Simulando um MIT

(1)

Modelo e Simula¸c˜

ao de uma M´

aquina de Indu¸c˜

ao Trif´

asica

Angelo Hafner — Kleyton Hoffmann

angelo.hafner@gmail.com — kleytonhoffmann@gmail.com Professor Dr. Nelson Sadowski

Convers˜ao Eletromecˆanica de Energia Setembro de 2012

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Equa¸c˜oes da m´aquina no sistema abc 2

3 Equa¸c˜oes da m´aquina no sistema qd0 3

4 Equa¸c˜oes de estado do sistema eletromecˆanico 3

5 An´alise dos resultados da simula¸c˜ao 5

5.1 Grandezas que independem do plano de referˆencia adotado . . . 5

5.1.1 Partida da m´aquina a vazio . . . 5

5.1.2 Transit´orios de carga . . . 8

5.2 Plano de referˆencia estacion´ario . . . 10

5.3 Plano de referˆencia a velocidade rot´orica . . . 11

5.4 Plano de referˆencia a velocidade s´ıncrona . . . 14

6 Análises extras 15 6.1 Análise com fonte de alimenta¸cão com harmônicos . . . 15

6.1.1 Harmˆonicos de 5a ordem . . . 15

6.1.2 Harmˆonicos de 3a ordem . . . 17

6.2 An´alise com fonte de alimenta¸c˜ao desequilibrada . . . 20

7 Valida¸c˜ao do modelo 22

8 Rotina Matlab 27

1 Introdu¸

c˜

ao

Antes de iniciar a simula¸cão é necessária uma rápida compreensão da teoria fundamental de aciona-mentos de motores de indu¸cão trifásicos.

Toda a análise será feita com o aux´ılio da teoria dos eixos de referência desenvolvida por [3] em 1929, que em suma, permite a obten¸cão de um modelo de uma máquina polifásica de forma muito semelhante ao modelo da máquina de corrente cont´ınua.

Para tal feito, é necessário aplicar a matriz de transforma¸cão de Park. A matriz transforma grandezas elétricas do sistema abc em outro sistema, denominado qd0. Após aplicada a transformada,

(2)

simpli-fica¸cões no modelo são obtidas, permitindo um modelo menos sujeito a erros bem como simula¸cões com menor custo computacional.

2 Equa¸

c˜

oes da m´

aquina no sistema abc

O comportamento da máquina eletromecânica é modelado através de equa¸cões de tensão (1) e (2) e torque (3). As equa¸cões de tensão se dividem em equa¸cões de estator e de rotor. As variáveis rotóricas estão referenciadas para o estator e denotadas com o ´ındice primo.

vabcs= rsiabcs+ d dt(Lsiabcs) + d dt(L 0 sri 0 abcr) (1) v0_abcr = rri0abcr+ d dt(L 0 ri0abcr) + d dt(L 0 sriabcs) (2) Te= − _P 2 iT_abcs∂ ∂r (L0_sri0_abcr) (3)

As tens˜oes e correntes em negrito representam a matriz coluna no formato de (4).

fabc=    fa fb fc    (4)

Já as resistências e indutâncias em negrito são matrizes apresentadas em (5),(6),(7),(8) e (9) .

rs =    rs 0 0 0 rs 0 0 0 rs    (5) rr=    rr 0 0 0 rr 0 0 0 rr    (6) Ls=    Lls+ Lms −1₂Lms −1₂Lms −1 2Lms Lls+ Lms − 1 2Lms −1₂Lms −1₂Lms Lls+ Lms    (7) L0_r=    L0_lr+ Lms −1₂Lms −1₂Lms −1 2Lms L 0 lr+ Lms −1₂Lms −1₂Lms −1₂Lms L0lr+ Lms    (8) L0_sr= Lms   

cos θr cos(θr+2π₃ ) cos(θr−2π₃ ) cos(θr−2π₃ ) cos θr cos(θr+2π₃ ) cos(θr+2π₃ ) cos(θr−2π₃ ) cos θr





 (9)

Simular o comportamento da máquina de indu¸cão, implica em resolver simultaneamente o sistema matricial de equa¸cões diferenciais (1), (2) e (3). Todas elas dependem da matriz (9) que apresenta o inconveniente de retornar o valor de indutância mútua rotor-estator dependendo da posi¸cão do rotor (devido ao escorregamento).

A transformada de Park, através de uma mudan¸ca de variáveis elimina esta dependência da indutância com o tempo.

(3)

3 Equa¸

c˜

oes da m´

aquina no sistema qd0

Utilizando a transforma¸cão de Park, obtém-se as Equa¸cões (10), (11) e (12) que são as Equa¸cões (1),(2) e (3) no sistema qd0. vqd0s= rsiqd0s+ d dtλqd0s+ ωλdqs (10) v0_qd0r= r0_ri0_qd0r+ d dtλ 0 qd0r+ (ω − ωr)λ0dqr (11) Te= ₃ 2 _P 2 LM(iqsi0dr− idsi0qr) (12) onde " λqd0s λ0_qd0r # = " KsLsKs−1 KsL0srKr−1 KrL0srKs−1 KrL0rKr−1 # " iqd0s i0_qd0r # (13)

Sabemos da transforma¸cão das variáveis de circuito estacionário em variáveis do plano de referência arbitrário que:

KsLsKs−1=    Lls+ LM 0 0 0 Lls+ LM 0 0 0 Lls    (14) KrL0rKr−1=    L0_lr+ LM 0 0 0 L0_lr+ LM 0 0 0 L0_lr    (15) KsL0srKr−1 = Kr(L0sr)TKs−1=    LM 0 0 0 LM 0 0 0 0    (16) onde LM = 3₂Lms.

4 Equa¸

c˜

oes de estado do sistema eletromecˆ

anico

As equa¸c˜oes (10), (11) e (12) podem ser escritas na forma:

vqs = rsiqs+ ω(Llsids+ LM(ids+ i0dr)) + Lls d dt(iqs) + LM d dt(iqs+ i 0 qr) (17) vds = rsids− ω(Llsiqs+ LM(iqs+ i0qr)) + Lls d dt(ids) + LM d dt(ids+ i 0 dr) (18) v0s = rsi0s+ Lls d dt(i0s) (19) v0_qr = r_r0i0_qr+ ω − ωr)(L0lri 0 dr+ LM(ids+ i0dr)) + L 0 lr d dt(i 0 qr) + LM d dt(iqs+ i 0 qr) (20) v_dr0 = r_r0i0_dr− (ω − ω_r)(L_lr0 i0_qr+ LM(iqs+ i0qr) + L0lr d dt(i 0 dr) + LM d dt(ids+ i 0 dr) (21)

(4)

v0r0 = rr0i00r+ L0lr d dt(i 0 0r) (22) Jdωr dt = ₃ 2 _P 2 LM(iqsi0dr− idsi0qr) − TL (23)

De posse de todas as equa¸cões diferenciais que descrevem o comportamento f´ısico do problema em questão, é poss´ıvel montar o sistema com o modelo de espa¸co de estados.

