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Aula 7 – Estabilidade de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Introdução

Estabilidade BIBO – (Bounded Input-Bounded Output)

Estabilidade Assintótica Interna

Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

Casos Especiais do Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

Introdução

No projeto de sistemas de controle realimentados, três tipos de especificações são normalmente utilizadas para medida de desempenho do referido sistema, que são: resposta transitória, erro de regime permanente e estabilidade.

Destas três especificações, sem dúvida, a estabilidade detém um papel de maior importância. Se o sistema em malha-fechada apresentar características de instabilidade, requisitos de resposta transitória e medidas de erro de regime passam a ter importância secundária. Embora existam muitas definições de estabilidade, a definição apresentada a seguir esta relacionada a classe de sistemas lineares e invariantes no tempo. A resposta y(t) de sistemas dinâmicos pertencentes a esta classe, conforme (7.1), é composta pela soma das respostas forçadas e natural, i.e.

) t ( y ) t ( y ) t ( y = forçada + natural (7.1) Com base em (7.1), apresenta-se as seguintes definições de estabilidade, instabilidade e estabilidade marginal para a classe de sistemas lineares e invariantes no tempo:

• Um sistema pertencente a esta classe é dito estável se sua resposta natural tender a zero quando o tempo tender ao infinito;

• Um sistema pertencente a esta classe é dito instável se sua resposta natural cresce ilimitadamente quando o tempo tender ao infinito;

• Um sistema pertencente a esta classe é dito marginalmente estável se sua resposta natural permanecer oscilando indefinidamente com amplitude constante quando o tempo tender ao infinito.

Em situações práticas, não é direto separar a resposta natural da resposta completa para proceder a análise de estabilidade. Neste caso generaliza-se as definições apresentadas anteriormente considerando também o comportamento da resposta forçada. Portanto, as definições anteriores podem ser rescritas observando somente o comportamento dos sinais de entrada e de saída do sistema (sem levar em conta o comportamento das variáveis internas do mesmo). Neste caso, observa-se a variável de saída do sistema quando este é sujeito a um sinal de entrada limitado (Bounded Input-Bounded Output - BIBO Stability), isto é:

• Um sistema linear e invariante no tempo é dito estável no sentido BIBO se e somente se para todo o sinal de entrada u(t) limitado a saída y(t) do sistema permanecer limitada para o tempo tendendo ao infinito;

• Um sistema linear e invariante no tempo é dito instável no sentido BIBO se e somente se para qualquer sinal de entrada u(t) limitado a saída y(t) do sistema crescer ilimitadamente para o tempo tendendo ao infinito;

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• Um sistema linear e invariante no tempo é dito marginalmente estável no sentido BIBO se e somente se para determinados sinais de entrada u(t) limitados, a variável saída y(t) do sistema crescer ilimitadamente para o tempo tendendo ao infinito.

O último caso pode ser ilustrado considerando a classe de sistemas lineares invariantes no tempo que possui um par de pólos complexos puros. Para um sinal de entrada senoidal de amplitude limitada com freqüência igual a dos pólos complexos puros, a variável de saída deste sistema crescerá ilimitadamente. Contudo, qualquer outro sinal de entrada limitado, quando aplicado a este sistema resultará em um sinal de saída limitado.

Estabilidade BIBO - (Bounded Input-Bounded Output)

Um sistema é dito ter estabilidade BIBO, conforme definido na introdução anteriormente apresentada, se para qualquer sinal limitado aplicado entrada do sistema implicar sinal de saída também limitado (independente do que ocorre com as variáveis internas do sistema). Para formalizar a definição de estabilidade BIBO, considera-se a resposta ao impulso h(t) de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a um sinal de entrada u(t), cuja variável de saída é representada pela variável y(t), i.e.

