Influência da dissipação viscosa na transferência de calor em tubos concêntricos no escoamento turbulento

Luiz Armando Gonzalez da Silva

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL 00 RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OB TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

Martin Schmal Presidente

Leopoldo EurictJdonçalves de Bastos

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JULHO DE 1977

DA SILVA, LUIZ ARMANDO GONZALEZ

Influência

da Dissipação Viscosa na Transferência de Calor em Tubos Concêntricos no Escoamento Turbulento

[Rio de Janeiri] 1977.

VI, 62p., 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Me cânica, 1977) •

Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro - COPPE.

1. Transferência de Calor. I. COPPE/UFRJ II. Título (Série).

Dedico este trabalho a todos àqueles que dele se utilizarem.

AGRADECIMENTO

Agradeço a todas as pessoas que, direta ou indire-tamente colaboraram para que este trabalho fosse concluído.

Lembro de maneira especial a Bia, pelos trabalhos datilográficos, a CAPES, pelo apoio econômico, ' MARTIN SCHMAL, um orientador de verdade, a família de Eduardo Bourdette, pelo apoio psicológico e a meus pais, pela formação que me deram.

SUMÁRIO

Determina-se o perfil de temperatura no escoamento de um fluido Newtoniano, turbulento, através de dois tubos ci

-lindrícos concentrícos considerando a dissipação viscosa. Util! zam-se perfis de velocidade turbulento em camadas distintas

Pª!

tindo das expressões de Deissler e Quarmby. Determinam-se os perfis de difusividade turbulento de quantidade de movimento em camadas distintas segundo Deissler e Quarmby e o perfil de dif~ sividade turbulento de calor segundo Aser e Chao. Resolve-se o sistema numericamente pelo método de Crank-lJicholson.

A influência da dissipação viscosa sobre o perfil de temperatura é bastante pronunciado na região do escoamento turbulento próximo às paredes dos tubos interno e externo e cres cena direção axial.

ABSTRACT

The temperature profile for a turbulent flow, of a newtonian fluid flowing between two concentric tubes has been determined. The velocity profile was based on the Deissler and Quarmby equations for turbulent flows. The momentum difusivity equation for the turbulent flow has been evaluated according to Deissler and Quarmby and the heat difusivity equations and represented according to Aser and Chao. These equations with the corresponding boundary conditions has beem solved employing the numerical method of Crank-Nicholson,

The influence of the dissipation on the temperature profile is pronounced in the turbulent flow in the neighborhood of the inner and outer wall of the tube and increases in the axial direction.

CAPfTULO I

INTRODUÇÃO

CAPfTULO II

fNDICE

...

DIFUSIVIDADE TÉRMICA TURBULENTA

...

CAPfTULO III

PERFIL DE TEMPERATURA

CAPfTULO IV

RESULTADOS

.

.

. .

.

.

...

CAPfTULO V

CONCLUSÕES

...

BIBLIOGRAFIA

...

NOMENCLATURA

...

AP!NDICE

I

...

APl:NDICE

II

.

•

... .

AP!NDICE III

...

Pág.

1 9 16 31 33 34 35 36 42 51

fNDICE DAS FIGURAS:

FIGURA 1 - PERFIL DE VELOCIDADE... 45

FIGURA 2 - PERFIL DE DIFUSIVIDADE TfRMICA •••••••••••••••• 46

CAPfTULO I

INTRODUÇÃO

O escoamento turbulento em tubos concêntricos tem si do objeto de estudo de muitos pesquisadores, tanto teóricos, quan to experimentais.

O perfil de velocidade para o escoamento em tubos con cêntricos que será utilizado neste trabalho, foi desenvolvido e equacionado por Quarmby1, baseado na teoria de Prandtl-von Kàrmànn.

Quarmby aplicou a hipótese de similaridade de von Kãrmãnn em tu-bos cilíndricos concêntricos para descrever a dependência dope~ fil de velocidade, tanto na região interna, quanto na externa do escoamento, tendo como parãmetros o número de Reynolds e a rela-ção entre os raios dos tubos. Estes trabalhos foram feitos para escoamento completamente desenvolvido.

A dependência do perfil de velocidade com estes par~ metros tem sido verificada experimentalmente. A escolha adequada dó perfil de velocidade é fundamental na resolução da equação da energia para a determinação do coeficiente de transferência de calor em tubos cilíndricos concêntricos.

a - Formulação das equaçoes para o perfil de velocidade

Para definir o perfil de velocidade no escoamento tur bulento em dutos, levamos em consideração duas regiões.

A primeira é a região próxima da parede do duto. A preocupaçao em considerar esta região, em separado, deve-se ao fato de ser a presença da parede do tubo tão significativa que modifica o regime do escoamento no caso dele ser

tornando-o laminar.

turbulento,

O perfil de velocidade para esta região

é

deduzido a partir da expressão de Deissle.r2, para a difusividade turbulenta,' ou seja:

(I.

l)

_.•.

onde .!!,

é

um fator de amortecimento que considera o efeito de presença da parede no escoamento turbulento.

A segunda região

é

aquela onde. se dá o escoamento tur bulento perfeitamente caracterizado.

O perfil de velocidade, nesta região, é calculado a partir da hipótese de similaridade de von Kàrmànn, onde a difu-sividade turbulenta é dada por·~

+

· dv

; z

2

sendo

dv+ / d_z 2v _z

R.-.K--2 2

dy dy + 2 .

(I.Za)

o comprimento de mistura de Prandtl.

As velocidades do perfil da subcamada e do escoamento principal, respectivamente, bem como os

respecti-dv+ dv+

z z

vos gradientes - -1 e - -2 são iguais no limite da subcamada. dy+ dy+

A viscosidade molecular µ* e incluída tanto na sub-camada, quanto no escoamento principal e a variação da tensão de

cisalhamento através do duto é considerada.

Através de um balanço de forças num elemento do flui-do obtém-se, para.fluiflui-dos newtonianos, a seguinte relação:

+

T y

= 1 - (I. 3)

onde T representa uma tensão de cisalhamento do escoamento e Tp a tensão de cisalhamento junto ã parede, tanto para o tubo circular, quanto para o canal de placas paralelas. ·Além disso,

T = ( 1 +

E:m)

Tp \1

(I. 4)

é obtido a partir das definições de tensão de cisalhamento no escoamento principal e na subcamada.

inter-nos, corno externos do escoamento anular, sao obtidos a das equações (I.l), (I.2) e (1.4).

b - Perfil interno

partir

Consequentemente para o perfil de velocidade na subca rnada, próximo da parede interna do escoamento anular, vem

+

dv ,/,.

Z 1

--"'-'i = - - - _{(I. 5)}

válida para O < y. + < y + O • , sendo

1 "-1 quando

+

Yi = O.

A parte correspondente ao escoamento principal do peE fil interno, obtido através de (I.2a) e (I.4) é dada por

válida _{para y}

_.e..

+

1 + V

=

V z . 1.1 < + dz + . V z . 21

- - - =

d

_Y·

+2 1 + + + + z -K(dv _{Z •} /dy.) ₁ 21 1 dv; ₂₁ -~T + dy. 1 y. < 1 Ym. ' sendo 1 + _dv+ dv₂ . _z zi 11

=

z . e Zl _dy. + 1 + + Yi = Y.e_. • 1 + dy. 1 (I. 6) quando

c - Perfil externo

Correspondente à parte externa do perfil, podemos de-terminar duas expressões baseados nos mesmos conceitos que per-mitiram descrever o perfil interno.

A parte correspondente

ã

subcamada ~

sera descrita por:

válida para O<+<

Ye Y,t +

e

sendo

(I. 7)

para _Ye +, = O.

A parte correspondente ao escoamento principal dope~ fil externo também é obtida através de (I.2a) e (I.4) resultan-do: d2 + _{+ / +} 2 vz -K(dv z2e dy e) 2e

₌

d +2

,,; J

1

[;'.

2 Ye _{___ 2e} d + Ye (I. 8)

válida para Y,t + < _Ye + < Ym + sendo

e e dv+ dv+ + + z2e z1e V

=

vz1e e

=

z2e _{d + d +} Ye Ye quando _Ye +

₌

_Y,t + e

As relações entre as tensões de cisalhamento nas equ~ çoes (I.S) - (I.8) são substituídas e integradas para a determf nação do perfil de velocidade. Obtém-se essa relação a partir de

um balanço de forças no escoamento em tubos concêntricos, ou se

ja para r. < r < r l. m T T. l. e T = = r. (r2 _{- r}2₎ l. m r (r2 - r~) m l. r (r2 - r2) e m r (r2 - r 2) e m para rm < r < re enquanto = r. (r2 - r2) 1. e m T. r (r2 - r~) 1. e m 1. (I. 9) (I.10)

Necessitam-se, ainda, de outros parâmetros que se e~ centram nas equaçoes (I.S) - (I.8) e suas respectivas condições limítrofes, ou seja: + + y. y

.e..

