instituto de f
sica \gleb wataghin"
Tese de Mestrado:
Equac~oes de movimento de partculas com
reac~ao a radiac~ao
Aluno: Daniel Vogt { ifgw / unicamp
Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor { imecc /
unicamp
Janeiro de 2002
BancaExaminadora:
{ Dr. Patricio Anibal Letelier Sotomayor (orientador)
{Dr. George EmanuelAvraamMatsas, IFT / UNESP
Ao meu orientador,Dr. PatricioAnibal Letelier Sotomayor,por seus
conse-lhos, crticas e sugest~oes. Felize oaluno que otem como orientador.
Aos meus pais, Herbert Vogt e Valentine Vogt, por todoo apoioque recebi
deles.
E dada uma vis~ao geral doproblema de reac~aoa radiac~aona teoriaclassica
de campos. S~ao discutidas a deduc~ao e propriedades das equac~oes de
movi-mento de partculas com reac~ao a radiac~aopara campos de spin 0, spin 1 e
spin 2. Em particular, e feito um estudo detalhado da equac~ao de
Lorentz-Dirac. Utilizandoum metodonumericoconveniente, aplicou-seaequac~ao de
Lorentz-Dirac aalgunsproblemasfsicosde interesseeobteve-se, namaioria
dos casos, resultados satisfatorios. Discute-se ainda o problema de reac~aoa
Ageneralviewoftheproblemofradiationreactioninclassical eldtheoryis
given. The deduction and properties of the equations of motionof particles
with radiationreaction for spin 0, spin 1 and spin 2 elds are discussed. In
particular, a detailed study of the Lorentz-Dirac equation is done. Using
an appropriate numerical method, the Lorentz-Dirac equation was applied
to some physical problems of interest, and in most cases, the results were
satisfactory. The problem of radiationreaction inGeneral Relativity is also
Introduc~ao 8
1 Forca de reac~ao a radiac~ao para campos vetoriais 12
1.1 Equac~ao de Lorentz-Dirac . . . 12
1.2 O problema das soluc~oes n~ao-fsicas . . . 16
1.3 O metodode reduc~aode ordem . . . 19
1.4 A superfciecrtica daequac~ao de Lorentz-Dirac . . . 21
1.5 Analise de um exemplosob varios pontos de vista . . . 25
1.6 Aplicac~oes . . . 35
1.6.1 Movimento unidimensional com forca externa depen-dentedo tempo . . . 36
1.6.2 Movimento unidimensionalcom forcaexterna constante 39 1.6.3 Movimento bidimensionalcom forca externa constante 42 1.6.4 Campomagnetico constante . . . 46
1.6.5 ForcaCoulombianaunidimensional . . . 55
1.6.6 ForcaCoulombianabidimensional . . . 59
qu^antica . . . 75
2 Reac~ao a radiac~ao em Relatividade Geral 79
2.1 Forcade reac~aoa radiac~aopara camposescalares e tensoriais. 79
2.2 Algumas propostas de forcas de reac~aoa radiac~ao . . . 84
Conclus~ao 90
1.1 Acelerac~aoemfunc~aodotempoparaomovimentodooscilador
harm^onico n~ao-relativsticocom reac~aoa radiac~aopara
difer-entes velocidades iniciais. . . 28
1.2 Acelerac~aoemfunc~aodotempoparaomovimentodooscilador
harm^onico n~ao-relativsticocom reac~aoa radiac~aopara
difer-entes posic~oes iniciais . . . 29
1.3 Soluc~ao numerica para o movimento do oscilador harm^onico
n~ao-relativsticocom reac~aoa radiac~aoparadiferentes
veloci-dades iniciais . . . 30
1.4 Soluc~ao numerica para o movimento do oscilador harm^onico
n~ao-relativsticocomreac~aoaradiac~aoparadiferentesposic~oes
iniciais . . . 32
1.5 Soluc~aoparaomovimentodoosciladorharm^onicon~ao-relativstico
comreac~aoaradiac~aopormeiodometodode reduc~aode ordem 33
1.6 Modulodadiferencaentreasacelerac~oesparavariascondic~oes
forcaexternaperiodicadependentedotempoereac~aoaradiac~ao 37
1.8 Velocidade propria em func~ao do tempo proprio para
movi-mento com forca externa periodica dependente do tempo e
reac~ao aradiac~ao . . . 38
1.9 Acelerac~ao propria em func~ao do tempo proprio para
movi-mento com forca externa periodica dependente do tempo e
reac~ao aradiac~ao . . . 38
1.10 Trajetoriabidimensionaldeum eletroncomreac~aoaradiac~ao
num campo eletrico ~
E =Ex^ . . . 43
1.11 Variac~aodaenergiaemfunc~aodotempoproprioparao
movi-mentomostrado na gura1.10 . . . 44
1.12 Acelerac~ao na direc~ao y em func~ao do tempo proprio para o
movimentoda gura1.10. . . 44
1.13 Energiaemfunc~aodacoordenadaxparamovimento
bidimen-sional com reac~ao a radiac~ao num campo eletrico ~
E = Ex^ e
varias condic~oes iniciais. . . 45
1.14 Trajetoriadeumeletronnum campomagneticouniformeB =
610 3
Gauss com reac~ao a radiac~ao . . . 47
1.15 Energia em func~ao da coordenada tempo t para a trajetoria
mostrada na gura1.14 . . . 48
1.16 Trajetoriadeumeletronnum campomagneticouniformeB =
610 4
mostrada na gura1.16 . . . 50
1.18 Coordenada x do centro em func~ao da coordenada tempo t
para a trajetoriamostrada na gura 1.14.. . . 50
1.19 Coordenada y do centro em func~ao da coordenada tempo t
para a trajetoriamostrada na gura1.14.. . . 51
1.20 Comparac~ao entre o raio calculado numericamente e
analiti-camenteparamovimentodeeletronemcampomagnetico
uni-formecom reac~ao a radiac~ao . . . 52
1.21 Comparac~aoentreatrajetoriacalculadanumericamente(1.14)
e aobtida pela soluc~aoanaltica aproximada . . . 53
1.22 Comparac~aoentreatrajetoriacalculadanumericamente(1.16)
e aobtida pela soluc~aoanaltica aproximada . . . 54
1.23 Posic~ao de maxima aproximac~ao e acelerac~ao maxima num
potencial Coulombianounidimensionalrepulsivo . . . 56
1.24 Modulo da acelerac~ao no potencial Coulombiano
unidimen-sional atrativo . . . 57
1.25 Trajetoriade um eletron num potencialde Coulomb atrativo
bidimensionalcom reac~aoa radiac~ao . . . 60
1.26 Evoluc~ao temporal(coordenada t) dosemi-eixo maior para a
trajetoria mostrada na gura 1.25. . . 61
1.27 Evoluc~ao temporal (coordenada t) da excentricidade para a
1.28 Angulode precess~aodosemi-eixomaioremfunc~aoda
coorde-nada tempot para a trajetoriamostrada na gura 1.25.. . . . 62
1.29 Diagramadaposic~aox,velocidadedx=dtecoordenada tempo
t para a trajetoria mostrada na gura 1.25.. . . 62
1.30 Comparac~ao entre o raio calculado numericamente e
analiti-camenteparamovimentoinicialmentecircularnopotencialde
Coulomb com reac~aoa radiac~ao . . . 64
1.31 Ampliac~aoda gura1.30 nos instantes nais domovimento. . 65
1.32 Trajetoria com B = 1;810 5
Gauss e condic~ao inicial 1 da
tabela1. . . 68
1.33 Trajetoria com B = 6 10 5
Gauss e condic~ao inicial 1 da
tabela2. . . 68
1.34 Energiasemfunc~aodotempocomcampoB =1;810 5
Gauss
e condic~oes iniciaisda tabela1. . . 69
1.35 Energiasem func~ao dotempo com campo B =610 5
Gauss
e condic~oes iniciaisda tabela2. . . 70
1.36 Momento angular K em func~ao do tempo com campo B =
1;810 5
Gauss e condic~oes iniciaisda tabela1 . . . 70
1.37 Momento angular K em func~ao do tempo com campo B =
610 5
Gauss e condic~oes iniciais databela2 . . . 71
1.38 Trajetorias no plano xy sem e com reac~ao a radiac~ao com
campo B = 610 5
Gauss e condic~oes iniciais indicadas na
de acordocom os par^ametros databela3 . . . 73
1.40 Momento angular em func~ao da coordenada tempo t para
movimentode acordocom os par^ametros databela3 . . . 74
2.1 Raio em func~ao do tempo proprio sem e com a inclus~ao de
uma possvel forca de reac~aoa radiac~aogravitacional . . . 86
2.2 Energiarelativstica+potencialemfunc~aodotempo proprio
sem e com a inclus~ao de uma possvel forca de reac~ao a
A teoria classica que trata da interac~ao entre partculas e campos envolve
di culdades conceituais e matematicas. Entre elas, esta o fato de que uma
partculaacelerada emiteum campoquealteraocamporesponsavelpeloseu
movimento,oqueporsuavezafetaomovimentodapartcula. Sobumponto
de vista equivalente, a radiac~ao emitida por uma partcula carrega energia,
momentoe momentoangular,eassim alteraseu movimento. Este fen^omeno
e denominadoreac~aoa radiac~ao.
