A decomposição da matriz de planejamento por valores singulares em modelos de posto incompleto

Texto

(1)A DECOMPOSIÇÃO DA MATRIZ DE PLANEJAMENTO POR VALORES SINGULARES EM MODELOS DE POSTO INCOMPLETO. ANTONIO ASSIZ DE CARVALHO FILHO. Orientador: Prof. Dr. ANTONIO FRANCISCO IEMMA. Tes e a p r es e nt a d a à E scola Superior de Agricultura 11 Luiz de Queiroz", da Universidade de São Paulo, para obtenção do título de Doutor em Agronomia, Área de Concentração: Estatística e Expe rimentação Agronômica.. PIRACICABA Estado de São Paulo - Brasil Novembro - 1987.

(2) .i i .. Aos meus pais, Antonio Assiz e Maria Aparecida e aos meus filhos, An�onio Assiz d� Carvalho Neto e Afonso Dal lapiazza de Carvalho,. OFEREÇO.. A minha esposa Rosangela Maria,. DEDICO..

(3) . i. i .. AGRADECIMENTOS A bus e a d o idea 1 q ue a qui se e on cret iza exigiu e e r ca de oito anos de luta. Bem ou mal chegamos.. No. entanto,. muitas vezes mãos amigas nos impulsionaram e permitiram que a caminhada não fosse truncada.. Na verdade, ninguém chega sozinho e seria honesto que esse rol fosse explicitado. Nesse contexto, apesar. de. erro por omissão, permito-me àeixar _registrada minha since ra gratidão, dentre muitos para:. Antonio Francisco lemma e Antonio Assiz de Carvalho, os e ·ternos orie'ntadores.. Humperto de Campos e Décio Barbin, pelo estfmulo. e apoio. em todos os momentos,. • Myrthes da Fonseca Pinto, por suas val iasas recomendações, amizade e apoio nos bons e nos maus momentos.. • Alvanir de Figueiredo, Carmen D.. R.. Daré, José. Fernando. Mar tins B onilha, J os é · Ferr ar i L ei. te, Mar e os A 1 e gre, Mar i a Kimie Koyanagui Horimoto e Roberto Pannain que cohfiaram nbs primeiros passos.. (in memorian),.

(4) .iv. . Fernando Ferrari, companhe_i ro de estudo e de luta. . Maria Helena Ferrete, amiga e incentivadora. • Marta Helena de Carvalho Guadanhin e Jos� Roberto. Guada. nhin, pela revisão do manuscrito e preparo do original .. • Sue)y Asami Takara Mendes Ferrefra, pela datilografia. da. revtsio final deste trabalho. Clarice Garcta Borges Demftrio, pela redação do SUMMARY. Marta tzal �na Ferreira Alves e Rosa Maria Alves, pela ami zade, atençãb e apoio dado durante o Curso. Aos professores do L.E.Fernando Costa, da gestão do saudo so.. diretor Krisan Martin, pelo bom ensino recebido.. . Rosângela Maria, Antonio Assis de Carvalho Neto e. Afonso. Dallapiazza de Carvalho, que deram sentido a esta vida..

(5) • V •. ÍNDICE Página RESUMO. Q. O. •. O. e. •. e,. O. O. e ·O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. CI. O. O. O. $. e. o. O. O. O. II. O. O. O. O. O. o. O. O. O. o. SUMMARY .......................... ; ..... : ........... · .. Viii X. 1. 1 NTRODUÇÃO 4. 2. REVISÃO DE LITERATURA 3� METODO. 1. o. O. O. O. O. O. O. o·. 0. CI. O. S. O. CI. O. C,. CI. G. Ili. CI. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. O. CI. O. 3.1. Introdução ·.�................................. 19 19. 3.2. A Decomposição da.Matriz X por Valores Singu 19. lares 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................ 25. 4 : 1 • 1 ntrodução . • • • . • • • . • • • • • • ·• • . • • • • • • • . • • .. • • • •. 25. 4.2. O Mod�lo Linear de Gauss-Markov ............ .. 25. 4 • 2.1 . Caracterização ................. � -� ..... ·. 25. 4.2.2. Solução de mín�mos quadrados ·: . . . . . . . _ 4 • -2 • 3. M e- d.I a d e 0 o • �. • • • • • • • • • • • • .• • • • • • • • • • • •. 26 31. 4.2.4. Um estimador não tendencioso para a 2. 32. 4-.2.5. Funções estimáveis .................... 33. 4.2.6. Obtenção do B.L.U.E.. 35. 4.3. Sistema de Equações Normais Reduzidas ........ 36. 4.'3.1. O modelo 1 inear ....................•.. 36. 4.3.2. Estimabilidade_de um subconjunto de p� râmetros ....... ................... . . . 4.3.3. Análise.de Variânc�a. ................... 41 41.

(6) •V j •. Página. 45. 4.4. Distribuição das Formas Quadráticas 4.4.1. Introdução ..... .................. . ... 4.4. 2 . A distribuição de y 1 Pu1 y ··········._-. 45 46. (1 - Pu1 )y . . . . . .. 47. 4.4.5. A distribuição de y� (1 - Pu11)y ...... 48. 4.4.3. A distribuição de. y. 1. 4.4.4. A distribuição de y 1 (Pul - Pu11)y .... 47. 4.5. Intervalos e Regiões de Confiança ....... . .... 48. 4.5.1. lhtervalos de confiança ... . . .... . ... .. 49. 4.5. 2 . Regiões de confiança ................. 4.5.3. Testes de hipóteses baseados em. 51. re-. giões de confiança. 56. 4.6. Aplicações dos Resultados Básicos nos Modelos Lineares para um Fator Inteiramente. Casuali-. zado . . .. . ............ . .............. . . . . . . ... 57. 4. 6.1 • 1 nt.rodução . . ... ......... . ........... .. 57. 4.6. 2 . O a 1 goritmo .... .... . . . ...... . . . . · ... . .. 6O. 4.6.3. Alguns resultados Gteis . ;...... .. . . . .. 77. sualizado ...........·: ........................ 86. 4. 7. 1. Descrição do modelo ................... 86. 4.7. 2 . Estimabilidade ··"····················. 89. 4. 7.3.. + e •••••••. 91. 4.7.4. Distribuição das formas quadráticas . .. 99. 4.7. O Modelo Linear com um Fator Inteiramente Ca. No modelo. Y �. [x 2 ,v 2 ). [::]. 4.7.5. Estimação por intervalo e por região. 101.

(7) •Vi i .. Página 4.8. Um Exemplo Numérico .•......................... 102. 5. CONCLUSÕES ••.••••• : .•.•••• •••••••.•••.•.••.•••••.. 113. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGR/\FICAS ................ ........ 114.

(8) • Vi j j •. A DECOMPOSICAO DA MATRIZ DE PLANEJAMENTO POR VALORES SINGULARES EM MODELOS DE POSTO INCOMPLETO AUTOR: ANTONIO Ass1z DE CARVALHO FILHO. ÜRIENTADOR: PROF, DR, ANTONIO FRANCISCO IEMMA RESUMO. Neste trabalho propoe-se uma alternativa para o estudo de modelos 1 ineares atravi� da substituição .da. ma. triz do delineamento pela sua Decomposição pelos Valores Sin gulares (D.V.S). Visando ilustrar teoricamente o processo, presenta-se o estudo do modelq 1 inear dela linear caracterizado por trutura gaussiana, onde j. =. 1, 2, ..., R. i. =. y. e do. mo-. + - t.I + ei .; com J 1, 2, ..., T tratamentos. es-. =. xe.+ d. a. Yi· = µ J. e. repetições.. Verifica-se no desenvolvimento te6rico do mo delo adotado e na aplicação dos resultados obtidos sobre exemplo numirico, que a D.V.S. pioporciona de modo. um. simples,. ripido e objet�vo, a obtenção ·de virias resultados de. inte. resse estatístico, tais como: • A obtenção cle novas regras para as funções estimiveis no modelo linear presente estudo;. verifivar. y = X0 + e (G.M.) do.

(9) iX•. . O estudo das distribuições das formas. qua-. dráticas no modelo reduzido; . Os testes de interesse estatísticos. . Além disso, obteve-se um método para decompor a matriz do delineamento. X. n p. p elos Valores. Singulares. (D.V.S.) sem a utilização de recursos computacionais..

(10) •X •. THE SINGULAR - VALUE DECOMPOSITION OF THE DESIGN MATRIX IN NOT FULL RANK MODELS Au.THOR: ANTONIO Ass1z DE CARVALHO FILHO. ADVISER: PROF, DR, ANiONIO FRANCISCO IEMMA SUMMARY for. An alternative method is proposed. study of linear models substituting the design matri x. the by. its singular-value decomposition (S.V.D.).. 1 inear model. y. The method is i 1 lustrated by the study of the =. xe. +. d. and t he linear. with Gaussian structure, where and. j = 1, 2, ..., R. = 1,. 2,. Yi· J. .. . ,. µ·. =. T. + t.+ ei . I J treatments. repetitions.. lt ·is showed through the .theoretical expansion of the adapted model and the application of the results to a numerical e xample, that S.V.D. gives in a simple , quick and objective way the fol lowing results: . New rules to verify the eitimable in the linear model. y = X8 + e. functions. under study .. . -The study of distributions of the quadratic forms in the reduced model. The tests of statistical interest..

(11) •X j •. • Besides that a method to dP.compose. the. n Xp desi g n matr i x i n its s i n g u l ar v a l u es· w as ohta i n e d withou t. the use of computer..

(12) 1. INTRODUCÃO ' A Decomposição em Valores Singulares (D.V.S.) tem sido em geral uti 1 izada em modelos 1 ineares de posto com pleto. No presente e�tudo, adota-se o modelo. 1 inear. de Gauss-Markov X ny 1 = n p onde Y é o vetor de observações, X e a matriz. de. planejamento. (rank(X) < min{n,p)), 0 é o vetor de par�metros e e e o erro aleat6rio com diitri�uição normal atrib.uído á observação. y . .,. IJ. 2. tal que E(e) = 0 e Var.(e) = 10 .. Não há d�vidas de que dada a D.V.S. da matriz. de dei ineamento em modelos 1 ineares de posto incompleto (X), seja possívil a obtenção de vários algoritmos para. obter-se. diversos resultados estatísticos de interesse. O que tem. 1i. mitado sua utilização ê a dificuldade numérica de. obtenção. dos autovalores e dos autovetores normalizados dos. produtos. matriciais de XX' e X'X. Na análise de regressão, a substituição matriz X pela·sua D.V.S. tem sido associada � t�tnica. da conhe.

(13) . 2.. cida como Regressão pqr Componentes Principais, e permite � tingir, de acordo com MANDELL (1982), vários objetivos, en. tre os quais destaca-se a visualização gráfica de eventuais problemas de colinearidade nas colunas de X, e seus efeitos sobre a Análise de Regressão. Segundo LIM_A FILHO (1981), mesmo que a colinearidade não exista, a D:V.S. fornece os algorftmos estáveis para os cálculos .relacionados � regressão. mais inear.. O presente trabalho objetivá: a) desenvolver alguns aspectos básicos. da. teoria dos Modelos Lineares de Gauss-Markov (G.M.) pelo enfoque da D.V.S., visto que o assunto é atual e nao sao muns as publicações sobre o uso da D.V.S. nos modelos. code. posto incompleto; b) aplicar.os resultados obtidos no. modelo. linear de G.M. com um fator inteiramente casualizado, carac terizado por: y. - :::: µ + t. + e . . , 1 J 1 1 J. com. = 1 ' j =. 1 '. T. fratamentos. R. repetições:.

