• Nenhum resultado encontrado

As relações de acessibilidade e o parâmetro informacional

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "As relações de acessibilidade e o parâmetro informacional"

Copied!
105
0
0

Texto

(1)

INSTITUTO DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS HUMANAS

GUILHERME LUIZ GRUDTNER

AS RELAÇÕES DE ACESSIBILIDADE E O PARÂMETRO INFORMACIONAL

CAMPINAS

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS HUMANAS

GUILHERME LUIZ GRUDTNER

AS RELAÇÕES DE ACESSIBILIDADE E O PARÂMETRO INFORMACIONAL

Dissertação apresentada ao Instituto de Filosofia e Ciências Humanas da Universidade Estadual de Camp-inas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Filosofia.

Supervisor/Orientador: Itala Maria Loffredo D’Ottaviano

Este trabalho corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Guilherme Luiz Grudtner, e ori-entado pela Prof. Dra. Itala Maria Loffredo D’Otta-viano.

CAMPINAS

(3)

Biblioteca do Instituto de Filosofia e Ciências Humanas

Cecília Maria Jorge Nicolau - CRB 8/3387

Grudtner, Guilherme Luiz,

G921r

Gru

As relações de acessibilidade e o parâmetro informacional / Guilherme Luiz

Grudtner. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

Gru

Orientador: Itala Maria Loffredo D'Ottaviano.

Gru

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Filosofia e Ciências Humanas.

Gru

1. Lógica. 2. Modalidade (Lógica). 3. Semântica. 4. Linguagens formais. I.

D'Ottaviano, Itala Maria Loffredo, 1944-. II. Universidade Estadual de

Campinas. Instituto de Filosofia e Ciências Humanas. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The accessible relations and the informational parameter

Palavras-chave em inglês:

Logic

Modality (Logic)

Semantics

Formal languages

Área de concentração: Filosofia

Titulação: Mestre em Filosofia

Banca examinadora:

Itala Maria Loffredo D'Ottaviano [Orientador]

Fábio Maia Bertato

Marcelo Barra Ferreira

Data de defesa: 26-04-2019

Programa de Pós-Graduação: Filosofia

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-2918-6104

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2308239217654260

(4)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS HUMANAS

A Comissão Julgadora dos trabalhos de Defesa de Dissertação, composta pelos Professores Doutores a seguir descritos, em sessão pública realizada em 26 de Abril de 2019, considerou o(a) candidato(a) Guilherme Luiz Grudtner aprovado(a).

Prof(a) Dr(a) Itala Maria Loffredo D’Ottaviano Prof Dr Fabio Maia Bertato

Prof Dr Marcelo Barra Ferreira

A Ata de Defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertações/Teses e na Secretaria do Programa de Pós-Graduação em Filosofia do Instituto de Filosofia e Ciências Humanas.

(5)

aos meus pais, ao meu irmão, à Lola, à minha família.

(6)

Agradecimentos

Agradeço principalmente à minha orientadora, Itala M. L. D’Ottaviano, pela dedicação, instrução e coragem de ter assumido esta tarefa comigo.

Agradeço também a todos os professores com quem tive o prazer de conviver nos cursos que fiz durante o mestrado.

Agradeço aos amigos do Dojo Marcelo do Nascimento, onde tive a oportunidade de treinar Aikido e fazer muitas amizades, que foram bastante proveitosas neste período. Agradecimento especial ao Sensei Marcelo e à sua esposa Elena, que tiveram paciência de me ensinar esta arte. Agradeço também os colegas de treino: Lucas, Marcos, Agnaldo, Djalma, Ivan e Ciro pela paciência, convivência e aprendizado.

Agradeço, de modo especial, ao Prof. Evandro Luís Gomes, que me apresentou ao estudo da lógica e me direcionou de maneira decisiva para o caminho que estou trilhando.

Por fim, agradeço à minha família, sem a qual nada que fiz possuiria sentido.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

(7)

Resumo

Uma língua natural é capaz de expressar, por diversos meios, a modalidade, seja ela uma possibilidade, um desejo ou uma obrigação. Pelo trabalho de linguistas, como Angelika Kratzer, percebe-se a possibilidade de se modelar a modalidade linguística, utilizando-se da lógica modal, especialmente a semântica de mundos possíveis. A presente dissertação tem o objetivo de apresentar formalmente as bases para esses conceitos e explorar uma nova forma de abordagem para a formalização da modalidade linguística.

(8)

Abstract

A natural language can express, by many ways, the modality, like a possibility, a desire or an obligation. By the works of linguists, as for instance Angelika Kratzer, the possibility of model the linguistic modality can be perceived using the modal logic, especially possible worlds semantics. The aim of this dissertation is to formally present the background for these concepts and explore a new approach to formalize the linguistic modality.

(9)

Sumário

Introdução 10 1 Semântica Formal 12 1.1 Fundamentação Teórica . . . 12 1.2 Modalidades . . . 18 2 O Parâmetro Informacional 24 2.1 A Contradição Epistêmica . . . 24

2.2 Definição de parâmetro informacional . . . 26

2.3 Interação do verbo espitêmico e do verbo doxástico com o operador modal de possibilidade. 28 2.3.1 Verbo espistêmico e o operador de possibilidade . . . 28

2.3.2 Verbo doxástico e o operador de possibilidade . . . 37

2.4 A implicação . . . 43

2.5 A inferência . . . 50

2.5.1 Propriedades da inferência. . . 50

2.5.1.1 Princípio de Lukasiewicz . . . 50

2.5.1.2 Contradição espistêmica . . . 51

2.5.1.3 Não factualidade dos epistêmicos de possibilidade . . . 51

2.5.1.4 Condições de verdade clássicas e os princípios de inferência. . . 51

2.5.1.5 Definindo inferência em termos do parâmetro informacional . . . 53

2.6 O parâmetro informacional e a leitura teleológica para os verbos “poder”, “‘ter que” e “dever”. 54 2.6.1 As leituras modais . . . 54

2.6.2 Formalização dos verbos . . . 56

2.6.2.1 Os verbos “poder” e “ter que” . . . 57

2.6.2.2 O verbo “dever” . . . 58

3 A Lógica Dinâmica 63 3.1 Definição da Lógica Dinâmica . . . 63

3.2 A Contradição Epistêmica . . . 72

3.3 Interação entre verbo epistêmico e verbo doxástico com o operador de possibilidade . . . 78

3.4 A implicação . . . 78

3.5 A Inferência . . . 81 3.6 O parâmetro informacional e a leitura teleológica para os verbos “poder”, “‘ter que” e “dever”. 82

(10)

Referências 85

(11)

Introdução

Não existe um consenso sobre o que seja a modalidade. De modo geral, pode-se conceber a modalidade como sendo a expressão de desejos e possibilidades. No contexto dos estudos linguísticos, a modalidade ocupa um lugar de destaque, devido à grande diversidade de modos com que as línguas naturais a expressam e variedade de estruturas que tais expressões envolvem.

Esta grande variedade de formas modais representa um desafio na busca por uma formalização lógica destas estruturas. Uma das abordagens a este problema consiste em utilizar a semântica de mundos possíveis e relações de acessibilidade de (KRIPKE, 1959), conforme exposto em (VON FINTEL, .K, HEIM, I. 2011).

Todavia, recentemente, este modelo vem sofrendo algumas críticas pelos efeitos indesejáveis que ocorrem, pois de suas definições, pode seguir a veracidade de sentenças que não possuem o seu conteúdo semântico aceito. Alguns exemplos desta situação são: a “contradição epistêmica”, a interação de verbos epistêmicos e doxásticos com o operador modal de possibilidade e a implicação.

Uma resposta para estes problemas foi proposta por (YALCIN S., 2007), a qual consiste na definição de um novo elemento, o “parâmetro informacional”, que substitui as relações de acessibilidade tradicionais e provém uma solução para os problemas levantados.

Uma outra abordagem ao estudo da modalidade pode ser desenvolvida a partir das Lógicas Dinâmicas, como coloca (PORTNER, 2009). Esta lógica possui uma construção diferente da lógica modal de (KRIPKE, 1959), porém, as soluções propostas por (YALCIN, 2007) podem ser adaptadas para esta lógica.

O objetivo desta dissertação é formalizar as noções básicas envolvendo a construção dos mundos possíveis. das relações de acessibilidade, do parâmetro informacional e da lógica dinâmica.

Esta dissertação é dividida em três partes principais, sendo o primeiro capítulo, Semântica Formal, destinado a desenvolver as bases teóricas para a disciplina conhecida como Semântica Formal, já o segundo capítulo, O Parâmetro Informacional, explora o conceito de “parâmetro informacional”, como introduzido por (YALCIN S., 2007). O último capítulo, Lógica Dinâmica, define a lógica dinâmica e reanalisa todo o conteúdo do capítulo anterior de uma nova perspectiva.

No primeiro capítulo, a primeira secção dedica-se em apresentar uma teoria, conforme (HEIM, I., KRATZER A., 1998), suficiente para formalizar sentenças extensionais simples, toda a construção teórica sendo guiada pela sentença-exemplo “O menino come o bolo”. A segunda secção busca definir os termos utilizados para o conceito de modalidade linguística e o modelo teórico proposto para formalizar este conceito, conforme (VON FINTEL, .K & HEIM, I. 2011) e (CHELLAS, 1980).