= ₊ l. ₊ l. _Ym. + _Ym l. e (I.11) + + Ye y

.e.

= _{+ +} e _Ym. + _Ym l. e (I.12) onde + + + Ym. = r _mt

-

r. l. l. ( I.13)

onde e onde r mt + + Ym = r _e

-

r _mt e (I.14) + ITi/p r. = r 1 \) (I.15) ITe/p + r _e = r \) (I.16)

rmt é o raio de velocidade máxima turbulenta.

O raio correspondente

ã

velocidade máxima turbulenta pode ser obtido através do produto do raio correspondente

ã

velocidade máxima laminar obtida analiticamente e o parame-tro

1,

que relaciona os raios de velocidade máxima turbulen-ta e laminar. Este parâmetro,

k,

foi determinado experimen -talmente em função do número de Reynolds para diferentes valo-res de b.

Logo, sendo

1

[ztn(re/ri)J 2

,ê:·

raio correspondente

ã

velocidade máxima laminar, tem-se

1

[z.e~cre/ri)J 2

(I.17)

(I.18)

,r,

Em recente trabalho realizado por Schmal et a1tJ fo-ram determinadas correções para os parâmetros geométricos como

função do número de Reynolds, atribuindo a cada parâmetro um polinômio que melhor se ajustasse

ã

curva de dados obtidos exp~ rimentalmente.

g possível calcular os parâmetros que se fazem neces-sários para a determinação do perfil de velocidade, conhecendo-se a relação entre os raios, b, e o número de Reynolds.

Note-se, também, que foram feitas verificações para os casos de b = 1, 05 e b = 50 o que, do ponto de vis ta prático, corresponde a um canal de placas paralelas e um tubo cilíndrico, respectivamente.

Nesse trabalho utilizar-se-á os dados obtidos por ,, 4 tanto na determinação do perfil de difusividade, quanto na de-terminação do perfil de temperatura.

CAPfTULO II

DIFUSIVIDADE TrRMICA TURBULENTA

Como visto anteriormente, a relação entre a difusivi-dade turbulenta de quantidifusivi-dade de movimento, Em' e o comprime~ to de mistura, l, dado pela hipótese de similaridade de von Kàrmãnn é feito através de:

dv Em

=

pl2 z dy (I. 2) sendo dv y d2v l

=

K __ z _ _ z dy dy2 (I. Za)

No entanto, o uso da equaçao (I.2) estabelece que a difu'sividade turbulenta de quantidade de movimento é zero, no raio correspondente à máxima velocidade turbulenta, rm ,

t

A difusividade turbulenta de calor, _{e obtida a} partir da relação entre e

é transferido através de posições assimétricas.

A difusividadé Em pode ser descrita no escoamento principal por uma expressão dada por Leung et al5

.Verificou-se que a mesma é válida utilizando os valores experimentais de Em dados por Quarmby ,

Para a região próxima da parede é utilizada a expre~ sao de Deissler9

• Esta expressão, para a parede interna, é da

da por

(I 1.1)

sendo válida para

Expressão similar é dada para a região próxima

ã

par~ de externa, ou seja

sendo válida para

+ +

O<ye<yl

e

(II.2)

É importante salientar a semelhança entre a difusivi-dade turbulenta de quantidifusivi-dade de movimento, Em, e a viscosida de cinemática, v, dita difusividade molecular da quantidade de

movimento. Ambas têm a mesma dimensão e representam o mesmo fe-nomeno, _no escoamento turbulento e laminar,

respectivamen-te.

As equaçoes (II.l) e (II.2) foram obtidas por Deiss-ler! através de considerações adimensionais. Nesta expressão, a difusividade turbulenta, cm' se aproxima de zero, somente quando y + aproxima-se de zero.

~

A expressao geral, proposta por Deissler e:

Na região afastada da parede o valor da difusividade turbulenta, cm, e descrito pela expressão dada por Leung et al 5 para tubos circulares concêntricos. Foi baseada em expres-sao para tubos circulares dada por Reichardt6 _{, que a obteve a}

través de resultados experimentais.

A expressao obtida experimentalmente por Reichardt 6

para tubos circulares é dada pela seguinte expressão:

(II. 3)

As equaçoes propostas por Quarmby~ descritas para a parede interna e externa são, respectivamente:

-

\) c m = ₊

2s1)

O 6 ./_;_ ' T. l. B · _l. (1

-• onde 1 - ( 1 -8. = 1 + _ 1

e-Ym.) + l Ym e 1 -+ y. l

- e .

l

sendo esta expressao,

(II.4),

válida para yi _,e. < Y1· < + y + _m.

onde +

ª

= l - Y-+e "e Ym e

sendo a expressao

(II.S)

válida para

l l + + + Y,e < Ye < Y e me

(II.4)

e

(II.5)

g

interessante notar a diferença existente entre as e quações

(II.4)

e

(II.S)

devido a um fator de multiplicação cons

~

tante

I

~

'e

Esta diferença torna-se necessária para .l:')iminar ,_.

à.

descontinuidade existente entre as ve~ocidades máximas de cada lado do perfil.

A descontinuidade

i

proveniente da diferença entre as definições de velocidade internas e externas, uma vez que uma

i

definida em função da tensão de cisalhamento na parede interna

e a outra em função da tensão de cisalhamento na parede exter-na.

Sendo estas duas tensões diferentes devido a nao ha-ver simetria em tubos concêntricos, as velocidades definidasde~ ta forma terão, forçosamente, que apresentar a descontinuidade.

Outro ponto importante de ser observado nas equaçoes (II.4) e (II.S),

é

a presença dos parâmetros Ci e Ce• respecti vamente.

Leung, E.Y. et a1 5 fizeram uso das equaçoes (II.1) e (II.2) para cálculo da difusividade turbulenta de quantidade de movimento, e:m' nas subcamadas e das equações (II.4) e (II.5), com ' i e 'e iguais a zero para o escoamento principal.

O valor de e:m dado para _Y.e. +

1

pela equação,,(II.1) é > .

igúal ao dado pela equação (II.4) para a mesma posição.

Descontinuidade semelhante ocorreu entre as equaçoes (II.4) e (II. 5).

Os parâmetros ' i e 'e sao introduzidos nas equaçoes (II.4) e (II.S) para evitar estas descontinuidades.

Logo, se a diferença entre os valores das difusivida-des e:m calculadas no ponto comum às duas regiões, subcamada e escoamento principal, com T. e T _{iguais a zero, for}

chama-1 e do de t. (e:m) , tem-se~

t.(e:m). + + + + (II.6)

e.

= _(Ym.

-

_yi)/(Ym.

-

_{Y.e. )}

1

válida para _y

_.e.

+ < Y· + < _Ym. + e 1

1 1

+ + + +

ce = li (Em) (ym - y ) / (y - _Y.e) e . e e me _e válida para _Y.e + < y + < _Ym +

e

e e

Os valores de ll(Em). e 1 do-se a equação (II.1) da equação

sao obtidos subtrain e a equaçao (II. 2) da (II. 5).

Uma vez conhecidos os valores da difusividade de qua~ tidade de movimento, Em, podemos, através da relação do tipo determinar o valor da difusividade turbulenta de calor, EH.

A difusividade turbulenta de calor, EH, na expressao (III.4) é obtida introduzindo as expressoes para Em na expre~ sao para EH/ Em apresentada por J enkins ~ ou por Azer e Chao 1_-.

A expressao dada por Jenkins~ baseia-se no tratamen-to do "vortice turbulentratamen-to" como uma esfera de raio igual ao com primento de mistura, l, a qual libera calor e quantidade de movimento enquanto se move com uma velocidade v.

A expressao proposta tem a seguinte forma:

90 lv' a,

1

[1

-µ2ll2Ct

J.

1 -

E - exp EH li 6 _{Ct µ=l} µ6 _lv' = Pr (II.7) 90 .ev' a,

1

[1

.-µ2ll2V

J

Em _{1.- • E - exp} li 6 _{V µ=l lv'}

4 ',

através de argumentos semelhantes aos usados por· Jenkins': re sultando, entretanto, em ·equações.descritas em função do núme-ro de Reynolds e do númenúme-ro de Prandtl do escoamento.

As equaçoes sao expressas da seguinte forma:

1 + _{135 Re} - o , 4 s _{exp (-yi/ymi)} [ + + o , 2 sl

J

=---__;;;.._ ____ _

1 + 57 R -e O , 4 6 p -

r

O , 5 8 exp - Y· y [ ( +/ + ) O • 2 5] l. m. l. válida para Pr > 0,6 e 1 + 13 5 Re - 0 ' 4 5 exp

[e

-y: / y + ) o ' 2

5l

i m.

