Problemas em grafos com poucos P4's em grafos indiferença

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Problemas em grafos om pou os

P

4

's e

em grafos indiferença

Vagner Pedrotti

Agosto de 2011

Ban a Examinadora:

•

Célia Pi inin de Mello (Orientadora)

•

Cláudia LinharesSales - DC - Universidade Federaldo Ceará

•

Sulamita Klein- IM e COPPE - Universidade Federaldo Riode Janeiro

•

Flávio Keidi Miyazawa - IC -Universidade Estadual de Campinas

•

Orlando Lee - IC -Universidade Estadual de Campinas

•

Simone Dantas (Suplente) - IM - Universidade FederalFluminense

•

João Meidanis(Suplente) -IC - Universidade Estadualde Campinas

são onhe idos algoritmospolinomiaisem toda lasse de grafos que possuir um número polinomialde separadores minimais. Serãodados, omo ontribuiçãodeste trabalho, um algoritmolinear paralistar osseparadores minimaisde grafosP

4

- arregadosestendidos e limitantesjustosnonúmeroetamanhodosseparadoresminimaisdestesgrafos,bem omo de algumas de suas sub lasses, P

4

- arregada, P

4

-arrumada e P

4

-leve. Estes resultados estendem um algoritmo anterior para grafos P

4

-esparsos, ao mesmo tempo que in luem estas lassesde grafosentre asquepossuemumnúmerodeseparadoresminimaislimitado porum função linearno número de vérti esdo grafo.

Em seguida, será tratado o Problema de Empa otamento de Cliques, uma extensão

do problema de emparelhamentomáximo. Para amaioria das lasses de grafosmais

im-portantes, oproblemaé NP-Difí il. A ontribuiçãoapresentadaresolveeste problemaem tempo polinomial(para qualquer tamanhoxo de lique) em grafosP

4

-arrumados, atra-vésde umaté ni asimilarautilizadapara os ografos. Infelizmente, paraassuper lasses mais estudadas da lasse P

4

-arrumada, esteproblema éNP-Difí il, oque éum indí iode que até ni a utilizadafoi totalmenteaproveitadaemrelação às lasses om pou os

P

4

's. Por m, será estudado o Problema da Coloração Total Forte, uma variação do pro-blema lássi o da oloração total, que foi introduzido há pou o tempo e ainda tem sua

omplexidade omputa ional des onhe ida. Como esperado, existem algoritmos

polino-miais apenas para lasses bastante simples de grafos. Além da omplexidade, outro

im-portante ponto em aberto para o problema é a onje tura de que o número de ores

ne essárias na solução do problema para um grafo

G

seria limitado por

∆(G) + 3

. A

Estas ontribuições onrmamaimportân iadade omposiçãomodularemalgoritmos para lasses de grafos om pou os

P

4

's e ampliam o uso da té ni a do pullba k para variações dos problemas lássi os de oloração.

The rst problemstudied isthe Minimal Separator Problem. For this problem,there exists polynomialtime algorithmsforevery lass of graphswhi hhas apolynomial num-ber of minimal separators. A linear-timealgorithm, that lists all minimal separators of extended

P

4

-laden graphs, is presented. Moreover, tight bounds on the number and on the total size of minimalseparators are given for extended

P

4

-ladengraphs and for some of their sub lasses: the

P

4

-laden,

P

4

-tidy,and

P

4

-litegraphs. Thisresult extendsa previ-ous algorithmfor

P

4

-sparse graphsand gives, forthe above lasses, betterboundsonthe numberof minimal separators that were already known tobepolynomial.

Then, the Clique Pa king Problem is analyzed. The problem is an extension of the

lassi al Maximum Mat hing Problem and is NP-Hard for almost allgraph lasses. The

ontributionpresentedsolvesthe probleminpolynomialtime(foranyxed liquesize)in

P

4

-tidygraphsthrough a te hnique similarto thatused for ographs. However, the most well-known super lasses of

P

4

-tidygraphs ontainssplit graphs,forwhi hthisproblemis NP-Hard. This isaneviden ethatthe te hniquewasfullyexploredwithrespe t ofgraph lasses with few

P

4

's.

At last, the Strong TotalColoring Problem is onsidered. It is a re ently introdu ed variationof the lassi al TotalColoringProblemand its omplexity is stillunknown. As expe ted, thereare quitefew graph lassesfor whi hthe problemhas a polynomial time algorithm. Besides its omplexity, another important open question for this problem is a onje ture whi h states that

∆(G) + 3

olors are su ient for oloring any graph

G

. A known te hnique, alled pullba k, used for edge and total oloring of dually hordal graphs is extended to derive a linear time algorithm for indieren e graphs (also known

graph lasses withfew

P

4

's andbroaden thepullba k te hnique tovariationsof lassi al oloring problems.

Nãopoderiadeixardeagrade erosmuitosamigosqueestiveram omigonesseperíodo. Neste papel, eu in luo meus primos e tios, que sempre me in entivaram e meus olegas da Uni amp,dividindo os momentos alegres edifí eisdeste período.

Pelosuporte nan eiroaeste projeto,agradeço àFundação de AmparoàPesquisado

Resumo v

Abstra t vii

Agrade imentos ix

1 Introdução 1

2 Fundamentação Teóri a 4

2.1 Noçõeselementarese Grafos . . . 4

2.2 Módulos . . . 7 2.3 De omposição Modular . . . 9 2.4 Classes de grafos . . . 11 2.4.1 Cografos . . . 14 2.4.2 P

4

-esparsa . . . 15 2.4.3 P

4

-leve . . . 17 2.4.4 P

4

- arregada . . . 18 2.4.5 Extensões . . . 20

3 Separadores Minimais de Grafos P

4

- arregados estendidos 21 3.1 Introdução . . . 21

3.2 Classe P

4

-esparsa . . . 23

3.3 Apli ação daDe omposição Modular . . . 25

3.4 Classe P

4

- arregada estendida . . . 27

3.4.1 Grafos split . . . 29 3.4.2 Outros asos . . . 30 3.4.3 Algoritmo . . . 30 3.5 Limitantes . . . 31 3.5.1 Fórmulageral . . . 31 3.5.2 Estudo de grafos . . . 32

4.2.3 Solução para ografos . . . 52

4.3 Considerações para a lasse P

4

-arrumada . . . 54

4.3.1 Aranhas . . . 55

4.3.2 Pseudo-aranhas . . . 60

4.3.3 Outros asos . . . 67

4.3.4 O Algoritmo . . . 68

4.4 Con lusão . . . 68

5 Coloração Total Forte de Grafos Indiferença 69 5.1 Introdução . . . 69 5.2 Preliminares . . . 72 5.3 Grafos indiferença. . . 72 5.4 Con lusões. . . 75 6 Con lusões 77 Bibliograa 79

3.1 Separadores minimaisde

P

5

,

P

5

e

C

5

. . . 30

3.2 Parâmetros para separadoresminimais de aranhas. . . 34

3.3 Parâmetros para separadores minimaisde pseudo-aranhas. . . 36

3.4 Resumo daPropriedade 3.5para algumas famíliasde grafos. . . 40

3.5 Propriedade 3.5para alguns grafos. . . 40

2.8 Um ografo esuas de omposições. . . 15

2.9 Aranhas gorda emagra. . . 16

2.10 Um grafoda lasse P

4

-leve esua de omposiçãomodular. . . 17

2.11 Um grafoda lasse P

4

- arregada. . . 20

3.1 Grafos usadospara exempli ar o on eito de separadoresminimais. . . 22

3.2 Grafos uniãoe join para exemplo de separadores minimais. . . 24

3.3 Aranhas para exemplo de separadores minimais. . . 24

3.4 Relação entre separadores minimaise módulos. . . 26

3.5 Separadores minimaisemgrafos split. . . 30

3.6 Pseudo-aranhas para exemplos de separadoresminimais. . . 36

3.7 Construção padrãopara grafos om limitantesjustos. . . 42

4.1 Exemplos de soluçõesdo PEC. . . 46

4.2 Empa otamentos de liques om

n

3

= 1

e

n

4

= 1

. . . 49

4.3 Tentativas de empa otamentode liques emum grafo união. . . 49

4.4 Tentativas de empa otamentode liques emum grafo join. . . 51

4.5 Exemplo de o-árvore binária. . . 53

4.6 Um grafoda lasse P

4

-arrumadae uma ADMQB. . . 55

4.7 Empa otamento de liques emuma aranha. . . 56

4.8 Pseudo-aranhas om

|S| = |K| + 1

. . . 61

4.9 Pseudo-aranhas om

|K| = |S| + 1

. . . 64

omplexos (NP-Difí eis) ou uja di uldade é des onhe ida, quando não existe restrição sobre aentrada. Todavia, em todos os asos onsiderados, existem algoritmos om om-plexidade temporalpolinomialpara resolverestes problemasquando ografode entradaé

ondi ionado de alguma forma.

