d o K o i n v e r s o da m a t r i z r i g i d e z no i n í c i o do i n c r e m e n t o B) D e t e r m i n a - s e , aqui, o v e t o r do s d e s l o c a m e n t o s n o d a i s u" = u 1'1 + s d (2.. 27) 0 p a r â m e t r o s é c a l c u l a d o i t e r a t i v a m e n t e s e g u n d o o m é t o d o c o n h e c i d o c o m o " l i n e s e a r c h " C 1 0 H e s e r á e x p l i c a d o a s e g u i r . C) C a l c u l a - s e , p o r u l t i m o , a m a t r i z r i g i d e z ( K-) p a r a a p r ó x i m a i t e r a ç ã o , p a r a isso, a m a t r i z d e v e s e r a t u a l i z a d a de f o r m a que 2. vi. i. K 6 = y , (2.28) com = u - u v_1 , . ( 2 , 2 9 ) r = F' - F V" \ <2.30)

e r e t o r n a - s e ao p a s s o i n i c i a l p a r a um a n o v a i t e r a ç ã o . A i n t e r p r e t a ç ã o g e o m é t r i c a da e q u a ç ã o 2.29 c o r r e s p o n d e a u m a a p r o x i m a ç ã o da s o l u ç ã o p o r s e c a n t e A F i g u r a 9 i l u s t r a a a p l i c a ç ã o em p r o b l e m a s c o m um g r a u de l i b e r d a d e , a d o t a n d o - s e o v a l o r u n i t á r i o p a r a o p a r â m e t r o s. □ m é t o d o " l i n e s e a r c h " t e m c o m o f i n a l i d a d e a c e l e r a r o p r o c e s s o i t e r a t i v o C o n s i s t e em p r o c u r a r , ao l o n g o da l i n h a u = u + s .d , v a r i a n d o - s e o p a r a m e t r o s, p or um a s o l u c a o tal que d T . (‘R - F") S 0 (2.31) Is t o e q u i v a l e a s a t i s f a z e r à d e s i g u l a d a d e

,T

2 _ 2 — i.

,

T 2 2 — v - l

d . ( R - F ) < st

o

1 • d . ( R

-

F

),

(2.32) p a r a um a t o l e r â n c i a (stol) p r é - e s t a b e l e c i d a . A a t u a l i z a ç ã o da m a t r i z r i g i d e z é e f e t u a d a da s e g u i n t e m a n e i r a em que

( )

l - l

£ I + w. vT J ^ ZK-1

[ I + v. wT

} ,

(2.33) T X 1- v ó y 1 / 2 & ZK ~i ô ' K ô - y (2.34)

<5V <5V

<2.35)

F i g u r a 9 - M é t o d o B F G S . P a r a se e v i t a r c á l c u l o s c o m m a t r i z e s mal c o n d i c i o n a d a s , a mat r i z a t u a l i z a d a s ó é u t i l i z a d a n a i t e r a ç ã o s e g u i n t e q u a n d o o 2 , - i n u m e r o de c o n d i c i o n a m e n t o c d a m a t r i z K , d a d o p o r i / 2 <SV <5C z K i ~ i 6 Í ( E .36)

s e j a m e n o r que um d e t e r m i n a d o v a l o r ( 1 0 J po r e x e m p l o )

A c o n v e r g ê n c i a da s o l u ç ã o d e p e n d e do v a l o r da t o l e r â n c i a

STÜL, que d e v e ser s u f i c i e n t e m e n t e bai x a , e da p o s s i b i l i d a d e de