Historicamenteasprimeirastentativasde incluirreac~aoaradiac~ao
surgi-ram naeletrodin^amica. Lorentzadotouuma pequena esferacarregada como
um modelo para o eletron [1]. Ele calculou a forca de reac~ao a radiac~ao
considerando a ac~ao de uma parte do eletron sobre a outra. O resultado
pode ser expresso como uma expans~ao em serie de pot^encias tendo o raio
do eletron como par^ametro. O primeiro termo da serie e independente do
raio e representa a forca de reac~ao a radiac~ao sobre a partcula. Porem os
termos de ordemmais altadependemde suposic~oes sobrea formaea
de reac~ao. Aforcaemquest~aoeproporcionaladiferencaentre oscampos
re-tardadoeavancadodapartcula. Quando expressa emtermos davelocidade
dapartculaedesuasderivadas,aforcadereac~ao,nolimiten~ao-relativstico,
concorda com oprimeirotermo daserie obtidaporLorentz.
Apesar de estabelecida a partir de teorias classicas bem conhecidas, a
forca de reac~ao eletrodin^amica n~ao teve aceitac~ao geral, provavelmente
de-vido a dois fatores. A equac~ao de movimentocom reac~ao a radiac~ao possui
soluc~oes nas quais a acelerac~ao cresce exponencialmente com o tempo,
mes-mo na aus^encia de forcas externas. Estas soluc~oes s~ao denominadas
\auto-aceleradas" ou \n~ao fsicas", e s~ao claramente absurdas do ponto de vista
fsico. Emsegundo lugar, Eliezer[3] a rmaa inexist^encia de soluc~oes fsicas
para tr^es tiposparticulares de campos de forca: ocampode uma placa
car-regada e in nita, e os campos Coulombianos atrativo e repulsivo. Plass, no
entanto, mostraque nos tr^es casos ha soluc~oes fsicas [4].
Em Relatividade Geral, o problema de reac~ao a radiac~ao, alem de sua
import^ancia teorica, adquiriu relev^ancia para a interpretac~ao de resultados
experimentais: as observac~oes do pulsar binarioPSR 1913+16indicam que
a energiadaorbitadopulsar ede seu companheirodecresce devido areac~ao
a radiac~ao gravitacional. A analise dos futuros dados dos detectores de
on-das gravitacionais (como LIGO e VIRGO) da radiac~ao emitida durante o
espiralamento de sistemas binarios compactos (estrelas de n^eutrons e
bu-racos negros) depende da correta inclus~ao dos efeitos de reac~ao a radiac~ao
nas perturbac~oes de um buraco negro por uma partcula-teste em orbita e
as consequentes mudancas nos par^ametros orbitais, mas s~ao bem sucedidas
apenas para orbitasemtorno de buracosnegrosde Schwarzschildouorbitas
no plano equatorialde buracos negros de Kerr [6]. A di culdade em se
con-seguir uma descric~ao exata da reac~ao a radiac~ao gravitacional em situac~oes
gerais reside sem duvida no carater n~ao-lineardas equac~oes de Einstein.
Otrabalhoestadividido daseguintemaneira: nasec~ao1.1eapresentada
uma deduc~ao simples da equac~ao de movimento com reac~ao a radiac~ao
pa-ra partculas em campos de spin 1, em particular o campo eletromagnetico
(equac~ao de Lorentz-Dirac). A presenca de derivadas de ordem superior a
dois na equac~ao de movimento possibilita a exist^encia de soluc~oes absurdas
do ponto de vista fsico, oque e mostrado na sec~ao 1.2. A sec~ao 1.3 discute
um metodo geral (reduc~ao de ordem) que elimina as soluc~oes n~ao-fsicas e
permiteasoluc~aonumerica\limpa"das equac~oes de movimentocomreac~ao
a radiac~ao. Na sec~ao1.4eexposto um argumentoapresentado recentemente
que justi ca a substituic~ao da equac~ao de Lorentz-Dirac por uma equac~ao
efetivade segundaordem. Nasec~ao1.5aequac~aon~ao-relativsticado
oscila-dor harm^onico com reac~ao aradiac~aoeresolvido de maneirasdistintas, que
s~aocomparadasentresi. Algumasaplicac~oesdometododereduc~aodeordem
a situac~oes fsicas de interesse s~ao mostradas nasec~ao 1.6. Foram includos
exemplosdemovimentodeum eletronsubmetidoaforcaexternadependente
carga uniformemente acelerada. Na sec~ao 1.7 e feito um breve comentario
sobreadescric~aoqu^anticadereac~aoaradiac~aoeletromagnetica,incluindo-se
uma discuss~ao sobre o efeito Fulling-Davies-Unruh. O captulo 2 aborda o
problema de reac~aoa radiac~aoemRelatividadeGeral. Na teorialinearizada
da gravitac~ao o campo gravitacional pode ser representado por um campo
escalar e um campo tensorial, por istoapresenta-se a deduc~ao das equac~oes
de movimentocom reac~aoaradiac~aoparaestes dois tiposde campos.
Algu-mas propostas de descric~ao da forca de reac~ao a radiac~ao gravitacional em
Forca de reac~ao a radiac~ao para
campos vetoriais
1.1 Equac~ao de Lorentz-Dirac
A maneirausualde derivaraequac~aodemovimentocovariantede partculas
puntuais incluindo reac~ao a radiac~ao utiliza o tensor energia-momento do
campo. Um procedimento alternativo e mais simples consiste no metodo
de continuac~ao analtica da equac~ao de movimento proposto por Barut [7].
Para uma partcula com massa de repouso m e carga e num campo
eletro-magnetico, a equac~aode movimentoe dada por:
mx (s)=e[F ext: (x(s))+F ret: (w;x(s))]x_ (s), (1.1)
onde F
ext:
e o tensor campoeletromagneticoexterno:
F ext: = 0 B B B B B B B @ 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 1 C C C C C C C A , F ret:
(w;x(s)) e o tensor campo eletromagnetico que representa o campo
re-tardado no ponto w produzido pela partcula no ponto x(s), sendo dado
por: F ret: = e R 2 (w x) x Q R (w x) _ x + 1 R (w x) _ x (w x) x + Q R (w x) _ x 1 R (w x) _ x , (1.2) com R=(w x) _ x eQ=(w x) x
. Ametricaedada pords 2 =c 2 d 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2
,a ordemdas coordenadas e x 0 =ct,x 1 =x,x 2 =y, x 3
=z, eos pontos indicamderivadas emrelac~aoa s.
Ometodoconsisteemcontinuaraeq.(1.1)aoponton~ao-fsicow=x(s+u)
mantendo x(s) xo: mx (s+u)=e[F ext: (x(s+u))+F ret: (w =x(s+u);x(s))]x_ (s+u). (1.3)
x (s+u)=x +ux_ + 1 2 u 2 x + 1 6 u 3 ... x +::: (1.4) _ x (s+u)=x_ +ux + 1 2 u 2 ... x +::: (1.5) x (s+u)=x +u ... x +::: (1.6) R =u+ 1 6 u 3 _ x ... x +::: (1.7) Q= 1 2 u 2 x x + 1 6 u 3 x ... x +::: (1.8)
Substituindo aseq.(1.4) { (1.8) naeq.(1.2), obtem-se:
F ret: =e 1 2u (x_ x x _ x )+ 1 6 ( ... x _ x _ x ... x )+O(u) . (1.9)
Com isto, a eq.(1.3)e escritacomo:
mx (s+u)=eF ext: (x(s+u))x_ (s+u)+ +e 2 1 2u x + 1 6 ( ... x _ x _ x ... x )+ 1 2 _ x x x +O(u) . (1.10) Usando a relac~ao x x = x_ ... x
e a expans~ao (1.6), o lado direito da
eq.(1.10) pode ser reescrito como:
mx (s+u)=eF ext: (x(s+u))x_ (s+u)+ +e 2 1 2u x (s+u)+ 2 3 ( ... x +x_ x x )+O(u) , (1.11) ou: m+ e 2 2u x (s+u)=eF ext: (x(s+u))x_ (s+u)+ 2e 2 3 ( ... x +x_ x x )+O(u). (1.12)
Lorentz-Dirac: m exp x =eF ext: _ x + 2e 2 3 ( ... x +x_ x x ). (1.13)
Econveniente reescrever a equac~ao de Lorentz-Dirac como:
x = eF _ x mc + 2e 2 3mc 3 ... x + _ x c 2 x x , (1.14)
onde apartirdaquiospontosindicamderivada emrelac~aoaotempoproprio
. Opar^ametrob= 2e 2 3mc 3
representaotemponecessariopara aluzpercorrer
umadist^anciaigualadoistercos doraioclassicodoeletron,evale
aproxima-damente6;2710 24
segundos. Paraintervalosdetempolongoscomparados
a b, os efeitos de reac~ao n~ao s~ao importantes. Apenas quando aforca
exter-nae aplicada rapidamente e durante intervalosde tempo daordem de b, os
efeitos dereac~aomodi camconsideravelmenteomovimento. Porestaraz~ao,
e lcito desprezar a reac~ao a radiac~ao na maioria dos problemas de
eletro-din^amica. No entanto, os efeitos cumulativos podem alterar o movimento
das partculas durante longos perodos de tempo. Estes efeitos podem ser
calculados por meio de metodos analticosaproximados.
