Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites

(1)

UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE

CENTRO DETECNOLOGIA

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA

MECATRÔNICA

UFRN CT PEM

Implementação de um simulador para o

controle de atitude em nanossatélites

Eduardo Lacerda Campos

Orientador: Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz Coorientador: Prof. Dr. Samaherni Morais Dias

Dissertação de Mestrado apresentada

ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecatrônica da UFRN (área

de concentração: Sistemas Dinâmicos e

Controle de Processos) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.

(2)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Campos, Eduardo Lacerda.

Implementação de um simulador para o controle de atitude em nanossatélites / Eduardo Lacerda Campos. - Natal, 2018.

61 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica. Natal, RN, 2018.

Orientador: Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz. Coorientador: Prof. Dr. Samaherni Morais Dias.

1. Engenharia mecatrônica - Dissertação. 2. Nanossatélite -Dissertação. 3. Controle de atitude - -Dissertação. 4. Filtro de Kalman Estendido - Dissertação. 5. Simulador - Dissertação. I. Queiroz, Kurios Iuri Pinheiro de Melo. II. Dias, Samaherni Morais. III. Título.

(3)

Implementação de um simulador para o

controle de atitude em nanossatélites

Eduardo Lacerda Campos

Dissertação de Mestrado aprovada em 13 de setembro de 2018 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz (orientador) . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Samaherni Morais Dias (co-orientador) . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Joilson Batista de Almeida Rego . . . ECT/UFRN

(4)

À minha esposa, Samara Maia, pelo

apoio durante a realização deste

trabalho.

(5)

Agradecimentos

Aos meus pais, Yêdo Campos e Marisleny Campos, quem me fizeram chegar até aqui com todo seu amor, muitas vezes abdicando deles mesmos para dar o melhor.

À minha avó Eny Duarte, por suas constantes orações.

À minha esposa Samara Maia, pelo incentivo, compreensão e parceria em todos os momentos desta jornada.

Ao meu irmão Marcelo Campos, que apesar da distância, sei que torce pelo meu sucesso. Aos meus sogros Luiz Batista e Nanci Maia, que me acolheram em sua família.

Ao meu orientador e ao meu co-orientador, professores Kurios Queiroz e Samaherni Dias, sou grato pela orientação e pela oportunidade de trabalhar nesta área do conhecimento. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro.

Ao Joilson Rego e José Duarte, pelas sugestões de melhorias neste trabalho.

A todos os demais amigos, colegas e familiares, que direta ou indiretamente me apoiaram para que eu chegasse até aqui.

(6)

Resumo

Este trabalho apresenta um simulador de controle de atitude para nanossatélites composto por um sistema de navegação (estimador de atitude) e um controlador Proporcional Derivativo (PD). Os sensores considerados para estimar a atitude foram um magnetômetro e um sensor solar, simulados por meio de um modelo ideal com a adição de um ruído branco. Para representar a cinemática, o nanossatélite foi considerado como

um corpo rígido e a representação da sua atitude em quatérnio. No sistema de

navegação, o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma demonstrou-se adequado para os sensores embarcados no nanossatélite, permitindo estimar a velocidade angular e a sua atitude. Diferentes testes foram realizados para validar o simulador, o sistema de navegação e o controlador PD. Os resultados demonstram que o conjunto é capaz de estabilizar e corrigir a atitude do nanossatélite, mesmo na presença de diferentes perturbações, grandes ângulos e altas velocidades angulares. Assim, o simulador produzido apresentou resultados adequados, permitindo que seja utilizado em estudos futuros de nanossatélites.

Palavras-chave: Controle de atitude, Simulação, Nanossatélite, Filtro de Kalman Estendido.

(7)

Abstract

This work presents an attitude control simulator for nanosatellites which comprises a navigation system (attitude estimator) and a Proportional Derivative (PD) controller. The sensors used to estimate the attitude were composed of a magnetometer and a solar sensor, simulated by an ideal model with the addition of white noise. For the dynamic equations the nanosatellite is considered to have a rigid body and to describe the kinematic equations, quaternion was chosen. Within the navigation system, the norm-constrained Extended Kalman Filter has been proved to be adequate to estimate the angular velocity and its attitude using the sensors embedded into the nanosatellite. Different tests have been performed to validate the simulator, the navigation system and the PD controller. The results demonstrate that the set up is capable of stabilizing and correcting the attitude of the nanosatellite even in the presence of different perturbations, large angles and high angular velocities. Thus, the developed simulator presented adequate results, allowing it to be used in future nanosatellite studies.

(8)

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v Lista de Símbolos vi 1 Introdução 1 1.1 Objetivo da Dissertação . . . 3 1.2 Organização do Documento . . . 4 2 Fundamentação Teórica 5 2.1 Representações da Atitude . . . 7 2.1.1 Matriz de Rotação . . . 7 2.1.2 Ângulos de Euler . . . 8 2.1.3 Ângulo-Eixo de Euler . . . 9 2.1.4 Quatérnio . . . 10 2.2 Tempo de Referência . . . 11 2.3 Modelo do Sol . . . 12 2.4 Modelo Geomagnético . . . 13 2.5 Propagação da Órbita . . . 15 2.6 Modelo do Nanossatélite . . . 17 3 Sistema de Navegação 20 3.1 Filtro de Kalman Estendido . . . 22

3.1.1 Discretização e Linearização da Atitude . . . 24

3.1.2 Discretização e Linearização da Medição dos Sensores . . . 25

3.2 Predição . . . 26

3.3 Correção . . . 27

3.4 Simulação dos Sensores . . . 30

4 Controle de Atitude 31 4.1 Lei de Controle . . . 32

4.1.1 Função de Transferência da Atitude . . . 33

4.1.2 Função de Transferência em Malha Fechada . . . 34

(9)

5 Resultados das Simulações 36

5.1 Convergência do Filtro de Kalman . . . 36

5.2 Simulações com Controlador . . . 40

5.2.1 Caso 1 . . . 42

5.2.2 Caso 2 . . . 44

5.2.3 Caso 3 . . . 47

5.2.4 Caso 4 . . . 50

6 Considerações Finais e Perspectivas 54 Referências Bibliográficas 56 A Duas Linhas de Elementos 58 B Sistemas de Referência 60 B.1 Inercial Centrado na Terra . . . 60

B.2 Fixo Centrado na Terra . . . 60

B.3 Referenciais Fixos no Nanossatélite . . . 61

(10)

Lista de Figuras

1.1 Quantidade de publicações que possuem a palavra cubesat. As

informações deste gráfico foram geradas por meio da contagem de publicações presentes nas bases de dados Scopus, Web of Science e

Institute of Electrical and Electronics Engineers(IEEE) . . . 2

2.1 Representação sistema de coordenadas fixo no nanossatélite ~

_F

s relativo ao sistema de coordenadas fixo na Terra ~

_F

G. Fonte: Adaptado de Turner (2003) . . . 5

2.2 Sequência de rotações 3-2-1 ou z-y-x por meio dos Ângulos de Euler . . . 8

2.3 Vetor~r é representado em dois sistemas de coordenadas distintos ~

_F

Ge ~

F

s, onde o ângulo α e o eixo a paralelo ao eixo~zGe~zs, representam a rotação de ~

_F

Gpara ~

F

s . . . 9

2.4 Diagrama de blocos das etapas para o cálculo da direção do campo magnético terrestre . . . 14

2.5 Descrição da órbita por elementos orbitais. Adaptado: Ruiter et al. (2013) 17 3.1 Sistema de Navegação (Estimação da Atitude) . . . 21

3.2 Diagrama de blocos das etapas de previsão e correção do Filtro de Kalman no instante k . . . 23

4.1 Estrutura típica de uma malha de controle de nanossatélite . . . 31

4.2 Diagrama de blocos com um controlador proporcional e a planta aumentada. Adaptado de: (Ruiter et al. 2013) . . . 34

4.3 Diagrama de blocos da malha fechada modificada . . . 35

5.1 Sequência de execução da simulação do sistema de navegação . . . 36

5.2 Estimativa ˆk (círculos vermelhos) e o valor real k (linha azul) . . . 39

5.3 Estimativa ˆωk(círculos vermelhos) e o valor real ωk (linha azul) . . . 39

5.4 Sequência de execução da simulação do sistema de navegação em malha fechada . . . 40

5.5 Caso 1 - Parâmetros do vetor = [1 2 3]|que compõem o quatérnio . . 42

5.6 Caso 1 - Velocidade angular ωsG= [ω1 ω2 ω3]| . . . 43

5.7 Caso 1 - Torques aplicados pelo controlador . . . 43

5.8 Caso 1 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores . . . . 44

5.9 Caso 2 - Parâmetros do vetor = [1 2 3]|que compõem o quatérnio . . 45

5.11 Caso 2 - Torques aplicados pelo controlador . . . 46

(11)