U = A X + B ˙X (24) onde U =             vqs vds v0s v_qr0 v_dr0 v_0r0 TL             X =             iqs ids i0s i0_qr i0_dr i0_0r ωr             ˙ X = •             iqs ids i0s i0_qr i0_dr i0_0r ωr             A =             rs ω (Lls+ LM) 0 0 ωLM 0 0 −ω (Lls+ LM) rs 0 −ωLM 0 0 0 0 0 rs 0 0 0 0 0 (ω − ωr) LM 0 r0r (ω − ωr) (L0lr+ LM) 0 0 − (ω − ωr) LM 0 0 − (ω − ωr) (L0lr+ LM) rr0 0 0 0 0 0 0 rs 0 0 3 2 P 2 LMi0dr − 3 2 P 2 LMi0qr 0 0 0 0 0             B =             LM+ Lls 0 0 LM 0 0 0 0 LM+ Lls 0 0 LM 0 0 0 0 Lls 0 0 0 0 LM 0 0 LM + L0lr 0 0 0 0 LM 0 0 LM + L0lr 0 0 0 0 0 0 0 L0_lr 0 0 0 0 0 0 0 −J            

Para encontrar a solu¸cão das variáveis de estado de (24), é necessário antes de mais nada rearranjar os termos para forma padrão:

˙

X = B−1(U − A X) (25)

O sistema de equa¸cões (25) não é linear, o que impossibilita uma resolu¸cão anal´ıtica clássica. Recorre-se então as técnicas numéricas tradicionais como o método de Runge-Kutta. No presente trabalho opta-se pela utiliza¸cão do método de Runge-Kutta de quarta ordem, resolvendo o sistema de forma iterativa (discretizado no tempo).

(5)

5 An´

alise dos resultados da simula¸

c˜

ao

A Tabela 1, retirada de [2], mostra os parâmetros do motor utilizado para simula¸cão. Este motor será submetido a três tipos de cargas: (i) partida livre em t = 0 s, (ii) súbita aplica¸cão de carga nominal em t = 3 s e (iii) súbita aplica¸cão de carga nominal negativa em t = 5 s.

Em todas as análises que seguem, considerar-se-á a máquina é alimentada a quatro fios (3F + N). Parte da análise dos resultados é dividida em três partes (vistas nas se¸cões 5.2, 5.3 e 5.4):

• Plano de referˆencia estacion´ario.

• Plano de referência a velocidade rotórica. • Plano de referência a velocidade s´ıncrona.

O intuito desta divisão é verificar as vantagens da escolha de cada plano de referência. Evidentemente as vantagens oriundas desta escolha dependem do tipo da máquina em estudo e da resposta que se deseja obter.

No entanto, parte da análise é comum a qualquer tipo de plano de referência, e esta, evidentemente, será tratada apenas uma vez na se¸cão 5.1.

5.1 Grandezas que independem do plano de referˆencia adotado

As grandezas que independem do plano de referência adotado são grandezas elétricas no sistema abc, torque, velocidade e posi¸cão. Análises com rela¸cão a estas grandezas (elétricas e mecânicas) são feitas nas subse¸cões 5.1.1 - (Partida da máquina a vazio) e 5.1.2 - (Transitórios de carga).

5.1.1 Partida da m´aquina a vazio

A evolu¸cão da corrente estatórica e rotórica para o per´ıodo considerado (0 − 4 s) é apresentada nas Fi-guras 1 e 2. Percebe-se na Figura 1 um pico inicial de corrente na ordem de 13 vezes a corrente nominal durante um per´ıodo de aproximadamente 9 ms, fato este, dificilmente comentado em literaturas. Já durante o intervalo de 9 ms − 1, 25 s, a amplitude da corrente é praticamente constante valendo 8 vezes a corrente nominal do motor. Esta última é amplamente explorada na literatura referente a acionamentos elétricos. No tempo de 1, 7 s o motor atinge o estado estacionário com 36 % da corrente nominal. Este valor é devido apenas a corrente de magnetiza¸cão da máquina.

Observando a Figura 2, pode-se averiguar que, para t = 1, 7 s o motor está à vazio , pois naquele intervalo a corrente rotórica é nula. Ainda com rela¸cão a corrente rotórica, verifica-se que a medida que o escorregamento diminui, a frequência da mesma cai, indicando consonância com a teoria de máquinas elétricas (fr = s fe).

A gera¸cão de torque em uma máquina elétrica é fruto da intera¸cão entre os campos magnéticos de estator e rotor. Uma forma simplificada de (3) pode ser expressa como (26).

Te= k(Br× Bs) (26)

Tabela 1: Parˆametros motor 500 hp

Pn Vn ωn Tn In(abc) rs Xls Xm Xlr0 r0r J

(hp) (Volts) (rpm) (N · m) (A) (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (kg · m2)

(6)

0 0,5 1 1,5 2 -1500 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i as i bs i_cs

Figura 1: Correntes do estator na partida.

0 0,5 1 1,5 2 -1500 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i_ar i br i cr

(7)

Quanto maior o torque solicitado pela carga maior será o ângulo entre estes dois vetores (veja Figura 3). Para uma situa¸cão em regime estacionário este ângulo é constante. Isto é poss´ıvel porque a velocidade de rota¸cão do fluxo do estator é dada pela soma da velocidade mecânica do rotor e a frequência angular do campo no rotor.

Figura 3: Intera¸cão entre indu¸cões magnéticas do rotor e estator.

Contudo, um alto grau de oscila¸cão do torque eletromagnético é observado nas Figuras 4 e 5, durante um intervalo considerável no in´ıcio da acelera¸cão.

0 0,5 1 1,5 2 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 4: Evolu¸c˜ao do torque dinˆamico × tempo durante a partida.

Estas oscila¸cões são devido ao elevado transitório aplicado a máquina na partida. Nestes momentos, o ângulo de torque δ ultrapassa a casa dos 90◦. Em outras palavras, a velocidade de rota¸cão do fluxo estatórico é superior a soma da velocidade mecânica do rotor com a frequência angular elétrica do rotor. Quando isto ocorre, oscila¸cões de torque, inclusive negativos, são percebidos pela máquina de indu¸cão.

No final da acelera¸cão observa-se que a rota¸cão do motor ultrapassa a barreira da velocidade s´ıncrona momentaneamente. Isto deve-se principalmente a pequena inércia do motor simulado quando compa-rado ao torque que o mesmo pode produzir. Ao ultrapassar a velocidade s´ıncrona um torque contrário ´

(8)

0 500 1000 1500 2000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 Rotação (min-1) T orque (Nm)

Figura 5: Evolu¸cão do torque dinâmico × rota¸cão durante a partida.

Para o caso do motor ideal sem carga, o torque eletromagn´etico em regime ´e zero, e o motor atinge a velocidade s´ıncrona.

5.1.2 Transit´orios de carga

0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 Tempo (s) Corren te (A) i as i bs i cs

Figura 6: Correntes do estator.

Afim de continuar a análise do modelo simulado, transitórios de carga positivos e negativos foram aplicados nos instantes t = 5 s e t = 7 s. No primeiro transitório observa-se um aumento dos cor-rentes estatóricas e rotóricas bem como no torque (veja Figuras 6 , 7 e 8). A resposta do sistema ´

(9)

aproximadamente 0, 4 s. O grau de subamortecimento pode ser claramente visualizado nas Figuras 7 e 8. 0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i ar i br i cr

Figura 7: Correntes do rotor.

