32 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018.
DESENVOLVIMENTO DO CONHECIMENTO ESTATÍSTICO PARA
ENSINAR A PARTIR DA ANÁLISE DE TAREFAS EM UMA COMUNIDADE
DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Development of statistical knowledge for teaching from task analysis within a mathematics teachers community
Everton José Goldoni Estevam
Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de União da Vitória, Brasil evertonjgestevam@gmail.com
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino Universidade Estadual de Londrina – UEL, Brasil
marciacyrino@uel.br Hélia Oliveira
Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, Portugal hmoliveira@ie.ulisboa.pt
Resumo
Neste trabalho, discutimos a prática de uma Comunidade de Professores de Matemática no empreendimento Análise de Tarefas Estatísticas (ATE), abrangendo, particularmente, medidas de tendência central. O objetivo que norteia a investigação é compreender e explicitar: Que aspectos do conhecimento estatístico para ensinar se salientam no empreendimento? Que elementos do empreendimento contribuem para isso? Os resultados revelaram que reflexões compartilhadas e significados negociados no desenvolvimento do empreendimento promoveram uma (re)significação para os professores do conhecimento estatístico necessário para ensinar. Salientaram-se, como elementos favorecedores da emergência desses aspectos, as características das tarefas analisadas e sua relação com a aprendizagem dos alunos, a dinâmica que suportou o empreendimento e as ações do formador. Dessa forma, o ATE configurou uma prática vantajosa ao desenvolvimento profissional dos professores na Educação Estatística. Palavras-Chave: Formação de professores; Educação Estatística; Tarefas matemáticas.
Abstract
In this paper we discuss the practice of a mathematics teachers community in the enterprise Statistical Task Analysis (STA) which covers specifically averages. The aim that guides research is to understand and to make explicit: What aspects of statistical knowledge for teaching stand out in that enterprise? What elements of the enterprise contribute for this? The results show that shared reflections and negotiated meanings in the course of the enterprise (re)shaped the meaning of statistics knowledge needed for teaching. It should be
33 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. noted as elements favoring the emergence of these aspects the characteristics of the analyzed tasks and their links with student’s learning, the dynamics that supported the enterprise and the actions of the teacher educator. Thus, the STA set up a promising practice of professional development of teachers in Statistics Education.
Keywords: Teacher education; Statistics Education; Mathematical tasks. Introdução
Há diversas dimensões que necessitam ser consideradas para compreensão e discussão do desenvolvimento profissional docente, um conjunto semântico que emergiu na literatura educacional como forma de demarcar ações formativas as quais, diferentes do processo tradicional, consideram e correspondem às demandas impostas pela sala de aula e pela prática dos professores (PONTE, 1998).
No campo da Educação Estatística, Estevam e Cyrino (2016) sistematizam um quadro de objetivos para o desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática. Esse desenvolvimento ancora-se na amplitude de um auto senso que reconhece a Educação Estatística como dimensão de seu domínio de conhecimento, no papel da equidade e da visão compartilhada sobre o ensino e a aprendizagem, bem como no conhecimento de conteúdo, pedagógico e sobre como os alunos aprendem Estatística. Esses últimos referem particularmente aspectos que pesquisadores como Burgess (2009) e Casey (2010), em referência aos trabalhos de Shulman, definem como conhecimento estatístico para ensinar, cuja mobilização e aprofundamento configuram desafios para a investigação no campo da Educação Estatística (SHAUGNESSY, 2007).
Associam-se a esse cenário as pesquisas que sugerem – ainda que com modesta incidência sobre o campo da Educação Estatística – que a elaboração e a análise de tarefas matemáticas expressam práticas promissoras na promoção de experiências e reflexões com vistas ao desenvolvimento de conhecimentos profissionais de professores (STEIN; SMITH, 1998; LILJEDAHL; CHERNOFF; ZAZKIS, 2007; GUBERMAN; LEIKIN, 2013; CYRINO; JESUS, 2014).
Nessa direção, no presente artigo, apresentamos uma análise da prática de uma Comunidade de Professores de Matemática no empreendimento1 Análise de Tarefas Estatísticas (ATE), com o intuito de compreender e explicitar: Que aspectos do conhecimento estatístico para ensinar se salientam no empreendimento? Que elementos do empreendimento contribuem para isso?
A seguir, discutimos o quadro sobre o conhecimento estatístico para ensinar e as tarefas matemáticas, nos contextos didático-pedagógico e formativo. Descrevemos, em seguida, o contexto da investigação, o empreendimento ATE e suas implicações na prática da Comunidade de Prática (CoP) investigada. Por fim, a última seção busca responder às questões da pesquisa.
1 O termo aqui é compreendido na perspectiva de Comunidades de Prática (WENGER, 1998) e remete a toda tarefa ou responsabilidade assumida pelo grupo de forma articulada a sua prática. Assim, um empreendimento pode sustentar-se em uma ação particular ou constituir-se na conjugação de um conjunto de ações relacionadas à prática da comunidade.
34 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Conhecimento estatístico para ensinar
Desde os trabalhos de Shulman, reconhece-se amplamente que o conhecimento de conteúdo exigido do professor é distinto daquele necessário a outras áreas. Esse funciona como um dos fundamentos das pesquisas do grupo de Débora Ball, que tem se empenhado em discussões sobre o que denominam “conhecimento matemático para ensinar”. Segundo Ball, Thames e Phelps (2008, p. 395), trata-se do “conhecimento matemático necessário para realizar efetivamente o trabalho de ensinar Matemática aos alunos”. Embora se identifiquem avanços relacionados a esses conhecimentos na Álgebra, Geometria e Aritmética, no campo da Estatística muitos ainda são os desafios para esclarecê-los (SHAUGNESSY, 2007; BURGESS, 2009; CASEY, 2010).
Tais desafios acentuam-se quando consideramos os avanços curriculares que apontam “mudanças” no papel do professor em meio ao processo didático e a urgência de práticas pedagógicas com objetivos de aprendizagem mais exigentes, que provoquem os alunos para a realização de tarefas desafiantes e os incitem a comunicar, questionar, refletir, negociar e colaborar em sala de aula (CHAPMAN; HEATER, 2010). Um dos aspectos que os permeia reside na necessidade de o professor saber lidar com e interpretar os erros dos alunos, assim como justificar os procedimentos, conceitos e ideias empregados nos processos de resolução, especialmente no contexto de realização e significação de ciclos investigativos (ESTEVAM; CYRINO, 2016).