5.12 Caso 2 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores . . . . 47 5.13 Caso 3 - Parâmetros do vetor = [1 2 3]|que compõem o quatérnio . . 48

5.15 Caso 3 - Torques aplicados pelo controlador . . . 49 5.16 Caso 3 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores . . . . 50 5.17 Caso 4 - Parâmetros do vetor = [1 2 3]|que compõem o quatérnio . . 51

5.19 Caso 4 - Torques aplicados pelo controlador . . . 52 5.20 Caso 4 - Evolução dos erros nas estimativas de leitura dos sensores . . . . 53

(12)

Lista de Tabelas

3.1 Cálculo das estimativas a posteriori por meio do Filtro de Kalman

Estendido com restrição de norma . . . 28

3.2 Resumo para execução do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma . . . 29

5.1 Características da simulação do nanossatélite . . . 37

5.2 Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma . . . 38

5.3 Parâmetros da órbita do nanossatélite . . . 38

5.4 TLE usado para a simulação da órbita do nanossatélite pelo algoritmo SGP4 38 5.5 Características da simulação do nanossatélite para todos os casos . . . 40

5.6 Configurações iniciais do Filtro do Kalman Estendido com restrição de norma . . . 41

5.7 Parâmetros dos controladores do nanossatélite . . . 41

5.8 Caso 1 - Características da simulação . . . 42

5.12 Avaliações dos gráficos 5.17 e 5.18 . . . 53

A.1 Primeira linha da TLE . . . 58

A.2 Segunda linha da TLE . . . 59

(13)

Lista de Símbolos

~

F

Base de um sistema de coordenadas

¯• Ponto de operação utilizado para efetuar a linearização

•G Variável representada no sistema de referência Inercial Centrado na Terra,

conhecido como ECI

•e Variável representada no sistema de coordenadas ECEF

•n Variável representada no sistema de coordenadas NED

•s Variável representada no sistema de coordenadas fixo no corpo do nanossatélite

¨• Derivada segunda de uma variável

˙• Derivada primeira de uma variável

ˆ• Variável estimada a posteriori

ˆ•− Variável estimada a priori

•× _{Matriz antissimétrica}

Ω Ascensão direta do nó ascendente

Φ Latitude geocêntrica

Φeclíptica Latitude eclíptica do Sol

Φcl Colatitude geocêntrica

ϒ Anomalia verdadeira, que informa o ângulo entre o periastro e o vetor que

localiza o corpo celeste ¯

ϒ Anomalia média

¯

ϒSol Anomalia média do Sol

¯

vSol Longitude média do Sol

veclíptica Longitude eclíptica do Sol

E Inclinação da Terra em relação ao plano de sua órbita

(14)

~h Momento angular da órbita

~n Nó ascendente da órbita

ξ Excentricidade da órbita

a Semieixo maior da elipse

r Posição do nanossatélite

v Vetor unitário

w Argumento ou Ângulo do perigeu

v Longitude geocêntrica

i Inclinação da órbita

J Tensor de Inércia

I Matriz identidade

R

b←a Matriz de rotação que transporta as coordenadas de um vetor representado no

sistema de coordenadas de ~

_F

apara ~

F

b

α Angulo de rotação, conforme o padrão Ângulo-Eixo de Euler

a Eixo de rotação, conforme o padrão Ângulo-Eixo de Euler

Componente vetorial do quatérnio

η Componente escalar do quatérnio

ωba Velocidade angular de ~

F

brelativo ao ~

F

b

φ Rotação em relação ao eixo x, denominado de rolagem

ψ Rotação em relação ao eixo z, denominado de guinada

θ Rotação em relação ao eixo y, denominado de arfagem

q Representação para o quatérnio q = [|η]|

E[ ] Valor esperado de uma variável aleatória

F Matriz de transição do estado de um sistema

H Matriz de medição do estado de um sistema

K Matriz de ganhos

(15)

M Matriz de ganhos dos ruídos dos sensores Pk Matriz de covariâncias do estado a posteriori

P_k− Matriz de covariâncias do estado a priori

Q Matriz de covariâncias dos ruídos do processo

R Matriz de covariâncias dos ruídos dos sensores

β Ruído do processo. Trata-se de torques aplicados no corpo do nanossatélite

devido à perturbações

γ Ruído dos sensores

N

(µ, σ) Variável aleatória com distribuição normal com média µ e desvio padrão ϕ

µ Valor médio de uma variável aleatória

σ Desvio padrão de uma variável aleatória

u Vetor de entrada de um sistema

x Vetor de estado de um sistema

y Vetor de saída de um sistema

Gc Função de transferência do controlador

Gp Função de transferência da planta

λ Autovalor de uma matriz

τs Torque aplicado no corpo do nanossatélite

τs,c Torque gerado pelo controlador no corpo do nanossatélite

τs,p Torque gerado por perturbações no corpo do nanossatélite

kd Ganho derivativo

kp Ganho proporcional

p Polo da equação característica

p Raiz da equação característica

B Vetor do campo magnético terrestre

JD Dias Julianos contados a partir do dia 1o_{de janeiro de 4713 a.C. ao meio-dia da}

(16)

JD0 Dias Julianos contados a partir do dia 1o_{de janeiro do ano zero d.C. à zero hora}

na longitude 0o

JD2000 Dias Julianos contados a partir do dia 1o _{de janeiro de 2000 d.C. ao meio-dia}

da longitude 0o

T Tempo medido relativo a um referencial, contado em anos

T Tempo medido relativo a um referencial, contado em séculos

t Intervalo de tempo entre dois eventos, medido em segundos

tm Intervalo de tempo entre dois eventos, medido em minutos

ECEF Earth-Centred, Earth-Fixed. Sistema de coordenadas fixo no centro da Terra que gira junto com a mesma

ECI Earth-Centred Inertial. Sistema de coordenadas fixo no centro da Terra,

contudo não gira com a mesma

EKF Extended Kalman Filter- Filtro de Kalman Estendido

IGRF12 International Geomagnetic Reference Field versão 12 - Referência

internacional para o campo magnético terrestre INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

NED North East Down. Sistema de coordenadas localizado sobre a superfície da

Terra que aponta nas direções Norte, Leste e para o centro da Terra

SGP4 Simplified General Perturbations 4 - Algoritmo para efetuar a propagação de órbita do nanossatélite

TLE Two Line Elements- Padrão utilizado para descrever a órbita de nanossatélites, empregado pelo SGP4

(17)

Capítulo 1

Introdução

Durante muito tempo, a exploração espacial foi uma atividade exclusiva de nações ou grupos com volumosos recursos financeiros, como a National Aeronautics and Space Administration (NASA) e a European Space Agency (ESA), pois os projetos envolviam grande complexidade de engenharia e altos riscos monetários devido às dificuldades tecnológicas para lançar e manter um satélite em órbita. Desde o início dos programas espaciais até o presente momento, o desenvolvimento tecnológico permitiu uma evolução na capacidade de lançamento, partindo de uma carga inicial de 83,6 kg com a Sputnik 1 em 1957, e atingindo a marca de 5,7 toneladas com a sonda espacial Cassini (NASA Jet Propulsion Laboratory 2017) em 1997, e 8,2 toneladas com a Envisat (ESA Earth Online2017) em 2002.

Com os avanços tecnológicos da miniaturização de componentes, novas

oportunidades para o desenvolvimento de satélites entraram em cena. O aumento

significativo da capacidade computacional, aliada a redução de custos, começou a chamar a atenção para uma nova abordagem nos projetos, pois ao invés de se projetar satélites grandes e caros, a microeletrônica permite a construção de satélites menores, mais baratos e, em contrapartida, as missões apresentam duração e objetivos reduzidos.

Este novo paradigma possui a vantagem de reduzir o risco financeiro, pois uma eventual perda do nanossatélite acarretará em prejuízo menor, além do menor tempo de concepção, devido a simplificações dos projetos, propiciando um rápido retorno dos resultados esperados. Contudo, as restrições de tamanho impõem limites quanto ao tamanho das placas solares, bateria, computador de bordo e outros.