J

l. = 1 + 380(Re válida para Pr < 0,6. P)r

-o,ss

exp - y. y

[c+;+)º,2sJ

l. m. l.

(II.8)

(II.9)

'

Expressões similares is equaçoes

(II.8)

e

(II.9)>

sao

,)

obtidas para a parte externa do escoamento substituindo

e _{Ym. por} +

l.

+

Ym .

CAPfTULO III

PERFIL DE TEMPERATURA

Análoga

à

análise teórica da transferência de calor a partir da equaçao da energia para os casos de canal de placas paralelas e tubo circular é feita a análise para tubos circula-res concêntricos.

O interesse principal sobre esta geometria está na possibilidade de diferentes condições térmicas de contorno em cada uma das duas superfícies de transferência de calor.

Além disso, problemas de transferência de calor, ne~ ta geometria, apresentam dificuldades nas condições de contorno. Podem ser solucionados pelo método da superposição de soluções fundamentais da equação da energia linearizada, tal como _pode ser visto em trabalhos realizados por Hatton e Quarmby~,,; para o canal de placas paralelas e Reynolds, Lundberg e McCuen!;·

tubos circulares concêntricos.

para

Trabalhos anteriores sobre soluções fundamentais para tubos circulares concêntricos foram efetuados por Leung et 5

e Lee e Barrow9

• Contêm hipóteses e resultados empíricos ares

peito da descrição do perfil de velocidade e da variação da difusividade turbulenta as quais têm sido mostradas imprecisas por Quarmby2

•

Lee e Barrow9 admitem que o raio correspondente à má xima velocidade no escoamento turbulento é o mesmo que no escoa mento laminar. Leung et a15 propuseram que a diferença entre estas duas quantidades fosse uma função da relação entre os raios dos tubos cilíndricos concêntricos.

Mais recentemente, em trabalho realizado por Quarmby~ é mostrado que o raio correspondente

à

máxima velocidade no es-coamento turbulento,

tre os raios, quanto

r _mt ' é dependente, tanto da relação endo número de Reynolds e que, co~sequente -mente, o perfil de velocidade é, também, dependente destes dois parâmetros.

Admitindo a hipótese da bi-dependência do perfil de velocidade propõe-se, neste trabalho, determinar o perfil de

, 1 transferência axial e radial admitindo um fluxo de calor cons

-tante na. parede do tubo externo enquanto a_parede do tubo in,-terno está isolada, determinando o efeito da dissipação viscosa no escoamento turbulento anular. Resolve-se a equação da ener-gi~ considerando a dissipação viscosa e as difusividades molecu lar e de calor turbulentos variando com a posição. Considera-se o escoamento em regiões distintas sub-laminar e turbulento.

Equação Geral da Energia

A equaçao da energia em termos das propriedades de transporte, considerando fluido newtoniano e expressa em coor-denadas cilíndricas, apresenta-se da seguinte forma:

+ V z aT ) = r az az, = K [1

_!._

(r

aT ) + 1 [r ar ar r2 +

a

2

T]

+ az2

{(

ave

+µ

-ª

z + .:. av z ) 2 + ( av z r a

e

ar

av )

2 + _..!. az

[~

(III.1)

As condições impostas ao problema específico, sao:

a) Fluxo de calor ·constante na parede externa do tubo; b) Fluxo de calor nulo na parede interna;

c) No início do aquecimento a temperatura do fluido é i-gual à temperatura ambiente;

d) A condução axial é desprezada;

f) Regime estabelecido.

Após estas considerações, a equaçao resultante e:

k[:

~

(r aT)] (ªvz

f

aT + 2µ -

₌

_pCvvz r ar ar ar az ou a [/r ( r :: )] + 2µr (ª;:

f

aT

=

vzr (III. 2) pCV ar

A equaçao (III.2) aplica-se para o caso de escoamento laminar e para as propriedades do fluido constante~.Para o caso turbulento, introduzse o termo de difusividade térmica turbu -lenta, e:H. Então teremos: 2µr + -aT V r -z a-z (III.3)

onde

-

µ significa uma associação entre a viscosidade molecular e a viscosidade turbulenta.

No caso em que haja variação das propriedades do flui do, teremos:

(III.4)

~

A equaçao (III.4) e solucionada para as seguintes con dições de contorno:

a) para z=O o fluido nao esti aquecido e encontra-se a uma temperatura T .

e'

b) existe um fluxo de calor uniforme e constante diferen te de zero, qe, na parede externa onde, r = r ou

e

na parede interna, onde desde que a parede oposta seja isolada.

A equaçao (III.4) seri adimensionalizada definindo as seguintes variiveis adimensionais:

r R = V e V z D

Para o caso de perfil de temperatura completamente de senvolvido,

_az

aT

é

constante, o que pode ser verificado a

par-tir de um simples balanço de calor. Consequentemente, a equaçao diferencial radial torna-se uma equação diferencial ordiniria. Em função das variiveis adimensionais,

:

~~

EH + _:_) RdeJ

R dR~

v P r

dRj

= b - 1 2b + Ec • _2_ ( dv;_e

·)2

= . V +2 dR ze (III. 5)

sendo

r b = ~

r.

l.

Considerando o fluxo de calor constante e tendo os perfís de velocidade e temperatura completamente desenvolvidos, pode-se mostrar que

onde 6e é a temperatura adimensional da parede externa e em é a temperatura adimensional que traduz a temperatura de mistu-ra do fluido.

Esta igualdade verifica-se, também, quando o fluxo de calor é fornecido ao escoamento através da parede interna.

Para aquecimento na parede externa, mantendo a parede interna isolada, temos o seguinte balanço:

1

1

---,,--- _; ~

-Znre q dz ~ fluxo de calor fornecido pela fonte sobre a parede externa.

Assim, d9 = dz+ onde çao numérica. Solução Numérica dv z dr podemos 1 Re Pr e

-+- _{fluxo de calor gerado por}

dissipa-ção viscosa. escrever 4b Re • dv+/dR . X z + Ec • (III.6) (b+l) _{vz re} +2 + dz+

será o incremento adotado na

solu-Para solução do problema foi usado o método das dife-renças finitas de Crank-Nicolson.

chamando

Partindo da equaçao (III.S)

Ec•~ ( dv:e )2 = · V dR z = b - 1 2b e de

podemos escrever: - -1 d~ de~ LR- + 2 Ec•--₊₂ - - V b-1 + r + de R dR dR rearranjando, vem: d2

e

L - - + dR<2

L

de R dR vz 2b ze e dz + + de dR dL dR + Ec•-v-~-, ('::• ) • ze. b - 1 + + de =

Th

vzere dz+ (III. 7) (III.8)

Aplicando, agora, o método de Crank-Nicholson na equ~ çao acima, temos:

=

_i_Íce

zh2L' r+l,s+l (III.9) : : = 4 1

h[cer+l ,s+l - er-1,s+l) + Jer+l ,s - er'-1,s~

(III.10)

(II I.11)

dR 2h

+ + V - V 2 e r+l 2e r-1 (III.13) dR 2h e L = Lr R = Rr Então + - -Lr [

ce

-e

)+

ce

-e

)

~

+ r 1 ( L + - L r-1 -) 1 Rr 4h r+l,s+l r-1,s+l r+l,s r-1,s Zh 4h = (b - 1) 2b

(e

r,s+l

- e

r,s

)

+ -v r+l 2e 2h (III.14)

Considerando a parede interna isolada e, sobre a par~ de externa a incidência de um fluxo de calor constante, podemos dizer: por definição

e

O = (T -q D

Te)/--L

k r e R =

donde, para (b-1) _{+ +} r = r _e + R = R!1 qq z 1 = dR e 2 de + (!II.15) ~

o

na parede nula V zere = a convecçao e Zb dz+ 2 2 ( d:~ ) = Ec

o

a dissipação na parede ~ nula • ₊₂ e vz Então :

~

(1Rde ) = O R dR dR d2_{e 1 de de dL} 1--+ + - - = O dR2 R dR dR dR (III.16)

Explicitando cada elemento da equaçao (III.16), em termos de diferenças finitas, atrav;s do m;todo de Crank Nichol son, podemos escrever que:

e

_n + + - +

h

2

(III.17)

onde ,en+l representa a , temperatura adimensional na parede do tubo externo.

quando

Para o tubo interno, vem:

r = r.

1

...

R = R. 1

+ qq z

=

o

_(III.18)

com desenvolvimento semelhante ao utilizado para obtermos a e-quação (III.16), concluimos:

e

=

e

o,s l,s (III.19)

~

onde" e

o,s e o valor da temperatura adimensional na parede do tubo interno.

As equaçoes (III.16) e (III.18) sao as representações formais dos efeitos sobre o problema das condições de contorno impostas.