No segundo capítulo, a primeira secção introduz a motivação para a definição do parâmetro informacional, que é formalmente desenvolvido na segunda secção. As secções restantes deste capítulo são destinadas a mostrar como o parâmetro informacional “corrige” os problemas decorrentes das definições originais de

(12)

(VON FINTEL, .K, HEIM, I. 2011). Primariamente, (YALCIN S., 2007) desenvolve toda sua análise sobre a língua inglesa, sendo que nesta dissertações as ideias por ele apresentadas são estudadas com base na língua portuguesa. Por fim, na última secção, faz-se uma proposta de formalização para os verbos “dever”, “ter que” e “poder”, com leituras teleológicas.

Por fim, no terceiro capítulo é definida a lógica dinâmica e todos os casos estudados no segundo capítulo são revisados sob a óptica desta lógica.

(13)

Capítulo I

Semântica Formal

Este capítulo tem por objetivo introduzir conceitos e ferramentas básicos da teoria conhecida como semântica formal, necessários para o desenvolvimento do trabalho. Para isto, além de definir as principais noções, alguns exemplos são computados em detalhe para ilustrar o funcionamento da teoria.

I.1: Fundamentação Teórica

Nesta secção são desenvolvidas as principais ferramentas teóricas da semântica formal. Considere a sentença: (1) O menino come o bolo.

O que pode ser entendido como o sentido desta sentença? Isto é, dada esta sentença, como determinar o que constitui o seu significado? Neste trabalho, é considerada a abordagem conhecida como “Semântica Formal”. A ideia central dessa abordagem consiste em assumir o sentido de uma sentença como sendo a situação à qual ela se refere, como considera (SAEED, 2016, p. 306):

Semanticistas formais, por outro lado, veem o sentido por outro ângulo: para eles, uma função primária da língua é que ela nos possibilita falar sobre o mundo que nos cerca. Quando nos comunicamos com os outros, assim como no nosso próprio raciocínio interno, usamos uma linguagem para descrever, ou modelar, fatos e situações. Desta perspectiva, entender o sentido de uma fala é ser capaz de determinar a situação por ela descrita. 1

Retornando ao exemplo anterior, o sentido de “O menino come o bolo”, na perspectiva adotada, é entendido como:

“O menino come o bolo” significa que “Um menino (específico) come um bolo (específico)”.

A partir do momento em que se “determina” informalmente o que constitui a situação descrita, ou as condições de verdade, o objetivo é tentar descrever estas condições utilizando-se uma linguagem formal, como coloca (SAEED, 2016, p. 308):

1“Formal semanticists on the other hand come at meaning from another angle: for them a primary function

of language is that it allows us to talk about the world around us. When communicating with others and in our own internal reasoning we use language to describe, or model, facts and situations. From this perspective, understanding the meaning of an utterance is being able to match it with the situation it describes. Hence the search for meaning, from the denotational perspective, is the search for how the symbols of language relate to reality.”

(14)

[...] o primeiro estágio desta análise semântica consiste em traduzir. A ideia básica é que nós podemos traduzir de uma sentença de uma língua particular, como o inglês, para uma expressão em uma metalinguagem universal. Tal metalinguagem é a lógica predicativa.2

Já estabelecido o significado, mesmo que intuitivo, para a frase “O menino come o bolo”, tem-se que construir uma teoria formal que possa expressar este significado, e para isto é necessária uma série de definições, conforme (HEIM, I., KRATZER A., 1998). As unidades básicas dessa construção são: o conjunto de todos os indivíduos que existem no mundo real, denotado por 𝐷𝑒; e o conjunto dos valores de verdade clássicos

𝐷𝑡= {⊤, ⊥}, onde ⊤ denota o valor verdadeiro e ⊥ o valor falso.

Com estes dois conjuntos, já é possível construir um modelo teórico formal para a sentença “O menino come o bolo”. Primeiramente será feita uma análise envolvendo cada classe gramatical da sentença acima, no caso, o artigo “o”, os substantivos “menino” e “bolo”, e o verbo “comer”. Após isso, são computadas as condições de verdade para a referida sentença.

O substantivo “menino” indica um indivíduo qualquer que tenha a propriedade de ser um menino. Deste modo, para que um indivíduo “real” do conjunto 𝐷𝑒seja um menino, bastaria que ele possuísse a característica

de ser um “menino”. Se for denotado por “MENINO” o conjunto de todos os meninos no mundo, tem-se a seguinte formalização:

𝑥é um menino ⇔ 𝑥 ∈ MENINO3

Considerando 𝑥 uma variável no conjunto 𝐷𝑒(i.e., 𝑥 só toma valores no conjunto 𝐷𝑒), pode-se construir

a seguinte função: 𝑓 ∶ 𝐷𝑒→ 𝐷𝑡, em que4 𝑓(𝑥) = ⎧ { ⎨ { ⎩ ⊤, se 𝑥 ∈ MENINO (“𝑥 é um menino”) ⊥, se 𝑥 ∉ MENINO (“𝑥 não é um menino”)

A função 𝑓(𝑥) como definida acima é a função conhecida como função característica para o conjunto MENINO, que pode ser denotada por MENINO(𝑥). E esta é a formalização adotada para a classe dos substantivos abstratos, como colocado por (HEIM, I., KRATZER A., 1998, 4.2. (1)). Aqui utiliza-se a notação lambda para funções, como introduzida por (CHURCH, 1985), onde, por exemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5é denotada por

𝜆𝑥.𝑥2+ 5, e o símbolo “[| |]” é usado para indicar o correspondente formal de um termo (ou sentença) do 2“[...] the first stage of this semantic analysis consists of translation. The basic idea is that we can translate

from a sentence in an individual language like English into an expression in a universal metalanguage. One such metalanguage is predicate logic.”

3O símbolo metalógico “⇔” indica “se, e somente se”, ou seja, “ser equivalente a”.

4À rigor, 𝑓(𝑥) = ⊥ significa “não é o caso de ‘𝑥 é um menino’”, ou “¬(𝑥 ∈ MENINO)”, porém, como

“¬(𝑥 ∈ MENINO)” pode ser denotado por “𝑥 ∉ MENINO”, opta-se por simplificar 𝑓(𝑥) = ⊥ por “𝑥 não é um menino”, ou por 𝑥 ∉ MENINO.

(15)

léxico, i.e., [|menino|] e [|bolo|] simbolizam a formalização na metalinguagem lógica para os termos “menino” e “bolo”:

[|menino|] = 𝜆𝑦.MENINO(𝑦) Seguindo a mesma ideia, o termo “bolo” é formalizado por:

[|bolo|] = 𝜆𝑦.BOLO(𝑦)

Para a classe de verbos, uma ideia análoga se aplica. O verbo “comer” necessita de dois argumentos, já que possui a forma “𝑥 come 𝑦”. Portanto, uma relação binária é estabelecida no conjunto 𝐷𝑒, sendo que o

conjunto dos pares nesta relação é denotado por “COME”, de maneira formal: (𝑥, 𝑦) ∈COME ⇔ “𝑥 come 𝑦”

Novamente, pode-se definir uma função característica para o conjunto “COME”: 𝑓 ∶ 𝐷𝑒× 𝐷𝑒→ 𝐷𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦) = ⎧ { ⎨ { ⎩

⊤, (𝑥, 𝑦) ∈COME (“se 𝑥 come 𝑦”) ⊥, (𝑥, 𝑦) ∉COME (“se 𝑥 não come 𝑦”)

Tal função pode ser expressa por, de acordo com (HEIM, I., KRATZER A., 1998, 3.5 (13)): [|comer|] = 𝜆𝑦.𝜆𝑥.COME(𝑥, 𝑦)5

Antes de se estudar o artigo definido, duas noções muito importantes da teoria são definidas, o conceito de tipo semântico e de domínio semântico.

Definição 1.1.1: Define-se tipo semântico por:

• 𝑒 é um tipo semântico; • 𝑡 é um tipo semântico;

• Se 𝛼 é um tipo semântico e 𝛽 é um tipo semântico, então ⟨𝛼, 𝛽⟩ é um tipo semântico; • Nada mais é um tipo semântico.



Definição 1.1.2: Um domínio semântico consiste em:

• O tipo 𝑒 tem por domínio semântico o conjunto 𝐷𝑒;

5A razão pela qual o objeto direto de “comer” 𝑦 aparece antes do sujeito 𝑥 se deve à árvore sintática da

(16)

• O tipo 𝑡 tem por domínio semântico o conjunto 𝐷𝑡;

• O tipo ⟨𝛼, 𝛽⟩ tem por domínio semântico o conjunto das funções 𝑓 ∶ 𝐷𝛼→ 𝐷𝛽.

