Resumo e Lista de Exercícios. Cálculo III Fuja do Nabo P

Resumo e Lista de

Exercícios

Cálculo III

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Resumo

1. Integrais Duplas

a. Teorema de Fubini – Regiões Retangulares

Seja uma região retangular 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+ _{| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}.}

Os limites de integração da integral dupla são constantes e, pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração da seguinte forma:

5 𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝐴 = 9 9 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 : ; < = = 9 9 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 < = : ;

b. Teorema de Fubini – Extensão para regiões genéricas

Qualquer região não retangular não terá todos os limites de integração constantes, pois alguns desses limites de integração vão depender de variáveis.

Neste caso, é essencial que pelo menos uma variável tenha limites constantes (integral de fora, a última a ser calculada).

No exemplo abaixo, onde 𝑥 tem limites constantes e 𝑦 tem limites que dependem de 𝑥 deve ser montada como:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ(𝑥)} 5 𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝐴 = 9 9@(A)𝑓(𝑥, 𝑦) B(A) 𝑑𝑦 : ; 𝑑𝑥

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Outro caso, visto abaixo, tem limites constantes para 𝑦 e limites dependentes de 𝑦 para 𝑥. Assim:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+_{/ 𝑔(𝑦) < 𝑥 < ℎ(𝑦) , 𝑐 < 𝑦 < 𝑑}} 5 𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝐴 = 9 9@(D)𝑓(𝑥, 𝑦) B(D) 𝑑𝑥 < = 𝑑𝑦

Pelo Teorema de Fubini, se as regiões acima forem as mesmas, as integrais duplas também são as mesmas.

c. Mudança de Coordenadas - Geral

Em uma integral dupla, pode ser interessante aplicar uma mudança de coordenadas (variáveis). Vamos estudar uma mudança qualquer, como:

E

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)

𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)

A integral dupla de 𝑓(𝑥, 𝑦) na região 𝑅, descrita por 𝑥 e 𝑦, será igual à integral dupla de 𝑓(𝑢, 𝑣) – vezes o Jacobiano – na região 𝑆, originada a partir de 𝑢 e 𝑣. 5 𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 5 𝑓(𝑢, 𝑣) ⋅ |𝐽𝑎𝑐| K 𝑑𝑢 𝑑𝑣

Onde |𝐽𝑎𝑐| é o módulo do Jacobiano da mudança de variáveis em questão. O Jacobiano é calculado pelo seguinte determinante:

3 𝐽𝑎𝑐(𝑢, 𝑣) = L 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 L

d. Integral Dupla em Coordenadas Polares

A mudança de coordenadas mais importante para integrais duplas é a mudança para as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) (muito usada quando descrevemos regiões circulares ou elípticas). Vale que:

E

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

Onde 𝑟 é a distância em relação à origem (raio, sempre positivo) e 𝜃 é o ângulo polar (ângulo de abertura, começando no sentido positivo de 𝑥 e dando a volta no sentido anti-horário).

Neste caso, vale que |𝐽𝑎𝑐| = 𝑟 (Jacobiano das coordenadas polares), então: 5 𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 5 𝑓(𝑟, 𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 U

e. Aplicações das Integrais Duplas I. Área

A área de uma região 𝑅 é a integral dupla, nessa região, da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1:

4

Á𝑟𝑒𝑎 = 5 1

7

𝑑𝑥𝑑𝑦

II. Massa

Dada a densidade superficial 𝑓(𝑥, 𝑦), vale que:

𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 = 5 𝑓(𝑥, 𝑦)

7

𝑑𝑥𝑑𝑦

III. Centro de Massa

Para calcular as coordenadas do centro de massa, basta fazer:

𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥 = ∬ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 = ∬ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 7 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 IV. Volume

O volume da superfície abaixo da função 𝑓(𝑥, 𝑦), na região 𝑅, é:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 5 𝑓(𝑥, 𝑦)

7 𝑑𝑥𝑑𝑦

2. Integrais Triplas

a. Teorema de Fubini – Regiões Retangulares

Seja um prisma retangular 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝc _{| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤}

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Os limites de integração da integral tripla são constantes, tal que:

d 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e = 9 9 9 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) f g 𝑑𝑧 < = 𝑑𝑦 : ; 𝑑𝑥

Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração da integral acima, de forma semelhante às integrais duplas.

b. Teorema de Fubini – Extensão para regiões genéricas

Assim como em integrais duplas, para calcular uma integral tripla em uma superfície qualquer, é necessário que uma das variáveis tenha limites de integração constantes (correspondendo à integral de fora, última a ser calculada).

Uma das variáveis deve ter limites de integração ou constantes, ou dependendo apenas da outra variável com limites constantes (correspondendo à integral do meio, segunda a ser calculada).

E uma das variáveis pode ter limites de integração dependendo das duas outras variáveis (correspondendo à integral de dentro, a primeira a ser calculada).

