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Aula 13 – Características de Processos no Domínio da Freqüência

Introdução

Margens de Fase e de Ganho

Relações Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqüência

Aproximação de Sistemas de Ordem Superior

Exercícios

Leituras Adicionais Recomendadas

Introdução

Da mesma forma com que se pode relacionar as características de resposta transitória e de estabilidade absoluta e relativa em um sistema controle, cuja dinâmica é descrita por equações diferenciais lineares, com o posicionamento de seus pólos de malha-fechada no plano s, pode-se também concluir sobre tais características diretamente pela resposta em freqüência do mesmo sistema operando em malha-aberta. Concluir sobre o comportamento de um dado sistema, apenas com base em sua resposta em freqüência é algo significativo, pois o procedimento é experimental e não necessita nem da modelagem matemática e nem da determinação dos parâmetros que compõe a função de transferência do sistema, sem os quais não se pode determinar os pólos de malha-fechada do mesmo. Adicionalmente, também pode-se projetar controladores apenas com base na resposta em freqüência do sistema em malha-aberta, de forma a alterar as características de módulo e de fase do sistema original conforme especificações de desempenho estabelecidas a priori. Assim, pode-se concluir que a interpretação da resposta em freqüência de sistemas lineares operando em malha-aberta traz ao engenheiro ou projetista informações fundamentais tanto sob o ponto de vista de análise quanto sob o ponto de vista de projeto de um sistema de controle.

Margens de Fase e de Ganho

Tomando como base o critério de estabilidade de Nyquist, que relaciona a estabilidade de um sistema de controle em malha-fechada através da resposta em freqüência do mesmo sistema operando em malha-aberta, pode-se concluir também sobre estabilidade relativa do sistema. Tal conclusão é realizada observando-se a proximidade da curva de resposta em freqüência do sistema operando em malha-aberta com o ponto –1.0 + j0.0 no plano G(jω)H(jω). Este ponto também pode ser rescrito em coordenadas polares como sendo o ponto do plano G(jω)H(jω) que apresenta módulo 1.0 e fase 180º. Desta forma, a proximidade da curva de resposta em freqüência do sistema operando em malha-aberta ao ponto em questão será avaliada também em módulo e em fase, através de duas medidas definidas como margem de ganho e margem de fase respectivamente.

• Margem de Ganho: Define-se por Margem de Ganho – GM, a faixa de ganho que se pode incrementar ou decrementar a curva de resposta em freqüência de módulo da função de transferência de malha-aberta de um sistema até que se alcance o ponto de estabilidade crítica, isto é: 1 ) H(j ) G(j GM ωM ωM = (13.1)

sendo ωM a freqüência em que a fase de G(jω)H(jω) é igual a 180º. Pode-se também, rescrever (13.1) e expressar a margem de ganho em decibéis, ou seja

(2)

) )H(j G(j log 20 ) )H(j G(j 1 log 20 G M M M M MdB= ω ω =− ω ω (13.2)

• Margem de Fase: Define-se por Margem de Fase - ΦM, como sendo o valor angular a ser acrescido ou decrescido à curva de fase da resposta em freqüência de um sistema operando em malha-aberta na freqüência em que a curva de módulo da resposta em freqüência deste mesmo sistema apresenta valor unitário, ou alternativamente, 0.0 dB, ou seja:

) j ( H ) j ( G 180 0dB 0dB o M = + ω ω Φ (13.3) sendo ω0dB a freqüência em que o módulo de G(jω)H(jω) é igual 1 ou, alternativamente 0.0 dB.

Informações associadas as margens de ganho e de fase podem ser obtidas diretamente dos gráficos de resposta em freqüência de módulo e de fase do sistema em malha-aberta representado na forma polar no plano G(jω)H(jω), Figura 13.1, que conjuga em um mesmo gráfico informações de módulo e fase de G(jω)H(jω), ou separadamente nas curvas de módulo e de fase do diagrama de Bode do mesmo sistema, Figura 13.2.

Fig. 13.1: Representação das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama polar.

Fig. 13.2: Representação das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama de Bode.

(3)

1. Considerando um sistema de controle realimentado negativamente, determinar as Margens de Ganho – GM e de Fase ΦM deste sistema admitindo a seguinte função de transferência de malha-aberta: ) 100 s )( 36 s ( s K ) s ( H ) s ( G + + = (13.4) assumindo valores de K=500 e 5000.

i. Associar os valores obtidos de GM e ΦM com a estabilidade do sistema operando em malha-fechada.

ii. Para os dois valores de K apresentados anteriormente, verificar a estabilidade deste sistema empregando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz e o método do Lugar Geométrico das Raízes – LGR.