Dado o onhe imento e familiaridade prévios om a de omposição modular [60℄, os

primeiros problemas onsiderados forames olhidos dentre problemas que já haviamsido resolvidosemalgumas lassesdegrafosporalgoritmosqueenvolvemousointrínse odesta de omposição. A de omposição modular tem sido usada para resolver vários problemas, omoaorientaçãotransitivadegrafosde omparabilidade[56℄ere onhe imentode lasses de grafos, tais omo P

4

- arregada [31℄ e várias de suas sub lasses [32℄.

O interesse na de omposição modular justi a-se pela evolução nos algoritmosque a

produzem, geralmente obtidas pela exploração de suas propriedades. O primeiro

algo-ritmo para omputar aárvore de de omposiçãomodular de um grafoéde Cowan, James

e Stanton[23℄ e sua omplexidade temporal é

O(n

4

₎

. Subsequentemente, surgiram algo-ritmos mais e ientes, omo os de Ehrenfeu ht et al. [29℄ e de Muller e Spinrad [57℄,

ambos

O(n

2

₎

. Finalmente, em 1994, Spinrad e M Connell [56℄ propuseram o primeiro

algoritmo linear para a de omposição modular. O interesse pela de omposição modular

foi aumentandoà medidaquesua obtençãotornava-se maise iente. Alémdisso, mesmo apósoprimeiroalgoritmolinear,apesquisa por algoritmosde implementaçõesmais sim-ples ontinuou e produziu novos algoritmos, omo o de Tedder et al. [68℄. Uma re ente ompilação de vários algoritmosfoi publi ada porHabib ePaul[39℄.

espe í as, que fazem parte de uma famíliade lasses onhe idas omo lasses de grafos om pou os

P

4

's. Nestes grafos, a de omposição modular é extensivamente utilizada para algoritmos de re onhe imento e para a solução de problemas lássi os de otimiza-ção, omo oloração de vérti es e lique máxima. No topo da hierarquia destas lasses está a P

4

- arregada estendida, que reúne sub lasses denidas ao longo do tempo, tais omo: ografos, P

4

-leve, P

4

-esparsa, P

4

-redutível, P

4

-extensível[21, 44,42, 48,45℄, além de outras extensões e variações [33, 32, 11℄. Muitas destas lasses possuem apli ações espe í as, das quais podem-se itar o número guloso [1℄, para a lasse P

4

- arregada estendida; o emparelhamento máximo [30℄ e problemas de oloração [14℄, para a lasse P

4

-arrumada; o omportamentodo operador lique [28℄, para uma pequena restriçãoda lasse P

4

-arrumada; e lique máxima, obertura mínima por liques, grafo sanduí he, partiçõesem liques e onjuntosindependentes [47, 12, 25℄,para a lasse P

4

-esparsa.

O primeiro problema onsiderado neste trabalho é o Problema dos Separadores

Mi-nimais, que pode ser resolvido por um algoritmo de tempo polinomial (em relação ao

tamanho do grafo) para ada separador minimal [5℄. Todavia, quando o grafo perten e à lasse P

4

-esparsa, é onhe ido um algoritmo linear para listar todos os separadores

minimais do grafo [58℄. Este algoritmo já faz uso da de omposição modular, de forma

que o fo o dotrabalhoneste problema tambémfoi ode estender até ni a utilizadapara super lasses. Como fruto do trabalho, o problema foi resolvido em tempo linear para a lasse P

4

- arregada estendida, através do método proposto, que onstrói os separadores minimais de um grafo a partirde sua de omposição modular. Alémdisso, foramobtidas expressões queforne em limitantesjustos para o número etamanhoda des rição dos se-paradores minimais dos grafosP

4

- arregados estendidos, P

4

- arregados, P

4

-arrumados e P

4

-leves. Com isto, o problema de ontagem de separadores minimais para estas lasses, proposto em [58℄, foi resolvido. Ainda é possível estender este trabalho, onsiderando outras lasses ousuper lasses dos grafos P

4

- arregadoestendido, desde quese demonstre que os grafossatisfazem um onjunto de restrições.

O segundo problema tratado é o Problemado Empa otamentode Cliques. Este

pro-blema foi resolvido em tempo polinomial(xando o tamanho das liques) para ografos por Guruswami et al. [36℄. Este algoritmo opera re ursivamente na o-árvore do grafo, re onstruindo-o a partir de seus vérti es e onstruindo um onjunto de soluções

inter-mediárias em ada nó. Nosso estudo sobre o problema ulminouna extensão da té ni a

usada para resolveroproblema emtempopolinomialpara grafosna lasse P

4

-arrumada, substituindo a o-árvore pela árvore de de omposição modular. Este resultado, de erta forma, está no limite de possíveis extensões quando se onsidera a hierarquia das las-ses om pou os

P

4

's, uma vez que a próxima andidata seria a lasse P

4

- arregada ou

da Coloração de Arestas Forte e Problema da Coloração Total Forte, respe tivamente. Para eles, existem onje turas que

∆(G) + 2

[75℄ e

∆(G) + 3

[74℄ seriam limitantes no númeromínimo de ores ne essárias, respe tivamente.

Como resultado do ter eiro problema estudado, neste trabalho on luiu-se que um

algoritmo de omplexidade de tempo linear já onhe ido para o Problema da Coloração

Totalrestrito a lassede grafosdualmente ordais,tambémsolu ionaoProblemada Co-loração TotalFortepara grafosque satisfazemrestriçõesadi ionais. Estes grafosformam uma sub lasse dos grafos indiferença, também onhe idos omo grafos de intervalos uni-tários. Alémdisso, até ni a utilizada produz uma oloração total forte om no máximo

∆(G) + 3

orespara qualquergrafoindiferença,mostrandoque a onje tura propostapor Zhang et al. é válida nesta lasse de grafos. Observa-se que o Problema da Coloração TotalForte foi re entemente introduzido eainda tem sua omplexidade temporal des o-nhe idaparagrafosemgeral. Atéomomento,esteproblemaésolu ionadoe ientemente apenas empou as lasses de grafos.

Neste último problema, a de omposição modular não é utilizadae a lasse envolvida não está na ategoria de lasses om pou os

P

4

's. Todavia, oestudo desta lasse possi-bilitououso de ferramentaseté ni as distintas paraabordar umproblemarelativamente novo e om grandes oportunidades de pesquisa.

A organização desta tese forne e as notações, denições e terminologias omuns no

Capítulo 2, o qual também apresenta a de omposição modular e várias das lasses de

grafos om pou os

P

4

's. Os Capítulos 3, 4 e 5 tratam, respe tivamente, do Problema

dos SeparadoresMinimais,doProblemadoEmpa otamentodeCliquesedoProblemada

Fundamentação Teóri a

Neste apítulo são dadas a nomen latura e notações para as noções fundamentais de

grafos, bem omo são denidas e dadas as prin ipais ara terísti as da de omposição

modular de grafos e de algumas lasses de grafos, objeto de estudo. Estes fundamentos são ne essários para a ompreensãodotrabalho des ritonos apítulos subsequentes.

2.1 Noções elementares e Grafos

Neste trabalho, os onjuntos seguem a noção matemáti a de onjuntos. Apenas para

es lare imento,são des ritas algumasoperaçõese ara terísti asimportantes.

O onjunto vazio será representado por

∅

. Um onjunto é dito unitário se ontém apenasumelemento. Asoperaçõesde união,interse çãoediferençaentre onjuntosserão representadaspor

∪

,

∩

e

\

. Auniãoeinterse çãodevários onjuntospodeserrepresentada por

S

C∈C

e

T

C∈C

, sendo

C

um onjunto de onjuntos ou por

S

i=p

u

C

i

e

T

i=p

u

C

i

, sendo

p

e

u

inteiros e

C

i

um onjunto, para

i

inteiro entre

p

e

u

. A ardinalidade do onjunto

A

(númerode elementosdo mesmo)é expressa omo

|A|

.

Dado um onjunto

S

, dene-se uma partição

P

de

S

omo sendo um onjunto

P =

{P

1

, P

2

, . . . , P

n

}

, tal que

P

i

⊂ S

para

1 ≤ i ≤ n

,

P

i

∩ P

j

= ∅

para

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n

e

i 6= j

, e

S

i=1

n

P

i

= S

. Os elementos do onjunto que formaa partição

P

são hamados partes.