Em t = 7 s é aplicada uma carga negativa ao rotor, ou seja, a máquina passa a trabalhar como gerador. Observa-se aqui que o tempo de acomoda¸cão para a nova posi¸cão de equil´ıbrio foi de 0, 6 s. Enfatiza-se a coerência do maior per´ıodo para atingir o estado estacionário em rela¸cão ao primeiro transitório, uma vez que a varia¸cão da carga foi o dobro.

0 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 8: Evolu¸c˜ao do torque dinˆamico × tempo.

Por fim, um detalhe das correntes rotóricas é apresentado na Figura 9 no instante de inversão de carga (t = 5 s). Verifica-se neste instante a ocorrência de uma inversão de fase na forma de onda das correntes, inicia-se o processo de defasamento de 180◦ das correntes, permitindo que a máquina

(10)

4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Tempo (s) Corren te (A) i ar i br i cr

Figura 9: Detalhe corrente rotor na invers˜ao de carga.

trabalhe, após este instante, como gerador. E na Figura 10 apresenta-se a evolu¸cão do torque com a rota¸cão, sendo vis´ıvel os três pontos de opera¸cão da máquina após os transitórios aplicados.

0 500 1000 1500 2000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Rotação (min-1) T orque (Nm)

Figura 10: Evolu¸cão do torque dinâmico × rota¸cão.

5.2 Plano de referˆencia estacion´ario

Com o plano de referência estacionário transforma-se um sistema trifásico em um sistema bifásico equivalente de mesma frequência que o sistema original (veja Figura 11).

A vantagem em rela¸cão as demais escolhas notáveis de rota¸cão do plano de referência é a simplifica¸cão que acontece nas equa¸cões de estado. São elas:

(11)

0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 0,68 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 Tempo (s) T ensão (V) v qs v ds v 0s

Figura 11: Tensões no estator (eixo de referência estacionário).

• nas Equa¸c˜oes (17) e (18) o termo ω(Llsiqds+ LM(iqds+ i0qdr)) ´e anulado;

• nas Equa¸c˜oes (20) e (21) o termo (ω − ωr)(L0lri0dr+ LM(ids+ i0dr)) torna-se (−ωr)(L0lri0dr+ LM(ids+ i0dr)); 0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i_qs i ds i 0s

Figura 12: Correntes do estator (eixo de referˆencia estacion´ario).

Por fim, observando as Figuras 12 e 13 e com base na teoria dos eixos de referˆencia em estado estacion´ario verifica-se, que Ie_qs=Ie_as= 147, 36 0◦A eIe_ds = jIe_qs = 147, 36 90◦A.

5.3 Plano de referˆencia a velocidade rot´orica

A principal vantagem na utiliza¸cão deste plano está na simplifica¸cão dos termos (ω − ωr)L0lri0dr+ LM(ids+ i0dr) e (ω − ωr) (L0lri0dr+ LM(ids+ i0dr)) das Equa¸cões 20 e 21 respectivamente (os dois termos

(12)

0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i qr i dr i 0r

Figura 13: Correntes do rotor (eixo de referˆencia estacion´ario).

tornam-se nulos). 0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 1000 Tempo (s) Corren te (A) i_qs i ds i 0s

Figura 14: Correntes do estator (eixo de referˆencia a velocidade rot´orica).

Percebe-se nas Figuras 14, 15 e 16 que a frequência das grandezas elétricas no sistema qd0 adotado é a frequência do escorregamento elétrico. Por isso a varia¸cão de frequência destas grandezas no intervalo considerado.

Ainda com rela¸cão à frequência destacam-se quatro regiões: (i) partida do motor (0 − 1, 7 s), (ii)regime sem carga (1, 7 − 3 s), (iii) regime com carga operando como motor (3 − 5 s) e (iv) regime com carga operando como gerador (5 − 7 s).

(13)

escorre-0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -500 0 500 1000 1500 Tempo (s) Corren te (A) i qr i dr i 0r

Figura 15: Correntes do rotor (eixo de referˆencia a velocidade rot´orica).

gamento cai. Como a partida é livre (sem carga) e o motor é considerado ideal, a rota¸cão s´ıncrona é atingida, o que justifica a tensões e correntes cont´ınuas no sistema qd0 na região (ii).

0 1 2 3 4 5 6 7 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 Tempo (s) T ensão (V) v qs v ds v 0s

Figura 16: Tensões do estator (eixo de referência a velocidade rotórica).

Já na região (iii) o escorregamento deixa de ser zero e passa ser o nominal da máquina, fazendo com que as frequências no eixo qd sejam exatamente a frequência do escorregamento. Em t = 5 s a máquina passa a trabalhar como gerador, o que justifica a inversão de fase das grandezas elétricas neste instante (região (iv)).

(14)

5.4 Plano de referˆencia a velocidade s´ıncrona

A vantagem de trabalhar desta forma ´e que as grandezas analisadas tornam-se cont´ınuas em regime estacion´ario (veja Figuras 17, 18 e 19).

0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 X: 3,621 Y: 1626 Tempo (s) T ensão (V) X: 2,653 Y: -939 v qs v ds v 0s

Figura 17: Tensões no estator (eixo de referência s´ıncrono). A tensão na fase a é va= 2300

√ 2 √

3cos(ωet + 30

◦_{) V, que fasioralmente ´}_{e expressa por}

e

Va= 13286 30◦V. ´

E poss´ıvel verificar com o aux´ılio da Figura 17 que√2Ve_a= V_qe− jV_de, em outras palavras 18786 30◦=

1626 + j939. 0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 Tempo (s) Corren te (A) i qr i dr i 0r

Figura 18: Correntes do rotor (eixo de referˆencia s´ıncrono).

Em regiões onde ocorrem os transitórios, como no caso das correntes apresentadas nas Figuras 18 e 19, verifica-se a oscila¸cão do valor das proje¸cões destas grandezas quando rebatidas nos eixos qd, o

(15)

0 1 2 3 4 5 6 7 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 Tempo (s) Corren te (A) i qs i ds i 0s

Figura 19: Correntes do estator (eixo de referˆencia s´ıncrono).

que ratifica a vantagem supracitada no primeiro par´agrafo desta se¸c˜ao.

6 An´

alises extras

Nas análises até aqui desenvolvidas foi pressuposto que a máquina era alimentada com fontes de tensões trifásicas ideais. Contudo, em situa¸cões reais, a fonte de alimenta¸cão pode conter harmônicos e dese-quil´ıbrios. Objetivando uma análise para validar o modelo também para estas condi¸cões desfavoráveis de alimenta¸cão, aborda-se na se¸cão 6.1 os harmônicos e na se¸cão 6.2 analisa-se os desequil´ıbrios. Será notado inclusive que as grandezas de sequência zero podem estar presentes neste tipo de situa¸cão. Em todas as análises subsequentes trabalha-se utilizando somente o plano de referência s´ıncrono, devido as vantagens supramencionadas com rela¸cão a varia¸cão das grandezas no sistema de eixos qd0.

6.1 Análise com fonte de alimenta¸cão com harmônicos

Alimentar motores com conversores de frequência ja não é mais uma tendência e sim uma prática corriqueira no ambiente industrial. São as maiores vantagens desta prática a automa¸cão e a eficiência energética. No entanto, a forma de onda oriunda deste tipo de alimenta¸cão (PWM) traz consigo harmônicos de diversas ordens, os quais trazem preju´ızos do ponto de vista técnico tanto para rede como para a máquina, sendo o último o objeto da nossa análise.