(14) .3.. e) verificar se a D.V.S. pode ser considerada um bom competidor junto aos procedimentos mais. utilizados. nesse tipo de delineamento para a solução do sistema.. de equ� çoes normais e nos testes de interesse, quando o pesquisador não tem o acesso ficil is rotinas �omputacionais dos. virios. pacotes estatfsticos existentes, tais como o 1 .M.S.L. (Inter national Mathematical and Statístical Librar�) e o (Statistical Analisys System), dentre outros.. S.A.S..

(15) .4 .. 2. REVISÃO DE LITERATURÁ Decompor uma matriz X por seus valores sing� lares consiste basicamente em obter uma mat riz S formada pelos autovalores de XX', uma matriz U dos correspondentes autov� t9res normalizados de X'X e uma matriz V dos autovetores nor malizados de X'X, donde se terá: X = USV' Vários textos, c omo ACTON (1970),. MURDOCH. (1970), BAYLEY (1971), COHEN (1973) e STEINBERG (1974) apr�. sentam definições.e teoremas básicos sobre autovalores e au tovetores de matrizes reais e simétricas. De acordo com SEARLE (1982), os de uma matriz A(n) são as raízes de uma equação. em. À. autovalores polinomial. de ordem n, e � medida im que a dimensão de A( ) aume� n. ta, vai se tornan�o impraticável calcular seu polinômio ca. racterístico e, consequentemente, encontrar suas raízes. Em muitos casos, conhecendo-se o polinômio característico. de. uma matriz, a determinação de suas raízes ai_nda é um probl� ma considerado difí�il para matrizes de grande dimensão. . WILKINSON (1964) descreve vários. ai'goritmos.

(16) para a obtenção de autovalores e autovetores de matrizes. si. métricas: vãrios deles, tais como o Método Periódico de Jaco. -. inspirados. bi, Givens e de Householder, observa-se que sao no método clássico de Jacobi. No método de Jacobi. a. original é posta na forma diagonal atraves de uma. sequência. de rotações no plano, usualmente conhecidas como. 11. matriz. Transforma. çÕes de Jacobi 11 q O método de Jacobi não é uma :técnica. efi. ciente para calcu 1 ar autov é'! lore s de ni atrizes si métric as, pois produzir. o número de rotaçoes no pl�no, necessárias para. -. da. forma diagonal nao e finito, isto é, os elementos fora. -. diagonal principal nao convergem necessariamente para. a. zero.. Na prática, o processo termina quando os elementos fora. da. diagonal principal são de pequena magnitude, de modo que nao comprometam a exatidão dos autovalores obtidos (os elementos da diagonal principal). Sua simplicidade recomenda a sua. exposição. nesse traba_lho, junto com� observação de que o. aperfei�o�. menta dessa técnica forneceu métodos numericamente mais es táveis na redução de matri-zes simétricas para matrizes. dia. ganais. Denotando a matriz original por A .. '. .. ,. 0. - .. ve-se, a seguir, o processo de Jacobi: Uma sequência de mat�izes Ak, k = 0,1,. e gerada satisfazendo a relação:. descre.

(17) .6 .. . onde a matriz Rk é determinada como se segue: Suponha-se que os elementos fora da diagonal principal de Ak-l de maior valor absoluto esteja na posição. '. (p,q). (p-ésima linha, q-ésima coluna), então Rk corresponde. a rotação no plano (p,q) e o ângulo 0 da rotação é selecio-. nado de modo que. reduza o elemento em (p,q) de Ak- l para. ro. Tem-se então R. desde que p < q. =. PP. R. = - R . e. R• • 1. J. ze. qq. qp. =. cos0. =. sene. 1 (i,j f. p,q) =. O caso contrário Ak difere de Ak-l somente na p-ésima 1 inha e na q-ésima co. luna. Todas Ak (k = 0,1, ... ) são simétricas . Define-se os valores modificados d� seguinte maneira:. a (k) = i 'p a (k). i 'q. =. a. ( k- 1 ) cose + a (k-1) sen e. i'p. i 'q. -1) cose -a (k- 1 ) sen0 + a (k i' p. i 'q. (k) p' i. =. a. =. a (k) q' i. p,q.

(18) . 7. ) a (k == p,p. a (k -1 ) cos 2 e + 2 a( k-1) cose sene + a(k -1) sen 2 e p,p q, q p,q. ) a (k = q,q. a ( -1) sen 2 e p,p k. -. 2 a ( k-1) cose sene + a (k -1') cos 2 e p,q q,q. k k a ( ) = (a( -1)_ a (k -1)) cose sene + a (k -l) (cos 2 0 - sen2 0)= a qp p;q p,q q ,q P,P. De acordo com WILKINSON (1964), sendo. e e defini do da seguinte maneira: 1) k - ·1 ) - a ( k - 1 ) ) tan 2 e = 2 a ( k / (a ( q,p qq PP. donde. e. = 1. y. arc tg. 2 a(k -1) q,p. a. (-k- 1) - a ( k- 1) q 'q. p,p. k se a ( -l) = a (k -l), toma-se e = + 1T/4, concordando com o si q,q· p,p . k nal de a ( -l) CJ,P. O processo.e essencialmente iter�tivo,. uma.

(19) . 8. vez que um elemento que foi reduzido a zero por uma rotação é, em geral, diferente de zero nas rotações subsequentes.. e é. WILKINSON (1964) prova que se. lel �. do intervalo. tomado. TI/4, então diag ( À • ) 1. quando K --,.. ao. -. onde os;\. sao os autovalores de A , e cons�quentemente pa1 0. ra todos Ak.. Uma estratégia simples de seleção dos eleme� tos para efet�ar-se as rotações no plano, obtém-se tomando-se os elementos da matriz A na ordem: (1,2), {1,3) (l,n); (2,3), (2,4),. ...'. ... '. ( 2, n). torn·a-se para o elemento (1,2). , . .. '. (n-1, n), e então re-. Tal esquema e denominado mé. todo de Jacobi Periódico. HENRICI (1958) demonstra que o método de Ja cobi Periódico realmente converge, se os ângulos dé rotação são limitados adequadamente. lel �. TI/4.. A transformação de Jacobi não é um método pr� tico para reduzir matrizes simé tricas para matrizes. diago. nais, por não permitir constru i r um mé todo efi ciente ta 1 que não destrya os zer9s já obtidos anteriormente. De acordo com IEMMA (1982.), dada A{ k rea 1 e ). uniforme, existe uma matriz de Helmert �(k),. têll que HAH' =D,.

(20) . 9.. onde. · D. é a matriz.diagonal que espelha os autovaloresde. A e H e uma matriz ortogonal cujas tores normalizados de. 1 inhas contêm os autove. A.. Além disso,. a matriz H (k). tem lei de. forma-. çao extremamente simples, dependente apenas de: sua dimensão. K. 1. 1. k. ,/K o. -1. 1. ./2. ✓�. w. 1. ✓2.3. ✓. H (K) =. ✓(K-l)K. 1. fazendo H. 1 EMMA ( 1985) , decomposição espectral de A. A =. (k). Y1hh. 1. (k). o. o. o. -K(K-1). ,/(K-l)K. v'{K-l)K. o. v'lK-l)K. ª. [:�],. obtém a. real e. uniforme através de. + Y2H* 1 H*.

(21) • 1O•. -. o n de y 1 e y 2 sao autovalores de A , y 2 com. mu 1 tip 1 i ci da de. K-1. De modo análogo, obtém a inversa clássica generalizada de Moore -Penrose para A de posto incompleto , respectivamente por:. A. A. -1. =. 1 yl. +. =. y2. hh' +. --y2. H*'H*. H*'H*. Mostra também que uma co n dição. n ecessária. e suficiente para. q�e as soluções de mínimos quadrados ordin ários sejam. solu. ções .das equações de Aitken é que P e íl comutem. Aqui P. e. projetor· ortogonal de y em C(X) e íl e a matriz de variânci as e covariâncias. IEMMA (1987a) apresenta procedimentos gerais para a manipulação didática de co n ceitos como. Decomposição. Es�ectral , Decomposição por Valores Si n gulares e defi n e matriz K tre. n. - uniforme, obtida pelo produto de Kronecker. a en. matrizes uniformes, apresentando as re gras básicas p�. n. ra a obte n ção de seus autovalores .. ...'. ... ,·A. n. H. n. matrizes uniformes. e. matrizes de H e 1 mert tais que H.1 A. H. = D. 1 1 1. 1. Então, r,,A) (H 1\..J2 '�H'@ ... · @H')= �n. }. = D 1(8 D J3) . ; .. ® On =. n. D = matriz d ia g o n a 1 que ex ibe os a u t ova -.

(22) • 11 • lores da matriz B = K n A . j Os três últimos trabalhos citados irão alicer çar o estudo da obte n ção da D.V.S. da matriz. n. X. p. modelo. no.. fi n ear do prese n te estudo. o posto. da. P or outro lado, no modelo linear Y 1.;, X . 8 1 + e , n 1 n n p p _ em geral, nos delineamentos e' matriz. experimentais,. n p. menor. que o. mínimo entre p e n, tendo en-. posto colu n a i n completo, e_ consequentemente o sist� p " ma de equações normais (S.E.N.) X ' X 0 = X 'y sempre consisten tão. n. X. te, e nesse caso, i n determinado. Para solução do sistema de equaçoes. normais. i n determinado,·e n contra-se, entre outros, o procedimento de i n versas ge n eralizadas. �ma sol ução do sistema de equações normais a tra v é s da i n v ersa · ge n era 1 izada p ode ser . obti d a, p o r e x em p 1 o, em. RAO (1965), SEARLE (1971), SEBER (1977), SEARLE. e IEMMA (1985) por. ê. =. ( X 'X)+X'y, onde ( X ' X ). ge n eializada de Moore-Pen�ose de. X. +. 1. X. é defi n ida por. o n de. p. para cada ma -. , de posto t, existe uma ú n ica matriz ( X. (x•x) x•x. p. +. 1 = e• (cc•) - (s•s)-1 s• e. inversa. é a. 'X.. De acordo com GRAYBI LL (1968) triz X. (1984). r ·cx•x) = r( B) = r( C) •. 1. X. ). +. e. ela.