 Os substantivos “bolo” e “menino” correspondem ao domínio semântico do tipo semântico ⟨𝑒, 𝑡⟩, pois são funções do conjunto de indivíduos 𝐷𝑒para o conjunto de valores de verdade 𝐷𝑡. Já o verbo “comer”

corresponde ao domínio semântico do tipo semântico ⟨𝑒, ⟨𝑒, 𝑡⟩⟩, pois, como foi visto anteriormente, “comer” induz uma função característica da forma 𝑓(𝑥, 𝑦) onde 𝑥 e 𝑦 são elementos de 𝐷𝑒; neste caso, se o primeiro

argumento 𝑦 for preenchido com o elemento 𝑎 de 𝐷𝑒, ter-se-á a função 𝑓(𝑥, 𝑎), que é compatível com uma

função 𝑔(𝑥) ∶ 𝐷𝑒→ 𝐷𝑡, que corresponde ao domínio semântico do tipo ⟨𝑒, 𝑡⟩.

Por fim, formaliza-se o artigo definido “o”. Este artigo indica que um substantivo abstrato está selecionando um indivíduo específico do grupo analisado, por exemplo, quando se diz “o menino” entende-se que se fala de um menino específico e não de “qualquer indivíduo que seja um menino”; neste sentido, o artigo, dentro do conjunto analisado, seleciona um único elemento que satisfaça a sentença. A formalização se dá por, conforme Nota 14, Capítulo 4 de (HEIM, I., KRATZER A., 1998):

[|o|] = 𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)

onde 𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤) representa “o único 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = ⊤”. HEIM, e KRATZER desenvolvem mais alguns comentários sobre esta formalização para o artigo definido, como a questão do tipo semântico ⟨⟨𝑒, 𝑡⟩, 𝑒⟩; porém, como esse tema não tem relevância para este trabalho, opta-se por usar esta definição apenas para a análise do exemplo.

Com este aparato formal, já é possível computar as condições de verdade do exemplo considerado no início desta secção. A frase “O menino come o bolo” possui a estrutura sintática representada pela Figura 1.1 na página 16, em que 𝐷𝑃 significa “Determiner phrase”, em português, “sintagma do determinante”, 𝑉 𝑃 “Verbal phrase”, “sintagma verbal” e 𝑆 significa “‘Sentence”, “sentença”:

A estrutura acima mencionada também é chamada de árvore. Uma formalização baseada na teoria dos grafos, assim como os princípios básicos da semântica formal para se operar na árvore sintática, é estudada no Apêndice A.

Para a computação das condições de verdade da sentença “O menino come o bolo”. Pela árvore 1.2 na página 16:

deduz-se a seguinte fórmula:

[|come|]([|o|]([|bolo|]))([|o|]([|menino|]))

Por fim, computa-se as condições de verdade para a sentença “O menino come o bolo”. Substituindo as definições formais, tem-se:

(17)

Figura 1.1: 𝑆 𝐷𝑃 𝐷 𝐷 𝑂 𝑁 𝑃 𝑁 𝑁 menino 𝑉 𝑃 𝑉 𝑉 come 𝐷𝑃 𝐷 𝐷 o 𝑁 𝑃 𝑁 𝑁 bolo Figura 1.2: 𝑆 𝐷𝑃 𝐷 [|𝑂|] [|menino|] 𝑉 𝑃 𝑉 [|come|] 𝐷𝑃 [|o|] [|bolo|]

(18)

𝜆𝑦.𝜆𝑥.COME(𝑥, 𝑦)(𝜆𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩&∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤).𝜄𝑦(𝑓(𝑦) = ⊤)(𝜆𝑥.BOLO(𝑥)))

(𝜆𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩&∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤).𝜄𝑦(𝑓(𝑦) = ⊤)(𝜆𝑥.MENINO(𝑥))) A partir desta fórmula segue a derivação6:

Derivação 1.1.3:

1 𝜆𝑦.𝜆𝑥.COME(𝑥, 𝑦)(𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)(𝜆𝑥.BOLO(𝑥))) (𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)(𝜆𝑥.MENINO(𝑥)))

Hipótese

2 𝜆𝑦.𝜆𝑥.COME(𝑥, 𝑦)(BOLO(𝑢1))(𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)(𝜆𝑥.MENINO(𝑥)))

1, 𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)(𝜆𝑥.BOLO(𝑥)) = BOLO(𝑢1)

3 𝜆𝑦.𝜆𝑥.COME(𝑥, 𝑦)(BOLO(𝑢1))(MENINO(𝑢2))

2, 𝜆𝑓 ∶ ((𝑓 ∈ 𝐷⟨𝑒,𝑡⟩) ∧ (∃!𝑥(𝑓(𝑥) = ⊤))).𝜄𝑢(𝑓(𝑢) = ⊤)(𝜆𝑥.MENINO(𝑥)) = MENINO(𝑢2)

4 𝜆𝑥.COME(𝑥, BOLO(𝑢1))(MENINO(𝑢2))

3, Aplicação Funcional lambda 𝜆𝑦 5 COME(MENINO(𝑢2),COME(𝑢1))

4, Aplicação Funcional lambda 𝜆𝑥 resultando na fórmula:

COME(MENINO(𝑢2),COME(𝑢1))

que corresponde à condição de verdade para a sentença “O menino come o bolo”. A fórmula expressa que “O menino come o bolo” é verdadeiro, se um menino específico 𝑢2come um bolo específico 𝑢1.

A sentença acima analisada é considerada uma sentença “extencional”, pois como define (COOK, R., 2009):

A extensão de um predicado é o conjunto de objetos que satisfazem o predicado. Então, a extensão de “ser vermelho” é o conjunto de todos os objetos vermelhos. De modo mais geral, a extensão de uma relação 𝑛-ária é o conjunto de 𝑛-uplas que a satisfazem.7

Porém, a situação muda drasticamente quando se analisa uma sentença do tipo: (2) Minha prima acredita que unicórnios existem.

Pois, o fato de unicórnios existirem é irrelevante para a análise da sentença, já que ela não postula a existência do objeto, mas sim que alguém acredita na existência deste objeto. Com isto, a veracidade da

6Uma derivação, ou computação lógica, de fórmulas é normalmente feita no seguinte formato: todas as

linhas que envolvem a computação são enumeradas e ao lado de cada linha (ou em baixo, caso não haja espaço) é colocada as linhas anteriores e regras que resultaram na fórmula ali apresentada. Neste trabalho, os termos “derivação” e “computação” são usados como sinônimos.

7The extension of a predicate is the set of objects which satisfy the predicate. Thus, the extension of “is

red” is the set of red things. More generally, the extension of an 𝑛-ary relation is the set of 𝑛-tuples that satisfy the relation.

(19)

sentença não depende do objeto ao qual ela denota ou se refere. Tais tipos de sentenças são denominadas intensionais, sendo intensão definida por, conforme (COOK, R., 2009):

A intensão de uma expressão é o sentido desta expressão e deve ser distinguido daquilo à que ela se refere ou denota.8

Para o estudo deste tipo de sentença, é necessária uma série de modificações na teoria, já que os predicados não são suficientes para descrevê-las. Este será o objeto de análise da próxima secção.

I.2: Modalidades

O conceito de modalidade nas línguas naturais pode ser definido de várias maneiras, como coloca (AUWERA, J., A. PLUGIAN, V. A., 1998)

Modalidade e seus tipos podem ser definidos e nomeados de várias maneiras. Não existe um modo correto. O único requerimento é que se deixe claro como se usa os próprios termos.9

Com a intenção de “deixar claro” os termos utilizados para este trabalho, a modalidade será definida como em (VON FINTEL, 2006):

Modalidade é a categoria de sentido linguístico que possui relação com a expressão da possibili-dade e da necessipossibili-dade.10

Para este trabalho, serão analisados três tipos de modalidades, ainda nos termos de (VON FINTEL, 2006):

Modalidade epistêmica (do Grego, episteme, significando ‘conhecimento’) relaciona-se com o que é possível ou necessário, dado o que é conhecido e quais as evidências disponíveis. [...] Modalidade Teleológica relaciona-se com quais meios são possíveis ou necessários para se atingir um objetivo específico.11

Aos modais mencionados acima, acrescenta-se os do tipo doxástico, como definido por (HINTIKKA, 1962). Por fim, sumariando as definições:

Definição 1.2.1:

• Um modal epistêmico diz respeito ao que é possível e necessário, dados os conhecimentos de mundo de uma pessoa. O verbo modelo para este caso é “saber”.

8The intension of an expression is the meaning of that expression and should be distinguished from that

which it refers to or denotes.

9Modality and its types can be defined and named in various ways. There is no one correct way. The only

requirement is that one makes clear how one uses one’s terms.

10Modality is a category of linguistic meaning having to do with the expression of possibility and necessity. 11Epistemic modality (Greek episteme, meaning ‘knowledge’) concerns what is possible or necessary given

what is known and what the available evidence is. [...] Teleological modality (Greek telos, meaning ‘goal’) concerns what means are possible or necessary for achieving a particular goal.

(20)

• Um modal teleológico diz respeito ao que é possível e necessário para se atingir um determinado objetivo. O verbo modelo para este caso é a locução “ter o objetivo de”.

• Um modal doxástico diz respeito ao que é possível e necessário, dadas as crenças de uma pessoa. O verbo modelo para este caso é “acreditar”.

 Para expressar formalmente as relações de modalidade nas línguas naturais, é utilizada a semântica de mundos possíveis como em (CHELLAS, 1980).

Definição 1.2.2: Uma estrutura de mundos possíveis 𝐸 consiste em um par (𝑊 , 𝑅), onde 𝑊 é um conjunto12

de mundos possíveis e 𝑅 é uma relação binária no conjunto 𝑊.