Em 1999, a Universidade de Stanford em conjunto com a Califórnia Polytechnic State University (Heidt et al. 2000) lançaram a proposta da plataforma CubeSat como forma de impulsionar as pesquisas científicas. Tratava-se de uma ideia que padronizava certos aspectos do projeto, como as dimensões, estrutura e massa máxima. Esta nova abordagem criou uma demanda por soluções em comunicação, atuadores, sensores e algoritmos de controle projetados especificamente para este segmento. Motivada pela busca de soluções, a comunidade científica publica um número crescente de pesquisas. Uma consulta nas bases de publicações da Scopus, Web of Science e Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), no período de 2000 a 2016, permite identificar esta tendência do aumento de estudo com nanossatélites, conforme apresentado na Figura 1.1.

(18)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 2000 2004 2008 2012 2016 0 200 400 Ano Quantidade de Publicações Web of Science Scopus IEEE

Figura 1.1: Quantidade de publicações que possuem a palavra cubesat. As informações deste gráfico foram geradas por meio da contagem de publicações presentes nas bases de dados Scopus, Web of Science e Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

(19)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3

Seguindo essa tendência mundial de utilização de Cubesats, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) possui o interesse de utilizar nanossatélites para suas missões futuras. Como exemplo, há o projeto denominado de CONASAT - Constelação de Nanossatélites para Coleta de Dados Ambientais. Trata-se de uma iniciativa para renovar e ampliar a infraestrutura de satélites existente do Sistema Brasileiro de Coleta de Dados (SBCD), atualmente constituído por dois satélites denominados de 1o _Satélite

de Coleta de Dados (SCD1) e 2o _{Satélite de Coleta de Dados (SCD2). Lançados em}

1993 e 1997, respectivamente, estes apresentam idade avançada e um plano de substituição é fundamental para garantir a continuidade do sistema.

Um ponto fundamental para viabilizar o aprimoramento tecnológico dos

nanossatélites é o desenvolvimento de um simulador/software para a determinação e o controle de atitude. De forma geral, a atitude de um nanossatélite corresponde a sua orientação em relação a um referencial fixo no centro Terra. Inferir a atitude do nanossatélite, necessária para o controle, não é uma atividade trivial, exigindo um conjunto de sensores e algoritmos específicos para cada tipo de missão. Neste sentido, ao avaliar as pesquisas mais recentes sobre o sistema de navegação para nanossatélites, encontra-se o Filtro de Kalman como principal ferramenta para estimar as informações de orientação (Ruiter et al. 2013), (Carrara et al. 2014), (Campesato 2017).

1.1 Objetivo da Dissertação

Diante do contexto apresentado, a finalidade principal deste trabalho é apresentar um simulador que dê suporte para a implementação de um controle de atitude em futuros nanossatélites do INPE.

Para atingir esse objetivo, foi implementado um sistema de navegação que permita estimar a atitude e a velocidade de rotação do nanossatélite. O nanossatélite considerado para este estudo possui apenas dois sensores, um magnetômetro para medir a direção do campo magnético da Terra e um solar para medir a direção do Sol. Portanto, ao considerar essas características, as seguintes etapas foram desenvolvidas para obter o sistema de navegação:

• Implementação das equações que informam a direção do Sol.

• Estudo do algoritmo IGRF (International Geomagnetic Reference Field) versão 12, capaz de fornecer a direção do campo magnético terrestre.

• Estudo do algoritmo SGP4 (Simplified General Perturbations 4) para efetuar a propagação da órbita do nanossatélite.

• Estimação da atitude e velocidade angular do nanossatélite por meio da implementação do Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma.

• Modelagem da dinâmica do satélite.

Após obter um sistema de navegação funcional, foi utilizado o controlador Proporcional Derivativo (PD) que emprega o quatérnio e a velocidade angular para gerar

(20)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4

o sinal de controle. Visando avaliar o funcionamento do conjunto, algumas simulações foram realizadas, onde o nanossatélite é testado em diferentes condições.

Todos os códigos foram elaborados em linguagem Matlab, possibilitando a fácil reutilização futura dos algoritmos em outros estudos.

1.2 Organização do Documento

Visando atender à proposta de trabalho, o texto foi organizado de modo a introduzir gradualmente o leitor no contexto de determinação e controle de nanossatélites. Seguindo esse princípio, o texto foi organizado em:

• Capítulo 2: Define os conceitos principais utilizados na dissertação, tais como as equações dinâmicas e cinemáticas, diferentes padrões para representar a atitude e informações sobre os modelos matemáticos necessárias para calcular as informações sobre a direção do campo magnético terrestre e do Sol.

• Capítulo 3: É apresentado o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma, bem como os conceitos para implementar o seu algoritmo.

• Capítulo 4: É apresentado o controlador de atitude, onde suas principais

características são descritas.

• Capítulo 5: São apresentados e discutidos os resultados das simulações do sistema de navegação e controlador.

• Capítulo 6: São apresentadas as conclusões e considerações finais sobre os resultados obtidos com as simulações. Ainda neste capítulo são apresentadas as sugestões para trabalhos futuros.

(21)

Capítulo 2

Fundamentação Teórica

Ao trabalhar com corpos livres no espaço, um dos aspectos mais importantes para a caracterização da dinâmica e, consequentemente, do controle do nanossatélite é a representação matemática da sua orientação ou atitude. Trata-se da informação da rotação existente entre um sistema de coordenadas fixo no nanossatélite e um sistema de referência fixo na Terra. (Ruiter et al. 2013).

Para auxiliar na compreensão, na Figura 2.1, é apresentado o sistema de coordenadas denominado de ~

_F

G, que possui seus eixos fixos no centro da Terra, e um sistema de

coordenadas fixo no nanossatélite denominado de ~

_F

s. Assim, considerada a rotação entre

estes dois sistemas de coordenadas, o controlador é responsável por obter ou corrigir a

mesma. Algumas informações adicionais sobre a elaboração destes sistemas de

referências são discutidas no Apêndice B.

Figura 2.1: Representação sistema de coordenadas fixo no nanossatélite ~

F

s relativo ao

sistema de coordenadas fixo na Terra ~

_F

G. Fonte: Adaptado de Turner (2003)

Os principais padrões utilizados para descrever a atitude ou orientação de nanossatélites são: a Matriz de Rotação, os Ângulos de Euler, Ângulo-Eixo de Euler e

(22)

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6

importante conhecê-los para fazer o seu uso adequado (Diebel 2006).

A Matriz de Rotação é capaz de representar a atitude do nanossatélite sem incorrer com o problema das singularidades, mas sua representação depende de nove parâmetros, dos quais seis termos são redundantes e apenas três termos são realmente independentes. Assim, essa representação não é a forma mais adequada para retratar a atitude, pois apresenta alta redundância interna (Carrara 2012).

O procedimento mais utilizado para representar a atitude de um corpo rígido é por meio dos Ângulos de Euler. Devido à sua facilidade de interpretação, estes são amplamente utilizados em muitos trabalhos, contudo, sua representação possui singularidades, impedindo que a atitude seja determinada de forma única (Diebel 2006).

A representação por Ângulo-Eixo apresenta uma forma mais compacta, sendo necessários apenas quatro parâmetros para caracterizar a atitude. Apesar do formato compacto, as equações dependem de operações trigonométricas, o que dificulta a computação numérica da atitude (Carrara 2012).

Por fim, o quatérnio possui a vantagem de ser puramente algébrico (livre de relações trigonométricas), não possui pontos de singularidade e são necessários apenas quatro termos para descrever a atitude. Isto torna o quatérnio uma ferramenta muito útil e eficiente para fins computacionais (Ruiter et al. 2013). Por esta razão, o quatérnio foi selecionado como o padrão para representar a atitude do nanossatélite e efetuar o seu controle. As características e equações de cada metodologia são apresentadas na Seção 2.1.

Definido que o quatérnio é o formato mais adequado para caracterizar a atitude, do ponto de vista operacional do nanossatélite, uma grande dificuldade está relacionada com a determinação da atitude. Devido ao fato de que não é possível medir diretamente a atitude, deve-se utilizar uma abordagem indireta, onde o seguinte procedimento é adotado: • Utilização de sensores que coletam as informações de direções dos vetores no

sistema de referência ~

_F

s, fixo no corpo do nanossatélite.

• Cálculo por meio de modelos matemáticos da direção dos vetores no referencial ~

F

G, fixo no centro da Terra.

Neste estudo, foi considerado que o nanossatélite está equipado com dois sensores, sendo um sensor utilizado para obter a direção do Sol e outro, a direção do campo magnético terrestre, ambos no referencial ~

_F

s. Assim, ao considerar estes sensores, é

necessário determinar os modelos matemáticos necessários para calcular a direção do Sol e do campo magnético no referencial ~

_F

G.

A direção do Sol no referencial ~

_F

G, denominada de vG,Sol, é obtida por meio de um

conjunto de equações que descrevem o movimento aparente do Sol em torno da Terra, sendo necessária apenas a data de referência. Os detalhes deste modelo são apresentados na Seção 2.3.