∞ ∞ − τ τ − τ = h( )u(t )d ) t ( y (7.2)

Se u(t) é limitado, então existe uma constante M tal que |u(t)|≤M<∞, sendo o sinal de saída limitado por

∞ ∞ − τ τ ≤ τ ≤ τ = hud hud M h( )d y (7.3)

Assim, a variável de saída y(t) será limitada se

∞ ∞ − τ τ d) | ( h

| for limitada. Portanto, um sistema dinâmico invariante no tempo com função de transferência H(s)=Y(s)/U(s) será BIBO estável se e somente se

∞ < τ τ

∞ ∞ − d | ) ( h | (7.4)

i. Considere o circuito apresentado na Figura (7.1) apresentada abaixo:

Fig. 7.1: Capacitor excitado por uma fonte de corrente.

Admitindo como sinal de entrada u(t) a corrente no capacitor e como sinal de saída y(t) a tensão no capacitor, verifique se este sistema é BIBO estável.

ii. Explique, qualitativamente, o fenômeno que ocorre em um sistema composto por um microfone, um pré-amplificador e amplificador de audio e um alto-falante quando o microfone é aproximado do alto-falante.

iii. Admita agora que microfone e alto-falante possuem dinâmicas desprezíveis, e que a função de transferência do conjunto pré-amplificador e amplificador de áudio é dada pela equação abaixo:

u(t) C

+ y(t) _

(3)

1000 s 100000 ) s ( H + = (7.5) Admita também que a influência do sinal de saída do alto-falante no microfone pode ser modelado por um ganho K que depende da distância entre física entre os dois elementos. Considerando K=0.0, 0.01 e 1, verificar se este sistema é BIBO estável.

Estabilidade Assintótica Interna

Um outro conceito de estabilidade devido a Lyapunov é que a variável de saída e todas as variáveis internas do sistema sob análise nunca apresentem valores ilimitados e, adicionalmente convirjam para zero com o tempo tendendo a infinito, admitindo um conjunto de condições iniciais suficientemente pequenos. Para o caso específico de sistemas lineares invariantes no tempo assume-se, a título de ilustração, um sistema pertencente a este classe com a seguinte equação característica:

0 a s a s a s n 2 n 2 1 n 1 n+++ + =  (7.6) Assuma, por conveniência, que as raízes {pi} da equação característica são reais ou complexas

porém distintas. Note que (7.6) é a equação do denominador da função de transferência do sistema

n m ) p s ( ) z s ( K a s a s b s b s b ) s ( U ) s ( Y ) s ( G n 1 j j m 1 i i n 1 n 1 n m 1 m 1 m 0 − − = + + + + + + = =

= = − −   (7.7)

A resposta natural deste sistema pode ser escrita na seguinte forma:

= = n 1 j t p je j K ) t ( y (7.8)

onde {pj} são as raízes da equação (7.6) e {Ki} depende do conjunto de condições iniciais. O sistema será

dito estável se e somente se todo o termo de (7.8) tender a zero com t→∞:

j t p p todo para 0 e j → .

Isto ocorrerá se todos os pólos do sistema estiverem estritamente localizados no semiplano esquerdo do plano s, onde Re{pj} < 0. Isto é denominado de estabilidade assintótica interna que um sistemas lineares

e invariantes no tempo é determinada diretamente pela localização dos pólos no plano s.

Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

Existem várias maneiras de se obter informações relacionadas a localização das raízes do polinômio do denominador de (7.7). Entretanto, para que seja verificada a estabilidade assintótica interna de sistemas lineares invariantes no tempo basta o conhecimento da existência de pelo menos uma das raízes de (7.7) com parte real maior que zero.