(23) • 12• Sem dúvida, a obtenção de (X'X). +. é, em geral,. bastante trabalhosa, mormente quando não se pode contar. com. o uso de pacotes estatfsticos para comp�tação. No eR�anto, a obtenção de B e C pode ser com clareza simplificada do uso do excelente algorftmo de DWIVEDI. através. (1975).. SEBER (1977) uti 1 iza o procedimento de. redu. zir o modelo ao de posto coluna completo, onde considera-se apenas. as colunas linearmente independentes de X. Chamando-se essa matriz de X , a solução do sistema e =. (. x_: xi ) -1x�. 1. e. dada. por. y.. CARVALHO (1982) considera o modelo linear y=:=. xe + e com as condições G-M em e ' e toma X = U1S1V1 a decom pos i çao em valores singulares de X. ma Euclidiana. o. valor de. e que minimiza a nor. !Jy-xell e dada por. e = v 1 s -1 1 u1 ' y , A. e, em geral, feita com. auxílio. de pacotes estatísticos. O uso de restrições não estimáveis nas soluçoes tem sido, segundo RAO ( 1965) , SEARLE (1971) e. SEBER. (1977), o mais empregado dentre os procedimentos de busca de. -. solução única para o sistema de equaçoes normais. G O MES (19 6 7) pr o põe que a res·trição , M 8 ° =. t. imposta a matriz X'X, obtendo-se uma matriz (X'X- M) não singular, facilitando a obtenção de uma forma'geral pa-.

(24) • 1 3. ra as soluções do S.E.N. restrito. SEARLE (197 1) di st i ngue restrição. paramétrJ_. ca e restrições nas soluções (contraint). As restrições. p�. ramétricas são originadas da definição feita sobre os parametros. Como exemplo considera os parâmetros como os. três. angulos de um triângulo. A restrição natural e que a sua so ma seja 180 ° . Já a restrição nas soluções tem como objetivo determinar solução Gnica para o S.E.N., evitando o uso. de. inversas generalizadas. RAO (1965) e CARVALHO (1982) nao fazem di ' stinção, e . determi ri am o S . E. N . com restr ição não estimá ve 1 a tra vés da mi n im i zação de. 1. ! y - 'x e. essa. paramétrica 1 1. 2. sujeito. i restrição 8 1 8 = C pelo méto�o dos multipli�adores de. La. grange, obtendo:. onde 1 e um vetor de multiplitadores de Lagrange. SEARLE (1984) considera uma inversa generalJ_ zada (X'X). 4. = G, da qual obtém a inversa generalizada Gr su 1 .. jeita a restrição não estimável B0. =. 0, sendo que B tem po�. to coluna completo. Geralmente uiiliza-se desse processo. quando. se tem acesso fáci 1 a rotinas computacionais como o S.A.S. G.L.M. dentre outros, obtendo-se �m·vetor solução (com. al-.

(25) . 14. guns elementos iguais a zero) e G, que são convertidos para o modelo com as restrições impostas; resultando:. e. e. º. r. = G X1y r. De acordo com GRAYBILL (1961) e JOHN (1971), outro procedimento uti 1 i-zado na busca do modelo de. posto. completo tem sido a reparametrização, a qual consiste em di -. I. -. minuir o numer9 de parametros a traves de transformaçoes lineares, de tal forma que a matriz X obtida seja de rank co]una. completo_. CARVALHO (1982) apresenta uma condição. para. que dois modelos sejam reparametrizações um do outro. Nos modelos. lineares do presente estudo, fre quentemente surge o interesse sobre funções 1 ineares dos p� râmetros; entretanto, nem todas as funções lineares dos pa râmetros são identificáveis dos dados. De acordo com CARVALHO (1982), y. =. no. modelo. xe+d, a função linear paramétrica À 1 8 é identificável. e sóse À 1. E:. R(X), onde. R(X) denota o espaço gerado. se. pelas. linhas de X; e destaca a difere nça entre os conceitos de i dentificabilidade (no modelo linear sem estrutura de erros) e estimabilidade (no modelo estoc�stico)_ da·função À 1 8. Segundo RAO (1945), o melhor estimador line-.

(26) • 15. ar. (b.l.u.e.) da função-estimável. do po r À·'. e. º = À' e. ( Teorema. À•. 0 é da-. de G aus s - Mar k ov) , onde 0° é qua.!_ +. quer solução das equações normais. Naturalmente � = X y. e= A. e. V 1 S -1 1 U\ y são elementos do conjunto de soluções.. IEMMA (1987b), utilizando os conceitos de De composição Espectral, de D.V.S. e de Equações Normais Reduzidas, apresenta a lei de formação para as matrizes. inver. sas generalizadas de Moore-Penrose nos delineamentos em Blo cos Casualizados, Blocos Incompletos Balanceados,. Redes. e Quadrados Latinos. Através das leis de formação, verifica que o sistema de E.N.R. CT. =. Q pode ser resolvido sem a. in. ve�são da matriz C. Assim, uma solução geral �ode ser obti da no modelo irrestrito por. eº =. mCQ, onde m e um valor. fa. cilmente determinável e con&tante para cada planejamento. Apresentaremos a seguir alguns. resultacos·,. já conhecidos da literatura atinente a modelos lineares, em face aos objetivos desse estudo.. Definição 1 - Dada a matriz. A , se existe a matriz m n. que satisfaz às quatro condições a seguir, entao finlda como a inversa de Hoore-Penrose de A.. e. de.

(27) • 16.. +. e simétrica. iii) A + AA. i i) A A. e simétrica. iv) AA A. i) AA +. +. +. =. A. =. A. +. . Teorema 1 (GRAYBILL, 1969). ma única matriz. Para cada matriz mAn' de posto r, existe u n. A. +. m ·. e ela é definida por:. onde .A. mBr rCn. =. m n. r(A). e. =. r(B). =. r(C). =. Teorema 2 (GRAYBILL, 1969) Dada as matrizes + i) (A ) '. =. (A•). +. =. A. +. ii).(A ). == A + A, +. +. +. =. =. + A <=> AA. i V) (AA ) v) A. 2. AA. e. n. t1 m, então:. +. +. iii) (A'A). A. m n. +. e A +. A. =. + + 1 Vi) Se r(A) = m' então A = A• (AA •) - e AA = + 1 + Se r(A) = n ' então A = (A 1 A)- A 1 e A A =. Vi j) Se. 3. A. -1. 2-,. A. -1. =. A. +. r.

(28) •1. viii) Se Ai idempoten�e, então A ix). +. = A. Se r(A) = r( M) == n, então (A +. +. M). +. =. +. M A. +. +. 7.. +. + +. x) r(A ) = r(AA ) = r(A A) = r(AA A) = r(A AA ). Teorema 3 (GRAYBILL, 1969). Seja mAn uma matriz que tra�sforma o vetor yEV no vetor 9cC(A) � isto-é, 9= A 8 então.existe uma n m n n 1' matriz simitrica e idempotente P = AA. +. tal qµe y = Py. Nesse caso, Pi projetor ortogonal do. ve. tor y sobre o espaço coluna de A.. Teorema 4 (GRAYBILL, 1961).. de XB -. y. O vetor e º e-solução de mínimos = e(0), se e somente se o vetor. xe º. quadrados é. projeção. �rtogonal de y no espaço coluna de X. Nesse caso, 9 = XB º= P. y. é a aproximação·de mínimos. quadrados para y. Os resultados enunciados a seguir, podem ser. encontrados em SEARLE (1971, cap. s)', dentre outros. Sejam: n Y ·1. um. vetor de variiveis aleat6rias com distribuição nor ma 1 ta t que y · "' N { µ, íl o 2). ;.

(29) . 18 . An. uma matriz real e simétrica;. íln. uma matriz real, simétrica e p o sitiva definida;. nBk. uma matriz real;. Cn. uma matriz real e simétrica.. Teorema 5. (Searle, 1971). . i) E [y ,·Ay] i j-). y_'Ay_ 0. 2. Tr [Aíl]o 2 + µ'Aµ. =. � X. 2. r( [ A);. µ'Aµ] �2 2o. se e. 50. se Aíl e idempotente. iii) y'Ay e y 1 Cy sao independentemente distribuídas se e so AílC iv) y 'Ay e B'y. =. 0 ou CílA. =. 0 (simétricas). sio indep endentemente distribuídas se só se BílA = 0.. e.

(30) •19.. 3º METODO 3, 1, 1 NTRODUCÃO Para a compreens ao de resulfados oriundos. do. uso da Decomposição por Valores Singulares, .é necessário. a. bordar alguns aspectos básicos da teoria da Decomposição pe lo Valor Singular de uma matriz X. Nesse contexto, a propri� dade sobre a qual discorre-se a seguir e fundamental para os. s. p ropó itos -do p resente est udo, e a s ua pro va segue as trizes apresentadas, com riquezas de detalhes, em. d i re -. CARVALHO. (1982).. 3,2, A DECOMPOSIÇÃO DA MATRIZ X POR VALORES SINGULARES Segundo Eckart e Y o ung (1936), CARVALHO (1982), dada uma matriz com valores singulares s1.�s2 togonais. X. = • • •. - n u·n. por.. X de rank r ;;;; min { n , p} n p. U e V tais que n n p n n p. citado. s. s , existem matrizes orto r. n n. . v• p. n. Eckart, C. e Young, G. The apr6ximation of a matrix by another.of lower rarik. Psychometrika, (1): 211.;.21-8, 1936..

(31) • 2O •. onde. 7. s . l. s. s. ·r. =. o o. .•. Demonstraçio (por constru�io) i). Os vetores u1, u2,. ...'. u. r. u. '. r+l. as n colunas de. ... ,-u , n. U, são escolhidas como um conjunto de autov etores nais normalizados de res. 2 s1. '. 2 52. XX 1 n n 2. s ' r. correspondendo. ,. o, o ,. ...,. O de XX. aos 1. ortog�. autovalo. toma-se. en-. tão J _,. LI ] r. onde. sa o os autovetores norma 1 izados -. 1. 2. 2. 2. correspondentes aos autovalores -nao nulos de XX ; si' S 2 , , • • S r. e.

(32) • 21 •. U1. =. [ur+ 1, ur+ 2,•••, u] n. sao os autovetores corresponde�. tes aos autova 1 ores nu 1 os de XX I ; · · Seja de XX. 1. ,. Vi. s2 , s2 ,..•, s 2 r+ 1 r+ 2 n. um conjunto ortonormal. -. de autovetores. e or respondente· aos autova 1 ores nao nu 1 os. XX I u. 1. = s'2.. u.. 1 , 2,. =. 1. 1. CARVALHO. =. 1. r.. define.v ; i. (1982). V.. •. = 1,2 ,.�.,r. por. X-'u .. . 1. s. 1. ten·do-se então:. = v!v. 1 J. =. (X 1 u.) s. s. 1. J. (X 1 u.) J. u;1 s.2 u . 1 J J. J. s. = _l_ u ! u.. s.. 1. u!XX' uJ.; 1.. s. s . 1. V !v. 1 J. J. s. s. 1.. =. L. 1. J. -. mas os u. sao ortogonais, en 1. 1. tão: V! V. 1 J. Kronecker;. =. s . 1. s.. portanto V.' 1. cS •• = Ij. cS ••, onde .1 j. cS •• refere-se ao cS IJ. � r sao ortogonais.. de.