O estudo está divido em duas partes. Na primeira parte, subse¸cão 6.1.1, analisa-se o efeito da presen¸ca do quinto harmônico isoladamente e, na segunda parte, subse¸cão 6.1.2, o efeito da presen¸ca do terceiro harmônico também isoladamente.

6.1.1 Harmˆonicos de 5a _ordem

(16)

vabcs= √

2Vn sin(ωet + θe) + 1

5sin(5(ωet + θe)) (27)

O sistema trifásico com 5o harmônico rebatido nos eixos qd0 (referencial s´ıncrono) para a parte es-tatórica é apresentado na Figura 20. Tanto na tensão (Figura 20(a)) quanto na corrente (Figura 20(b)) percebe-se uma oscila¸cão de 240 Hz. Fato este justifica-se devido as proje¸cões nos eixos de referência do sistema trifásico, ou, mais especificadamente, assim como as proje¸cões das grandezas abc de 60 Hz tornam-se constantes quando rebatidas no eixo qd, as proje¸cões das grandezas abc de n × 60 Hz tornam-se variáveis com frequência (n − 1) × 60 Hz.

1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 Tempo (s) T ensão (V) v_qs v_ds v_0s (a)Tensão. 1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -60 -40 -20 0 20 40 60 tempo (s) corren te (a) i_qs i_ds i_0s (b)Corrente. Figura 20: Representa¸cão nos eixos qd0 das tensões e correntes de estator.

A curva mostrada na Figura 21 é a curva de torque × tempo de um motor alimentado por uma fonte trifásica equilibrada de tensão com presen¸ca adicional de uma componente harmônica (h5).

0 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 21: Torque × tempo com alimenta¸c˜ao possuindo harmˆonico de 5a ordem.

Percebe-se na Figura 21 uma resposta com muitas oscila¸cões quando comparada a curva com ali-menta¸cão isenta de harmônicos (Figura 8). Oscila¸cão que não é apenas vis´ıvel em per´ıodos de

(17)

tran-sitórios mecânicos aplicados ao eixo da máquina, mas também em per´ıodos de carga constante, inclu-sive com carga nula.

Estas oscila¸cões tem uma varia¸cão de 900 Nm aproximadamente, tendo assim uma varia¸cão de 45% do torque nominal da máquina. Esta potência adicional mecânica gerada pela máquina não se converte em potência mecânica útil. Sendo assim, pela lei de conserva¸cão de energia, o excedente se traduzirá em aquecimento e vibra¸cão na máquina.

0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 X: 300 Y: 31,47 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 60 Y: 34,01 (a)Sem carga. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 X: 60 Y: 147,4 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 300 Y: 31,47 (b)Carga nominal. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 X: 60 Y: 142,2 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 300 Y: 31,47

(c)Carga nominal negativa.

1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -60 -40 -20 0 20 40 60 X: 1,908 Y: 0 Tempo (s) Corren te (A) i_as i bs i_cs neutro (d)Corrente de neutro. Figura 22: FFT das correntes estat´oricas.

A Figura 22 apresenta o reflexo das correntes da máquina quando submetida as condi¸cões supracitadas. Verifica-se que, assim como o harmônico fundamental, o 5o harmônico se cancela no centro da estrela. Desta forma, não há corrente de neutro, não existindo corrente no eixo 0 do sistema de referências qd0.

6.1.2 Harmˆonicos de 3a ordem

Os componentes harmônicos são caracterizados por sua amplitude, frequência e fase, proporcionais a ordem harmônica. A Tabela 2 evidencia os dois últimos.

O 3o harmônico é do tipo de sequência zero, ou seja, os harmônicos das três fases tem o mesmo argumento. Para as correntes, na prática significa dizer que a soma das correntes não se cancela no centro da estrela de uma carga ligada em Y, em outras palavras, a corrente de neutro de terceiro harmônico é igual a 3 vezes a corrente de fase de terceiro harmônico.

(18)

Tabela 2: Ordem harmônico, frequência e defasagem Ordem f ( Hz) θabc(◦) Sequência

θa= 0 1 60 θb = −120 Positiva θc= 120 θa= 0 2 120 θb = 120 Negativa θc= −120 θa= 0 3 180 θb = 0 Zero θc= 0 θa= 0 4 240 θb = −120 Positiva θc= 120 θa= 0 5 300 θb = 120 Negativa θc= −120 θa= 0 6 360 θb = 0 Zero θc= 0 1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 Tempo (s) T ensão (V) v_qs v_ds v_0s (a)Tensão. 1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -150 -100 -50 0 50 100 150 X: 1,905 Y: 103,4 Tempo (s) Corren te (A) i_qs i_ds i_0s (b)Corrente. Figura 23: Representa¸cão nos eixos qd0 das tensões e correntes de estator.

Um motor alimentado com uma tensão que possui componente de terceiro harmônico drenará da rede uma corrente também com conteúdo de terceiro harmônico (veja Figura 23). Perceba que as componentes de sequência zero não são rebatidas nos eixo qd, mas sim aparecem na sua totalidade no eixo zero. Observe a amplitude e frequência desta onda.

Quando compara-se a Figura 24 com a Figura 21, verifica-se que na primeira não há oscila¸cão do torque em regime permanente. Para compreender os motivos da não oscila¸cão com o terceiro harmônico quando comparado com o quinto harmônico recorre-se mais uma vez a Tabela 2. Nela percebe-se que o harmônico de terceira ordem é de sequência zero, ou seja, não produz campo girante na máquina, diferente do quinto harmônico (sequência negativa) que produz um campo girante de 300 Hz na dire¸cão oposta ao do campo da fundamental.

(19)

0 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 24: Torque × tempo com alimenta¸c˜ao possuindo harmˆonico de 3a _ordem.

0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 X: 60 Y: 34,02 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 180 Y: 103,5 (a)Sem carga. 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 X: 60 Y: 147,4 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 180 Y: 103,5 (b)Carga nominal. 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 X: 60 Y: 142,2 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) X: 180 Y: 103,5

(20)

Mais uma vez enfatiza-se a caracter´ıstica de sequência zero do terceiro harmônico. Note que na Figura 26, onde é apresentado o espectro da corrente de neutro, tem-se presente apenas componentes de 180 Hz, que esta componente é o triplo das correntes de fase de mesma frequência e ainda que o valor delas não muda com a varia¸cão da carga (Figura 25). Fica evidenciado que o terceiro harmônico não gera torque útil no eixo (não gera campo girante). Também fica evidenciado que o terceiro harmônico também não gera torque oscilatório no eixo.

0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 X: 180 Y: 310,4 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) (a)Sem carga. 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 X: 180 Y: 310,4 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) (b)Carga nominal. 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 X: 180 Y: 310,4 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A)

1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 X: 1,905 Y: 310,3 Tempo (s) Corren te (A) ias i_bs i_cs neutro (d)Corrente de neutro. Figura 26: An´alise da corrente de neutro.