Pode-se obter uma equac~ao para a variac~ao da energia a partir da
com-ponente=0daeq.(1.14)eusando-se asrelac~oes _ t= q 1+ _ ~ x 2 c 2 , t= _ ~ x ~ x c 2 r 1+ _ ~ x 2 c 2
e _ ~ x ~ x 2 = _ ~ x 2 ~ x 2 _ ~ x ~ x 2 : d d 2 4 mc 2 s 1+ _ ~ x 2 c 2 +V(x;y;z) 2e 2 _ ~ x ~ x 3c 3 q 1+ _ ~ x 2 c 2 3 5 = 2e 2 3c 3 q 1+ _ ~ x 2 c 2 2 6 4 ~ x 2 + _ ~ x ~ x 2 c 2 3 7 5 . (1.15)
Os dois primeiros termos s~ao, respectivamente, a energia relativstica e a
energia potencial associada as forcas externas. O terceiro termo representa
uma trocareversvel de energiaporradiac~aoee denominadoenergiade
ace-lerac~ao. O termono lado direito daequac~aoe semprenegativo e representa
a perda irreversvel de energiapor radiac~ao.
1.2 O problema das soluc~oes n~ao-fsicas
Umavezqueaeq.(1.14)contemderivadasdeterceiraordem,alemdaposic~ao
e da velocidade, a acelerac~ao deve ser especi cada como condic~ao inicial.
Consideremos o movimento unidimensional de uma partcula sob a ac~ao de
uma forca f( ) independente da velocidade [4]. Neste caso a eq.(1.14) se
reduz a: x b ... x +b _ x 2 x 2 c 2 +x_ 2 = f( ) m r 1+ _ x 2 c 2 . (1.16) De nindo-se _ x ( )=c sinh[w( )=c], (1.17)
_ w( )=e =b _ w(0) Z 0 f( 0 )e 0 =b mb d 0 . (1.19)
Observa-se que no limite n~ao-relativstico, a grandeza w( _ ) se reduz a
ace-lerac~ao x(t). Em geral, para um valor inicial qualquer w(0),_ w( _ ) cresce
inde nidamente com o passar do tempo, mesmo no caso em que a forca
externa e nula. Estes tipos de soluc~oes s~ao sicamente inaceitaveis. Para
elimina-las, escolhe-se w(0)_ de modo que quando o tempo tende a in nito,
_
w( )n~aocrescainde nidamenteamenosquehajaumaforcacorrespondente.
Matematicamente, istoeexpresso como
_ w(0) = 1 mb Z 1 0 e 0 =b f( 0 )d 0 . (1.20)
Substituindo aeq.(1.20) naeq.(1.19) obtem-se:
_ w( )= 1 mb Z 1 e ( 0 )=b f( 0 )d 0 . (1.21)
A eq.(1.21) permite a seguinte interpretac~ao: quando os efeitos de reac~ao a
radiac~aos~aoconsiderados,aacelerac~aodapartculanuminstante depende
da forcaque age sobre elanum tempo futuro. Este fen^omenoedenominado
pre-acelerac~aoe aparentemente violaa causalidade. A partir das eq.(1.17)e
(1.21), obtem-se as express~oes nais para a velocidadee acelerac~ao:
_ x( )=csinh[T( )] (1.22) mx( )= 1 b Z 1 e ( 0 )=b f( 0 )d 0 cosh[T( )] , com (1.23) T( )=sinh 1 _ x(0) c + 1 mc Z 0 f( 0 )d 0 + (1.24) + 1 mc Z 1 0 e 0 =b [f( + 0 ) f( 0 )]d 0 .
dimens~oes: mx ( )= 1 b Z 1 d 0 e ( 0 )=b ^ R ( )R ( 0 )f ( 0 ), (1.25) onde R
eum fator integrante, dado por
R = 0 B B B B B B B @ u 0 u 1 u 2 u 3 u 1 u 0 0 0 u 2 0 u 0 0 u 3 0 0 u 0 1 C C C C C C C A = c u c u c c +u 0 Æ , (1.26) com c =(c;0;0;0),e ^ R oinverso de R : ^ R = 1 u 0 c 2 0 B B B B B B B @ u 2 0 u 0 u 1 u 0 u 2 u 0 u 3 u 0 u 1 c 2 +u 2 1 u 1 u 2 u 1 u 3 u 0 u 2 u 1 u 2 c 2 +u 2 2 u 2 u 3 u 0 u 3 u 1 u 3 u 2 u 3 c 2 +u 2 3 1 C C C C C C C A = 1 u 0 c 2 c 2 Æ u u c c +2 u c c 3 . (1.27)
Diante do comportamento n~ao usual da equac~ao de Lorentz-Dirac, seria
interessante testar experimentalmentesua validade. N~ao foi encontrado
ne-nhum trabalho a este respeito. Comay [9] prop~oe um possvel experimento:
um eletronmove-se emlinha retasob aac~aode umcampoeletrostatico
pro-duzido poruma casca esferica uniformemente carregada com dois pequenos
mesmon~aohavendocampoeletrico. Umaoutraproposta[10]consistena
ace-lerac~ao de um eletron porum pulso de laser ultra intenso (10 22
Wcm 2
).
Os efeitos de reac~aoa radiac~aopoderiam ser medidos pelaradiac~ao emitida
peloeletron.
Hapoucassoluc~oes exatas para aequac~aode Lorentz-Dirac, o quetorna
necessarioousode metodos numericosnamaioriadassituac~oes. Entretanto,
na integrac~ao numerica direta surgem problemas: mesmo que houvesse um
modo de estabelecer a condic~ao inicial apropriada para a acelerac~ao, a
so-luc~ao numerica tende a ser \contaminada" pelas soluc~oes n~ao-fsicas devido
aos inevitaveiserros numericos. Umamaneirade contornar esta di culdade
consisteemimporacondic~aoassintoticalim
!1 x
=0eintegrarnosentido
decrescente do tempo. Deste modo as soluc~oes n~ao-fsicas s~ao
automatica-mente amortecidas. Porem sua aplicabilidade e limitada pela di culdade
em conhecer o estado de movimento no limite ! 1 em situac~oes gerais.
Assim, deve-se procurar por uma abordagemalternativa.
1.3 O metodo de reduc~ao de ordem
Nesta abordagem[11],assume-sequeaequac~aode movimentosejade
segun-da ordem: x = ( ;x;x;_ b), (1.28)
onde satisfaz a equac~ao de Lorentz-Dirac: =f +b @ @ + @ @x _ x + @ @x_ +x_ c 2 , (1.29) onde se usou f = eF _ x mc
. A m de eliminar as soluc~oes n~ao-fsicas, usa-se
uma observac~aofeitaporBhabha[12], dequeesses tiposde soluc~ao
tornam-se singulares nolimite b !0. Assim, impondo-se acondic~ao
lim b!0 =f , (1.30)
as soluc~oes n~ao-fsicas s~aoeliminadas.
Pode-se construir apartir daeq.(1.29) uma serie de aproximac~oes
suces-sivas x = n , (n=0;1;:::) dada por: x = 0 =f (1.31) x = 1 =f +b @f @ + @f @x _ x + @f @x_ f +x_ f f c 2 (1.32) x = n+1 =f +b @ n @ + @ n @x _ x + @ n @x_ n +x_ n n c 2 (1.33)
O limite desta sucess~ao, se existir, satisfaz as condic~oes (1.29) e (1.30). Na
pratica, usa-se uma das aproximac~oes para n nito.
Umajusti cativarigorosa para a eliminac~aodas soluc~oes n~ao-fsicas por
meio da reduc~ao de ordem foi apresentada por Chicone et al [13]. O
tra-tamento exato dos efeitos de retardo no movimento de partculas
envol-ve equac~oes de retardo. Quando os par^ametros de retardo s~ao pequenos,
assume-se a exist^encia de um atrator para estes tipos de equac~ao, e a
dos par^ametros de retardo, e truncando-se a serie ate ordem N, obtem-se
um sistema de equac~oes diferenciais de ordemN. Este sistema,por sua vez,
equivaleaumsistema deequac~oes diferenciaisde primeiraordemquepossui
variedadesestaveiseinstaveis. As soluc~oesfsicasdosistemas~ao
assintotica-menteatradas para avariedade estaveleasn~ao-fsicass~aoassintoticamente
repelidas pela variedade instavel. Num sistema de coordenadas
apropria-do, o sistema de equac~oes diferenciaisde primeira ordem obtidoa partir do
sistema de ordem N coincide ate ordem N com o sistema de equac~oes
di-ferenciais de primeira ordem referente a equac~ao de retardo, e, portanto, e
uma aproximac~aodomodelo fsico \correto".
Doiscomentarios sobre asasserc~oes acimas~aoimportantes: n~aofoi dada
aindaumaprovamatematicarigorosadavalidadedas mesmasparaequac~oes
de retardogerais; e quandoos par^ametros de retardo n~ao s~aopequenos,
po-demsurgircomportamentosdin^amicosn~aoprevisveispormeiodasequac~oes
obtidas apartir da reduc~ao de ordem.