2. Considerando as curvas de resposta em freqüência apresentadas nas Figuras 13.3 a 13.10 e o preenchimento da Tabela 13.1, determinar:

i. As margens de fase e de ganho de cada um destes sistemas;

ii. Avaliar a estabilidade empregando o critério de estabilidade de Nyquist para cada um dos casos, relacionando-a com as medidas de Margens de Ganho – GM e de Fase ΦM realizadas no item anterior.

iii. Relacionar os diagramas de Bode com os seus respectivos diagramas polares. iv. Traçar o diagrama de Nyquist completo das Figuras 13.7 a 13.10.

(4)

Fig. 13.4: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta.

(5)

Fig. 13.6: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta.

(6)

Fig. 13.8: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta.

(7)

Fig. 13.10: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta. Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist ΦM GM ω0dB ω180o Estabilidade Fig. 13.3 Fig. 13.4 Fig. 13.5 Fig. 13.6

(8)

Relações Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqüência

Muitas vezes a tarefa de relacionar o comportamento temporal de um dado sistema de controle diretamente pela análise das curvas de resposta em freqüência deste sistema operando tanto em malha-aberta quanto em malha-fechada não é obvia para um engenheiro. Contudo, na etapa de projeto de um sistema de controle, é comum que o projetista utilize informações provenientes destas curvas interpretando-as e alterando-as convenientemente, através da inclusão de redes de compensação, de forma que a resposta do sistema em malha-fechada atenda um conjunto de requisitos, normalmente especificados no domínio do tempo. Um requisito temporal que freqüentemente é utilizado para especificação de um sistema de controle operando em malha-fechada é o sobre-sinal máximo percentual da variável de saída do sistema, considerando-se como sinal de referência um degrau. De forma a relacionar analiticamente a margem de fase e sobre-sinal percentual, considera-se o sistema de controle apresentado na Figura 13.11.

Fig. 13.11: Sistema de segunda ordem.

Para determinar analiticamente a expressão matemática da margem de fase deste sistema, deve-se primeiramente descobrir a freqüência em que a função de transferência de malha-aberta deste sistema apresenta módulo 1, denominada freqüência de zero dB - ω0dB, i.e.,

(

)

1 n 2 s s 2 n j s ) s ( G = ξω + ω = ω = (13.5)

que resulta na equação (13.6), apresenta a seguir:

( )

1 4 j G 2 2 n 2 4 2 n = ω ω ξ + ω ω = ω (13.6) cuja solução é obtida elevando-se os dois lados da expressão (13.6) ao quadrado e, logo em seguida, resolvendo-se a equação biquadrada resultante. A freqüência ω0dB que satisfaz (13.6) é a seguinte:

1 4 2 2 4 n dB 0 =ω − ξ + ξ + ω (13.7) Determinada a freqüência ω0dB, emprega-se a definição de margem de fase juntamente com a equação (13.3), resultando em ξ + ξ + ξ − = ξω ω + − = Φ 2 1 4 2 tg arc -90 ) 2 tg arc 90 ( 180 4 2 n 0dB M (13.8)

Admitindo que o coeficiente de amortecimento ξ do sistema apresentado na Figura 13.11 varia entre 1>ξ>0, a margem de fase diminuirá a medida em que diminui o valor de ξ. Uma vez que a máxima sobrepassagem percentual do sinal de saída deste sistema é calculada através da expressão

2 1 e 100 (%) Mp −ξ πξ − = (13.9) conclui-se também que conforme diminui o valor de ξ, dentro do intervalo considerado, o valor da máxima sobrepassagem percentual aumentará. Portanto, o aumento da margem de fase deste sistema implica menor sobrepassagem percentual e vice-versa, estabelecendo através das equações (13.8) e (13.9) uma relação clara entre especificações nos domínios da freqüência e do tempo. Na Figura 13.12

) 2 s ( s n 2 n ξω + ω R(s) + _ Y(s)

(9)

é apresentado o gráfico que relaciona o ξ com a margem de fase e com o sobre-sinal para o sistema de segunda ordem mostrado na Fig. 13.11.