(33) • 22 • constitue. ' u r}. , v. ortonormal para C(X),. 1 X'u., 1 = (1/s.) J {ur+l ' ur+2 ' v.. .... ra c. 1. (X). r. base. uma. } onde. constitue uma base 9rtonormal paqi, C(X 1), u. ,. n. } constitue uma base ortonormal. e. '. {vr+l ' v r+2 ' 1 ortonormal para C (X').. constitue uma. V } .p. p�. base. Tem-se então: U1. =. ( U1. u = [ u 1., V1 =. ( V1 ,. V. =. r+ 1 '. u. r+2 '. V2 =. [V ;i.. (V. r+ 1 '. V. r+2'. \1 2]. tem-se então, por construç�o: a) U =. [U. s s. =. U z ]_. ;i.. ��;-] U[. �. Seja X [ V1. X\:t1. V =. e. s. =. •. -. sao ortogonais. [Vl. u 1 xv. =. s . . , 1 J. V2l = [ u; XV1. u•2. XV :i,. :] : ] =. [s:. .... , un ). U2]. , Vr). V2 ,. (u. U2 =. , u r). U 2,. ,. então. u; XV2] U 2I XV · · 2. .... , Vp).

(34) . 23. Dessa forma: a) se. <. b) se. <. r. j. V. r. j. >. .....:.">. r. <. r. ). s.. IJ. =. s .. '-J. =. c/>. .... u '.-XV., mas 1 J. portanto, s.. 1J. =. s.. 1J. =. s .. IJ. =. s.. 1J. =. .. 1 u!XX 1 --.u.; mas XX'u. 1 J s. J J. s. J_ u. u ! __ 1. s. J s. o .• ' J. 1 J •. 51. J. { o". s.u.u. J 1 J. =. .1 e: se. i=. j. e. e .. logo: s 1. s. =. .. e/>. o que �ompleta .a demonstraç�o.. =. '. s.u. J J. V .. J. =. _l_X • u. J s. J.

(35) . 24.. A D.v.s;. fornece imediat amente. proje tore s ortogonais em C(X). e. C(X. 1. plemento s ortogonais. Px p. =. x•. p ..l.: X. p. Ü. 1 U ,.!. = V V{ 1. - u 1 u�. = .1. ...L X ,. =. 1. -. V1V 11. ),. a s matrizes dos. bem como em seus com.

(36) • 2 5.. 4, RESULTADOS E DISCUSSÃO 4,1, INTRODUÇÃO. Neste capftulo, apresentam-se as propostas originais desta tese para o estudo dos modelos lineares Gauss-Markov, no tocante às equações normais, estimação testes estatfsticos, e que formam ·a base para o estudo mod�l.os lineares de G.M. sob o prisma dessa t��nica.. 4,2, 0 MODELO LINEAR DE GAUSS-MARKOV 4,2,l, CARACTERIZAÇÃO O modelo 1 i n ear y = xe. + e. [4• 1 ]. onde e um vetor Bleat6rio relativo as observações, nyl 0. p. X e a matriz· de planejamento, p e. ;i;. i. um vetor de parimetros,.. de e dos.

(37) . 26.. e e um vetor aleatório, que tem distribuição normal n l 2 com média O. e variância la , e conhecido como mo de 1 o 1 i near de Gauss-Markov.. Como y .. do modelo [4.1.] são funções 1 J. linea-. res de e .. , das pressuposiç�es sobre os componentes do mode1 J lo, tem-se que: E{y). = xe. V(y) =. la. [ 4 • 2] 2. [4•3]. [ 4. 4]. 4,2,2. SOLUÇÃO DE MÍNIMOS QUADRADOS Es·taremos aqui buscando vetores e º , tais que a. .. .. º. distância euclidiana d(y, xe ) _seja m1n1ma. Formando-se a função z(e) =. IIY -. xell. 2. que nos cumpre minimizar, tem-se entao que. z(e). = y�y - 20. 1. x1 y. +. o•x•xe.

(38) • 2 7. Derivan�o - s e e m relaçio a ·dz. de. e, result a. -2X'y + 2X'Xe. =. Igualan do -se a zero obt�m-se o �istema de. e. quaçoes nor mais :. [ 4.5] Subst ituindo- se X pela sua D.V.S., o de equ ações normais [4.5]. s erá dado por. 1. [4.6]. v s · v' eO p l TT 1 TT i p p l = X = U;i.S1V{. xjx. =. sistema. e. v ]; s�v�. Obs.: T = posto(x). -. O sistema de equaçÕe� [4.6] e con si·stente. PROVA: De acordo co m GRAYBILL (1969), o sistema Ax = g. i cons istente se e �o s e �A +g = g. Tomando-se A= V ::i. S�V{_ = X'X e g = V l. S 1 U{y=X·' y .. -tem-se que rank[A] = r ank[V,) = r a n k (S· 12 ] = r a n k [ V 1.1 ] . = T , po.!:. t ant o, tem-se que:.

(39) . 28. a) A. = [V S� V { 1. +. ]. +. =. + b) vl = [V ).1 V ;L ]-:i,V';i.. e). u +1. U{[UIU :i, ]. =. -. ],. 2 v•], + s 1 + v+1 = V l1 + S-J, v+], 1. mas V { V:i, = 1. (T ). �. v+],. =. v•],. mas u I u i = 1 ( T). _:.). u ],. +. =. U'],. donde segue-se que. AA + g. = =. 2. V 1 S 1 v 11 v 11 + s-l 2 v+1 v1 s 1 u•1. Y. = g. o sistema [4.6] � consistente.. Proposição O vetor e º. do. sistema. de equações [4.6] . Prova: Sejam A = Vi S !V{ p p_ tiplicando [4.6] por A +· tem-se. e. Pré-mu 1-.

(40) • 29 .. •+s-l 2 v +1 v 1 s 1 u•1. = .V 1. mas V1,+= _V 1, então. Y. ou seja [ 4. 7] Pré-multiplicando [4.7-] por v;. e º = V ;I. S-lu• y· .1 ;L portanto, e. º. = V 1 S -1 1 Uf y· e uma solução para o sistema de e-. quaçÕes [4.6.]. Proposição 2 -. V ;i. S -1 ;i. U-f e a inversa generalizada de Moore-Pen rase de. X • n P Prova + A matriz p X = V l S l 1 U';I. satisfaz as quatro con n. diçÕes da Definiçãci da inversa de Moore-Penrose. De fato: ai). xx +. =. u 1 s ;i. v;v 1 s; 1 u�. a 2). x +x. =. v ;J. s-iu• l l. ... .. .. U l S ;l. V';J,. -· =. U l U'. l. v�v;. -. x� +. e simétrica. ⇒ x+x. e simétrica. �. -.

(41) . 3o • ª� ). x +xx +. =. (x +x)x +. ª4 ). xx + x. =. (xx +)x. =. =. "'1 v 1·. v•v 1 l s .:1 u•1 =. .. U 1 U 1 U1S 1 V{. Definição (IEMMA, lução das E.N., X'XS. =. =. V. s-iu•1 1 1. U1S1V1. xe º. X. =. eº. 1987 a ):se. é- qualquer so-. X'y, é portanto solução. quadrados para o sistema inconsistente tor y =. x+. =. y. xe,. =. .. .. de. .m1n1mos. entao o ve. é definido como a aproximação de mínimos quadra. dos para y. De acordo com [4.6], substituindo-se U l S_l V l. X. por. nas E.N., tem-se:. De acordo com a proposição 1,. é uma solução para [4.6.] e por conseguinte,. y. =. xe º. u. 1. .. .. u�'f =. Pv. y. [4 .8]. e uma aproximação de m I n.1 mos quadrados para y. fato: A melhor solução aproximada de Ax +. =. g inconsistente. dada por x* = A g. 1. portanto,. eº. U1 De acordo com a proposição 2, V 1 S.1 _ l =. +. V S- 1 U'y =·X y·. Consequentemente, 1 i. l. =. X+ '.

(42) . 31.. eO. = V. ra Y =xe.. l. s- l LJ l. I ) 1Y é a ·melhor solução ·aproximada (B.A.S.. Portanto,. X eº. y = ou. + = v /\ x y =. u l s 1 v•v s- 1 u l1 l ;L l. y. =. u l u•l. y = pU y 1. seja y = pu y. 1. é a aproximaçãó de mínimos quadrados para o vetor y, das observaçoes.. 4,2,3,. MÉDIA DE e. º. De eº =. obtém-se que. E ( 8 o) 1 = V S- U'E(y) l. l. l. Portanto. = V-V'e l l. = P· e V ).. mas E(y). =. Xe.

(43) . 32•. Fato:. Nota -se que. tão. em P V. 1. 8. º. e viezado para as funções de. No modelo. -2 0. 1 inear. = ---- y n - T. 1. P. U2. y. 2. +. 2. = Tr(Pu )10 2. =. Tr(P. ) lo U2. 2. = T r(Pu 2) 1o. 2. _. 2. •. e uma matriz real,. ) (1 - P U1. potente., e y '\, N(Xe,. E(y'Pu y). lo. e•x•p. 2. U2. ).. simétrica e. Logo,. xe. + 8 1 V1S1U�Pu U1S1\/�0 2 I + e Vl s l u { (1 -. u s p u 1) l. V{e. ;I.. =. (n -. +. e ª V l s l2 v l1 e - e•v l, s l U l1 P. =. (n - T)o� +. e•v l. s 12 v ;L1 e - e•v 1 s 12 v l1 e. =. (n - T)o 2. T) 0. 2. 2. de .Gauss-Markov,. é um est.imador nao tendencioso para 0. 2. 0. i ç ão· 3 :. P ro p o s. Pu . =. que es. 8.. li. 2. 4, UM EST Ú·1ADOR NÃO TENDENCIOSO PARA. Prova:. 8. U1. u 1 s 1 v•e 1. idem.

(44) • 33 . Tem-se entao que. n-T =. n-T. E(y'P. \J. y) 2. (n-T)o 2. concluindo a demonstração.. 4.2,5, FUNÇÕES ESTIMÁVEIS Proposição 4. A função À�e é estimável no modelo linear de Gauss-Markov se e somente se. À. 1. V 1 V� =. À. 1. •. Prova: De acordo com Rao (1945) a função p�r� métrica. À. 1. 8. é dita estimável no modelo de Gauss-Markov se e. só se existe uma combinação linear das observações, a 1 y, tal. que E(a 1 y). = .\ 1 6. (=>) 11 1 e é. estim�vel então existe uma função linear das <:>bservaçÕes, �•y, tal. que.

(45) . 3 4.. E(a 1 y) =. À.. 1. 6. (Rao,. 1945). ou seja. E(a 1 y). =. a 1 E(y). D.v.s.. Substituindo X por sua. a 1 Xe. =. = À 1. 0.. U1S 1 V�, .tem-se para a. expressao. anterior:. =. À. 1. 0 ,. donde,. por serem escala. res, conclui-se. ( 1 • a) . Pó s-m u l t i pli e ando a expre ss ã o ob tid a por V 1 V 11,. tem-se:. a. 1. u 1 s 1 v•1 v 1 v•1. =. À. 1. V 1 v•1. simplificando o. membro,. = De. À. (1 .a). 1. V l V l1. ( 1 • b). e. tem-�e então que. (1.b). ((-) Pós-multiplicando por À '. e =. /\1. 1. v l v· l1 e. De. e,. 4.2.3. segue-se. primeiro.