Considerando esses aspectos, Burgess (2009) propõe um quadro que associa as dimensões do conhecimento estatístico para ensinar – relacionadas ao conhecimento de conteúdo e pedagógico – às componentes do pensamento estatístico propostas por Wild e Pfannkuch (1999), sistematizado no Quadro 1.
Conhecimento estatístico para ensinar Conhecimento do Conteúdo Específico Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Conhecimento Comum de Conteúdo (CCC) Conhecimento Especializado de Conteúdo (CEC) Conhecimento de Conteúdo e dos Alunos (CCA) Conhecimento de Conteúdo e do Ensino (CCE) Pensamento Necessidade de dados Transnumeração Variação Raciocínio com modelos Integração da estatística ao contexto Ciclo Investigativo Ciclo Interrogativo Dispositivos
Quadro 1 – Quadro sobre o conhecimento para ensinar em relação aos tipos de pensamento estatístico.
Fonte: Adaptado de Burgess (2009, p. 7).
Para Wild e Pfannkuch (1999), a mobilização do pensamento estatístico deve envolver um processo investigativo que perpassa por quatro dimensões: os tipos de
35 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. pensamento, o ciclo investigativo, o ciclo interrogativo e os dispositivos, esse último relacionado aos comportamentos atitudinais que tal pensamento envolve. O ciclo investigativo e o ciclo interrogativo, por sua vez, referem dimensões amplas de pensamento que podem ser considerados parte da resolução de problemas. O primeiro, associado à estrutura: Problema, Plano, Dados, Análise e Conclusões – PPDAC; e o segundo à geração, procura, interpretação, crítica e ao julgamento de dados. Quanto aos pensamentos incluídos nesse modelo, os autores citam como componentes específicas:
▪ o reconhecimento da necessidade dos dados, o qual refere a percepção de que a quantidade dos dados influencia na qualidade das conclusões, para além de outros tipos de evidência;
▪ a transnumeração, que refere as mudanças de representações com vistas a tornar os dados mais compreensíveis;
▪ a onipresença da variação, relacionada à busca por padrões na tentativa de significá-la em meio ao contexto da situação;
▪ os modelos estatísticos, que abrangem desde aqueles mais simples (gráficos ou tabelas) aos mais complexos, na tentativa de sumarizar os dados;
▪ a integração da estatística ao contexto, a qual refere a articulação entre o contexto do problema e o conhecimento estatístico em voga.
Quanto aos conhecimentos, Burgess (2009) aponta que o conhecimento comum de conteúdo significa o conhecimento estatístico necessário comum a outras profissões, enquanto o conhecimento especializado de conteúdo envolve a capacidade de analisar a adequabilidade das produções dos alunos, as representações e os registros utilizados, incluindo os erros cometidos. O conhecimento do conteúdo e dos alunos permite antecipar pensamentos em relação a determinadas ideias, conceitos e procedimentos estatísticos, identificando o que os alunos poderão julgar fácil ou difícil. Por fim, o conhecimento do conteúdo e do ensino envolve um amálgama entre uma ideia ou procedimento matemático e estratégias pedagógicas adequadas para sua abordagem. Salienta-se ainda que pode haver sobreposições e interdependências, tanto nas dimensões do conhecimento para ensinar, quanto nos tipos de pensamento estatístico.
Tarefas matemáticas nos contextos didático-pedagógico e formativo
A expressão tarefa matemática é frequentemente utilizada com significados diferentes – pode se referir (nem sempre de forma adequada) a “questões, atividades, problemas, práticas, novas aprendizagens, lições, exemplos, experiências de aprendizagem, projetos, investigações ou propostas de trabalho para casa” (WALLS, 2005, p. 752). Stein e Smith (1998) esclarecem esse impasse, ao definirem tarefa matemática como uma proposta de trabalho para os alunos. Trata-se de uma situação ou conjunto de situações direcionada(o) ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular e que se situa “na interação entre ensino e aprendizagem” (STEIN et al., 2000, p. 25), já que o professor seleciona as tarefas matemáticas tendo em conta promover o engajamento dos
36 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. alunos no processo de ensino, para os quais elas constituem (diferentes) oportunidades de aprendizagem. Esse é também o significado de tarefa matemática que praticamos.
Vários estudos indicam a existência de relação entre os tipos de tarefas matemáticas e o pensamento dos alunos (CHRISTIANSEN; WALTHER, 1986; STEIN; SMITH, 1998; PERESSINI; KNUTH, 2000; STEELE, 2000; STEIN et al., 2000; GUBERMAN; LEIKIN, 2013; CYRINO; JESUS, 2014). Em particular, Stein e Smith (1998) referem que o modo como os alunos aprendem a pensar matematicamente é influenciado pelo tipo de tarefas matemáticas que lhes são propostas. Concretizando essa ideia, as autoras mencionam que as tarefas que recorrem à memorização de procedimentos, de forma rotineira, constituem oportunidades que suscitam um determinado tipo de pensamento dos alunos – de baixo nível de demanda cognitiva –, diferente daquelas que os levam a pensar sobre conceitos, a conjecturar, a justificar e a estabelecer conexões entre ideias matemáticas – consideradas de alto nível de demanda cognitiva.
Além de as tarefas influenciarem o modo como os alunos pensam matematicamente, elas podem também limitar ou ampliar o modo como eles avaliam os tópicos de ensino, bem como a compreensão acerca do que é a Matemática e sobre o que envolve fazer matemática (STEIN; SMITH, 1998; STEIN et al., 2000; STEELE, 2000).
Nesse sentido, a predominância de exercícios na disciplina de Matemática revela a fragilidade do conhecimento dos professores no campo de suas influências fundamentais para oferecer oportunidades de aprendizagem aos alunos ou, mais além, denuncia sua percepção acerca do que é a Matemática (STEELE, 2000).