Por fim, percebe-se que as grandezas de eixo 0 pulsam na mesma frequência das grandezas do sistema abc do terceiro harmônico (180 Hz), e que o módulo da corrente de terceiro harmônico de fase (Figura 25) é o mesmo que o módulo da corrente de eixo 0 (veja Figura 23(b)).

6.2 An´alise com fonte de alimenta¸c˜ao desequilibrada

A Figura 27 apresenta o comportamento de um motor quando alimentado por tensões desequilibradas. Para a presente simula¸cão foram adotadas as tensões:

vas = 0, 9 √ 2Vncos(ωet) vbs = 1, 1 √ 2Vncos ωet − 2π 3 (28) vcs = 1, 0 √ 2Vncos ωet + 2π 3

Percebe-se na Figura 27(a) que as tens˜oes de vq e de vd apresentam uma oscila¸c˜ao de 120 Hz somadas a componente cont´ınua (o mesmo ocorre com a corrente, Figura 27(b)).

(21)

1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 Tempo (s) T ensão (V) v_qs v_ds v_0s (a)Tens˜ao. 1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 X: 1,909 Y: 87,85 Tempo (s) Corren te (A) i_qs i_ds i 0s (b)Corrente. Figura 27: Tens˜oes e correntes de estator para um sistema desequilibrado.

Esta oscila¸cão é oriunda do componente simétrico de sequência negativa presente em sistemas dese-quilibrados, uma vez que este componente pode ser interpretado como um sistema abc girando na velocidade contrária ao sistema de sequência positiva.

0 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 28: Torque × tempo com alimenta¸c˜ao desequilibrada.

Já com rela¸cão ao componente do eixo 0, verifica-se que sua frequência é independente da rota¸cão do sistema de referência. A frequência deste componente é igual a frequência elétrica do sistema (60 Hz). Com rela¸cão ao módulo, verifica-se a particularidade da corrente de neutro (veja Figura 29) ser igual a três vezes a corrente de sequência zero (veja Figura 27(b)) e ainda que, a corrente no eixo 0 é igual a corrente da componente simétrica de sequência zero dado pelo teorema de Fortescue [1].

Finalmente, constata-se na Figura 28, a presen¸ca de oscila¸cões de torque em regime, inclusive em momentos em que nenhuma carga é aplicada ao eixo. Estas oscila¸cões são devido ao desequil´ıbrio na alimenta¸cão ao qual a máquina foi submetida. Fato este é ratificado quando mede-se a frequência do torque em regime permanente, que é de 120 Hz, evidenciando a presen¸ca de componentes simétricas de sequência negativa.

(22)

0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 X: 60 Y: 263,6 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) (a)Sem carga. 0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 X: 60 Y: 263,6 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A) (b)Carga nominal. 0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 300 X: 60 Y: 182,1 Frequência (Hz) Corren te de Pico (A)

1,9 1,905 1,91 1,915 1,92 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 _{X: 1,909} Y: 263,5 Tempo (s) Corren te (A) i_as i bs i_cs neutro (d)Corrente de neutro. Figura 29: An´alise da corrente de neutro.

7 Valida¸

c˜

ao do modelo

Com o intuito de validar o modelo desenvolvido, comparou-se os resultados obtidos pelo uso, com os obtidos atrav´es do Simulink. A Figura 30 apresenta o diagrama esquem´atico utilizado.

Comparando a Figura 31 com a Figura 6, a Figura 32 com a Figura 7, a Figura 33 com a Figura 10, a Figura 34 com a Figura 8, a Figura 35 com a Figura 19, a Figura 36 com a Figura 18 e a Figura 37 com a Figura 17 percebe-se a igualdade nos resultados.

A principal diferen¸ca entre o modelo implementado e o modelo do Simulink é a ausência do eixo 0, já que o simulink não permite a inser¸cão do neutro na alimenta¸cão da máquina. Foi considerado um motor sem neutro na simula¸cão.

(23)

-K-w -> rpm Continuous powergui Vc Vb Va Transitório 2 Transitório 1 Torque eletromagnético Torque X Rotação Tensões (qd) Rotação (rpm) m A B C Tm MIT 500 hp Correntes rotor (qd)

Correntes rotor (abc) Correntes estator (qd) Correntes estator (abc) <Stator voltage vs_q (V)>

Figura 30: Diagrama esquem´atico da simula¸c˜ao.

0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 Tempo (s) Corren te (A) i as i bs i cs

(24)

0 1 2 3 4 5 6 7 -1500 -1000 -500 0 500 Tempo (s) Corren te (A) i ar i br i_cr

Figura 32: Correntes do rotor abc - Simulink.

0 500 1000 1500 2000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Rotação (min-1) T orque (Nm)

(25)

0 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo (s) T orque (Nm)

Figura 34: Torque × tempo - Simulink.

0 1 2 3 4 5 6 7 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 Tempo (s) Corren te (A) i_qs i ds

(26)

0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -800 -600 -400 -200 0 Tempo (s) Corren te (A) i qr i_dr

Figura 36: Corrente do rotor qd - Simulink.

0 1 2 3 4 5 6 7 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 Tempo (s) T ensão (V) v_qs v ds

(27)

8 Rotina Matlab

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %%%%%%%% Código Fonte de Simulação de Motor de Indução %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 clear all; close all; clc;

5 %% Inicializac¸˜ao

6 % N´umero de p´olos do motor

7 p = 4;

8 % Frequˆencia do sistema de referˆencia

9 f_qd0 = 60;

10 % Velocidade angular do sistema de referˆencia

11 w_qd0 = 2*pi*f_qd0;

12 % Frequˆencia do sistema abc

13 f_abc = 60;

14 % w com que os parˆametros foram determinados

15 w_abc = 2*pi*f_abc;

16 % Velocidade INICIAL de giro do rotor

17 w_r = 0;

18 % Resistˆencia el´etrica do estator

19 r_s = 0.262;

20 % Reatˆancia de dispers˜ao do estator

21 X_ls = 1.206;

22 % Indutˆancia de dispers˜ao do estator

23 L_ls = X_ls / w_abc;

24 % Reatância de magnetização

25 X_M = 54.02;

26 % Indutância de magnetização

27 L_M = X_M / w_abc;

28 % Reatˆancia de dispers˜ao do rotor

29 X_lr = 1.206;

30 % Indutˆancia de dispers˜ao do rotor

31 L_lr = X_lr / w_abc;

32 % Resistˆencia do rotor

33 r_r = 0.187;

34 % Momento de In´ercia (rotor + carga)

35 J = 11.06;

36 % Tensão de pico da rede de alimentação

37 V _{= (2300/sqrt(3))*sqrt(2);}

38 % Defasa mento angular da tens˜ao a

39 def _{= 30*pi/180;}

40 % Constante de dissipação mecânica

41 B_s = 0; %8.8e-4;

42 % Per´ıodo da tens˜ao

43 T = 1 / f_abc;

44 % N´umero de pontos por ciclo

45 npc = 128;

46 % Passo de integrac¸˜ao em pontos por ciclo

47 dt = T / npc;

48 % Tempo de simulac¸˜ao

49 ts = 7;

50

51 % ˆAngulos para a transformada de park para Estator (theta) e Rotor (beta)

52 % Ângulo do estator em relação ao sistema de referência theta inicia com

53 % zero e continua zero se o sistema de referˆencia em quest˜ao girar na

54 % mesma velocidade do campo girante.