(46) . 3 5.. =. �•E(0º). À I E( V S ... 1 U ' · y) ;L ;L 1. =. do-se a • = n11 v 1 s-iu, 1 1. ,. =. À I V S - 1 U .1 E( y) • ], ;L ;L. Torna n-. tem-se. te uma função 1 inear das observações, a'y, tal que E(a'y) =. À. 1. 6.. -Então, de acordo com Rao (1945) À 1 0 é estimáve 1 •. 4.2.6, OBTENÇÃO DO B,L,U,E, De acordo com o teorema de Gauss-Markov� B • L . U • E • ( B est L i near U n b i e sed E st ima tor ) d e.. À '. o. e e st i má ve I é. dado por À. 1. 0 = À.1 0 °. onde e º é qualquer solução do sistema de equaçoes normais do modelo 1 inear de Gauss-Markov para 0 ° verifica�se então que;. ... ..,-, •.·. =.

(47) . 36. i) E[Ã 1 0°] =. = Ã'V V 1 e ;i. ;i.. ;. de acordo com a proposiçio 4,. {�.9] E[. i i). À•. V[Ã. 1. 8º ] =. À •. e. 0° ] == À •v[e º ]À = À 1 V[V s- 1 u 1 y]>i. 1 1 1. •. .. = À 1 V S - 1 U 1 V (y)U � V 1 À 1 1 1 1 1 1. U[À. 1 8 º ] = Ã. 1. V. 1. 1 1 u1 s1. ; mas. V. ( y)" = 10 2. 10 2 UlSlV �À. = Ã 1 V S- 2 V 1 Ã0 2 1 1 1. [ 4. 1 O ]. 4,3, SISTEMA DE EQUAÇÕES �ORMAIS REDUZIDAS. 4,3,l, O MODELO LINEAR Tomando se a partiçi_o X = [X1. . 1. , X2]. 1.

(48) . 3 7. tem-se o modelo 1 inear \ X ,. l [-::-]. + e. ou- seja. · A s equaçoes normaLs,. convenientemente. partJ_. das, resultam. x•x e l l l. +. x l1 x2 e 2. X'l y. =. [4.11 ] [4.12]. 0. + pré-multiplicand 0 [4. l q Por x•x• 2 l ' vem:. x•l x l e l x•2 x'+ l. +. x 21 x l1 +x l1 x 2 e 2. x 21 x'l+x 11 y. =. de acprdo com as.propriedades da inversa generalizada de Moo re-Penrose, tem-se que;. X�X :i.81. de. acor d o com o teorema 3 ,. X X+ 1 1 =. X•. 2. p .. portanto. =. Xl. y. '[4.13 ].

(49) . 3 8. Sub tra i n d o [4 • 1 3 .] de [·4 • 1 2 ;] , + X'X e 2 2. = X'y - X'P 2. 2. 2 X. y. que resultará: = X�(I - P )y X1 .. -. [ 4.14 ]. ·que e o sistema de equaçoes normais reduzidas, eliminando efeito do parâmetro. 81 •. o. .. De acordo com IEMMA (1'985), o sistema [4.14] é consistente, visto que tem a mesma e�trutura de [4.2 ] . Definindo-se:. U (i = 1, 2 ) li. pelos. a matriz formada. (i = 1, 2 )]. autovetores de X.X!1 1. ortonormais. (i = 1, 2 ). [ X!X. 1. 1. (i = 1, 2 ) ] corresponde!'._ tes aos autovalores. (i = 1, 2). nulos de X.X! 1 1 [X!X. 1 1 (. = 1 , 2). (i = 1,2)]. a matriz formada pelos autovalores nao los da matriz X.X! 1 . 1. (i = 1,2). (i = 1,2), respectivamente .. .. .•.. ,,·:. nao. e. nu. X !1 X .1.

(50) . 3 9. da matriz. X. 2. X' (X' X 2. 2. 2. '. respectivamente);. tem-se então, sem perda de generalidade, que: a) Xl = U ;L l. S. + b) x 1 =. 5 11. e) P. x1. V. ll. ll -1. . ... V'll u. 1. ;L ;J.. = X lX+ = u U' n u. ).. = P. U :J;;l. d) x 2 = Ul 2 51 2 V'l' 2 + -1 e) x 2 = V1 2 51 2. f) P. X2. u� 2. = X+2 X2 = U1 2 U{2. = p. U1 2. pelo enfoque D.V.S., tem-se. por [ 4.14] = V 1 2 ·s1 2 U'. V S U' 1 2 1 2 12. 12 ( 1 - pU l )y l. [4.15]. De acordo com a teoria das inversas generalizada s de Moore-Penrose, ob·tém-se que: + v l, 2 = V' 2 l. + (V'12 =. + u ;J. 2 = u; 2. + (U'12 = U 1 2 ). v12 >. [4.16] [ 4. 17]. pré-mu 1 tiplican·do ambos os .1 a.dos de [ 4. 1 5 ] por At tem-se.

(51) • 4 o. -1 + u•1+2 512 vP Vl2 si 2 u �2 (1-PU. )X2e2 + u u•l.2 ;,2 (1-Pu )X2e2 u por. =. =. U 1 + ·S-1· V+l v s u � (1-P 2 12 12 12 12 2 u11 )y. u•+2 U{2 (1-P uu )y; l ,. [4. 1 7 ]. = u l 2 u•l 2 (1-Pu. 11. )y. [4.18 ]. U •. mas ( 1 - P U ) = P l. = U X1 21. 21 11 onde U 21 � a matriz form�da pelos autovetores ortonormais"cor r e sp o nd entes a o s auto v a 1 or e s nu 1 o s de X l X l1. ;. t em - se ent ã o p_a. ra [4.18]. -. e o sistema de equaçoes normais reduzidas, eliminando o efei to do parimetro 81, substituindo-se X1 pela sua D.V.S. Nas express�es [4.18] e [4.19] optou-se. em. não substituir X 2 pela sua D.V.S. para que as expressoes fi c assem reduzidas às formas mais simples. De maneira análoga,. -. -. e o sistema de equaçoes nbrmais reduzidas eliminando o efeito do parimetro 02 e substituindo X1 é X 2 D.V.S.. ·. ...... pefas respectivas.

(52) •41 •. 4,3,2, ESTIMABILIDADE DE UM SUBCONJUNTO DE PARÂME TROS. Ve j amos que condições deveria satisfazer para que ;\.. 1. 62,. 62 e:. e,. seja estimável. Ã. 2. no modelo. Seja, sem perda de g�neral idade [</>. 1. !. 1. Ã 1 2]. e ==. Ã. 1. 8. �. isto e;. = Ã16. = [cj> <P • • • cj> À 1 :: 1 · À.• 2 2. •• • À. I. 2 (n-p ) ]. nessas condições, de acordo com a proposição 4,. 4,3,3, ANÁLISE DE VARIÂNCIA Suponha-se, de infcio,. que o modelo esteja par-.

(53) . 42. ticionado.. tomando-se como base o submodelo. tem-se que i) Existe P i i). li Y. U11. - X1eº 1. = U. 11. 11. 2. U'. 11. tal que. X e 1. º. 1. = y'y - y'X eº . 1 1 = y'y. y • Y = y • pu . Y + 11. = y'P = y'P. y'P U. y. ll. IL y. y + y'y - y'P. ull. y. ull. )y y'(I - P 0 11y + ull. onde y'P y e a soma de quadrados devido a u ;1.1. e. 1. y '( 1 - P U ) y é a s.oma d e q u adrados d e v i do ao e r ro de a :u. justamento através do submodelo adotado. Tomando-se o modelo completo, tem-se agora que:.

(54) • 43 • iv) 1 IY -. xe º. 11. 2. =. y 1 y - y i xe. º. y•y = y•Pu y + y 1 (1 - Pu )y 1 1. ·,. da invariância dé y 1 y tem-se:. y •Pu Y + y'(I - Pu )y = y l p U Y + y'(I - Pu )y 1 1 11 11. Reagrupando tem-se y'y = y'Pu Y + y'Pu Y - y'Pu Y - y�Pu Y + y'y 1 1 ;Ll 11 y• y. =. yP ' U 1 1 y "!" y' ( p U 1. é comum tamb�m a forma y1. (. p. U1. -. pu. 11. )y. +. y1 (1 -. p u 1 º) y. •. A e B sao n n n matrizes simétricas e idempot�ntes, então A -.B é uma matriz De-acordo com GRAYBILL (1969), se. Y\. simétrica e idempotente se e somente se B(A '"'· B) = �. Fato: PU e PU são matrizes simétricas e idempotentes. i;i. 1 De fato: =. U U1 U U1 l .l l. l. =. PU 1 -, ..

(55) .44. . pU1 ;L pU1 ;L. = u. Pu = u ;i, U'l. = pU11=. u 11 u ,.1= u 11 U'11=. U'. 1.1 1 :i.. u 11u J;l. 1=. (U. 1. (U. LJ. pU11. l. 1). =. 1. l. U' ) 11 l 1. p'u. ;l.. =. 1. ' pU1 1. Ob s. :. = P. U1·;1.. P. Ul. -·P. · visto. U1 1'. que. é o projetor ortogonal U1 em C(X) e P é o projeU11 tor ortogonal em C(X 1 ) e P. X1CX, tem-se que:. = cp. Pode-se então construir o quadro da Análise de Variância..

(56) . 4 5. Quad ro 1 - Análise de Variância. CV. SQ. G.L.. Devi do a 01. r(u n>. Devido a Sz/81. r(Ui). Resíduo. n - r(U1). Total. n. .... y'P . y. U11. -. r(U:i, 1). y • (P U1 - p U1 )y. 1. y1 ( 1 - p. U1 )y. y'y. 4,4, DISTRIBUIÇÃO DAS FORMAS QUADRÁTICAS 4,4,1. INTRODUÇÃO Uma função do tipo. a .. são cons tantes re ais, ê d ef i nida como uma forma quadrát..!_ 1. J. c a d e n va ri áveis. Sob a forma matric ial, uma forma qua drátic a ê escri ta por.

(57) . 46.. onde. Q = x'Ax. x é um vetor de v ariáveis n i A é a matriz ou nGcleo da forma quadrática. n n Estudam-se a seguir as distribuições das for mas quadráticas de interesse, sob as condições de Gauss-Mar kov.. 4. 4, 2, · A. D I STR IBU ICÃO DE y. I. P. u :i. y. Sendo a matriz P. real, simétrica e idemp� U1 tente então, de acordo com o Teorema 5, item (i) e (i i)- ca pítulo 2, tem-se que: .. E(y'P y) = Tr(P )o 2 + e•v�s�v;e ul u1. [r. (Pu ) ; l. .,.,. .·:. e. respectivamente..

(58) • 47 •. 4,4.3, A DISTRIBUIÇÃO DE. y' (1. - P. U1. )y. = (n-T)a 2 então: y'(I. - P. U1. )y [4.21] [n-T]. 4,4,4, A DISTRIBUIÇÃO DE Segundo GRAYBILL simétrica e. y' (Pu 1 (1969),. -. P. U11. )y. se a matriz (A - B). idempotente, então tr(A-B) = tr(A) - tr(B). Tem-se então que:. é.

(59) . 48. entao y• (Pu -Pu )y l ll ·. -------. '\, X 2. [4.22]. 4,4,5,. A DISTRIBUICÃO. DE y 1. (. t - P u · )y 1 1. e. -------- "' X 2 . 02. 4,5, INTERVALOS E REGIÕES. DE. CONFIANÇA. No modelo de Gauss-Markov. y onde. E(e)';,,,cp.e E(e'e) = lo 2. '. ., ..,.•,'. ,. =. xe + e,.