Visando à promoção de um ensino que supere o paradigma do exercício, Peressini e Knuth (2000) identificam três processos a que os professores devem recorrer e, portanto, desenvolver para práticas pedagógicas mais promissoras: i) apresentar tarefas matematicamente ricas; ii) promover a discussão dos alunos sobre as tarefas e suas (re)soluções; e iii) refletir sobre as tarefas e as discussões, de modo a maximizar a atividade matemática e a consequente compreensão dos alunos.
Nesse mesmo sentido, Chapman (2013), a partir das orientações do NCTM2 e de outras pesquisas, salienta que as habilidades para selecionar tarefas promissoras e otimizar seu potencial para aprendizagem em sala de aula demandam alguns conhecimentos do professor, nomeadamente:
i) Compreender a natureza de tarefas vantajosas, por exemplo, conteúdo matemático significativo; múltiplas (re)soluções e representações; relação com outras ideias matemáticas; exigência de justificativas, interpretação e conjecturas.
ii) Ser capaz de identificar, selecionar e criar tarefas ricas em termos de conteúdo matemático e oportunidades de aprendizagem matemática com compreensão, considerando o interesse dos alunos e suas necessidades de aprendizagem.
iii) Conhecer os níveis de demanda cognitiva de tarefas e sua relação com os objetivos de aula e a compreensão matemática que podem promover.
2 Documento do National Council of Teachers of Mathematics que serve de referência, orientação e recurso à educação matemática dos alunos da Educação Básica – do pré-escolar ao ensino médio.
37 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. iv) Entender as compreensões, interesses e experiências dos alunos e relacioná-los às diversas maneiras com que aprendem Matemática.
v) Reconhecer que os modos de seleção e utilização das tarefas influenciam a forma como os alunos atribuem sentido à Matemática.
vi) Saber que aspectos de uma tarefa destacar, como deve organizar e gerir o trabalho dos alunos, o que perguntar e como apoiá-los sem, no entanto, pensar por eles.
Relacionado a esse último aspecto, as pesquisas (STEIN; SMITH, 1998; STEELE, 2000; LILJEDAHL; CHERNOFF; ZAZKIS, 2007; CYRINO; JESUS, 2014) ressaltam que é impossível classificar uma tarefa inicialmente em termos absolutos, uma vez que sua natureza é sempre relativa à pessoa que a faz e à forma como a faz. A proposição de tarefas ricas e promissoras para a aprendizagem dos alunos não garante a efetividade do que foi planejado inicialmente. É preciso considerar que as tarefas só “ganham vida” no processo pedagógico, a partir de sua interpretação e implementação em sala de aula, aspectos substancialmente influenciáveis pelas práticas e crenças do professor.
O conhecimento sobre tarefas matemáticas é, portanto, multifacetado. Sua construção ou desenvolvimento, sem uma intervenção objetiva, provavelmente configura um grande desafio aos professores (CHAPMAN, 2013). É nesse sentido que práticas envolvendo elaboração, adaptação ou análise de tarefas matemáticas, tendo em conta a aprendizagem dos alunos, têm ganhado importância em ações e programas que visam ao desenvolvimento profissional de professores.
Para Cyrino e Jesus (2014, p. 752), “refletir a respeito das tarefas que propõe aos alunos pode ser uma forma de o professor ficar atento aos processos de ensino e de aprendizagem e avaliar o impacto que suas decisões têm sobre estes processos”. Já Guberman e Leikin (2013) argumentam que a discussão e exploração de tarefas que possibilitam múltiplas (re)soluções constituem uma ferramenta poderosa para a construção de conexões matemáticas.
Liljedahl, Chernoff e Zazkis (2007), por sua vez, salientam a análise de aspectos potenciais das tarefas (affordances task), os quais relacionam a dimensão matemática (mathematical affordances) e pedagógica (pedagogical affordances) que as permeia. Os pesquisadores relacionam esses dois aspectos em um quadro bidimensional composto por objetivos e utilizações das tarefas, que pode ser utilizado para elaboração e análise de tarefas matemáticas. Assim, analisam como aspectos potenciais a identificação de conexões matemáticas proporcionadas pela matemática “presente” na tarefa (conhecimento da tarefa) e a análise dos aspectos pedagógicos e matemáticos das tarefas em relação a implicações didáticas. Trata-se de reflexões sobre modos de encaminhamento de uma aula, a partir de determinada tarefa, bem como potencialidades e limitações de uma tarefa, em termos pedagógicos e, especialmente, a capacidade do professor para orquestrar o surgimento e a mobilização dessas potencialidades.
38 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Contexto da investigação: a comunidade e o empreendimento
Reconhecendo as Comunidades de Prática (CoPs) (LAVE; WENGER, 1991; WENGER, 1998) como espaço privilegiado de aprendizagem para os professores que ensinam Matemática e, por conseguinte, igual espaço de desenvolvimento profissional (ESTEVAM; CYRINO, 2016), instituímos, em julho de 2013, um grupo de estudos com professores de Matemática. Ele foi coordenado pelo primeiro autor deste artigo, com o intuito de que viesse a constituir uma CoP.
Foram negociados e realizados 22 encontros, com duração de duas horas cada um, durante os anos de 2013 e 2014. A dinâmica assumida pelo grupo incentivou, legitimou e promoveu o engajamento, o respeito e a confiança mútua, a partilha de experiências e saberes, a negociação de ações e empreendimentos, tendo como referência as práticas desenvolvidas pelos participantes relacionadas às temáticas em discussão. Dessa forma, incidiu na constituição de um grupo de professores de Matemática (comunidade) que estavam dispostos a discutir a Educação Estatística (domínio) em um contexto de formação (prática). Para tanto, o grupo estabeleceu compromissos mútuos para a realização de empreendimentos articulados, o que demandou um repertório compartilhado. Podemos afirmar que a prática desse grupo configurou, portanto, uma CoP (WENGER, 1998), que foi auto nominada Comunidade de Prática Refletir, Discutir e Agir sobre Matemática (CoP-ReDAMat).
Participam da CoP-ReDAMat oito professores (identificados sob os pseudônimos Ana, José, Laura, Lúcia, Luciana, Luis, Maria e Rosa3) atuantes nos anos finais do Ensino Fundamental - EF e no Ensino Médio -EM (sendo que Lúcia e Luciana também atuam nos anos iniciais do EF) e o formador, o qual acumulou a função de pesquisador. Todos os professores eram licenciados em Matemática ou em Ciências e Matemática e, com exceção de Ana (recém-formada), experientes, cuja média de atuação como professor (em agosto de 2013) era de 18,2 anos (mínimo de 9 anos e máximo de 24 anos).