u t i l i z a r a m a t r i z r i g i d e z a t u a l i z a d a em t o d a s as i t e r a ç õ e s C10H. M a s ist o n e m s e m p r e é p o s s í v e l , v i s t o que o v a l o r da t o l e r â n c i a S T O L n ã o p o d e se r m u i t o b ai x a , sob p e n a de e x i g i r um n ú m e r o p r o i b i t i v o de i t e r a ç õ e s ; a l é m d is s o , c o m o foi v i s t o a c i m a , a u t i l i z a ç ã o da m a t r i z r i g i d e z a t u a l i z a d a d e p e n d e do n ú m e r o de c o n d i c i o n a m e n t o da mesma. 2.6.4. C o m e n t á r i o s s o b r e os m é t o d o s i t e r a t i v o s . A p r e s e n ç a da d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a r e q u e r a l g u m a s c o n s i d e r a c õ e s s o b r e os m é t o d o s de r e s o l u ç ã o , c o n f o r m e m o s t r a B a t h e C 3 5 U . ü m é t o d o de N e w t o n - R a p h s o n , po r e x e m p l o , s e r á p r o b l e m á t i c o em m a t e r i a i s p e r f e i t a m e n t e p l á s t i c o s , p o i s a m a t r i z r i g i d e z p o d e r á t o r n a r - s e ou s i n g u l a r ou mal c o n d i c i o n a d a . 0 m é t o d o de N e w t o n - R a p h s o n m o d i f i c a d o , o n d e se a t u a l i z a a m a t r i z r i g i d e z a p e n a s no i n í c i o de c a d a i n c r e m e n t o , p o d e r á s u p l a n t a r o p r o b l e m a a n t e r i o r . No e n t a n t o , a v e l o c i d a d e de c o n v e r g ê n c i a p o d e r á s er m u i t o lenta. 0 p r o b l e m a , c o m u m a os m é t o d o s N e w t o n - R a p h s o n m o d i f i c a d o e BFGS, c a r a c t e r i z a d o p e l a s r e s p o s t a s t e n d e n d o a d i v e r g i r , s u r g e q u a n d o o c o r r e um a u m e n t o s ú b i t o da m a t r i z r i g i d e z que é m o s t r a d a p e l a t r a j e t ó r i a B- C da F i g u r a 10 C 35 H . F i s i c a m e n t e , a p a s s a g e m do p o n t o B p a r a o p o n t o C, c o r r e s p o n d e à m u d a n ç a do e s t a d o p l á s t i c o p a r a o e l á s t i c . S e g u n d o C h e n C 56 3 , o m é t o d o B F G S n ã o a p r e s e n t a as

d i f i c u l d a d e s r e l a t a d a s a c i m a , e m b o r a M a t t h i e s & S t r a n g C 1 0 D m o s t r e m que e x i s t e m l i m i t a ç õ e s que p o d e m l e v a r a s o l u ç õ e s n ã o c o n v e r g e n t e s . E s t a s l i m i t a ç õ e s s ã o c o m e n t a d a s no final do i t e m 2 . 6 . 3 .

30

f o r ç a F i g u r a 10 - G r á f i c o de u m e n s a i o de t r a c ã o s i m p l e s p a r a e x e m p l i f i c a r u m c a s o q u e p o d e a p r e s e n t a r p r o b l e m a s de c o n v e r g ê n c i a . 2.7. C r i t é r i o de c o n v e r g ê n c i a . A c o n v e r g ê n c i a d a s o l u ç ã o , p a r a um d a d o i n c r e m e n t o , é c o n t r o l a d o p e l a s e x p r e s s õ e s C 3 6 D N

.2 o n

V = 1 N 1/2 - T o l e r â n c i a , (2.3 7)

u t i l i z a d a p a r a c o n t r o l a r as f o r c a s n o d a i s , s

N

v = 1

1

_{K í '}

1/S

- T o l e r â n c i a , ( S . 3 8 ) u t i l i z a d a p a r a c o n t r o l a r os d e s l o c a m e n t o s n o d a i s . N e s t a s e x p r e s s õ e s r . = f o r c a r e s i d u a l no no , r e p r e s e n t a a d i f e r e n ç a e n t r e a f o r c a e x t e r n a e a f o r c a a p l i c a d a p e l o e l e m e n t o ao nó ( f o r c a i n t e r n a ) , = f o r c a e x t e r n a que e s t á s e n d o a p l i c a d a no i n c r e m e n t o , _ r V Q = i n c r e m e n t o de d e s l o c a m e n t o s da i t e r a ç ã o r, = i n c r e m e n t o a c u m u l a d o de d e s l o c a m e n t o s a té a i t e r a ç ã o r .

