Lista 1 Comjuntos e funções

UNEB_________________________________

Estudante: ____________________________ Turma: ______. Data: ____ Nota: ________ Curso: ____________________________

Prof. Alexandre Boleira Lopo

CONJUNTOS

1) Faça uma síntese da definição dos conjuntos numéricos e construa um diagrama de Venn representativo.

2) Faça uma síntese da operações entre conjuntos e construa um diagrama de Venn representativo.

3) Se A = {x  Z / -4 < x < 3} e B = {x  Z / -3 < x < 1}, determine os conjuntos e operações:

a) A b) B c) A U B d) A ∩ B e) A – B f) B-A

4) Sendo A = [-1 , 2[, B = IR e C = [ -3, 1[, desenhe a reta real e determine:

a) A U C b) A ∩ C c) A – C d) B – A e) B – C f) Ϲ A,B (complementar de A em B) g) ϹC,B complementar de C em B.

5) Nos diagramas, a parte hachurada representa: a) b)

6) Construa um diagrama que represente a operação entre conjuntos: (A ∩ C) U B. Teoria de Conjuntos –Problemas

Pode ser utilizada a regra: n(A U B) = n(A) +n(B) - n(A∩B)

Obs. O n representa o nº de elementos do conjunto. Ex. n(A) é igual ao nº de elementos do conjunto A.

8) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao Sindicato dos Agricultores do Oeste da Bahia mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme o quadro:

Convênio com A Convênio com B Filiados ao Sindicato

430 160 600

O n° de filiados simultaneamente às empresas A e B é: a)10 b)30 c) 40 d)45 e)50

9) Uma escola recém instalada na zona rural tem apenas classes de 1° e 2º ano. No total, a escola tem 129 alunos, sendo que o 1° ano tem 25 alunos a mais que o 2° ano. Nessas condições, o número de alunos do 1° ano é:

a)51 b)52 c) 77 d)82 e)87

10) Em uma Universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambos os jornais?

a)30% b)40% c) 50% d)60% e)70%

FUNÇÕES

Use de forma on line o aplicativo Wolfram Alpha para conferir seus gráficos e cálculos. Não é necessário baixar. O Wolfram Alpha é um mecanismo de conhecimento computacional (computational knowledge engine, em inglês) desenvolvido pela Wolfram Research, podendo ser acessado pelo endereço www.wolframalpha.com.

1. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

1) Explique o que significa o símbolo: y = f(x) e as variáveis y e x. 2) Explique o que significa f: IR→IR.

3) Dada a função f: R→R definida por f(x) = 2x +4, calcule os valores reais de x para que se tenha:

a) f(x) = 12 b) f(x) = -x

4) Dada a função polinomial do 1º grau f(x) = - 3x – 6 (f: ℜ → ℜ _{) pede-se:} a) o gráfico

b) a raiz ou zero da função

5) Dada a função polinomial do 1º grau f(x) = 2x – 1/3 (f: ℜ → ℜ ) pede-se realizar o estudo do estudo do sinal

6) Resolva em IR a inequação do 1 º grau: -x + 3 > 0 Problemas- Lei de Formação

7) Um vendedor autônomo recebe uma comissão de 10% sobre o total de suas vendas no mês e uma parte fixa de R$ 880,00. Portanto, o salário que ele recebe é dado em função do total de suas vendas e da parte fixa.

a) Se indicarmos por x esse total de vendas, qual é a lei da função que representa o salário do vendedor?

b) Em um mês em que a venda foi de R$ 100 000,00, qual a comissão do vendedor? c) Faça o gráfico, sendo x > 0.

8) O valor a pagar em uma corrida de Táxi é definido por um valor fixo, chamado bandeirada, de R$ 3,4 e por um valor variável de R$ 0,50 por quilômetro. Portanto, o valor da corrida de táxi é dado em função da distancia (quilometragem) percorrida a) Se indicarmos por x a quilometragem percorrida e V o valor a pagar, qual é a lei da função que representa o valor da corrida?

b) Em uma viagem de 14 km, qual o valor a pagar na corrida? c) Construir um gráfico para a função acima (x > 0).

2. FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. Construa a parábola da função quadrática: y = x 2 _{– 2x – 3. Não deixe de calcular o} vértice.

2. Para que valores reais de x a função f(x) = x 2 _{+ 7x +10 é positiva?} 3. Resolva a inequação quadrática x 2 _{– 7x +6 < 0}

Problemas:

4. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por: C = x 2 _{– 80x + 3000 com x≥ 0 . Nessas condições, calcule:}

a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo do custo.

5. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – t² + 6t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t)é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: (1,5)

Flash matemático.

Foi o matemático Johann Bernoulli quem pela primeira vez empregou o símbolo f(x) para representar uma função de variável x.

3. FUNÇÃO MODULAR

1. Apresente a definição de Função modular

2. Sobre Função modular pede-se construir o gráfico de f(x) =  x + 1 e informar domínio e imagem

3. Qual a solução da equação modular  x2 _{+ 6x -1=6}

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) Dada a função exponencial f(x) = (1/2)x _{- 1, pede-se:} a) o gráfico da função b) o domínio e a imagem b) classificar a função em crescente ou decrescente.