(60) . 49 . .A. À. 1. 8 = À. 1. 8°. = À 1 V1S1. riiveis normais,. 1. U{. é. y. uma combinação. linear de va-. sendo portanto normal.. 4,5,l, INTERVALOS DE CONFIANÇA [4.9] e [4.10], tem-se que. De acordo com. Definindo-se:. z E ( Z) =. V[Z] =. =. tem -se que·. =. e. -. -. À. ,..,,--...,,. 1 2 a [ À I V 1 s\ v { À ] 1 1. À. a. 2. {v 1 s-1 2 v l1 À. 1. V1. 2. 1À. o 2 XV1S� 2 V{À. Desse modo, Z. 1\,. V[Ã. s-1 v l. o. 2. E[Ã. I. I. e. é. I. 1. 8]. =. eJ. =. N (O, 1); De acordo com IEMMA. de P·. À. o projetor ortogonal de y. em·. (1982), À 0 e y 1. C(X),. 1. (I-P)y,o�. são independentes..

(61) . 5 O.. Definiçã·o (SEARLE, Markov Normal,. com. n. Y. e r{X). ;i.. = T, então. y 1· ( l'..: p }y. =. 0. 2. Defin ição (SEARLE, aleatórias ri. ã ve 1. 1982·): Seja o modelo Gauss. 2·. X (n-T). 1982):. Da d as as variáveis. Z "' N(0,1) e W,;, x 2 (n)' in dependentes, entao a va. a 1 e a t Ó r ·ia M, on de·. z_. M =. ,. tem distribuição t de St u dent com n. graus. de 1 iberdade.. Então, para o caso em questao: >..10 - >..10. M =. o. ✓. >.. 1 V1S1':VU1. y 1 ( 1-P) y /2 (n - T)o. isto. é. ./"-.. >.. 1 0 - >.. 1 0. M =. /(n-T)�. "'. 2. t. (n-T). •. ( n - T) cr 2 Então,. com base na d istribu ição. t 11 , po de - se. 11. -0bter u ma regr� para estimativas por intervalo para >.. m ã ve 1 , a ó n f ve 1. .. ........ •. de con fia.n ça 1 - o, •. 1. 0 esti.

(62) .51 • /'À 'e. Como os valores. e o sao. 1. 1. obs·ervados 11 atra. vês dos dados, adotar- se-á a notação t. =. obs. Assim, tem- se que: P[-t(. t n-T; a/2) � tobs S (n-T; a/2)) = 1 - a; ,/",-.... · À I· 8. P [-t( n-T; a/2) S. . X J· 8. = 1 -a;. � t( n-T. donde se obtém: /'\. . � >.. 1 8. P[>..'e-t - · [n T; a/2]. �À. 1. 8+t [n-T;. e, dada a simetria da distribuição t, podemos denotar: 1 • e . [ >.. 1 e J 1. _o(. = >.. • e. ± t. 1 12 [ v < (.'e ) J. [n-T ; a / 2 ]. [4.24 ]. 4,5,2, .REGIÕES DE CONFIANÇA Sejam x 11 e. ,. ),,'0 Q. '. .... '. "-. 1. Ili. e. veis. Seja também B 1 8 =. [· À 1,. '. Â2 ,. funções. .... À. Ili. estimá-. ] e um con-.

(63) • 52 •. junto de m funções estimáveis e 1 inearmente independentes. De acordo com o teorema de Gauss-Markov /'-. B1 e. =. B'e º ;. e de acordo com a propo�ição 4,. A midia e a variincia da matriz B 1 8 sao dadas por: ............_. t) E(B 1 8) = E(B'e º ) = B'E(e º ) = B 1 V 1 V{6. 818. =. /"... ii) V(B'e) = V(B'e º ). 2 = B'V 1 S-1 2 V 11 Bcr --. portanto, tem-se que. s•e '\, Nm SeJ·a. M. (0 1 0. m -T. =. B'V l S-1 1 tal que. rank ( M ) = m � T = rank ( V :i. ) = ra_nk ( S � 1 ) m T. ;. então , de acor -. do com a teoria das inversas gene�al_izadas de Moore-Penrose,. tem-se·que M + = M'(MM')-:i., portanto.

(64) . 53.. Tomando-se + M (a•e º - 8 1 6). fl i). E ( fl). :l. i i). Var(t). -. + 0 M ( B 1·e. = E [. ]. 8 1 6). o. 1. =. o. M + E(B 1 0 °. o. -. B'e). <I>. =. = = = =. + eº va,[ M (B'. o 20. 0. 0. o. B I e). Var [M + (B 1 0 °. -. 2. Va r [M + B 1 8 º ]. 2. M + , Var(B 1 e º )M +. -- M 0. -. +. 1. 2. 2. B I e) ]. .. a v l s-;L v l BM + 1. ]. 1. 0. 2. = M + 1 M 1 MM +. = (MM + )'MM + = 1. ( m)·' ( 1J1 ) =. 1. ( m ). tem-$e que:.

(65) . 54. Desse modo, l.(m)); tendo-se então que. R. "' Nm (�,. (a•e º. R. 'R. = = =. por outro lado; de. [4.21 ] 2. X n-T De acordo com SEARLE (1971) 2. X [r(B)]. w. r( f)). F. '\,. 2. r[B] , n-T. X (n -T) n -T. entao (B. w. =. I. eo. - B. J. _e ). 1. (. B I V :i.. s; 2 B) + ( B. r[B]d 2. .. ..,.... .. 8. °. - B 1. 8 ) 'vf. r[B] ,n-T. (n-T)o 2. '. 1.

(66) • 55 •. Por outr·o lado,. x. y' 1. (. 1. - p n. de 0. 2. '. U1. 2. (n T). )y. - T. •. Logo,. como. -. é um estimador nao tenden cioso. então. w =. (B'e º - B 1 8) 1 (BJ V 1 s; 2 v{B)*(B 1 e º - B'a) dB]. (n. "'. -·r)â 2 n - T. Portanto,. um. estimador. F. r[B],n-T. por região ao. [ 4. 25 ]. nível. "de confiança 1-a., para a coleção de m funções paramétricas es timáveis. 8 1 8. 1 inearmente independentes,. é dada por. 2. r[B]; F [4.26] [ m=r [ B], n- T, 1 -a. J se r [ B ]. = 2, a região de confiança é uma elipse,. �e r [ B ]. > 2, a região de confiança é um elipsóide do. .. ·•·· ,,•:. espaço.

(67) . 5 6.. 4,5,3, TESTES DE HIPÓTESES BASEADOS EM REGIÕES DE CONFIANÇA. Considerando-se um conjunto B 1 0 de m funções es ·timáveis linearmente independentes; i·.é., r(B) = m, B = [11.1,. .... estimável, serao testada. a. Ho : B'S = e/>. , >..] e cada m. À. 1. .0 é 1. uma função. hip6tese. H. vs. B'S-:f. e/>. a. com base em regi�es de confiança. De acordo com [4.26], a região de. confiança. para um conjunto de m funç�es estimiveis linearmente indepe� dentes, ao nfvel (1-o.) de probabilidade, é dada por. (B • e º. -. B • e ) • (B • v l s � 2 v l B) + ( B • e º. -. B • e) � . ri,� 2 F. [m,n-T; 1-a.J. Para se verificar Ho. B. 1. 6 = cj>,. escreve-se primeiramente a curva que contorna a r�gião de con fiança (sob Ho : B 1 8 = cp) F. TABELADO. consequentemente, a região.de rejeição dê H 0 sera. '.,., ..•.·. [4.27].

(68) . 57 • [4.28] ou seja, rejeita-se Ho : 8 1 0. =. t. se e s o se a elipse ou. o. el ips6i. de nio contim a origem.. 4,6, APLICAÇÃO DOS RESULTADOS BÁSICOS NOS MODELOS LINEA RES PARA UM FATOR INTEIRAMENTE CASUALIZADO. 4,6,l, INTRODUÇÃO Apresentam-se n este item, algumas aplicações dos re?ultados básicos aos modelos de um fator inteiramente casualizado, objetivando-se divulgar o uso da D.V.S. e. mos. trar que ela tende a ser extremamente simples, a partir. do. momento em que a matriz X fica bem determinada.. 4.6.1.1. ALGUMAS CONSIDERAÇÔES SOBRE AS MATRIZES DE HELMERT (IEMMA, 1985) Tomando-se, sem perda de generalidade, uma ma triz H , genérica, conforme descrita a seguir, 1. �······.

(69) . 58.. n.. T. =. /T. .. .. .. 1. rr. -1. 1. H. 1. 1. .1. cj>. /TI 1. 1. /2:-3. /2:-3. ... -2. zT. ✓. . . .. [4.30 ]. · · .:.. (T... 1). .1. ✓ (T-1)T. /(T-1)T. /(T-1 )T. /(T-1 )T. tem-se uma mat�iz ortogonal com lei de formação extremamente conveniente, que �epende apenas de sua dimensão T. !lada a matriz.. ... onde. -. � a primeira 1 inha da matriz HT.

(70) -59-. (j} H;. e a j-ésima linha da matriz H , com j = 2,3, ... ,T T. 1. da ortogonal idade da matriz HT. ,. -·-. l EMMA (1985) demonstra que:. -·-. " a) hh' + H"'H = 1 ( T ) b). [4. 31 ]. h 'h =. e) h'H. -/: 1. -·' d) H "H'' J.. [4.32 ] = =. �•: e) H 1:'H =. e. </>. .,_. H''h. =. [4.33 ]. </>. [4.34 ]. I (T-1). 1 T. -1. T-1. -1. -1. -1. T-1. -1. .... -1. -1. -1. T-1. ••. -1. -1. -1. •. T-1. [4.35.

(71) . 6o. 4.6.2. O ALGORITMO 4.6.2,1. A DECOMPOSIÇÃO PELO SEU VALOR SINGULAR DA MATRLZ. 0. Xp DO. OELLNEAMENTO COM UM FATOR. INTEIRAMENTE CASUALIZADO No delineamento com (p-1) tratamentos e R re petiç�es, a matriz de planejamento·� da forma:. 1. .. .. o o o. o X n P. o. =. o. o. o. o. o. o. onde posto(X) = p-1 = T n = RxT. ... . .... o. n. ... .... o o o o o. [4.36]. o. .. . . P. [4.37 ] [4.38].

(72) .61.. 4.6.2.1.1. Os autovalores nao. 5. 2. T. de XX.' (X'X, respectivamente) Proposição 5. No modelo do presente estudo, a matriz. XX'. e. gerada pelo produto de Kronecker de matrizes u niformes. Prova:. Sejam, as -:natrizes uniformes. ... . R. R 2. T. .... 2. T.