No presente trabalho, examinamos dados recolhidos em oito encontros, realizados no período de abril a setembro de 2014, em que foram analisadas três tarefas estatísticas (Figuras 1, 2 e 3). Todos os encontros foram áudio gravados. As transcrições relativas foram complementadas por registros do caderno de campo do pesquisador e produções escritas dos membros da CoP. Trata-se de um estudo em pequena escala, do tipo pesquisa-intervenção (KRAINER, 2003), situado no paradigma qualitativo de pesquisa de cunho interpretativo, cujas análises foram realizadas em termos do quadro proposto por Burgess (2009), referente ao conhecimento estatístico para ensinar em relação às componentes do pensamento estatístico de Wild e Pfannkuch (1999).
O empreendimento ATE consistiu na resolução da(s) tarefa(s) (elaborada(s)/adaptada(s) pelo formador e apresentada(s) na forma impressa) pelos participantes, em duplas ou trios, os quais são denominados de pequenos grupos (PG). Após a resolução de cada tarefa, solicitou-se aos professores que pensassem e analisassem as características e a adequabilidade de seu enunciado, ano/série em que
3 Ana e Maria participaram apenas dos encontros iniciais de realização do empreendimento e de forma irregular.
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poderiam ser empregadas, finalidades (da tarefa e de cada um de seus itens), possíveis estratégias de (re)solução, estratégias de encaminhamento em sala de aula e possíveis dificuldades dos alunos. Em um segundo momento, as análises foram socializadas no grande grupo (GG), as reflexões compartilhadas e os significados (re)negociados.
As tarefas que subsidiaram o empreendimento ATE
As três tarefas estatísticas (Figuras 1, 2 e 3) foram estruturadas na perspectiva do Ensino Exploratório (PONTE, 2005), a qual situa os alunos no centro da atividade matemática de sala de aula, em momentos de interação, discussão e negociação de significados, a partir de tarefas significativas e desafiadoras. Elas foram escolhidas por priorizarem potencialmente níveis elevados de demanda cognitiva (STEIN; SMITH, 1998) e múltiplas estratégias e registros para (re)solução (GUBERMAN; LEIKIN, 2013), o que, em nosso entendimento, favorece a identificação e o desenvolvimento de aspectos matemáticos e pedagógicos relacionados ao conhecimento estatístico para ensinar.
As tarefas envolvem ideias relacionadas às medidas de tendência central (média, moda e mediana), fundamentais para desenvolvimento do conhecimento estatístico (GAL, 2002) e, no entanto, reconhecidamente deficitárias na formação e nas práticas dos professores (JACOBBE; CARVALHO, 2011). Além disso, os aspectos multifacetados que permeiam esses conceitos possibilitam discussões que relacionam a Estatística a outros campos da Matemática, podendo favorecer a compreensão de aspectos particulares em meio ao currículo de Matemática.
A primeira tarefa analisada (T1), denominada Brigadeiros (Figura 1), envolve significados e propriedades da média aritmética4, discutidos por Batanero (2000) e Strauss e
Bichler (1988), respectivamente. Especificamente, tem como objetivos a compreensão de que: a média aritmética significa uma medida equitativa, que torna a distribuição uniforme (item i); no cálculo da média devem ser incluídos os valores nulos e os negativos (item ii); a soma dos desvios a partir da média é igual a zero (item iii); a média está localizada entre os valores extremos da distribuição (item iv); é possível determinar um valor desconhecido a partir da média (item v)
Figura 1 – Tarefa Brigadeiros: primeira tarefa analisada na CoP-ReDAMat. Fonte: Adaptada de Batanero (2000).
4 Esclarecemos que, ao longo do texto, os termos “média aritmética” ou apenas “média” serão utilizados para referir a “média aritmética simples” e o termo “média ponderada”, para referir a “média aritmética ponderada”.
40 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018.
A segunda tarefa analisada (T2), denominada Elevador (Figura 2), remete a ideias relacionadas à média ponderada, com referência em Batanero et al. (1994) e aspectos incidentes na frequência relativa e representações gráficas. Nomeadamente, visa à compreensão: da diferença entre a média aritmética e a média ponderada (item i); da porcentagem e sua relação com a frequência relativa (item ii); de que a média é influenciada por cada um e por todos os valores (item iii); da influência da proporcionalidade no estudo da média ponderada (itens iv e v); da função de um gráfico e sua estrutura (item vi).
Figura 2 – Tarefa Elevador: segunda tarefa analisada na CoP-ReDAMat. Fonte: Adaptada de Batanero et al. (1994).
Figura 3 – Tarefa Perfil da Turma: terceira tarefa analisada na CoP-ReDAMat. Fonte: Os autores.
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A terceira tarefa (T3), Perfil da Turma (Figura 3), envolve discussões relacionadas à caracterização e classificação de variáveis, tabelas de distribuição de frequências e medidas de tendência central (média, mediana e moda). Particularmente, a tarefa projeta a compreensão de: classificação de variáveis (item i); tabelas de distribuição de frequências a partir de dados brutos, para diferentes variáveis (item ii); cálculo da média e a (im)possibilidade de seu uso para variáveis qualitativas (item iii); a mediana como o valor que ocupa a posição central em uma distribuição ordenada e sua inexistência em dados qualitativos (nominais) (item iv); o conceito de moda (item v); características e aplicações das medidas de tendência central (item vi).
Na próxima seção, discutimos aspectos relacionados aos quatro conhecimentos estatísticos para ensinar, a partir de episódios originados nas práticas da CoP-ReDAMat, no decurso do empreendimento ATE.
Desenvolvimento do conhecimento estatístico para ensinar no ATE
i) Conhecimento comum de Estatística – CCC
O CCC permeou todas as análises das tarefas realizadas e, considerando sua dimensão comum a todas as profissões, salientamos de forma geral, no Quadro 2, aspectos relacionados aos tipos do pensamento estatístico que se manifestaram nas análises das tarefas T1, T2 e T3, e que expressam CCC.