Definição 1.2.3: Uma semântica de mundos possíveis é um par ordenado 𝑆 = (𝐸, 𝑉 ) onde 𝐸 é uma estrutura

de mundos possíveis e 𝑉 uma valoração que associa a cada sentença 𝜙 um valor de verdade nos mundos possíveis.

 Para o caso da modalidade linguística, observa-se que, para (VON FINTEL, .K, HEIM, I. 2011): 𝑊 denota o conjunto de mundos possíveis a partir do mundo atual e 𝑤 ∈ 𝑊, ou seja, 𝑤 denota exclusivamente o mundo real. Esta convenção é adota durante todo este trabalho.

Definição 1.2.4: O conjunto 𝛼∗ é definido por:

𝛼∗ = {𝑤′| (𝑤∈ 𝑊 ) ∧ ([|𝛼|]𝑤′ = ⊤)} Isto é, 𝛼∗ é conjunto de todos os mundos possíveis que validam 𝛼.

 Os dois operadores básicos da lógica modal são: o operador necessidade, denotado , e o operador possibilidade, denotado ♢, tais operadores são definidos como segue.

Definição 1.2.5: Sejam 𝑊 um conjunto de mundos possíveis, 𝑅 uma relação de acessibilidade e 𝑤um

mundo possível, sendo que os índices indicam em que mundo possível a sentença 𝜙 está sendo valorada. • O operador necessidade sobre uma sentença 𝜙 e um mundo possível 𝑤é definido por:

(𝜙)𝑤′

⇔ ((∀𝑤″𝑅𝑤)(𝜙𝑤″ = ⊤))

• O operador possibilidade sobre uma sentença 𝜙 e um mundo possível 𝑤é definido por:

12Geralmente, na literatura sobre o assunto, a coleção de mundos possíveis é tratada como “conjunto”,

porém, em termos estritos da teoria dos conjuntos (ZFC), 𝑊 pode não ser um conjunto e sim uma classe própria, como por exemplo, considerando uma coleção de “mundos possíveis” indexada pelos ordinais. A mesma observação pode ser válida para outros “conjuntos” definidos neste trabalho. Entretanto, como na literatura usual sobre os temas aqui tratados, todas as coleções de objetos são consideradas, em geral, conjuntos, para evitar questões conceituais irrelevantes para o desenvolvimento deste trabalho, opta-se por considerar todas as coleções como conjuntos.

(21)

(♢𝜙)𝑤′

⇔ ((∃𝑤″𝑅𝑤)(𝜙𝑤″ = ⊤))

 Com a introdução da modalidade e dos mundos possíveis, é necessário fazer um ajuste nos tipos e domínios semânticos previamente definidos. Primeiramente, define-se formalmente a “intensão”.

Definição 1.2.6: A intensão de 𝜙, tal que [|𝜙|] tem domínio de semântica correspondente ao tipo 𝛼, é a

fórmula 𝑓 ∶ 𝑊 → 𝐷𝛼que associa um mundo possível 𝑤′com a representação 𝜙 neste mundo possível. Em

termos formais: 𝑓(𝑤′) = [|𝜙|]𝑤′ .

 A partir disto, tem-se as novas definições para domínio de semântica e tipo semântico.

Definição 1.2.7: Define-se tipo semântico por:

• 𝑒 é um tipo semântico; • 𝑡 é um tipo semântico;

• Se 𝛼 é um tipo semântico e 𝛽 é um tipo semântico, então ⟨𝛼, 𝛽⟩ é um tipo semântico; • Se 𝛼 é um tipo semântico, então a intensão de 𝛼 tem tipo semântico ⟨𝑠, 𝛼⟩.

• Nada mais é um tipo semântico.



Definição 1.2.8: Um domínio semântico consiste em:

• O tipo 𝑒 tem por domínio semântico o conjunto 𝐷𝑒;

• O tipo 𝑡 tem por domínio semântico o conjunto 𝐷𝑡;

• O tipo ⟨𝛼, 𝛽⟩ tem por domínio semântico o conjunto das funções 𝑓 ∶ 𝐷𝛼→ 𝐷𝛽;

• O tipo ⟨𝑠, 𝛼⟩ tem por domínio semântico o conjunto de todas as funções 𝑓 ∶ 𝑊 → 𝐷𝛼.

 Os três princípios de operações para árvores sintáticas, enunciados anteriormente, também são modificados para a semântica de mundos possíveis, substituindo [|𝛼|] por [|𝛼|]𝑤′

nas respectivas definições.

É necessário, ainda, definir as condições de verdade para os operadores básicos lógicos, que são condições baseadas na definição clássica de condição de verdade para os conectivos:

Definição 1.2.9: Sejam 𝜓 e 𝜙 duas sentenças e 𝑤um mundo possível.

1. ([|𝜓 ∧ 𝜙|]𝑤′ = ⊤) ⇔ (([|𝜓|]𝑤′ = ⊤) ∧ ([|𝜙|]𝑤′ = ⊤)) 2. ([|𝜓 ∨ 𝜙|]𝑤′ = ⊤) ⇔ (([|𝜓|]𝑤′ = ⊤) ∨ ([|𝜙|]𝑤′ = ⊤)) 3. ([|𝜓 → 𝜙|]𝑤′ = ⊤) ⇔ (([|𝜓|]𝑤′ = ⊥) ∨ ([|𝜙|]𝑤′ = ⊤))

(22)

4. ([|¬𝜓|]𝑤′

= ⊤) ⇔ ([|𝜓|]𝑤′ = ⊥)

 Cada tipo de modalidade lida com um conjunto de sentenças específico, por exemplo, a modalidade epistêmica lida com o conjunto que representa o conhecimento de uma pessoa, enquanto que a modalidade teleológica com os objetivos de uma pessoa. A partir disto, são definidos conjuntos específicos:

Definição 1.2.10: O conjunto Epi𝑤′

𝑥 denota o conjunto de sentenças que compõem o conhecimento do

indivíduo 𝑥 no mundo possível 𝑤′.

O conjunto Teleo𝑤′

𝑥 denota o conjunto de sentenças que compõem os objetivos e metas do indivíduo 𝑥 no

mundo possível 𝑤′.

O conjunto Dox𝑤′

𝑥 denota o conjunto de sentenças que compõem as crenças de um indivíduo 𝑥 no mundo

possível 𝑤′.

 E sobre estes conjuntos constroem-se as relações de acessibilidade.

Definição 1.2.11: A relação de acessibilidade espistêmica, denotada por 𝑅Epi𝑤′ 𝑥 , é dada por: 𝑤″𝑅 Epi𝑤′ 𝑥 𝑤′ ⇔ [|Epi𝑤′ 𝑥 |] 𝑤″ = ⊤ A relação de acessibilidade teleológica, denotada por 𝑅Teleo𝑤′

𝑥 , é dada por: 𝑤″𝑅 Teleo𝑤′ 𝑥 𝑤′ ⇔ [|Teleo𝑤′ 𝑥 |]𝑤 ″ = ⊤ A relação de acessibilidade doxástica, denotada por 𝑅Dox𝑤′

𝑥 , é dada por: 𝑤″𝑅 Dox𝑤′ 𝑥 𝑤 ′⇔ [|Dox𝑤′ 𝑥 |]𝑤 ″ = ⊤  Segundo (VON FINTEL, .K, HEIM, I. 2011) as entradas lexicais para os verbos modelos de cada modalidade assumem formas específicas:

Definição 1.2.12: • [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤′ =𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤″∈ 𝑊 )(𝑤″𝑅Epi𝑤′ 𝑥 𝑤′)([|𝜙|]𝑤″ = ⊤)) • [|𝑥 ter o objetivo de 𝜙|]𝑤′ =𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Teleo𝑤′ 𝑥 𝑤′)([|𝜙|]𝑤″ = ⊤)) • [|𝑥 acreditar 𝜙|]𝑤′ =𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Dox𝑤′ 𝑥 𝑤′)([|𝜙|]𝑤″ = ⊤))  Retornando ao exemplo “Minha prima acredita que unicórnios existem”, pode-se calcular as condições de verdade com as entradas lexicais dadas. Ao final das contas, omitidas aqui, obtém-se o resultado:

[|Minha prima acredita que unicórnios existem|]𝑤= ⊤ ⇔ (((∀𝑤

𝑊 )𝑤′𝑅 Dox𝑤

minha prima𝑤)[|Unicórnios existem|]

𝑤′ = ⊤)

(23)

Em termos descritivos, “minha prima” acredita em unicórnios porque em todo mundo possível compatível com as crenças dela (minha prima), os unicórnios existem.