Um grafo simples

G = (V (G), E(G))

(não orientado) é dado por um onjunto de

vérti es

V (G)

e um onjunto de arestas

E(G)

. Cada elemento de

E(G)

é um par não

ordenado ontendo dois elementos de

V (G)

. Nesta tese, o termo grafo será usado para designar um grafosimples.

Um grafo é trivial se ontém apenas um vérti e e nenhuma aresta. Os vérti es que formam uma aresta são hamadosextremos da aresta. Dois vérti es que são extremosde uma arestasão ditos adja entes ouvizinhos.

e é denotado por

∆(G)

.

Um aminho emum grafosimples

G

de um vérti e

a

aum vérti e

b

é uma sequên ia

de vérti es

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

)

, sem repetição, talque

a = v

1

,

b = v

n

e

{v

i

, v

i+1

} ∈ E(G)

para

1 ≤ i < n

. Os vérti es

a

e

b

são hamados extremos do aminho e os demais, vérti es internos.

Umgrafoé onexo separatodopar de vérti esdistintos,

x

e

y

,existe um aminhode

x

a

y

nografo. Um omponente onexo de um grafoqualquer éumsub onjuntomaximal

de seus vérti es ujosubgrafo induzidoé onexo.

Umseparador

S

deumgrafo

G

éumsub onjuntode seusvérti estalque

G[V (G) \ S]

é des onexo. Note que, se

G

édes onexo,

∅

éum separadorde

G

.

Um grafo aminho de

n

vérti es, representado por

P

n

, é o grafo ujos vérti es são

v

1

, v

2

, . . . , v

n

e ujas arestassão

{{v

i

, v

i+1

} : 1 ≤ i < n}

.

Um i lo de

n

vérti es (

C

n

),

n ≥ 3

, é obtidodo

P

n

adi ionando aaresta

{v

n

, v

1

}

. Umgrafo ompletode

n

vérti es(

K

n

)éumgrafonoqualtodopardevérti esdistintos são adja entes. Umgrafo om

n

vérti ese nenhuma aresta será representado por

S

n

.

Uma lique é um sub onjuntodos vérti es de um grafoqueinduz um grafo ompleto.

Já um sub onjunto dos vérti es de um grafoque induz um grafo sem arestas é hamado

onjunto independente. Osmaiores valoresentre ostamanhos das liques edos onjuntos independentes de um grafo

G

são representados por

ω(G)

e

α(G)

,respe tivamente.

O omplemento de um grafo

G

será representado por

G

e é denido de modo que

V (G) = V (G)

e

{x, y} ∈ E(G) ⇔ {x, y} /

∈ E(G)

.

Dadosdoisgrafos

G

1

e

G

2

,auniãodestesgrafosérepresentadapor

G

1

∪G

2

eresultano grafo

(V (G

1

)∪V (G

2

), E(G

1

)∪E(G

2

))

. Auniãodisjunta destesdoisgrafoséigualaunião deles, aso

V (G

1

) ∩ V (G

2

) = ∅

. Caso ontrário, renomeiam-seosvérti esde

G

2

demodo que nenhum deles esteja ontido em

V (G

1

)

e,então, toma-seauniãodos grafos. Por m, dene-se ojoin dosgrafos

G

1

e

G

2

,

G

1

+ G

2

= (V (G

1

) ∪V (G

2

), E(G

1

) ∪E(G

2

) ∪{{x, y} :

x ∈ V (G

1

), y ∈ V (G

2

)})

.

Oisomorsmo entre dois grafos,

G

e

H

, érepresentado por

G ≃ H

.

mente, um de seus vérti es pode ser es olhido omo sendo araiz da árvore e, neste aso,

dado um nó

n

qualquer, mas distinto da raiz, todos os nós que  am no úni o aminho

que liga

n

à raiz, ex luindo o próprio

n

e in luindoa raiz, são os an estrais de

n

(a raiz não tem an estrais). O úni o an estral de um nó (ex eto a raiz) que é seu vizinho é seu pai. Todos osvizinhos de um nó, ex eto seu pai, sehouver, são seus lhos e todos osnós de grau um, ex eto a raiz, são hamados folhas.

Umgrafoébipartidoseseu onjuntode vérti espodeserparti ionadoemduaspartes,

A

e

B

, de forma que não exista nenhuma aresta dografo om ambos os extremos em

A

ou em

B

. Um grafo é bipartido ompleto se é bipartido e para quaisquer

a ∈ A

e

b ∈ B

, o grafo ontém aaresta

{a, b}

.

Umgrafoé ordal senãopossuinenhumsubgrafoinduzidoisomorfoao

C

n

para

n ≥ 4

.

Dado um grafo

G

qualquer, o menor número de arestas que devem ser adi ionadas ao

mesmo para que elesetorne um grafo ordalé onhe ido omo preen himento mínimo e

é denotado por

Φ(G)

.

Um grafo é fra amente ordal se não ontiver nenhum

C

n

ou

C

n

para

n ≥ 4

. Um

grafo

G

é dualmente ordal se existiruma ordem linear nos seus vérti es,

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

)

tal que, todo

v

i

possua um vizinho máximo em

G

i

= G[v

1

, v

2

, . . . , v

i

]

. Um vérti e

u

é vizinho máximo de

v

i

, se

N

G

i

[w] ⊆ N

G

i

[u]

para todo

w ∈ N

G

i

[v

i

]

. Ainda, um grafo é fortemente ordal se todos os seus subgrafos induzidos (in luindo o próprio grafo) são dualmente ordais.

Umgrafoésplitseoseu onjuntodevérti esadmiteumapartiçãoemdois onjuntos

K

e

S

que induzem um grafo ompleto e um grafo sem arestas, respe tivamente. Uma

partição deste tipoé hamada partição split edenotada por

(K, S)

.

Umgrafo

G

éperfeito se, para todosubgrafo induzido

H

de

G

,

χ(H) = ω(H)

.

Um grafo

G

é perfeitamente ordenável se admite uma ordem

o

para seus vérti es

tal que todo subgrafo induzido

H

de

G

tem seus vérti es oloridos de forma ótima por um algoritmoguloso (que atribui a menor or possível para ada vérti e) avaliandoseus vérti es segundo a ordem

o

restrita aos vérti es de

H

.

Como uma sub lasse dos grafos perfeitamente ordenáveis estão os grafos brittle,

para os quais todo subgrafo induzido possui um vérti e que não é extremo ou não é

vérti e interno de nenhum

P

4

induzido.

Umapropriedaderelativaagrafoséditahereditáriase, quandosatisfeitaporumgrafo

G

, também é satisfeita por todo subgrafo induzido de

G

. Uma lasse é hereditária se a pertinên ia à lasse é uma propriedade hereditária, ou seja, se

G

perten e à lasse, todo subgrafo induzidode

G

tambémperten e à lasse. Como exemplos,tem-se as lasses de

Figura2.1: Exemplos de módulos.

2.2 Módulos

Um sub onjunto não vazio,

M

, dos vérti es de um grafo

G

é um módulo de

G

se, para

todovérti e

v

de

V (G) \ M

, ou

(N

G

(v) ∩ M = ∅)

ou

(M ⊆ N

G

(v))

. De outra forma,um módulo é um onjunto de vérti es de um grafo indistinguíveis pelos demais vérti es. A Figura 2.1a ontém dois exemplosde módulosde um grafo. Noteque osvérti es

e

,

f

e

g

não são vizinhos de nenhum dos vérti es domódulo

{a, b, c}

,enquanto

d

ontém em sua vizinhança todos os vérti es deste módulo. Para maior lareza, per eba que o onjunto de vérti es

A = {d, e}

não formaum módulo, embora

d

seja vizinho de todos osvérti es dografonão ontidosem

A

eovérti e

e

nãoseja vizinhodenenhumdos vérti esdografo não ontidos em

A

. Esta seria uma noção de erta formainversa ao on eito de módulo, o qual não é respeitado pelo onjunto

A

, dadoque o vérti e

f

éadja entea

d

e não a

e

.

São hamados de módulos triviais de um grafo

G

, osmódulos

V (G)

e

{v}

,para todo

v ∈ V (G)

. Os demais módulos também são onhe idos por onjuntos homogêneos. Um grafo ujos úni os módulos são os módulos triviais é hamado de grafo primo, omo os grafos (b) e ( ) daFigura2.1. Grafosprimossão omuns, omo osgrafos

C

n

para

n ≥ 5

e

P

n

para

n ≥ 4

, porexemplo. Note que, se

M

é módulo de

G

,

M

também émódulo de

G

e,destaforma, se

G

é primo,

G

tambéméprimo. Alémdisso, se

G

éprimo,

G

e

G

são onexos.