=

Voltando

à

equaçao (III.14)

~ -

Lr[

e -2e

·

+e + e -2e +e

J

2h2 ( r+l ,s+l r ,s+l, r-1,s+l) ( r+l ,s r ,s r-1,s) b - 1 2b

(e

r,s+l

- e

r,s

)

2Ec +2 V ze .r (III. 20)

Agrupando os coeficientes de urna mesma posição e rear ranjando, temos:

1

1 r + 1r + _::_(1r+l-1r-l)llr + [ L2h2 _{Pr•4h 4h 2h}

~

_r+l,s+l - - V r T Lr (b-1) + +~ h2 _2b ze; e. r ,s+l + -2_ _ r _ _ r r- T = _ _ r_ + r + _ r .. . , [ L L 1 (L +l-L l)~ ~L L . 1 (L +l-Lr-i'~ 2h2 Pr•4h 2h r-l ,s+l 2h2 _{Pr•4h 4h ,2h} •T _{r+l ,s} -[-'Tr-1,s (II I.~l) Chamando de: ~ r L 1 (Lr+l 2~ 1 r-l

~

A = + r + r _{_2h 2} Pr•4h 4h (III. 22) Br =

~

Lr (b - 1) ₊ r~ V 112 _2b ze (III.23)

G~: -

Lr 1 ( 1 r+l ;h Lr-1

~

cr = . Pr•4h 4h (III. 24) e Drs= _ILr + Lr +...:..(Lr+l-Lr-l)~T

_I_

Lr+ (b-l)v+ r;JT L2h2 _{Pr•4h .4h Zh}

~

_r+l,s

L

_h2 _{2b z~}

~

_r,s (III. 25)

24) e (III. 25) na equaçao (III. 21), obtemos:

D

r,s (III. 26) Os coeficientes A , _r B _r e Cr sao constantes segundo a direção axial, variando na direção radial.

O termo D _r,s varia tanto na direção radial, quanto na axial.

A sua variação na direção axial deve-se ao fato dele depender dos valores de temperaturas calculadas em uma secçao transversal "s".

Os primeiros valores de D

r,s ou seja, os valores de D _r,o sao obtidos através da condição inicial que, ~ostra .. ser

e

_r,o =

e

_r,l =

o

p/qq·~

Através da equaçao (III.26) e com o auxílio da condi-çao inicial e das condições de contorno na parede interna e externa, estabelecemos um sistema de equações que irá nos permi -tir determinar o perfil de temperatura.

Assim, desenvolvendo o sistema a partir da (III.26), podemos escrever:

r=l A e + B e +

e

e = D 1 2 1 1 1 o 1 r=2 _{A2ea + B 262 +}

e

_{2 1} e = D 2 r=3 A 3 e 4 + B

ªªª

+

e

3 e 2 = D 3 (III. 27) r=n

Ora, de acordo com as equaçoes (III.17) e (III.19) sa bemos que + - + 4R 4 e h 2 e

qualquer que seja "s".

Aplicando as equaçoes (III.17) e (III.19) no sístema (III.27) e, escrevendo o novo'sistema na ordem crescente dos Índices das temperaturas, temos:

r=l (B1+C1)61 + AI 62 = D1

r=2 _{c2 e i + B262 + A2 e a = D2}

r=2 _{cae2 + Baea + Aae 4 = D4}

...

(III. 28)

r=n-1

_e

_{n-1 n-2} e +B _{n-1 n-1} e +A _{n-1 n} e =D _n-1

onde h2 + ~)

4 2

Para solucionar o sistema (III.28), faremos uso do

Mi

todo de Eliminação de Gauss.

CAPITULO IV

RESULTADOS

Inicialmente foram determinados os perfís de velocf dade para um número de Reynolds caracterizando o escoamento tur bulento e para um valor do parâmetro geométrico b limitado para o escoamento em tubo circular e escoamento em placas planas,co~ forme Fig. 1. Para Re 86 610 e para b=Z,88 e com base nos resul tados do perfil de velocidade (Fig. 1), foram calculados os per fís de difusividade da quantidade de movimento. Os resultados sao bastante satisfatórios, já que não apresentam descontinuid! de na região correspondente

ã

velocidade máxima turbulenta. Con forme Fig. 2. Estes resultados foram utilizados para determinar

,

.,

os perfis de temperatura para Pr=l e diferentes valores de ES• As Figs. 3 e 4 mostram os perfís de temperatura radiais para df

ferentes posições axiais, caracterizando especialmente a influ-ência da dissipação viscosa. A influinflu-ência da dissipação viscosa é marcante na região do escoamento turbulento próximo às pare -des dos tubos interno e externo. A temperatura do fluido é bem maior junto

ã

parede do tubo externo e cresce na direção axial.

'

Na região central do escoamento, a temperatura do fluido é

pra-"

ticamente igual a temperatura de entrada para qualquer posição axial. Nota-se, pela Figura, que o perfil de temperatura

próxi-mo

ã

parede interna apresenta dois valores máximos. Não há sig-nificado físico para o caso e justifica-se o seu aparecimento~ mente devido ao perfil de difusividade, baseado em condições s~ mi-empíricas válidas para escoamentos específicos, já que aso-lução numérica é convergente e o método é suficientemente precf so, conforme demonstram os resultados para o perfil de velocida de.

Os resultados encontrados nao podem ser comparados experimentalmente devido a não disponibilidade de resultados ex perimentais para o problema específico.

Podem ser calculados os perfís de temperatura e o método permite calcular, para diferentes valores de Pr, de Ec-kert e Reynolds. O estudo é extensivo para outras geometrias e casos limites como tubo circular e canal de placas planas para-lelas.

CAPfTULO V

CONCLUSÕES

As expressoes para os perffs de velocidade e de difu-sividade turbulentos em camadas distintas próximas as paredes dos tubos interno e externo são bastante satisfatórias e podem ser utilizadas para resolver a equação da energia.

Devido

ã

dissipação viscosa, os perffs de temperat~ ra do fluido apresentam regiões com temperaturas mais _altas que a temperatura de entrada, próximas às paredes dos tubos in terno e externo. O perfil de temperatura varia sensivelmente na direção axial.

Os resultados do perfil de temperatura nao podem ser .c.c~mparados devido a não disponibilidade dos mesmos na li te ratura, mesmo para o caso limite de Ec=O. Além do mais, as con-dições de contorno deste estudo sao diferentes das apresentadas para trabalhos anteriores.

REFER~NCIAS

1. QUARMBY, A., Int. J. Meeh. Sei,!, 205 (1967). 2. DEISSLER, R.G., NACA Report 1247 (1955).

3. SCHMAL, M., RUSSO, C. et al, Rev. Bras. Teen.

i,

83 (1975). 4. QUARMBY, A. e ARNAUD, R.K., Chem. Eng. Sei., 24.

5. LEUNG, E.Y., KAYS, N.M. and W.C. REYNOLDS, Stanford Univ. Eng. Report, AHT-4.

6. REICHARDT, H., Z. Angew. Math. Meeh. 31, 208 (1951). 7. AZER, N.I. and CHAO, B.T., Int. J. Heat Mass Transfer, 1

121 (1960).

8. REYNOLDS, W.C., LUNDBERG, R.E. e MeCUEN, P.A., Int.

J.

Heat Mass Transfer.

9. LEE, Y. and BARROW, H., Proe. I. Meeh. Engrs. 178, 1 (1964). 10. QUARMBY, A., J. Aeronaút. Seo. 71, 47 (1967).

11. QUARMBY, A., Appl. Se. Pes • .!2_, 205 (1968).

12. ZURMÜHL, R. Praktrsehe Mathemathik Springer Verlag, Berlin 1965.

NOMENCLATURA: r R raio variável raio adimensional z posição axial T temperatura Te temperatura de entrada D Z(re-ri) Vz velocidade axial cp calor específico q fluxo de calor

vi

velocidade adimens ional v

2

/1../-iiP

r+ raio adimensional r

Vr/p/3

z + variável axial adimens ional Z/D y+ variável adimensional

• tensão de cisalhamento

v viscosidade cinemática

µ ~ viscosidade dinãmica turbulenta p Ê ... ~· H k

e

b Pr Ec Re SUBSCRITOS i e 1 densidade

difusividade turbulenta de quantidade de movimento difusividade turbulenta de calor

condutividade térmica

temperatura adimensional (T-Te)/qD/k relação de raios n9 de Prandtl n9 de Eckert n9 de Reynolds interno externo sub-camada laminar

m posição correspondente a máxima velocidade t turbulento

APílND'rCE I

A adimensionalização da equaçao (III.4), segundo as variáveis adimensionais estabelecidas neste trabalho, é detalha damente mostrada neste Apêndice.