É interessante notar a relação que existe entre o conjunto que estabelece a modalidade e sua relação de acessibilidade. Considere, agora, como exemplo, o conjunto Epi𝑤

𝑥. Considere as condições de verdade para o

verbo “saber”, como segue:

[|𝑥saber 𝜙|]𝑤=

𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤′ 𝑥

𝑤)([|𝜙|]𝑤′ = ⊤)) Observe que, por esta definição, todo o mundo possível acessível via 𝑅𝐸𝑝𝑖𝑤

𝑥 tem que satisfazer 𝜙, mas a relação 𝑅Epi𝑤

𝑥 é justamente [|Epi

𝑤 𝑥|]

𝑤′

= ⊤. Reescrevendo a condição, tem-se que, para todo mundo 𝑤′onde

Epi𝑤

𝑥 é verdadeira, 𝜙 é verdadeira. Isto leva ao seguinte resultado:

Teorema 1.2.13 : Considere as duas definições para o verbo saber:

1. [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤= 𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.(𝜙 ∈Epi 𝑤 𝑥) 2. [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤= 𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))

Ambas as definições produzem os mesmos valores de verdade, i.e., se [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤é verdadeira usando definição 1, então

[|𝑥saber 𝜙|]𝑤é verdadeira usando a definição 2 e vice-versa.



Demonstração: (1 ⇒ 2) Suponha que [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤é verdadeira por 1, então 𝜙 ∈ Epi𝑤

𝑥, neste caso, para

todo 𝑤′tal que 𝑤𝑅 Epi𝑤

𝑥𝑤, tem-se que [|Epi

𝑤 𝑥|] 𝑤′ = ⊤, mas 𝜙 ∈ Epi𝑤 𝑥 e portanto [|𝜙|] 𝑤′ = ⊤. (2 ⇒ 1)Considerando o conjunto Epi𝑤

𝑥∪ {𝜙}, de ∀𝑤 ′((𝑤𝑅 Epi𝑤 𝑥 𝑤) → [|𝜙|]𝑤′ = ⊤)segue que ∀𝑤′(𝑤𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)[|Epi 𝑤 𝑥 ∪ {𝜙}|] 𝑤′

= ⊤. Disto segue que 𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤 ⇔ 𝑤 ′𝑅 Epi𝑤 𝑥∪{𝜙}𝑤e portanto pode-se substituir 𝑅Epi𝑤 𝑥 por 𝑅Epi 𝑤

𝑥∪{𝜙}. Por fim, substitui-se Epi

𝑤

𝑥 por Epi 𝑤

𝑥 ∪ {𝜙}e obtém-se o resultado desejado.

Quod Erat Demonstrandum O resultado mostra que, se uma sentença 𝜙 é uma consequência da definição 2 do Teorema 1.2.13 utilizando relação de acessibilidade, então não há diferença, em termos de condição de verdade, acrescentar 𝜙 ao conjunto Epi𝑤

𝑥. Tal situação é ilustrada pela Figura 1.3 na página 23, onde Epi 𝑤

𝑥∗representa a classe de mundos possíveis

tais que todas as sentenças de Epi𝑤

𝑥são verdadeiras. Na ilustração, considere [|saber𝜓|]

𝑤= ⊤e tome o conjunto

de sentenças Epi𝑤

𝑥 como a elipse vermelha, é possível perceber que a sentença 𝜓 é sempre verdadeira para

todos os mundos possíveis que tornam Epi𝑤

𝑥 verdadeiro, portanto não há diferença em se adicionar 𝜓 ao

conjunto Epi𝑤 𝑥.

Corolário 1.2.14: O mesmo resultado é válido para os conjuntos 𝑇 𝑒𝑙𝑒𝑜𝑤′

𝑥 e 𝐷𝑜𝑥𝑤

𝑥 .

(24)

Figura 1.3: 𝑤1 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝜙1 𝜙2 𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 𝜙7 𝜙8 𝜓 𝑤2 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝜙1 𝜙2 𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 𝜙7 𝜙8 𝜓 𝑤3 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝜙1 𝜙2 𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 𝜙7 𝜙8 𝜓 𝑤4 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝜙1 𝜙2 𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 𝜙7 𝜙8 𝜓 𝑤5 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥 𝜙1 𝜙2 𝜙3 𝜙4 𝜙5 𝜙6 𝜙7 𝜙8 𝜓 ∈ 𝐸𝑝𝑖𝑦𝑥∗

(25)

Capítulo II

O Parâmetro Informacional

Neste capítulo é estudado o conceito de parâmetro informacional, como introduzido por (YALCIN S., 2007). As várias consequências e conclusões do autor são aqui formalizadas e, em alguns casos, generalizadas. Este capítulo faz uma análise formal dos argumentos usados por (YALCIN S., 2007), fazendo esta análise, principalmente, para o português brasileiro, diferente do inglês, língua originalmente analisada pelo autor.

II.1: A Contradição Epistêmica

Nesta secção é abordado o problema das contradições epistêmicas. Uma contradição epistêmica, como considerada por (YALCIN S., 2007), consiste em sentenças do tipo 𝜙 ∧ ♢¬𝜙 ou ¬𝜙 ∧ ♢𝜙., em que a sentença 𝜙pertence ao conjunto epistêmico de um indivíduo 𝑥 e ♢ é o operador modal de possibilidade (é possível que, pode ser que). As sentenças abaixo ilustram esta situação1

(3) # Está fazendo sol e pode não estar fazendo sol.

(4) # Está fazendo sol e possivelmente não está fazendo sol. (5) # Não está fazendo sol e pode estar fazendo sol.

(6) # Não está fazendo sol e possivelmente está fazendo sol.

Sendo 𝜙 um representante para a sentença “está chovendo”, tem-se que as duas primeiras sentenças são da forma 𝜙 ∧ ♢¬𝜙, enquanto que as duas últimas são da forma ¬𝜙 ∧ ♢𝜙

A estranheza deste tipo de enunciado advém do fato de que, considerando-se que a lógica subjacente ao contexto é a lógica clássica Aristotélica, caso se saiba o valor de verdade de uma sentença 𝜙, seja ele verdadeiro ou falso, já se determina que 𝜙 é o caso e que ¬𝜙 não é o caso, e com isto, elimina-se a possibilidade de ¬𝜙 ou 𝜙ocorrer, respectivamente.

Como visto acima, a entrada lexical para “é possível” (ou “pode”) é dada pelo operador ♢, em termos mais formais, tem-se a definição.

Definição 2.1.1: Seja 𝜙 uma sentença e 𝑥 um indivíduo.

1O símbolo “#” significa que um sentença é bem formada sintaticamente, porém seu conteúdo semântico

não é aceito, i.e., é vista como uma sentença “sem sentido”, como por exemplo: “# Se hoje está chovendo, então o número três é par”.

(26)

[|É possível que 𝜙|]𝑤′ =𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.(∃𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)  Considere uma sentença do tipo 𝜙 ∧ ♢¬𝜙, com 𝜙 representando “Está fazendo sol”, ♢ o operador modal de possibilidade “poder”, 𝑅Epi𝑤

𝑥 a relação de acessibilidade espistêmica e o indivíduo 𝑥 que diz a frase. Disto segue a derivação da sentença “Não está fazendo sol e é possível estar fazendo sol”, onde [|𝑒|]𝑤=

𝑑𝑒𝑓 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓𝑠,𝑡∧ 𝜙𝑠,𝑡: Derivação 2.1.2: 1 [|𝑒|]𝑤(([|É possível que 𝜓|]𝑤)([|¬𝜙|]𝑤))([|𝜙|]𝑤) Hipótese 2 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ 𝜙(𝜆𝜙𝑠,𝑡.(∃𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)(¬𝜙))(𝜙) 1, Definição. 3 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ 𝜙((∃𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(𝜙) 2, Aplicação Funcional 𝜆𝜓𝑠,𝑡em ¬𝜙. 4 𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ ((∃𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) 3, Aplicação Funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡em 𝜙. 5 (𝜙 ∧ ((∃𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)))

4, Aplicação Funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡em (∃𝑤′𝑅Epi𝑤

𝑥𝑤)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤). 6 (𝜙 ∧ ((∃𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊥))) 5, Operador ¬. 7 (𝜙) ∧ ((∃𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊥))

6, Condição de verdade para o operador ∧.

Acaba de ser mostrado que, se a contradição espitêmica “𝜙 ∧ ♢¬𝜙” é verdadeira, então 𝜙 é verdadeira no mundo real e existe um mundo que é epistêmicamente acessível pelo mundo real, no qual ¬𝜙 é verdadeira. Considere o contexto:

Contexto (Epistêmico) 2.1.3: Está chovendo, porém João não sabe que está chovendo

 Neste contexto, tem-se que 𝜙 ∉ Epi𝑤

João, por “João não saber que está chovendo” e [|𝜙|]

𝑤= ⊤, por “está

chovendo”.Seja 𝑅Epi𝑤

João a relação de acessibilidade, por 𝜙 ∉ Epi

𝑤

Joãosegue que, para 𝑤

ser epistemicamente

acessível via 𝑤 não é necessário que [|𝜙|]𝑤′

= ⊤, pois, é apenas requerido que [|Epi𝑤 João|]

𝑤′

= ⊤e 𝜙 é uma sentença que não pertence ao conjunto Epi𝑤

João. Deste modo, tome 𝑤

por um mundo possível tal que

[|Epi𝑤

João∪ {𝜙}|] 𝑤′

= ⊤, assim como 𝑤″por um mundo possível 𝑤tal que ([|Epi𝑤 João|]

𝑤″

= ⊤) ∧ ([|𝜙|]𝑤″ = ⊥). Neste cenário, como tanto 𝑤′e 𝑤validam Epi𝑤

João, tem-se: 𝑤′𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤 𝑤″𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤

(27)

Por fim, obtem-se que o mundo 𝑤″satisfaz a condição ((∃𝑤∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤)[|𝜙|] 𝑤″ = ⊥)e portanto a sentença [|𝜙 ∧ ♢¬𝜙|]𝑤é verdadeira.