R E L A C 2 0 C O N S T I T U T I V A 3.1. Int r o d u c ã o . N e s t e c a p í t u l o , a p r e s e n t a - s e u m a r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a p a r a m a t e r i a i s que a t u a m no r e g i m e e 1a s t o p 1á s t i c o , a c o m p a n h a d o de n ã o l i n e a r i d a d e g e o m é t r i c a . Tem - s e , na p a r t e i n i c i a l do c a p i t u l o , a e s c o l h a da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a i n f i n i t e s i m a l , p a r t i c u l a r i z a d a p a r a o e s t a d o p l a n o de t e n sõ e s . Sao, t a m b é m , e f e t u a d a s h i p ó t e s e s s o b r e as c a r a c t e r í s t i c a s de p 1 a s t i f i c a c ão do m a t e r i a l . A s e g u i r , é f e i t a u m a g e n e r a l i z a ç ã o da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a i n f i n i t e s i m a l , c o * n f o r m e a p r o p o s i ç ã o de H u t c h i n s o n C 3 3 e M c M e e k i n g & R i c e C6 3. A f i n a l i d a d e é de a d e q u á - l a ao s c a s o s c o m nã o l i n e a r i d a d e g e o m é t r i c a . F i n a l i z a - s e o c a p í t u l o c o m um m é t o d o de i n t e g r a ç ã o da r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a , p r o p o s t o p o r H i n t o n e Ü w e n Í573. 3.2. R e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a i n f i n i t e s i m a l . A r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a e s c o l h i d a , c o n f o r m e m e n c i o n a d o no C a p í t u l o 2, é u m a e x t e n s ã o do s c a s o s da p l a s t i c i d a d e i n f i n i t e s i m a l , em que os d e s l o c a m e n t o s , as d e f o r m a ç õ e s e as r o t a ç õ e s d e v e m ser p e q u e n o s . 0 m o d e l o , aq u i a d o t a d o p a r a o c a s o i n f i n i t e s i m a l , s e g u e a t e o r i a c l á s s i c a da p l a s t i c i d a d e , que é a p r e s e n t a d a por i n ú m e r o s a u t o r e s c o m o Cook CólD, B a t h e C553, C h e n C 5 6 3 e M a l v e r n [593. As h i p ó t e s e s a d m i t i d a s s ã o :

a) r e l a ç ã o c o n s t i t u t i v a i n d e p e n d e n t e da v e l o c i d a d e de d e f o r m a ç ã o , b) c r i t é r i o de e s c o a m e n t o de von Mises, c) lei de e s c o a m e n t o de P r a n d t 1- R e u s s , d) e x c l u s ã o do e f e i t o B a u s c h i n g e r , e) e n c r u a m e n t o í s o t r o p i c o . E s s a s h i p ó t e s e s sã o g e r a l m e n t e u t i l i z a d a s no m o d e l a m e n t o de m a t e r i a i s m e t á l i c o s . S h e p p a r d e R o b e r t s C51U, p o r e x e m p l o , as a p l i c a m na a n á l i s e de f l e x ã o a l t e r n a d a de c h a p a s m e t á l i c a s . 3.2.1. C r i t é r i o de e s c o a m e n t o de von M i s e s é a h i p ó t e s e c o m u m e n t e a c e i t a p a r a d e t e r m i n a r o i n í c i o de e s c o a m e n t o de m e t a i s C57H. N e s t a a d m i t e - s e a p a s s a g e m p a r a fase p l á s t i c a q u a n d o u ma c o m b i n a ç ã o de t e n s õ e s , e x p r e s s a p e l o s e g u n d o i n v a r i a n t e do t e n s o r d e s v i a d o r , a t i n g i r um d e t e r m i n a d o v a l o r K: f (<r = V 3 - V 3 K ( M = 0 (3.1) o n d e f = f u n ç ã o e s c o a m e n t o , 1 S. . . S. .= s e g u n d o i n v a r i a n t e do t e n s o r d e v i a t ó r i c o 2 d >-J <-J de t e n s õ e s de C a u c h y , S. = <r. . - <5 = t e n s o r d e v i a t ó r i c o , (3.2) v J t j m m I J K = p a r â m e t r o do m a t e r i a l , que e x p r e s s a o v a l o r a p a r t i r do qual e s t e p a s s a p a r a a fase p l á s t i c a , k - p a r â m e t r o de e n c r u a m e n t o . 0 v a l o r de K é a s s o c i a d o ao da t e n s ã o de e s c o a m e n t o ( O , p e l a e x p r e s s ã o r = V3 K (3.3)