Dados dois módulos distintos

X

e

Y

de um grafo

G

, o rela ionamento destes módu-los traz informações sobre o grafo ou sobre outros módulos. São duas as situações de interesse. Primeiro, se os módulos forem disjuntos (

X ∩ Y = ∅

), então ou as arestas

{{x, y} : x ∈ X, y ∈ Y }

perten em a

G

(e os módulos são hamados adja entes) ou

G

não ontém nenhuma de tais arestas (e os módulos são hamados não-adja entes). Se

ambos os módulos inter eptam-se, mas nenhum ontém o outro, diz-se que os módulos

são sobrepostos e, neste aso, osseguintes onjuntos também são módulos de

G

:

X \ Y

,

Y \ X

,

X ∩ Y

,

X ∪ Y

e

(X ∪ Y ) \ (X ∩ Y )

.

(a)Doismódulosfortes. (b)Doismódulos nãofortes. Figura2.2: Módulos fortes e não fortes num grafo.

de omposição modular, diz-se que um módulo

M

de um grafo

G

é forte se, para todo

módulo

P

de

G

, ou

P ∩ M = ∅

, ou

P ⊆ M

ou

M ⊆ P

. Observa-se na Figura 2.2dois

módulos fortes no item (a)e dois módulos sobrepostos (não fortes) para o mesmo grafo

em (b). Para veri ar tal armação, note que o grafo não possui outros módulos além

dos desta ados nagura edos módulos triviais.

Dene-seumapartição de ongruên ia

P

omoumapartiçãodosvérti esde umgrafo

G

de forma que ada parte é um módulo de

G

. Desta forma, omo todas as partes de

P

são módulos dois a dois disjuntos, pelo exposto a ima, são dois a dois adja entes ou não-adja entes. Representa-se a relaçãode adja ên iaentre as partesde

P

porum grafo denominado grafoquo iente, denido a seguir.

Dado um grafo

G

e uma partição de ongruên ia

P = {M

1

, M

2

, . . . , M

k

}

para

G

, o grafo quo iente de

G

em relação a

P

é o grafo

G|P

dado por

V (G|P) = {M

1

, M

2

, . . . ,

M

k

}

e

E(G|P) = {{M

i

, M

j

} : M

i

, M

j

∈ P

,

M

i

e

M

j

adja entes em

G}

. Não será feita distinção na notação entre um vérti e de

G|P

e a orrespondente parte de

P

, de forma

que um vérti e de

G|P

será tomado omo módulo de

G

e vi e-versa, quando abível.

Para fa ilidade de notação, o grafo quo iente pode ser denotado sem a denição de

P

, omo

G|{M

1

, M

2

, . . . , M

k

}

e, neste aso, podem ser omitidos os módulos unitários. Na Figura 2.3 estão representadas duas partições de ongruên ia domesmo grafo, om seus respe tivos grafosquo iente.

Nota-se também que o grafo

G[X]

é isomorfo ao grafo quo iente

G|P

se

X = {v

1

,

v

2

, . . . , v

k

}

e

v

i

∈ M

i

,

1 ≤ i ≤ k

. Além disso, denominam-se fatores, os subgrafos induzidos por ada módulo ontido em

P

em

G

.

Quando, para um grafo

G

, todos os módulos de uma partição de ongruên ia

P

são

fortes, então pode-se ara terizar todos os módulos de

G

a partir do grafo quo iente e

dos grafos fatores. Um onjunto

M ⊆ V (G)

é um módulo de

G

se, e somente se,

M

(a)Umgrafoeuma desuas par-tiçõesde ongruên ia.

(b) Outra partição de ongruên- ia domesmografo.

( ) O grafo quo iente da partiçãoem(a).

(d) O grafo quo iente da partiçãoem(b).

Figura2.3: Um grafoe duas de suas partiçõesde ongruên ia.

2.3 De omposição Modular

Pode-se de ompor os módulos de um grafo

G

usando partições de ongruên ia e então

de ompornovamente ada grafofator,emsu essão, atéque todos osgrafosfatoressejam grafos triviais. Esta de omposição pode ser representada omo uma árvore, ujos nós orrespondem a módulos de

G

. A raiz da árvore orresponde ao módulo trivial

V (G)

e os lhos de ada nó orrespondem àspartes de uma partiçãode ongruên ia dosubgrafo induzido pelomódulo asso iado àquele nó.

Como visto, se forem usadas para tal de omposição partições de ongruên ia ujas partes sejammódulos fortes, om auxíliodos grafosquo iente de ada partição,pode-se obter todos osmódulos do grafo. Contudo,é interessante restringirainda mais o tipode partiçãoutilizada,poispartiçõesemmódulosfortesnão sãoúni as(naFigura2.3asduas partiçõesexibidas para ografo ontêm apenas módulos fortes) e podem ser degeneradas, omo partiçõesnasquais adaparteéformada porumvérti edografo. Alémdisso, seria ne essário identi armódulosnosgrafosquo ientes paradeterminarosmódulosdografo.

A de omposição modular de um grafo é denida omo a de omposição re ursiva do

onjunto de vérti es do grafo em módulos fortes maximais próprios. Um módulo é um

módulo fortemaximal próprio seé ummódulo maximalentre osmódulos fortes dografo, ex luindo o próprio onjunto de vérti es do grafo. A árvore que representa esta

(a)Ografousadonasguras2.3(a)e(b) . (b)Ade omposiçãomodulardografo(a) . Os nós foram mar ados om os módulos fortes asso iados.

Figura 2.4: Umaárvore de de omposição modular.

Como a partição dos vérti es de um grafo em módulos fortes maximais próprios é

úni a, também é úni a a árvore de de omposição modular de um grafo. Além disso, a

árvore de de omposiçãomodularde um grafo ontém um nópara ada móduloforte. Ou

seja, outra maneira teóri a de onstruir a árvore é en ontrar todos os módulos fortes de

um grafo, riar um nó para ada um deles e então denir omo pai de um nó o menor

móduloforte queo ontém.

Além disso, asso ia-se a ada nó da árvore de de omposição modular, um grafo quo- iente determinado pela partição de ongruên ia usada no nó e pelo subgrafo induzido pelo módulo representado. De a ordo om a ondição satisfeita pelo grafo quo iente, rotula-se ada nó interno da árvore de de omposição modular. Se o grafo quo iente for ompleto, o nó é hamado de serial e é rotulado om S; se não ontiver arestas, o nó é hamado de paralelo e é rotulado om P; e se for primo, é hamado de vizinhança e

é rotulado om N. Os nós rotulados omo paralelos ou seriais também são onhe idos

omo degenerados enquanto os rotulados omo vizinhança são onhe idos também por

primos. A Figura 2.5exibea árvore de de omposição modular previamente apresentada na Figura2.4,adi ionando osrótulos dos nós internos.

Noteaindaarelaçãoqueexisteentre osubgrafo

H

induzidopelomódulorepresentado num nó da árvore de de omposição modular e o tipo do nó. Se o tipo do nó for serial, então o grafoquo iente orrespondenteé ompleto omdois oumaisvérti ese, portanto, seu omplemento é des onexo, por onseguinte

H

é des onexo; se for paralelo, então o grafoquo iente orrespondentenãopossuiarestasmaspossuidoisoumaisvérti es,sendo, portanto, des onexo e, onsequentemente,

H

também é des onexo; e se for vizinhança,

H

e

H

são onexos uma vez que o grafo quo iente orrespondente ao nó é onexo e seu

omplementotambémoé.

Figura 2.5: Árvore de de omposição modular rotulada.

de de omposição modular

T

. Ou seja,

M

é um módulo de

G

se, e somente se,

M

é um

nó de

T

ou

M

é aunião de lhos de um nódegenerado de

T

.

2.4 Classes de grafos

Nestaseçãoserãoestudadasalgumas lassesquepodemserdenidasemtermosda de om-posiçãomodular de seusgrafos, embora, a prin ípio,muitasdelas tenhamsidoestudadas sem auxílio desta poderosa ferramenta. O uso dade omposição modular emtais lasses desta a-se por propor ionar soluções lineares ou polinomiais para problemas que, para grafos emgeral, são NP- ompletos ouainda indeterminados, omo o isomorsmo.

Todas as lasses de grafosavaliadasnesta seçãosão onhe idas omo lassesde grafos ompou os

P

4

's. Istoporqueestas lassesrestringemapresençade

P

4

induzidosemseus grafos, oquelimita,de ertaforma,adensidade lo aldestessubgrafos. Alémdisso,todas estas lasses possuem ara terizaçõesinteressantes expressas emtermos de propriedades da árvore de de omposição modular de seus grafos.