Cabe salientar que as características das tarefas foram fundamentais para provocar as emergências desses aspectos, cuja manifestação, por vezes, ocorreu de maneira equivocada ou pouco sustentada, especialmente nos PG. As discussões no GG foram essencias para esclarecer equívocos, superar dificuldades, confirmar conjecturas e fortalecer ideias.
Conhecimento Comum de Estatística (CCC)
Pensamento
Necessidade de dados
▪ Relacionar a qualidade das análises e das conclusões aos modos como os dados foram obtidos (T3 – GG)
▪ Observar discrepâncias (outliers) (T3 – GG)
Transnumeração
▪ Cálculos de medidas de tendência central (média, moda e mediana) (T1, T2 e T3 – PG)
▪ Diferenciar média aritmética e ponderada (T2 – PG)
▪ Reconhecer propriedades das medidas de tendência central (T1 – PG e GG) ▪ Elaborar tabelas de frequência e gráficos (T2 e T3 – PG)
Variação ▪ Relativizar conclusões utilizando, por exemplo, “provável” (T1 e T3 – PG) Raciocínio com
modelos
▪ Analisar, discutir e relacionar tabelas de frequência e gráficos (T1, T2 e T3 – PG e GG)
Integração da estatística ao
contexto
▪ Relacionar medidas e conclusões às situações (T1, T2 e T3 – PG) ▪ Verificar significados das análises nos contextos das situações (T3 – GG) Ciclo Investigativo ▪ Relacionar os dados, análises e conclusões aos problemas iniciais e ao
processo de coleta de dados (T1, T2 e T3 – PG e GG)
Ciclo Interrogativo ▪ Interpretar medidas e representações (T1, T2 e T3 – PG e GG)
Dispositivos ▪ Considerar a estatística como análise de dados, para além de aplicação de procedimentos matemáticos (T1 e T2 – PG e GG)
Quadro 2 – Evidências de CCC na análise das tarefas. Fonte: Os autores.
Assim, as análises salientam dois aspectos relacionados ao empreendimento ATE: i) a importância de as tarefas oferecerem, simultaneamente, suportes (scaffoldings) e chamar a atenção do professor para aspectos-chave relacionados ao conceito ou procedimento em
42 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. questão, sem necessariamente explicitá-lo; ii) a interveniência do outro para a (re)significação de conhecimentos e crenças. Mas não de um outro qualquer; de um outro legitimado como competente para discutir a prática que é comum. Isso porque, a diversidade, quando gerida de modo adequado, parece ser vantajosa tanto para fortalecimento da prática da CoP, quanto para a aprendizagem de cada membro. Ela conduz a uma partilha mais fecunda de pontos de vista, experiências, crenças e conhecimentos, os quais se articulam às práticas da comunidade, em virtude da legitimidade de participação conferida àqueles que o fazem (são todos professores reconhecidos como competentes). Assim, proporcionam reflexões e indícios de mudança mais profundos e sustentados. Não se trata de aprender a partir das conversas, mas aprender para conversar como um participante pleno (LAVE; WENGER, 1991).
ii) Conhecimento especializado de Estatística – CEC
O CEC envolve a significação de diferentes registros e representações, inclusive aqueles equivocados, bem como sua justificação (BURGESS, 2009). Nesse sentido, o Quadro 3 sintetiza aspectos relacionados ao CEC manifestados pelos professores da CoP-ReDAMat, no decurso do empreendimento ATE.
Conhecimento Especializado de Estatística (CEC)
Pensamento
Necessidade de dados
▪ Perceber que os alunos podem utilizar outras situações e
experiências para suas conclusões (ao invés dos dados) (T3 – GG)
Transnumeração
▪ Compreender por que o “zero”, às vezes, é desconsiderado no cálculo da média (T1 – GG)
▪ Justificar o cálculo da média para variáveis qualitativas, a partir das frequências (T3 – PG)
▪ Explicar e diferenciar média, moda e mediana (T1 – GG e T3 PG) Variação ▪ -
Raciocínio com modelos
▪ Relacionar gráficos e as propriedades da média (T1 – GG) ▪ Relacionar média aritmética e média ponderada (T2 – GG) Integração da
estatística ao contexto
▪ Contrapor situações e cálculos ou representações (T3 – GG) Ciclo Investigativo ▪ -
Ciclo Interrogativo ▪ -
Dispositivos ▪ Questionar também soluções supostamente corretas (T1, T2 e T3 - PG)
Quadro 3 – Evidências de CEC na análise das tarefas. Fonte: Os autores
O formador, por vezes, incorporou elementos e situações às discussões, com vistas a fomentar e ampliá-las. As reflexões sobre média, moda e mediana (T3) ilustram um exemplo de inserção de uma nova situação, a partir da coincidência dessas medidas para a variável altura, visando à contraposição de cálculos e situações.
43 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Formador: Então, se eu sou um aluno, como a Lúcia falou, e eu tiro 4, 4, 4, 4 e 10
(referindo-se a notas). Quanto dá a média (aritmética)?
Lúcia: 26 dividido por 5... Dá 5,2.
Formador: E a mediana?
Lúcia: Quatro.
Formador: É igual ou diferente?
José: Diferente.
Formador: Então, quando elas são iguais? Ou quando elas se aproximam ao menos?
José: Quando a distribuição é mais próxima, não tem essa diferença.
Lúcia: Mais próxima... Organizada... Homogênea.
Rosa: Quando não tem uma distribuição de frequência muito...
José: “Desparelha”5. Porque tinha 4 notas 4 e uma 10.
Grupo: (concorda)
Formador: Então, percebam. Quando a distribuição é bem feita (próxima à Normal),
elas (as medidas de tendência central) se assemelham.
Lúcia: Hum! É verdade. Se o aluno tem média 7, pensamos que as notas dele
ficaram próximas disso.
Rosa: A maioria foi 7.
Formador: Mas temos que tomar cuidado, porque maioria é moda. E essas três medidas coincidem quando a distribuição é homogênea. No entanto, apenas sabendo a média, não podemos concluir que é o centro ou a maioria. Em distribuições muito discrepantes, isso não acontece. Como na distribuição que estávamos analisando. A média é 5,2, mas ele teve notas 5?
Lúcia: Não, teve o quatro.