Relembrando nosso modelo matemático e as variáveis a dimensionais propostas, temos:

R

=

CÁLCULOS r r -r. e l. = (T-T )/qD e k aR

=

+ z

=

1 ar r · "'r. _e

_{_.1.}

2µr

ac

_V z D e

Podemos dizer que:

(ª::

r

=

aT

V r -z a-z + r e

·lr

e/ p • r

₌

e V V + z V Z = -;::::::::::;:::::

I

T

el

p'

ae

k ) e

₌

3T qD (III.4)

ae ae ar

=

• aR ar aR mas ar

=

(re

-

r.) aR l. e ae ae aT

=

ar aT ar sendo ae k

=

aT qD Portanto: aT q.D ae

=

ar _{k(re-r~ aR} chamemos k(re - ri) aT

=

L e

=

X q.D ar

Podemos, então, dizer:

ae

=

L•X aR donde a2_{e ax}

=

L-aR2 _aR mas ax ax ar

=

aR ar aR

sendo vem mas Portanto temos: e mas ar aR ax

=

aR X ax

=

aR Substituindo =

=

r

-

r. e l ax (re

-

r.) _l ar ôT

=

ar a2_T (re

-

r.) _l ar2

q.D

k(r -r.) 2 _aR2 e 1

Para a variação de temperatura, segundo a direção z,

= az D ae ae az

=

--+ az + az az as ae aT

=

az aT az ae k

=

portanto aT

qD

então mas e mas portanto, mas portanto:

ar

q

ae

=

az

k

az

+

Para o gradiente de velocidade, vem:

+ avz 1

=

avz Í-rfp _e av+ _avz + _ar z

₌

_• aR ar clR ar

=

re

-

r. aR 1 + + avz avz av z

=

ar _avz ar av: 1

=

dVZ h: el p'

IÇ{p

+ avz av z

=

• ar (re-ri) 3R +

,r.crr;

_e

=

vre re

=

+

vr

e

3R

Substituindo estes valores adimensionalizados, na e-quaçao (III.4), obtemos:

a [

ZRq

ae~

- (EH+cx)- - + 3R k 3R q

ae

R(re-r₁. ) - -k 3z+ _,. 3v; ) 2 = 3R.

Após alguns algebrismos, tem-se

1 3 [ EH 1 ) 3Bj

µk

V 2 1 ( 33V}

r

3R(-;+Pr R3R + _z_. R vpCpq vz +2 (re-ri) + +

ae

vz re

=

• _{(re - ri)} Zre 3z+

=

Multiplicando e dividindo por 2 o 29 termo do 19 mem-bro e,-considerando que

qD _re

=

nT D

₌

_Z(re-ri) e b

₌

k r. l vem: 1 ~[(EH + _:_) R 3~ µ v2 ₂ ( av;

r

z + _•

₌

R 3R v P r 3R VP Cpnt _vz +2 ílR

temos: Como µ

=

1 Vp

~

~~EH+~ )RôJ

R aR

"

p _r

aR

. v2

e z Cpti t 2

+

Ec--

₊₂

vz

=

Ec (número de Eckert)

.

( a

3

v:)

b-1

_{+ +}

ae

=

V r b z e

az+

zendo nal de APflNDICE II

t

r

.~(~'.!;~~) ! - - - ~ " 1 1 - - - ·

· 1

_rr. 1 ]. - I _ _ _ dz

Balanço de Calor no Interior do Tubo Anular.

dT

m

Dividindo qD

= kdem,

os dois membros da equaçao por tem-se

qd qD de

= rr(r 2-r~)v pC - --.!!!

dz + e 1 _{z P k dz +}

e

Dividindo e multiplicando a parcela a direita do igualdade por r~ e 1 r2 e ' vem (b-1) qd t2-1) qD dern 4rrr!

b

q + = v pC rrr 2 - -

-dz+ z p e b2 _k dz+ fa-

si-Desagrupando colocando-o

ã

esquerda

dem

dz+ dos demais elementos da .equaçao e do sinal de igualdade, temos

portanto mas k 4b = + (b

+

1) Sabe-se que = RePr L RePr 4b • - - - + (b + 1) qd = n(r2_{-r~)v µdv /dr} e 1 z z

Substituindo em (A-11.5), temos,

de 1 m = RePr Se substituirmos na (A-11.6) k qD r2 e r~ 1 por plicarmos e dividirmos por vz, teremos:

dem 1 = dz + RePr rearranjando, ve-se: 4b v~µdvz/dr - - - + (b + 1) pv2_{C llTdz+} z p 1 llT e se multi

de 1 4b . .;;2 _{. µdv /dr} m _{• +} . z

=

• --+ RePr (b + 1) C llT 2 dz + dz p pvz mas + _{d +} µ _{dvz re. vz}

=

\)

=

p dr _{re(re-r) dR} e + 2 + v 2v r y2

₌

z e z _r2 e

decorrendo destas igualdades, temos a seguinte equaçao:

4b (b + 1) + Re dv /dR + E X z e + + v ~r+ dz

_{z e}

o 500 1000

FIG: 1

_ 961499 E ,1. 02 600 1000 FIG: 2 PERFIL DE DIFUSIVICI/.IDE TÉRMICA RI= 86610 Pr = 1,0 b = 2,88 1500

30 -o. 24 15

.

o 500 1000 FIG: 3 Z+-= 100 Ec = 0,1 / -li!oo 2000

225 160 112 75 • ' o 500 1000 FIG: 4 Re =86610 Pr= IP z+ = 100 Ec = o,5 ,.-. . 1500 2000

T-Te Q/R 1000 @ - 108 @ - 172 FIG: 5

4000 3000 2000 1000 150 Rc = 86610 b = 2,88

..

Z. ,. @) 216 @ 270 ® 500 PERFIL DE TEMPERATURA 1000 1500 _y+ 2000 FIG 6

APlcNDICE III

o C( w z < ' -, _< w~ o~ "' o~ -W C( ... w

ºº

_º"'

<.> ..J ;: <::, C( ~

w"

d8

Ww lL o wo 1 o~ <u a·=> _z (/) C( w > z ::J 1 _ O i ·,·,<:!, w z < -, < w ~. a~ "' o~ -W C( ... w F l N CT íON O Jf I L < YI , U I. PUS O J CCMMO~ Xl,Xi,XS,X6,X3,X4,XN2,X8,X9 OlFIL=XNZ*Ul•Yl•(l.·EXP(•XN2•UI•YIJJ RETUR~ E~ O

o cr w z <

..,

_..

w!:! oz _o "' o~ -w cr ., w

ºº

o .. <> ..J i < :, cr o. w:,;

08

Ww u. o wo ow .J <o o.:, _z C/) cr w > -z ::)

~

-1 O . cr w z < -,

..

w!:! o~ l o~ - w cr ., w Oo o .. <> ..J i < :, cr .. w:>

08

ww u. o wo o~ <o o.:, - z C/) cr w ! > .f z ::) 2 1 U=UI Ol =CU I DC 1 I=NO,N OC 2 J=l•~ A/\=H2•FON( Y ,U,OUJ 8 ~ = H 2 • FO N ( Y + H 2, li+ H 2 • ( OU + A N / 2 • O l , CU + ,\ N >

C/\=H2•FON( Y+H2,U+H2• C QU+~N/2 ,Ol ,OU tBNJ O/\=H2•FON(Y+H2,U+HZ•(DU+CNJ,DU+2.0•CNJ Y= YtH U=U+H•{OU+(~N+EN+CNl/!.01 Ol =CU + ( A N + 2 • C.,. E N + 2. 0 • C N + O t, J / 3 • G CCNTI ~UE VECC I l=U C(NTI~UE D,:cDU iHTUR~ E/\ D P. 53

--- ----íl]~81Fl ~; xI~

~~T~~

ff~~

(1f;}o~~

x·

N 2

~r-~:-y;:

l~X

l.0;;;

i-

,R ( ;

~13.

R~

T- ..