Em relação a direção do campo magnético terrestre, denominada de vG,mag, foi

utilizado o modelo IGRF12 (International Geomagnetic Reference Field versão 12). Conforme o modelo apresentado por Thébault et al. (2015), a informação de direção do campo magnético é dependente da data, altura, longitude e latitude do nanossatélite em um determinado instante. Os detalhes do modelo são apresentados na Seção 2.4.

(23)

Para fornecer todos os parâmetros necessários para a execução do IGRF12, é fundamental incluir um algoritmo que permita calcular a posição do nanossatélite em torno da Terra e assim encontrar os parâmetros de altura, longitude e latitude. Neste trabalho foi utilizado o algoritmo conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4), apresentado na Seção 2.5.

Partindo do princípio de que as informações dos vetores em ambos os sistemas de referência estão disponíveis, é necessário utilizar alguma ferramenta matemática que permita obter a atitude do nanossatélite. Os procedimentos mais difundidos para realizar esta operação são os algoritmos TRIAD, Q-Method, QUEST e Filtro de Kalman Estendido. Resumidamente, TRIAD é o algoritmo mais simples e utiliza apenas dois vetores, enquanto que os algoritmos Q-Method e QUEST são baseados na minimização de uma função de custo.

Referente ao Filtro de Kalman Estendido, este permite que as informações sobre a dinâmica, cinemática, torques aplicados, estados passados e sensores sejam utilizadas na estimação da atitude, permitindo obter melhores estimativas da atitude quando comparado com os métodos anteriormente citados (Habib 2013). Assim, devido à capacidade de estimar a velocidade angular, necessária para o controle da atitude, este estudo optou pela utilização do Filtro de Kalman Estendido, conforme proposto por Ruiter et al. (2013).

2.1 Representações da Atitude

Esta seção apresenta uma visão geral das representações de atitude mais comuns na literatura.

2.1.1 Matriz de Rotação

A matriz de rotação, também chamada de Matriz de Cossenos Diretores, permite estabelecer a orientação de um dado sistema de coordenadas ~

_F

s em relação à base ~

F

G

(Carrara 2012). A relação existente pode ser expressa da seguinte forma:

rs=

R

s←GrG (2.1)

onde rG é um vetor representado em ~

F

G, rs é um vetor representado em ~

F

s e

R

s←G é a

matriz de rotação que possui dimensões 3 × 3 e são ortogonais próprias1_{(Carrara 2012).}

Uma característica importante sobre os elementos que compõem a matriz de rotação é o fato de que, dos nove elementos da matriz, apenas três são realmente independentes. Portanto, esta representação apresenta redundâncias, uma vez que seis dos seus nove elementos são dependentes, e consequentemente, sua utilização para descrever a atitude não é recomendada (Carrara 2012).

1_{Matrizes ortogonais com determinante +1 são referidas como próprias, ao passo que aquelas com}

(24)

2.1.2 Ângulos de Euler

Devido à sua facilidade de interpretação com o mundo físico, os Ângulos de Euler são amplamente utilizados na orientação de juntas robóticas, navegação e em dispositivos apontadores. Para usar os Ângulos de Euler para descrever a rotação de corpos rígidos, uma sequência muito utilizada é conhecida como 3-2-1 ou z − y − x, onde:

1. A rotação φ em relação ao eixo x é denominada de rolagem (roll). 2. A rotação θ em relação ao eixo y é denominada de arfagem (pitch). 3. A rotação ψ em relação ao eixo z é denominada de guinada (yaw).

Na sequência de rotação 3-2-1, a determinação da atitude consiste em um giro em ψ em torno do eixo~zG, uma segunda rotação θ em torno do eixo ~yie finalmente uma rotação

φ em relação ao eixo ~xt de acordo com a Figura 2.2.

~xG ~yG ~zGk~zi ψ ψ ~xi ~yi ~xi ~yik~yt ~zi θ θ ~xt ~zt ~xtk~xs ~yt ~zt φ φ ~zs ~ys

Figura 2.2: Sequência de rotações 3-2-1 ou z-y-x por meio dos Ângulos de Euler Contudo, para efetuar a operação de rotação de um vetor, deve ser utilizada a Matriz de Cossenos Diretores, que fornece uma matriz de rotação com base nos Ângulos de Euler, conforme as seguintes equações (Ruiter et al. 2013):

R

x(φ) =   1 0 0 0 cos(φ) sen(φ) 0 −sen(φ) cos(φ)   (2.2)

R

y(θ) =   cos(θ) 0 −sen(θ) 0 1 0 sen(θ) 0 cos(θ)   (2.3)

R

z(ψ) =   cos(ψ) sen(ψ) 0 −sen(ψ) cos(ψ) 0 0 0 1   (2.4)

Esta formulação matricial por meio de funções trigonométricas possui singularidades, impedindo uma relação única entre uma determinada orientação no espaço e os Ângulos de Euler, situação que é conhecida na literatura como gimbal lock (Ruiter et al. 2013).

(25)

Finalmente, como a sequência de duas ou mais rotações é uma operação acumulativa, é possível obter a atitude do nanossatélite ao reescrever a sequência de rotação da seguinte maneira:

R

s←G=

R

x(φ)

R

y(θ)

R

z(ψ)

R

G←s=

R

|s←G

(2.5)

É importante destacar que, apesar de as rotações serem acumulativas, elas não são comutativas, ou seja, a sequência

_R

x(φ)

R

y(θ)

R

z(ψ) produz um resultado diferente de

R

z(ψ)

R

y(θ)

R

x(φ).

Assim, devido à existência dessa singularidade, os Ângulos de Euler não são a melhor opção para representar a atitude em modelos numéricos, pois a singularidade pode causar erros numéricos significativos quando ocorrem em simulações (Carrara 2012).

2.1.3 Ângulo-Eixo de Euler

Como formulado por Euler, duas ou mais rotações em torno de diferentes eixos passando por um ponto em comum são equivalentes a uma única rotação α em torno de um eixo a passando pelo mesmo ponto. Assim, ao considerar o padrão de ângulo e o eixo para representar a atitude do nanossatélite, estes podem ser interpretados graficamente por meio da Figura 2.3.

~x

G

~y

G

~r

α

~x

s

~y

s

a

Figura 2.3: Vetor ~r é representado em dois sistemas de coordenadas distintos ~

_F

G e ~

F

s,

onde o ângulo α e o eixo a paralelo ao eixo~zGe~zs, representam a rotação de ~

F

Gpara ~

F

s

Ao representar o vetor~r em cada um dos sistemas de coordenadas, tem-se:

~r = ~

_F

_G|rG= ~

F

s|rs (2.6)

Na literatura, ~

_F

sou ~

F

Gtambém são denominados de vetrizes por serem matrizes que

armazenam os vetores relativos à base em análise, onde rse rGcontêm as informações das

coordenadas representadas no formato de uma matriz coluna. Conforme Carrara (2012), não existe conflito ao usar ~

_F

s ou ~

F

G para designar um sistema de coordenadas ou uma

(26)

Portanto, por meio da Equação (2.6), a conversão das coordenadas de ~r entre os diferentes sistemas de referência pode ser obtida por:

~

F

| GrG= ~

F

s|rs rG= ~

F

G

F

~s|rs rG=

R

|s←Grs (2.7)

onde

_R

s←G é a matriz de rotação que representa a atitude do nanossatélite.

Assim, ao considerar o padrão adotado onde α e a informam a rotação de ~

_F

s com

relação a ~

_F

G, a expressão para a atitude do nanossatélite é descrita pela seguinte expressão

(Ruiter et al. 2013):

R

s←G= I cos α + (1 − cos α)a a|− a

×

senα (2.8)

onde a rotação no sentido oposto é obtida por:

R

|

s←G= I cos α + (1 − cos α)a a

|_{+ a}×

senα (2.9)

Ao considerar a = [ax ay az]|, o termo a× representa uma matriz antissimétrica,

fornecida pela expressão:

a×=   0 −az ay az 0 −ax −ay ax 0   (2.10)

O Ângulo-Eixo de Euler fornece uma forma simplificada de descrever a atitude do nanossatélite e tem a vantagem de não possuir singularidades. Contudo, possui equações trigonométricas de custo computacional considerável que precisam ser consideradas quando se lida com sistemas digitais e recursos limitados.

2.1.4 Quatérnio

O quatérnio, também conhecido como Parâmetros de Euler, possui a vantagem de não possuir singularidades na sua representação e, quando avaliada em conjunto com a sua representação linear, esta parametrização é preferível na elaboração das estratégias de controle e simulação numérica da atitude.