1.4 A superfcie crtica da equac~ao de
Lorentz-Dirac
Recentemente, Spohn [14] mostrou que o uxo de soluc~oes da equac~ao de
Lorentz-Diracpossuium comportamentosemelhanteao uxo de soluc~oes do
perten-zac~aodependedeF
. Foradasuperfciecrtica,asoluc~aocresce
exponenci-almente. Comoconsequ^encia, avariedade crtica e umasuperfcienoespaco
de fases da forma x = h (x ;x_
). Assim, dadas as condic~oes iniciais para
a posic~ao e velocidade, existe apenas uma soluc~aona superfcie crtica e
es-ta satisfaz a condic~ao assintotica lim
!1 x
= 0. Alem disso, o movimento
na superfcie crtica pode ser descrito por uma equac~ao efetiva de segunda
ordem.
O fato de, na equac~ao de Lorentz-Dirac, o termo de derivada de ordem
maisaltasermultiplicadoporumtermopequeno,tornaadequadoseuestudo
pormeio dateoria de perturbac~ao singular. De nindo-se:
y (1) =x y (2) =x_ y (3) =x ,
aequac~aodeLorentz-DiraceexpressacomoumsistemadeEDOsdeprimeira
ordem: _ y (1) =y (2) (1.34) _ y (2) =y (3) (1.35) y_ (3) =my (3) eF y (2) c y (2) c 2 y (3) y (3) , (1.36) onde = 2e 2 3c 3
@ @y (1) _ y (1) + @ @y (2) _ y (2) + @ @y (3) _ y (3) = m y (2) c 2 @ @y (3) y (3) y (3) = m 2 y (2) y (3) c 2 = m >0
Como a diverg^encia e sempre positiva,o uxo de soluc~oes diverge.
Introduzindo-se uma escala =
, o sistema (1.34) { (1.36) pode ser
reescrito como: dy (1) d =y (2) (1.37) dy (2) d =y (3) (1.38) dy (3) d =my (3) eF y (2) c y (2) c 2 y (3) y (3) . (1.39)
Tomando-se =0, aseq.(1.37) { (1.39)fornecem:
dy (1) d =0)y (1) (w)=y (10) dy (2) d =0)y (2) (w)=y (20) dy (3) d =my (3) eF y (20) c =my (3) h (y (10) ;y (20) ). (1.40)
Devidoaocomportamentodivergentedo uxo dosistema(1.34){(1.36),
a superfcie x = h (x ;x_
) e formada exclusivamente por pontos xos
re-pulsivos. Se x (0) 6= h (x (0);x_
(0)), a soluc~ao cresce exponencialmente.
Neste sentido a superfcie x = h (x ;x_
possui aforma x =h (x ;x_ ).
Para veri car que a condic~ao assintotica para a acelerac~ao determina
x
(0), convem utilizar a equac~ao do balanco de energia (1.15). Integrando
ambosos ladosda eq.(1.15) emrelac~aoao tempo proprio, tem-se:
2 4 mc 2 s 1+ _ ~ x 2 c 2 +V(x;y;z) 2e 2 _ ~ x ~x 3c 3 q 1+ _ ~ x 2 c 2 3 5 1 0 = = 2e 2 3c 3 Z 1 0 1 q 1+ _ ~ x 2 c 2 2 6 4 ~ x 2 + _ ~ x ~ x 2 c 2 3 7 5 d . (1.41)
Como na superfcie crtica a acelerac~ao e limitada, o termo de energia de
acelerac~aonoladoesquerdodaeq.(1.41)tambemelimitado,dondeseconclui
que Z 1 0 1 q 1+ _ ~ x 2 c 2 2 6 4 ~ x 2 + _ ~ x ~ x 2 c 2 3 7 5 d <1 (1.42)
na superfcie crtica. Esta condic~ao e satisfeita apenas se a condic~ao
as-sintoticalim
!1 x
=0forvalida. Foradasuperfciecrticaaacelerac~ao
di-verge. Logo,dadas ascondic~oesiniciaisx
(0)e x_
(0), acondic~aoassintotica
determina unicamentex
(0) nasuperfcie crtica.
Resta ainda obter a equac~ao efetiva de segunda ordem na superfcie
crtica. Adotando x = h (x ;x_ ) = h 0 +h 1 +O( 2 ), substituindo na
mh 0 = e c F _ x , (1.43) mh 1 = _ h 0 + _ x c 2 h 0 h 0 = e mc @F @x _ x _ x + e 2 m 2 c 2 (F F _ x + + _ x c 2 F F _ x _ x . (1.44)
Assim, aequac~ao efetiva de segunda ordem e dada por:
mx = e c F _ x + e mc @F @x _ x _ x + e 2 m 2 c 2 F F _ x + _ x c 2 F F _ x _ x (1.45)
Einteressantenotarqueestaequac~aoefetivaconcordacomaobtida
aplicando-se ometodode reduc~aode ordemdiscutido na sec~ao 1.3.
1.5 Analise de um exemplo sob varios pontos
de vista
O problema do movimento do oscilador harm^onico com reac~ao a radiac~ao
nolimite n~ao-relativsticopode ser resolvido exatamente. Com estasoluc~ao,
pode-se obter uma equac~ao exata para a superfcie crtica. Os resultados
ser~aoent~aocomparados com osobtidos com ometodode reduc~ao de ordem
(sec~ao 1.3).
O movimento com reac~ao a radiac~ao de uma partcula carregada
cu-ja frequ^encia angular na aus^encia de amortecimento seja ! e descrito pela
equac~ao d 2 x dt 2 = ! 2 x+b d 3 x dt 3 . (1.46)
com b = 2e
3mc 3
. A soluc~ao exata daeq.(1.46) e dada por:
x(t)=c 1 e 1t +e 2rt (c 2 cos ( 2i t)+c 3 sin( 2i t)), (1.47) onde c 1 ;c 2 ;c 3
s~aoconstantes quedependem das condic~oes iniciais, e
1 = 1 3b 1+ 1=3 + 1=3 (1.48) 2r = 1 3b 1 1=3 4 1=3 (1.49) 2i = p 3 6b 1=3 1=3 (1.50) =1+ 27 2 ! 2 b 2 +3 p 3!b r 1+ 27 4 ! 2 b 2 (1.51) =8+108! 2 b 2 +12 p 3!b p 4+27! 2 b 2 (1.52)
Apartir dasoluc~ao (1.47),obtem-se imediatamenteasexpress~oes paraa
velocidade eacelerac~ao:
_ x(t)= 1 c 1 e 1 t +(c 2 2r +c 3 2i )e 2r t cos( 2i t)+(c 3 2r c 2 2i )e 2r t sin( 2i t) (1.53) x(t)= 2 1 c 1 e 1t + c 2 ( 2 2r 2 2i )+2c 3 2r 2i e 2rt cos ( 2i t)+ c 3 ( 2 2r 2 2i ) 2c 2 2r 2i ]e 2r t sin( 2i t). (1.54)
Em termos das condic~oes iniciais x(0) = x
0 , x(0)_ = x_ 0 e x (0) = x 0 , as
1 2 3 c 1 = x 0 ( 2 2r + 2 2i )+x 0 2 2r _ x 0 ( 1 2r ) 2 + 2 2i (1.55) c 2 = x 0 1 ( 1 2 2r ) x 0 +2 2r _ x 0 ( 1 2r ) 2 + 2 2i (1.56) c 3 = [x 0 1 ( 1 2r 2 2r + 2 2i )+x 0 ( 1 2r )+x_ 0 ( 2 2r 2 1 2 2i )] 2i ( 1 2r ) 2 + 2 2i (1.57)
As eq.(1.47) e (1.53) formam um sistema linear em relac~ao as func~oes
e 2r t cos( 2i t) e e 2r t sin( 2i
t). O determinante da matriz dos coe cientes
= 2i (c 2 2 +c 2 3
) sera diferente de zero a n~ao ser que c
2 =c
3
= 0, mas este
caso n~ao possui interesse, uma vez que as soluc~oes fsicas seriam anuladas.
Logo o sistema linear possui soluc~ao unica. Substituindo-se a soluc~ao do
sistema linear naeq.(1.54) esimpli cando, obtem-se:
x(t)=c 1 ( 1 2r ) 2 + 2 2i e 1t +2 2r _ x ( 2 2r + 2 2i )x. (1.58) Como 1 > 0, o termo e 1 t
e responsavel pelo crescimento exponencial da
acelerac~ao. Parasatisfazeracondic~aoassintoticalim
t!1
x=0deve-seimpor
c
1
=0. Neste caso a eq.(1.58) sereduz a
x(t)=2 2r _ x ( 2 2r + 2 2i )x. (1.59)
A eq.(1.59) determina a superfcie crtica. Dados x(0) e x(0),_ a eq.(1.59)
determina unicamente o valor da acelerac~ao inicial na superfcie crtica. A
eq.(1.59) e uma EDO de segunda ordem; como ( 2 2r + 2 2i ) <0 e 2r <0,
−6
−4
−2
0
2
4
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
aceleração
tempo
v(0) = 0c
v(0) = 1x10
−10
c
v(0) = −1x10
−10
c
Figura 1.1: Acelerac~ao emfunc~ao do tempo com condic~oes iniciais x(0)=1
unidade de comprimento,! = 2
7b
rad/(unidadede tempo),v(0)=x (0)_ =0c
(curvacontnua)ev(0)=x (0)_ =110 10
c(curvastracejadas) (1unidade
de comprimento=2;81810 15
m,1unidade de tempo =9;39910 24
s,
1 unidade de velocidade =velocidade daluz novacuo).