RC=El•Rl A=C.2C2095E 02 8=0.1H•08CE·03 C= ·(). !. E3ó6 7E·09 D=C.7 lOOHE·lS E=O.(i F=G.O

RC ~=RE /( A +B•RE + C•RE• • 2+D*R E•* 3+E•RE• •, +F •RE **5 l A=0.9!7841 B=0.4,f:264E 03 C=·C.578l~~E 07 D=C.519342E 11 E= ·G • 1 54 .3 l 9 E 15 R=l.Q/RE F~=~+f•R+C•~••2•D*R•*3•E•R••4 1 A=0.1.:5899E 02 IfCRE·SBOGC.G>l,1,2 B=0.1<96l7E Ot C =O. 5 S 56 9 7 E O 9 D=·il.S959ó4E 13 E=v.146292E 17 YLI=A+8•R+C•R••2+D•R••3+E•R••4 R= l•O/RE GC TO 3 2 YLI=lS.15 1 _{RrT:F"*(SQRT((R0••2•qI••2l/12•Al0GIR0/Rl)J))} Al=RMT/Rl Yi'Ü=( l·Al/ElJ•ROH I F ( Y M C

-s

2 C • () 1, , 4 , 5 4 A=·O.E88057E·02 8:(;.2C2633E-03 C=·C. 731127E·OE D:G.!210!1E·C8 E=·C 7i;Q243E•l2 X~2=Õé•fMO•C•YH0••2+C•YM0••3+E•Y'C••4 G( TO 6 < X~2=(l.Ol5s E C[ N S T = SQ R T ( 1 8 1 • 1 A 1 u 2 • 1 l J / ( E 1 • • 2" A 1 • • 2 > J Y f I = C C A 1 - 1 > / 8 li * CD N S T •ROM RlM=CCONST/tl)•ROM WnITEC5,3GC1J R0,Ul,F.CH,FK,YLI,RM1,Al,YMO,XN2,YMl,RlM 3 00 1 FC R ~ A T C / , 1 C X., l 1 CF 11 • U , / J --R+-TU-R-11- - - .. · · . ··· -E~D

-, < w~ o~ a: o~ -w a: _, w

ºº

º"'

(> ..J ;: <( ::, a: o.

w"

08

ww u. e wo o": <( " o·:> _{_z}

"'

a: w > z :::, 1 o 1 a: 1' -. w z <( ·1 "'1<( 1 w ~ 1 o~ ! o~ - W a: _, w

ºº

º"'

(> ..J ;: <( ::, a: o. w "

08

ww u. e wo O": <( " o·" _ z (/) a: w > z :::, P. 54

o a:: w 1 Z

..

-, < w',l o .; "' o~ - W a:: ~ w

ºº

º"'

<.> ..J ::

..

:, a:: ~ w "

08

ww u.. " wo ·o~ ..._\ 1, 1 1

..

"

e·i

C/) a:: w > z :::, . 1 1.,J? _{1 , .} 1 _w 1 z 1

..

1 -, < i w',l _oz ! o "' o~ -W a:: ~ w Oo

º"'

<.> ..J ::

..

:, a:: ~ w" .!

08

_Ww ~I _{u.. "} ~I wo â1 ow ~I

..

~

_"

~( o.:, _z ~I C/) _a::

"'

w s· >! > ;;:;i z

..

:::, ·1

~

.f E~O

--- ~rE

~~º

[º~

1 ~ ~ ~

!

~~T!~ ~~=~~;À 4,

,7·;

X;, x_s_,,,, - --·· _P._55 O E R I 6 = C ( • ~ • 3 6 J * ( ou I * • 2 l l / S Q R T C ! !R I ~ • C C C Y ~ I +RI ~ h * 2 l - C ! YI + R IM l * • 2 l

$ l 1 (( Y I +RI M l "'C C Y MI+ Ri M l u 2 • C ( R IM** 2 l J l l l • D U l l

RE !UR~

o ([ w z <(

..,

< w~ o~ a: o~ - W ([

...

w

ºº

o .. (.> ..J :: <( :, ([ o. w "

o3

Ww u. o wo o~ <( (J o·" 1 - Z C/) '1 1 -1 ([ w > z ::, o ([ w z <(

,.,

< w~ o~ a: o~ ,...;. w ( [ ... w

ºº

_º"'

(.> ..J :: <( ::, ([ o. w "

08

ww u. o wo o~' <I'. (J

º"'

_ z C/) ( [ w > -z ::, E/\ D

! o O( 2 l=NO,N a: Y= Y+H w U:VEC<ll z IFCFR•t\.6l3,4,'5 < 3 T=3EO•REY••<·o.sa> ' • GC TO 4() w ~ 4 RE TUR ~ 0 z e T-=57•eEY·••<·C.46l ~ GC TO 40 ~!;; 4C A:((1.•l35•REY1t•(·1;.4~l•EXP(·CY!tYnl••0.25ll/(1.+T•PRu{{l.58l*EXP

a:~ H•{Yl/YM!J . . C.25lll•FANCY,U,DELT!l>

w Vl:T<Il=A Oo 2 C(NTI~UE o~ RETUR~ _,;: E~ O • 1

..

::, a: ~ w~

08

ww u.. o wo o~ .. u o·::i _ z C/) a: w > z ::J -, --1 1 i 1 o 1 '<'-!= 1 w 1 z

..

-,

.

w~ o~ a: o~ - w a: ~ w wo 0W _~ .. u o·::i _ z C/) a: w > z ::J .f

... -- -''fff~~~ ~TM.1

E V

E&~

Çõf.y°''

H ·' y ! • Ul,K ;·N' VETJ

C(MMO~ Xl,X2,X5,X6,X3,X4,X7,X8,X9 Hé=H/2.0 U=UI Y= YI DC 2 !=1,N Tl=H•FONCY,Ul T,=H•FONC Y +H2 ,U +Tl /2 .<)l T!=H•FON(Y+H2,U+T2/2.0J T4=H•FON(Y+H,U+T3J U=U+{ Tl+2.C•T2•2.0•T 3+T4l/6.Q Y= Y+H 2 V E C C I J =U RETURK E~D P_. __ S 7

i 'i~~ ' w z ! <( -, ~ w!c? 1 o~ 1 o~ -

'"

a: -' _w

ºº

º"'

<.> ..J :: <( :, a: ~

w"

08

• ..i w w "!i u. o •I t:

~i

~I 51 i"I ~I ~i

..

., wo ow _-' <( o o,:, _z (/) a: w > z :::, o a: -w z <( -, ~ w!c? oz o a: o~ _{- w} a: -' _w

ºº

º"'

<.> ..J :: <( :, a: ~ w"

08

ww u. o

e

e

B<Il=C-CPCil/H•*Zl-CCE1-l.ltC2•B1l>*CUC!ll•RO~J . C C Il = C (PC I l /( 2 • H * * 2 l l • C F C I ) / C C Y C l J / C R C ·RI ) l * C 4 •H ) l l - ( 1 • , C 4 • ii l J ..C P { •I•ll•P(!•1JI/CZ•HJJ O C Il = • C 2 * E C/ U C l l J * < ( U C l + l l • LC I • 1> l / C 2 • H l .l • * 2 51 CCNTHUE RfTUR~ Ehü

-nY~r~!ílbílEr~~~~rg&~!

~Hí 1r,óU

1

~lr<

_{160(!~3) - .}

C(M~O~ Xl,X2,X5,X6,X3.,X4,X7,X8,X9 T~ UN(ULARIUCAO DA ~ATRIZ DC 2 ~=1,N C 1 C lí , 1 J = C I < K , 1 l / C I < K , 2 J Cl(K,3l=C!CK,3l /CICK, 2l T!C~>=TICKJ1CI<K,2l ClCK,Z,=J.,( IFCK-~J3,z,2 ! CCNT!~UE I=K+l C J ( I , 2 >= C I C l, 2 l - C I C I , 1l • C !C K, 3 l T lC I l =TI< I l ·C !( I, 1 h T l C K l CJCl,ll=O,G 2 CCNTI~UE B~CK SUBSTITUTION fEMPC~l=Tia) DG ~ I=1,N·l L=N·I 5 TEMPCLJ~TICLJ-CICL,3J~TEMP(L+ll R E TUR ~ E~O

.,

P_.___58

o a: w z

""

..,

" w~

oi

o: o~ - w a: _, w

ºº

o .. _o ...J ;:

""

:, a: "' 1 w :,

08

Ww 1 U. O . ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~I ~I ~I ;; : ~/ ~I gl " 51 ~I ~I . ' ;i wo O":

""

() o.:, _z (/) a: w > z :::, o a: -w z

""

..,

" w~ oz _o o: o~ -W a: _, w

ºº

o .. o ...J ;:

""

:, a: o. w :,

08

ww u. o wo ow _{_,}

""

() o.:, _z (/) a: w > z :::,

~

-REAO <8,999> LUCI 999 FCR~AT<lll IF (LUC! )59,60,59 59 REAOC 18) TE~P READC18lU RfAC.C18JA2 REAOC16l P RE AO( 18> C RE AC( 18) B READ(18l Y RE AD( 18)0 REACC18l81 READ< lBJRÕ REACC!BlRI N= 997 K~ = l R ( M= 3 2 4(\, 5 7 E 6 B

e

H=2.!E9724328 H(=Z.169724328. EC=l.C REWINC(18) G C TO 3C {;: 6G DC í2786 L3=1,2 . READC8,6ll El,RE:Y,Rl,FR

e

c

e

61 FCR~AT(4F!0.3J Ctll ~EL~l(El,REY,RIJ YlD=YLI

CILCULANOO CONOICOES DE CONTORNO NCS PONTOS YLI E YLO

H = Y L I I 20 • G Y I =C. C U i =G. C K= 1 N:20 CPLL RKSHCOERIS,H,YI,UI,K,N,VELISJ Ctll FKSM( CER07 ,H,Y I ,UI ,K,!';,VEL07 l Yl=YLI Ul-=VELI5C2C> P. 59 O ER IV= ( C R H * C C C Y MI + fi H J .... 2 J • < < YI + R IM l • • 2 l ll / C C VI + R IM J • ({ n: I +RIM J • • i 2 •