Uma forma de obter o quatérnio que representa a atitude do nanossatélite é por meio da utilização do Ângulo-Eixo de Euler apresentado na seção anterior, por meio da seguinte expressão: η = cosα 2 = a senα 2 (2.11)

onde η é um escalar e é um vetor. Para que o quatérnio represente a atitude de um nanossatélite, é necessário que ele sempre possua uma magnitude unitária (Ruiter et al.

(27)

2013), ou seja:

| + η2= 1 (2.12)

Ao considerar o sistema de coordenadas fixo no nanossatélite ~

_F

s, a atitude do

nanossatélite em relação ao sistema de coordenadas ~

F

G, representada por meio da matriz

de rotação, pode ser obtida por meio da seguinte equação (Ruiter et al. 2013):

R

s←G= I − 2η

×

+ 2×× (2.13)

onde a rotação no sentido contrário é obtida por:

R

|

s←G= I + 2η

×

+ 2×× (2.14)

2.2 Tempo de Referência

Para simular a dinâmica dos corpos celestes é necessário definir uma data de referência, para que se possa determinar a posição relativa dos astros. Para lidar com esta questão, diversos padrões foram criados, o que pode gerar dúvidas no momento de sua utilização.

Inicialmente é necessário descrever duas medições de tempo utilizadas para caracterizar o movimento de nanossatélites. A primeira é o intervalo de tempo entre dois eventos, utilizado para determinar as informações como período da órbita ou o tempo em que um sensor deve ficar observando um determinado astro. A segunda é a medição absoluta ou associada a um calendário ou marco, usada para especificar o momento em que um evento ocorre, tal como a posição de um astro relativo à Terra ou ao nanossatélite (Wertz 1978).

A utilização das informações de ano, mês, dia, hora, minuto e segundo para determinar o instante no qual um evento astronômico ocorre é de fácil interpretação por humanos. Contudo, para a execução de algoritmos computacionais, não é o formato mais adequado. Para superar esta dificuldade, diversos padrões de contadores incrementais foram propostos, que medem o tempo decorrido a partir de um momento específico.

O padrão utilizado para efetuar a contagem do tempo, muito comum na astronomia, é conhecido como Dia Juliano (JD), onde o tempo começou a ser contado em dias a partir do dia 1o_{de janeiro de 4713 a.C. ao meio-dia da longitude 0}o_{(Wertz 1978). Outro padrão}

muito adotado é definido como JD2000, que utiliza o dia 1o de janeiro de 2000 d.C. ao meio-dia da longitude 0o_{como referência inicial, e isto significa que há uma diferença de}

2.451.545 dias em relação ao sistema Juliano original. (McClain & Vallado 1997). Ambos os padrões são baseados no tempo que a Terra leva para completar uma rotação completa em relação ao Sol. Porém, o movimento de rotação da Terra apresenta irregularidades e, para lidar com esse problema, criou-se o conceito de tempo universal, UT. Fundamentado no movimento fictício médio do Sol, o tempo universal é uma função matemática do tempo sideral2_{, que apresenta grande regularidade ao longo do ano}

(Wertz 1978).

2_{O tempo sideral é definido como o tempo de trânsito de uma estrela sobre um determinado meridiano.}

(28)

Atualmente, o tempo universal possui três variações, em que cada versão é usada para uma finalidade. Para este estudo foi adotado o padrão U T 1 como referência, pois o modelo matemático do Sol e as equações para determinar a mudança de coordenada de ECI para ECEF (Earth-Centred, Earth-Fixed) dependem deste padrão.

Finalmente, visando auxiliar na compreensão das referências empregadas nas equações que fazem uso de variáveis dependentes do tempo de referência, as variáveis sempre apresentam subscrita a informação de qual sistema de referência a mesma pertence, como exemplo, JDUT1(Dias Julianos medidos conforme o padrão UT1).

Este trabalho não visa fornecer uma explicação detalhada de cada sistema de medição de tempo, mas apenas um informativo sobre o padrão utilizado. Assim, caso sejam necessárias mais informações, estas podem ser obtidas ao consultar McClain & Vallado (1997).

2.3 Modelo do Sol

Para gerar as coordenadas que indicam a direção do Sol no referencial centrado na Terra, vG,sol, foi utilizado o modelo proposto por McClain & Vallado (1997). A solução

analítica conhecida na astronomia como eclíptica, a posição do Sol é determinada por meio da avaliação de um conjunto de equações que descrevem a translação aparente do Sol em torno da Terra.

O primeiro passo para definir a posição do Sol é calcular a quantidade de séculos por meio Equação (2.15) (McClain & Vallado 1997).

TUT1=

JD_UT1− 2451545, 0

36525 (2.15)

ondeTUT1 é o número de séculos julianos desde a época JD2000, de tal forma que TUT1

será negativo para todos os tempos ocorridos antes do ano 2000 (McClain & Vallado 1997).

Obtida a informação do tempo calculado em séculosTUT1, é possível obter a longitude

média do Sol ( ¯vSol) em graus, conforme a seguinte equação (McClain & Vallado 1997):

¯

vSol= 280, 4606184o+ 36000, 770053oTUT1 (2.16)

Para os próximos passos, as equações utilizam o tempo medido em séculos conforme o padrão conhecido como Tempo Dinâmico Baricêntrico3 _(T

TDB). Contudo, visando

simplificar as equações, foi considerado que o tempo TTDB =TUT1, conforme sugerido

por McClain & Vallado (1997). Portanto, por meio dessa simplificação, a anomalia média do Sol ( ¯ϒSol) em graus é fornecida pela seguinte expressão (McClain &

Vallado 1997):

¯

ϒSol= 357, 5277233o+ 35999, 05034oTUT1 (2.17)

mudam muito durante o ano.

3_{O Tempo Dinâmico Baricêntrico é uma escala de tempo relativística, destinada ao uso astronômico}

(29)

A órbita da Terra é aproximadamente circular, permitindo que a longitude (veclíptica) e

a latitude (Φeclíptica) eclíptica do Sol possam ser aproximadas respectivamente pelas

expressões (McClain & Vallado 1997):

veclíptica= ¯vSol+ 1, 914666471osen( ¯ϒSol) + 0, 019994643osen(2 ¯ϒSol)

Φeclíptica= 0o

(2.18) Para obter o vetor de direção do Sol, também é necessário considerar o efeito da inclinação da Terra. Conforme McClain & Vallado (1997), uma expressão simplificada para determinar a inclinação da eclíptica é fornecida por:

E = 23,439291o_{− 0, 013004}o

TUT1 (2.19)

ondeE é a inclinação da eclíptica, calculada em graus.

Finalmente, o vetor unitário que informa a direção do Sol, representado no sistema de referência Inercial Centrado na Terra (ECI), é obtido ao utilizar os resultados das Equações (2.19) e (2.18) conforme a seguinte expressão:

vG,sol=





cos(veclíptica)

cos(E )sen(veclíptica)

sen(E )sen(veclíptica)



 (2.20)

2.4 Modelo Geomagnético

Visando estimar a atitude do nanossatélite em relação à Terra, uma das informações necessárias neste trabalho é a direção do campo magnético. Para obter este vetor foi utilizado o IGRF versão 12, onde o campo magnético ~B é obtido em termos de um potencial escalar magnético V dado por ~B= −∇V , sendo V modelada por uma série de harmônicos esféricos, dada por (Thébault et al. 2015):

V(r,v, Φcl, T ) = b N

∑

n=1 b r n+1 n

∑

m=0 h gm_n(T ) cos(mv) + hm n(T )sen(mv)P m n cos(Φcl) i (2.21) onde r é a distância ao centro da Terra, b = 6371, 2 km é o raio esférico médio geomagnético da Terra,v é a longitude geocêntrica, Φcl é a colatitude geocêntrica, T é o

tempo contado em anos a partir do ano zero d.C. e Pm

n(cos(Φcl)) é denominado de

Schmidt quase normalizado associado a funções de Legendre de grau n e ordem m. Os coeficientes gm

n(T ) e h m

n(T ) são denominados de coeficientes de Gauss, que são

constantes e obtidos empiricamente (Thébault et al. 2015).

Visando utilizar IGRF nesta dissertação, optou-se pela utilização do algoritmo disponível em linguagem Matlab, que implementa as equações do IGRF versão 12, e disponibilizado na Internet por Compston (2016). Para utilizar este algoritmo, as seguintes informações devem ser fornecidas:

(30)

• Longitude geocêntrica v da posição do nanossatélite • Distância do nanossatélite ao centro da Terra

• Tempo de referência. O valor deste tempo é medido em dias contados a partir de 1o

de janeiro do ano zero d.C. à zero hora na longitude 0o, denominado de JD0U T1.