Note-se que aequac~ao efetivade segunda ordem neste caso pode ser obtida
exatamente.
A gura 1.1 mostra ascurvas daacelerac~aoemfunc~ao dotempocom as
condic~oes iniciais x(0) =1 unidade de comprimentoe ! = 2
7b
rad/(unidade
detempo)(1unidadedecomprimento=2;81810 15
m,1unidadedetempo
=9;39910 24
s,1unidadede velocidade=velocidadedaluznovacuo). A
curvacontnuafoi obtidacom a eq.(1.59)evelocidadeinicial x(0)_ =0c, eas
−4
−2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
acelera
çã
o
tempo
x(0)=1
x(0)=1+1x10
−10
x(0)=1−1x10
−10
Figura1.2: Acelerac~aoemfunc~aodotempocomcondic~oesiniciaisx (0)_ =0c,
! = 2
7b
rad/(unidade de tempo), x(0) = 1 unidade de comprimento (curva
contnua) e x(0) =(1110 10
) unidades de comprimento (1 unidade de
comprimento =2;81810 15
m, 1 unidade de tempo = 9;39910 24
s, 1
unidade de velocidade= velocidadeda luznovacuo).
1 10 10
c. Paraconstruirascurvasmostradasna gura1.2variou-seovalor
da posic~aoinicial x(0)=1 unidade de comprimento, x(0)=(1110 10
)
unidadesde comprimentoemanteve-se xososvaloresiniciaisdavelocidade.
Em ambos os casos isto equivale a tomar um conjunto de condic~oes iniciais
ligeiramente fora da superfcie crtica. Apesar desta pequena diferenca, a
acelerac~aonasduassituac~oesdivergeapartirdeumcertoinstantedetempo.
Este exemplo ilustra a instabilidade da superfcie crtica, uma vez que e
constitudapor pontos xos repulsivos.
tem-−6
−4
−2
0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
acelera
çã
o
tempo
v(0) = 0c
v(0) = 1x10
−10
c
v(0) = −1x10
−10
c
Figura 1.3: Soluc~ao numerica da equac~ao de movimento do oscilador
harm^onico com reac~ao a radiac~ao (1.46) com condic~oes iniciais x(0) = 1
unidade de comprimento,! = 2
7b
rad/(unidadede tempo),v(0)=x (0)_ =0c
(curvacontnua)ev(0)=x (0)_ =110 10
c(curvastracejadas) (1unidade
de comprimento=2;81810 15
m,1unidade de tempo =9;39910 24
s,
respectivamente, mas calculadas por meio da soluc~ao numerica daeq.(1.46)
utilizando-se o algoritmode Runge-Kutta-Fehlberg de 4 a
- 5 a
ordem.
Nova-menteobserva-seumcomportamentodivergentedaacelerac~aocomcondic~oes
iniciaisforadasuperfciecrtica. Mesmotomando-seovalordaacelerac~ao
ini-cialde acordo com aeq.(1.59) comdezesseis algarismos,as curvas contnuas
das guras 1.3 e 1.4 divergem a partir de aproximadamente 16 unidades de
tempo ou 3,4 perodos do movimento n~ao amortecido. Na integrac~ao
dire-ta da eq.(1.46), a contribuic~ao das soluc~oes n~ao-fsicas cresce rapidamente
devido aos erros de arredondamento.
Finalmente resolveu-se a eq.(1.46) pelo metodo de reduc~ao de ordem.
Neste caso asaproximac~oes sucessivasconsistem emEDOs de 2 a ordem [11] x= n _ x ! 2 n x, n =0;1;::: (1.60)
cujos coe cientes s~ao dados pelas relac~oes de recorr^encia
0 =0 ! 2 n+1 =! 2 0 b! 2 n n (1.61) n+1 =b ! 2 n 2 n
A gura 1.5 mostra a soluc~ao exata (1.59) (curva contnua) e as
aproxi-mac~oessucessivas comn =20en=30econdic~oes iniciaisx(0) =1unidade
de comprimento, x (0)_ =0c e !
0 =
2
7b
rad/(unidade de tempo). Neste caso
a converg^enciaebastante lenta,mas em [11]e provado queas aproximac~oes
sucessivas convergem para aeq.(1.59) desde queb!
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
acelera
çã
o
tempo
x(0)=1
x(0)=1+1x10
−10
x(0)=1−1x10
−10
Figura 1.4: Soluc~ao numerica da equac~ao de movimento do oscilador
harm^onico com reac~ao a radiac~ao (1.46) com condic~oes iniciais x (0)_ = 0c,
! = 2
7b
rad/(unidade de tempo), x(0) = 1 unidade de comprimento (curva
contnua) e x(0) = (1110 10
) unidade de comprimento (curvas
trace-jadas) (1 unidade de comprimento =2;81810 15
m, 1 unidade de tempo
=9;39910 24
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
2
4
6
8
10
12
14
posi
çã
o
tempo
solução exata
n=20
n=30
Figura 1.5: Soluc~ao da equac~ao de movimento do oscilador harm^onico com
reac~ao aradiac~ao(1.46)pelometodode reduc~aode ordem. Curva contnua:
soluc~ao exata, curvas tracejadas: aproximac~oes sucessivas com n = 20 e
n = 30. Condic~oes iniciais: x(0) = 1 unidade de comprimento, x(0)_ = 0c
(1 unidade de comprimento = 2;818 10 15
m, 1 unidade de tempo =
9;39910 24
0
1x10
−11
2x10
−11
3x10
−11
4x10
−11
5x10
−11
6x10
−11
7x10
−11
8x10
−11
9x10
−11
0
2
4
6
8
10
12
∆
acelera
çã
o
tempo
v(0) = 1x10
−10
c
v(0) = −1x10
−10
c
Figura 1.6: Modulo da diferenca entre as acelerac~oes com condic~oes iniciais
x(0) =1 unidadede comprimento,v(0)=x(0)_ =110 10
ceaacelerac~ao
com condic~oes iniciais x(0) = 1 unidade de comprimento, x (0)_ = 0c. As
soluc~oes foramcalculadas numericamenteapartir daequac~aode movimento
obtida pelo metodo de reduc~ao de ordem (1.60) com n = 30 (1 unidade de
comprimento =2;81810 15
m, 1 unidade de tempo = 9;39910 24
s, 1
riac~oesnascondic~oesiniciaiseerrosdearredondamentonumerico.
Resolveu-senumericamenteaeq.(1.60)comn=30econdic~oesiniciaisx(0)=1
unida-de decomprimento,x (0)_ =110 10
c. Na gura1.6apresenta-seomodulo
dadiferencaentre asacelerac~oescom x (0)_ =110 10
cea acelerac~aocom
_
x(0) = 0c em func~ao do tempo. Ao contrario das situac~oes anteriores, as
diferencas entre asacelerac~oes sofrem um amortecimentocom oaumento do
tempo.
Em resumo, mesmo que se consiga determinar analticamente a forma
da superfciecrtica (sem resolver as equac~oes de movimento), e conseq
uen-temente a condic~ao inicial para a acelerac~ao, a soluc~ao numerica direta da
equac~aode Lorentz-Diracpermanece inviavel,umavezqueserianecessarioo
conhecimentodas condic~oes iniciais e processamento numerico com precis~ao
in nita para evitar a contaminac~aoda soluc~aonumerica pelas soluc~oes n~
ao-fsicas. Por outro lado, a soluc~ao das equac~oes de segunda ordem oriundas
dometodode reduc~aode ordemn~aosofremdeste inconveniente, embora n~ao
haja garantias de que areduc~ao de ordem convirja em todos os casos.
1.6 Aplicac~oes
Utilizou-se o metodo de reduc~ao de ordem no estudo de alguns problemas
simples envolvendo reac~aoaradiac~ao. Ostermosdasucess~ao (1.31){(1.33)
foramcalculadosanaliticamenteemcadacasoeascorrespondentes equac~oes
mac~oes foram comparadas entre si a m de veri car a converg^encia. As
unidades de medidausadas foramas seguintes:
unidade de carga: cargado eletron=1;60210 19
C
unidade de massa: massa de repouso doeletron =9;10910 31
kg
unidade de comprimento: raioclassico do eletron=2;81810 15
m
unidade de tempo =9;39910 24
s
Nestas unidades, avelocidade daluze numericamenteigual a 1.
1.6.1 Movimento unidimensionalcom forcaexterna
de-pendente do tempo
Seja um eletron submetido a uma forca externa periodica dependente do
tempo da forma f( ) = f
o
sin(! ). O movimento na direc~ao do eixo x e
descrito pelas equac~oes
x= f o m sin(! ) _ t+b ... x + _ x c 2 c 2 t 2 x 2 (1.62) c t= f o mc sin(! )x_ +b ... x + _ t c c 2 t 2 x 2 . (1.63)
Nestecasoasoluc~aoexatapodesercalculadapormeiodaseq.(1.22)e(1.23):
_ x( )=csinh[T( )] (1.64) x( )= f o b m(1+b 2 ! 2 )
cosh [T( )][sin(! )+b! cos(! )] , com (1.65)
T( )=sinh 1 _ x (0) + f o [1 cos(! )+b! sin(! )].