A condição necessária para que (7.7) apresente todas suas raízes no semiplano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes {aj} sejam positivos. Esta condição é verificada por inspeção uma vez que

(7.7) é composta por termos de primeira e segunda ordem, do tipo s+p e s2+bs+c, associados a pólos reais

simples e pólos complexos conjugados de (7.7). Se algum destes coeficientes for nulo ou negativo implica raízes de (7.7) localizadas fora do semiplano esquerdo do plano s. Contudo, condições de suficiência que garantem a existência de pólos de (7.7) fora do semiplano esquerdo do plano s foram propostas em dois trabalhos independentes propostos por Routh (1874) e Hurwitz (1895). O método proposto por Routh

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requer o cálculo de uma matriz cujos elementos são funções dos coeficientes do polinômio característico do sistema que se deseja determinar a estabilidade. Para que o sistema possua todos os pólos localizados no semiplano esquerdo do plano s, os elementos que compõe a primeira coluna desta matriz deverão apresentar o mesmo sinal. Para exemplificar o método de estabilidade proposto por Routh-Hurwitz, consideremos os seguinte sistema apresentado na Figura 7.2, cujos coeficientes do denominador são utilizados para composição da Tabela 7.1.

Fig. 7.2: Sistema empregado para exemplificar o método de Routh-Hurwitz.

s4 a4 a2 a0 s3 a3 a1 0 s2 1 3 1 3 2 4 b a a a a a = − 2 3 3 0 4 b a 0 a a a = − 0 a 0 a 0 a 3 3 4 = − s1 1 1 2 1 1 3 c b b b a a = − 0 b 0 b 0 a 1 1 3 = − 0 b 0 b 0 a 1 1 3 = − s0 1 1 1 2 1 d c 0 c b b = − 0 c 0 c 0 b 1 1 1 = − 0 c 0 c 0 b 1 1 1 = −

Tab. 7.1: Tabela de Routh completa para o sistema apresentado na Fig. 7.2.

A análise da existência de raízes do denominador do sistema apresentado na Fig. 7.2 localizadas fora do semiplano esquerdo do plano s se faz pela verificação do sinal dos termos que compõe a primeira coluna da Tabela 7.1, isto é, dos sinais dos termos a4, a3, b1, c1 e d1. Se todos estes termos apresentarem

sinais iguais, significa que todas as raízes da equação característica do sistema sob análise estão no semiplano esquerdo do plano s e o sistema é dito absolutamente estável. Se houver algum termo pertencente a primeira coluna da Tabela 7.1 que apresente sinal diferente dos demais, significa que existe pelo menos uma das raízes da equação característica do sistema sob análise no semiplano direito do plano s, sendo o número total de raízes no semiplano direito de plano s igual ao número de trocas de sinal ocorridas entre os termos da primeira coluna da Tabela 7.1.

Suponha o sistema de controle apresentado na Figura 7.3. Calcule o posicionamento dos pólos do sistema operando em malha-fechada admitindo duas situações distintas para o ganho do controlador, (a) K=3 e (b) K=7.

Fig. 7.3: Sistema de controle realimentado com controlador do tipo proporcional.

U(s) Y(s) 0 1 2 2 3 3 4 4s a s a s a s a a ) s ( N + + + + K U(s) ) 2 s )( 1 s ( s 1 + + controlador processo R(s) + E(s) - Y(s)

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Para os dois casos avalie a estabilidade do sistema empregando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

Casos Especiais do Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

Existem dois casos especiais que podem ocorrer quando se utiliza o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. O primeiro deles está relacionado a existência de um termo nulo na primeira coluna da tabela de Routh. O segundo caso ocorre quando a linha inteira da tabela de Routh é constituída de zeros.

No primeiro caso, uma das soluções usuais é a substituição do elemento da primeira coluna cujo valor é zero, por um valor infinitesimal ε que pode ser considerado negativo ou positivo. O procedimento para formação da tabela de Routh permanece inalterado, levando em conta a existência do ε para a formação das linhas restantes.

Alternativamente, pode-se rescrever o polinômio característico por um polinômio que apresente raízes recíprocas, que conservarão as regiões das raízes do polinômio original e possivelmente, a tabela de Routh associada ao polinômio recíproco não apresentará nenhum zero em sua primeira coluna. Considere então um sistema linear e invariante no tempo em cujos pólos são raízes da seguinte equação:

0 a s a s a s 1 0 1 n 1 n n ++ + + = −  (7.9)

Se em (7.9) a variável s for substituída por uma variável auxiliar 1/d, então o novo polinômio terá raízes recíprocas ao polinômio original, i.e.