A Figura 2.6 exibe lasses de grafos nesta ondição e a relação de ontinên ia entre elas. Emseguida,algumasnotaçõessão introduzidase, então, algumasdestas lassessão denidas e ara terizadas.

Entre as lasses de grafos om pou os

P

4

's, pode-se dar mais ênfase as lasses P

4

- arregada e P

4

- arregada estendida. Giakoumakis[31℄ introduziuestas lasses etambém

mostrou que problemas omo i lo máximo, oloração de vérti es e lique máxima são

resolvidos emtempolinear paraosgrafosdestas lasses. A lasseP

4

- arregada estendida ontém muitas lasses bem estudadas, tais omo P

4

- arregada e P

4

-arrumada, que por sua vez, ontém as lasses P

4

-leve, P

4

-extensível, P

4

-esparsa e ografos [32℄. Cada uma

destas sub lasses possuem apli ações espe í as. Por exemplo, o número de dispersão

(s attering number)eemparelhamentomáximosão resolvidosemtempolinear emgrafos da lasse P

4

-arrumada [32, 30℄.

Figura2.6: Diagrama de Hasse das lasses, adaptado de [32℄.

Asrestriçõesqueversamsobreestas lassesdegrafoslimitamao orrên iadesubgrafos induzidos isomorfosao

P

4

eorela ionamentoqueestes subgrafosmantêm entre siou om os demaisvérti esdografo. Dadaaimportân iado

P

4

para tais lasses,são introduzidas abaixo algumasnotações quefa ilitarão ouso destes on eitos.

Dado um grafo

G

e um inteiro

n > 1

, dene-se

P

n

(G) = {P ⊆ V (G) : G[P ] ≃ P

n

}

. Em espe ial,

P

4

(G)

ontém todos os onjuntos de quatro vérti es que induzem em

G

um grafo isomorfo ao

P

4

.

Considere um grafo

G

para o qual existem

P ∈ P

4

(G)

e

v ∈ V (G) \ P

. Tome seu subgrafo

H = G[P ∪ {v}]

. Se

|P

4

(H)| ≥ 2

, então o vérti e

v

é hamado de par eiro de

P

em

G

edenota-se por

R(G, P )

o onjuntode todososvérti espar eiros de

P

em

G

. Note que, neste aso,

H

éisomorfoaumdos grafos

Z

1

a

Z

7

daFigura2.7. Caso ontrário,

H

é isomorfo a algum dos grafosdos asos

I

,

U

e

B

damesma gura,nos quais

|P

4

(H)| = 1

. A seguir serão estudadas algumas lasses om pou os

P

4

. Os ografos, grafos P

4

-esparsos, grafos P

4

-leves e grafos P

4

- arregados são detalhados nas seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e 2.4.4. As lasses P

4

-esparsaestendida, P

4

-arrumadae P

4

- arregadaestendida são

Figura 2.7: Grafos de in o vérti es om um

P

4

induzido (por

{a, b, c, d}

) e um vérti e adi ional (

v

). Os grafos

Z

1

a

Z

7

possuem ao menos outro

P

4

induzido no mesmo grafo, desta ado por vérti es vazados, de formaque, nestes grafos,

v

é par eirodo

P

4

induzido por

{a, b, c, d}

.

2.4.1 Cografos

A lasse dos ografos (do inglês ograph) foi denida por vários autores em trabalhos independentese,assim,apare eunaliteratura omváriossinnimos,entreeles,

D

∗

-grafos, grafos

P

4

restritoseHD-grafos. Contudo, aprimeiradenição da lasse[53℄ é re ursivae denominaumgrafosimplespor ografo seomesmosatiszerumadasseguintes ondições:

•

Possuir um úni o vérti e; ou

•

seu omplemento forum ografo; ou

•

for a união disjuntade dois ografos(veja 2.1).

Da própria denição segue que pode-se de ompor qualquer ografo até seus vérti es

isolados, alternadamente tomandoseus omponentes onexos e omplementando-os.

Vê-sefa ilmentequeestade omposiçãoéúni aepodeser representada omoumaárvorena qualos nós orrespondemàsduas operaçõesusadase asfolhas orrespondemaos vérti es

do grafo. Contudo, esta árvore de de omposição ontém nós om um úni o lho, da

operaçãode omplemento,que emseguida serão divididosem seus omponentes.

Ao aglutinar estas duas operações, dene-se a o-árvore omo a árvore de

de om-posição de ografos em subgrafos induzidos pelos vérti es dos omponentes onexos do grafo (rótulo 0 para operação de união) ou pelos vérti es dos omponentes onexos do

omplemento dografo (rótulo1 para operação join). Um exemplode um ografo e sua

o-árvore estão naFigura2.8.

A o-árvore e a árvore de de omposição modular de um ografo são isomorfas e seus rótulos são orrespondentes, ou seja, os rótulos 0 e 1 da o-árvore orrespondem aos rótulosparaleloeserialdaárvoredede omposiçãomodular,respe tivamente(estarelação podeservistanaFigura2.8). Comisso,os ografossãoosúni osgrafos ujade omposição modularnão ontém nós dotipo vizinhança.

Pode-se re onstruir um ografo a partir de seus vérti es usando a o-árvore eas ope-rações de união e join. O grafo orrespondente a um nó de rótulo

0

(

1

) é obtido pela união (join) dos grafos orrespondentes aos lhos destenó na o-árvore.

As adja ên ias entre vérti es de um ografo são expressas na sua o-árvore, uma vez

que dois vérti es de um ografo são vizinhos se, e somente se, o an estral omum a

ambos, mais distante daraiz, é um nó rotulado1. Já que exibira o-árvore é su iente para des rever o ografo, a hereditariedadeda lasse (veja 2.1) é provada mostrando que dado um ografo

G

e sua o-árvore

T

, ao remover um vérti e de

G

é possível adaptar

T

para representar onovo grafo.

(a)Um ografo. (b)Co-árvorede(a). ( )De omposiçãomodularde(a). Figura2.8: Um ografo esuas de omposições.

Apesardos ografosteremsidointroduzidosporLer hs[53℄,tambémforamestudados independentemente porvários pesquisadores, resultando em uma riqueza de ara teriza-ções, das quais desta amos a seguinte [21℄: um grafo

G

é um ografo se, e somente se, não possuir subgrafos induzidos isomorfosao

P

4

.

Também é onhe ido um algoritmo linear para onstrução da o-árvore e

re onhe- imento da lasse [22℄, anterior aos algoritmos lineares de de omposição modular (para

grafos gerais), que também podem ser usados para este m, sendo, porém, muito mais

omplexos.

2.4.2 P

4

-esparsa

Esta lasse de grafos foi introduzidapor Hoàng em sua dissertação de mestrado [42℄, na qualforne eualgumas ara terizaçõesequivalentesemostrouqueestesgrafossãoperfeitos (veja 2.1) e perfeitamenteordenáveis (veja 2.1).

Um grafo

G

perten e à lasse P

4

-esparsa (do inglês

P

4

-sparse) se, todo subgrafo

H

induzido em

G

, om in o vérti es, satiszer

|P

4

(H)| ≤ 1

, ou, de forma equivalente, se para todo

P ∈ P

4

(G)

, tem-se que

R(G, P ) = ∅

. A seguir, examina-se uma família de grafosespe iais paraesta lasseeentão introduz-sealgumas ara terizaçõesequivalentes.

Um grafo

G

é uma aranha (do inglês spider) se

V (G)

pode ser parti ionado em

onjuntos

K

,

S

e

R

de formaque:

• K

éuma lique,

S

é um onjuntoindependentee

|K| = |S| ≥ 2

;

•

Existe uma bijeção

b : K → S

talque:



∀k ∈ K, N

G

(k) ∩ S = {b(k)}

, aso emque

G

é hamado de aranha magra; ou 

∀k ∈ K, N

G

(k) ∩ S = S \ {b(k)}

, aso emque

G

é hamado de aranha gorda.

(a)Umaaranhamagra om

|K| = 4

e

|R| = 1

.

(b)Umaaranhagorda om

|K| = 3

e

|R| = 2

.

Figura 2.9: Aranhas gorda emagra.

• ∀r ∈ R, (K ⊆ N

G

(r))

e

(N

G

(r) ∩ S) = ∅

.

A partição dos vérti es de uma aranha segundo a denição a ima será representada omo

(K, S, R)

ereferida omopartição anni a ousimplesmentepartição. Estapartição está bemdenida, umavez queéúni a. AFigura2.9 ontémexemplosde aranhasgordas e magras. Vérti es vazados perten em à

K

, vérti es negros perten em à

S

e os vérti es em tom inza à

R

.

