Tensores

Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Tensores

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Centro de Tecnologia - CTEC

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Introdução à Mecânica do Contínuo

Tensor: Uma Transformação Linear

Vamos assumir que

T

transforma

qualquer

vetor em

um outro vetor.

Se e

onde a e b são vetores arbitrários e

a

T

é uma

transformação linear

!

Também conhecido como tensor de segunda ordem ou simplesmente tensor.

Tensor: Uma Transformação Linear

Definição alternativa de uma

transformação linear

:

onde a e b são vetores arbitrários e

a

b

Se para qualquer vetor a, então:

No entanto, dois tensores diferentes podem transformar um vetor específico da mesma forma.

Tensor: Uma Transformação Linear

Verifique se as seguintes

transformações

são

lineares

:

 T é uma transformação não nula que transforma um vetor arbitrário em um vetor não nulo fixo n.

 T transforma um vetor arbitrário em um vetor igual ao vetor original multiplicado por um escalar k.

 T transforma um vetor arbitrário em sua imagem espelhada em relação a um plano fixo.

 R transforma um vetor desenhado em um corpo rígido (submetido a uma rotação em torno de um eixo definido por n) em um outro vetor que apresenta uma direção geralmente diferente do vetor original depois da rotação (transformação).

Componentes de um Tensor

As componentes de um vetor dependem da base adotada para definir o sistema de coordenadas.

O mesmo acontece para os tensores.

Para o sistema de coordenadas retangular Cartesiano definido pelos versores e₁, e₂ e e₃, tem-se:

Matriz do tensor T na base {e_i }:

ou

Componentes de um Tensor

 Obtenha a matriz do tensor T que transforma os versores da base como segue:

 Obtenha a matriz do tensor R que corresponde a uma rotação de corpo rígido em torno do eixo-x₃ definida pelo ângulo q :

 Obtenha a matriz do tensor T que transforma os versores da base como segue:

Componentes de um Tensor

Pode ser facilmente verificado que:

ou:

Assim como os vetores, os tensores são independentes do sistema de coordenadas adotado.

No entanto, as suas componentes dependem do sistema de coordenadas adotado:

Componentes de um Vetor Transformado

Para:

Determine:

Assim:

Componentes de um Vetor Transformado

Em notação matricial, tem-se:

ou

Utilizando-se notação indicial, tem-se:

Como: Logo: Assim:

Componentes de um Vetor Transformado

Para:

Se:

 Dado um tensor T que transforma os versores da base como segue:

Soma de Tensores

para um vetor arbitrário a.

T + S é também um tensor?

Encontrar as componentes do tensor soma:

Produto de Dois Tensores

para um vetor arbitrário a.

TS e ST são também tensores?

Encontrando as componentes de TS e ST:

Logo:

Assim como:

Desta forma: e

Produto de Dois Tensores

e

Logo: (associativo)

Assim, pode-se definir da seguinte forma a potência de tensores:

Tensor Transposto

para vetores arbitrários a e b.

Logo: ou

Tem-se também que:

T T _{é também um tensor?}

Ainda pode ser provado que: De forma mais geral, tem-se:

Traço de um Tensor

(soma dos elementos da diagonal principal) Logo:

 Mostrar que para tensores de segunda ordem arbitrários A e

Tensor Identidade

(transforma um vetor arbitrário nele mesmo) Logo:

Componentes Cartesianas do tensor identidade:

Assim:

Se: (para um vetor arbitrário a) Então:

 Escreva o tensor T, definido por Ta = aa, onde a é uma

constante e a é um vetor arbitrário, em termos do tensor identidade, e encontre as suas componentes.

Tensor Inverso

Representação:

Do estudo de matrizes, sabe-se que a inversa existe se e somente se a matriz é não singular:

Assim:

Pode ser mostrado que: e

Tensores Ortogonais

Como:

para vetores arbitrários a e b. ou:

Tem-se: Logo: Assim:

Tensores Ortogonais

Para o tensor R que corresponde a uma rotação de corpo rígido

em torno do eixo-x₃ definida pelo ângulo q :

 Verifique que:

Tensores Ortogonais

Determinante da matriz de um tensor ortogonal Q arbitrário:

Tem-se que:

Como: e Logo:

Além disso: Desta forma:

Matriz de Transformação entre Dois Sistemas

de Coordenadas Cartesianas Retangulares

Para dois sistemas de coordenadas Cartesianas retangulares

distintos, tem-se:

No caso de sistemas destrógiros (que satisfazem a regra da mão direita), o tensor Q representa uma rotação de corpo rígido.

Matriz de Transformação entre Dois Sistemas

de Coordenadas Cartesianas Retangulares

Tem-se que:

Matriz de Transformação entre Dois Sistemas

de Coordenadas Cartesianas Retangulares

 Encontre a matriz de transformação para uma rotação de corpo rígido de 30º da base {e₁,e₂,e₃ } em torno do eixo-x₃.