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
posi
çã
o
tempo próprio
sem reação
sol. exata com reação
redução de ordem
Figura 1.7: Posic~ao (x) em func~ao do tempo proprio para uma partcula
submetida a uma forca externa f = 0;5sin( 2
15b
) unidades de forca com
x(0) = 0 unidades de comprimentoe x(0)_ = 0c (1 unidade de comprimento
= 2;81810 15
m, 1 unidade de tempo = 9;399 10 24
s, 1 unidade de
velocidade =velocidade daluz no vacuo).
A soluc~aonumerica obtida com o metodode reduc~aode ordem pode ser
comparada com a soluc~ao exata. As guras 1.7 a 1.9 mostram,
respecti-vamente, as curvas de posic~ao, velocidade propria e acelerac~ao propria em
func~ao dotempo proprio com f =0;5sin( 2
15b
) unidades de forca, x(0) =0
unidades de comprimento e x(0)_ = 0c. A soluc~ao calculada pelo metodo
de reduc~ao de ordem corresponde a sequ^encia (1.31) { (1.33) com n = 2.
Mesmo com esta ordem de aproximac~ao, as guras mostram que a soluc~ao
obtida deste modo esta muito proxima da soluc~ao exata. A soluc~ao
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
5
10
15
20
25
30
velocidade pr
ó
pria
tempo próprio
sem reação
sol. exata com reação
redução de ordem
Figura 1.8: Velocidade propria em func~ao do tempo proprio para o
movi-mentomostrado na gura 1.7.
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
5
10
15
20
25
30
acelera
çã
o pr
ó
pria
tempo próprio
sem reação
sol. exata com reação
redução de ordem
Figura 1.9: Acelerac~ao propria em func~ao do tempo proprio para o
1.6.2 Movimento unidimensionalcom forca externa
cons-tante
Nocasodeumcampoeletricoconstante ~
E =Ex,^ osprimeirosdoisconjuntos
de termosdas aproximac~oes sucessivas s~ao:
c t = 0 0 = eE mc _ x (1.66) x= 1 0 = eE mc c _ t (1.67) c t = 0 1 = eE mc _ x+ be 2 E 2 m 2 c 2 c _ t+ c _ t c 2 _ x 2 c 2 _ t 2 (1.68) x= 1 1 = eE mc c _ t+ be 2 E 2 m 2 c 2 _ x+ _ x c 2 _ x 2 c 2 _ t 2 (1.69) Substituindo-se a relac~ao x_ 2 c 2 _ t 2 = c 2
em (1.68) e (1.69) obtem-se
no-vamente (1.66) e (1.67). Neste caso, as equac~oes de movimento com e sem
reac~ao s~ao as mesmas.
A mesma conclus~ao chega-se a partir da condic~ao
(1.20).
Isto signi ca que uma carga uniformemente acelerada n~ao irradia? Esta
quest~ao gerou controversias. Em 1909 Born [16] publicou um artigo sobre
o movimento relativstico de uma carga uniformemente acelerada. Pauli, a
partir deste artigo, concluiuque uma carga neste estado de movimento n~ao
emite radiac~ao [17]. Schott [18], num trabalho independente do de Born,
concluiu que ha radiac~ao. Bondie Gold [19] modi caram otratamento
lhe. Utilizandoaeletrodin^amicaclassica,invari^anciade Lorentzeadmitindo
a validade da equac~ao de Lorentz-Dirac, mostraram que uma carga
unifor-mementeacelerada irradiaa uma taxa n~ao nula constantee que a anulac~ao
da forca de reac~ao n~ao implica necessariamente em aus^encia de radiac~ao.
A eq.(1.15) aplicada ao movimento uniformemente acelerado na direc~ao x
fornece: T( ) T(0)+V[x( )] V[x(0)]= 2e 2 3c 3 2 4 _ x ( )x q 1+ _ x( ) 2 c 2 _ x(0)x q 1+ _ x(0) 2 c 2 Z 0 x 2 q 1+ _ x( 0 ) 2 c 2 d 0 3 5 , (1.70)
onde se representou a energiarelativstica porT. Oprimeiro esegundo
ter-mos do lado direito da eq. (1.70) representam a energia de acelerac~ao. Em
geral, quando o movimento e periodico, estes termos se cancelam e a
va-riac~aodaenergiacinetica +potencialocorre apenasdevido aoultimotermo
da eq.(1.70). Nestes casos, todo o trabalho realizado pela forca de reac~ao
corresponde a energia emitida por radiac~ao. Por outro lado, o movimento
em quest~ao n~ao e periodico. A acelerac~ao constante implica que o trabalho
totalrealizadopelaforcade reac~aoseanula. Pelaeq. (1.70),aenergia
emiti-daporradiac~aodevese igualaraenergiade acelerac~aopara queistoocorra.
De alguma maneira, a energia de acelerac~ao consiste numa \energia
vimento (1.14). Se esta for rejeitada, ent~ao n~aoe possvel qualquer tipo de
discuss~ao arespeito da in u^encia daemiss~ao de energiasobre o movimento,
uma vez quen~aoha outra equac~aode movimentodisponvel.
De acordo com Sciama et al. [21], a forca de reac~ao a radiac~ao age,
duranteosperodos iniciale nal deacelerac~aon~ao-uniforme, detalmaneira
a assegurar queo trabalhorealizadopelaforcaexterna durante aacelerac~ao
constante seja igual a soma da variac~aoda energia cinetica da carga com a
energia irradiada.
Ha ainda uma outra discuss~ao relacionada ao princpio da equival^encia
[20]. Uma vez que a equac~ao de movimento de uma carga
uniformemen-te acelerada n~ao difere da de uma partcula neutra quando aceleradas por
forcas n~ao-eletromagneticas,ambasseguir~aoamesma trajetorianum campo
gravitacional homog^eneo. Uma partcula neutraem queda livrenum campo
gravitacional homog^eneo secomporta para um observador tambemem
que-da livre como uma partcula em repouso num referencialinercial, de acordo
com o princpioda equival^encia. Masse a partcula estiver carregada, o
ob-servador pode detectar a presenca docampo gravitacional pela radiac~ao da
partcula: sehouverradiac~aoelesaberaqueambosest~aoemquedanum
cam-po gravitacional; caso contrario elee a partcula se encontram numa regi~ao
do espacolivre de forcas.
ParaFultoneRohrlichestaaparentecontradic~aocomoprincpioda
equi-val^enciaeresolvidaquando seconsidera amedidade radiac~ao. Aradiac~aoe
gada n~ao pode faz^e-lo nas proximidades da geodesica da partcula. Mas o
princpiodaequival^enciasomentetem validadelocal, enquanto aobservac~ao
de radiac~aoeum procedimenton~ao-local. Logo oobservador emqueda livre
juntoa partcula n~aopode determinar seha de fato emiss~aode radiac~ao.
Haaindaum outrocriteriopara sedeterminaraexist^enciade um campo
de radiac~ao: a radiac~ao emitida por uma carga e observada quando existe
acelerac~ao relativa entre o observador e a carga. Segundo este criterio, um
observador num referencial co-acelerado em relac~ao ao referencial da carga
n~ao observa radiac~ao. No caso em que o observador e a carga est~ao em
queda livre num mesmo campo gravitacional estatico e homog^eneo, n~ao ha
acelerac~aorelativaentre ambos,logooobservador n~aodetecta radiac~ao.
Es-ta conclus~ao concorda com a analise feita por Boulware [22], de que todaa
radiac~ao emitida pela carga encontra-se numa regi~ao do espaco-tempo
ina-cessvel ao observador noreferencial co-acelerado. A interpretac~ao qu^antica
daradiac~aoemitidaporumacargauniformementeacelerada envolveoefeito
Fulling-Davies-Unruh,e seraabordada nasec~ao1.7.
1.6.3 Movimento bidimensional comforca externa
cons-tante
Consideremosomovimentonoplanoxydeumeletronsubmetidoaumcampo
eletrico constante ~
E = Ex.^ As guras 1.10 a 1.13 mostram os resultados
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
2x10
5
4x10
5
6x10
5
8x10
5
1x10
6
y
x
sem reação
com reação
Figura 1.10: Alterac~ao da trajetoria do eletron devido a reac~ao a radiac~ao
num campoeletrico ~
E=0;01^xunidadesdecampoeletricoecondic~oes
inici-ais x(0) =y(0)=0 unidades de comprimento,x(0)_ = 0c, y(0)_ =0;100503c
(1 unidade de comprimento = 2;818 10 15
m, 1 unidade de tempo
=9;39910 24
s,1 unidade de campo eletrico =1;81410 20
N/C).
unidade de campo eletrico =1;81410 20
N/C), x(0) =y(0)= 0 unidades
de comprimento,x(0)_ =0c, y(0)_ =0;100503c etermos da sucess~ao (1.31) {
(1.33) com n=2.
