ESTE013-13 - Aula 2 (Eqç camada limite)

ESTE013-13

Aula 2- Introdução à convecção.

As equações de camada limite

As equações de camada limite

Análise das equações que descrevem o escoamento em camada limite:

Figura 1. Desenvolvimento das camadas limite de velocidade, de temperatura e de concentração (Fonte: Incropera et al., 2008)

 Camada limite de velocidade  Camada limite térmica

 Camada limite de concentração

 variação na velocidade  variação na temperatura

As equações de camada limite para o escoamento laminar

O movimento de um fluido no qual coexistem gradientes de velocidade, temperatura e concentração deverá obedecer a várias

Leis Fundamentais da Natureza:  Conservação de massa;

 Conservação da energia;

 Conservação das espécies químicas;

 Segunda Lei de Newton do movimento.

Consideremos o escoamento laminar, bidimensional, em regime

estacionário de um fluido incompressível, com propriedades

As equações de camada limite para o escoamento laminar

As equações que representam o comportamento do escoamento de um fluido em camada limite são obtidas pela aplicação das leis fundamentais da natureza a um volume de controle diferencial, situado no escoamento. São elas:

Conservação de massa:

Indica que a taxa líquida com que a massa entra em um volume de controle (entrada-saída) deve ser igual a zero. É conhecida como

equação da continuidade. 0 y v x u _     

Onde u e v são as componentes x e y da velocidade média, respectivamente.

As equações de camada limite para o escoamento laminar

Para um volume de controle diferencial no fluido, sob condições de regime estacionário, indica que a soma de todas as forças atuando no volume de controle deve ser igual à taxa líquida na qual o momento deixa o volume de controle (saída-entrada).

Dois tipos de força podem atuar no fluido:

 Forças de corpo: proporcionais ao volume. São exemplos as forças provocadas pelos campos gravitacional, magnético, elétrico, centrífugo. Representadas pelas componentes X e Y.

 Forças de superfície: proporcionais à área. Identificam-se as forças devidas à pressão estática no fluido e as tensões viscosas.

As equações de camada limite para o escoamento laminar

A aplicação da segunda Lei de Newton do movimento (nas direções x e y) em um V. C. diferencial no fluido, considerando as forças de corpo e de superfície, fornece:

p = pressão estática;  = viscosidade do fluido.

Y y v x v y p y v v x v u X y u x u x p y u v x u u 2 2 2 2 2 2 2 2                                                            

Taxa líquida de escoamento do momento saindo de volume de controle Força de pressão líquida Forças viscosas líquidas Forças de corpo

As equações de camada limite para o escoamento laminar

Para um fluido em movimento, em condições de regime estacionário, expressa que a taxa líquida na qual a energia entra no volume de controle, mais a taxa na qual calor é adicionado, menos a taxa na qual o trabalho é realizado pelo fluido no volume de controle é igual a zero.

O resultado para o escoamento bidimensional, em regime estacionário, de um fluido incompressível com propriedades constantes pode ser escrito como:

'' ' q y T x T k y T v x T u C ₂ 2 2 2 p                        

As equações de camada limite para o escoamento laminar

Em que:

T = temperatura;

C_p = calor específico a pressão constante; k = condutividade térmica;

q’’’ = taxa volumétrica de geração de energia térmica;

As equações de camada limite para o escoamento laminar

Taxa líquida na qual a energia térmica deixa o volume de controle devido ao movimento global do fluido.

Entrada líquida de energia em função da condução

Dissipação viscosa: taxa na qual o trabalho mecânico é convertido em energia térmica, irreversivelmente, devido a efeitos viscosos no fluido

Taxa de geração de energia térmica por unidade de volume

As equações de camada limite para o escoamento laminar

A partir das considerações:

 Forças de corpo são desprezíveis (X = Y = 0);  Não há geração de energia térmica: q’’’ = 0;

 As espessuras das camadas-limite são muito pequenas com relação ao tamanho do objeto sobre o qual elas se formam, de modo que gradientes na direção normal à superfície são muito maiores do que os gradientes na direção do escoamento:

2 2 2 2 2 2 2 2

y

T

x

T

y

u

x

u





















As equações de camada limite para o escoamento laminar

De modo que os termos que representam a difusão do momento e da energia térmica na direção x são desprezíveis em relação aos seus correspondentes na direção y.

 O gradiente de pressão na direção x no interior da camada limite (muito fina) pode ser aproximado pelo gradiente de pressão na corrente livre, sendo que a forma de p_(x) depende da geometria da superfície.

dx

dp

x

p

_





As equações de camada limite para o escoamento laminar

A partir das considerações anteriores, as equações que descrevem o escoamento e a transferência da energia térmica na camada limite podem ser escritas como:

Equação da continuidade

Equação da quantidade de movimento

Equação da conservação da energia 0 y v x u _                        _ 2 2 y u dx dp 1 y u v x u u 2 p 2 2 y u C y T y T v x T u                         

Dissipação viscosa, após as seguintes considerações: • o valor da componente da velocidade na direção y, v, é desprezível em comparação ao componente na direção x, u; • os gradientes normais à superfície são muito maiores que os paralelos

As equações de camada limite para o escoamento laminar

Considerando-se o escoamento laminar, incompressível e

propriedades constantes:

 O perfil de velocidades u (x, y) e v(x, y) é determinado a partir da equação da continuidade e da equação da quantidade de movimento, uma vez conhecidas as condições de contorno;

 Uma vez conhecido o perfil de velocidades, a equação da energia pode ser resolvida, considerando-se as condições de contorno necessárias.