Formador: E a mediana e a moda resultaram qual valor?
Grupo: Quatro.
Formador: Então, o que acontece? Em distribuições que não estão bem feitas (próximas à Normal), a média tende a não ser representativa. Porque a gente não discutiu a propriedade de que todos os dados afetam o valor da média? Mas, a mediana e a moda não são afetadas por valores discrepantes.
(17º Encontro GG – 12/09/2014) Os professores acreditavam que o valor da média representa o elemento central da distribuição (mediana) e a maioria dos elementos do conjunto de dados (moda), aspecto relacionado à transnumeração e semelhante à forma como os alunos costumam pensar (JACOBBE; CARVALHO, 2011). Ao identificar esse equívoco, o formador acrescenta uma nova situação (contexto), que funciona como contraexemplo para provocar a elaboração de novos significados, inclusive relacionando-os aos procedimentos de cálculo.
Assim, especialmente, os itens das tarefas que demandaram – explícita ou implicitamente – justificações e elaboração de diferentes estratégias para sua (re)solução proporcionaram oportunidades fecundas para (re)significação conceitual, à medida que estimularam e enriqueceram os processos de negociação de significados e o confrontamento com outras situações. Acreditamos que um dos aspectos que colaborou para isso foi considerar, nas tarefas que subsidiaram as análises, dois constructos destacados por Ainley, Pratt e Hansen (2006): o propósito e a utilidade dos conceitos e ideias matemáticas. Ao considerar seus propósitos, o empreendimento explora tarefas em
44 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. contextos que mobilizam os significados das ideias, conceitos e propriedades relacionadas às medidas de tendência central, isto é, favorece o pensar “para que” elas servem. Já a utilidade, remete a pensar “como, quando e por que” determinada ideia, conceito ou propriedade é útil. Esses constructos estimularam o desenvolvimento do discurso e da argumentação estatística, aspectos relacionados ao desenvolvimento de processos lógicos e de argumentos plausíveis, baseados nas análises de dados (ciclo investigativo), visando à retirada de conclusões (ciclo interrogativo), que, apesar de fundamentais para desenvolvimento de uma cultura investigativa – especialmente em Estatística –, são subjugados na formação de professores e nos processos de ensino.
iii) Conhecimento de Estatística e dos alunos – CCA
Os professores da CoP-ReDAMat demonstraram dificuldade em analisar como os alunos da Educação Básica resolveriam a(s) tarefa(s), embora eles próprios reconhecessem a importância desse tipo de reflexão. Semelhante reconhecimento justifica a manifestação mais modesta de CCA, conforme evidencia o Quadro 4.
Conhecimento de Estatística e de Alunos (CCA)
Pensamento
Necessidade de dados ▪ -
Transnumeração ▪ Justificar cálculo de médias para vaiáveis qualitativas, a partir das frequências (T3 – GG) Variação ▪ -
Raciocínio com modelos
▪ Importância de registros diversos relacionados a uma mesma situação (T1 – GG)
Integração da estatística ao
contexto
▪ -
Ciclo Investigativo ▪ Identificação de que os alunos podem encontrar questões ambíguas (T1 – GG) Ciclo Interrogativo ▪ Importância de incentivar os alunos a se questionarem e a buscarem padrões e justificativas (T1, T2 e T3 – GG)
Dispositivos ▪ Dificuldade dos alunos em transcender cálculos e representações (T1, T2 e T3 – GG) Quadro 4 – Evidências de CCA na análise das tarefas.
Fonte: Os autores.
Para superar essa dificuldade, os professores associaram experiências, situações e materiais da prática em sala de aula para projetar como os alunos pensariam e esclarecer suas próprias dúvidas sobre os conceitos e aspectos didático-pedagógicos. O formador, por vezes, intencionalmente recorreu a “erros hipotéticos” dos alunos em processos de resolução para provocar ou ampliar a discussão. O episódio a seguir representa um exemplo. A partir da resposta ao questionamento do formador, o grupo reconhece que parte das dificuldades e equívocos dos alunos pode estar relacionada às práticas e tarefas que lhes são oferecidas ao longo de sua vida escolar.
45 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Formador: Então, nós falamos que não é possível calcular a média de variáveis
qualitativas, mas é comum as pessoas calcularem. Olhando para nossas tabelas de frequência, dá para pensar como e por que as pessoas fazem isso?
Lúcia: Elas calculariam a média das frequências delas (das classes da variável
qualitativa).
José: Eu acho que sim. Usam as quantidades.
Formador: E por que fariam utilizando as frequências e não a variável?
Lúcia: Olhando os números, sei lá. Por que tudo que tem número...
José: Dá para fazer uma conta.
Lúcia: Dá para fazer média.
Rosa: Eles acham que tendo números, dá para fazer tudo.
Formador: E como se trabalha média de modo geral (na escola)? Há uma discussão
sobre significado da média?
Lúcia: Não, média é isso. Calcule.
Luciana: Acho que a maior parte.
Grupo: (concorda)
Luciana: O problema não está no aluno.
Formador: Não apenas nele e nem podemos generalizar. Só precisamos pensar um
pouco. Lembram-se de nossa discussão que dizia que as tarefas que são propostas aos alunos os fazem construir uma ideia de matemática?
(17º Encontro GG – 12/09/2014) Por fim, também puderam perceber o potencial de diferentes estratégias e registros para a compreensão/construção de conceitos e ideias estatísticas. Outro exemplo convida a refletir a respeito da percepção da propriedade referente ao último item de T1. Os professores não conseguiam pensar uma maneira para que o aluno pudesse justificar a solução sem realizar o cálculo da média. Assim, o formador recorreu a um pictograma da distribuição (semelhante à Figura 4, que se encontra na sequência deste texto) e solicitou que o analisem. Segundo os professores, após a análise, eles conseguiram compreender a propriedade.
Formador: Ah, a partir disso (do pictograma) que vocês conseguiram perceber?
Rosa: Isso!
Formador: Antes não dava para perceber?
Rosa: Antes estava no cálculo matemático só.
Lúcia: Então, acho que é importante considerar essas diferentes estratégias ao
trabalhar com os alunos, não é?