Para utilizar o IGRF é necessário empregar outro modelo que permita efetuar a simulação do nanossatélite em órbita e, deste modo, extrair as informações necessárias. Por esta razão, optou-se por utilizar o algoritmo conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4), apresentado na Seção 2.5, para calcular a posição do nanossatélite em sua órbita.

Portanto, uma vez determinada a posição do nanossatélite em torno da Terra por meio do SGP4, em conjunto com o tempo de referência medido em JDU T1, as etapas necessárias

para obter o vetor vG,magsão apresentadas no diagrama de blocos da Figura 2.4.

ECI→ ECEF ECEF→ Geoc

JDU T1→ JD0U T1

IGRF 12 NED→ ECEF ECEF→ ECI rG JDU T1 re Bn Be vG,mag v Φ krek

Figura 2.4: Diagrama de blocos das etapas para o cálculo da direção do campo magnético terrestre

onde, nessa figura, a definição das variáveis e as operações realizadas nos blocos são: • JDU T1 → JD0U T1: A conversão é realizada ao subtrair o valor de 1721058,5 da

variável JDU T1.

• ECI → ECEF: Trata-se da conversão das coordenadas do nanossatélite rG,

representado em ECI, para o sistema de coordenadas ECEF, por meio da utilização da matriz de rotação, onde a operação realizada foi re=

R

ECEF←ECIrG. Para calcular

os parâmetros dessa matriz, foi utilizado o algoritmo disponibilizado na Internet por Vallado (2017).

• ECEF → Geoc: Após obter as coordenadas de posição do nanossatélite no referencial ECEF, re, é necessário auferir a posição do nanossatélite em termos da

latitude (v), longitude (Φ) e altitude geocêntrica (krek). O algoritmo para efetuar a

conversão é fornecido por Compston (2016).

• IGRF12: Este bloco fornece as coordenadas da direção do campo magnético, representado pela variável Bn, no sistema de coordenadas NED (North East Down)

conforme informado no Apêndice B .

• NED → ECEF: Ao utilizar o IGRF para calcular o vetor do campo magnético terrestre, este fornece Bn conforme o sistema de coordenadas NED (Thébault

(31)

et al. 2015) (Compston 2016). Assim, para obter as coordenadas conforme o sistema de coordenadas ECEF, deve-se utilizar a matriz de rotação

R

ECEF←NED. A

formulação desta matriz é apresentada por Cai et al. (2011), cuja expressão para a sua construção é apresentada na Equação (2.22), ondev e Φ são respectivamente a longitude e latitude geocêntricas da posição do nanossatélite.

R

ECEF←NED=





−sen(Φ) cos(v) −sen(Φ)sen(v) cos(Φ)

−sen(v) cos(v) 0

− cos(Φ) cos(θ) − cos(Φ)sen(v) −sen(Φ) 



|

(2.22)

• ECEF → ECI: Esta última operação visa determinar o vetor magnético no referencial ECI. A matriz de rotação,

_R

ECEF←ECI, necessária para realizar esta

conversão, pode ser obtida por meio do reaproveitamento da matriz

_R

ECEF←ECI, uma

vez que a rotação no sentido oposto é obtida por

_R

ECI←ECEF =

R

|

ECEF←ECI.

Dessa forma, ao aplicar todas as operações apresentadas por cada bloco na Figura 2.4, o resultado é a direção do campo magnético terrestre BGno sistema de coordenadas ~

F

G.

Finalmente, para obter o vetor unitário da direção representado em ~

_F

G, deve-se realizar a

operação:

v_G,mag= BG kBGk

(2.23)

2.5 Propagação da Órbita

Conforme visto na seção anterior, uma das etapas necessárias para determinar a direção do campo magnético da Terra, e deste modo estimar a atitude, passa pela determinação da posição do nanossatélite em torno da Terra.

Uma técnica utilizada para descrever a trajetória de dois corpos que interagem entre si, de acordo com a lei da gravitação de Isaac Newton, consiste na solução do "Problema dos dois corpos"proposta por Kepler. Essa abordagem é útil na determinação do formato, posição, velocidade e orientação das órbitas de planetas, nanossatélites naturais e cometas. Contudo, ela apresenta uma baixa acurácia, devido ao negligenciamento das seguintes perturbações para nanossatélites em órbita baixa4:

• O arrasto atmosférico.

• Perturbações gravitacionais da Lua e Sol.

• Formato irregular da Terra, que gera variações na força gravitacional. • Pressão exercida pela radiação solar.

• Efeitos da relatividade geral.

4_{Nanossatélites de baixa órbita possuem uma altitude máxima de 2000 km acima da superfície da Terra}

(32)

Visando incluir os efeitos de algumas destas perturbações na predição da órbita, alguns algoritmos foram elaborados. Para o caso de nanossatélites de baixa órbita, um algoritmo muito adotado para efetuar a propagação de órbita é conhecido como SGP4 (Simplified General Perturbations 4). Originalmente proposto em 1970 por Hoots & Roehrich (1980) e posteriormente revisado por Vallado et al. (2006), este algoritmo fornece a base para o desenvolvimento da simulação do movimento de translação de nanossatélites em baixa órbita, em torno da Terra.

O melhor desempenho do SGP4 é alcançado por meio da utilização de informações do arrasto atmosférico, radiação solar, irregularidades da Terra e os efeitos gravitacionais do Sol e da Lua (Aydın et al. 2015). Nesta dissertação, optou-se pela inclusão do SGP4 elaborado para Matlab, disponibilizada na Internet por Vallado (2017).

Para usar o algoritmo, primeiro é necessário inicializar suas variáveis internas, cujo procedimento é realizado por meio da utilização do padrão TLE (Two Line Elements) que informa diversos parâmetros da órbita. Uma descrição mais detalhada do padrão TLE é apresentada no Apêndice A.

Um conjunto de parâmetros, que podem ser empregados para definir a órbita por meio da TLE, é conhecido como Elementos Clássicos da Órbita, descrito pelas seguintes variáveis:

• a - Semieixo maior. Define a maior distância de um ponto ao centro da elipse. • ξ - Excentricidade. Define o formato da elipse.

• ϒ - Anomalia Verdadeira. O ângulo formado a partir do perigeu e o vetor que define a posição do nanossatélite.

• Ω - Ascensão direta do nó ascendente. Ângulo de rotação no eixo z. • i - Inclinação da órbita. Ângulo de rotação no eixo x.

• w - Argumento ou Ângulo do Periastro. Ângulo de rotação no eixo z.

Para auxiliar na compreensão de como os Elementos Clássicos da Órbita são utilizados para determinar a trajetória do nanossatélite, a Figura 2.5 apresenta um exemplo, no qual a Terra está localizada no foco da órbita. Nesta figura, ~h é o vetor do momento angular da órbita, ~n é o vetor do nó ascendente e~r é o vetor posição do nanossatélite que pode ser representado no referencial ECI por meio da expressão~r = ~

_F

_G|rG.

(33)

Figura 2.5: Descrição da órbita por elementos orbitais. Adaptado: Ruiter et al. (2013) Outras informações importantes no processo de descrição da órbita na TLE são: • Data de referência: Uma vez definida a órbita por meio dos Elementos Clássicos, é

necessário informar a data de referência, ou seja, o momento em que o nanossatélite se encontra em uma determinada posição. Conforme o padrão da TLE a data de referência é composta pelo ano (Sétimo campo da segunda linha da TLE) e dias (Oitavo campo da segunda linha da TLE).

• Movimento médio: Fornece a informação de revoluções por dia.

Além da TLE, o SGP4 requisita que seja informado o modelo da elipsoide de referência para Terra, com o objetivo de calcular as variações gravitacionais. Neste estudo foi utilizado o modelo matemático WGS84 (World Geodetic System 1984), cujo modelo aproxima a Terra por uma elipsoide.

Após inicializar adequadamente o SGP4, para se obter a posição do nanossatélite no referencial ECI, basta informar o tempo transcorrido em minutos tm, a partir da data de

referência informada na TLE. Para exemplificar, considere a data utilizada na TLE como 28/06/2018 à zero hora, zero minuto e zero segundo, caso seja necessário saber a posição do nanossatélite no dia 29/06/2018 ao meio-dia, basta encontrar os minutos existentes entre estas duas datas e utilizar a informação no SGP4 previamente inicializado.