Fig. 13.12: Gráfico que relaciona ξ com ΦM e ξ com Mp de um sistema de segunda ordem . 3. Analise o gráfico da Fig. 13.12 e comente a relação entre o fator de amortecimento, margem de fase e sobre-sinal no sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11.

Pode-se também verificar a relação existente entre a velocidade de resposta da variável de saída do sistema apresentado na Figura 13.11, e a curva de resposta em freqüência deste sistema operando em malha-fechada. Para tanto relaciona-se as medidas de desempenho temporais deste sistema quando excitado com uma entrada do tipo degrau (tempo de subida, tempo de pico e tempo de estabilização), com a largura de banda da resposta em freqüência de malha-fechada do mesmo, que coincide para o caso do sistema apresentado na Figura 13.11, com a freqüência em que o módulo da função de transferência de malha-fechada do sistema apresenta valor igual

2 1 , i.e: 2 1 s 2 s ) s ( T j s 2 n n 2 2 n = ω + ξω + ω = ω = (13.10)

A freqüência em que a equação (13.10) é satisfeita é denominada ωBW, e é obtida empregando-se o mesmo procedimento utilizado para determinação da freqüência ω0dB, ou seja:

(

)

2 2 BW 2 n 2 2 2 BW 2 n 2 n 2 4 2 1           ω ω ξ + ω − ω ω =       (13.11)

concluindo-se, pela solução da equação biquadrada resultante de (13.11), que a largura da banda da resposta em freqüência de malha-fechada do sistema representado na Figura 13.11 é dada por

(10)

(

1 2 2

)

4 4 4 2 2

n

BW =ω − ξ + ξ − ξ +

ω (13.12) Adicionalmente, sabe-se que os tempos de pico e de estabilização do sistema de segunda ordem em questão são expressos pelas seguintes (13.13) e (13.14) apresentadas abaixo:

2 n p 1 t ξ − ω π = (13.13) n s 4 t ξω = (13.14) Conclui-se, com base nas equações (13.13) e (13.14) que os tempos de pico e de estabilização de um sistema de segunda ordem representado na Figura 13.11 dependem da freqüência natural e do coeficiente de amortecimento deste sistema. Contudo, admitindo-se como exemplo uma subclasse de sistemas de segunda ordem com um mesmo coeficiente de amortecimento, percebe-se claramente que quanto maior for a freqüência natural do sistema maior será sua largura de banda e, consequentemente, menores serão os tempos de pico e de estabilização do mesmo sistema quando excitado por um sinal de entrada do tipo degrau, implicando maior rapidez de resposta deste sistema.

4. Para o sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11 estabeleça a relação entre o fator de amortecimento e as freqüências em que o módulo da função de transferência de malha-aberta apresenta valor unitário, ω0dB, e a largura de banda do sistema operando em malha-fechada. Admita valores do fator de amortecimento variando entre 1.0 > ξ > 0.0.

(

1 2

)

4 4 2 1 4 2 2 4 2 4 2 BW dB 0 + ξ − ξ + ξ − + ξ + ξ − = ω ω

Fig. 13.13: Relação entre ξ e

bw odB

ω ω

(11)

13.

i. Analise as Fig. 13.14 a 13.16 e verifique a relação entre a margem de fase e o sobre-sinal das Figuras 13.14 a 13.16.

ii. Analise as Fig. 13.17 a 13.19 e verifique a relação entre a largura de banda e os tempos de estabilização e de pico.

100 101 102 103

-50 0 50

Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=24.2921 deg. (w=95.4704)

M

agni

tude [

dB

]

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-100 101 102 103 -180 -160 -140 -120 -100 -80

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-F as e [ deg] 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.5 1 1.5 Mp=50 %, qsi=0.21545, Wn=100 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

)

Pm = 24.2921

Mp = 50%

(12)

100 101 102 103 -50

0 50

Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=43.463 deg. (w=85.195)

M

agni

tude [

dB

]

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-100 101 102 103 -180 -160 -140 -120 -100 -80

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-F as e [ deg] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Mp=25 %, qsi=0.40371, Wn=100 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

)

Pm = 43.463

Mp = 25%

(13)

100 101 102 103 -60 -40 -20 0 20 40

Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=64.6253 deg. (w=65.4627)

M

agni

tude [

dB

]

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-100 101 102 103 -180 -160 -140 -120 -100 -80

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Aberta

-F as e [ deg] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Mp=5 %, qsi=0.69011, Wn=100 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

)

Pm = 65.4627

Mp = 5%

(14)

101 102 103 -60 -40 -20 0 20

Largura de Banda 68.5562 rad/s,

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Fechada

-F as e [ gr aus ] 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.5 1 1.5 Mp=25 %, tp=0.068677 rad/s ts=0.19816 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

)

ts = 0.19816 WB = 68.5562

Fig. 13.17: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4037 e ωn = 50 rad/s.