(12º Encontro GG – 30/04/2014) Ao incentivar que os professores se colocassem na condição dos alunos e buscassem identificar diferentes estratégias e registros que poderiam ser utilizados para resolução das tarefas, o empreendimento suscitou percepções diferentes e mais fundamentadas. Eles puderam refletir (a partir dessas experiências de significado) sobre o potencial de diferentes estratégias e registros para a aprendizagem dos alunos, contributos decorrentes de sua consideração/exploração, bem como, a importância da identificação da natureza dos erros e sua exploração como indicador daquilo que o aluno sabe. Esses erros podem incidir em diversos níveis de compreensão e, deste modo, orientar a prática do professor com vistas ao desenvolvimento de compreensões mais amplas. Pensar a aprendizagem dos alunos conduziu os professores, portanto, a reconhecer os processos de resolução da(s) tarefa(s) como prioridade didático-pedagógica em detrimento da solução
46 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. final, a qual, por vezes, não oferece elementos que possibilitem analisar/refletir acerca da compreensão dos alunos.
iv) Conhecimento de Estatística e do ensino – CCE
As estratégias de resolução apresentadas pelos professores no início do empreendimento, assim como os argumentos utilizados para explicar ou justificar suas respostas, pautaram-se basicamente em representações aritméticas e algébricas. Embora seja coerente e de legítimo valor, esses elementos subsidiaram argumentos que limitavam as possibilidades pedagógicas das tarefas. O formador então questionou a possibilidade de resolução com recorrência a uma estratégia distinta da Álgebra e da Aritmética, o que originou possibilidades de estratégias de desenhos ou caixinhas (material manipulável), conforme, por exemplo, a Figura 4 para resolução do item (i) de T1.
(a) brigadeiros. (b) caixinhas.
Figura 4 – Representações para Média na Tarefa “Brigadeiros”. Fonte: Os autores.
As representações pictóricas e manipuláveis das situações apresentadas nas tarefas evidenciam claramente o significado da média como valor que torna a distribuição equitativa, já que representa de maneira simples o princípio de compensação que sustenta a ideia de equidade. Representações como estas, além de facilitar as discussões e compreensões de propriedades, conceitos e ideias, provocaram os professores a rever suas práticas e, especialmente, (re)pensar os registros e estratégias que privilegiam nas tarefas que propõem aos alunos. De igual maneira, ponderaram as implicações didático-pedagógicas das diferentes tarefas, particularmente no campo da Educação Estatística. Destarte, expressaram reflexões sobre aspectos pedagógicos e matemáticos das tarefas utilizados para desenvolvimento de compreensões pedagógicas (LILJEDAHL; CHERNOFF; ZAZKIS, 2007).
Salientamos que nossas análises não sugerem desprezar o valor das estratégias e registros algébricos e aritméticos para o estudo e compreensão de conceitos e ideias estatísticas. O que o empreendimento mostra é que experienciar a tarefa de modo semelhante ao esperado que desenvolva com seus alunos ampliou a percepção dos professores acerca do potencial das tarefas (CHRISTIANSEN; WALTHER, 1986; STEIN; SMITH, 1998; PERESSINI; KNUTH, 2000; STEELE, 2000), com destaque para os contributos da exploração de diferentes tipos de registros (GUBERMAN; LEIKIN, 2013).
47 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Perceber que alguns compreendem e recorrem facilmente a estratégias e registros algébricos e aritméticos para resolver a(s) tarefa(s), enquanto outros são favorecidos por representações geométricas, registros pictóricos ou associações a situações e experimentos práticos conduziu os professores a reconhecer e valorizar a exploração da diversidade a seu favor. Isso implica considerar sua existência ao planejar e desenvolver suas tarefas, sem subestimar o potencial dos diversos alunos e, sobretudo, repensar suas práticas didático-pedagógicas, considerando os objetivos que estabelece.
Dessa forma, o Quadro 5 sintetiza aspectos emergentes no empreedimento ATE relacionados ao CCE.
Conhecimento de Estatístico e do Ensino (CCE)
Pensamento
Necessidade de dados
▪ Não faz muito sentido apenas calcular medidas ou elaborar gráficos e tabelas a partir de um conjunto (grande) de dados (T3 – PG e GG) Transnumeração ▪ Valorizar e explorar diferentes representações relacionadas a um conceito ou procedimento (T1 e T2 – GG)
Variação ▪ - Raciocínio com
modelos
▪ Apresentar questões que incentivem o raciocínio a partir de modelos diversos (T1 e T2 – GG)
Integração da estatística ao
contexto
▪ Pensar em tarefas que provoquem a comparação entre resoluções e o contexto (T1 – GG)
Ciclo Investigativo ▪ É importante relacionar medidas e gráficos ao ciclo investigativo, ainda que implicitamente (e T3 – GG) Ciclo Interrogativo ▪ Encorajar a argumentação estatística (T1, T2 e T3 – GG)
Dispositivos ▪ -
Quadro 5 – Evidências de CCE na análise das tarefas. Fonte: Os autores.
Igualmente, o episódio a seguir expressa a emergência de ideias relacionadas às implicações pedagógicas decorrentes das práticas desenvolvidas pelos professores em suas aulas.
Formador Pensem que estamos discutindo “coisas” relacionadas com a média. Mas vocês percebem que não é necessariamente com o algoritmo?! Mas com a ideia, com conceitos, propriedades, representações relacionadas a ela.
Luciana: Mas os nossos alunos, eu acho que não teriam essa condição. Nossos
alunos iriam focar mais no algoritmo mesmo.
Luis: No como faz.
Formador Por que eles iriam focar nisso?
José: Estão mais acostumados.
Lúcia: E pela falta de conhecimento, como nós.
Formador: E quem os acostumou?
José: Nós.
Laura: Eu ia dizer, porque nós fazemos isso.
José: Talvez os pequenos (fariam).
Luciana: Nós também não temos muita clareza. Olhe as dúvidas que surgiram. Eu
estou me sentindo muito culpada.