«

R IM•* 2 ll l l / < 1. O+ X~ 2 * U l • Y I • C 1 • O •EX P C • X N2 * U J * Y I l l l l · ·Yfr=YLI: · U C = V E L 07 C 2 C l

OE R O V= C C R O~• ( < C ROM - Y O J • * 2 l • ( ( ROM- Y ~ O l • • 2 l l l /{ C F O~-· Y O l • (( R O~•• 2 J • C C

$ R CM· Y ~O> • • 2 l J l J / C l • C + C X N Z • U C • Y O .. C 1 .i: • E XP C • X ~2 •

uo •

VO l l > J WRITEIS,231> VELI5<20l,0[RIV,VEL07C20l,OEROV

231 F(R~AT('l',TlO,•VELCClOADE

~o

PONTO YLI E IGUn P•,4X,E13.6,5~,·cu

IJP DERIVADA E IGUAL A•,4i,E13.6,//,T1D,'VEL0CJCACE NO PONIG YLC E

1HUAL A1 _{,4X,E13.ó,SX,•CUJA CERIVACA E IGUAL A•,4X,E13.6l}

c,LCULO DAS VELOCIDADES NA CAMADA INTERNA LAMI~AR

ZEIA=(YMI•vro,,1co.c

ZE TAl=YMI /2.0 H(=ZE[MlC H = HG

NL.=IF IXC YL I;H l N=NL

Yl=G.C

K = 1

Ul=G.G

CPLL RKSM( CERI5 ,H, Y I ,UI ,K,N,U)

CCMECANOO CALCULO Nã CAMADA INTERNA TURBULE~Tt

Hl=l(~+ll*HGJ•Ylí NC=NL+l H= HT N:NO K=l Y I = YL I U l=VEL IS< 20 Dl=DE~IV Ctll ~KN04<CERI6,H,~,K,YI,Ul,OU,U> H= HG K = 1 Yl=~"HG Ul=UC~l Oü =.02 NC=N+l N = 10 N; 4=N CILL RKN04(DERI6,H,N,K,YI,Ul,OU,U) Hl l=rl K= 1 YI=~*hG UI =U C U Dl =02 NC=N+! ··N = 206 · N:; 5 =N • NS 4

1 ! !]1 J ~! ~[ ~I ;1 Õ!

~i

~I ~I

.,

1 1 1 1 1 1 1 _[ 1 1 z <( -,

..

w ,? oz _o ac o,_ -W a: -' _w

ºº

º"'

o _J .. ,_ <t::, a: o. w"' o2 ww lL o wo ow -' <( (J o·=> _z (/) a: w > z ::,

~

. o a:

-w z < -,

..

w ,? oz _o ac o ,_ -W a: -' _w

ºº

º"'

o _J;:. <( ::, a: o. w"' o2 ww lL o wo ow -' <( (J o·=> _{_z} (/) a: w >

-z ::,

~

-o a:

e

e

OU=C2 Ul=U{~) N:NT+CN0-1! CILL FKN04COERI&,H,N,K,YI,UI,OU,UJ N~ 6=N RTITO=(RIM*Ell/ROM OC 1259 I 7=1,N

UI I7J =CU( I7ll*RTITO

1 2 5 9 C C N TI ~ UE N~7:N56-ZC6

Wfi!TEC5,126Cl l<S,4,HG,~55,HTJ,N57,HT2

126C FCRMATC///,TlO,•NUMERC OE PCNTOS Nft CA~ADA INIERP~ ATE ZETA E !EUA $L A',4X,I4,fX,'C0H STEP IGUIL A1,2J,F7.4,//,f10, 1 ~UMERO OE PO~rcs

$NI CAMADA INTERNA ATE ZEfAl E [GU-l A1,3X,!&,ex.•cor STEP IGUAL A• $,iX,F7.4,//,TJ0,1_{NUPEFO OE FONTOS ~A CAMADA I~TER~A ATE YMI+ E IGU} tAl A1_{,4X,l4,eX,•COM STEP IGL;AL A',2X,F7.•l}

N58=791-N56

W fi 1T E C 5, 1975 l N 5 4, H G , ~ 5 5, H T 1 , ,, 5

e ,

H T 2

1975 f(R~ATC///,TlO,•NUtffRC OE PCNTU5 NA CHIADA EXlER~I ATE ZETA E HUA;

$L A•,4x,1,,ex.•coH STEP !GUPL A',2X,F7.4,//,T1C, 1~UME~O OE PONTCS ·

• N t

e

A K AD A E XT ER NA Ar [ z E r A 1 E l G u A l A ' • 3 X , l 4. E X •• e o M ~ TE p I G u A l A • 1

$,,X,Fl.4,//,TlC,•NU,EFD l.lE FONTOS ~A CAMACA EJTEF~A ATE Y,~(•+ E IGli ZAL A•,4X.I4,8X,•COM STEP IGUAL A1 _{,2X,F7.4,///)}

WRITUS,400 02

~O( FCR1AT(T3G,'OERIVA0A NO PONTO PROXJMC A Y~I•,~X,El3.6l

Y<ll=HG 0( 33 I=2,N54 YCil=YcI-lJ+HG 33 CCNTHUE N54=N54+1 DC 75C I=NS&,206 Y ( I l = Y C I - 1 l +H Ti /50 CCNTI ~UE DC B54 I=2C7,792 Y{ll=Y<I-ll+HT2 1:154 C( NT HUE ·- -·j-:"9>7-CN54-1) 0( 49(' 1=793,J Y( IJ=Y<I-1 l+HTl 490 CCNTI~UE J= j + 1 DC 45, I=J,59.7 Y(I).:Y<I-1l+HG t,52 CC IH l ~UE

c,LCULO DAS VELOCIUJOES NA CAMADA EXTERNA LAMl~AR

Y I =C. C H= HG N:NL K= 1 u l =<. • ç CILL RKSM(DER07,H,YI,UI,K,N,VELOCI Hl=CC~+lJ*hGJ-YLO NL=N+l

CCMECtNDO O CALCULO NA CAMACA EXTERNA TURBULEITA

H= HT N=NO K: 1 Yl=YLC Ul=VEL07C 2Cl Oc=CEROV _ CtLL FKN04COER08,H,N,J,YI,Ul,OU,VEL0Cl H = HG K=l Y l=N*HG Ul=VELOC(Nl DL=02 N ( =N + 1 N=l( CALL RKNG4(0ER08,H,N,K,YI,Ul,OU,VELOCl H= HT 1 K = l Y l=N•d'G U l = V E L OC ( N l DL =C2 NC=N+ 1 N = 2C 6 CPLL FKN04<0ER08,rl,K,N,Y!,Ul,DU,VELOCJ H=HT2 NT=IFIXCCY~O-ZETAll/Hl NC=N+1 P. 60 . --- ·-·-·

l

1

i

1

- · - ·-- ·--Y·J-= 2i'i-At··-· K=l 0L=D2 U l = V E L !JC C N J N=NT+CN0-1) Ctll FKN04COER08,H,K,K,Yl,UI,DU,VELOCJ ~~J!~~~._60~~-º2 ___ • ··- -- --

---" o~ -w a: .., w

ºº

º"'

<> ..J ;: < :, a: o. w :>. 08 ww lL o wo ow _.., <u o.:, _z (/) a: w > -z =>

~

o a: w z < -, <

w"

o.;

" o~ -W a: .., .w

ºº

_º"'

_<> ..J ;: < :, a: o. w :> 08 ww lL o wo o~ <u o.:, _z 1 (/) . a:

/

w > z => o 1: ·r~:~ w ' z ' < i ""')"' 1 w',l _ I_Q;" M=M-1 10 C(NT r,~uE WHITE (5,532>