101 102 103 -40 -30 -20 -10 0 10

Largura de Banda 137.1125 rad/s,

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Fechada

-F as e [ gr aus ] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Mp=25 %, tp=0.034339 rad/s ts=0.09908 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

) ts = 0.09908

WB = 137.1125

(15)

101 102 103 -30 -20 -10 0 10

Largura de Banda 274.225 rad/s,

Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode Malha Fechada

-F as e [ gr aus ] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.5 1 1.5 Mp=25 %, tp=0.017169 rad/s ts=0.04954 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal Malha Fechada

-y

(t

)

ts = 0.04954 WB = 274.225

Fig. 13.19: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4037 e ωn = 200 rad/s.

Aproximação de Sistemas de Ordem Superior

As relações entre a resposta temporal e a resposta em freqüência estabelecidas pelas equações (13.8) a (13.9) e (13.12) a (13.14) são validas para sistemas de segunda ordem, entretanto podem ser empregas em sistemas de ordem superior. A condição necessária para efetuar essa aproximação é que o sistema de ordem superior apresente comportamento predominantemente de segunda ordem. Para demonstrar como empregar as relações desenvolvidas para sistemas de segunda ordem em sistemas de ordem superior será analisado o sistema de controle da Figura 13.20, cuja a função de transferência G(s) é dada por (13.15) e o ganho K = 1440. A Figura 13.21 apresenta o diagrama de Bode em malha aberta deste sistema.

Fig. 13.20: Sistema original de ordem superior.

A função de transferência em malha aberta do sistema da Fig. 13.20 é dada por

) 100 s )( 36 s ( s K 100 ) s ( G K + + = (13.15)

K

+

-R(s)

C(s)

G(s)

K

+

-R(s)

C(s)

G(s)

(16)

Fig. 13.21: Diagrama de Bode do sistema apresentado na Figura 13.20 considerando K=1440.

Pelo diagrama de Bode apresentado na Figura 13.21 pode-se realizar a medida da margem de fase do sistema - ΦM, e a partir daí, considerando-se que o sistema apresenta comportamento predominantemente de segunda ordem, calcular o coeficiente de amortecimento ξ e o tempo de pico – tp. Alternativamente, uma vez que por hipótese a função de transferência de malha-aberta do sistema é conhecida, pode-se determinar numericamente a margem de fase do sistema, ou seja:

rad/seg 62 . 29 1 100 36 144400 ) ( 0 2 2 2 2 0 = ⇒ = + + = = dB dB j G ω ω ω ω ω ω ω (13.16)

Determinada a freqüência ω0dB, determina-se a margem de fase do sistema apresentado na Figura 13.20, empregando-se a seguinte expressão:

o dB dB M arc arc 34.05 100 tan 36 tan 90 180 0 0 =      −       − − = Φ ω ω (13.17) A margem de fase do sistema, calculada em (13.17), pode ser utilizada para determinação do coeficiente de amortecimento ξ do sistema, uma vez que a expressão

0.3027 2 4 1 2 tan 90 4 2 ≅ ⇒ + + − = Φ ξ ξ ξ ξ arc o M (13.18)

representa uma boa aproximação se o sistema em malha-fechada for predominantemente de segunda ordem. A partir da resposta temporal a uma entrada do tipo degrau unitário aplicada ao sistema, mostrada na Fig. 13.22, determina-se : tp=0.101s e Mp=0.3687

ω0dB

(17)

Fig. 13.22: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Figura 13.20.

Utilizando as equações relativas a um sistema de 2º ordem, na respostas temporal apresentada na Fig. 13.22, obtém-se 3027 . 0 2 1 = = − − ξ ξ πξ e Mp (13.19) s rad t n n p 32.63 / 1 2 = ⇒ − = ω ξ ω π (13.20) R(s) + _ ( 2 ) 2 n n s s ξω ω + ) ( ~ s C

Fig. 13.23: Sistema de segunda ordem.