55 % theta ´e o ˆangulo entre os eixos "a" e "q". Aqui estamos definindo o theta

56 % incial.

57 theta = 0;

58

59 % Ângulo do rotor em relação ao estator. Como o rotor irá girar em uma

60 % velocidade diferente da velocidade do estator, precisa-se calcular a todo

61 % o tempo o ˆangulo theta_r. Ele inicialmente ´e zero porque estamos

62 % forc¸ando o alinhamento inicial para zero.

(28)

65 % Inicia os vetores X, U, A e B da equac¸˜_{ao diferencial U = A * X + B * X’}

66 % Matriz de estados do sistema

67 % Vari´aveis de estado X

68 % X = I = [[i_qs];[i_ds];[id0];[i_qr];[i_dr];[i_0r];[w_r]];

69 % Entradas U

70 % U = V = [[v_qs];[v_ds];[vd0];[v_qr];[v_dr];[v_0r];[T_L]];

71 % Contudo na equac¸˜_{ao U = A * X + B * X’ precisamos encontrar X’}

72 % X’ = inv(B) * ( -A * X + U)

73 % ou ainda...

74 % I’ = inv(B) * ( -A * I + V)

75

76 % Condições iniciais das variáveis de estado e de entrada

77 % (correntes e velocidade do rotor)

78 X = [[0] ; [0] ; [0]; [0] ; [0] ; [0] ;[w_r]];

79 % I = [[i_qs];[i_ds];[id0];[i_qr];[i_dr];[i_0r];[w_r]];

80 % (tens˜oes e torque de carga)

81 U = [[0] ; [0] ; [0]; [0] ; [0] ; [0] ;[0] ];

82 % U = [[v_qs(ii)];[v_ds(ii)];[vd0];[v_qr];[v_dr];[v_0r];[T_L]];

83

84 % A matriz A será calculada a cada iteração, pois depende da velocidade

85 % rotórica w_r. Zeramos os elementos dela, pois isto agiliza a simulação.

86 % Al´em disto, grande parte dos elementos da matriz A s˜ao zeros.

87 A = zeros(7);

88

89 % A matriz B possui somente elmentos constantes, dependentes apenas das

90 % resistˆencias e indutˆancias do circuito. Inicialmente a calcularemos e

91 % depois a inverteremos. Grande parte dos elementos da matriz B s˜ao zeros,

92 % por isto a zeramos.

93 B = zeros(7); 94 B(1,1) = L_ls + L_M; 95 B(2,2) = L_ls + L_M; 96 B(3,3) = L_ls; 97 B(4,4) = L_lr + L_M; 98 B(5,5) = L_lr + L_M; 99 B(6,6) = L_lr; 100 B(7,7) = ( -2 * J ) / p; 101 B(4,1) = L_M; 102 B(1,4) = L_M; 103 B(5,2) = L_M; 104 B(2,5) = L_M; 105 inv_B = Bˆ(-1); 106

107 % Inicialização de variáveis para o laço que está por vir

108 % Número de iterações

109 n = ts / dt;

110 % Matriz com a rotac¸˜ao rad/s

111 W_r = zeros(1,n);

112 % Matriz com a rotac¸˜ao rot/min

113 W_r_rpm = zeros(1,n);

114 % Matriz de tempo. Serão usados dois tempos (t e tt). Isto é necessário

115 % porque o m´etodo de Runge-Kutta, em alguns passos intermedi´arios,

116 % necessita de valores das fontes no instante de tempo entre duas

117 % iterações. Em outras palavras: max(t) = max(tt), potém a amostragem de t

118 % ´e o dobro da amostragem de tt.

119 tt = zeros(1,n);

120 t _{= zeros(1,(2*n+1));}

121 % Torque Eletromagn´etico

122 T_e = zeros(1,n);

123 % Torque de Carga

124 T_L _{= zeros(1,(2*n+1));}

125 % Tens˜oes de fase do estator = v_abcs

126 v_as = zeros(1,n);

127 v_bs = zeros(1,n);

128 v_cs = zeros(1,n);

(29)

130 v_qs _{= zeros(1,(2*n+1));}

131 v_ds _{= zeros(1,(2*n+1));}

132 v_0s _{= zeros(1,(2*n+1));}

133 % Tens˜oes de fase do rotor = v_qd0r

134 v_qr _{= zeros(1,(2*n+1));}

135 v_dr _{= zeros(1,(2*n+1));}

136 v_0r _{= zeros(1,(2*n+1));}

137 % Correntes no estator = i_abcs

138 i_as = zeros(1,n);

139 i_bs = zeros(1,n);

140 i_cs = zeros(1,n);

141 % Correntes no estator = i_qd0s

142 i_qs = zeros(1,n);

143 i_ds = zeros(1,n);

144 i_0s = zeros(1,n);

145 % Correntes no rotor = i_abcr

146 i_ar = zeros(1,n);

147 i_br = zeros(1,n);

148 i_cr = zeros(1,n);

149 % Correntes no rotor = i_qd0r

150 i_qr = zeros(1,n);

151 i_dr = zeros(1,n);

152 i_0r = zeros(1,n);

153

154 %% Vetores fonte com amostragem dobrada

155 % Para poder realizar os passos intermedi´arios do m´etodo de Ruge-Kutta.

156 for _{ii = 2 : (2*n+1)}

157 % Cria o vetor tempo a cada iterac¸˜ao

158 % (note o per´ıodo de amostragem dt/2).

159 t(ii) = dt/2 * ii;

160 %%%%% Torque da carga %%%%%

161 T_L(ii) = 0;

162 % Para simulação da variação de carga

163 if(t(ii) > 3) 164 T_L(ii) = 1.98e3; 165 end 166 if (t(ii)>5) 167 T_L(ii) = -1.98e3; 168 end 169 %%%%% Torque da carga %%%%% 170

171 %%%%% Tens˜oes do rotor %%%%%

172 % As tens˜oes em um rotor em gaiola, seja no sistema abc ou qd0 sempre

173 % s˜ao nulas.

174 v_qr(ii) = 0;

175 v_dr(ii) = 0;

176 v_0r(ii) = 0;

177 %%%%% Tens˜oes do rotor %%%%%

178

179 %%%%% Tens˜oes do estator %%%%%

180 v_abcs _{= V * [[ cos( w_abc * t(ii) + def )} ];

181 [ _{cos( w_abc * t(ii) - 2*pi/3 + def ) ];}

182 [ _{cos( w_abc * t(ii) + 2*pi/3 + def ) ]];}

183

184 %%% Transformada de Park para as tens˜oes no estator %%%

185 % (v_abcs ==> v_qd0s)

186 theta = w_qd0 * t(ii);

187 K_s = (2/3)*...

188 [[ _{cos(theta), cos(theta-2*pi/3), cos(theta+2*pi/3) ];}

189 [ _{sin(theta), sin(theta-2*pi/3), sin(theta+2*pi/3) ];}

190 [ (1/2) , (1/2) , (1/2) ]]; 191 192 v_qd0s _{= K_s * v_abcs;} 193 % Separando em trˆes vetores... 194 v_qs(ii) = v_qd0s(1); 195 v_ds(ii) = v_qd0s(2);

(30)

197 %%% Transformada de Park para as tens˜oes no estator %%%

198 end

199 %% Laço para cálculo das variáveis de estado em cada instante de tempo

200 % ii inicia em 2 no laço, pois em ii = 1 temos as condições iniciais

201 for ii = 2 : (n)

202 tt(ii) = dt * ii;

203 %% Montagem da equac¸˜_{ao diferencial U = A * X + B * X’}

204 % A equação acima é uma equação genérica

205 % No nosso caso X’ = inv_B * ( U - A * X );

206 % Para o cálculo da equação diferencial é necessário realizar

207 % iterações, dentro deste laço é que elas são feitas.