II.2: Definição de parâmetro informacional

O problema tratado na secção anterior pode ser interpretado como uma distinção existente entre os “lugares” onde as sentenças são avaliadas. Os valores de verdade são “procurados” em dois níveis diferentes, de um lado a proposição 𝜙 foi validada no “mundo real” 𝑤, enquanto que a proposição ¬𝜙 foi validada dentro de um conjunto de mundos possíveis epistemicamente acessíveis por 𝑤. Como mostra o a Figura 2.1 na página 26.

Figura 2.1: Calcula-se 𝜙𝑤 𝑊 Calcula-se ¬𝜙 Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥

Para solucionar este problema, (YALCIN S., 2007) introduziu o “parâmetro informacional”, como segue:

Definição 2.2.1: O parâmetro informacional 𝜄Epi𝑤

𝑥, relativo a um dado conjunto epistêmica Epi

𝑤 𝑥 é dado por: 𝜄Epi𝑤 𝑥 =def{𝑤 ′| ((𝑤∈ 𝑊 ) ∧ ([|Epi𝑤 𝑥|] 𝑤′ = ⊤))}  A partir deste parâmetro, introduz-se novos índices para a formalização de um item lexical, estes novos índices são denotados por 𝑐 e 𝑠, onde 𝑐 indica a função contexto, que determina qual é o conjunto selecionado como parâmetro informacional, enquanto que 𝑠 denota qual o conjunto específico que foi selecionado por 𝑐. A condição de verdade para uma sentença 𝜙, dentro de um parâmetro informacional, é escrita como:

(28)

[|𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤=

𝑑𝑒𝑓((∀𝑤′ ∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|]

𝑤′ = ⊤)

A partir deste parâmetro, define-se uma nova entrada lexical para “é possível” com leitura epistêmica.

Definição 2.2.2: [|É possível 𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤=

𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.(∃𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|]

𝑤′ = ⊤)

 Com esta nova definição, a derivação de “Está fazendo sol e é possível não estar fazendo sol” se torna:

Derivação 2.2.3:

1 [|𝑒|]𝑤([|𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤)([|É possível 𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤([|¬𝜙|]𝑤))

Hipótese. 2 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ 𝜙((∀𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(𝜆𝜙𝑠,𝑡.(∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(¬𝜙)) 1, Definição. 3 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ 𝜙(((∀𝑤′ ∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)[|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) 2, Aplicação Funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡em ¬𝜙. 4 𝜆𝜓𝑠,𝑡.𝜓 ∧ (∃𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)(((∀𝑤′ ∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) 3, Aplicação Funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡em (∃𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤

𝑥)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤) 5 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) ∧ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) 4, Aplicação Funcional 𝜆𝜓𝑠,𝑡em (∀𝑤′ ∈ 𝑠)([|𝜙|]𝑤 ′ = ⊤). 6 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) ∧ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|¬𝜙|] 𝑤′ = ⊤)). 5, Condição de verdade operador ∧.

7 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) ∧ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊥)). 6, Operador ¬.

A derivação acima está realizada via cálculo 𝜆. Optou-se pelas derivações em cálculo 𝜆, porque são usualmente adotadas na literatura. A seguir, apenas a título comparativo apresenta-se a computação da mesma fórmula sem a utilização da função 𝜆.

Derivação 2.2.4:

1 [|(𝜙) ∧ (É possível ¬𝜙)|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤 Hipótese 2 ([|𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤) ∧ ([|(É possível ¬𝜙)|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤) 1, Concetivo ∧ 3 ((∀𝑤′∈ 𝜄

Epi𝑤 João)[|𝜙|]

𝑤′

= ⊤)) ∧ ([|(É possível ¬𝜙)|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤) 2, Definição [|𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤 4 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)[|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) ∧ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)([|¬𝜙|] 𝑤′

= ⊤)) 3, Definição [|É possível 𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤João,𝑤 5 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)[|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) ∧ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊥)) Operador ¬ Pela condição: ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤) ∧ (∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊥) exige-se que o conjunto 𝜄Epi𝑤

𝑥 possua um mundo possível, diga-se 𝑤

, tal que [|𝜙|]𝑤″

= ⊥, por outro lado, é também necessário que (∀𝑤′ ∈ 𝜄

Epi𝑤 𝑥)[|𝜙|]

𝑤′

= ⊤; porém, se existe um mundo em 𝜄Epi𝑤

(29)

impossível que para todo mundo em 𝜄Epi𝑤

𝑥 a sentença 𝜙 seja verdadeira. Portanto, esta condição é impossível de ser satisfeita, ou seja, [|𝜙 ∧ ♢¬𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤é uma contradição.

A diferença entre as duas formas de cálculo se dá pelo fato de que, com a definição do parâmetro informacional, os quantificadores estão com escopo em uma mesma variável sobre conjunto 𝑠, enquanto que no caso anterior, os quantificadores estavam com o escopo sob as relações de acessibilidade. Esta nova situação é ilustrada pelo diagrama a seguir:

𝑊

Calcula-se ¬𝜙 Calcula-se 𝜙 𝑠 =Epi𝑤

𝑥

II.3: Interação do verbo espitêmico e do verbo doxástico com o operador modal de

possibili-dade.

Nesta secção é analisado o caso em que ocorre uma interação entre o verbo epistêmico e o verbo doxástico, representados por “sabe” e “acredita” respectivamente, e o operador modal de possibilidade “é possível” e/ou “poder”.

II.3.1: Verbo espistêmico e o operador de possibilidade

O caso de interação do verbo epistêmico com o operador modal de possibilidade foi inicialmente discutido por (YALCIN S., 2007) e é analisado formalmente aqui. Considere a sentença:

(7) João sabe que é possível que Maria esteja em Foz do Iguaçu.

Considerando 𝜓 como representação para “Maria está em Foz do Iguaçu” e usando as definições de acessibilidade, tem-se a seguinte derivação:2

Derivação 2.3.1:

2Para simplificar a derivação, desconsidere a questão de pronomes, modos verbais e tempo. Aqui é apenas

(30)

1 [|𝑥 saber 𝜙|]𝑤([|É possível 𝜙|]𝑤([|𝜓|]𝑤))([|João|]𝑤) Hipótese. 2 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(João)(𝜆𝜙𝑠,𝑡.((∃𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)))(𝜓)) 1, Definição. 3 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(João)((∃𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 𝑥)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤)) 2, Aplicação funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡no argumento 𝜓.

4 𝜆𝑥.((∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 𝑥𝑤 ′)([|𝜓|]𝑤′ = ⊤))(João) 3, Aplicação funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡no argumento ((∃𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Epi𝑤

𝑥)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤)). 5 (∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤 ′)([|𝜓|]𝑤′ = ⊤)) 4, Aplicação funcional 𝜆𝑥 com argumento “João”.

Esquematizando estas relações:

Mundo real

𝑤 ⏟→

(∀𝑤′∈𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤João𝑤

Mundo epistemicamente compatível com 𝑤

𝑤′

(∃𝑤″∈𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤João′𝑤

Mundo epistemicamente compatível com 𝑤′ ⏞

𝑤″

Estas condições podem ser visualizadas na Figura 2.2 na página 30. Pelo diagrama, para validar esta sentença, precisa-se verificar que para todo mundo possível 𝑤𝑛 compatível com Epi𝑤

João, existe um mundo

possível 𝑤𝑛∗compatível com Epi𝑤𝑛

João, onde a sentença 𝜙 é verdadeira. Porém, considere o contexto abaixo.

Contexto (Epistêmico) 2.3.2: “João não sabe exatamente onde Maria está, mas João sabe que Maria está em Foz do

Iguaçu ou ela está em Marialva.”

 A partir deste contexto, é evidente que as seguintes afirmações são ambas aceitas:

(8) João sabe que é possível que Maria esteja em Foz do Iguaçu. (9) João sabe que é possível que Maria esteja em Marialva.