(73) . 62.. então 2 E. E. A T. 0 ER. E R. R. 2 E. R. R. E R. E R. =. E E 2 E. R R. R. ... ... .... E R E R E R. =. xx'. n=:(R.T). n=(R.T). concluindo a demonstr ação. ·oe a cordo com IEMMA (1982) � os autovalores das ma trizes uniformes A a) Au·tovalores de A T. T. e E. R. são d a dos por:. a1, C1.2, ••• ,. ªr ,. onde a1 = 2 + (T-1). = T+1. multiplic idade (T-1). b) Autovalores de E R onde. 131 = 1 + (R-f) = R. .. .,.,,.•:.

(74) . 63.. multiplicidade (R-1). n ulos de A T. 0. IEMMA (1987a) demonstra que os autovalores E. R. serão:. =. (T+l)R. 52. =. = R. 52. =. = R. 2. nao. p-o rtant o,. ✓ (T+l)R <P. S1. =. <P. T. <P. ✓T <P. <P. <P. <P. <P. IR. <P. [4.39 ]". T.

(75) . 64. 4.6.2.1.2. Os autoveto·res normalizados de XX. cor-. 1. ,. respondentes aos autovalores não nulos. De acordó com IEMMA (1985), sendo A. T. uma. triz uniforme de ordem T, existe uma matriz ortogonal H qu�. ma T. tal. H'AH = D (decomposição espectral de A1) onde H é uma �atriz de Helmert, cujas. inhas sao- os. veto-. res característicos normalizados, associados aos au tovalores de A; D e a matriz diagonal que ex i b e as· ra1zes. A.. ticas de Sendo A = T. caracter'Ís. '. 2 2. 2. os autovetores associados aos autovalores nao nulos ·sera.o:.

(76) [. 1. 1w. - 1. ✓. 1.2. ✓2.3. (T) �•: = H 1 T. e. (. l. l. .;, (T..: 1). ✓ (T-1)T. ✓ (T-1)T. ✓ (T-1)T. 1. I. (T..;l)T. para matriz uniforme ER =. J. .... -. -. o autpv�tor associado ao autovalor nao nulo B1 = R sera: 1. IR Proposição 6. Os autovetores normalizados de XX', relativos 2 2 aos autova 1 ores nao nulos s12 , s.,··· , S sao � . T dados por:. ..,-,·•,'.'.

(77) .66.. 1. 1. =. u!. =. u. 0 (j). 1. H. *. T. portanto,. =. ou seja,. 0. e. com. j = 2, 3, ... , T.

(78) . 67 .. 1. U1 =. 1. 1. ✓ 1.2·R. ✓ 2.3.R.. 1. ... .... 1 ✓ (T-1).T.R. 1 ✓ T.R. ✓ 1 • 2R. 1 I 2.3.R. 1. 1. 1. ✓ T.R. / 1.2-R. ✓ 2.3.R. ✓ (T-1).T.R. l. -1. 1. .1. ✓ T.R. ✓ 1.2-R. I 2.3.R. 1. 1. ✓ T.R. -1 ✓ 1 • 2,R. ✓ (T-1).T.R ... . 1 ✓ (T-1).T.R. 1. -1. ✓ T.R. ✓ 1 • 2R. 1 ✓ T.R 1 ✓ T.R. <P. <P. 1 I (T-1).T.R. .. 1. / 2.3,R. 1. 1 ✓ 2. 3,R -2. ✓ (T-1).T.R . 1.. ✓ 2.3.R. ✓ (T-1).T.R. ..:2 ✓ 2. 3.R. .... 1 ✓ (T-1).T.R. .. ✓ T.R 1 ✓ T.R. .. •,. 1 n. ÍT.R. <P. .. 1. -2 ✓ 2.3,R. cj). <P. ... .... .. •. .. .. <P. .... <P. ✓ (T-1).T.R. .... -(T-1) ✓ (T-1).T.R. · ... .:.. (T .:.1). ✓ (T-1).T.R. T.

(79) .68. deixando-se. 1 --. /R 1. em evi.d;ncia,. ✓�. T. ✓. -1 - -11T ✓-r -1- --1✓T. ✓T. 1. 1T. ✓r. U1. r. -1. 1. 1=-. ✓. ✓--R. -l✓T. e/>. r. n. 6. / T(T-1). ✓ T(T-1). ✓. -1-. 1 ---f ✓ (T-1). ✓6. -1-. l. n;--. ✓ T(T-1). -2 n;. -2. /6. ... e/>. ✓. r. 1. 1. l ✓ T(T-1). .. 1. 1. 1. ... .,. .... ✓. ..�. 1. e/>. .... l ✓T(T-1). -(T-1) ✓T(T-1). � (T -1) / T(T-1) T.

(80) . 69.. como. -1. r=r. 1 --. ri-. -1 1 ---. f2. 1 --. T -. 1. �. ... .. •.. n-:T. 1. ✓ (T-l)T 1. 1. ✓ _2.y·. r;:-.. í(T-l)T. .... .. '. '. ' . ' 1. ✓ (T-l)T. 1 ✓ (T-l)T. -(T-1). 1. r. ✓ (T-1)T. ✓. -. rIT. . -2. r;:-'. H' -. 1. .. entao tem-se que [4.40]. R. .,·· .·:. 1.

(81) . 70. 4 • 6 • 2 • 1. 3 • O s auto veto.r e s norma 1 i z ado s de X I X,. -. e or -. respondentes aos autovalores nao nulos 5. 2. 2. 52'. ' :i.. •••. '. O s autov et ores v l 2. aos autovalores positivos s1. ,. 2. s2. 5. 2. T. v 2.. ,. relativos. ,. , s. ,. 2. T. -. de X'X, sao dados. por:. V•. 1. X 1 u.. =. 1. s• 1. ou seja. T. p. assim sendo, tem-se que: 1. 1. V1. 1. o o. ✓ (T+l}R. .O. o. 1. o. o o .... . o. O ·O. O. o. 1. o o o o 1. .... o. o. 1 • . . .1 . 1. .1.

(82) . 71.. efetuando-se o produto mat ri eia 1 , .1. e�. de maneira análoga, v'2 1. V3. =. = e�. 12". V�. =. 1. -1 --. n1. 1 1 ---. 172. 72. Jr(T-1). ou seja,. p. [. V1. V2. -3. ✓. 12. rTI. V3. 1. IT(T+l). p. V1. T. J. �J $] $. /T ( T-1 ). Ir ( T-1 ). Portanto, a matriz V1 =. .... -2. ✓6. ✓. .... .... ✓-2.. ✓6. ( �. =($. IT(T+l). .1 1 ---. 1. v4. 1. ✓T(T+l). 1 =[ ✓ T(�+ 1). v'. -. �J -'-(T-1 ). ✓T (T--=-TT J. e dado por:.

(83) . 72 •. cp. ✓ T(T+l). . . 1 ✓ T(T+l). ✓2. 1. n; 1. 1. ./6. I T(T+l). -2. n;. ✓ T(T+l) ·. cp. I T(T+l). ✓ t(T+ 1·). cp. cp. IT(T+l). .... I T(T-1) [4.41]. IT{T-1) .• .. ' 1 .... ✓'T(J-1). -(T-1) IT(T-1). Fato: A le i de formação dos autovalores de XX' e X'Xe.dos res pectivos autove tor es normalizados e extremamente. sim. ples pe lo enfoque pr o posto neste estudo, estando em fun ção do núme ro de tr atamentos T = p-1 e o número R de re pe ti ções da ·matriz do de line amento n X p. Verifica-se valida o algor i tmo.. 1 a seguir que UiSiV�. =. ' nXp. o que.

(84) . 73 .. X n p De acordo com os resultados [4.39] e [4.41], tem-se. ✓. (T+l)R. S1 =. q,. <P. <P. iR. <P. <P. <P. <P. ✓R-. .... <P. <P. e. 1. 1. IT(T+l). IT(T+1). 1 --. .. 1 --. T IT(T+l). V1 =·. <P. ✓r(r-1} 1. -. ✓2. ✓r (T-1). e o produto S 1 V 1 e dado por:.. .... 1 /T(T+l). ... [4.42]. - (T-1 } ✓T(T-1).

(85) . 74.. -T-. r-r. rr. -. --1-. -1n;-. -1-. 1. S1 V1 = 1. f"R. cj>. -. 1rr. 1. 1. .... 1. ✓T. ✓2. -p2-. ✓T. -_-1 _-_;:-✓�-__, T(T-1). 1. <P. ✓6. 1 -�-_-__-_-. ✓ T(T-1) · / T(T-1). -(T-1) / T(T-1). Do resultado [4.30], tem-se:. -<P. =. IR. cp·. HT. [4.43]. • <P. onde H T i a matriz de �elmert. Dos resultados. [4.40] e [4.43] segue-se que:.

(86) . 75 . T. ;,:-. =--. IR. e/> e/>. q>. l l I_. T = (H�@ R E l). q> q>. HT. 1 1. 1.. e/>. T -1. 0. 1. HT. U1 S1 VJ. =. cf>. ·1 E. 1. R 1 1. 1. [. HT •. 1. HT. 1. ]. 0. E R 1. q>. 1. de acordo com [4.31], HT 1 1 1. U1S1V1. =. 1 1. 1. 1. 1. 1 1 1 1. 1. o o o o o o. o o 1 o o 1 o o o o o o o o. HT =. 'r'. então. o o 0 o o o o o o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1. 0. RE l.

(87) . 76. donde se conclui. 1 1. 1. o o. o o. .... o o. o. .... o. 1 .1. ... .... o o .o 1. o. o o o. o o. =. [4.44]. ... .... l. p. finalizando a demonstração.. 4.6.2,1.5. Resumo Dada a matriz do delineamento do modelo expe rimental. inteiramente casualizado cofu T tratamentos e R rep�. -. tições, de acordo com o processo aqui· proposto,· que sera de_nominado de "Al·goritnio ASSIZ CARVALHO/IEMMA'_' sua D.V,S.�. dâ. por. ' •f' ,... ,. 1. = U :i, S;i.V ;1. , sera:. da.

(88) .]].. U1. 1. ✓ (T+1) R. S1 =. ✓R. </>. </>. </>. q>. ... ... .... cp. </>. </>. d e a c ordo com [4.40]. @. ✓"T. =. </>. ✓-7f. ..... </>. </>. </>. </>. ; de acordo com [4.39]. ·IT T. T T. q>. f T(T+l). 1. 1.. '. V i- =. </>. 11-:T. IT(T+l). -1. 1. /1.2. / T(T+l). 1. iw. / (T-l)T. 1. 1. iw .. /(T-l)T. ; de a_cordo com [4.42]. -(T-1). ✓ (T-l)T. <I>.. ✓ T(T+l). 1. 4;6;3, ALGUNS RESULTADOS ÚTEIS 4.6.3.1.. o P. x. = U l U J. =. P. .. ul. o. PROJETOR ORTOGONAL EM C(X). projetor ortogonal em C (X). �. e. dado. por.

(89) . 7 8. De acordo com o re su 1 ta·do [4.26], tem-se:. Pu = 1. -1�. =. 1 -. =. 1 R. R. H�. (. @ R El. HT-HT. ®. RER. 1 (T. 0. R ER. 1. ). j. [ 1ER. ®. mas ·HT• H T. --/R. HT J =. 1. (T) [4.45]. 4.6.3�2. O PROJ ETOR ORTOGONAL EM c(x 1 ) .De [4.41] tem-se que: T ✓T(T+t) l. V1. ✓r(T+l) 1. )T(T+l). ... l. ✓r(T+l). 1 1 1--------------------1 e/>. .1 1 1. .1. H �' .,_. 1 l l 1 1. O projetor ortogonal. . ·r· ::. e/>. e/>. em C(X. 1 ),. é dado por.

