Esta 3a
. Lista de Exerc´ıcios dever´a ser entregue completamente resolvida no dia da terceira prova
(1) Verificar se s˜ao transforma¸c˜oes lineares: (i) f: R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (2x−y+z, 0, 0) ;
(ii) f: R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ 2x2+3y, x, z
;
(iii) f: R2 −→ R4 (x, y) 7−→ (x, x, y, y)
;
(iv) f: Pn(R) −→ Pn+1(R) p(x) 7−→ xp(x)
;
(v) f: Pn(R) −→ P2n−3(R) p(x) 7−→ p′(x)p′′(x)
.
(2) Verificar se s˜ao operadores lineares:
(i) f: R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (xcosα−ysenα, xsenα+ycosα)
sendo α ∈ R constante. (geometricamente, f ´e
uma rota¸c˜ao com centro na origem e giro αno sentido anti-hor´ario); (ii) f: Mn(R) −→ Mn(R)
A 7−→ AM−MA
sendo M∈Mn(R) fixada;
(iii) f: Mn(R) −→ Mn(R) A 7−→ AM+M
sendo M∈Mn(R), M6=0;
(iv) f: C −→ C z 7−→ z ;
(v) f: C −→ C z 7−→ z
sendo Cespa¸co vetorial sobre C;
(vi) f: F(R) −→ F(R) g(x) 7−→ g′(x)
(Obs. F(R) n˜ao ´e finitamente gerado);
(vii) f: R4 −→ R4 (x, y, z, t) 7−→ (0, 0, 0, 0)
;
(viii) f: R −→ R x 7−→ x
.
(3) Existe operador linear f : R4 → R4 tal que f(1, 2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4), f(1, 1, 1, 1) = (2, 3, 2, 3) e f(0, 1, 2, 3) = (−1,−1, 1, 0) ? Justifique sua resposta.
(4) Seja o operador linear f:R2 →R2 tal que f(1, 0) = (2, 3) e f(0, 1) = (1, 4).determine a express˜ao de f(x, y) sendo(x, y)∈R2 arbitr´ario.
(5) Determinar uma base e a dimens˜ao do n´ucleo e da imagem das seguintes transforma¸c˜oes lineares: (i) f: R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ x+y−z ;
(ii) f: R3 −→ R4
(x, y, z) 7−→ (x−y−z, x+y+z, 2x−y+z,−y) ;
(iii) f: Pn(R) −→ Pn+2(R) p(x) 7−→ x2p(x)
;
(iv) f: M2(R) −→ M2(R) A 7−→ AM−MA
sendo M=
1 2 0 3
.
(6)Seja o operador linearf:R3
→R3tal quef(1, 0, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1, 2)ef(0, 0, 1) = (0, 0, 2).
Determinar uma base para cada um dos seguintes subespa¸cos: kerf, Imf, kerf∩Imf e kerf+Imf. Este ´
(7) A reflex˜ao em torno do plano xy em R3 ´e um operador linear? Caso afirmativo, de uma base para o n´ucleo e uma base para a imagem.
(8) Ache uma transforma¸c˜ao linearf:R3→R2 tal que kerf= [(1, 1, 0)].
(9) Mostre que
f: R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ (x+y, x−z, y) ´e automorfismo e calcule sua inversa.
(10) Considere f :R3 → R3 operador linear tal que f(1, 0, 0) = (1, 1, 1), f(0, 1, 0) = (1, 0, 1) e f(0, 1, 2) = (0, 0, 4).Nessas condi¸c˜oesf´e automorfismo? Se for, calcule a inversa.
(11)Sejam
f: R3 −→ R2 (x, y, z) 7−→ (x−y, z) e
g: R3 −→ R2 (x, y, z) 7−→ (x+y,−z) transforma¸c˜oes lineares. Determine f+g e3f−7g.
(12) Sejam f, g, h ∈ L R2 tais que f(x, y) = (x+y, 0), g(x, y) = (2x, 3y) e h(x, y) = (−x, x+y). Determine:
(i) f◦g. (ii) g◦f. (iii) h◦(f+g). (iv) h◦f+h◦g.
(13) Sejam f∈L R3,R2
, g∈L R2,R3
e I ∈L R3,R3
tais que f(x, y, z) = (x+y, 2x+2y), g(x, y) = (x, y, x+y)eI(x, y, z) = (x, y, z).Verifique queg◦f+2I´e automorfismo deR3e determine o automorfismo inverso.
(14) Sejamf, g ∈L R3,R2 tais que f(x, y, z) = (y, x+z) e g(x, y, z) = (2z, x−y). Mostre que{f, g}´e LI em L R3,R2
.
(15)Sejam f, g∈L R2,R3
tais que f(x, y) = (2x, y, x),∀(x, y)∈R2 e
[f+g]B,C=
1 1 0 1 −1 2
,
sendo Be Cbases canˆonicas de R2 eR3, respectivamente. Determine [g]B,C e a express˜ao de g.
(16)Encontre a matriz [f]B,C da transforma¸c˜ao linear
f: P1(R) −→ P2(R)
a+bx 7−→ (a+b) + (b−a)x+ax2 ,
sendo B={1, 1−x} e C=1, 1−x, 1−x2 bases deP
1(R)e P2(R),respectivamente. (17)Encontre a express˜ao da transforma¸c˜ao linearf:R4→R3,sendo
[f]B,C=
1 1 2 0 0 1 4 7 −1 2 −4 0
B={(1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 0),(1, 1, 0, 0),(1, 0, 0, 0)} e C={(1, 1, 1),(1, 1, 0),(1, 0, 0)} bases de R4 eR3, respec-tivamente.