Como já foi visto, a condição de verdade para estas sentenças é: ((∀𝑤′∈ 𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤′ João

𝑤′)[|Maria está em Foz do Iguaçu.|]𝑤″ = ⊤ ((∀𝑤′∈ 𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )𝑤𝑅 Epi𝑤′ João

𝑤′)[|Maria está em Marialva.|]𝑤″ = ⊤

Suponha, neste instante, um mundo 𝑤∗ compatível epistemicamente com 𝑤, tal que “Maria está em Marialva” e João saiba disto3, nestas condições, o mundo tem a seguinte propriedade:

3Como João não sabe a localização exata, mas sabe que possa ser “Marialva” ou “Foz do Iguaçu”, então um

mundo que valide apenas uma destas sentenças ainda será compatível com os conhecimentos de João, de fato, a sentença que estaria no conjunto Epi𝑤

Joãoé [|Maria está em Marialva|]

𝑤∨ [|Maria está em Foz do Iguaçu|]𝑤,

como 𝜙 → 𝜙∨𝜓 para qualquer 𝜓, tem-se que, tornando uma das sentenças verdadeiras a disjunção é verdadeira e, por fim, o mundo 𝑤∗ valida o conjunto Epi𝑤

(31)

Figura 2.2: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 𝑤5 Epi𝑤 João 𝑊 [|𝜙|]𝑤1∗ = ⊤ 𝑤1∗ [|𝜙|]𝑤2∗ = ⊤ 𝑤2∗ [|𝜙|]𝑤3∗ = ⊤ 𝑤3∗ [|𝜙|]𝑤4∗ = ⊤ 𝑤4∗ [|𝜙|]𝑤5∗ = ⊤ 𝑤5∗ 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤1 𝑥 𝑅Epi𝑤2 𝑥 𝑅Epi𝑤3 𝑥 𝑅Epi𝑤4 𝑥 𝑅Epi𝑤5 𝑥

(32)

𝑤 ∗ ⎧ { ⎨ { ⎩

[|Maria está em Foz do Iguaçu|]𝑤∗= 0

[|Maria está em Marialva|]𝑤∗= 1

O mundo 𝑤∗ é representado na Figura 2.3, na página 31. Figura 2.3: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 𝑤5 𝑤∗ Epi𝑤 João 𝑊 𝑤1∗ 𝑤2∗ 𝑤3∗ 𝑤4∗ 𝑤5∗ 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤1 𝑥 𝑅 Epi𝑤2 𝑥 𝑅Epi𝑤3 𝑥 𝑅Epi𝑤4 𝑥 𝑅Epi𝑤5 𝑥

(33)

Agora é analisada a sentença “João sabe que Maria está em Foz do Iguaçu.” para o contexto espistêmico acima dado. Relembrando sua condição de verdade:

((∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤′ João

𝑤′)([|Maria está em Foz do Iguaçu.|]𝑤″ = ⊤))) Suponha que todos os 𝑤𝑛satisfaçam esta condição, isto é, para todo 𝑤𝑛existe um 𝑤𝑛∗acessível via 𝑅

Epi𝑤𝑛 João por 𝑤𝑛tal que valide “Maria está em Foz do Iguaçu”. Esta situação é ilustrada pela Figura 2.4 na página 33,

em que, por questões de espaço, a sentença “Maria está em Foz do Iguaçu” foi simplificada para 𝜙.

Para os mundos 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, 𝑤5foi possível encontrar um mundo via acessibilidade espitêmica que

torna a sentença “Maria está em Foz do Iguaçu” verdadeira, porém, para ser verdadeira esta propriedade deve valer para todo o mundo 𝑤′epistemicamente acessível por 𝑤. Considere o mundo 𝑤∗, neste momento, é

preciso encontrar um mundo possível espistemicamente acessível por 𝑤∗ que valide a sentença “Maria está em Foz do Iguaçu”, tal mundo esta indicado por “?” na Figura 2.5 na página 34.

Como foi visto, em 𝑤∗ tem-se que “Maria está em Foz do Iguaçu” é falso e 𝜙 = [|Maria está em Marialva|] ∈ Epi𝑤∗

João, portanto para todo mundo possível 𝑤

, com 𝑤𝑅 Epi𝑤∗

João𝑤∗, tem-se que a sentença “Maria está em Foz do Iguaçu” é falsa. Neste caso não é possível que o mundo ? exista, como ilustrado pela Figura 2.6 na página 35.

Por fim, vê-se que 𝑤∗ é um mundo pertencente ao conjunto Epi𝑤

Joãotal que não existe mundo 𝑤

pertencente

ao conjunto Epi𝑤∗

João∗, com [|𝜙|] 𝑤′

= ⊤e com isto

[|João sabe que é possível que Maria esteja em Foz do Igucaçu|]𝑤= ⊥.

Como (YALCIN S., 2007) notou, o verbo epistêmico, quando se relaciona com verbos modais de pos-sibilidade, não requer uma segunda relação de acessibilidade epistêmica, isto é, não é necessário usar duas relações da forma 𝑅Epi𝑤′

𝑥

. De fato, quando se tem a sentença “João acredita que é possível que Maria esteja em Foz do Iguaçu”, a intuição sobre esta é de que, dada as evidências epistêmicas de “João” no “mundo real” 𝑤, é compatível com estas evidência que Maria esteja em Foz Do Iguaçu (ou, é compatível com os conhecimentos de “João” no “mundo real” que “Maria está em Foz do Iguaçu”). Portanto, a análise do valor de verdade para esta sentença deveria ocorrer no conjunto Epi𝑤

João∗e não nos conjuntos da forma Epi 𝑤′

João∗, com 𝑤 ′𝑅

Epi𝑤 João𝑤. Isto significa que ao se aplicar o segundo operador “♢” de “é possível”, a relação epistêmica deveria “retornar” ao conjunto Epi𝑤

João∗e buscar neste conjunto um mundo possível 𝑤

tal que a proposição 𝜙 fosse verdadeira.

Utilizando-se o parâmetro informacional, pode-se definir uma nova entrada lexical para o verbos “saber” como segue.

Definição 2.3.3: [|𝑥 saber 𝜙|]𝑐,𝜄𝑤Epi𝑥,𝑤=

𝑑𝑒𝑓𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|]

𝑤′ = ⊤)

 A partir desta nova entrada lexical, tem-se a derivação para a sentença “João sabe que é possível que Maria esteja em Foz do Iguaçu”:

(34)

Figura 2.4: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 𝑤5 𝑤∗ Epi𝑤 João 𝑊 [|𝜙|]𝑤1∗ = ⊤ 𝑤1∗ [|𝜙|]𝑤2∗ = ⊤ 𝑤2∗ [|𝜙|]𝑤3∗ = ⊤ 𝑤3∗ [|𝜙|]𝑤4∗ = ⊤ 𝑤4∗ [|𝜙|]𝑤5∗ = ⊤ 𝑤5∗ 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤1 𝑥 𝑅Epi𝑤2 𝑥 𝑅Epi𝑤3 𝑥 𝑅Epi𝑤4 𝑥 𝑅Epi𝑤5 𝑥

(35)

Figura 2.5: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 𝑤5 𝑤∗ Epi𝑤 João 𝑊 [|𝜙|]𝑤1∗ = ⊤ 𝑤1∗ [|𝜙|]𝑤2∗ = ⊤ 𝑤2∗ [|𝜙|]𝑤3∗ = ⊤ 𝑤3∗ [|𝜙|]𝑤4∗ = ⊤ 𝑤4∗ [|𝜙|]𝑤5∗ = ⊤ 𝑤5∗ [|𝜙|]?= ⊤? 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅 Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤1 𝑥 𝑅Epi𝑤2 𝑥 𝑅Epi𝑤3 𝑥 𝑅Epi𝑤4 𝑥 𝑅 Epi𝑤5 𝑥 𝑅 Epi𝑤∗ 𝑥

(36)

Figura 2.6: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤∗ Epi𝑤 João 𝑊 ((∀𝑤′∈ 𝑊 )𝑤Epi𝑤∗ João)[|𝜙|] 𝑤′ = ⊥ Epi𝑤∗ João 𝑅Epi𝑤 𝑥 𝑅Epi𝑤∗ 𝑥

(37)

Derivação 2.3.4:

1 [|𝑥 saber 𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤([|É possível 𝜙|]𝑐,𝜄Epi𝑤𝑥,𝑤([|𝜓|]𝑤))([|João|]𝑤) Hipótese 2 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(𝜆𝜙𝑠,𝑡.(∃𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)(𝜓))(João) 1, Definição 3 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝜄Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))((∃𝑤′ ∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤))(João) 2, Aplicação funcional de 𝜆𝜙𝑠,𝑡em 𝜓. 4 𝜆𝑥.((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥 )(∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥 )([|𝜓|]𝑤′ = ⊤))(João) 3, Aplicação funcional de 𝜆𝜙𝑠,𝑡em (∃𝑤′∈ 𝜄Epi𝑤

𝑥)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤). 5 ((∀𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)(∃𝑤 ′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤)) 4, Aplicação funcional de 𝜆𝑥 em “João”. 6 (∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 João)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤) 5, Vacuidade de ∀𝑤′ ∈ 𝜄 Epi𝑤 João 4.