532 FCRMAT</t/,T48, 1_{VETOR TOTAL DAS VELOCICACES•,t//l}

WRITE(5,23CC>REY

2l00 FCRMAT(T!S, 1_{• • • • • • • • • • • • • • • • • • • PAFA REY~OLOS ••••••',2X,FtD.O,///}

$) H= HG U 1 =C Yl =C NC=1 IH= F I XC Y L I/H J N= NL CILL FHENO(CIFIL,N,YI,Ul,U,r,A,REY,PR,T,t,C,OU,CEM~ll HT=C< f'i+l >•HGJ/YLI H:HT NC=Nl+l N=NO Yl=YLI Ul=UC~l D f MI\ I = ( l • / 1 5 • ) * C 1. - A l / B 1 l * R CM•< 1 • - ( 1 • • Y LI / Y M l l ** 2 l • ( 1 • +2 * C 1 • - YL I / Y $Ml>••2l•<l.+C.6•SQRTC<CRI•CR0••2-R,T••2Jl/lRO•IRMT••2-RI••2lll•Cl. I-Yl!/YMIJ•Cl.-<1.-YLI/YMillll•<l.·<1.-rMI/YPOl•<l.-YLJ1YMIJl-X~2•Y ill•UI•Cl.·EXP{-XNZ•YLI•Ulll Cftll fiHENOCDIFIT,N,YI,Ul,U,r,A,REY,PR,T,NO,DU,CEf~IJ H=HG Yl=N*HG Ul=U(U NC =N + 1 N: 10 N:4=N

--€-Hcl-H-lf:.NO (OI F rhN ,Y I, UI ,U, h A ,REY ,P·R, T·..T'iG, OU, CE~ 1 l) ·

Hll=H Y l=N•HG UI=U(~l N( =~ + 1 N: 20 6 N:5=N-N54 CPLL FJ.JENO<OIFIT,N,YJ ,UI,U,~,A,REY,PR,f,ti(,OU,OE~~Il p 61 Nl=lFIXC{Y~l-ZETAll/Hl · NG =N+ 1 Yl=ZETAl HT2=H Ul=UC~l N:NT+CNO-ll Ctll FHENO<DlFIT,N,YI,UJ,U,H,A,REY,PR,T,NO,DU,CE~~IJ

e

C/LCULD DA CIFUSIVICACE DA ,uANTIDADE OE ~UVI~ENTC NA CAMACA EXIER

C NI LA~INAR H= HG U!=Ç.(. Yl=O,G N( =! N=NL CALL RHENO<CIFOL,N,Yl,Ul,VELOC,H,VETO,REY,PF,1,N[,OLl,DfMNCl HT=CCl+ll•HGl·YLO NC=N•l H: HT N=NO Yl=YLC Ul=VELOC(Nl DEMNO=Cl,/1~.J•<l.·Al/Bll•RCM•<l.-lt.-YLG/Y,Ol••Zl•ll.•2•11•Yl0/Yr $ O J ** 2 hC l . +C. 6• 1 1. • Y L U Y MO l • C 1 • - C 1 • - Yl OI Y ~O l J l ·X h 2 • UO • YL O• C 1. -E) PC $•)N2•ü0•Ytüll Clll fiHENOCClFOT,N,YI,UI,VELOC,H,VETO,REY,PF,l,NC,OU,OEMNO> H= HG Yi =N•HG U l = V E L OC ( N l NC =li+ l N= 10 CPLL ~HENOCCIFOT,N,YI,UJ,VELOC,H,VETO,REY,PF, T,NC,DU,DEMNúl H: HT 1 Yl=N•HG UI=VELOC<Nl NC=N+l N= 2C 6

- - - ~1; 1 LL-ii HE-NO { C l F O'ttN, Y l , U b VE lilC-, rl-,VE+O, REY-,rf'RrT ,·N C ,·OU> llE-M-N [r)

H= HTZ Yl=2ETA1 N T = IF IX e ( Y ~O• ZE TA 1 l / H l N C =N + l Ul=IIELOC{ NJ N = N T +e NO• 1 J Cill fiHENO(CIFOT,N,YI,UJ,VELOC,H,VETO,REY,Pfi,l,NG,DU,DEMNOl Nt8=N:6+1 M:N N=N56 +N 0( 20 ~.l=N7e, N _A(KU=V_UQ(U _

ºº

º"'

<> ...J::: < :, a: ~

w"

t o g ~I W w 1 u. o I W o O":: <o Q .:, _z (/) a: w > z :::, , , .. 1 i. -1 o a: w z < -, <

w~

oz _.o "' o,_ - W a: -' _w

ºº

º"'

<> ...J::: < :, a: ~ w:ll '

08

•' ww ~! u. o

~!

wo ::1 ow ~I <( -' o

..

o.:, 1· _z 51 (/) ;: a: w il >

;r

z ~I :::, 1

~

. _[

______ _

o a: w z <( -, < w ',' o~ "' o ,_ -W a: -' _w

ºº

o~ Dl=C.1:0005 H= HG A f< l l = < CP C 1 > / C 2 • H* • 2 J l • CP< 1 ) / C ( Y ( ll / ( F C-R I l l • C .4 * f l l J + C 1. / ( 4 • H ) J. CP $(2)l/C2•Hll 8 ( 1l = < -e PC 1 l / H • • 2 l - C < E 1- 1 • ) / C 2 • B 1 l J * < U C 1 l l • R O~ l C C 1 l = C (P { 1 l / (2 • H ** 2 l l - CP C 1 J/ C C YC 1 l / C R ( - R l l J *{ 4 • H l l l -

<

1 • / C.4 • H l l • CP C $2))/CZ*Hll . D{ 1)=-cz•E(/U( 1 > )•CU( 2)/(;:'Ü) >*•2 NC=2 NL=IFIXCYLI/Hl N:NL Ct L L COE F C f , N , P , Y, U, A ê , 8, C,

.e

l Hl=C(~+lJ•HGJ/YLI H=HT N(=NL+l N=NO C t L L COE F

e

H, N , F , Y , U, A 2, B, C , C l H: HG NG=N+l N: 10

Ctll COEF< H,N,P ,Y,U, A2,8,C,Cl H=CZETAl-N•HGl/1400-Nl Hfl=H NC=N+l N:206 Ctll COEFCH,N,P,Y,U,A2,8,C,Cl ··/.ll~I-ff-)ff( nq-zETAl l/H) - - . -····-·-·--·-··· ... N.C =f'H 1 Hl2=H N=NT+INO-ll CALL COEFCH,N,P,Y,U,A2,B,C,CJ H=HT2 NC=N+l N: 7 S1 C t Ll COE F ( t,, N , P , Y, U, A 2 , i3, C , C > H= HT 1 NC=f\+1 N:987 Ctll COEF<~,f\J,P,Y,U,A2,B,C,CJ h = HG N C =N + 1 N= 5S 7 Ctll COEF<h,N,P,Y,IJ,~2,B,C,CJ K~=l 3C CJCl,ll=O,C ClC1,2l=CC!l+8C 1l ClCl,3l=A2C!) ClCN, l l=Clf\J) Cl<fl,2l=B(Nl+A2{Nl ClCN,!1=0,0 O( 1 I=2,r-:-1 CJCi,ll=CCI> ClcI,2J=B< ll Cl<1,3l=A2<I> 1 TlCll=OI!) P. 62 TlClJ=OCll Tl(Nl=DCN)·~21Nl•CCHG••2/14.0•<RO/IRO•fi!Jll)+CHG••2/4.0l+HG/2,0l Ctll ~ESOLV I N, CI, TI ,TEMº·>·

TE MP C f\ + 1 J =TEM PC N l + H • • U C 4 • C • C

''° /

C R

o-

R l l l l • ~ ** 2 / 4 • O + H / 2

.o

.

0( 832 1=2,~ 1 O C 1 l = -A2 1 I ) • T EM P ( I + 1 l -C C - P ( I l / H ** 2 l H C 81- 1. l / ( 2 • E 1 l l • U C I l •ROM l •TE~-; $ P ( I ) - C <I J • 1 EM PC I -1 l - e 2 * E C / U C I ) * • 2 l • ,t ( U C I + 1 l • U < I- 1 l J / C 2 * H l l • • 2 ~32 CCNTI~UE . IFCKN/100•1CO.LT.KNIGC TO 47 DC 46 1=1•249•3 . W ii IT E C 5 , G 4 éJ H l J, TE MP C I l , YC I • 2 4 9 l , TE ~PC l + 2 4 9 J , Y C I + 4 9 8 ) , TE~-PC I + 4 9

a

$ J, Y ( l + 7 4 7 l , TE MP C I + 7 4 7 J 648 FCRMAT (5X,4CF8.3,3X,El3.6,3XI,/) 4E CCNTI f\UE 47 K~=IIN+l -- ·--U-CKN-·SO{rl E3'3 ,·B 3-3, 6'3 4 ~ 3 3 GC TO 30 278E CCNTI~UE 634 HRITEC18l TEMP WRITE<lBl U WR!TECl8l ~2 WRITE(18l F Wfi!TEC18l C WR IT E< 18 l 8 W~!TE(l8l Y WfiITE(18JO WRITE<l81Bl WRITEC18JRO WRITEC18lRI LCCKC 18> CILL EX! r E~D