Logo, a função de transferência apresentada em (13.21) é uma aproximação, utilizando um sistema de segunda ordem , da função de transferência de malha fechada do sistema da Fig. 13.20.

9 . 1064 75 . 19 9 . 1064 2 ) ( ) ( ~ 2 2 2 2 + + = + + = s s s s s R s C n n n ω ξω ω (13.21)

Na Figura 13.24 são apresentadas duas curvas: uma das curvas representa a resposta temporal do sistema apresentado na Figura 13.20 operando em malha-fecha com ganho K=1440, sendo a outra curva relativa ao sistema de segunda ordem aproximado com freqüência natural ωn = 32.63 rad/seg, e coeficiente de amortecimento igual aquele calculado em (13.19). Em ambos os casos é considerando como sinal de referência um degrau de amplitude unitária

tp=0.101 seg. Mp=0.3687

(18)

Fig. 13.24: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Fig. 13.20 e do sistema de segunda ordem equivalente apresentado na Fig. 13.23.

Na Fig. 13.25 é apresentado os diagramas de Bode do sistema original para K = 1440 e do sistema de 2º ordem aproximado.

Fig. 13.25: Diagrama de Bode do sistema original para K=1440 e do sistema de 2º ordem aproximado. Pode-se observar na Figura 13.25, que o sistema de segunda ordem aproximado apresenta uma resposta bastante próxima à resposta do sistema apresentado na Figura 13.20, observando-se que as relações estabelecidas para o sistema de segunda ordem apresentadas poderão servir para calcular, de forma aproximada, as características da resposta temporal deste sistema em malha fechada.

6.

i . Calcule a margem de fase, a margem de ganho e a freqüência de 0 dB para o sistema original e para o sistema aproximado.

ii. Comente sobre o uso das relações estabelecidas para o sistema de segunda ordem para determinar a margem de fase , a freqüência de 0 dB e as características da resposta temporal de sistemas de ordem superior.

(19)

Exercícios

1. Considerando os diagramas de Bode apresentados nas Figuras 13.26, 13.27 e 13.28, traçar os diagramas de Nyquist e analisar a estabilidade de cada um dos sistemas empregando o critério de estabilidade de Nyquist. Nos diagramas de Bode e de Nyquist identificar as margens de fase ΦM e de ganho GM de cada sistema.

Frequency (rad/sec) P has e ( deg) ; M agni tude ( dB ) Bode Diagrams -40 -20 0 20 10-1 100 101 -200 -150 -100 -50 0

Fig. 13.26: Diagrama de Bode G1(s)H1(s).

Frequency (rad/sec) P has e ( deg) ; M agni tude ( dB ) -150 -100 -50 0 50 10-2 10-1 100 101 102 -300 -200 -100 0

(20)

Frequency (rad/sec) P has e ( deg) ; M agni tude ( dB ) -100 -50 0 50 100 10-1 100 101 102 103 -400 -300 -200 -100 0

Fig. 13.28: Diagrama de Bode G3(s)H3(s). 2. Considerando os diagramas de Nyquist apresentados na Tabela 13.2.

Item Diagrama Polar de Nyquist Preencher com os valores da Tabela 13.1

A

Margem de Fase:______

Margem de Ganho:______

Grau relativo do sistema:______

Estabilidade:______

B

Margem de Fase:______

Margem de Ganho:______

Grau relativo do sistema:______

Estabilidade:______

(21)

C

Margem de Fase:______

Margem de Ganho:______

Grau relativo do sistema:______

Estabilidade:______

D

Margem de Fase:______

Margem de Ganho:______

Grau relativo do sistema:______

Estabilidade:______

E

Margem de Fase:______

Margem de Ganho:______

Grau relativo do sistema:______

Estabilidade:______

(22)

3. Considere o sistema de controle com realimentação unitária e negativa apresentado na Figura 13.29.

Fig. 13.29: Sistema de controle empregado no exercício 3.

A Figura 13.30 apresenta o diagrama de Bode da função de transferencia de malha aberta Y(s)/E(s) considerando K = 1.

i. Determine o ganho K necessário para que o sistema apresente uma resposta subamortecida a um sinal de entrada do tipo degrau com tempo de estabilização menor que 1 segundo e sobre-sinal máximo de 5%.

ii. Para o ganho especificado no item i determine o erro em regime para os sinais de entrada do tipo degrau e rampa..