Noteque, qualquer subgrafo isomorfoao

P

4

emuma aranhaestá ontido nosubgrafo

G[R]

ou no subgrafo

G[K ∪ S]

e, neste último aso, seus extremos (vérti es de grau

1

) estão em

S

e os vérti es internos em

K

.

A de omposição modular de uma aranha tem omo raiz um nó vizinhança. Além

disso, todos os vérti es em

K

e

S

são módulos fortes triviais,lhos daraiz, e

R

, quando existir, será um módulo forterepresentado poroutro lho daraiz.

Giakoumakis eVanherpe propuserampara esta lasse uma ara terização rela ionada

a de omposição modular das aranhas.

Teorema 2.2 ([33℄). Um grafo

G

perten e à lasse P

4

-esparsa se, e somente se, para todo nó vizinhança de sua árvore de de omposição modular, seu grafo quo iente for iso-morfo aumaaranhaeseus fatores forem todosgrafostriviais, ex etopossivelmenteaquele orrespondente ao onjunto

R

, da partição anni a

(K, S, R)

do grafo quo iente.

Em outra ara terização, por restrições lo ais, as aranhas apresentam papel impor-tante.

Teorema 2.3 ([46℄). Um grafo

G

é um grafo P

4

-esparso se, e somente se, todo subgrafo

H

induzido em

G

, om ao menos dois vérti es,satisfaz uma das seguintes armações:

• H

é des onexo;

• H

é des onexo;

( ) Umgrafoda lasseP

4

-leve. (d)Ade omposiçãomodulardo grafoem( ) .

Figura2.10: Umgrafo da lasse P

4

-levee sua de omposição modular.

A lasse também possui uma ara terização por subgrafos proibidos, assim omo os ografos, dada abaixo.

Lema2.4([46℄). Umgrafo

G

éumgrafoP

4

-esparsose,esomentese,não ontémnenhum subgrafo induzido isomorfo a qualquer dos grafos

{Z

1

, Z

2

, . . . , Z

7

}

da Figura 2.7.

2.4.3 P

4

-leve

Esta lasse foi introduzida por Jamison e Olariu ([44℄) (neste denominada

P

4

-lite) e ontémtodografo

G

ujossubgrafosinduzidosdeatéseisvérti espossuemnomáximodois

P

4

induzidosousão isomorfosaografo

H

ouaografo

H

daFigura2.10(que possuemseis vérti es e três subgrafos isomorfos ao

P

4

). A mesma gura ontém um exemplo de grafo da lasse, embora o re onhe imento destes grafos que mais laro após a ara terização dada aseguir.

Umapseudo-aranha (do inglês pseudo-spider) é um grafo obtidode uma aranhade

partição anni a

(K, S, R)

,substituindo um vérti e

v

ontido em

K ∪ S

por um par de novos vérti es,

v

′

e

v

′′

, e fazendo ambos adja entes aos mesmos vérti es aos quais

v

era adja ente. Osnovosvérti espodemserounãoadja entes. Apartição anni ada pseudo-aranha é obtida dapartição anni a da aranha, removendo o vérti e

v

de seu onjunto e adi ionando,aomesmo,o parde novos vérti es,

v

′

e

v

′′

omo raiz um nóvizinhança, ujo grafoquo iente éuma aranha.

Combase notrabalhode Giakoumakis etal.[32℄, tem-seuma ara terização onstru-tivadestes grafos.

Teorema 2.5 ([32℄). Um grafo

G

é um grafo P

4

-leve se, e somente se, todo subgrafo

H

induzido em

G

, om ao menos dois vérti es, satisfaz uma das seguintes armações:

• H

é des onexo;

• H

é des onexo;

• H

é isomorfo a uma aranha;

• H

é isomorfo a uma pseudo-aranha; ou

• H

é isomorfo a

P

5

ou a

P

5

.

Nomesmotrabalhoé apresentado um algoritmode re onhe imentolinearbaseado na árvore de de omposiçãomodular,doqual obtém-se outra ara terização para a lasse: Teorema 2.6([32℄). Umgrafo

G

perten eà lasse P

4

-levese,e somente se,para todonó vizinhança desua árvorede de omposiçãomodular,seu grafo quo iente éisomorfo ao

P

5

, ao

P

5

ou a umaaranha (vide Seção 2.4.2) e seus fatores são todos grafostriviais, ex eto quando ografo quo iente forisomorfo a umaaranha, aso emque o fator orrespondente ao onjunto

R

da partição anni a do grafo quo iente não tem restrições adi ionais e mais um fator ( orrespondente a um vérti e de

K

ou

S

) pode possuir doisvérti es.

Éfá ilnotarqueesta lasse ontém todososgrafosP

4

-esparsos. Ainda, mostra-seque os grafosda lasse são brittle [44℄ (veja 2.1) e, portanto,perfeitamente ordenáveis.

2.4.4 P

4

- arregada

Giakoumakis introduziu a lasse P

4

- arregada (do inglês

P

4

-laden [31℄) omo ontendo todo grafo ujos subgrafos induzidos om até seis vérti es ontém no máximo dois

P

4

induzidos distintos ousão grafos split.

Uma vez que os grafos

H

e

H

da Figura 2.10 são asos espe iais de grafos split,

veri a-se trivialmentequeesta lasse ontém propriamentea lasseP

4

-leve. Alémdisso,

foi dada uma ara terização da lasse segundo sua de omposição modular, para a qual

introduz-se a seguinte notação: seja

G

um grafo split e

{K, S}

uma partição de seus vérti es em uma lique e um onjunto independente. Denotam-se, por

S(G)

, o sub on-juntode

S

formadoporvérti esquenão sãovizinhos depelomenosum vérti eem

K

,ou seja,

S(G) = {s ∈ S : N

G

(s) ( K}

; por

K(G)

, a vizinhança de

S(G)

(que está ontida em

K

),isto é,

K(G) = N

G

(S(G))

epor

R(G)

, osdemais vérti es de

G

.

•

a um grafo split

G

e os fatores orrespondentes aos vérti es em

S(G)

forem on-juntos independentes e os orrespondentes aos vérti es em

K(G)

forem liques. Desta ara terização, também deriva-se a ara terização onstrutiva. Para tal, se

um grafo

H

é formado a partir de um split

G

om uma partição split

(K, S)

pela

substituição de vérti es em

R(G)

por subgrafos quaisquer, então

H

é hamado um grafo

pseudo-split.

Teorema 2.8. Um grafo

G

é um grafo P

4

- arregado se, e somente se, todo subgrafo

H

induzido em

G

, om ao menos dois vérti es, satisfaz uma das seguintes armações:

• H

é des onexo;

• H

é des onexo;

• H

é isomorfo a uma pseudo-aranha;

• H

é isomorfo a

P

5

ou a

P

5

; ou

• H

é um grafo pseudo-split (in lui as aranhas).

Notrabalhoemquefoidenida,tambémfoiapresentadoum algoritmolinearde re o-nhe imentoda lassequevalidaos ritériosdenidosnoTeorema2.7. Outra ara terísti a interessanteda lasse é queseus grafossão brittle, aexemplo de sua sub lasse P

4

-leve.

Na Figura 2.11 está exposto um grafo da lasse e sua de omposição modular. Note

em ( ) que ografo quo iente donó de rótulo vizinhançaé um grafo split, pois pode-se parti ionar seus vérti es na lique

{b, d, e}

eno onjuntoindependente

{a, c, f }

. O úni o fatornão trivialéo onjuntoindependente

{a

′

_{, a}

′′

_}

,que orresponde aovérti e

a

dografo quo iente, perten entea

S(G)

.

(a)Umgrafoda lasse. (b)Suade omposiçãomodular. ( )Oquo ientedonóraizde(b). Figura2.11: Um grafoda lasseP

4

- arregada.

2.4.5 Extensões

As lassesde grafosP

4

-esparsa,P

4

-leveeP

4

- arregada,des ritasanteriormente,foram es-tendidas através de um método omum, produzindo as lasses P

4

-esparsaestendida [33℄, P

4

-arrumada [32℄ (do inglês

P

4

-tidy) e P

4

- arregada estendida [31℄. O método usado onsiste em permitir que grafos das lasses estendidas possuam subgrafos induzidos iso-morfos ao

C

5

. Destaforma,estas lasses podemser ara terizadas onstrutivamente, om base na ara terização da lassequefoi estendida,bastando permitiro

C

5

omosubgrafo

induzido. A ara terização pelade omposição modular tambémpode ser obtida,

permi-tindo que qualquer nó vizinhança de um grafo de uma destas lasses tenha omo grafo

4

demonstra-se que para qualquer grafo da lasse P

4

- arregada estendida, o número de se-paradores minimais do grafo e a soma da ardinalidade de todos estes separadores são limitadosporfunçõeslinearesnotamanhodografo. Alémdisso,sãodadoslimitantes dife-ren iados ejustos paraa lasseP

4

- arregadaestendidaeparaalgumasde suassub lasses: P

4

- arregada,P

4

-arrumada e P

4

-leve.