2.6 Modelo do Nanossatélite

Para descrever completamente o movimento de rotação apresentado por um corpo rígido é preciso utilizar as equações da dinâmica e da cinemática, necessárias para simular a atitude do nanossatélite. A dinâmica expressa a interação das forças e como estas afetam o nanossatélite no decorrer do tempo. A cinemática trata do estudo do movimento, independentemente das forças que o provocam.

(34)

Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), as equações que descrevem a cinemática da atitude por meio do quatérnio é fornecida pela seguinte expressão:

˙ = 1 2(ηI + × )ωsG ˙ η = −1 2 | ωsG (2.24)

onde as variáveis e η compõem o quatérnio que representa a atitude do nanossatélite e ωsG é a velocidade angular do nanossatélite em relação ao sistema de coordenadas ECI.

Para descrever a dinâmica de rotação do nanossatélite, utiliza-se a expressão conhecida como Equação do Movimento de Euler. Essa equação descreve a relação entre o torque aplicado no corpo do nanossatélite e a alteração da velocidade angular, fornecida pela seguinte expressão (Ruiter et al. 2013):

J ˙ωsG+ ω×sGJωsG= τs (2.25)

onde τsé o torque aplicado no corpo do nanossatélite e J é a matriz Tensor de Inércia.

As equações (2.24) e (2.25) descrevem completamente a atitude do nanossatélite. Visando obter representações mais compactas, elas foram organizadas no formato de espaço de estados. Uma vez que a velocidade angular e o quatérnio são capazes de descrever o comportamento da atitude do nanossatélite, a seguinte variável de estado pode ser definida (Ruiter et al. 2013):

x=   ωsG η   (2.26)

onde x é um vetor que contém o estado do sistema.

Ao avaliar as expressões das Equações Equações (2.24) e (2.25), a entrada do sistema é descrita pelo torque aplicado no nanossatélite e, desta forma, é possível definir u = τs.

Finalmente, ao considerar que a parte vetorial do quatérnio corresponde a saída do sistema, é possível definir z = . Como resultado, as seguintes funções podem ser definidas (Ruiter et al. 2013):

f(x, u) =      J−1(−ω×sGJωsG+ u) 1 2(ηI + ×_)ω sG −1 2 |_ω sG      (2.27) g(x) = (2.28)

Finalmente, as Equações (2.27) e (2.28) podem ser expressadas por: ˙

x = f(x, u) (2.29)

(35)

onde z é um vetor que possui a saída do sistema, u é um vetor contendo a entrada do sistema. Estas equações serão importantes nos Capítulos 3 e 5, quando será examinado o procedimento para se estimar os estados do sistema, e também o procedimento para realizar a simulação numérica das equações da dinâmica e cinemática do nanossatélite.

(36)

Capítulo 3

Sistema de Navegação

A maior dificuldade envolvida na determinação da atitude relaciona-se com a impossibilidade de medi-la diretamente. Por essa razão, o processo para estimar a atitude envolve a utilização de sensores que coletam a direção de alguns vetores, tais como a direção do Sol, da Lua ou do campo magnético, visando estimar indiretamente a orientação do nanossatélite (Ruiter et al. 2013).

Assim, para calcular da atitude, faz-se necessária a utilização de ferramentas matemáticas que permitam inferir seu valor de forma indireta. Para isso, diferentes algoritmos podem ser utilizados os quais possuem, entre si, diferentes características sobre precisão e custo computacional (Habib 2013). Dentre os principais algoritmos, destacam-se:

1. TRIAD: Uma solução computacionalmente simples que calcula a atitude por meio de apenas dois vetores não paralelos. Este algoritmo é de fácil implementação e necessita de baixo processamento para ser executado (Ruiter et al. 2013).

2. Q-Method e QUEST: O Q-Method propõe a minimização de uma função de custo como forma de encontrar o quatérnio que indica a atitude, e o processo de minimização envolve encontrar os autovalores de uma matriz (Habib 2013). Realizar esses cálculos no computador de bordo do nanossatélite não é trivial devido às limitações computacionais. Assim, para contornar o problema, foi desenvolvido o algoritmo QUEST (QUaternion ESTimator), que evita calcular os autovalores explicitamente.

3. Filtro de Kalman: É um método estatístico capaz de combinar as informações de diversos sensores, realizar previsões por meio do modelo dinâmico e cinemático e utilizar a atitude passada para encontrar uma estimativa para a atitude atual.

Os métodos TRIAD, Q-Method e QUEST, apesar da simplicidade na sua implementação, são algoritmos que não possuem a capacidade de fornecer informações sobre a velocidade angular. Assim, devido à necessidade de algumas estratégias de controle em conhecer a velocidade angular, tais métodos não são adequados para o nanossatélite equipado apenas com sensor solar e magnético.

Todavia, o Filtro de Kalman, por ser um estimador de estados, permite inferir informações sobre a velocidade angular. Ademais, conforme Habib (2013) o Filtro

(37)

CAPÍTULO 3. SISTEMA DE NAVEGAÇÃO 21

apresenta um melhor resultado na estimação da atitude, apesar de o seu custo computacional elevado. Assim, o Filtro de Kalman torna-se a opção adequada para o nanossatélite neste estudo.

Para auxiliar na compreensão de todos os subsistemas existentes no sistema de navegação, que utiliza apenas o sensor solar e magnético para determinar as informações do nanossatélite, foi elaborado o diagrama de blocos na Figura 3.1.

Conversor de Tempo Predição da Órbita Modelo do Campo Magnético Modelo da

Posição do Sol Filtro deKalman

Sensores Sistema de Navegação Data/Hora tm rG JDUT1 • vG,sol vG,mag vs,sol vs,mag ruído vG,Sol vG,mag q= [| _η]| TLE ˆ ωsG ˆ τs,c

Figura 3.1: Sistema de Navegação (Estimação da Atitude) Em síntese, a função de cada bloco na Figura 3.1 é:

• Sensores: Esse bloco representa os sensores utilizados para medir a direção do Sol e do campo magnético no referencial ~

F

s.

• Conversor de Tempo: O bloco efetua a conversão do tempo para os padrões

requisitados pelos demais blocos. Essa conversão é necessária devido à

formulação dos modelos matemáticos.

• Modelo da Posição do Sol: O bloco fornece o vetor unitário que informa a direção Sol, conforme o sistema de referência ~

_F

G.

• Modelo do Campo Magnético: O bloco fornece o vetor unitário que informa a direção do campo magnético terrestre, conforme o sistema de referência ~

_F

G.

• Predição da Órbita: É responsável pela determinação da posição do nanossatélite em sua órbita em torno da Terra. Para recriar o movimento de translação do nanossatélite, foi utilizado o algoritmo SGP4, desenvolvido especificamente para nanossatélites de baixa órbita.

• Filtro de Kalman: Estimador de estados utilizado para encontrar a atitude e

(38)

necessário informar a direção dos vetores nos referenciais ~

_F

s e ~

F

G, bem como o

torque aplicado pela ação de controle. Como resultado, são obtidas as estimativas de ˆωsG, ˆη e ˆ.

Uma característica importante do Filtro de Kalman é que ele foi originalmente desenvolvido para estimar os estados de sistemas lineares. Entretanto, as equações da dinâmica e cinemática do nanossatélite são não lineares e, por essa razão, é necessária a utilização da versão conhecida como Filtro de Kalman Estendido (EKF - Extended Kalman Filter) que permite estimar os estados de sistemas não lineares. O princípio básico para utilizar o EKF é a linearização e discretização das equações do nanossatélite, próximo ao ponto de operação. A alternativa utilizada nesta dissertação é a versão apresentada por Ruiter et al. (2013).

3.1 Filtro de Kalman Estendido

O Filtro de Kalman Estendido foi concebido para lidar com sistemas dinâmicos não lineares, sendo amplamente utilizado no processamento de estimativas de sinais. O procedimento geral para projetar esse Filtro é encontrar um modelo linear (por meio da linearização) e discreto que represente o comportamento da atitude do nanossatélite, pela seguinte expressão:

xk= Fk−1xk−1+ Gk−1uk−1+ Lk−1βk−1

yk= Hkxk+ Mkγk

(3.1) onde xk é o estado atual do sistema; uk−1, o torque gerado pelo controlador no instante

anterior; Fk−1 é a matriz de transição de estados, responsável por determinar a dinâmica

do sistema; βk−1, o ruído branco existente no processo1; Hké a matriz de saída que fornece

uma relação entre os estados atuais e as medidas esperadas dos sensores; γk, o ruído

relacionado com os sensores; e Mk, Gk−1 e Lk−1 são matrizes de ganhos.