(90) .79. De acordo com o resultado [4.41] viu-se que. I. ,. T(T+l). . ·r. I. T(T + l )_. ✓. T(T+1). T T+l. T+l. PV = V 1 V 1. 1. =. T+l. 1 1 T+- l 11 1 1 l l. l. L.,•.--- .. 1. H;',. 1 1 T. resultando :. l L 1. . 1. 1. T+1. T+1. 1 T(T+ 1). ·;1-: 1. H T. .,.. H�. ). 1. T+1. pondo-se. 1 T+1. 1. em evidência e das propriedades das matri�. zes de Helmert, vem:.

(91) •8o •. ... .... T T -1. PV = 1. T+l. -1. -1. T. -1. -1. -1. T •. -1. .. .... 1 -1. .. 1. -1. >. -1. -1. [4.46]. T. �e acordo com o resultado obtido em [ 4.39],. tem-se q�e:. r. <P. ✓ (T+l)R 1. <P. ✓T 1. l"""R. <P. <P. <P. .... ✓-if.

(92) Lo g o , d e [ 4 • 4 1 ] , T. cj>. (T+ 1) T. .l . (T+l). (T+1) ✓ -1 1 V1S1 =-.. /jf. .. 1 .1 ---2. fi. . 1.. cj>. ✓. - 1 --. r. ✓2. . 1.. 1. ✓ T(T,-1). n; l. n;-. ..... . 1. li: • • -. IT(T-1). .:.2. 1. 1T. (T+l)IT. 1. / T(T-1). -(T-1). ✓ T(T-1). cj>. (T+l)iT. ou _seja, T ( T+ 1 ). . ·r.. 1 ViS1 = -- 1,. ✓-T. (T+1). 1 ( T+ 1 ). p. ' ·f' .••,'. 1 .;,:- I_ _______ 1 H T Fr 1 cj>. --1�. [4.47]. 1. r. ./r. 1 1. 1. T.

(93) . 8 2.. de acordo çom [4.40] 1 1.. T. (T+1)rf =--. ✓R. '-------. (T+1)./T. efetuando-se o-produto matricial. 1.. T+l. 1 ( 1) 1: 1 • ( 1) 1, --+ l HT TH l (T ➔ 1) 2) 1, 1 ( 1) ,� 1 -1 1 . 1 V1S1 Ui=- --+ ( T H l HT l T. ( + 1). 1 --+. 1. 1. T+l. T+l. ) ,·, 1 (2) * 1 1) ,., J ( 1) ,, 1 H --+ ( 1T H ..• -+ ( T H l l HT l T l T+l T+i. - +. (T+l). (2) H :': 1 (T) H ,., 1 l T T l -+ T+l. ( 2)· 1: 1 (2) ,� l --+ TH l lHT T +l. T+l. (T) ,·, 1 l HT :.: -1- + TH 1 T+l. T) :',' (2) ,.,. TH l. de acordo com [4 . 3 5·] , T- -1 =. T -1 T. .... ,. ..... se. = j. se. I. j. l 0. 1ER.

(94) . 8 3.. tendo-se então que:. r. R. p. T+1. T+.1. T+1. . 1. -1. T+l. T+1. .;.1. T. T+l. T+.1. -l. -1. T+1. T+1. T +1. .... p. E l R. T+l. 1. p. 0. T. ou seja. ·-1 U11 =V1S1 R. -1 T+l. T. -1. -1. �1. T. -1. -1. -1. T. -1. -1. -1. ... ... -1 ... -1 ... ,...1. 01. E. [4.48]. R. p. onde p = T +l. .Pós-multiplicando [4.47] por S� 1. ,. tem-se:.

(95) .84.. (T+1) ✓T(T+l). ( �--------------�---------� � . ' . 1. ' ' .. .. (T+1) /T(T+l). f. [ 4.4�_]. 1 (T+l) /T(T+1). . 1. (T+l) IT(T+l) 1. pós-multiplicando [4.49] por V 1. T. 1. (T+1) /T(T_+1). 1. 1. 1. </>. ,. tem-se:. T /T(T+l). 1 1. .... JT(T+l). /T(T+l). --------------+---- ----- ---+--·---------------------. (T+1)/T(T+1). v s-zv, 1 1. 1. =. 1 (T+1)/T(T+1). 1 (T+1) /T(T+1). 1. 1H 1 T 1 1 1 1 1. efetuando-se o produto,. -;'\ 1. </>. </>. </>. 1 1. 1 1 1 1 1 1 1. ·'·. H;.

(96) . 8 5.. -----(T+1) T (T+1). ... I_ I_. ·r. T. ·(T+l) T (T+l). (T+1) T (T+l). _____________ · __ l�r------------------------------------. ... ·r. (T+l) T (T+l). 1. I_. f_. .. ___T___ (T+l) T (T+l) [. f. 1··. 0 TET. (T+l) T (T+1). +. H;• H;. r_. 1.. ,_. T. (T+l) T (T+l). j. sendo +. 1. (T+1) T (T+1). T-1 T. 1 - -. 1. (T+l) T (T+1). T. T2 ·. -2 1 v s ,. v 1 1. 1 =R. 1. T(T+1). 2. =. 1+.(T-1)_(T+1). 2. T(T�1). 2. = . 1-(T+l ) T(T+1)2. tem-se então,. 2. T. T. T. T. 1+(T-1)(T�1)2. 1-(T+1)2. 1-(T+1). T. 1-(T+1) 2. l+(T-l) (T+l)2. 1-(T+1)2. 2. .. T. 1 .. (T+1)2. tem-se: T + l =p ; R.T = n .,. 1-(T+1) 2 logo:. l+(T-1)(T+1). 2.

(97) . 86.. T2. 1. V1S1-2 V1 = 1. np2. T. T. 1 + (T-1)p2. T. 1_ -p2. T. .... T. 1-p2. .... 1-p2. .... 1-p2. .... 1+(T-1)p2. 1+(T-1)p2. 1-p2. T. [4.50]. 4. 6.1 ·. DESCRIÇÃO DO MODELO Seja o modelo de Gauss-Markov,. de. acordo com. [4.1] y =. xe. + e. Seja também a carac terização = µ + t. + e. . y .. 1 J 1. IJ. onde, para e. =. 1 '. 2'. j = 1' 2'. ... .... '. T. ' R. tratamentos repetições. tem-se que: yij. -. e o valor observado nél j �és i ma· r e pet i ção do i -ésimo t ra ·tél(llento..

(98) • 87 . é uma constante inerente a todas as observações.. µ t. º. 1. e .•. LJ. é o e fe i to d o. i_.- é s i' mo t r a t a me n t o ,. é o erro aleatório atribu[do � observação y .IJ. , tal que e.IJ.. 'v. N (o,. desse modo, tem-se a seguinte configuração: 1. ... o o. )( =-. n P. 1. o. 1. o. .... o. o. o. o o. ... . . "" .. o. ... o. eu. Y1R. e1 R. Y21. o. .... YT. e 21. t1. e. y= Y2R. ... .... Yll. =. t2 tT. ;i.. e. =. e2 R eTl eT. YTR. R. No delineamento em questao, a soluçã6, de. a-. cordo com [4.7], dada por. eº. =. V1,. �1 �l,.. 1. Ui. y. do sistema de equaçoes [4.5] seri, de acordo· com [4.48], da da por:.

(99) . 88. y ll. 1. eº. =. ..1.. .l. V1S1U1y. .. 1. 1 =----. R. T. -1. -1. -1. T. -1. -1. -1. .. ... -1. Y1R. -1. Yz1 ... 0. -1. p. E R 1·. Y zR. e. -1. -1. .. 1. p Yr. ,,. 1. i. resultando. eº. º. y •.. µ. Y1• - y: .. t�. Y2•. tº. -. y ... =. =. Yr .. -. y ... ... t. [4.51]. T. e de acordo com [4.8], a aproximaçio de mfnlmos quadrados p� ra y é dada por:.

(100) . 89. y.,. +. y�_ - y.,. y,. + y �. y •• + y Z•. y •• + y2• y•• + y 3• y =. xe º y •• + Y 3 ,. +. Yr. .. -. -. -. Y ..y •• ... . y l•. y •• y ••. Y2. ,. 0. Y 3,. y ••. [4.52]. 1/1_. - ,.. j. 4.6,2, ESTIMABILIDADE De acordo com a proposíção 4 tem-se que as funç Õ_es ·dos pa r â met r os. À. I. e , . ta 1. À'V V' = À' 1 1. que _. =. estimáveis.. À1 P. V. 1. sao. Do resultado [4.46], tem-se que: T i\'V1V� =. À I p'. V1. = i\ '. .T+ 1. 1. T. -1. -1. 1. -1. T. -1. 1. -1. -1. -1. Proposição ]. No modelo do presente estudo, uma condição ne cessiria e suficiente para que P À V1. =. i\. (ou i\ 1 P - = 11 V1. 1. ). e que_.

(101) . 90. À.. p E. i= l. 2À1. =. . l. Prova:. Dado. tem-se então que a. À =. seguinte igualdade matricial se ver.ifica, ou seja, ÀI. e. a função. é estimá v e 1 •. .[(T-1)À 1. T+l 1. T+l V1V 1')..=. ,·. T+l. T+l se e somente se,. .. +. i=l E. (T+l)À2 -. [ 2À1. +. [. + (T+l)À 3. (. 2Àl. 2À 1. +.. À. P·. (T+l) À. p. À. p. Ài). i=1 E. -. p. À1. .l. J. I:. i =1. -. p E. i=1. À2.. i] =. À3. . À. 1]. À. p. =.

(102) . 91.. a). b). p E. i= 1. T+l. T+l. À. iJ. =. p E. 2 l + (T+1)À. [ À J. i= 1 ". ·J·. 1.. = À .J. j = 2,3, • • •. ' p. Assim, êd e b) serão verdadeiros se e so se p. . E. i= 1 completando a demonstração. Corolário 9. Se. À1. =. <P. 1. ,. cqntraste,. V1V1À. À. se e -s Ó. 5e. À. I. º. e f Or. U ffi. i .é., p. Ài = q,•. E. i= 1. L!,6,3,. =. NO MODELO. y. = (X1. !. X2] [-:-:-]. + e. Nesse modelo, a matri� de planejamento tem seguinte configuração. . ... .·:. a.

(103) . 92.. 1. o. o. o. o. o X. n P. = 1. o • •. .... o. ;. o. ·e X2 =. sendo X1 =. o. o o. 1. o o. o. 1·. o. 1. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. n. n. p. n.. T. 4.6.3.1. A D.V.S. DA MATRIZ -. 4.6.3.1.2. Os autovalores nao nulos s 21 21, 5 21 22, 2 s1. 1. de X X (X X , respectivamente) 2 2 2 2. 2T. Tem-se que:. 1 X2X2 =. 1. R. o. o. o. R. o. o. o. R. o. o. o. ... '. ... .... o o o. ,. ...,.