(18)Mostre que:
h,i: R2×R2 −→ R
((x1, y1),(x2, y2)) 7−→ h(x1, y1),(x2, y2)i=x1x2−2x1y2−2x2y1+5y1y2
´e produto interno sobreR2.
Tomandou= (1, 2) e v= (3, 4) emR2,calcule hu, vi,||u||,||v|| ed(u, v) com: (a) o produto interno acima.
(b) o produto interno usual em R2.
(19)SejaV espa¸co vetorial com produto interno.
(a) Determine α∈R tal quehu+αv, u−αvi=0 sendo||u||=3 e ||v||=5. (b) Determine hu, vi, u, v∈V,sendo ||v||=1,||u||=1 e ||u−v||=2.
(20) Seja R2 com o produto interno usual. Se u = (1, 2) e v = (−1, 1) em R2 s˜ao tais que hu, wi = −1 e hv, wi=3, determinew∈R2.
(21) Considere U=P3(R) e hp, qi=
Z1
0
p(x)q(x)dx. Sendop(x) =x3−x−1 e q(x) =x2+1, determine hp, qi,||p||,||q||e ||p+q||.
(22)Ortonormalizar as bases
(a) B={(1, 1, 0, 0),(0, 1, 2, 0),(0, 0, 3, 4)} deU⊂ se
R4.
(b) B={(1, 1, 1),(1,−1, 1),(−1, 0, 1)} de R3. (c) B={(1, 2),(3, 4)} de U⊂
se R2.
(d) B={5} de R.
utilizando o processo de ortonormaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt.
(23) Determine a proje¸c˜ao ortogonal u=projUv do elementov= (1, 2, 3, 4) sobre os seguintes subespa¸cos de R4:
(a) U= [(1, 1, 1, 1)].
(b) U= [(1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 0)].
(c) U= [(1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 0),(1, 1, 0, 0)].
(d) U= [(1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 0),(1, 1, 0, 0),(1, 0, 0, 0)].
(24)Determine uma isometria em R3 cuja matriz com rela¸c˜ao `a base canˆonica seja
1
√
2 1
√
2 0 0 0 1 x y z
.
(25)SejaB=
(1, 0, 0), 0, √
2 2 ,
√ 2 2
!
, 0,− √
2 2 ,
√ 2 2
!
uma base ortonormal de R3.Considere
A=
1 0 0 0
√
2 2
√
2 2 0 −√22 √22
(a) Verifique que A´e matriz ortogonal.
(26)Considerando R2 com a base canˆonica, determine a matriz da: (a) reflex˜ao em torno do eixox.
(b) reflex˜ao em torno do eixo y.
(c) rota¸c˜ao em torno da origem e giro αno sentido anti-hor´ario.
(27)Considerando R3 com a base canˆonica, determine a matriz da: (a) reflex˜ao em torno do planoxy.
(b) reflex˜ao em torno do plano xz. (c) reflex˜ao em torno do planoyz. (d) rota¸c˜ao
ρx,α : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x, ycosα−zsenα, zcosα+ysenα) em torno do eixo xe giro αno sentido anti-hor´ario (com rela¸c˜ao ao planoyz). (e) rota¸c˜ao
ρy,α : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (xcosα−zsenα, y, zcosα+xsenα) em torno do eixo y e giroαno sentido anti-hor´ario (com rela¸c˜ao ao planoxz). (f) rota¸c˜ao
ρz,α: R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (xcosα−ysenα, ycosα+xsenα, z) em torno do eixo z e giroαno sentido anti-hor´ario (com rela¸c˜ao ao planoxy).
(28)Ache os subespa¸cos pr´oprios associados aos autovalores de
(a) T : R
3 −
→ R3
(x, y, z) 7−→ (x, y, 0)
(b) T : R
3 −
→ R3
(x, y, z) 7−→ (2x+y, y−z, 2y+4z) .
Dˆe uma base para cada subespa¸co pr´oprio encontrado nos itens acima.
(29)Ache, se existirem, os autovalores e autovetores das matrizes A=
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
e B=
1 −1 2 −1
.
(30) Verifique se os operadores abaixo s˜ao diagonaliz´aveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de T com rela¸c˜ao a uma base de autovetores.
(a) T : R 2
−→ R2
(x, y) 7−→ (x+y, y) .
(b) T : R 2 −
→ R2
(x, y) 7−→ (4x+4y, x+4y) .
(c) T :R3 →R3 tal que[T]C=
5 −6 −6
−1 4 2
3 −6 −4
, Cbase canˆonica de R3.
(d) T :R4
→R4 tal que[T]C=
2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 −2 4
Nome:
Preencha cada campo com “sim” ou “n˜ao”.
Fazer um exerc´ıcio pode ser por meio de c´opia en˜ao significaque ele tenha sido entendido. Campos em branco na coluna do “Fiz?” ser˜ao interpretados como exerc´ıcios n˜ao feitos.
Estas tabelas dever˜ao ser entregues em separadono dia da terceira prova, al´em da lista de exerc´ıcios. Seja sincero(a) em suas respostas.