208 209 % Vetor U 210 U = [[v_qs(2*ii-1)];[v_ds(2*ii-1)];[v_0s(2*ii-1)];... 211 [v_qr(2*ii-1)];[v_dr(2*ii-1)];[v_0r(2*ii-1)];... 212 [T_L(2*ii-1)] ]; 213 % Vetor X

214 % Já iniciado na inicialização das variáveis. São as condições

215 % iniciais necessárias para a solução de uma equação diferencial

216 % X = [[0]; [0]; [0]; [0]; [0]; [0]; [0] ];

217 % X = [[i_qs];[i_ds];[id0];[i_qr];[i_dr];[i_0r];[w_r]];

218 % Por facilidades de ´algebra, atualizaremos o valor de X. Contudo assim

219 % perderemos o seu valor original. Para n˜ao perder este valor ´e que

220 % fizemos X_i = X, ou seja X_inical = X. Utilizaremos novamente o X,

221 % ou melhor X_i mais a frente, por isto o salvaremos agora.

222 X_i = X;

223

224 % Montagem da matriz A

225 % A matriz A tem termos dependentes da velocidade do rotor, por isto

226 % ela deve ser atualizada a cada iterac¸˜ao.

227 A(1,1) = r_s; 228 A(2,2) = r_s; 229 A(3,3) = r_s; 230 A(4,4) = r_r; 231 A(5,5) = r_r; 232 A(6,6) = r_r; 233 A(1,2) = _{w_qd0 * ( L_ls + L_M );} 234 A(2,1) = -A(1,2); 235 A(1,5) = _{w_qd0 * L_M;} 236 A(2,4) = -A(1,5); 237 A(4,2) = _{( w_qd0 - w_r ) * L_M;} 238 A(5,1) = -A(4,2); 239 A(4,5) = ( w_qd0 - w_r ) * ( L_lr + L_M ); 240 A(5,4) = -A(4,5); 241 A(7,1) = _{( 3 * p * L_M * X(5) ) / 4;} 242 A(7,2)= _{-( 3 * p * L_M * X(4) ) / 4;}

243 % T_e = _{3 * p * L_M * (i_qs(ii)*i_dr(ii) - i_ds(ii)*i_qr(ii))} / 4

244 % Fica claro na equação do torque eletromagnético a presença de duas

245 % partes da equac¸˜ao em A(7,1) e A(7,2).

246

247 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

248 % C´alculo do vetor X pelo m´etodo Runge-Kutta de 4a ordem

249 % Para isto alguns cálculos intermediários são necessários,

250 % (c´alculo de k1, k2, k3 e k4).

251 % Para x’ = f(t,x), a solução da EDO é:

252 % x(k+1) = x(k) + 1/6 * dt *( k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4 ), onde: 253 % k1 = f( t(k) , x(k) ) 254 % k2 = f( t(k)+dt/2 , x(k) + dt/2*k1 ) 255 % k3 = f( t(k)+dt/2 , x(k) + dt/2*k2 ) 256 % k4 = f( t(k)+dt _{, x(k) + dt*k3} ) 257 258 % C´alculo de k1

259 % Note o n´ıvel de dificuldade em pensar matricialmente, e n˜ao apenas

260 % como uma equac¸˜ao!

(31)

262 K1 _{= inv_B * ( U - A * X );}

263 % o vetor X abaixo será usado na próxima equação para o cálculo de k2.

264 % novo_X = velho_X + dt/2 * k1 para calcular k2.

265 % Lembrar que que não temos tempos e a variável tempo não está

266 % multiplicando nada nas equações, por isto não o somamos com dt/2 em

267 % nenhum momento em f( t(k)+dt/2 , x(k) + dt/2*k1).

268 X = _{X_i + dt/2 * K1;} % a ser usado para o c´alculo de k2

269

270 % Como o vetor X muda, todos os elementos que dependem dele devem ser

271 % atualizados, no caso a matriz A. Tratam-se de passos absolutamente

272 % necess´arios para que o m´etodo de Runge-Kutta funcione.

273 % Caso ache dif´ıcil de compreender, sugere-se resolver pelo m´etodo de

274 % Euler.

275 % Como somente alguns termos da matriz A dependem da vari´avel de estado

276 % X, apenas estes ser˜ao atualizados. Da forma como montamos a matriz a,

277 % dependente apenas da rotac¸˜ao, somente os termos abaixo tem

278 % necessidade de serem atualizados.

279 w_r = X(7); 280 A(4,2) = _{( w_qd0 - w_r ) * L_M;} 281 A(5,1) = -A(4,2); 282 A(4,5) = _{( w_qd0 - w_r ) * ( L_lr + L_M );} 283 A(5,4) = -A(4,5); 284 A(7,1) = _{3 * p * L_M * X(5) /} 4; 285 A(7,2) = _{-3 * p * L_M * X(4) /} 4; 286

287 % Atualização da matriz fonte U para o cálculo de k2, pois k2 depende

288 % de U(t + dt/2). Lembre-se que as tens˜oes foram duplamente amostradas

289 % por este motivo!

290 U(1,1) = v_qs(2*ii); 291 U(2,1) = v_ds(2*ii); 292 U(3,1) = v_0s(2*ii); 293 U(4,1) = v_qr(2*ii); 294 U(5,1) = v_dr(2*ii); 295 U(6,1) = v_0r(2*ii); 296 U(7,1) = T_L(2*ii); 297 298 % C´alculo de k2 299 % K2 = x(t+dt/2,x+dt/2*k1) = x’ 300 K2 _{= inv_B * ( U - A * X );}

301 % novo_X para calcular k3

302 X _{= X_i + dt/2 * K2;} % a ser usado para o c´alculo de k3

303 % Atualizando novamente os valores da matriz A, pelo mesmo motivo que

304 % atualizamos anteriormente 305 w_r = X(7); 306 A(4,2) = _{( w_qd0 - w_r ) * L_M;} 307 A(5,1) = -A(4,2); 308 A(4,5) = _{( w_qd0 - w_r ) * ( L_lr + L_M );} 309 A(5,4) = -A(4,5); 310 A(7,1) = _{3 * p * L_M * X(5) /} 4; 311 A(7,2) = _{-3 * p * L_M * X(4) /} 4; 312 313 % C´alculo de K3 314 K3 _{= inv_B * ( U - A * X );}

315 X _{= X_i + dt * K3;} % a ser usado para o c´alculo de k4

316 317 % Atualizando a matriz A 318 w_r = X(7); 319 A(4,2) = _{( w_qd0 - w_r ) * L_M;} 320 A(5,1) = -A(4,2); 321 A(4,5) = _{( w_qd0 - w_r ) * ( L_lr + L_M );} 322 A(5,4) = -A(4,5); 323 A(7,1) = _{3 * p * L_M * X(5) /} 4; 324 A(7,2) = _{-3 * p * L_M * X(4) /} 4; 325 326 % Atualizando a matriz U 327 U(1,1) = v_qs(2*ii+1);

(32)

U(2,1) = v_ds(2*ii+1); 329 U(3,1) = v_0s(2*ii+1); 330 U(4,1) = v_qr(2*ii+1); 331 U(5,1) = v_dr(2*ii+1); 332 U(6,1) = v_0r(2*ii+1); 333 U(7,1) = T_L(2*ii+1); 334 335 % C´alculo de K4 336 K4 _{= inv_B * ( U - A * X );} 337

338 % C´alculo do vetor X, que ´e o valor final de X. Os valores

339 % supramencionados de X podem agora ser esquecidos, pois eram apenas

340 % para chegar nos valores de K1, K2, K3 e K4. Agora o valor de X que

341 % interessa ´e o valor antigo dele: "lembre-se da linha X = X_i acima".