Apesar de a trajetoria do eletron ser aparentemente pouco modi cada
pelaperda de radiac~ao( gura1.10), aenergiaE =mc 2
_
t eEx ( gura1.11)
diminui bastante durante o percurso. A gura 1.12 mostra o componente
y da acelerac~ao em func~ao do tempo proprio. Observa-se uma acelerac~ao
negativa(diminuic~aodavelocidade)nestadirec~ao,apesarde n~aohaverforca
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Energia (unidades de energia)
tempo próprio
sem reação
com reação
Figura 1.11: Variac~ao da energiaem func~ao do tempo proprio para o
movi-mentomostrado na gura 1.10 (1unidade de energia=8;18810 14 J).
−7x10
−6
−6x10
−6
−5x10
−6
−4x10
−6
−3x10
−6
−2x10
−6
−1x10
−6
0
1x10
−6
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
acelera
çã
o
(y)
tempo próprio
sem reação
com reação
Figura 1.12: Acelerac~ao na direc~ao y em func~ao do tempo proprio para o
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0
2x10
5
4x10
5
6x10
5
8x10
5
1x10
6
Energia (unidades de energia)
x
θ
=90
o
θ
=60
o
θ
=45
o
θ
=30
o
θ
=15
o
Figura1.13: Energiaemfunc~aodacoordenadax paramovimentocom forca
externa constanteevarias condic~oes iniciaisdos componentes davelocidade.
Os ^angulos referem-se ao ^angulo polar do vetor velocidade em = 0 (1
unidade decomprimento=2;81810 15 m,1unidadede energia=8;188 10 14 J).
A gura1.13indicaavariac~aodaenergiaEcomaposic~aoparavarias
con-dic~oesiniciaisdavelocidade: x(0)_ =(0;100503cos)cey(0)_ =(0;100503sin)c,
sendo o ^angulopolar. Nota-se que quantomaior o^anguloformado entre a
direc~ao da velocidadeinicial e a direc~ao da forcaexterna, maiore a
As equac~oes de movimentode um eletron numcampomagneticohomog^eneo e estatico ~ B =Bz^s~ao dadaspor: mc t = 2e 2 3c 2 ... t + _ t c c 2 t 2 x 2 y 2 (1.71) mx= eB c _ y+ 2e 2 3c 3 ... x + _ x c 2 c 2 t 2 x 2 y 2 (1.72) my= eB c _ x+ 2e 2 3c 3 ... y + _ y c 2 c 2 t 2 x 2 y 2 (1.73)
As soluc~oes numericas foramcalculadas com ospar^ametros:
B = 110 12
unidades de campo magnetico ( 6;0 10 3 Gauss ), _ x(0)=0, y(0)_ =110 6 B = 110 11
unidades de campo magnetico ( 6;0 10 4
Gauss ),
_
x(0)=0, y(0)_ =210 6
Estas intensidades de campomagneticopodemser obtidaspormeiodem~as
refrigerados a agua. As guras 1.14 e 1.15 mostram, respectivamente, a
trajetoria e a energia relativstica do eletron para o primeiro conjunto de
par^ametros, e as guras 1.16 e 1.17 as mesmas grandezas para o segundo
conjuntode par^ametros.
Observa-se que nestes dois casos os efeitos de reac~ao a radiac~aoalteram
signi cativamente o movimento das partculas. A maior parte da energia e
perdidadurante os primeirosinstantes do movimento. Outro fatonotavel e
−1x10
18
−8x10
17
−6x10
17
−4x10
17
−2x10
17
0
2x10
17
4x10
17
6x10
17
8x10
17
1x10
18
−1x10
18
−7x10
17
−3x10
17
0
3x10
17
7x10
17
10x10
17
y
x
campo B = 6x10
3
Gauss
sem reação
com reação
Figura 1.14: Alterac~ao da trajetoria do eletron devido a reac~ao a radiac~ao
num campomagneticoB =610 3
Gaussecondic~oesiniciaisx(0)=110 18
unidades de comprimento, y(0) = 0 unidades de comprimento, x(0)_ = 0,
_ y(0) =110 6 (1unidade de comprimento=2;81810 15 m,1unidade de tempo=9;39910 24 s).
1x10
5
2x10
5
3x10
5
4x10
5
5x10
5
6x10
5
7x10
5
8x10
5
9x10
5
1x10
6
0
1x10
18
2x10
18
3x10
18
4x10
18
5x10
18
6x10
18
7x10
18
8x10
18
9x10
18
Energia (unidades de energia)
coordenada tempo t
campo B = 6x10
3
Gauss
Figura 1.15: Energia em func~ao da coordenada tempo t para a trajetoria
mostrada na gura 1.14 (1unidade de energia=8;18810 14
J).
Nocasoemqueaperdade energiaporcicloforpequena,epossvelobter
uma express~ao aproximada para o raioem func~ao do tempo. A soluc~ao das
equac~oes (1.71) {(1.73) sem o termo de reac~ao aradiac~aoe:
x( )=rcos(! ) (1.74) y( )=rsin(! ) (1.75) _ t= r 1+ r 2 ! 2 c 2 (1.76) onde ! = eB mc
e r e o raio da trajetoria. Utilizando as eq.(1.74) e (1.75) na
eq.(1.15) tem-se: dE d = 2e 2 r 2 ! 4 3c 3 r 1+ r 2 ! 2 c 2 (1.77)
Fazendo a media da energia sobre um perodo do movimento, tem-se E =
−2.0x10
17
−1.5x10
17
−1.0x10
17
−5.0x10
16
0
5.0x10
16
1.0x10
17
1.5x10
17
2.0x10
17
−2.0x10
17
−1.3x10
17
−6.7x10
16
0
6.7x10
16
1.3x10
17
2.0x10
17
y
x
campo B = 6x10
4
Gauss
sem reação
com reação
Figura 1.16: Alterac~ao da trajetoria do eletron devido a reac~ao a radiac~ao
num campomagneticoB =610 4
Gaussecondic~oesiniciaisx(0)=210 17
unidades de comprimento, y(0) = 0 unidades de comprimento, x(0)_ = 0,
_ y(0) =210 6 (1unidade de comprimento=2;81810 15 m,1unidade de tempo=9;39910 24 s).
0
2.0x10
5
4.0x10
5
6.0x10
5
8.0x10
5
1.0x10
6
1.2x10
6
1.4x10
6
1.6x10
6
1.8x10
6
2.0x10
6
0
5.0x10
16
1.0x10
17
1.5x10
17
2.0x10
17
2.5x10
17
3.0x10
17
Energia (unidades de energia)
coordenada tempo t
campo B = 6x10
4
Gauss
Figura 1.17: Energia em func~ao da coordenada tempo t para a trajetoria
mostrada na gura 1.16 (1unidade de energia=8;18810 14 J).
0
5.0x10
16
1.0x10
17
1.5x10
17
2.0x10
17
2.5x10
17
3.0x10
17
3.5x10
17
0
1x10
18
2x10
18
3x10
18
4x10
18
5x10
18
6x10
18
7x10
18
8x10
18
9x10
18
x
centro
coordenada tempo t
campo B = 6x10
3
Gauss
Figura1.18: Coordenadax docentroemfunc~aodacoordenadatempot para
0
5.0x10
16
1.0x10
17
1.5x10
17
2.0x10
17
2.5x10
17
3.0x10
17
0
1x10
18
2x10
18
3x10
18
4x10
18
5x10
18
6x10
18
7x10
18
8x10
18
9x10
18
y
centro
coordenada tempo t
campo B = 6x10
3
Gauss
Figura1.19: Coordenaday docentroemfunc~aodacoordenadatempot para
a trajetoriamostrada na gura 1.14.
por dr dt = dr dE dE d d dt = 2e 2 r! 2 3mc 3 r 1+ r 2 ! 2 c 2 , (1.78)
cuja soluc~aocom a condic~aoinicial r(t=0)=r
0 e: r(t)= c ! r 1 tanh 2 W 1 , com W =arctanh 0 @ 1 q 1+ r 2 0 ! 2 c 2 1 A + 2e 2 ! 2 t 3mc 3 . (1.79)
A comparac~ao entre o raio previsto pela eq.(1.79) e o obtido pela soluc~ao
numerica a partir da reduc~ao de ordem e mostrado na gura 1.20. Usou-se
B = 310 4
Gauss, y(0)_ = 110 4
(0;999999995c), durante um intervalo
de tempo equivalente a 95 revoluc~oes. Apesar da energia inicial elevada, a
soluc~ao aproximada concorda bem com o resultado numerico, sendo que a
1.65x10
15
1.70x10
15
1.75x10
15
1.80x10
15
1.85x10
15
1.90x10
15
1.95x10
15
2.00x10
15
0
2.0x10
17
4.0x10
17
6.0x10
17
8.0x10
17
1.0x10
18
1.2x10
18
raio
coordenada tempo t
B = 3x10
4
Gauss
solução analítica
solução numérica
Figura 1.20: Comparac~ao entre o raio obtido pela soluc~ao numerica e o
previsto pela soluc~ao analtica aproximada (1.79) com campo B = 310 4
Gaussecondic~aoinicialy(0)_ =110 4 (1unidadedecomprimento=2;818 10 15 m,1 unidade de tempo =9;39910 24 s).