0 a d 1 a d 1 a d 1 0 1 1 n 1 n n = +       + +       +       − −  (7.10)

que pode ser rescrito na forma

0 d a d a d a 1 0 n 1 n 1 1 n + + + = + − −  (7.11)

Comparando o polinômio original (7.9) com o seu polinômio apresentado em (7.11), conclui-se que é bastante simples a obtenção do polinômio recíproco, bastando rescrever os coeficientes do polinômio original na ordem inversa.

Empregando o critério de Routh-Hurwitz, determinar a estabilidade de um sistema que apresenta a seguinte função de transferência em malha-fechada:

3 s 5 s 6 s 3 s 2 s 10 ) s ( T 5 4 3 2 + + + + + =

Verifique se este sistema apresenta, na formação da tabela de Routh, um elemento nulo na primeira coluna, e caso seja necessário utilize os dois métodos apresentados anteriormente. O segundo caso especial, relacionado a uma linha inteira de zeros na formação da tabela de Routh, tem um tratamento diferente daquele apresentado anteriormente, em que apenas um dos elementos da primeira coluna da tabela de Routh apresentava valor nulo. O procedimento adotado para este caso resume-se a substituir a linha composta por todos os elementos zero, pela derivada com relação a s do polinômio formado pelos coeficientes apresentados na linha anterior. De forma a ilustrar este caso especial, considera-se a considera-seguinte função de transferência:

56 s 8 s 42 s 6 s 7 s 10 ) s ( T 5 4 3 2 + + + + + = (7.12) A Tabela 7.2 é formada para verificação da existência e do número de pólos de (7.12) localizadas no semiplano direito do plano s.

(6)

s5 1 6 8 s4 7 42 56 s3 0 0 0 s3 28 84 0 s2 21 56 0 s1 9.33333 0 0 s0 56 0 0

Tab. 7.2: Tabela de Routh completa para o sistema descrito em (7.12)

Observa-se, através da Tabela 7.2 que a terceira linha é originalmente constituída por zeros, sendo representada novamente. A nova representação foi obtida utilizando os coeficientes da linha anterior, neste caso a segunda linha, para composição do polinômio (7.13), i.e.

56 42 7 ) (s = s4+ s2+ P (7.13) Os coeficientes da derivada do polinômio (7.13) com relação a s são então empregados para a determinação dos termos de uma nova linha na tabela de Routh que substituirá a linha composta inteiramente por zeros, ou seja

s s ds s dP 84 28 ) ( = 3+ (7.14)

Neste caso, os coeficientes de (7.14) foram utilizados na composição da linha utilizada para substituir a terceira linha, composta inteiramente por zeros, calculada a partir dos coeficientes originais do polinômio característico de (7.12).

Exercícios:

7.1) Para o circuito elétrico representado na Figura 7.4 prove analiticamente a estabilidade do sistema

Vo(s) / Vi(s) para um sinal de entrada periódico de amplitude limitada. Obs.: Considere as condições

iniciais nulas e use o critério de estabilidade BIBO definido por:

∞ < τ τ

∞ ∞ − d | ) ( h |

Vo(t)

V (t)

i

i(t)

R

L

+

(7)

7.2) Considerando o sistema de controle da Figura 7.5, onde K é um numero real positivo, determine a

faixa de ganho em que o sistema apresenta comportamento estável :

Fig. 7.5: Sistema de controle realimentado empregado no exercício 7.2. Considere o processo G(s) especificado por :

i.

4)

2)(s

(s

8

G(s)

+

+

=

ii.

16)

1)(s

s(s

32

G(s)

+

+

=

iii.

16)

1)(s

0.5)(s

(s

2)

(s

G(s)

+

+

+

=

(8)

Referências

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