Lei de Transformação das Componentes

Cartesianas de um Vetor

Componentes Cartesianas de um vetor arbitrário a utilizando a

base original:

Componentes Cartesianas do mesmo vetor a utilizando uma

base transformada:

Fazendo-se:

Logo: Tem-se:

Lei de Transformação das Componentes

Cartesianas de um Vetor

Em notação matricial:

Lei de Transformação das Componentes

Cartesianas de um Tensor

Componentes Cartesianas de um tensor arbitrário T utilizando a

base original:

Componentes Cartesianas do mesmo tensor T utilizando uma

base transformada:

Fazendo-se:

Logo: Tem-se:

Lei de Transformação das Componentes

Cartesianas de um Tensor

Em notação matricial:

O que implica em: ou:

 Mostre que o traço de um tensor T é invariante com a mudança de base.

Para uma lei de transformação entre bases ortonormais: onde

Tem-se:

(tensor de ordem zero ou escalar)

(tensor de primeira ordem ou vetor)

(tensor de segunda ordem ou tensor) (tensor de terceira ordem)

(tensor de quarta ordem)

Definição de Tensor a partir das Leis

de Transformação

Regras baseadas nas leis de transformação:

 Regra da Soma: a soma das componentes de um tensor de determinada ordem resultam nas componentes de um tensor de mesma ordem.

 Regra da Multiplicação: a ordem de um tensor cujas componentes são obtidas da multiplicação entre componentes de tensores é igual ao número de índices livres.

Provar para:

Provar para: e

Definição de Tensor a partir das Leis

de Transformação

Definição de Tensor a partir das Leis

de Transformação

Regras baseadas nas leis de transformação:

 Regra do Quociente: se a e T são um vetor e um tensor arbitrários, respectivamente, e a_i = T_ijb_j para qualquer sistema de coordenadas, então b_j são as componentes de um vetor.

Outra aplicação da regra do quociente:

Se T e E são tensores de segunda ordem arbitrários, e T_ij = C_ijklE_kl para qualquer sistema de coordenadas, então C_ijkl são componentes de um tensor de quarta ordem.

Tensores Simétricos e Anti-simétricos

Definição de Tensor Simétrico:

Assim:

Definição de Tensor Anti-simétrico:

Assim:

Todo tensor pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico T S _{com um tensor anti-simétrico T} A_:

Autovalores e Autovetores de um Tensor

Se a é um vetor transformado por T em um vetor paralelo a ele mesmo:

Tem-se que a é um autovetor e l seu correspondente autovalor.  Mostrar que qualquer vetor paralelo a a também será um

autovetor com o mesmo autovalor l.

Como os autovetores possuem tamanho arbitrário, serão de nosso interesse os autovetores com tamanho unitário:

onde:

Fazendo-se:

Autovalores e Autovetores de um Tensor

Expandindo-se (sistema de equações lineares homogêneo):

Solução trivial:

Solução não trivial:

Para autovetores unitários, tem-se:

Resultando em uma equação polinomial cúbica em l (equação característica do tensor T ).

Autovalores e Autovetores de um Tensor

 Encontrar os autovalores e autovetores para os seguintes tensores:

a)

b)

Autovalores e Autovetores de um Tensor

 Encontrar os autovalores e autovetores do tensor R que corresponde a uma rotação de 90º em torno de e₃:

Observação: Apenas os autovetores correspondentes aos

Valores e Direções Principais de

Tensores Reais Simétricos

Os tensores de tensão e de deformação são tensores reais simétricos.

Teorema da Álgebra Linear:

Um tensor real simétrico possui todos os autovalores reais

(valores principais) e autovetores ortogonais entre si (direções principais).

 Mostrar que para um tensor real simétrico existe pelo menos um conjunto de três autovetores mutuamente ortogonais.

a) Supondo três autovalores reais distintos (l₁ ≠ l₂ ≠ l₃).

b) Supondo apenas dois autovalores reais distintos (l₁ = l₂ ≠ l₃). c) Supondo a existência de um único autovalor real (l₁ = l₂ = l₃).

Matriz de um Tensor Real Simétrico

com relação às Direções Principais

Para um tensor real simétrico, cujos os autovetores são ortogonais entre si, tem-se:

Matriz de um Tensor Real Simétrico

com relação às Direções Principais

Os valores principais de um tensor T incluem os máximo e mínimos valores que os elementos da diagonal principal de qualquer matriz que represente o tensor T podem assumir.

Dado um vetor unitário arbitrário:

Tem-se:

Logo:

Assumindo-se: Tem-se:

Matriz de um Tensor Real Simétrico

com relação às Direções Principais

Também tem-se:

Da equação característica de um tensor T:

onde:

Principais Invariantes Escalares

de um Tensor

Como os autovalores não dependem da base adotada, os

coeficientes da equação característica também não dependerão (principais invariantes escalares do tensor).

Em termos dos autovalores do tensor, tem-se:

Principais Invariantes Escalares

de um Tensor