−2x10
17
−1x10
17
0
1x10
17
2x10
17
3x10
17
4x10
17
5x10
17
6x10
17
7x10
17
8x10
17
−2x10
17
0
2x10
17
4x10
17
6x10
17
8x10
17
1x10
18
y
x
campo B = 6x10
3
Gauss
solução analítica
solução numérica
Figura1.21: Comparac~aoentreatrajetoriacalculadanumericamenteea
pre-vistapelasoluc~aoanalticaaproximada nolimiteultra-relativsticoeq.(1.80)
{ (1.83). Os valores do campo magnetico, condic~oes iniciais e unidades s~ao
os indicados na gura 1.14.
A soluc~ao aproximada da eq.(1.14) no limite ultra-relativstico ( =
1 p 1 v 2 =c 2
1) foi obtida por Lieu [23]. As express~oes das posic~oes e
ve-locidadess~ao: v x (t)= c 1 ( t+ ) 2 =2 sin[!t( t+2 )=2] (1.80) v y (t)=c 1 ( t+ ) 2 =2 cos[!t( t+2 )=2] (1.81) x(t)=x 0 + Z t 0 v x (t 0 )dt 0 (1.82) y(t)=y 0 + Z t 0 v y (t 0 )dt 0 (1.83) onde: = 2e 4 B 2 3m 3 c 5 , = 1 (t=0) = 1 0 .
0
5.0x10
15
1.0x10
16
1.5x10
16
2.0x10
16
2.5x10
16
3.0x10
16
3.5x10
16
4.0x10
16
4.5x10
16
5.0x10
16
1.50x10
17
1.58x10
17
1.67x10
17
1.75x10
17
1.83x10
17
1.92x10
17
2.00x10
17
y
x
campo B = 6x10
4
Gauss
solução analítica
solução numérica
Figura1.22: Comparac~aoentreatrajetoriacalculadanumericamenteea
pre-vistapelasoluc~aoanalticaaproximada nolimiteultra-relativsticoeq.(1.80)
{ (1.83). Os valores do campo magnetico, condic~oes iniciais e unidades s~ao
relativa entre as posic~oes e da ordem de 110 7 para a gura 1.21 e da ordem de 110 8 para a gura 1.22.
1.6.5 Forca Coulombiana unidimensional
Considere-se o movimento unidimensional (ao longo do eixo x > 0) de um
eletron submetido a um campo Coulombiano produzido por uma partcula
xa na origem com mesma carga em modulo. As equac~oes de movimento
com reac~aoa radiac~aos~ao:
mx= e 2 _ t x 2 + 2e 2 3c 3 ... x + _ x c 2 c 2 t 2 x 2 (1.84) mc t = e 2 _ x cx 2 + 2e 2 3c 2 ... t + _ t c c 2 t 2 x 2 , (1.85)
onde os sinais mais emenos referem-se, respectivamente, a forcarepulsivae
atrativa.
Usou-se novamente o metodo de reduc~ao de ordem na soluc~ao numerica
das eq.(1.84){(1.85). Nocasorepulsivo,adotou-se umaseparac~aoinicial de
1000 unidades de comprimentoentre aspartulas com diferentes velocidades
iniciais.
Conformeindica a gura 1.23, aposic~ao de maximaaproximac~aox
min e
maior quando os efeitos de reac~ao a radiac~ao s~ao considerados, enquanto a
acelerac~aomaximaacel:
max
emenor. Osresultados s~aoid^enticosaosobtidos
acele-0.1
1
10
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.01
0.1
1
10
x
min
acel.
max
velocidade
x
min
sem reação
x
min
com reação
acel.
max
sem reação
acel.
max
com reação
Figura 1.23: Posic~ao de maxima aproximac~ao x
min
e acelerac~ao maxima
acel
max
com e sem efeitos de reac~ao a radiac~ao em func~ao da velocidade
inicial doeletron (1 unidade de comprimento=2;81810 15
m,1 unidade
de tempo =9;39910 24
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
0
2
4
6
8
10
|acelera
çã
o|
x
sem reação
1
a
ordem
2
a
ordem
Figura 1.24: Modulo daacelerac~ao emfunc~aoda posic~aopara o movimento
unidimensional de um eletron no potencial Coulombiano atrativo. As
dife-rentes curvasreferem-seassucessivasaproximac~oesdometododereduc~aode
ordem (1 unidade de comprimento= 2;81810 15
m, 1 unidade de tempo
=9;39910 24
s).
rac~aoe integrac~ao decrescente notempo. No entanto, o metodo de reduc~ao
de ordemdeixou de convergir paravelocidadesiniciaismaioresdoque0,89c,
enquantoos autores citadosobtiveram resultados atevelocidades iniciais de
0,96c.
No caso atrativo, foramusadas as condic~oes iniciais x(0) = 10 unidades
de comprimentoex(0)_ =0c. A gura1.24indica omodulo daacelerac~aodo
eletron em func~ao daposic~ao para diferentes ordens de aproximac~oes
suces-sivas do metodo de reduc~aode ordem. Oberva-se claramenteum
assintoticaparadeterminarumvalorinicialdaacelerac~aoqueminimizasseas
soluc~oes n~ao-fsicas,integraramdiretamenteaeq. de Lorentz-Dirace
obtive-ramtrajetorias sicamentecoerentes que,noentanto,eramrapidamente
con-taminadasporsoluc~oesn~ao-fsicas. Nestastrajetorias,amedidaqueoeletron
seaproximavadaorigem,aacelerac~aoatingiaumvalormaximoedecaazero
antes do eletron atingir a origem. Os autores mostram analticamente que
para um valorinicial nito da acelerac~ao, o eletron atinge uma dist^ancia de
aproximac~aomaximan~ao-nulae ent~aosegueuma trajetoria\runaway"para
fora. N~aoexistemnestecasosoluc~oesfsicasparaaequac~aodeLorentz-Dirac
com valores iniciaisde acelerac~ao nitos.
A inexist^encia de soluc~oes fsicas para o problema de potencial
Coulom-biano atrativounidimensionaln~aopode ser usado comoargumentocontraa
validade da equac~ao de Lorentz- Dirac. Este e um problema arti cial, uma
vez quen~aosepode projetarumapartculaexatamentenadirec~aodocentro
de forca, e a leide Coulombdeixa de ser valida quando a dist^ancia entre as
A extens~ao das eq.(1.84) {(1.85) para o movimentode um eletron noplano
xy submetido a um campoCoulombianoatrativoe dada por:
mc t = e 2 (xx_ +yy)_ c(x 2 +y 2 ) 3=2 + 2e 2 3c 2 ... t + _ t c c 2 t 2 x 2 y 2 (1.86) mx= e 2 x _ t (x 2 +y 2 ) 3=2 + 2e 2 3c 3 ... x + _ x c 2 c 2 t 2 x 2 y 2 (1.87) my= e 2 y _ t (x 2 +y 2 ) 3=2 + 2e 2 3c 3 ... y + _ y c 2 c 2 t 2 x 2 y 2 (1.88)
Utilizandonovamenteasaproximac~oessucessivas(1.31){(1.33)aplicadas
as eq.(1.86) { (1.88), obteve-se a soluc~ao numerica para uma orbita fechada
com as condic~oes iniciais x(0) = 50 unidades de comprimento, y(0) = 0
unidades de comprimento,x(0)_ =0c, y(0)_ =0;16c.
Alguns resultados de interesse s~ao mostrados nas guras 1.25 a 1.28. A
orbita inicialmente elptica torna-se circularizada com o passar do tempo,
conformeindicaa gura1.27,paralelamenteadiminuic~aodosemi-eixomaior
( gura1.26). Ataxade precess~aodosemi-eixomaioraumentacom otempo
( gura1.28). O^angulode precess~aopor revoluc~aoeaproximadamentedado
por: '=2 0 @ 1 q 1 e 2 ma(1 e 2 )c 2 1 1 A , (1.89)
sendo e a excentricidade e a o semi-eixo maior. A eq.(1.89) indica um
au-mentodo ^angulode precess~ao por revoluc~ao amedida que a ee diminuem.
Na gura1.29representou-seumdiagramadaposic~aox,velocidadedx=dt
nota--80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
y
x
Figura 1.25: Trajetoriado eletron num potencial de Coulombcom reac~aoa
radiac~aocalculada numericamentecomcondic~oes iniciaisx(0) =50unidades
de comprimento, y(0) = 0 unidades de comprimento, x (0)_ = 0c, y(0)_ =
0;16c (1 unidade de comprimento = 2;81810 15 m, 1 unidade de tempo =9;39910 24 s).
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
semi-eixo maior
coordenada tempo t
Figura 1.26: Evoluc~ao temporal (coordenada t) do semi-eixo maior para a
trajetoriamostrada na gura 1.25.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
excentricidade
coordenada tempo t
Figura 1.27: Evoluc~ao temporal (coordenada t) da excentricidade para a
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
angulo de precessao (graus)
coordenada tempo t
Figura 1.28: ^
Angulo de precess~ao do semi-eixo maior em func~ao da
coorde-nada tempot para atrajetoriamostrada na gura 1.25.
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
x
0
1x10
4
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
coordenada tempo t
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
v
x
Figura1.29: Diagramadaposic~aox,velocidadedx=dt ecoordenada tempot