3.1 Introdução

Umseparador éum onjuntode vérti esde umgrafotalque,aoseremremovidos, obtém-se um grafo des onexo (note que o onjunto

∅

é um separador de qualquer grafo

des o-nexo). Um separador também é onhe ido omo orte de vérti es. Dados dois vérti es

distintos do grafo,

a

e

b

, um separador é dito

ab

-separador se, ao remover seus vérti es do grafo, não existe mais aminho entre

a

e

b

, ou seja,

a

e

b

 aram em omponentes onexos distintos dografo resultante. Um

ab

-separador minimal é um

ab

-separador que

não ontém propriamente nenhum outro

ab

-separador do grafo. Por m, um separador

minimal de um grafo é um

ab

-separador minimal, para algum par de vérti es

a

e

b

do

grafo. O Problema dos Separadores Minimais (PSM) onsiste em determinar todos os

separadores minimais de um grafo.

Como ilustração destes on eitos, onsidere os grafos na Figura 3.1. No aso (a), os separadoresminimaisdografosãoos onjuntos

{a, c, e}

,

{b, c, d}

,

{e}

,

{f, g}

e

{e, h}

. Note

que o onjunto destes separadores não é minimal. Contudo, ada separador é minimal

o aso (b) ilustra uma família innita de grafos para os quais o número de separadores minimais é exponen ial no tamanho do grafo. Isto é fá il de ver, onsiderando que os

ab

-separadores minimais são onjuntos

{s

1

, s

2

, . . . , s

n

}

nos quais

s

i

= x

i

ou

s

i

= y

i

, para todo

1 ≤ i ≤ n

. Logo, há, pelo menos,

2

n

separadores minimais num grafo om

2n + 2

vérti es e

3n

arestas.

(a) (b)

Figura3.1: Grafos usadospara exempli ar o on eito de separadoresminimais.

Os separadores minimaisde um grafo rela ionam-sea outros on eitos emteoria dos grafos, omoporexemploatriangularizaçãomínima[59, 41℄,bem omosãoutilizadosem algoritmosparavariadosproblemas, omovariaçõesdoProblemadaFilogeniaPerfeita[37, 38℄. Alémdisso,Bou hittéeTodin a[9,10℄mostraramqueotreewidth eopreen himento

mínimo podem ser omputadosem tempopolinomialemqualquer lasse de grafos ujos

separadores minimais forem limitados polinomialmente no tamanho do grafo. Note que

ambososproblemassão asos espe iaisde triangularizaçõesesão NP-Difí eisparagrafos arbitrários [2, 73℄. Bodlaender eRoti s usaram até ni a dade omposição modular para mostrarqueseosgrafosprimosobtidosnade omposiçãopossuíremumnúmeropolinomial

de separadores minimais, então os problemas a ima itados são resolvidos em tempo

polinomial. Osautorestambémdemonstraramque estesproblemas podemser resolvidos

em tempopolinomialemalgumas lassesespe iaisde grafos omum númeroexponen ial de separadores minimais[8℄.

Aliteratura ientí a ontém umasériede algoritmosparalistartodososseparadores minimaisde umgrafo. Oprimeirodeles,de KlokseKrats h, tem omplexidadetemporal

O(n

5

_R)

[51℄, no qual

R

é o número de separadores minimais do grafo. Em 2000, Berry

et al. [5℄ publi aram um algoritmo de omplexidade temporal

O(n

3

_R)

. Convém notar

que os grafos fra amente ordais, ordais, trapezoidais e de permutação possuem um

númeropolinomialde separadoresminimais(vejarevisõesem[58,51℄). Embora osgrafos fra amente ordais ontenhamtantoosgrafos ordais omoosP

4

- arregados,onúmerode separadoresminimaisdegrafos ordaisé

O(n)

[66℄enquantoqueparaosgrafosfra amente ordais é

O(n + m)

[6℄. Além disso, existem algoritmos para en ontrar os separadores

de separadores minimaisé

O(n)

. Ambos resultados são melhorias emrelação aos grafos fra amente ordais, uma super lasseda P

4

- arregada.

NaSeção3.2serãodes ritos osresultados onhe idospara oPSMrestritoà lasseP

4

-esparsa. Já na Seção 3.3a té ni autilizada para a lasse P

4

-esparsaé generalizada para grafos arbitrários através da de omposição modular. Na Seção 3.4 são ara terizados os separadoresminimaisdegrafosda lasseP

4

- arregadaestendida. Limitantesnonúmeroe tamanho destes separadoresminimaissão dadosnaSeção3.5. NaSeção3.6oslimitantes dados são demonstrados justos. Finalmente, as on lusões deste trabalho são resumidas na Seção 3.7.

No restante deste apítulo as seguintes notações serão utilizadas:

λ(G)

represen-tará o onjunto de todos os separadores minimais de um grafo

G

,

l

G

= |λ(G)|

e

s

G

=

P

X∈λ(G)

|X|

. Osdoisúltimosparâmetrosrepresentamonúmeroeotamanhodades rição de todos os separadores minimaisde um grafo.

3.2 Classe P

4

-esparsa

Nesta seção des revem-se osresultados jápubli ados porNikolopoulosePalios[58℄ sobre os separadores minimaisde grafos P

4

-esparsa. Taisresultados ompreendem a des rição dos separadores minimaisde alguns tiposde grafose suas omposições.

Um grafo da lasse P

4

-esparsa é um grafo união, join ou uma aranha e todos seus subgrafos induzidos também satisfazem esta ondição. Assim, ao tratar estes três a-sos, pode-se omputar todos os separadores minimais da lasse. Este estudo foi feito e ulminou noseguinte resultado.

Lema 3.1 (Nikolopoulos e Palios[58℄). Considere um grafo

G

.

•

Se

G

é des onexo e

B

1

, B

2

, . . . , B

p

,

p ≥ 2

, são seus omponentes onexos, então

λ(G) = {∅} ∪

S

p

i=1

λ(B

i

)

.

•

Se

G

é des onexo e

B

1

, B

2

, . . . , B

p

,

p ≥ 2

, são os omplementos dos omponentes onexos de

G

, então

T ∈ λ(G)

se, e somente se,

T = T

i

∪ (V (G) \ V (B

i

))

e

T

i

∈ λ(B

i

)

.

•

Se

G

é uma aranha om partição

(K, S, R)

então

T ∈ λ(G)

se, e somente, se



T = K ∪ T

H

e

T

H

∈ λ(H)

, sendo

H = G[R]

; ou 

T = {v}, v ∈ K

e

G

é uma aranha magra; ou 

T = K \ {v}, v ∈ K

e

G

é uma aranha gorda.

Para ilustrar os separadores minimais de grafos união e join, dados pelo Lema 3.1,

onsidere a Figura 3.2. O grafo união do item (a) tem omo separadores minimais os

onjuntos

∅

(

b

1

c

1

-separador minimal)e

{a

2

}

(

a

1

a

3

-separador minimal),que são os sepa-radoresminimaisde adaoperando,alémdo onjuntovazio. Jánoitem3.2b,apresenta-se um grafo join tal que

B

1

= {a

1

, a

2

, a

3

, a

4

}

e

B

2

= {b

1

, b

2

}

. Este grafo tem omo sepa-radores minimaiso onjunto

{a

1

, a

2

, a

3

, a

4

}

, queé aunião do onjunto

∅

(

b

1

b

2

-separador minimal) om

B

1

, e os onjuntos

{a

2

, b

1

, b

2

}

e

{a

3

, b

1

, b

2

}

, obtidos unindo

B

2

om os separadores minimais de

G[B

1

]

,

{a

2

}

e

{a

3

}

,respe tivamente.

(a)Umgrafounião. (b)Umgrafojoin.

Figura 3.2: Grafosunião ejoin para exemplo de separadores minimais.

Além disso, na Figura 3.3 há exemplos de aranhas, ujos separadores minimais são dados, também, pelo Lema 3.1. No item (a), os separadores minimais são

{k

1

}

,

{k

2

}

e

{k

3

}

(dados pelas vizinhanças dos vérti es em

S

) e o separador

{h

2

, k

1

, k

2

, k

3

}

obtido unindo

K

ao separador minimal

{h

2

}

, de

G[R]

, onde

R = {h

1

, h

2

, h

3

}

. A aranha do item (b) tem omo separadores minimais os onjuntos

{k

1

, k

2

}

,

{k

1

, k

3

}

e

{k

2

, k

3

}

, que são osvizinhos de ada vérti e em

S

, já que

R = ∅

.