Fig. 13.30: Diagrama de Bode da função de transferencia de malha aberta do sistema de controle da Fig. 13.30 considerando K = 1

4. Considere o sistema de controle com realimentação unitária e negativa apresentado na Figura 13.31. Dica: Utilize os Diagramas de Nyquist da G(s) para K =1 apresentado nas Figuras 13.32 e 13.33.

+

-R(s)

C(s)

) 4 s )( 2 s )( 1 s ( K 58 ) s ( G + + + ⋅ =

+

-R(s)

C(s)

) 4 s )( 2 s )( 1 s ( K 58 ) s ( G + + + ⋅ = K G(s) R(s) E(s) + _ U(s) Y(s)

(23)

Fig. 13.31: Diagrama de blocos de um sistema com realimentação unitária e negativa. i. Considerando o ganho K = 1, determine a margem de ganho e a margem de fase. ii. Qual deve ser o ganho K para a margem de ganho ser igual a 20 dB.

Título:

X:\sem2001_I\Projetos\prova\Figura6a.eps Criador:

MATLAB, The Mathworks, Inc. Visualizar:

Esta figura EPS não foi salva com uma visualização. Comentário:

Esta figura EPS imprimirá para uma impressora PostScript, mas não para outros tipos de impressora.

Fig. 13.32: Diagrama de Nyquist de G(s) utilizado no exercício 4, considerando K=1.

Título:

X:\sem2001_I\Projetos\prova\Figura6b.eps Criador:

MATLAB, The Mathworks, Inc. Visualizar:

Esta figura EPS não foi salva com uma visualização. Comentário:

Esta figura EPS imprimirá para uma impressora PostScript, mas não para outros tipos de impressora.

(24)

13. Determine o valor do ganho K, para a margem de ganho de 10.0 dB para o sistema de realimentação unitária da Figura 13.34. Admita as seguintes funções de transferência G(s):

I. ) 8 s )( 5 s )( 2 s ( K ) s ( G + + + = II. ) 5 s )( 2 s ( s K ) s ( G + + =

G(s)

+

-R(s)

C(s)

Fig. 13.34: Diagrama de blocos de um sistema com realimentação unitária e negativa.

6. Para os sistemas do problema 5, encontre o valor do ganho “K” para que a margem de fase de seja de 40º.

7. Para o diagrama de blocos apresentado na Figura 13.34, use o método da resposta em freqüência para determinar o valor do ganho “K”, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau apresente 20% de sobresinal. Admita as seguintes funções de transferência G(s):

I. ) 7 s )( 5 s ( s K ) s ( G + + = II. ) 6 s )( 5 s )( 4 s ( s ) 2 s ( K ) s ( G + + + + =

8. Para o sistema com realimentação unitária da Figura 13.34, com

) 9 s )( 6 s )( 3 s ( s ) 11 s )( 10 s ( K ) s ( G + + + + + = determine:

I. O valor do ganho “K”, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau apresente 15% de sobresinal.

II. Especifique um sistema de segunda ordem que produza uma resposta temporal aproximadamente igual ao sistema original.

III. Use o MATLAB para testar seu sistema de segunda ordem aproximado através de simulação do sistema empregando o valor de K encontrado do item I.

Sumário

Foram apresentadas as definições de Margem de Ganho – GM e Margem de Fase - ΦM e suas relações com estabilidade relativa de sistemas lineares. Observou-se que, diferentemente dos métodos do Lugar Geométrico das Raízes – LGR e do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, em que o estudo de estabilidade de um sistema de controle em malha-fechada depende do conhecimento da função de transferência do mesmo, as informações associadas a estabilidade de um sistema de controle linear operando em malha-fechada também podem ser obtidas experimentalmente através da resposta em freqüência deste sistema operando em malha-aberta. Nestes casos, a estabilidade absoluta do sistema é determinada empregando o critério de estabilidade de Nyquist, sendo as conclusões de estabilidade relativa do sistema realizadas com base em GM e ΦM. Realizou-se também, com base no sistema de segunda ordem apresentado na Figura 13.11, a relação entre as características de resposta temporal e de resposta em freqüência do sistema do sistema em malha-aberta e malha-fechada

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Leituras Adicionais Recomendadas

[1] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing.

[2] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. [3] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems,

Addison-Wesley Publishing Company.

[4] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company. [5] Ogata, K., Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brasil, 3º edição.

Referências

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