Observe a diferença de comportamento do parâmetro infromacional e as relações de acessibilidade nesta derivação. Enquanto que, pelas relações de acessibilidade, o índice dos mundos muda quando se usa o Princípio da Aplicação Funcional, isto é, no caso de “É possível” (epistêmico), obteve-se:

([|É possível 𝜙|]𝑤′ = ⊤) ⇔ ((∃𝑤″𝑅 Epi𝑤′ 𝑥 𝑤′)([|𝜙|]𝑤″ = ⊤)) Para a derivação via parâmetro informacional, entretanto, obtém-se

([|É possível 𝜙|]𝑤′ = ⊤) ⇔ ((∃𝑤′∈ 𝜄 Epi𝑤 𝑥)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)) Este passo se justifica pelo fato de o índice 𝑤 em 𝜄Epi𝑤

𝑥 não ser uma variável, mas ser fixado pela função contexto 𝑐, quando esta selecionou o conjunto que seria base para o parâmetro informacional. Ou seja, o

4A vacuidade de um quantificador pode ser entendida, em termos informais, como que o quantificador

“opera”, “procura” uma variável que não ocorre na fórmula. Por exemplo, considere a fórmula 𝑥 × 𝑦 = 5, se for colocado (∃𝑥 ∈ ℤ)(∃𝑦 ∈ ℤ)𝑥 × 𝑦 = 5, isto significa que existe um número inteiro 𝑦 e um número inteiro 𝑦 tal que 𝑥 × 𝑦 = 5, e este de fato é o caso, basta tomar os pares (𝑥, 𝑦) = (−1, −5) ou (1, 5). Do mesmo modo poder-se ia colocar (∀𝑥 ∈ ℤ)(∃𝑦 ∈ ℤ)𝑥 × 𝑦 = 5, que significa, para todo inteiro 𝑥, existe um inteiro 𝑦 tal que 𝑥 × 𝑦 = 5, o que não é verdade, basta tomar 𝑥 = 7, e notar que não existe inteiro 𝑦 tal que 𝑥 × 𝑦 = 5. É possível ver, pelos exemplos acima que os quantificadores “operam” sobre variáveis presentes na fórmula e alteram o significado dela, deste modo não se pode retirar o quantificador ∃𝑦 ou ∃𝑥 da fórmula acima (i.e., em termos formais, a retirada do quantificador resulta em mais uma variável livre na fórmula, o que mostra que este não é vácuo). Porém, agora considere a fórmula (∃𝑧 ∈ ℤ)(∃𝑥 ∈ ℤ)(∃𝑦 ∈ ℤ)𝑦 × 𝑥 = 5, em uma leitura informal da sentença, obtêm-se: “Existe um número inteiro 𝑧, existe um número inteiro 𝑦 e existe um número inteiro 𝑥 tal que 𝑥 × 𝑦 = 5”, observe que qualquer tripla de números inteiros da forma (𝑧, 1, 5) satisfaz esta sentença, de fato, o valor de 𝑧 é irrelevante para a análise da fórmula, e portanto 𝑧 ∈ ℤ é vácuo. De modo análogo a sentença (∀𝑧 ∈ ℤ)(∃𝑥 ∈ ℤ)(∃𝑦 ∈ ℤ)𝑦 × 𝑥 = 5 também possui um quantificador vácuo, neste caso ∀𝑧 ∈ ℤ, em termos formais, a retirada do quantificado ∀𝑧 ∈ ℤ não resulta em novas variáveis livres. Na derivação da sentença 𝜙 ∧ ♢¬𝜙, foi usado na linha 6 o argumento de que na linha 5, ∀𝑤′ ∈ 𝑠era vácuo, isto ocorre

porque a fórmula do valor de verdade é: (∃𝑤″∈ 𝑠)[|𝜙|]𝑐,𝑠,𝑤″

, neste caso, o “espaço” destinado para a variável de mundos no índice, esta ocupado por 𝑤″que por sua vez é quantificada por ∃𝑤∈ 𝑠, deste modo a variável

(38)

contexto 𝑐 selecionou o conjunto 𝜄Epi𝑤

𝑥 como base para o parâmetro informacional tanto no verbo “saber” como no verbo “é possível”, em outros termos, o contexto simplesmente está colocando que ambos os verbos devem se relacionar com o conjunto de evidência epistêmicas do falante 𝑥 no mundo real 𝑤.

Por fim, obtêm-se a condição (∃𝑤′∈ 𝑠)[|Maria está em Foz do Iguaçu|]𝑤′

= ⊤, que expressa exatamente a noção intuitiva da sentença, isto é, existe um mundo possível compatível com os conhecimentos de “João”, tal que “Maria está em Foz do Iguaçu”. Olhando para a Figura 2.7 na página 38, é possível visualizar melhor o efeito do parâmetro informacional:

Como se pode perceber, o verbo “saber” quantifica o índice 𝑤′(neste caso, a variável é o índice 𝑤em

[|𝜙|]𝑐,𝑠,𝑤′

), porém, logo em seguida aplica-se o “É possível” e este, novamente, quantifica sobre a mesma variável 𝑤′, tornando assim, o primeiro quantificador vácuo. Por fim, tem-se que os quantificadores (∀𝑤∈ 𝑠)(∃𝑤∈ 𝑠)

se resumem ao existencial ∃𝑤′∈ 𝑠e com isto tem-se a Figura 2.8 na página 39.

II.3.2: Verbo doxástico e o operador de possibilidade

(YALCIN S., 2007) inicialmente apenas considerou o caso anterior, porém o mesmo efeito é observável quando se trata de verbos doxásticos, representado por “acreditar” e o operador modal de possibilidade “é possível”, porém, nesta situação, este operador possui uma leitura doxástica. Considere a sentença:

(10) João acredita que é possível que Maria seja médica.

Considerando que 𝜓 representa a sentença “Maria é médica”, tem-se uma computação de (10) análoga ao caso anterior:

Derivação 2.3.5:

1 [|𝑥 acreditar 𝜙|]𝑤([|É possível 𝜙|]𝑤([|𝜓|]𝑤))([|João|]𝑤)

Hipótese. 2 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Dox𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(João)(𝜆𝜙𝑠,𝑡.((∃𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Dox𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤)))(𝜓)) 1, Definição. 3 𝜆𝜙𝑠,𝑡.𝜆𝑥.((∀𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Dox𝑤 𝑥𝑤)([|𝜙|] 𝑤′ = ⊤))(João)((∃𝑤′ ∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Dox𝑤 𝑥𝑤)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤)) 2, Aplicação funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡no argumento 𝜓.

4 𝜆𝑥.((∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Dox𝑤 𝑥𝑤)(João)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Dox𝑤 𝑥𝑤 ′)([|𝜓|]𝑤′ = ⊤)) 3, Aplicação funcional 𝜆𝜙𝑠,𝑡no argumento ((∃𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤′𝑅Dox𝑤

𝑥𝑤)([|𝜓|] 𝑤′ = ⊤)). 5 (∀𝑤′∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Dox𝑤 João𝑤)((∃𝑤 ″∈ 𝑊 )(𝑤𝑅 Epi𝑤 João𝑤 ′)([|𝜓|]𝑤′ = ⊤)) 4, Aplicação funcional 𝜆𝑥 com argumento “João”.

Obtém-se a relação: Mundo real ⏞ 𝑤 ⏟→ (∀𝑤′∈𝑊 )𝑤𝑅 Dox𝑤João𝑤

Mundo doxasticamente compatível com 𝑤

𝑤′

(∃𝑤″∈𝑊 )𝑤𝑅 Dox𝑤João′𝑤

Mundo doxasticamente compatível com 𝑤′ ⏞

𝑤″

(39)

Figura 2.7: 𝑊 𝑤 𝑊 𝜄 =Epi𝑤 João 𝜄 =Epi𝑤 João Saber 𝜙 É possível 𝜙

(40)

Figura 2.8: 𝑊 𝑤 𝑊 𝜄 =Epi𝑤 João Saber 𝜙 - É possível 𝜙

(41)

Assim como no caso anterior, mostra-se um contexto coerente tal que esta sentença não é validada pelo modelo. Para isto, considere:

Figura 2.9: 𝑊 𝑤 𝑊 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 𝑤5 Dox𝑤 João 𝑊 [|𝜙|]𝑤1∗ = ⊤ 𝑤1∗ [|𝜙|]𝑤2∗ = ⊤ 𝑤2∗ [|𝜙|]𝑤3∗ = ⊤ 𝑤3∗ [|𝜙|]𝑤4∗ = ⊤ 𝑤4∗ [|𝜙|]𝑤5∗ = ⊤ 𝑤5∗ 𝑅Dox𝑤 𝑥 𝑅Dox𝑤𝑥 𝑅Dox𝑤 𝑥 𝑅Dox𝑤 𝑥 𝑅Dox𝑤 𝑥 𝑅Dox𝑤1 𝑥 𝑅Dox𝑤2 𝑥 𝑅Dox𝑤3 𝑥 𝑅 Dox𝑤4 𝑥 𝑅Dox𝑤5 𝑥

Referências

Documentos relacionados

nesta nossa modesta obra O sonho e os sonhos analisa- mos o sono e sua importância para o corpo e sobretudo para a alma que, nas horas de repouso da matéria, liberta-se parcialmente

3.3 o Município tem caminhão da coleta seletiva, sendo orientado a providenciar a contratação direta da associação para o recolhimento dos resíduos recicláveis,

O valor da reputação dos pseudônimos é igual a 0,8 devido aos fal- sos positivos do mecanismo auxiliar, que acabam por fazer com que a reputação mesmo dos usuários que enviam

Apesar dos esforços para reduzir os níveis de emissão de poluentes ao longo das últimas décadas na região da cidade de Cubatão, as concentrações dos poluentes

Neste tipo de situações, os valores da propriedade cuisine da classe Restaurant deixam de ser apenas “valores” sem semântica a apresentar (possivelmente) numa caixa

Além disso, a realização de um estudo capaz de determinar a prevalência do RVU nas HN de graus mais leves contribuiria para que atenção suficiente fosse dada

De seguida, vamos adaptar a nossa demonstrac¸ ˜ao da f ´ormula de M ¨untz, partindo de outras transformadas aritm ´eticas diferentes da transformada de M ¨obius, para dedu-

Como já afirmamos, o acompanhamento realizado pelas tutorias é nosso cartão de visitas, nossa atividade em que o objeto social do Gauss se manifesta de forma mais