3.3 Apli ação da De omposição Modular

Observa-se que a des rição dos separadores minimais obtida por Nikolopoulos e Palios,

dada no Lema 3.1, é dividida em três asos: grafos união, join e aranhas. Em ada

um destes asos, aárvore de de omposição modular dografo tem um nó raiz om rótulo distinto: paralelo, serial ou vizinhança, respe tivamente. Ainda mais, ao onsiderar o grafoquo ientedonóraiz, eleserá um grafosem arestas, ompleto ouumaaranhaprima (tal que

|R| ≤ 1

). Os dois primeiros são os úni os asos de grafosquo ientes não primos emuma árvore de de omposiçãomodular,enquantooter eirotipoéum aso espe ial de nó vizinhança.

A relação entre os grafos onsiderados no Lema 3.1 e propriedades das suas árvores

de de omposição modular motivouo estudo da ara terização dos separadores minimais

em situações mais gerais. A seguir, a questão será abordada para um grafo

H

qualquer, obtendo os separadores minimais deste grafoa partir dos separadores minimais dografo induzido por módulos de

H

e dos separadores minimais do respe tivo grafo quo iente,

obtido ontraindo tais módulos a um vérti e. Note que, se o grafo

H

não possuir um

módulonão-trivial( ompelomenos doise nomáximo

|V (H)| − 1

vérti es), entãoo lema abaixo não adi ionainformaçõessobre osseparadores minimaisde

H

.

Teorema 3.3. Seja

H

um grafo,

M

1

,

M

2

,

. . .

,

M

p

um onjunto de módulos de

H

, dois a dois disjuntos e tais que sua união forma

V (H)

(eles são uma partição de

V (H)

em módulos), e

G = H|{M

1

, M

2

, . . . , M

p

}

. Seja

v

i

,

1 ≤ i ≤ p

, o vérti e de

G

representante do módulo

M

i

de

H

. Então,

T

é um separador minimal de

H

se, e somente se:

• T = T

′

_∪

S

v

k

∈N

G

(v

i

)

M

k

se

T

′

é um separador minimal de

H[M

i

]

; ou

• T =

S

v

k

∈T

′

M

k

e

T

′

é um separador minimal de

G

.

Demonstração. Com oobjetivode determinar os separadoresminimais de

H

, serão exa-minadosospares de vérti esnão adja entes

{a, b}

. Se

a

e

b

perten em aomesmomódulo

M

i

, é fá il per eber que

T = T

′

_{∪ (}

S

v

k

∈N

G

(v

i

)

M

k

)

somentese,

T

′

éumseparador minimalde

H[M

i

]

. De fato,umavez que

M

i

éum módulo de

H

, os vérti es de qualquer

M

k

, tal que

v

k

∈ N

g

(v

i

)

, são todos adja entes a todos os vérti es de

M

i

e, portanto,

T

é um

{a, b}

-separador de

H

se, e somente se,

T

′

é um

ab

-separador de

H[M

i

]

. Alémdisso, a minimalidadede

T

segue daminimalidade de

T

′

. Se

a

e

b

perten erem a módulos distintos,

M

i

e

M

j

, onsidere o grafo ontraído

G

.

Para ada aminho

P

de

a

a

b

em

G

, existe em

H

um onjunto de aminhos obtidos de

P

pela substituiçãode ada vérti es

V

x

de

P

porqualquer outro vérti e

v

y

de

M

x

. Logo,

a remoção de

T =

S

v

k

∈T

′

M

k

des one ta

a

de

b

em

H

se, e somente se, a remoção de

T

′

des one ta

v

i

e

v

j

em

G

. Além disso, a minimalidade de

T

segue da minimalidade de

T

′

. Por m, observa-se que se

T

é um

ab

-separador minimal de

H

, então

T

também é um separador minimal om respeito a qualquer outro par de vérti es

x

e

y

,

x ∈ M

i

e

y ∈ M

j

.

A Figura 3.4 exempli a a onstrução dos separadores minimais de um grafo

H

de

a ordo om o Teorema 3.3. O item (a) representa um separador minimal

S

de

H

que

tambéméseparadorminimaldografo

G

,mostrado em(d) , pois

S

não ontémosvérti es

d

1

e

d

2

. Já o separador minimalapresentado no item (b) é obtido a partir do separador

minimal de

G

dado em (e), substituindo o vérti e

a

pelo módulo

M

. O último aso,

representadopeloitem( ),o orrequandoumseparadorminimalde

H

éformadotomando um separador minimalde

H[M]

(

{b

2

}

) e a res entando os vérti es adja entes a

b

em

G

, onforme (f).

(a) Umseparador minimal disjunto deummódulo. (b) Um separador minimal ontendoummódulo. ( ) Um separador minimal ontendoparte de um mó-dulo. (d) Contração do mó-dulo

M

de(a). (e)Contraçãodo mó-dulo

M

de(b) . (f) Contração do módulo

M

de( ).

ara teriza os separadores minimaisde aranhas não primas a partir dos separadores mi-nimais de aranhasprimas.

OTeorema3.3 forne euma estratégia para omputaros separadoresminimaisde um grafo a partirdasua de omposição modular. Dadoum grafo

G

qualquer esua árvore de de omposiçãomodular,

T

,parti ionam-seosvérti esde

G

emmódulosfortes

M

1

,

M

2

, . . .

,

M

t

,representados pelas subárvores

T

1

, T

2

, . . . T

t

, de

T

,obtidas removendo-sea raiz de

T

. Pela ontração dos módulos

M

1

, M

2

, . . . , M

t

, obtém-se o grafo quo iente

Q

de

G

, ujos

separadores minimaisnão podem ser omputados pelo mesmoalgoritmo (já que

Q

pode

ser primo ou isomorfo a

G

). Já os separadores minimais dos grafos induzidos por ada módulo

M

i

podem ser omputados re ursivamente, uma vez que a ADM de

G[M

i

]

é

T

i

. Então, asimples apli açãodo Teorema3.3produz

λ(G)

.

OAlgoritmo1 omputare ursivamenteosseparadoresminimaisdeumgrafoqualquer usando a estratégia des rita. Relembre que a árvore de de omposição modular

T

de um grafo,bem omoa onstruçãodosgrafosquo ientesasso iadosa adanóinternode

T

pode

ser feita em tempo linear no tamanho de

G

. O Algoritmo 1 apenas exe uta uma bus a

em profundidade na árvore

T

, omputando, para ada nó, os separadores do subgrafo

induzido pelo orrespondente módulo. Logo, o tempo total do algoritmo depende de

s

G

e da omplexidadepara omputar os separadores minimaisdos grafosquo ientes.

3.4 Classe P

4

- arregada estendida

Nesta seção, o PSM será solu ionado para uma super lasse dos grafos P

4

-esparsos, a lasse P

4

- arregadaestendida, denidanaSeção2.4.5. Para tanto,éne essário omputar os separadoresminimaisde todos osgrafosquepodemsurgir omoquo ientes da de om-posiçãomodularde grafosda lasseP

4

- arregadaestendida, ouseja,grafossplit,

C

5

,

P

5

e

P

5

, além dos quo ientes dos grafos união e join, já onsiderados anteriormente. Note que aranhas primassão grafossplit.

Algoritmo 1 Separadoresminimais usandoa de omposição modular(sepmin).

Entrada: Umgrafo

G

e sua ADM,

T

.

Saída:

λ(G)

ontém todos osseparadores minimaisde

G

.

λ(G) ← ∅

Se

|V (G)| ≥ 2

então

Obtenha ografo quo iente

Q

daraiz de

T

Computar

λ(Q)

usando outro algoritmo

Para adaseparador minimal

S ∈ λ(Q)

faça

S

′

_{← ∅}

Para ada vérti e

v

i

∈ S

faça

S

′

_{← S}

′

_{∪ M}

i

Fim Para

λ(G) ← λ(G) ∪ {S

′

_}

Fim Para

Para ada

M

i

faça

λ(G

i

) ←

sepmin(

G

i

,

T

i

)

Para ada separador minimal

S ∈ λ(M

i

)

faça

S

′

_{← S}

Para ada vérti e

v

j

∈ N

Q

(v

i

)

faça

S

′

_{← S}

′

_{∪ M}

j

Fim Para

λ(G) ← λ(G) ∪ {S

′

_}

Fim Para Fim Para Fim Se