2) Mostre os cálculos e apresente a solução para a equação exponencial (1/2) x-1_{- 4 = 0?} 3)Qual é o conjunto solução de 3x-2_{- 1/81= 0?}

4) Na equação exponencial a seguir diga o valor de x para que a expressão seja verdadeira. (1/4)x _-

2= 0

5) Resolva a inequação exponencial e apresente a solução: 75x-6 _{< 1} 6) Encontre a solução para o sistema de equações exponenciais

{

Situação-Problemas com Equação exponencial

7) Problema

Consideremos uma população de bactérias em certo ambiente. De acordo com a equação N=1,5.No.21,2t esta

população se reproduz na fase exponencial, como mostra a figura ao lado.

Considere N: População final, No: População inicial e t: tempo em horas.

8) Calcule o montante ao aplicar um capital de R$ 3000,00, à taxa de 2,3% ao mês durante 6 meses?

4. LOGARITMOS

Logaritmos

Algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se a > 0 e a 1, então para valores positivos de b o logaritmo na base a de b é denotado por loga b e é definido como sendo aquele expoente ao qual a deve ser elevado para produzir x, ou seja: loga b _{= x →} ax _{= b. Por exemplo:}

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimi a referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e

em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é e 2, 718282

Diante do exposto resolva as questões a seguir:

2) O valor da expressão log 2 0,5 + log 33 + log 4 8 é: a) 1 b)-1 c) 0 d)2 e) 0,5

3) o valor do log 0,01 3 0,1 é:

a) -1/2 b)-1/6 c) 1/6 d)1/2 e) 1 5. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f : R*+ → R. Exemplos:

f(x) = log2x e f(x) = log5(x – 2)

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:

Crescente: base maior que 1 e Decrescente: base maior que zero e menor que 1.

4) Sabe-se que o gráfico da função logarítmica é crescente quando sua base é maior que 1, desta forma pede-se construir o gráfico da função logarítmica a seguir. Indique domínio e imagem.

y = log 3 x

5) Sabe-se que o gráfico da função logarítmica é decrescente quando sua base é maior que 0 e menor que 1, desta forma pede-se construir o gráfico da função logarítmica. Indique domínio e imagem.

y = log 1/3 x

Em juros compostos. O montante é uma função exponencial em relação ao tempo, com a fórmula:

6) Pede-se apresentar a fórmula acima evidenciando o período t e em seguida encontra a solução da questão: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a 5,0% am obtendo-se ao final um montante de R$ 1150,00. Qual o prazo da transação? Fazer o gráfico.

Equação logarítmica

Quando falamos de logaritmo, devemos nos lembrar de sua definição básica: loga b _{= x} → ax _{= b. E quando pensamos em equação logarítmica, devemos unir as ideias de} logaritmo com as definições básicas de funções. Alguns tipos principais de equações destacam-se, são eles:

Uma equação é logarítmica quando se deseja encontrar o valor de uma incógnita associada a um logaritmo. Para resolver tal equação é necessário:

1-Determinar as condições de existência

2- Utilizar a definição ou propriedade a fim de achar o valor da incógnita 3-Verificar se o valor encontrado atende à condição de existência.

4- Apresentar a solução

Portanto resolva as equações propostas nas questões 7 e 8 7) Qual a solução da equação log 3 (2x + 2) = 1:

a) 1/2 b)-1/2 c) 1 d)2 e) 3

8) Sendo (log 2 x)2 – 3 log 2 x – 4 = 0, então o produto entre as raízes da equação vale: Obs: faça y = log 2 x e substitua na equação.

a) -8 b) 16 c) -1/4 d)4 e) 8

Você sabia que a MEDIDA DO NÍVEL SONORO é logarítmica:

Para medir o nível sonoro utilizamos uma escala logarítmica. O nível sonoro b é calculado por:

, onde

I Þ é a intensidade física do som que se quer medir I0 Þ é a menor intensidade física do som audível

b > nível sonoro de I

6. TRIGONOMETRIA

1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. (Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)

2. Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas.

3. Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y indicadas no triângulo retângulo.

4. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.

5. Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30cm. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

6. A diagonal de um quadrado mede

6

√

2

7. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é 80m. Determine a altura da pipa em relação ao solo.

8. Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 30º acima do horizonte? Dado

√

3

9. Determine a altura do prédio da figura seguinte:

10. Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir do solo horizontal. Dado

√

3

11. Observe a figura e determine: a) Qual é o comprimento da rampa?

b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco?

12. A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo α _{, como mostra a figura.}

7. FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA

1) Escreva o ciclo trigonométrico e seus elementos

2) Construa o gráfico das funções circularese informe domínio, imagem e período.

a) f(x) = cos x

b) f(x)= sem x

c) f(x)=tan x

3) Sabendo que cotg (x) = 24/7 e  < x < 3/2 (3° quadrante), calcular as demais funções circulares de x. Obs. Use as fórmulas no fim da pagina

a) tg x b) cos x c) sen x d) sec x e) cossec x

4) Se tg (x) = 5/12, calcule sen x/2 e 0 < x < /2. Use as fórmulas no fim da página e a Fórmula do arco metade

senx

2=±

√

1−cosx

2

5) Dados sen (x) = 3/5 e cos (y) = 5/13 e sabendo que e 0 < x < /2,

Use cosseno da soma dos arcos: cos (x + y) = cos(x).cos(y) – sen(x). sen(y) e determine

6) Resolva a equação trigonométrica abaixo determinando os ângulos (arcos) desconhecidos que satisfazem a igualdade. Responder em radianos.

sen2_x