(11º Encontro GG – 25/04/2014)
Os professores parecem “subestimar”, por vezes sem perceber, a capacidade de seus alunos para lidar com tarefas de elevado nível de demanda cognitiva (STEIN; SMITH, 1998), que priorizam justificações, estabelecimento de conexões matemáticas e construção
48 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. de ideias (PERESSINI; KNUTH, 2000; CHAPMAN, 2013), como as que subsidiaram o empreendimento. Contudo, ao refletir sobre as causas disso, a CoP reconhece que as dificuldades atribuídas aos alunos e suas concepções acerca da Matemática (por exemplo, priorizando algoritmos), ao menos em parte, decorrem de suas experiências pedagógicas ao longo da trajetória escolar, as quais estão diretamente relacionadas às tarefas que lhe são propostas e, portanto, refletem a necessidade de proposição de tarefas que correspondam às intenções do professor (CHAPMAN, 2013).
Considerações Finais
O empreendimento Análise de Tarefas Estatísticas (ATE) funcionou como um convite à reflexão aos professores da CoP-ReDAMat. Ao mesmo tempo, conduziu-os a, coletivamente, (re)pensar e questionar seus conhecimentos, crenças, compreensões e ações relacionadas à Educação Estatística, por meio da negociação de significados.
Ao revisitarmos as análises na busca por sistematizar os conhecimentos estatísticos para ensinar que se salientam na análise das tarefas pela CoP-ReDAMat, identificamos as características das tarefas e sua relação com a aprendizagem dos alunos como elemento principal emergente nas reflexões da comunidade. De modo geral, os professores reconhecem a importância de as características das tarefas oferecidas aos alunos corresponderem aos objetivos da aula e às capacidades e raciocínios que se pretende desenvolver. Especificamente, eles percebem que exercícios de cálculo das medidas de tendência central, por exemplo, pouco contribuem para a compreensão dos significados e propriedades que permeiam a média, a moda e a mediana, os quais são favorecidos por tarefas em contextos que suscitam e problematizam os propósitos e a utilidade desses conceitos. Isso porque, ao mesmo tempo em que oferecem suportes para o desenvolvimento de estratégias e raciocínios, essas tarefas chamam a atenção do resolvedor para aspectos-chave relacionados ao(s) conceito(s) ou procedimento(s) em voga. Colaboram, deste modo, para o desenvolvimento do discurso e da argumentação estatística em detrimento da crença dominante dos professores no potencial dos algoritmos. Nesse sentido, as tarefas conduzem ao questionamento da confiabilidade sobre os procedimentos de cálculo, bem como seu significado no contexto de análise.
Do mesmo modo, o empreendimento ATE levou os professores a reconhecerem a importância e as contribuições de tarefas que possibilitam múltiplas estratégias e registros de resolução para a aprendizagem dos alunos, particularmente daquelas que suscitam, implícita ou explicitamente, justificações e descrições dos raciocínios empregados no processo de resolução. Assim, o ATE possibilitou aos professores reverem e questionarem suas crenças sobre o ensino e a aprendizagem de Estatística e reconhecerem a necessidade de mudanças, no que se refere às tarefas privilegiadas em suas práticas, evidenciando conhecimentos estatísticos para ensinar relacionados às suas diversas dimensões e aos diversos tipos de conhecimento.
Contudo, dois aspectos dissonantes salientam-se: i) o pensamento sobre a variação praticamente não se manifesta nas análises dos professores. Em se tratando de um entendimento essencial relacionado ao conhecimento estatístico, isso sugere a necessidade de trabalhos mais focalizados nessa dimensão; ii) enquanto o conhecimento
49 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. comum de Estatística emergiu de maneira mais espontânea, desde os trabalhos nos pequenos grupos, o conhecimento estatístico especializado e o pedagógico de Estatística demandaram intervenções veementes do formador. Assim, ao mesmo tempo em que justifica a manifestação preponderante nas discussões em grande grupo, este aspecto sublinha a pertinência de ações formativas intencionalmente orientadas ao conhecimento especializado e pedagógico de Estatística.
Associados às características das tarefas, outros aspectos que colaboraram com as reflexões dos professores consistem na dinâmica do empreendimento e nas ações do formador. Ao favorecer o trabalho coletivo em uma dimensão social e colaborativa de aprendizagem e reconhecer o professor como protagonista de sua formação, as interações mútuas, reflexões compartilhadas e negociações de significado promovidas no empreendimento proporcionaram a explicitação e justificação das crenças e práticas dos professores, bem como seu questionamento com vistas a redimensioná-las. Isso se deve à correspondência identificada entre o empreendimento e as necessidades e queixas dos professores. Eles conseguiram vislumbrar – e efetivar em alguma medida – a aplicação/reprodução/adaptação das tarefas e de seus modos de encaminhamento na CoP em sua prática em sala de aula. Um aspecto rico da dinâmica do empreendimento reside em seu objetivo precípuo assente não só na identificação dos (des)conhecimentos dos professores, mas em sua problematização com vistas a desenvolvê-los e ampliá-los. Trata-se de uma prática realizada no empreendimento que Trata-se asTrata-semelha àquelas preconizadas à sala de aula. Esses aspectos estão diretamente relacionados com o engajamento mútuo e caráter dinâmico da expertise entre os membros do grupo, bem como a conduta sensível e inquiridora do formador, identificando aspectos críticos e incitando emergência de situações e ideias promissoras às reflexões acerca dos potenciais das tarefas. Em sua ação, o formador fomentou a admissão e manutenção de uma atitude inquiridora do grupo, acrescentando elementos, fazendo intervenções, esclarecendo dúvidas, incentivando o confronto de ideias e crenças, valorizando a participação e as negociações de significado. De igual importância, manifesta-se sua cautela para não interpor ideias, monopolizar os discursos ou cercear participações espontâneas e diversas dos membros da comunidade.
Concluímos, por conseguinte, que o quadro analítico proposto por Burgess (2009) para analisar o conhecimento estatístico para ensinar, associado aos tipos de pensamento propostos por Wild e Pfannkuch (1999) revelou-se adequado para estudos assentes na análise de tarefas. Do mesmo modo, a análise de tarefa – conforme os aspectos discutidos neste trabalho – demonstra-se promissora para o estudo e para o desenvolvimento de conhecimento estatístico para ensinar, especialmente ancorado no pensamento estatístico.
Agradecimentos
Agradecemos a parceria dos professores da CoP e o apoio financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Fundação Araucária.
50 REnCiMa, v.9, n.2, p. 32-51, 2018. Referências
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Submissão: 14/10/2017 Aceite: 19/03/2018