Assim, sendo uma superfície qualquer 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝc_{/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,}

𝑢_i(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑢₊(𝑥), 𝑣_i(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑣₊(𝑥, 𝑦)}, vale que: d 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 9 9 9 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) j_k(A,D) j_l(A,D) 𝑑𝑧 m_k(A) m_l(A) 𝑑𝑦 : ; 𝑑𝑥

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c. Mudança de Coordenadas - Geral

Assim como em integrais duplas, podemos fazer uma mudança de variáveis/coordenadas, como em:

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑚) 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑚) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑚)

Assim, sendo 𝐸 a superfície descrita por 𝑥, 𝑦, 𝑧, ao descrever a superfície por 𝑢, 𝑣, 𝑚 (𝐸′), vale que:

d 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = d 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑚) ⋅ |𝐽𝑎𝑐| es 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑚

Onde |𝐽𝑎𝑐| é o módulo do Jacobiano da mudança de variáveis em questão. O Jacobiano 𝐽𝑎𝑐 é calculado por:

𝐽𝑎𝑐 =

L

L

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑚

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑚

𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑚

L

L

d. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

Uma importante mudança de coordenadas em integrais triplas é para as coordenadas cilíndricas (perfeitas para descrever cilindros e outras

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regiões circulares não esféricas, como paraboloides). A mudança de coordenadas é: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑧 = 𝑧

Onde 𝑟 é a distância em relação ao eixo 𝑧 (raio, sempre positivo), 𝜃 é o ângulo polar (de abertura, começando no sentido positivo de 𝑥 e dando a volta no sentido anti-horário).

Como o módulo do Jacobiano nas coordenadas cilíndricas é |𝐽𝑎𝑐| = 𝑟, vale que: d 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = d 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) ⋅ 𝑟 es 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧

e. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

Outra mudança de coordenadas essencial em integrais triplas é a mudança para coordenadas esféricas (ideal para superfícies esféricas). A mudança é: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 sin 𝜑 𝑦 = 𝜌 sin 𝜃 sin 𝜑 𝑥 = 𝜌 cos 𝜑

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Onde:

- 𝜌 é a distância do ponto à origem (raio);

- 𝜃 é o ângulo polar (ou ângulo de revolução, começando no sentido positivo de 𝑥 e dando a volta no sentido anti-horário – vale, no máximo, 2𝜋);

- E 𝜑 é o ângulo azimute (abertura em relação ao eixo 𝑧, começando no sentido positivo de 𝑧 e indo até o sentido negativo – vale, no máximo, 𝜋). Como o módulo do Jacobiano nas coordenadas esféricas é |𝐽𝑎𝑐| = 𝜌+_{sin 𝜙, vale que:}

d 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = d 𝑓(𝜌, 𝜃, 𝜙) ⋅ 𝜌 +_{𝑠𝑖𝑛 𝜙} es 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙

f. Aplicações da Integral Tripla I. Volume 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐸 = d 1𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e II. Massa 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐸 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧_e , onde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) é a densidade

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III. Centro de Massa

𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥 = ∭ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 = ∭ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑧 = ∭ 𝑧𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 e 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎

3. Integrais de Linhas de Campos Escalares

Dado um campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e uma curva, com parametrização 𝛾(𝑡), 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, calculamos a integral de linha de 𝑓, sobre a curva 𝛾, a partir da fórmula: 9 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 ~ = 9 𝑓•𝛾(𝑡)€ ⋅ |𝛾 •_{(𝑡)| 𝑑𝑡} : ; Onde: |𝛾•_{(𝑡)| = ‚•𝑥(𝑡)€}+ _{+ •𝑦(𝑡)€}+ _{+ •𝑧(𝑡)€}+ a. Comprimento de Fio

Dado um fio delgado 𝛾 = 𝛾(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, o comprimento do fio é dado por:

10 9 𝑑𝑠 ~ = 9 |𝛾•(𝑡)| 𝑑𝑡 : ; b. Massa do Fio

Dado um fio delgado 𝛾 = 𝛾(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, com densidade 𝑓, a massa do fio é dada por:

9 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 ~ = 9 𝑓•𝛾(𝑡)€ ⋅ |𝛾 •_{(𝑡)| 𝑑𝑡} : ;

4. Integrais de Linhas de Campos Vetoriais

a. Cálculo pelo Produto Escalar

Dado um campo vetorial 𝐹⃗, uma curva 𝛾 e sua orientação, com parametrização 𝛾(𝑡), 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, calculamos a integral de linha de 𝐹⃗, sobre a curva 𝛾 a partir da fórmula:

9 𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗𝑟 ~ = 9 𝐹⃗•𝛾(𝑡)€ ⋅: ; 𝛾•_{(𝑡) 𝑑𝑡}

Ao aplicar este método, basta seguir a receita:

I. Identificar o campo 𝐹⃗ e a curva 𝛾;

II. Parametrizar a curva 𝛾 de acordo com a orientação dada, obtendo 𝛾(𝑡),

com 𝑎 < 𝑡 < 𝑏;

III. Calcular 𝐹⃗•𝛾(𝑡)€ e 𝛾•_(𝑡);

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Muitas vezes a integral é dada na forma ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧_~ , onde:

𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅)

b. Rotacional de um Campo

Dado um campo 𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅), temos que o rotacional do campo é definido por: 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ = ŠŠ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘Ž⃗ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 ŠŠ

Se o campo for bidimensional, do tipo 𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄), então o rotacional é:

𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ = ŠŠ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘Ž⃗ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 0 ŠŠ ⇒ 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ = ‘𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦“ 𝑘Ž⃗

Um campo vetorial cujo rotacional é nulo é definido como irrotacional.

c. Domínio Simplesmente Conexo no ℝ+

Um domínio simplesmente conexo, no ℝ+_{, envolve qualquer domínio}

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𝐹⃗(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝚤̂ + 𝑥𝚥̂

𝑥+ _{+ 𝑦}+

É ℝ+ _{− {(0,0)}. Por isso, há um furo no domínio (o ponto (0,0)), e esse}

domínio não é simplesmente conexo.

d. Campos Conservativos

Um campo vetorial 𝐹⃗ é chamado de conservativo se ele é um gradiente de um campo escalar 𝜑, tal que:

∇𝜑 = 𝐹⃗ Observe que:

I. Se o campo vetorial 𝐹⃗ é definido em um domínio simplesmente conexo

e seu rotacional é nulo (campo irrotacional), então 𝐹⃗ é conservativo.

II. Se o campo 𝐹⃗ não é irrotacional •𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ ≠ 0Ž⃗€, então 𝐹⃗ não é

conservativo.

III. Se o campo 𝐹⃗ é definido em um domínio que não é simplesmente

conexo, mas seu rotacional é nulo (campo irrotacional), então 𝐹⃗ pode ou não ser conservativo.

c. Propriedades de Campos Conservativos

Se o campo 𝐹⃗ for conservativo, então as seguintes propriedades valem:

13 II. A integral de linha entre os pontos 𝐴 e 𝐵 de uma curva 𝛾 vale

𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴), ou seja:

9 𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗𝑟 ~

= 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)

III. A integral de linha sobre uma curva fechada vale 0, ou seja:

˜ 𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗𝑟 = 0

™

5. Teorema de Green

O Teorema de Green transforma o cálculo de uma integral de linha de campo vetorial em uma integral dupla, seguindo a fórmula:

9 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ ~

= 5 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ ∙ 𝑘Ž⃗ 𝑑𝐴

U

Neste caso, 𝛾 é uma curva fechada e 𝐷 é o interior de 𝛾, ou seja, 𝛾 é a fronteira da região 𝐷.

Esse teorema somente se aplica quando ambas as condições a seguir são obedecidas:

I. A curva 𝛾 deve estar orientada positivamente.

II. A região 𝐷 pertencer ao domínio de 𝐹⃗, ou seja, o interior da curva 𝛾 deve

14 A orientação de uma curva é definida por uma convenção. As curvas que compõem uma região precisam estar orientadas da seguinte forma:

I. Fronteira exterior no sentido anti-horário; II. Fronteira(s) interior(es) no sentido horário.

Caso o domínio de 𝐹⃗ tenha uma singularidade (ou seja, um “furo” no domínio), impedindo 𝐷 de estar contida nesse domínio, é necessário:

I. Criar uma curva 𝐵 para cada singularidade, tal que o interior da curva,

𝐷_›, inclua a singularidade (ou seja, o “furo” deve estar dentro da curva);

II. Orientar de forma conveniente a parametrização dessa curva (se a

curva externa estiver parametrizada no sentido anti-horário, ela deve ser orientada no sentido horário);

III. Escrever a seguinte relação pelo Teorema de Green:

9 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ ~ + 9 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ › = 5 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ ∙ 𝑘Ž⃗ 𝑑𝐴 U

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Lista de Exercícios

1. Teorema de Fubini para Integrais Duplas

2. Mudança de Variável em Integrais Duplas

16

3. Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Exercício 12, P1 2019

4. Teorema de Fubini para Integrais Triplas

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5. Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

Exercício 5, P1 2019

6. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

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7. Coordenadas Esféricas em Integrais Triplas

Exercício 9, P1 2019

8. Integrais de Linha em Campos Escalares

19

9. Integrais de Linha em Campos Vetoriais e Escalares

Exercício 4, P2 2019

10. Campos Conservativos

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11. Integrais de Linha em Campos Conservativos

Exercício 1, P2 2019

12. Teorema de Green

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Gabarito