342 X _{= X_i + dt/6 * ( K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4 );}

343 % o valor de X da linha acima ´e o valor final das vari´aveis de estado

344 % para esta iterac¸˜ao.

345

346 % Fim do c´alculo de X pelo m´etodo de Runge-Kutta de 4a ordem

347 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

348 %% Transformac¸˜ao inversa de Park para correntes no estator

349 i_qd0s = [ [X(1)]; [X(2)]; [X(3)] ];

350 % Separando em trˆes vetores

351 i_qs(ii) = i_qd0s(1);

352 i_ds(ii) = i_qd0s(2);

353 i_0s(ii) = i_qd0s(3);

354 % i_qd0s = [ i_qs; i_ds; i_0s ];

355

356 % Recálculo da matriz de transformação para o tempo tt. Não podemos

357 % utilizar a matriz do lac¸o anterior porque aquela foi calculada com o

358 % dobro da amostragem.

359 theta = w_qd0 * tt(ii);

360 K_s = (2/3)*...

361 [[ _{cos(theta), cos(theta-2*pi/3), cos(theta+2*pi/3) ];}

362 [ _{sin(theta), sin(theta-2*pi/3), sin(theta+2*pi/3) ];}

363 [ (1/2) , (1/2) , (1/2) ]];

364

365 i_abcs = K_s \ i_qd0s;

366 % Corrente do rotor na fase A

367 i_as(ii) = i_abcs(1);

368 % Corrente do rotor na fase B

369 i_bs(ii) = i_abcs(2);

370 % Corrente do rotor na fase C

371 i_cs(ii) = i_abcs(3);

372 % Cria o vetor de rotação, lembrando que esta é a rotação elétrica, e

373 % n˜ao mecˆanica

374 W_r(ii) = X(7);

375 % Transforma para rotação mecânica e de radianos para rpm

376 W_r_rpm(ii) = X(7) * (2/p) * (30/pi);

377 % Torque eletromagn´etico

378 % T_e(ii) _{= 3/4 * p * L_M * ( i_qs(ii)*i_dr(ii) - i_ds(ii)*i_qr(ii) )}

379 T_e(ii) _{= 3/4 * p * L_M * ( X(1)} _{* X(5)} - X(2) _{* X(4) );}

380

381 %% Angulo do rotor (theta_r) e do escorregamento (beta)

382 % theta_r é o ângulo do rotor. O ângulo é a integral da rotação + uma

383 % constante de integração. A constante de integraçao é a velocidade

384 % anterior.

385 theta_r _{= theta_r + ( ( W_r(ii) + W_r(ii-1) ) / 2 ) * dt;}

386 % beta é o ângulo do escorregamento, ou seja, é a diferença de ângulo

387 % entre o sistema de referˆencia do estator e do rotor.

388 beta = theta - theta_r;

389

390 %% Transformac¸˜ao inversa de Park para correntes no rotor

391 % Atualiza a matriz de Park para o rotor

392 K_r _{= (2/3) *} ...

(33)

394 [ _{sin(beta), sin(beta-2*pi/3), sin(beta+2*pi/3) ];} 395 [ (1/2) , (1/2) , (1/2) ]]; 396 397 i_qd0r = [ [X(4)]; [X(5)]; [X(6)] ]; 398 i_qr(ii) = i_qd0r(1); 399 i_dr(ii) = i_qd0r(2); 400 i_0r(ii) = i_qd0r(3);

401 % i_qd0r = [ i_qr; i_dr; i_0r ];

402 % Transformada inversa de Park, a fim de sair do sistema qd0 e ir para

403 % o sistema abc. 404 i_abcr = K_r \ i_qd0r; 405 i_ar(ii) = i_abcr(1); 406 i_br(ii) = i_abcr(2); 407 i_cr(ii) = i_abcr(3); 408 409 end 410 411 %% Gr´aficos 412 figure(1) 413 set(0,’DefaultAxesColorOrder’,[0 0 0],... 414 ’DefaultAxesLineStyleOrder’,’-|-.|--|:’)

415 plot(tt,i_as, tt ,i_bs, tt,i_cs);

416 title(’Correntes do Estator’);

417 legend(’i_{as}’,’i_{bs}’,’i_{cs}’); grid on;

418 xlabel(’Tempo (s)’); ylabel(’Corrente (A)’);

419

420 figure(2)

421 plot(tt,i_ar, tt,i_br, tt,i_cr)

422 title(’Correntes do Rotor’);

423 legend(’i_{ar}’,’i_{br}’,’i_{cr}’); grid on;

425

426 figure(3)

427 plot(W_r_rpm,T_e)

428 title(’Curva Torque x Rotac¸˜ao’);

429 grid on;

430 xlabel(’Rotac¸˜ao (minˆ{-1})’); ylabel(’Torque (Nm)’);

431

432 figure(4)

433 plot(tt,T_e)

434 title(’Torque Eletromagn´ettico’);

435 grid on;

436 xlabel(’Tempo (s)’); ylabel(’Torque (Nm)’);

437

438 figure(5)

439 plot(tt,i_qs, tt,i_ds, tt,i_0s);

440 title(’Correntes do Estator (qd0)’);

441 legend(’i_{qs}’,’i_{ds}’,’i_{0s}’); grid on;

443

444 figure(6)

445 plot(tt,i_qr, tt,i_dr, tt,i_0r);

446 title(’Correntes do Rotor (qd0)’);

447 legend(’i_{qr}’,’i_{dr}’,’i_{0r}’); grid on;

449

450 figure(7)

451 plot(t,v_qs, t,v_ds, t,v_0s);

452 title(’Tens˜oes no Estator (qd0)’);

453 legend(’v_{qs}’,’v_{ds}’,’v_{0s}’); grid on;

454 xlabel(’Tempo (s)’); ylabel(’Tens˜ao (V)’);

(34)

Referˆ

encias

[1] G. Kindermann. Curto-circuito. UFSC, 4 edition, 2007.

[2] P.C. Krause, O. Wasynczuk, and S.D. Sudhoff. ANALYSIS OF ELECTRIC MACHINERY AND DRIVE SYSTEMS, 2ND ED. Wiley Interscience, 2010.

[3] R. H. Park. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis-part i. American Institute of Electrical Engineers, Transactions of the, 48(3):716 –727, july 1929.