Para o funcionamento adequado do Filtro, é necessário considerar que os ruídos existentes possuam o comportamento de ruído branco. Assim, os ruídos presentes nos sensores devem apresentar uma distribuição de probabilidade gaussiana com média igual

a zero e covariância R,

_N

(0, R). Os ruídos do processo devem apresentar uma

distribuição de probabilidade gaussiana com média igual a zero e covariância Q,

N

(0, Q). Também é importante destacar que não deve existir correlação entre os sinais de ruído, ou seja, E[γkβ|k] = 0 para todo k (Ruiter et al. 2013).

O algoritmo do Filtro é organizado em uma estrutura conhecida como preditor-corretor, que funciona de forma sequencial com o objetivo de encontrar a estimativa de variância mínima para o estado xk da Equação (3.1). De forma resumida,

essa estrutura funciona do seguinte modo:

• Preditor: Nesta etapa, o Filtro buscará obter a melhor estimativa para o estado atual, por meio da utilização da estimativa anterior e do torque aplicado pela ação de

1_{Trata-se de torques aleatórios aplicados no corpo do nanossatélite devido às perturbações externas ou}

(39)

controle no nanossatélite, sendo essas informações utilizadas no modelo cinemático e dinâmico implementado no Filtro. O resultado é denominado de estimativa do estado previsto ou a priori. Nas equações do Filtro, a variável ˆx_k−é empregada para representar esse estado.

• Correção: Visa efetuar a correção da estimativa a priori por meio da utilização das medidas realizadas pelos sensores. O resultado é denominado de estado corrigido ou de estimativa do estado a posteriori. A variável ˆxk é utilizada para representar a

estimativa após a correção.

As relações existentes entre as etapas previsão e correção podem ser mais facilmente compreendidas por meio da Figura 3.2, onde o diagrama de blocos demonstra as entradas necessárias para cada etapa, bem como o fluxo das informações e os resultados obtidos.

Previsão Correção ˆ xk−1 τs,c,k−1 ˆ x−_k vs,Sol,k vs,mag,k vG,Sol,k vG,mag,k ˆ xk

Figura 3.2: Diagrama de blocos das etapas de previsão e correção do Filtro de Kalman no instante k

No diagrama de blocos da Figura 3.2, vs,Sol,k e vs,mag,k são as coordenadas obtidas

pelos sensores no referencial fixo no nanossatélite ~

_F

s no instante k, vG,Sol,k e vG,mag,k são

as coordenadas obtidas com uso dos modelos matemáticos no referencial inercial ~

F

G no

instante k, e τs,c,k−1é o torque aplicado pelo controlador no instante k − 1.

Com o Filtro de Kalman é possível calcular diretamente as covariâncias associadas às estimativas dos estados, fornecendo uma medida da incerteza (ou confiança) das estimativas dos estados do sistema (Ruiter et al. 2013).

As incertezas relacionadas com os estados são obtidas pelo procedimento a seguir. Considere o erro entre o estado verdadeiro e a estimativa do estado corrigido como ek =

xk− ˆxk e o erro entre o estado verdadeiro e a estimativa do estado previsto como e−k =

xk− ˆx−k. As relações das matrizes de covariâncias a priori P −

k , e a posteriori Pk, com as

informações dos erros são:

P_k−= E [e−_k(e−_k)|] = E [(xk− ˆx−k)(xk− ˆx−k)|]

Pk= E[eke|k] = E[(xk− ˆxk)(xk− ˆxk)|]

(3.2) Assim, caso os valores de Pk sejam “pequenos”, é possível dizer que ˆxk é uma boa

aproximação do estado verdadeiro de xk. Contudo, caso os valores de Pk sejam "grandes",

(40)

Outra característica que precisa ser considerada durante o procedimento de estimação é que o quatérnio deve sempre manter a sua dimensão unitária, conforme apresentada pela Equação (2.12). Originalmente, o Filtro de Kalman Estendido não possui um mecanismo que garanta a dimensão unitária do quatérnio e, por esta razão, Ruiter et al. (2013) apresenta uma alteração no algoritmo original do Filtro, introduzindo uma restrição na norma do quatérnio.

Portanto, visando utilizar o Filtro de Kalman Estendido com restrição de norma como o estimador de estados do nanossatélite, nas seções a seguir são apresentados os modelos lineares e discretos para a atitude e para a medição dos estados. Em sequência, são apresentadas as equações para implementar a estrutura preditor-corretor, conforme Ruiter et al. (2013).

3.1.1 Discretização e Linearização da Atitude

Conforme visto na Seção 2.6, o sistema não linear é descrito pela Equação (2.29). Essa equação foi abaixo transcrita, onde o ruído β foi incluído (Ruiter et al. 2013).

  ˙ ωsG ˙ ˙ η   | {z } ˙ x =      J−1(−ω×sGJωsG+ u + β) 1 2(ηI + ×_)ω sG −1 2 |_ω sG      | {z } f(x, u, β) (3.3)

O procedimento adotado para discretizar a Equação (3.3) é conhecido como backward difference. Esse procedimento consiste em aproximar a derivada contínua pela seguinte expressão (Seborg et al. 1989):

˙

x=xk− xk−1

∆t (3.4)

onde ∆t = tk− tk−1 representa o intervalo de tempo entre xk e xk−1, sendo equivalente ao

período da amostragem do Filtro. Ao aplicar esse procedimento na Equação (3.3), onde ˙

x= f (x, u, β), o seguinte resultado é obtido:

xk= xk−1+ ∆t f (xk−1, uk−1, βk−1) (3.5)

onde xk = [ω|_sG,k |_k ηk]| é o estado atual do sistema e uk−1 é a ação de controle que é

constante no intervalo de tk−1e tk.

Para obter o sistema discreto e linear, Ruiter et al. (2013) utiliza-se a expansão da série de Taylor para as variáveis xk e βk, com a aplicação de pequenas perturbações δxk e

δβk próximo ao ponto de operação ¯xk. Conforme apresentado por Ruiter et al. (2013), o

resultado desta linearização é:

(41)

onde as matrizes Fk−1 e Lk−1são:

F_k−1= I + ∆t   J−1[− ¯ω×_sG,k−1J+ (J ¯ωsG,k−1)×] 0 0 1 2( ¯ηk−1I + ¯ × k−1) −12ω¯ × sG,k−1 1 2ω¯sG,k−1 −1 2¯ | k−1 −12ω¯ | sG,k−1 0   (3.7) Lk−1= ∆t   J−1 0 0   (3.8)

onde Fk−1é a matriz de transição discreta e linear do sistema, Lk−1é uma matriz de ganhos

dos ruídos do processo e I é uma matriz identidade. As variáveis ¯ωsG,k−1, ¯k−1 e ¯ηk−1 são

respectivamente a velocidade angular e os componentes do quatérnio que representam a atitude, utilizados como ponto de operação durante o procedimento de linearização.

Para encontrar os valores dos termos que compõem a matriz Fk−1, deve-se empregar

a melhor estimativa para o ponto de operação ¯x_k−1, ou seja, é utilizada a estimativa a posteriori, ˆx_k−1, para calcular a respectiva matriz a cada intervalo de operação (Ruiter et al. 2013).

Quanto a matriz Lk−1, ao considerar que o intervalo de tempo ∆t não sofre variação

e que o Tensor de Inércia J é constante, essa matriz apresenta um valor contante durante toda a simulação.

3.1.2 Discretização e Linearização da Medição dos Sensores

O objetivo desta seção é encontrar uma função linear e discreta para a modelagem da leitura dos sensores yk, conforme a seguinte expressão:

yk = Hkxk+ Mkγk (3.9)

onde xk é o estado atual do sistema, Hk é a matriz de medição que correlaciona xk com

os valores medidos pelos sensores yk, γk é o ruído relacionado com os sensores e Mk é

uma matriz de ganhos. Para encontrar a matriz Hk, faz-se necessário primeiro determinar

a equação de medição em tempo contínuo.

Ruiter et al. (2013) apresenta uma abordagem através de quatérnio que permite realizar a rotação de vGe obter sua representação no corpo do nanossatélite. Como ponto

de partida, deve-se considerar as coordenadas vG de um vetor qualquer obtido no

referencial ~

_F

G, e sua correspondente coordenadas vs medidas no corpo do nanossatélite

~

F

s; a relação de rotação é obtida por:

vs=

R

s←Gv_G= Y (vG, qs←G)qs←G = ηI − × − v × G vG −v|_G 0 | {z } Y(vG, qs←G) η |{z} qs←G (3.10)

Este estudo considera que o nanossatélite está equipado com dois sensores, um para medir a direção do Sol, vG,sol, e outro para medir a direção do campo magnético ,vG,mag.