As equações de camada limite para o escoamento laminar

A solução da equação da energia só é possível a partir do conhecimento do perfil de velocidades, o que indica uma forte relação entre o coeficiente convectivo e o perfil de velocidades.

Similaridade na camada limite

Comparando as equações de transferência de quantidade de movimento e de energia térmica, nota-se uma grande similaridade entre elas.

Para situações de escoamentos de convecção forçada a baixas velocidades, considerando o gradiente de pressão e a dissipação viscosa como desprezíveis, temos:

Equação da quantidade de movimento

Equação da conservação da energia

               2 2 y u y u v x u u                2 2 y T y T v x T u Termo relacionado à advecção Termo difusivo

Similaridade na camada limite

As equações podem ser adimensionalizadas, fazendo-se:

2 s s V p * p ; T T T T * T ; V v * v ; V u * u ; L y * y ; L x * x           

L = comprimento característico; V = velocidade a montante da superfície.

A partir da definição dessas variáveis, as equações na camada limite podem ser reescritas como apresentado na Tabela 1, onde são apresentadas também as condições de contorno correspondentes

Similaridade na camada limite

Tabela 1 – As equações de camada limite e suas condições de contorno na direção y, na forma adimensional (Fonte: Incropera et al., 2008).

Camada

limite Equação de conservação Parede Corrente livre

Parâmetro de similaridade Condições de contorno Velocidade Térmica Concentração

Similaridade na camada limite

Na Tabela 1, são introduzidos três parâmetros de similaridade muito importantes:   VL Re_L    Pr D Sc  

 Número de Reynolds (RE_L):

 Número de Prandtl (Pr):

Similaridade na camada limite

Parâmetros de similaridade permitem a utilização de resultados obtidos em uma superfície submetida a um conjunto de condições convectivas, em superfícies geometricamente similares submetidas a

condições inteiramente diferentes.

Alguns exemplos de variações nas condições:  Natureza do fluido;

 velocidade do fluido;

 tamanho da superfície, descrito pelo comprimento característico, L.

Similaridade na camada limite

A definição dos parâmetros de similaridade nos permite reescrever as equações de camada limite em função de um número menor de parâmetros.

Equação da quantidade de movimento: ) dx * dp , Re *, y *, x ( f * u  _L Influência da geometria na distribuição de velocidades. ) dx * dp , Re *, x ( f Re 2 * y * u Re 2 2 V C _L L 0 * y L 2 s f _       

Assim, para uma dada geometria:

) Re *, x ( f 2 C_{f 2}s  _L   

Similaridade na camada limite

) dx * dp Pr, , Re *, y *, x ( f * T  _L Influência da geometria na distribuição de temperatura. 0 * y f 0 * y s s f * y * T L k * y * T ) T T ( ) T T ( L k h             

A partir dessa equação, define-se um parâmetro adimensional dependente, conhecido como número de Nusselt (Nu), que corresponde ao gradiente de temperatura adimensional na superfície. Esse parâmetro fornece uma medida da transferência de calor por convecção na superfície. Para uma geometria especificada:

Pr) , Re *, x ( f Nu * y * T k hL Nu _L f       

Similaridade na camada limite

O número de Nusselt, na Transferência de Calor, corresponde ao coeficiente de atrito na Mecânica dos Fluidos.

Se for conhecida a função Nu = f(x*, Re_L, Pr) para uma dada geometria, o coeficiente de transferência de calor por convecção e o fluxo térmico locais podem ser determinados.

O coeficiente convectivo médio pode ser obtido pela integração ao longo da superfície, originando uma função independente de x*:

Pr) , (Re f k L h u N _L f  

Significado físico dos parâmetros adimensionais

Número de Reynolds: representa a razão entre as forças inerciais e as

forças viscosas.          VL L V L V L V L V F F Re ₂ 2 2 2 as cos vis inerciais L

Número de Prandtl: representa a razão entre a difusividade de

quantidade de movimento () e a difusividade térmica (). Fornece uma medida da efetividade relativa dos transportes, por difusão, de quantidade de movimento e de energia para o interior das camadas limite de velocidade e de temperatura.

Gases Metais líquidos

Pr



1

1

Pr



1

Pr



Significado físico dos parâmetros adimensionais

Em camadas limites laminares, nas quais o transporte de energia por difusão não é sobrepujado pela mistura turbulenta, é razoável esperar que:              t t t n t : Óleo : líquido Metal : Gases 0 n ; Pr

Exemplo

Exemplo 1 (Ex 6.5, INCROPERA et al., 2008):

Testes experimentais em parte da pá da turbina mostrada na figura abaixo indicam um fluxo térmico para a pá de q’’ = 95.000W/m2_{. Para}

manter uma temperatura superficial em regime estacionário de 800°C, o calor transferido para a lâmina é removido por uma substância refrigerante que circula no interior da pá.

1.Determine o fluxo térmico na pá se a sua temperatura superficial for reduzida para T_s,1 = 700°C através do aumento da vazão do refrigerante;

2.Determine o fluxo térmico no mesmo local adimensional em uma pá de turbina similar com um comprimento de corda de L = 80mm, quando a pá operar em um escoamento de ar com T_ = 1150°C e V = 80m/s, com T_s = 800°C.

Exemplo

Exemplo 1 (Ex 6.5, INCROPERA et al., 2008):